常见不等式通用解法

合集下载

常见不等式通用解法 (2)

常见不等式通用解法 (2)

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式①基础一元二次不等式如2260x x --<,2210x x -->,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。

2260x x --<的解为3(,2)2- 当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。

2210x x -->的解为(,1(1)-∞⋃+∞当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元)如1392x x +->,令3x t =,原不等式就变为2320t t -+<,再算出t 的范围,进而算出x 的范围又如2432x ax >+,令2t x =,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结:如不等式210x ax ++>,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论24a ∆=-的正负性即可。

此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ⎧⎪∆<⎪⎪∆=∈≠-⎨⎪⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩ 又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->,所以只需要判定2a 和a 的大小即可。

此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩又如不等式22(1)40ax a x -++>,注意:有些同学发现其可以因式分解,就直接写成(2)(2)0ax x -->,然后开始判断两根2a和2的大小关系,这样做是有问题的。

不等式的解法

不等式的解法

不等式的解法不等式,即数学中用来表示大小关系的符号,它与等式不同的地方在于,不等式可以有无数个解,而不像等式只有一个解。

解不等式的方法有很多种,接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式,它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0,其中a和b为已知数,x为未知数。

解一元一次不等式的方法有两种:图解法和代数法。

1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。

首先,我们将不等式中的x系数作为直线的斜率,常数项作为直线的截距,画出不等式对应的直线。

然后,根据不等式符号的方向,涂色标记出不等式的解集。

例如,对于不等式3x+2>0,我们可以画出直线y=3x+2,并根据大于号的方向,将直线上大于0的部分涂色。

2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。

首先,根据不等式符号的方向,确定不等式的类型是大于、小于还是等于。

然后,根据不等式中的系数和常数项,进行加法、减法、乘法和除法运算,将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧,使得不等式变为0的形式。

最后,通过考察几个关键点的取值情况,确定不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式,它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0,其中a、b、c为已知数,x为未知数。

解一元二次不等式的方法有两种:图解法和代数法。

1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。

首先,我们将不等式转化为对应的一元二次方程,找到方程的判别式,判断方程的根的情况。

根据根的位置,将坐标平面分为几个区域,并确定每个区域对应的不等式的正负。

然后,将不等式对应的曲线画在坐标平面上,并根据不等式符号的方向,将曲线上符合条件的部分涂色。

2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。

首先,根据不等式符号的方向,确定不等式的类型是大于、小于还是等于。

然后,根据不等式中的系数和常数项,进行移项、配方、因式分解等运算,将不等式变为一元二次方程的零点形式。

不等式的解法

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的问题,解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。

本文将介绍几种常用的不等式的解法。

一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式,其中a、b、c都是已知的实数,x是未知数。

1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形,使得未知数x单独在一边,从而得到不等式的解。

例如,对于不等式3x+4>10,我们可以通过减4,并除以3来消去4和3,得到x>2。

所以x的取值范围为大于2的所有实数。

2. 符号法考虑不等式中的符号,根据不等式关系的性质确定解的范围。

例如,对于不等式5x-7≥8,我们观察到不等式中的符号是≥,根据≥的意义,我们知道等号成立时也是一个解。

所以我们可以解得5x-7=8,得到x=3。

因此,x的取值范围为大于等于3的所有实数。

二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式,其中a、b、c、d都是已知的实数,x是未知数。

1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像,通过观察函数图像来确定不等式的解。

例如,对于不等式x^2-4x<3,我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3,并求得其根为x=1和x=3。

然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像,在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分,即得到不等式的解为1<x<3。

2. 化简法将一元二次不等式进行化简,将不等式转化为一个或多个一元一次不等式,然后求解这些一元一次不等式的解。

例如,对于不等式x^2+2x-3>0,我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。

然后我们考虑两个因式的正负情况,得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。

解这两个一元一次不等式,得到x>1和x>-3。

因此,x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。

三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式,解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式① 基础一元二次不等式 如2x 2 x 60,x 2 2x 1 0 ,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元次不等式,重点关注 解区间的“形状”。

当二次项系数大于 0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。

3又如x 2 ax 4-,令t x 2,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集2③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结:序号步骤1首先判定二次项系数是否为0,为0则化为一元一次不等式,再分类讨论 2二次项系数非0,将其化为正的,讨论 判别式的正负性,从而确定不等式的解 集3若可以直接看出两根,或二次式可以因 式分解,则无需讨论判别式,直接根据 不同的参数值比较两根大小4综上,写出解集如不等式x 2 ax 1 0,首先发现二次项系数大于 0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论a 2 4的正负性即可。

