高中数学不等式解法15种典型例题
高中不等式题目30道
高中不等式的题目:1. x2+3x+2/x2+2x+1 的取值范围是什么?2. 对于实数x,求解不等式|x-1|+|x+3|≥5。
3. 若不等式(k+1)x2-2(k+2)x+4>0 对任意实数x 恒成立,求k 的取值范围。
4. 已知不等式ax2-2x+b<0 的解集是{x|1<x<3},求a、b 的值。
5. 求下列不等式的解集:(1)3x2-7x-10≥0(2)4x2-12x+9≤0(3)4-3x-5x2≥0(4)6x-10x2≥06. 解不等式|2x+1|+|3x-4|≥5。
7. 求不等式-2x2+4x-3<0 的解集。
8. 若不等式(a-1)x2+2(a-1)x-3≤0 对于任意实数x 都成立,求a 的取值范围。
9. 解不等式|x-3|-|2x+1|≤x+2。
10. 求不等式x2+2x+3≥2x2+ x的解集。
11. 求下列不等式的整数解:(1)5x-7<3x+1(2)3(x-1)≥7(x-4)(3)10-4(3x-9)≤2(9-4x)(4)5(6x+1)-7(3x+2)≥012. 求不等式-3≤x< 4 的整数解。
13. 解不等式(x-5)(x+7)≥8(x-3)。
14. 求不等式4(3x-7)≥24(x-5)的解集。
15. 求不等式|2x-3|≤x+1 的解集。
16. 求不等式-2x+3>10-3x的解集。
17. 求不等式3(2x-4)≥5(x-1)的解集。
18. 求不等式2(4x-2)≥3(x+1)的解集。
19. 求不等式-3(x+2)≥4(x-3)的解集。
20. 求不等式5(x-1)≥2(x+2)的解集。
21. 求不等式-4(x-3)≥5(x-2)的解集。
22. 求不等式2(3x-1)≥5(x+1)的解集。
23. 求不等式6(x+1)≤7(x-2)的解集。
24. 求不等式5(x-1)≤2(x+3)的解集。
25. 求不等式3(x+1)≥5(x-1)的解集。
高中数学不等式解法专项训练
1、 lg( x 2 3) lg(3 x 5) ;2、 log 163 x x 2
1 5 lg x 2 2 ; 3、 x 1000 .4、 log 5 x log 5 x 1. x 2
5、 lg x 4 lg x lg 2 x 1 ;6、 log 2 x 2 log 4 x log8 x 7 ;7、 2 lg x lg 7 lg14 ;
6、
x x 3 0 9 x2
7 、 0 x
1 1 8 、 x
Adobe Acrobat 9 Pro.lnk
a x 1 x 2 3x 2 1 9 、 0 10 、 x2 x 2 7 x 12
x 2 9 x 11 7 x2 2x 1
2
四、强化训练:
1、求方程 log 2 4 4 3 log 2 2
x
x 1
3 的解;2、解方程 log 3 x log 3 (3 x) 1 ;
3、已知2 lg
x y x lg x lg y, 求 的值. 2 y
4、设方程 log 3 x x 3 0 的根为 x1 ,方程 3 x 3 0 的根为 x 2 求 x1 x 2 的值;
2
8、 4 x x 5
2
9、 x a
1 x 1 0 (a 1) a
3
二、解下列分式不等式
x 3 1、 0 2 x 2x 1 2、 1 x3
x 2 3x 2 3、 2 0 x 2x 3
x2 2x 1 4、 0 x2
x 1 x 2 x 6 5、 0 2 x 3
高三数学不等式解法15个典型例题doc
高三数学不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式:(1)015223>--x x x ;(2)0)2()5)(4(32<-++x x x .分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(<x f )可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况.解:(1)原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如下图.典型例题二例2 解下列分式不等式:(1)22123+-≤-x x ; (2)12731422<+-+-x x x x 分析:当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时,要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或(1)解:原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高中数学基本不等式的解法十例
解 析 : 由 三 点 共 线 可 得 a b 1 , 观 察 形 式 采 用 “1” 的 代 换 , 故 而
1
1
1 a
1 b
a
b
2
b
a
,等式右侧积为定值,故而利用积定和最小法则可
ab
1
ab
得 : b a 2 ba 2 , 当 且 仅当 b aab1 时 取 等号 。故 而 可 得
a b ab
2x 2y
42x
y
2
2x 2y 42x y 4 , 当 且 仅 当
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
2x 2y 2x y
42x y
2x 2y
2 ,亦即
x
y
0 3 2
时取等号。此时可得 4 x
3y min
9 2
。
问题 3:方程中的基本不等式
解题思路:将需要利用不等式的项移到方程的一边,利用基本不等式求解即可。
3
2
3 a
2 b
2a
3b
12
9b a
4a b
,观察分子可得分子积为定值,根据积定和
ab
6
6
最小法则可得: 9b 4a 2
ab
9b a
4a b
12
,当且仅当
9b a
4a b
a b
3 2
1
时取等号,故
而可得
3
2
12
9b a
4a b
4
。
ab
6
(不等式与解三角形)例题 7: .
