初高中衔接基本不等式的解法
初升高衔接知识点---函数、方程与不等式解法专题
初升高衔接知识点---函数、方程与不等式解法专题1 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a≠时，方程有唯一解bx a=；②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
2 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
3 不等式与不等式组 （1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
（4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
4 一元二次方程：20(0)axbx c a ++=≠①方程有两个实数根⇔ 240bac ∆=-≥ ②方程有两根同号⇔ 1200cx x a ∆>⎧⎪⎨=>⎪⎩③方程有两根异号⇔ 1200cx x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩④韦达定理及应用：1212,b c x x x x a a+=-=222121212()2x x x x x x +=+-,12x x a a-===3322212121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦5 函数（1）变量：因变量，自变量。
常见不等式通用解法
常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
2260x x --<的解为3(,2)2-当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号)时，解区间为两根的两边. 2210x x -->的解为(,1(1)-∞⋃+∞当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。
②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如2432x ax >+，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式解法步骤总结：如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根,所以，讨论24a ∆=-的正负性即可。
此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ⎧⎪∆<⎪⎪∆=∈≠-⎨⎪⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。
此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩又如不等式22(1)40ax a x -++>,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根2a和2的大小关系，这样做是有问题的。
2024年新高一数学初升高衔接《基本不等式》含答案解析
第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mA m n=+（m 、n 为互不相等的正实数），242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（ ）A ．A B>B ．A B≥C ．A B<D ．A B≤【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a ，b ，c 满足22c b a a-=+-，2222c b a a a+=++，且0a >，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a>>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B．C．D ．a b+【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x +取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．13．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．24．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或36．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为28．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是.四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y+的最小值．13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【答案】A【解析】A 选项，2642a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，当a<0时，40a a+<，所以B 选项错误.C 选项，当0,0a b ><时，()20,02a b ab +<≥，所以C 选项错误.D 选项，当0,0a b <<时，0a b +<，a b +≥不成立，所以D 选项错误. 故选：A【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【解析】对于A ，当,a b 为负数时不成立，故A 错误，对于B ，()()22222()0a b a b a b +-+=-≥，则()()2222a b a b +≥+，故B 正确，对于C ，0ab >，则,b aa b 都为正数，2b a a b +≥，当且仅当b a ab=，即a b =时等号成立，故C 正确，对于D ，111224b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =和b aa b=同时成立，即1a b ==±时等号成立，故D 正确，故选：BCD 【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>【答案】AC【解析】由题意可知AB AC BC a b =+=+，2a bOA OB OD +===，因为90CBD CAD ADC ∠=-∠=∠ ，90ACD DCB ∠=∠= ，则Rt Rt ACD DCB ∽ ，所以，CD ACBC CD= ，即2CD AC BC ab =⋅=，所以CD =在Rt OCD △中，OD CD >，即)0,02a ba b +>>当OD AB ⊥时，O 、C 点重合，a b =，此时)0,02a ba b +=>>，则)0,02a ba b +≥>>，所以A 正确；对于C 选项，在Rt OCD △中，CE OD ⊥，则90DCE CDE DOC ∠=-∠=∠ ，又因为90DEC DCO ∠=∠= ，所以，Rt Rt DEC DCO ∽ ，可得CD DE DO CD=，即2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD DE >111a b >+，当a b =时，CD DE =111a b=+，()20,011a ba b>>+，所以C正确；由于22a b+在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mAm n=+（m、n为互不相等的正实数），242B x x=-+-，则A与B的大小关系是（）A．A B>B．A B≥C．A B<D．A B≤【答案】A【解析】m、n为互不相等的正实数，则m nn m≠，所以2n mAm n=+>=，2242(2)22B x x x=-+-=--+≤，=2x时，max2B=，所以A B>．故选：A．【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足22c b aa-=+-，2222c b a aa+=++，且0a>，则a，b，c的大小关系是（）A．b c a>>B．c b a>>C．a c b>>D．c a b>>【答案】B【解析】因为0a>，由基本不等式得22220c b aa-=+-≥=>，故c b>，因为2222c b a aa+=++，22c b aa-=+-，两式相减得，2222222222a a a aabaa++-=-+++=，故2112a ab+=+，所以220141151216ab aa a⎛⎫-⎪-+-+⎝=⎭=>，故b a>，所以c b a>>.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B ．C ．D ．a b+【答案】ABC【解析】由于170,139a b <<<<，则a b ¹，故a b +>222a b +>，则不可能是最大值，B ，C 符合题意；由于22221132)2()()428(a b a b a b ++=--+--，当170,139a b <<<<时，221112()2(0448a -<-=，22111()(1224b -<-=，故221131132((0428848a b -+--<+-=，即222a b a b +<+，故222a b +不可能是最大值，A 符合题意，故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+【答案】ABD【解析】对于选项A ，因为0a b >>，则20>，所以2a b+A 正确；因为0a b >>，所以0a b +>，0ab >，又2a b +>，得到01<<故22ab a ba b +<<+，所以选项B 和D 正确，对于选项C ，取2,1a b ==，满足0a b >>，但243322ab a ba b +=<=+，所以C 错误，故选：ABD.