0,R以只需要判定a 2和a 的大小即可。

a 0or a 1,{x R| x a} 此不等式的解集为0 a 1,( ,a 2) (a,) 2a 0or a 1,(, a) (a ,)又如不等式ax 2 2(a 1)x 4 0 ,注意:有些同学发现其可以因式分解,就直接写成2x x 60的解为(当二次项系数大于|,2)0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。

2x 10的解为(,1 . 2) (1 .2,)当二次项系数小于②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元) 如3x 1 x 的范围 0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。

9x 2,令t 3x ,原不等式就变为t 23t 2 0,再算出t 的范围,进而算出此不等式的解集为0,{x 0,(R|x 自又如不等式x 2 (a 2 a )x a 30,发现其可以通过因式分解化为(x a)(x a 2)0,所)(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0 的示意图见下。

常见不等式的解法知识点总结

常见不等式的解法知识点总结

常见不等式的解法知识点总结一、基本不等式性质:1.改变不等式方向:对于不等式a<b,如果将两边同时取反,即将其转化为-a>-b,不等式方向会改变。

2.加减同一个数:对于任意实数a,b和c,如果a<b,那么a+c<b+c;如果a>b,那么a-c>b-c。

3.乘除同一个正数:对于任意正数a,b和c,如果a<b,那么a*c<b*c;如果a>b,那么a/c>b/c。

但是,当乘除同一个负数时,不等号方向会反转。

4.取倒数:当一个不等式两边同时取倒数时,不等号的方向会改变。

二、一元一次不等式的解法:1. 用常数计算法:对于形如 ax+b>0 或 ax+b<0 的一元一次不等式,我们可以先计算出 a 的正负性或者大小关系,然后根据 a 的正负性或者大小关系,确定不等式的解集。

2. 画数轴法:对于形如 ax+b>0 或 ax+b<0 的不等式,我们可以在数轴上画出关于 x 的对应的一次方程的解集,然后根据不等号的方向,确定不等式的解集。

3.分析法+图解法:对于一元一次不等式,我们可以通过手工计算和图解的方法,找出不等式的解集。

三、一元二次不等式的解法:1. 变形法:对于形如 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的一元二次不等式,我们可以通过变形,将其转化为一元二次方程的解法。

首先,我们将不等式转化为一元二次方程,然后通过求解一元二次方程的解来确定不等式的解集。

2. 区间取值法:对于形如 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的一元二次不等式,我们可以使用区间取值法。