中,角
的对边分别为
a
2
b
2
ab
可
得
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式:(1)015223>--x x x ;(2)0)2()5)(4(32<-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(<x f ) 可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 解:(1)原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或 说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如图.典型例题二例2 解下列分式不等式:(1)22123+-≤-x x ; (2)12731422<+-+-x x x x 分析:当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时,要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ; ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f (1)解:原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高中不等式例题(超全超经典)
一.不等式的性质:二.不等式大小比较的常用方法:1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法 ;8.图象法。
其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。
三.重要不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”)(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”); 若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0>ab ,则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”)4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧:技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。
高中不等式例题(超全超经典)
一.不等式的性质:二.不等式大小比拟的常用方法:1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商〔常用于分数指数幂的代数式〕;3.分析法;4.平方法;5.分子〔或分母〕有理化; 6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法;8.图象法。
其中比拟法〔作差、作商〕是最根本的方法。
三.重要不等式1.〔1〕假设R b a ∈,,那么ab b a 222≥+ (2)假设R b a ∈,,那么222b a ab +≤〔当且仅当b a =时取“=〞〕2. (1)假设*,R b a ∈,那么ab b a ≥+2(2)假设*,R b a ∈,那么ab b a 2≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕(3)假设*,R b a ∈,那么22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=〞〕 3.假设0x >,那么12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=〞〕; 假设0x <,那么12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=〞〕 假设0>ab ,那么2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=〞〕4.假设R b a ∈,,那么2)2(222b a b a +≤+〔当且仅当b a =时取“=〞〕 注:〔1〕当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大〞.〔2〕求最值的条件“一正,二定,三取等〞(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值X 围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.2ab a +b ≤ab ≤a +b2 ≤a 2+b 22应用一:求最值例1:求以下函数的值域〔1〕y =3x 2+12x 2 〔2〕y =x +1x解题技巧:技巧一:凑项 例1:54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注:此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
高中数学不等式解法15种典型例题
x(2x + 5)(x − 3) 0
把方程
x(2x
+
5)(x
−
3)
=
0
的三个根
x1
=
0,
x2
=
−
5 2
,
x3
=
3
顺次标上数轴.然
后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.
∴原不等式解集为
x
−
5 2
x
0或 x
3
(2)原不等式等价于
(x + 4)(x + 5)2 (x − 2)3 0
或
(x (x
−1)(x − 5) 0, + 2)(x − 6) 0;
1 x 5, − 2 x
;或 6
x x
1,或x −2,或x
5, 6
1 x 5, 或 x −2 或 x 6 .∴原不等式解集是{x x −2,或1 x 5,或x 6} .
解法二:原不等式化为 (x −1)(x − 5) 0 . (x + 2)(x − 6)
例 8 解不等式 4x2 −10x − 3 3 .
分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可.
解答:去掉绝对值号得 − 3 4x2 −10x − 3 3 ,
∴原不等式等价于不等式组
− 3 4x2 −10x
4x
2
− 10 x
−
3
−3
3
4x2
4
x
2
−10x −10x
典型例题九
例 9 解关于 x 的不等式 x2 − (a + a2 )x + a3 0 . 分析:不等式中含有字母 a ,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样:求出方程 x 2 − (a + a 2 )x + a3 = 0 的根,然后写出不等式的解,但由于方程的根含有字母 a ,故需比较两根的大小,从而引出讨论.