考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【解析】()32x x -()213234x x ⎡⎤≤⨯+-=⎣⎦，当且仅当2x x =-，即1x =取得等号，满足题意.故选：B.【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】A【解析】因为100x >>，故()10x x +-≥5，当且仅当5x =时，等号成立，所以2253≥-=-.故选：A.【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】因为()2222228T a b a b ab =++++≥++=，当且仅当1a b ==时取等号，所以T 的最小值为8.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【答案】B【解析】由正数x ，y 满足44x y +=，得111111419(4)()(5)5)4444y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时取等号，所以11x y +的最小值为94．故选：B【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19【答案】C【解析】因为a b ab +=且0a >，0b >，所以111a b+=，则()1192722799101016b a ab a b a a b b a b a b a b a b ⎛⎫-+=-++=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9111b aa ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即当4a =，43b =时，等号成立.因此，27ab a b -+的最小值是16.故选：C.考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）0,0,1a b a b >>+= ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当ba a b=，即12a b ==时等号成立.（2）0,0,1a b a b >>+= ，12212212()1111a b a b b a ab b a ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭21223434111()a b b a a b a b a b ⎛⎫=++++=++=+++ ⎪⎝⎭3434134888b a b a a b a b =++++=++≥+=+当且仅当34b a ba =时，即3,4ab ==-时等号成立.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为1a b +=，所以()222212a b a b ab ab +=+-=-，因为0a >，0b >，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以11121242ab -≥-⨯=，即2212a b +≥，故22221a b +≥；（2）因为1a b +=，所以()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为0a >，0b >，所以0b a>，90a b >，所以96b a a b +≥，当且仅当9b a a b =，即334b a ==时，等号成立，则91016b aa b ++≥，即1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c 均为正数，∴()()()0a b b c c a +++++≥>，当且仅当a b b c a c +=+=+，即a b c ==时，等号成立．1110a b b c a c ++≥>+++，当且仅当111a b b c a c==+++，即a b c ==时，等号成立．∴()11129a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥= ⎪+++⎝⎭，故()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由222()()()a b c a b b c a c ++=+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，即a b c ++≥.（2）由11111()(3)22a b c a b c a b c b c a c a ba b c a b c a a b b c c++++++++=⋅++=⋅++++++119(3(3222)222≥++=⋅+++=，当且仅当23a b c ===时等号成立，则11192a b c ++≥，得证.（3）由222222()()()()(2)()ax by bx ay ab x y xy a b ab xy xy a b ++=+++≥++2()xy a b xy =+=，当且仅当x y =时等号成立，不等式得证.考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】Dm ≥恒成立，即5m +≥恒成立.又559≥+=，当且仅当a b =时取等号.故实数m 的最大值为9.故选：D【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【答案】A【解析】由410x mxy +-≥，则41828912222x x x x y m xy xy xy y x++++≤===+()9111991542222222221x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++==+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当922x y y x =，即12x =，32y =时，等号成立.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【答案】B【解析】9x y xy +=，故911x y +=，()91910x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，0x >，0y >，故96x y y x +≥=，当且仅当9x y y x=，即12,4x y ==时取等号，故10616x y +≥+=，x y +最小值是16，由不等式a x y ≤+恒成立可得16a ≤.a 的取值范围是(],16-∞，故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13【答案】ACD【解析】因为0x >，所以21113153x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，由任意0x >，231xa x x ≤++恒成立， 所以15a ≥，符合条件有15，12，13，故A 、C 、D 对；11015<，故B 错；故选：ACD考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【答案】B【解析】如图，设AB x =，由矩形()ABCD AB AD >的周长为4，可知(2)AD x =-．设PC a =，则()DP x a =-．,90,APD CPB ADP CB P AD CB '''∠=∠∠=∠=︒= ，,Rt ADP Rt CB P AP PC a '∴∴== ≌．在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD DP AP +=，即222(2)()x x a a -+-=，解得222x x a x-+=，所以22x DP x a x-=-=．所以ADP △的面积11222(2)322x S AD DP x x x x -⎛⎫=⋅=-⋅=-+ ⎪⎝⎭．所以33S ≤-=-2x x =时，即当x =时，ADP △的面积最大，面积的最大值为3-B ．【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【答案】当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，为198400元．【解析】设池底的一边长为()m 0x x >，则另一边长为48001600m=m 3x x，总造价为y 元，则1600160016001003280160000480y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭160000480198400≥+⨯=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，最低为198400元．【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【答案】长为时总造价最低．【解析】设处理池的长和宽分别为x ，y ，高为h ，总造价为z ，则150xy =，(016,016)x y <≤<≤，(22)400224815080(8001296)120001200012000z x y h yh x y h =+⨯+⨯+⨯=++≥+=+，当且仅当8001296x y =，又150xy =，即16x =<，16y 时取到等号，故长为时总造价最低．【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．【解析】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F ，则BE ，2a AE DF ==，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=所以()2300a b a +=，则30022a b a =-，所用篱笆长为2l a b =+300222a a a =+-300322a a =+≥30=，当且仅当300322aa =，即()10m a =，()10mb =时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x+取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由题意可知，20x >，∴2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，即221x x+取最小值时x 的取值为1±．