首先,我们求出一元二次函数的零点,然后根据一元二次函数的开口方向和零点的位置,确定不等式的解集。

四、绝对值不等式的解法:1.绝对值的定义:首先,我们需要了解绝对值的定义,即,x,表示x的绝对值,其定义如下:当x≥0时,x,=x;当x<0时,x,=-x。

常见不等式的解法

常见不等式的解法

常见不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为(0)ax b a >≠的形式.当0a >时,不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭;当0a <时,不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥(0a >)的解法:最好的方法是图像法,充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀(大于取两边,小于取中间)解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时,可以画图,解不等式,也可以把二次项的系数a 变成正数,再利用上面的方法解答. 3、温馨提示(1)不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式,一定邀注意观察分析2x 的系数.(2)对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.(3)如果运用口诀解一元二次不等式,一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. (4)不等式的解集必须用集合或区间,不能用不等式,注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法:如果两边能化为同底的指数或对数,先化为同底,再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式,底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论,并注意到对数真数大于零的限制条件.①当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩②当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(2)对指互化法:如果两边不能化成同底的指数或对数时,一般用对指互化法.对数不等式两边取指数,转化成整式不等式来解;指数不等式两边取对数,转化成整式不等式来解.(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><<log ()log log x a a a a b x b ⇒<⇒<log 00log (1)aa xb x x x b a x b aa >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩其中log 00log (1)aa xb x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩其中0四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.温馨提示:解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式(x 的系数必须为正)→标记方程的实根(注意空心和实心之分)→穿针引线,从右往左,从上往下穿(奇穿偶不穿)→写出不等式的解集.实际上,序轴标根法适用于所有的整式不等式,根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法方法一:公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式,一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<,注意集合的关系和集合的运算,集合的运算主要利用数轴.方法二:零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式,常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三:平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数,如:3x >,可以使用平方法. 七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式,要注意平方的条件和根式有意义的条件,一般情况下,)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =,而)()(x g x f >等价于:⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f .八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答,先研究函数的单调性,再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 学科#网 【方法讲评】【例1】 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax .②当0>a 时,①式变为0)1)(1(<--x ax . ② ∵a a a -=-111,∴当10<<a 时,11>a ,此时②的解为ax 11<<.当1=a 时,11=a ,此时②的解为11<<x a. 【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本题还要注意在讨论0<a 时,解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解.【反馈检测1】 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x .【例2】解不等式211126()82x x ---⨯<【点评】解这类指数不等式,常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.【反馈检测2】解关于x 的不等式:)22(223x x x xa --<-(其中0a >)【例3】已知0>a 且1a ≠,关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x >,解关于x 的不等式1log ()0a x x-<的解集.【点评】本题选同底法解答,把0写成log 1a ,再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式 组解答.【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->.【例4】解关于x 的不等式12>-x【点评】分析:若将原不等式移项、通分整理可得:02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a显然,现在有两个问题:(1)1a -的符号怎样?(2)12--a a 与2的大小关系怎样?这也就是本题的分类标准所在.【反馈检测4】 解不等式x xx x x <-+-+222322.)(n x a -数必须为正)→标记方程的实根(注意空心和实心之分)→穿针引线,从右往左,从上【例5】解不等式: 015223>--x x x【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(<x f )可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况.学科#网【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x【例6】|5||23|1x x --+<【点评】该题由于有两个不等式,所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式,一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式242+<-x x【例7】 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax .【解析】原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ,得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ,故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+.当20≤<a 时,1212≤-+≤a a a,121>++a a ,不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ,不等式组(2)的解是1>x .当2>a 时,不等式组(1)无解,(2)的解是2a x ≥. 综上可知,当20≤<a时,原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ;当2>a 时,原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a .【点评】本题分类讨论标准“20≤<a ,2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >,1≤x ’,(2)中‘2ax ≥,1>x ’”确定的.解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高考的热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-.纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法.【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032.【例8】若非零函数对任意实数均有,且当时,. (1)求证:;(2)求证:为减函数;(3)当时,解不等式.(3)由 原不等式转化为,结合(2)得:故不等式的解集为【点评】(1)第(3)问的关键是找到1(?)4f =,再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=0x <()1f x >()0f x >()f x 1(4)16f =21(3)(5)4f x f x --≤211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=,由())2()53(2f x x f ≤-+-10222≤≤⇒≥-+x x x {}10|≤≤x x体函数不等式.【反馈检测8】函数对任意(0)x y ∈+∞,,满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时,()0f x <. (l )判断函数的单调性并证明相关结论;(2) 若(2)1f =-,试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.【反馈检测9】【2017江苏,11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得:即),12()12(2222-<-x xxa0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>【反馈检测3答案】3x >()f x ()fx【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于所以原不等式的解为3x >.[法二]原不等式同解于211log (2)log (1)x x x x x ++-->+所以原不等式的解为3x >.【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或【反馈检测5答案】{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测5详细解析】原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测6答案】{}31<<x x【反馈检测6详细解析】解法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x .解法二:原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或. 【反馈检测7答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x【反馈检测8答案】(1)()f x 在(0,)+∞上单调递减;(2){34}x x <≤.学科#网【反馈检测8详细解析】(1)()f x 在(0,)+∞上单调递减1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111()()()()x x f x f x f x f x x =⋅=+则 2211()()()x f x f x f x ∴-= 120x x << 21()0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 ()(0,)f x ∴+∞在单调递减 (2)2)2()2()4(-=+=f f f ((3))(4f x x f ∴-≥原不等式可化为 ()0f x +∞又在(,)上单调递增030(3)4x x x x >⎧⎪∴->⎨⎪-≤⎩34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2-。

不等式的解法

不等式的解法

不等式的解法 一.不等式解法总结: 1.一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象.五解集:根据图象写出不等式的解集.规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 2.高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.3.分式不等式的解法:先移项通分标准化,则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ (<≤“或”时同理)规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 4.无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩ ⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ ⑸()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 5.指数不等式的解法:⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律:根据指数函数的性质转化. 6.对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律:根据对数函数的性质转化. 7.含绝对值不等式的解法:⑴定义法:(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法:22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法,其同解定理有: ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律:关键是去掉绝对值的符号.8.含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 9.含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:⑴讨论a 与0的大小; ⑵讨论∆与0的大小; ⑶讨论两根的大小. 10.恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥ 二.练习: 1.解不等式:(1)23440x x -++> (2)213022x x ++> (3)()()21322x x x x +->-- (4)2232142-<---<-x x2. 函数)1(log 221-=x y 的定义域为 ______.3..二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:则不等式ax 2+bx+c>0的解集是______.4.若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或,则b =______ c =______. 5.解关于x的不等式)1(12)1(≠>--a x x a6.若关于x 的不等式210,ax ax a ++-<的解集为R ,则a 的取值范围是______. 7.不等式220ax bx ++>解集为1123x -<<,则ab 值分别为______. x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y6-4-6-6-46。