解不等式例题50道
解不等式例题50道一、一元一次不等式1. 解不等式:2x + 5>9- 解析:- 首先对不等式进行移项,将常数项移到右边,得到2x>9 - 5。
- 计算右边式子得2x>4。
- 两边同时除以2,解得x > 2。
2. 解不等式:3x-1<8- 解析:- 移项可得3x<8 + 1。
- 即3x<9。
- 两边同时除以3,解得x<3。
3. 解不等式:5x+3≤slant2x + 9- 解析:- 移项,把含x的项移到左边,常数项移到右边,得到5x-2x≤slant9 - 3。
- 计算得3x≤slant6。
- 两边同时除以3,解得x≤slant2。
4. 解不等式:4x-7≥slant3x+1- 解析:- 移项得4x - 3x≥slant1+7。
- 即x≥slant8。
5. 解不等式:(1)/(2)x+3>x - 1- 解析:- 移项可得(1)/(2)x-x>-1 - 3。
- 通分计算,((1)/(2)-(2)/(2))x>-4,即-(1)/(2)x>-4。
- 两边同时乘以 - 2,不等号变向,解得x < 8。
6. 解不等式:(2)/(3)x-1≤slant(1)/(3)x+2- 解析:- 移项得(2)/(3)x-(1)/(3)x≤slant2 + 1。
- 计算得(1)/(3)x≤slant3。
- 两边同时乘以3,解得x≤slant9。
7. 解不等式:2(x + 3)>3(x - 1)- 解析:- 先展开括号,得到2x+6>3x - 3。
- 移项得2x-3x>-3 - 6。
- 计算得-x>-9。
- 两边同时乘以 - 1,不等号变向,解得x < 9。
8. 解不等式:3(x - 2)≤slant2(x+1)- 解析:- 展开括号得3x-6≤slant2x + 2。
- 移项得3x-2x≤slant2+6。
- 计算得x≤slant8。
高中不等式例题(超全超经典)
一.不等式的性质:二.不等式大小比较的常用方法:1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法 ;8.图象法。
其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。
三.重要不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”)(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”); 若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0>ab ,则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”)4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧:技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。
高中数学:不等式典型例题(含答案)
一元二次不等式及其解法1.形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式.2.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程21、把二次项的系数变为正的。
(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正)2、解对应的一元二次方程。
(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根)3、求解一元二次不等式。
(根据一元二次方程的根及不等式的方向)一、解下列一元二次不等式:1、0652>++x x2、0652≤--x x3、10732>-x x4、05622<-+-x x5、0542<+-x x6、0442>-+-x x7、0942<-x8、(2)(3)6x x +-<二.填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ;2.不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ; 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ; 5、不等式245x x -<的解集是 ;9、已知集合2{|4}M x x =<,2{|230}N x x x =--<,则集合MN = ; 10、不等式220mx mx +-<的解集为R ,则实数m 的取值范围为 ;11、不等式9)12(2≤-x 的解集为__________. 12、不等式0<x 2+x -2≤4的解集是___________ .13、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________. 三、典型例题:1、已知对于任意实数x ,22kx x k -+恒为正数,求实数k 的取值范围.。
高中数学解解不等式的常用技巧和方法
高中数学解解不等式的常用技巧和方法在高中数学学习中,不等式是一个重要的知识点,也是考试中常常出现的题型。
解不等式需要我们掌握一些常用的技巧和方法,本文将介绍一些常见的解不等式的技巧,并通过具体的例题加以说明。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式,其解法与一元一次方程类似。
我们以以下例题为例:例题1:解不等式2x + 1 > 5。
解法:首先将不等式转化为等价的形式:2x + 1 - 5 > 0,化简得2x - 4 > 0。
然后解这个一元一次方程,得到x > 2。
所以不等式2x + 1 > 5的解集为x > 2。
这个例题中的关键是将不等式转化为等价的形式,然后通过解方程的方法得到解集。
这是解一元一次不等式的常用技巧。
二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较为复杂的不等式形式,我们需要通过一些特殊的方法来解决。
以下是一个例题:例题2:解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
解法:首先我们需要求出不等式的零点,即将不等式转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。
通过因式分解或配方法,我们得到(x - 1)(x - 3) > 0。
然后我们需要绘制函数图像来确定不等式的解集。
绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像,我们可以发现函数的零点为x = 1和x = 3,这两个点将实数轴分成了三个区间:(-∞, 1),(1, 3),(3, +∞)。
然后我们取每个区间内的一个测试点,例如选取x = 0,2,4。
将这些测试点代入原不等式,我们可以得到以下结果:当x = 0时,左边为3,右边为0,不满足不等式;当x = 2时,左边为-1,右边为0,不满足不等式;当x = 4时,左边为3,右边为0,满足不等式。
根据测试点的结果,我们可以得到不等式的解集为x < 1或x > 3。
这个例题中的关键是通过绘制函数图像和选取测试点的方法确定不等式的解集。
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1.222a b ab +≥,其中,a b R ∈,当且仅当a b =时等号成立。
2.a b +≥[),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。
3.常考不等式:22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+,其中(),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。
二、常见问题及其处理办法 问题1:基本不等式与最值 解题思路:(1)积定和最小:若ab 是定值,那么当且仅当a b =时,()min a b +=。
其中[),0,a b ∈+∞ (2)和定积最大:若a b +是定值,那么当且仅当a b =时,()2max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,a b R ∈。
例题1:若实数,a b 满足221a b +=,则a b +的最大值是 .解析:很明显,和为定,当且仅当1a b ==-时取等号。
变式:函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ,若点在直线1mx ny +=上,则mn 的最大值为______。
解析:由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ,将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=,明12m n ==时取等号。