故选：B ．2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】由题意1x y +=≥，解得14≤xy ，等号成立当且仅当12x y ==.故选：B.3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．2【答案】C【解析】因为0x >，所以224y x x =+=≥，当且仅当22x x=，即1x =时等号成立，所以22y x x=+的最小值是4.故选：C.4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】正数a ，b 满足41a b +=，则11114()2244444)(b a a b a b a a b b +=+=≥++++，当且仅当44b aa b =，即142a b ==时取等号，所以当11,82a b ==时，114a b +取得最小值4.故选：C5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或3【答案】B【解析】由0x >，得244113x x x x x -+=+-≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，所以24-+x x x的最小值为3．故选：B.6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+【答案】D【解析】因为,AD a BD b ==，所以,22a b a b OF OC OD +-===，在Rt DOF △中，DF ==又CD AB ⊥，所以CD ===在Rt CDO △中，DE OC ⊥，故ED OC OD DC ⋅=⋅，得到22a bOD DC ED a b OC -⋅===+所以2abCE a b===+，所以CE DF ≤，即2ab a b +，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为2【答案】CD【解析】对于选项A ，当=1x -时，12x x+=-，故A 错误；对于选项B ，()()222211x x x x x -=-+=--+，所以()2x x -的最大值为1，故B错误；对于选项C，122222x x x x -+=+≥=，当且仅当122xx=，即0x =时，等号成立，故C 正确.对于选项D ，222277222222x x x x ++=+-≥=-++，当且仅当22722x x+=+，即22x =时，等号成立，故D 正确.故选：CD.8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】由,R a b ∈，则222a b ab +≥，得222a b ab +≥，A 正确；由,R a b ∈，取1,2a b =-=，则1202b a a b +=--<，故B 错误；由于,R a b ∈，则22()024a b a b ab +-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，则2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故C 正确；由于2222()0224a b a ba b ++-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.【答案】9【解析】由1x >，得10x ->，于是21616161119111x x x x x x x -+=+=-++≥=---，当且仅当1611x x -=-，即5x =时取等号，所以2161x x x -+-的最小值为9.故答案为：910．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.【答案】300【解析】购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++，则平均成本()150112600P x x x x =++≥+=，当且仅当150600x x=，即300x =时，平均成本最低为2万元.故答案为：300.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若关于x 的不等式225x x a +≥-恒成立，则min 2(2)5x x a+≥-，因为x a >，故2222()2242x x a a a a x a x a +=-++≥=+--，当且仅当1x a =+时取等，故得425a +≥，解得12a ≥.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y +的最小值．【答案】（1）23；（2）2 ；（3）1+【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=，当且仅当343x x =-，即2(0,1)3x =∈时取等号．故(43)x x -取得最大值43时，x 的值为23．（2）2222122311x x x x y x x +-++-+==--2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥+-．（1x >）当且仅当311x x -=-，即1(1,)x =∈+∞时取等号．故函数的最小值为2．（3）x ，R y +∈，()1311313112144y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当y =，即)21x =，(23y =时取等号．∴13x y +的最小值为113．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数数学31,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.【答案】(1)3-；(2)(43-【解析】（1）由题意得：(22a b =+=2≤=6ab ≤-所以132S ab =≤-a b =时，等号成立，所以直角三角形ABC面积的最大值为3-；（2）因为a b +≤所以21a b =+≤)21≥=，所以(2243S a b =+≥-，当且仅当a b =时，等号成立，所以正方形ABDE 面积的最小值为(43-.。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。
1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。
- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。
2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。
- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。
3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。
- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。
4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。
- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。
常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。
2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。
3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。
4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。
5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。
同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。
初高中数学衔接知识(不等式)
解：原不等式可化为： (x 3)(x 2) 0 ，
于是：
x
x
3 2
0 0
或
x x
3 2
0 0
x x
3或 2
x x
2019年7月30日星期二
初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一 次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二 次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高 中新课标中关于不等式的必备知识．
2019年7月30日星期二
一、一元二次不等式及其解法
【例 1】解不等式 x2 x 6 0 ．
2019年7月30日星期二
三、含有字母系数的一元一次不等式
2019年7月30日星期二
三、含有字母系数的一元一次不等式
【例 7】求关于 x 的不等式 m2 x 2 2mx m 的解．
解：原不等式可化为： m(m 2)x m 2
(1) 当 m 2 0即m 2时， mx 1，不等式的解为 x 1 ； m
(2) x2 4x 4 0
(3) x2 x 2 0
解：(1) 不等式可化为 (x 2)(x 4) 0
∴ 不等式的解是 2 x 4 .
(2) 不等式可化为 (x 2)2 0
∴ 不等式的解是 x 2 .
(3) 不等式可化为 (x 1)2 7 0 ． 24
3 2
x
3或x
2
.