不等式的解法

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式,描述了数值之间的大小关系。

它是由不等号(例如>, <, ≥, ≤, ≠)连接的两个数或表达式组成的。

解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。

在解不等式的过程中,需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。

以下是几种常见的不等式解法方法:一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号,并且仅涉及到加减法运算,则可以通过移项的方式解不等式。

具体步骤如下:1. 将所有含有未知数的项放在一边,将常数放在另一边,确保未知数的系数为正数;2. 合并同类项;3. 如果未知数系数为负数,将不等号反转;4. 如果不等式两侧都含有未知数,则根据大小关系进行筛选;5. 最后化简,得到不等式的解。

举例说明:解不等式2x + 5 < 7 - x。

1. 将所有含有未知数的项放在一边,将常数放在另一边,得到2x + x < 7 - 5;2. 合并同类项,得到3x < 2;3. 未知数系数为正数,不需要改变不等号;4. 进行筛选,得到x < 2/3;5. 最后化简,得到解集{x | x < 2/3}。

二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号,并且仅涉及到乘除法运算,则可以通过乘除法的逆运算解不等式。

具体步骤如下:1. 将不等式中的未知数项移动一侧,将常数项移动到另一侧;2. 如果是乘法,则将未知数系数为正数;3. 如果是除法,则需考虑被除数符号与除数符号的关系;4. 根据大小关系进行筛选;5. 最后化简,得到不等式的解。

举例说明:解不等式3x - 4 > 2x + 1。

1. 将未知数项移动到一侧,将常数项移动到另一侧,得到3x - 2x > 1 + 4;2. 未知数系数为正数,不需要改变不等号;3. 进行筛选,得到x > 5;4. 最后化简,得到解集{x | x > 5}。

三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式,需要分情况进行讨论。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式如2260x x --<,2210x x -->,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。

2260x x --<的解为3(,2)2-当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。

2210x x -->的解为(,1(1)-∞⋃+∞当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元)如1392x x +->,令3x t =,原不等式就变为2320t t -+<,再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如2432x ax >+,令2t x =,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式解法步骤总结:如不等式210x ax ++>,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论24a ∆=-的正负性即可。

此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ⎧⎪∆<⎪⎪∆=∈≠-⎨⎪⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->,所以只需要判定2a 和a 的大小即可。

此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩又如不等式22(1)40ax a x -++>,注意:有些同学发现其可以因式分解,就直接写成(2)(2)0ax x -->,然后开始判断两根2a和2的大小关系,这样做是有问题的。

事实上,这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式,所以参数a 是有可能为0的。

讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况。

所以此不等式的解集应该是: 0,(,2)20,(,2)21,(,)(2,)1,{|2}201,(,2)(,)a a a a a a x R x a a =-∞⎧⎪⎪<⎪⎪⎪>-∞⋃+∞⎨⎪⎪=∈≠⎪⎪<<-∞⋃+∞⎪⎩注意,0a >和0a <时解区间的状况不同,一种为中间,一种为两边。

二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<(或,,>≤≥)步骤:①将不等式化为标准式,一段为0,另一端为一次因式的乘积(注意!系数为正)或二次不可约因式(二次项系数为正)。

②画出数轴如下,并从最右端上方起,用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。

③记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。

例如,求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的解集,画出图如下,发现解集为为什么数轴标根法是正确的呢?对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->来说,要满足四项相乘为正,说明①四项均正,解集为(4,)+∞②两正两负,只能是(1),(2)x x --正,(3),(4)x x --负,此时解集为(2,3)③四项均负,解集为(,1)-∞。

综上,解集为这三种情况的并集。

当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知,遇到奇数个一次项系数为负的情况,如果不把系数化为正的,结果一定是错误的。

注意,这种方法要灵活使用,若不等式为2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->,使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样,因为2(1)x -是偶次项,必然非负,所以在“穿针引线”时,可以忽略,或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。