例题2:已知函数()2122xx f x +=+,则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________.解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得,当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。
变式:已知2x >-,则12x x ++的最小值为 。
解析:由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+,明显,积为定,根据和定积最大法则可得:122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号,此时可 例题3:若对任意x >0,xx 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是________.解析:解法1:故而可得分式的解法2:问题2:“1”的代换例题4:若两个正实数x 、y 满足141x y += ,且不等式234y x m m +-<有解,则实数m 的取值范围是 。
八种方法解决高中数学不等式问题
八种方法解决高中数学不等式问题下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题: 例题:224x y ,求34x y 的最大值.【解法一】柯西不等式先备知识:柯西不等式(二维下的)解:3,4,,a b c x d y ,由柯西不等式得:222223434x y x y 所以:3410x y ,当且仅当34x y ,即68,55x y 时,取得最大值10.【总结】柯西不等式常用,建议理解记忆。
【解法二】线性规划解:令34x y t ,则344t y x (将t 看作是直线的截距,转化为求直线截距的范围) ,x y 满足直线方程344t y x ,也满足方程224x y ,因此:显然,由图像得: 2.5104t t .【总结】数形结合典型做法,但是线性规划新高考不考。
建议从数形结合角度理解。
【解法三】判别式法解:令34x y t ,则344t y x ,代入方程:224x y ,得: 223444t x x , 整理,得:222534016816t x tx ………………(*) 一元二次方程(*)有解,则:2232544081616t t210010t t . 【总结】常用方法之一,解决“条件极值”问题的常用手段。
【解法四】三角换元224x y 22144x y ,不妨令:cos ,sin 22x y x x . 则:34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x,(3tan 4 ). 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。
【解法五】对偶式先备知识: 34x y 的对偶式为43x y2223492416x y x xy y (1)2224316249x y x xy y (2)(1)+(2),得:222234432525100x y x y x y223410043100x y x y .【总结】进阶方法,学有余力可了解。
【解法六】向量法(类似柯西不等式)34x y 可以看作向量 3,4,,a b x y 的数量积:34a b x y .所以:cos ,10a b a b a b.【总结】注意观察代数式的结构特征。
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不等式解法15种典型例题例1 解不等式:(1)015223>--x x x ;(2)0)2()5)(4(32<-++x x x .分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(<x f )可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 解:(1)原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如下图.典型例题二例2 解下列分式不等式:(1)22123+-≤-x x ; (2)12731422<+-+-x x x x 分析:当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时,要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或(1)解:原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
(2)解法一:原不等式等价于 027313222>+-+-x x x x 21213102730132027301320)273)(132(222222><<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔>+-+-⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或或或∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞。
解法二:原不等式等价于0)2)(13()1)(12(>----x x x x0)2()13)(1)(12(>-⋅---⇔x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋂⋃-∞典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质:a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<,因此本题有如下两种解法.解法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x . 解法二:原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或. 典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x . 分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于x 二次式的商,由商的符号法则,它等价于下列两个不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x 所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-0412,05622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0412,05622x x x x ⎩⎨⎧<-+<--⇔;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或⎩⎨⎧>-+>--;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x ;⎩⎨⎧<<-<<⇔62,51x x 或⎩⎨⎧>-<><6,2,5,1x x x x 或或 ,51<<⇔x 或2-<x 或6>x .∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ,或,或.解法二:原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x .画数轴,找因式根,分区间,定符号.)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ,或,或.说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解. 解法二中,“定符号”是关键.当每个因式x 的系数为正值时,最右边区间一定是正值,其他各区间正负相间;也可以先决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确运用.典型例题五例5 解不等式x x x x x <-+-+222322. 分析:不等式左右两边都是含有x 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解.解:移项整理,将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x . 由012>++x x 恒成立,知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x .解之,得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或.说明:此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为0再解. 另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理.