所以，原不等式的解是 x 3或x 2 ．
不等式的解题方法与技巧
不等式的解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念，解不等式不仅是中学阶段数学学习的一部分，也是高中阶段进一步学习函数与分析的基础。
下面将介绍一些解不等式的常用方法和技巧。
1.基本不等式性质对于两个不等式a<b和c<d，可以根据其性质进行合并或分拆：-合并：a+b<c+d-分拆：a-b>c-d2.不等式化简对于复杂的不等式，可以通过一系列的等价变形将其化简为简单的形式。
常用的等价变形方法有：- 同乘或同除以一个正数：如果a<b，则对于正数x，有ax<bx；如果a<b且x>0，则有ax<bx；如果a<b且x<0，则有ax>bx。
-同加或同减一个具体数：如果a<b，则对于任意实数x，有a+x<b+x，即a+c<b+c；同理，a-c<b-c。
-综合运用：通过多次变换，将不等式化为更简洁的形式。
3.不等式乘法法则不等式乘法法则用于解决乘法不等式的问题。
对于两个正数a和b，以及一个不等式c<d，有以下结论：- 如果a<b且c<d，则ac<bd。
- 如果a<b且c>d，则ac>bd。
- 如果a<b且c=d，则ac=bd。
注意：当a和b中至少一个为负数时，上述法则不适用。
4.不等式绝对值性质当不等式中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。
对于实数a和b，可以根据绝对值性质得到以下结果：-如果，a，<，b，则a^2<b^2-如果，a，>，b，则a^2>b^2-如果，a，=，b，则a^2=b^25.不等式取正负号问题当不等式的系数为负数时，可以通过取正负号的方式，将其转化为求解不等式的问题。
具体方法如下：-如果a<0，则对不等式两边同时取负号，得到-a>-b。
-如果a>0，则对不等式两边同时取正号，得到a<b。
6.解多项式不等式对于多项式不等式，可以通过求解其零点，确定其正负性。
中学学习常用不等式技巧 不等式问题解决之道
中学学习常用不等式技巧不等式问题解决之道中学学习常用不等式技巧 - 不等式问题解决之道在中学数学学习中，不等式是一个重要且常见的概念。
它与等式相比，更能反映数的大小关系，因此对于解决实际问题有着重要的作用。
本文将介绍一些中学学习中常用的不等式技巧，以帮助学生更好地解决不等式问题。
一、绝对值不等式技巧在处理绝对值不等式时，常见的技巧包括：1. 利用绝对值的定义进行分情况讨论。
例如，对于不等式|2x-3|<5，根据绝对值的定义可得到两种情况下的不等式：2x-3<5和-(2x-3)<5，进而求解出x的取值范围。
2. 利用绝对值的性质转化为含有绝对值的等式。
例如，对于不等式|2x-5|>3，可以将其转化为两个不等式：2x-5>3或2x-5<-3，再求解得到x的取值范围。
二、平方不等式技巧平方不等式是中学数学中常见的一类不等式。
在解决平方不等式时，有以下几种常用的技巧：1. 利用平方的性质进行不等式变形。
例如，对于不等式x²-4x>0，可以将其变形为x(x-4)>0，再根据乘法的性质求解得到x的取值范围。
2. 利用平方的非负性进行分情况讨论。
例如，对于不等式x²-5x+6≥0，可以将其分解为(x-2)(x-3)≥0，再根据乘积非负的条件讨论两种情况下x的取值范围。
三、倒数不等式技巧在处理倒数不等式时，常常会用到以下的技巧：1. 利用倒数的性质进行不等式变形。
例如，对于不等式1/(x-2)>3，可以将其变形为x-2<1/3，再求解得到x的取值范围。
2. 利用倒数的符号性质进行分情况讨论。
例如，对于不等式1/(x+2)>0，根据倒数的性质可知，当x+2>0时，不等式成立；当x+2<0时，不等式不成立。
四、复合不等式技巧在解决复合不等式问题时，可以利用以下的技巧：1. 利用复合不等式的性质进行变形。
例如，对于不等式-2<x-3<4，可以将其分解为-2<x-3和x-3<4，再分别求解得到x的取值范围，并求其交集。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习专题强化1 基本不等式的应用技巧(学生版)
强化专题1基本不等式的应用技巧【方法技巧】1.应用基本不等式“四”勿忘①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数.②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值.③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件.④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同.2.在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．【题型目录】一、配凑法求最值二、常数代换法求最值三、展开后求最值四、换元法求最值五、消元法求最值六、二次与二次（或一次）的商式的最值七、运用基本不等式后解一元二次不等式最值八、利用两次基本不等式求值九、平方后使用基本不等式【例题详解】一、或配凑法求最值1．已知函数y＝x－4＋9x＋1(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于() A．－3B．2C．3D．82．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．93．已知x >2，求x ＋4x －2的最小值．4．已知x <3，求4x －3＋x 的最大值．5．求函数f (x )＝2x (5－3x )，x ∈(0，53)的最大值.二、常数代换法求最值1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是()A ．72B ．4C ．92D ．52．已知22a b -=，且02a b <+<，则112a b a b++-的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．53．若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（）A ．4B ．8C ．D ．4．已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为___________.5．已知0,0,21a b a b >>+=，求11343a b a b+++的最小值．三、展开后求最值1．若xy 是正数，则的最小值是()A ．3B ．72C ．4D ．922．若a ，b ()A ．7B ．8C ．9D ．10四、换元法求最值1．函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值是________.2．已知正数,a b 满足34318a b a b+++=，则3a b +的最大值是___________.3．已知实数x ，y 满足223x y +=，则2211(2)(2)x y x y ++-的最小值为__________．4．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？五、消元法求最值1．负实数x 、y 满足2x y +=-，则1x y-的最小值为（）A ．B ．1-C ．D ．2．若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________.3．若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝x ，则3x ＋1y －3的最小值为________．六、二次与二次（或一次）的商式的最值1．若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．当x >3时，求函数y ＝2x 2x －3的值域为__________．3．当0x >时，234xx +的最大值为__________．七、运用基本不等式后解一元二次不等式最值1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．若00223a b ab a b >>++=，，，则a +2b 的最小值是___________.3．已知x ，*y ∈R ，若8x y xy ++=，则xy 的最大值为_________4．已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围.八、利用两次基本不等式求值1．若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________．2．已知a ，b ∈R ，且02b a >>，则21(2)a a b b +-的最小值是_____．3．若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22九、平方后使用基本不等式1．若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为________．2．已知正数x ，y 满足21x y +=，则2241x y xy++的最小值为________．。