2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的示意图见下。

三、解分式不等式分式不等式的解题思路,前面讲了一些不等式的求解,都是讲不等式的一边化为0,另一边为含x 的多项式。

把一个分式不等式经过移项和通分处理,最终总能化为()0()f xg x <(或,,>≤≥的形式),此时解()()0f x g x <就可以解出原不等式的解集。

特别地,若要解()0()f x g x ≤,则解()()0()0f x g x g x ≤⎧⎨≠⎩即可。

例如22816x x x -≤--,移项化简得223206x x x x -+≥--,使用穿针引线法得到解集为{|223}x x x x <-≤≤>或1或,一定要注意分母不为零,而分子可以为零。

例:一道比较复杂的题,求(1)1(1)2a x a x ->≠-的解集,现写出此题的完整解题过程。

解:原不等式通过移项通分可化为(1)(2)02a x a x --->-,由于1a ≠,所以可以进一步化为2(1)()102a a x a x ---->-,两根为21a a --和2。

当1a >时,解集为两根的两边,显然有221a a -<-,所以此时解集为2(,)(2,)1a a --∞⋃+∞- 当1a <时,解集为两根中间,此时必须根据a 的取值判断两根范围。

①当01a <<时,221a a ->-,此时解集为2(2,)1a a -- ②当0a =时,221a a -=-,此时解集为∅ ③当0a <时,221a a -<-,此时解集为2(,2)1a a --至此,a 的所有值都讨论完毕,所以这道题讨论到这样就结束了当然,如果这道题不给1a ≠的限制条件,只需要再讨论一下1a =时的解集情况即可。

补充内容:一类经典但易错的分式不等式问题①求11x>的解集②求11x<的解集 ③求11x<-的解集 ④求11x>-的解集 ⑤求132x-<<的解集解答:①(0,1)②(,0)(1,)-∞⋃+∞③(1,0)-④(,1)(0,)-∞-⋃+∞⑤11(,)(,)32-∞-⋃+∞,注意①②的区别 四、绝对值不等式对于含有绝对值的不等式,解题思想为 ①直接脱去绝对值符号 ()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<,()()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或②构造函数,数形结合③在不等式的一端有多个绝对值时,使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见)④平方法(不等式两边都是非负时才能用,慎用)例:图形法某经典问题,解不等式11a x -<,先画出1()1f x x=-的图像如下,然后分①当0a ≤时,()y f x =的图像在y a =的图像上方,除了点(1,1),此时显然不等式无解②当1a =时,()y f x =的图像与y a =的图像交点为1(,1)2,此时的解集为1(,)2+∞③当01a <<时,()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为11,11a a-+,此时解集为11(,)11a a+-④当1a >时,()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为11,11a a-+,此时解集为11(,),(,)11a a-∞+∞-+当然此题使用()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<也可以做,化成11a a x-<-<,只是在讨论的时候需要细心,考虑到a 的所有取值。

绝对值不等式的零点分段法,以及特别的做题技巧例如125x x -++≥,发现不等号左边有两个绝对值,所以应该根据两个不同的零点分段讨论①当1x ≥时,原不等式化为215x +≥,解得2x ≥ ②当21x -≤<时,原不等式化为35≥,显然无解③当2x <-时,原不等式化为125x --≥,解得3x ≤-综上,原不等式的解集为三种情况下的并集(注意,为什么是并集而不是交集?),(,3][2,)-∞-⋃+∞技巧:可以将绝对值看成距离,也就是将1x -看成数轴上点x 到点1的距离,将2x +看成x 到-2的距离,若画出数轴,发现位于区间[2,1]-的点(绿色点)到区间端点的距离之和为3,位于区间[2,1]-之外的点到区间端点的距离之和大于3,特别地,在2处和-3处距离之和为5,所以令x 继续远离区间[2,1]-,发现距离之和大于5。

2也就是说12x x -++的取值范围是[3,]+∞同理,遇到减号的情况,例如31x x +--,发现其取值范围是[4,4]- 此技巧常用于填空题,既可以求不等式解集,又可以求参数的范围。

例1:若存在实数x 使得不等式11x x a ++-≤成立,则a 的取值范围是 ?(答案[2,0]-)例2:不等式212x x +--≤的解集是 ?(答案1(,]2-∞)五、无理不等式无理不等式能出的考题较少,主要是要注意偶次根号下式子要非负。

(终于可以用平方法了,但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用)。

对于奇次根号,由于不需考虑根号下式子的正负性,直接打开根号即可。

()0()()0g x g x f x <⎧⇔⎨≥⎩或2()0()[()]g x f x g x ≥⎧⎨>⎩(注意这里为什么没有写()0f x ≥?)2()0()()0()[()]g x g x f x f x g x ⎧>⎪⇔≥⎨⎪<⎩。

相关文档
最新文档