基本不等式的各种求解方法和技巧
基本不等式一、知识梳理二、极值定理（1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ；若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，max ()ab = .（2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ；若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>=，M 为常数，min ()a b += .(,)2a b a b R ++≤∈，求最值时应注意以下三个条件：应用基本不等式的经典方法方法一、直接利用基本不等式解题例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．112ab > B ．111a b +≤ C 2≥D. 2211+8a b ≤（2）不等式2162a bx x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．(2,0)− B ．(,2)(0,)−∞−+∞ C ．(4,2)−D ．(,4)(2,)−∞−+∞（3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11x y +的最大值为 ( )A ．2B ．32C ．1D ．12方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1445y x x =+−的最大值；（2）已知，则的取值范围是（） A ． B ． C． D ．方法三：“1”的巧妙代换命题点1、“1”的整体代换例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是() A ．245 B ．285 C ．5D ．6（2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值.0,2b a ab >>=22a b a b +−(],4−∞−(),4−∞−(],2−∞−(),2−∞−命题点2、“1”的部分代换（3）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1x x y +的最小值.（4）（2013·天津高考理科）设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b +取得最小值.命题点3、“1”的变形代换（5）设0,1a b >>，若3121a b a b +=+−，则的最小值为 ．（6）已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++−的最小值为________.（7）设10<<x ，,a b 都是大于0的常数，则x b x a −+122的最小值为 .方法四： 消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）例4、（1）已知,,x y z R +∈，230x y z −+=，则2y xz 的最小值 ．（2）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z −+−=,则当xy z 取得最大值时, 212x y z +−的最大值为 .方法五：“之和”与“之积”的互化例5、（1）已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，则1ab的最小值 .（2）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 .方法六、连续两次使用基本不等式求最值例6、（1）（2009重庆卷）已知0,0a b >>，则11a b++ ）A ．2B ．C ．4D ．8（2）已知22log log 1+≥a b ，则39a b+的最小值为__________（3）若 的最小值为 ．方法七、利用基本不等式求分式函数最值例7、（1）当1x >−时，求1()21f x x x =++的最小值.（2）求函数y =的值域。
基本不等式几种解题方法
基本不等式几种解题方法
嘿，咱今儿就来唠唠基本不等式的那几种解题方法哈！
你可别小瞧了这基本不等式，它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多数学难题的大门呢！
比如说，咱可以用它来求最值呀。
就好比你要去一个地方，你得找条最短的路走，这基本不等式就能帮你找到那条“最优路径”。
咱先说说直接法吧。
就像你看到一个苹果，直接拿起来就吃，简单直接。
看到题目里有符合基本不等式条件的式子，咱就直接套进去，算出最值来。
再说说构造法。
这就有点像搭积木啦，你得把不同的部分巧妙地组合在一起，构造出能用上基本不等式的形式。
这可得动点小脑筋呢，但一旦构造成功，那可就豁然开朗啦！
还有换元法，哎呀呀，这就像是给题目变个魔法。
把那些复杂的式子通过换元变得简单明了，然后再用基本不等式来解决。
你想想看，数学的世界多奇妙呀！一个小小的基本不等式，居然有这么多种玩法。
咱就拿一道题来说吧，比如求某个式子的最小值。
要是直接硬算，那可麻烦死了，算半天还不一定能算对。
但要是咱用对了方法，用基本不等式这么一搞，嘿，答案就轻轻松松出来啦！
在解题的过程中，咱可得细心点儿，就像走钢丝一样，不能有一点儿马虎。
每个条件都得看清楚，每个步骤都得算仔细，不然就会前功尽弃呀。
而且呀，多做几道题，你就会发现，这些方法用起来越来越顺手，就像你熟悉了回家的路一样。
所以呀，同学们，可别小瞧了这基本不等式的几种解题方法哟！它们可是咱数学学习道路上的好帮手呢！好好掌握它们，让我们在数学的海洋里畅游无阻吧！相信我，当你熟练运用这些方法的时候，你会感受到数学的魅力和乐趣，那感觉可棒啦！加油吧！。
第06讲 基本不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第06讲基本不等式【学习目标】1.掌握基本不等式),02a b a b +≥>2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题．【基础知识】一、几个重要的不等式1.ab ≤a ＋b 2(a >0，b >0)2.a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．3.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．4.ab (a ，b ∈R )．5.a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .二、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1.如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)2.如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)3.应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a ，b 均为正数.(2)二定值：只有ab 为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.4.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．凑配法求最值的基本技巧：①配凑系数；②配凑常数；③配凑分子；④配凑分母；⑤配凑项数5.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．四、基本不等式的其他应用1.基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小2.一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .3.利用基本不等式证明不等式的策略从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.4.构造不等式求范围利用a b +≥或ab≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭将式子转化为含ab 或a+b 的一元二次不等式，将ab ，(a+b)作为整体解出范围5．函数法求最值：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.6.利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【考点剖析】考点一：利用基本不等式判断命题的真假例1．(2022学年江西省赣州市赣县高一下学期开学考试)下列说法正确的为()A ．12x x+≥B ．函数224x y +=4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8考点二：利用基本不等式比较大小例2．(2022学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期中)若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则()A ．2a b +B ＜2a b +C2a b +D 2a b +考点三：利用基本不等式求最值例3．(2022学年吉林省延边州高一上学期期末)已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是()A ．B ．2C ．2D考点四：利用基本不等式求范围例4．(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)设0x >，0y >，且()()114x y --≥，求xy 的取值范围考点五：利用基本不等式证明不等式例5．已知,,a b c 均为正实数，且满足 3.a b c ++=证明：(1)2223b c a a b c++≥；．考点六：利用基本不等式求解恒成立问题例6.已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，若不等式21x y +≥m 2+7m 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．﹣8≤m ≤1B ．m ≤﹣8或m ≥1C ．﹣1≤m ≤8D ．m ≤﹣1或m ≥8考点七：基本不等式在实际问题中的应用例7.(2022学年河北省唐县第一中学高一下学期5月月考)冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x (单位：km )，经过市场调查了解到：每月土地占地费1y (单位：万元)与(1)x +成反比，每月库存货物费2y (单位：万元)与(41)x +成正比；若在距离车站5km 处建仓库，则1y 与2y 分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x 的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．【真题演练】1．(2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高一下学期期末)若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为()A ．4B ．2C ．12D ．142.(2022学年福建省三明第一中学高一上学期学段考)已知0a >，0b >，2ab =，则下列结论一定成立的是()A ．4a b +≥B ．4a b +≤C ．224a b +>D ．11a b+≥3．(2022学年贵州省六盘水红桥学校高一上学期期中)设x ，y ，z 为正实数，满足0x y z -+=，则2y xz 的最小值是()A ．4B ．2C ．12D ．144.(2022学年安徽省阜阳市太和县三校高一上学期期中联考)下列命题中正确的是()A ．当1x >时，12x x +≥B ．当0x <时，12x x +≤-C ．当01x <<时，12x x +≥D ．当2x ≥时，222x x +≥5.(2022学年甘肃省金昌市永昌县高一上学期期末)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则对于14a b +，下列说法准确的是()A ．取得最小值时a ＝23B ．最小值是5C ．取得最小值时b ＝23D ．最小值是926.(2022学年安徽省宣城市泾县中学高一上学期10月月考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为2760001820v F v v l =++.如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为__________辆/时.7.(2022学年广西河池市高一上学期八校联考)已知000a b c >>>，，，求证222a b c ab bc ca ++≥++.8.(2022学年湖北省孝感市高一上学期期中联考)已知0,0,x y >>且1x y +=，求44x y x y+++的最小值．【过关检测】1.(2022学年四川省南充市白塔中学高一下学期月考)已知0ab >，1a b +=，则11a b +的最小值为()A ．0.5B ．1C ．2D ．42.(2022学年江西省丰城中学高一下学期入学考试)已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则()()()x y y z z x +++的最小值为()A ．2B ．4C ．6D ．83.(2022学年四川省内江市威远中学校高一下学期阶段性测试)当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(]2-∞，B ．[)2+∞，C ．[)3+∞，D ．(]3-∞，4.(2022学年河南省开封市高一上学期期末)已知x ，y 都是正数，则下列命题为真命题的是()A ．如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最大值2PB ．如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最小值214SC ．如果积xy等于定值P ，那么当x y =时，和2x y +有最小值D ．如果和2x y +等于定值S ，那么当2x y =时，积xy 有最大值218S 5.(多选)(2022学年山东省枣庄市滕州市高一上学期期末)设正实数m n ､满足2m n +=，则()A ．12m n +的最小值为B 的最小值为2C 的最大值为1D ．22m n +的最小值为26.(多选)(2022学年湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中)有下列4个关于不等式的结论，其中正确的是()A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥C ．若x ∈R ，则12x x +≥D ．若1a >，则1(1)14a a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭7.(2022学年上海市延安中学高一上学期期中)已知0a >，0b >，2a b +=，则在下列不等式①1ab ≤；②222a b +≥；④112a b+≥；⑤333a b +≥其中恒成立的是___________.(写出所有正确命题的序号)8.已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．9.(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)(1)已知0x >，0y >，112x y+=，求x y +的最小值；(2)已知102x <<，求(12)y x x =-的最大值.10.(2022学年江苏省南通市海安市高一上学期期末)为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为21440cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm .设直角梯形的高为cm x .(1)当20(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)？。
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。
基本不等式的公式有许多，其中最常用的是加法不等式、乘法不等式、减法不等式和比较不等式。
加法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a+b≥0。
加法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a+b≥0转化为a≥-b，从而得出a的取值范围。
乘法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有ab≥0。
乘法不等式的解法是：若a、b是任
意实数，则可以将ab≥0转化为a≥0或b≥0，从而得出a、b的取值范围。
减法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a-b≥0。
减法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a-b≥0转化为a≥b，从而得出a的取值范围。
比较不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a>b或a<b。
比较不等式的解法是：若a、b
是任意实数，则可以将a>b或a<b转化为a-b>0或a-b<0，从而得出a的取值范围。
基本不等式的公式和解法可以帮助我们解决许多复杂的问题，它们在生活中也有着重要的作用。
比如，当我们在购物时，可以利用基本不等式的公式和解法来比较价格，从而节省购物费用。
此外，基本不等式的公式和解法还可以帮助我们解决许多其他的问题，比如计算投资回报率、计算贷款利息等。
总之，基本不等式的公式和解法对我们的生活娱乐有着重要的意义，它们可以帮助我们解决许多复杂的问题，节省购物费用，计算投资回报率和贷款利息等。
初高中知识衔接（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）
初高中知识衔接（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）初高中知识衔接知识点一：简单不等式（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）1.一元一次不等式的解法：（解方程→画图形→写解集）（a>o 且0>?时，简记为：开口向上时，小于夹中间，大于走两边）设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2-=?，则2.含有绝对值的不等式的解法：①等价转化②平方法（两边非负时）③分类讨论法a x a )0a (a x <<-?><，图示：___________ a x a x )0a (a x >->或. 图示：___________3．分式不等式的解法：移项通分，化除为乘，分母不为0 例1解出以下5个不等式（1）2230x x -++≥ （2）2410x x -+>（3）213x -< （4）2103x x+<- （5）12x x-≥例2：若不等式210ax x ++>的解集为12x x t ??-<<，则a =________,t =_______.变式2：已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<="">x 的不等式02>+-c bx ax 的解集是_____________________________.知识点二二次函数二次方程二次不等式一、选择题1.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 ( ) C.f （1）≤25 D.f（1）＞252.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三 D.等腰三角形3.如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（）A. f(2)<f(1)<f(2)<f(4)<f(2)<f(1)<="" p="">二、填空题5.函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是______，最大值是________. 6．已知函数)32lg()(2--=x x x f ，则)(x f 的单调递增区间为三、解答题7.方程21222320,kx x k x x ---=有两根且（1）12,x x 都小于零；（2）都小于1；（3）121x x <<；（4）1220x x -<<、（5）恰有一根在（1，2）区间内。
基本不等式九个方法
基本不等式九个方法
基本不等式求解方法
不等式是数学中用于比较两个表达式大小关系的工具。
基本不等式求解方法有九种，每种方法都适用于不同的类型不等式。
一、代入法
代入法是最简单的不等式求解方法。
将一个已知的值代入不等式中，如果不等式仍然成立，则此值即为不等式的解。
二、两边同加或同减
在不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式仍然成立。
这种方法可以简化不等式或消除分母。
三、两边同乘或同除
在不等式两边同时乘以或除以相同的正数，不等式仍然成立。
但需要注意，如果乘以或除以负数，不等号方向将改变。
四、利用性质化简
利用不等式的性质，如传递性、反对称性、可加性、可乘性等，可以简化或化解不等式。
五、转化为等价不等式
将不等式转化为等价形式，即不等号方向不变的不等式。
这种
方法可以将复杂不等式转换为简单形式。
六、平方或开方
对于含未知数平方或方根的不等式，可以平方或开方（注意开
方时不等号方向可能改变），将不等式化为可解的形式。
七、分离系数法
对于含有系数的不等式，可以将未知数的系数提取出来，分离
在不等式的一侧，使不等式化简为求解系数的不等式。
八、判别式法
对于二次回不等式（二次方程形式），可以应用判别式法判定不等式的解集。
判别式为正则有两实根，为零则有一重根，为负则无实根。
九、数轴法
对于线性不等式，可以在数轴上标出不等式对应的解集。
这种方法形象直观，适用于简单的不等式求解。
以上九种方法是基本不等式求解的常用方法，熟练掌握这些方法对于解决不等式问题至关重要。
常见基本不等式的解法
常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
如（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
（答：{}|12x x x ≥=-或）；（2）不等式(0x -≥的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x ⋅>的解集为______（答：()[),12,-∞+∞ ； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8）二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
如（1）解不等式25123x x x -<---（答：()()1,12,3- ）；（2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式02ax b x +>-的解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞ ）.三、绝对值不等式的解法：（1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式312242x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞ ）（4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。
初高中衔接不等式
1.一元二次不等式【要点梳理】要点一：一元二次不等式的概念一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式. 一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的x 的值.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 要点诠释：一元二次不等式的解集一般借助相应的方程及图象（抛物线）来研究. 要点二：一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.2.分式不等式【要点梳理】要点一：分式不等式解法对这种分式不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而化繁为简.（1）整理：移项保证不等式右边为零，整理成一般形式；（2）等价转化：转化为整式不等式；要点二：一般形式：要点诠释：分式不等式一定要注意转化的等价性.3. 绝对值不等式【要点梳理】要点一：绝对值不等式解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .4.根式不等式【要点梳理】要点三、无理不等式的解法无理不等式:如果函数f(x)是关于x 的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式.要点诠释： (1))(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(x g x f x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(x g x f x g (2))(x f >g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 或 ⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(2x g x f x g 或⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f (3))(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法例1.解下列一元二次不等式（1）250x x -<；（2）2440x x -+>；（3）2450x x -+-> 举一反三：【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解不等式f (x )＞3.【变式2】解不等式：2666x x -≤--<类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2．求不等式2212()x ax a a ∈－＞R 的解集．举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：21()10(0)x a x a a -++<≠【变式2】解关于x 的不等式：21ax x -+>0【变式3】解下列关于x 的不等式 （1）x 2-2ax ≤-a 2+1； （2）x 2-ax+1>0； （3）x 2-(a+1)x+a<0；类型三：一元二次不等式的应用例3．不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解.举一反三：【变式1】不等式2120ax bx ++>的解集为{|32x x -<< }，则a =_______，b =________.【变式2】已知220ax x c ++>的解为1132x -<<，试求a ，c ，并解不等式220cx x a -+->.【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.类型四：一元二次不等式中的参数例4．已知关于x 的不等式()22(45)4130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.举一反三：【变式1】若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.【变式2】已知不等式22412ax x a x ＋＋＞－对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．类型五：分式不等式例5.解下来不等式： （1）102x x ->+ ； （2）1232x x +≥-.举一反三：【变式1】解下列不等式：（1）3402x x +≥- ； （2）8223x x +>+.类型六：分式不等式的应用例6.类型七：绝对值不等式例7. 解不等式|8－3x|＞5；举一反三：【变式1】解不等式4＜|1－3x|≤7．|x ＋1|＞2－x ．【变式2】已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．类型八：绝对值不等式的应用例8. 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为举一反三：【变式1】解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R)【变式2】已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．【变式3】解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．【变式4】解不等式|2x －1|＞|2x －3|．类型九：无理不等式例9．解不等式12-x ≤x-2.举一反三：【变式】解不等式02)1(≥+-x x例解不等式－＋≥．8 3212||||x x 的值？求或的解集为：不等式b a x x bx ax ,3211-<≥≥++好玩的课后作业求：.082;0622≤--≥-+x x x x020;010322≤++-≥++-x x x x03203222≤-+-≤++x x x x01)1(0)12(222<+++≥+++-x aa x a a x a x （0<a<1）3)3(.2?,31.2x ).1(032.122≥++-≤≤-≤--a x a x a x a ax ax 求若不等式的解集为）（的取值范围？所有实数都满足，求对316231623162<+->+-=+-x x x x x x031246137032430130342011<++-≥+-≤+-≥+-<+->+-x x x x x x x x x x x x1. 绝对值方程与绝对值不等式232323>+<+=+x x x2323121223524323112523712+≤++≥+≤++≥++≤+-≥+≤+≥+x x x x x x x x x x x x x x77x 32x 67x 3x 72x 3x 7x 3x ≥-+-≤-+--+--+-求求的最小值求的最小值求求、1.解不等式：0453>---x x ．2.5x >+32x <-。
基本不等式的解法
基本不等式的解法如下：
方法一：代数方法。
通过变形和化简等操作，将不等式转化为更简单的形式，从而得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 5 > 3x - 1，可以移项得到2x - 3x > -1 - 5，然后化简为-x > -6，最后根据-x的系数为负数，将不等式两边的符号取相反，得到x < 6。
方法二：图像法。
将不等式转化为图像的形式，通过观察图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x > -2。
然后在数轴上标出-2和1、2、3等点，根据不等号的符号确定解集。
方法三：比较法。
通过比较两个不等式的解集来确定它们是否相同。
例如，对于不等式x + 2 > 0和x + 1 > 0，可以通过比较它们的解集来确定它们是否相同。
方法四：同解变形法。
将不等式进行同解变形，使其转化为另一个不等式，然后求解新的不等式。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x + 1 > -1的形式，然后根据同解变形法则得到x + 1 > 0，从而得到原不等式的解集。
需要注意的是，基本不等式的解法有很多种，不同的方法适用于不同的不等式类型和问题背景。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
高一基本不等式各种解题方法全部
高一基本不等式各种解题方法全部
1.利用基本不等式的定义，即对于任意非负实数 $a,b$，有$a^2+b^2geq 2ab$，可得出不等式的解法。
2. 利用不等式的推论，如柯西不等式、均值不等式等，将不等式转化为等式或者更加简单的形式，从而解决问题。
3. 利用逆向思维，即将不等式中的变量进行换元，或者将不等式中的条件进行反转，从而转化为更简单的形式。
4. 利用几何意义，将不等式中的变量或者条件进行几何化，从而更加直观地理解和解决问题。
5. 利用数学归纳法，将不等式的证明过程进行归纳，从而推广到更加普遍的情况。
6. 利用反证法，即假设不等式不成立，从而导出矛盾，进而得出不等式成立的结论。
7. 利用数学分析方法，如导数、积分等，对不等式进行求解，并得出最优解。
8. 利用不等式的特殊性质，如对称性、单调性等，进行分析和求解，从而得出不等式的结论。
以上这些方法都可以用来解决高一基本不等式的各种问题。
对于不同的题目，需要根据其特点和要求选择合适的方法进行求解。
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方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。
本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。
一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。
根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。
5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。
选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。
二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。
以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。
2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。
3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。