典型例题六例6 设R m ∈,解关于x 的不等式03222<-+mx x m . 分析:进行分类讨论求解.解:当0=m 时,因03<-一定成立,故原不等式的解集为R . 当0≠m 时,原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ;当0>m 时,解得m x m 13<<-; 当0<m 时,解得mx m 31-<<.∴当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-m x m x 13;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x mx31. 说明:解不等式时,由于R m ∈,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当0=m 时,原不等式化为03<-,此时不等式的解集为R ,所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论.在解出03222=-+mx x m 的两根为m x 31-=,m x 12=后,认为mm 13<-,这也是易出现的错误之处.这时也应分情况来讨论:当0>m 时,mm 13<-;当0<m 时,m m 13>-.典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax .分析:先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.解:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ,得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ,故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+. 当20≤<a 时,1212≤-+≤a a a ,121>++a a ,不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ,不等式组(2)的解是1>x . 当2>a 时,不等式组(1)无解,(2)的解是2a x ≥. 综上可知,当20≤<a 时,原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ;当2>a 时,原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a. 说明:本题分类讨论标准“20≤<a ,2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >,1≤x ’,(2)中‘2a x ≥,1>x ’”确定的.解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高考的热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-.纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法.典型例题八例8 解不等式331042<--x x .分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可. 解答:去掉绝对值号得3310432<--<-x x , ∴原不等式等价于不等式组⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<----<-06104010433104310432222x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<+->-.321,2500)12)(3(20)52(2x x x x x x x 或 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325021x x x 或.说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组的解.典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x .分析:不等式中含有字母a ,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样:求出方程0)(322=++-a x a a x 的根,然后写出不等式的解,但由于方程的根含有字母a ,故需比较两根的大小,从而引出讨论.解:原不等式可化为0))((2>--a x a x .(1)当2a a <(即1>a 或0<a )时,不等式的解集为:{}2a x a x x ><或; (2)当2a a >(即10<<a )时,不等式的解集为:{}a x a x x ><或2; (3)当2a a =(即0=a 或1)时,不等式的解集为:{}a x R x x ≠∈且.说明:对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根a x =1,22a x =,因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根.但a 与2a 两根的大小不能确定,因此需要讨论2a a <,2a a >,2a a =三种情况.典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x.求不等式02>++a bx cx 的解集.分析:按照一元二次不等式的一般解法,先确定系数c 的正负,然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之. 解:(解法1)由题可判断出α,β是方程02=++c bx ax 的两根,∴ab-=β+α,a c =β⋅α.又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ,说明0<a .而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c a c ,∴0022<++⇔>++cax c b x a bx cx .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab ∴02<++cax c b x ,即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x , 即0)1)(1(<β-α-x x . 又β<α<0,∴β>α11,∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x . (解法2)由题意可判断出α,β是方程02=++c bx ax 的两根,∴ac=β⋅α.又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ,说明0<a . 而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac.对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得0)1()1(2=+⋅+⋅c xb x a .令xt 1=,该方程即为02=++c t b t a ,它的两根为α=1t ,β=2t ,∴α=11x ,β=21x .∴α=11x ,β=12x ,∴方程02=++a bx cx 的两根为α1,β1. ∵β<α<0,∴β>α11.∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x . 说明:(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)结合使用韦达定理,本题中只有α,β是已知量,故所求不等式解集也用α,β表示,不等式系数a ,b ,c 的关系也用α,β表示出来;(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.典型例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞,, ,求a 、b 的值. 分析:不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于a 、b 式子.解:∵043)21(122>++=++x x x ,043)21(122>+-=+-x x x ,∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a .依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=-+->-+34231202b a b a b a b a b a ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2325b a . 说明:解有关一元二次方程的不等式,要注意判断二次项系数的符号,结合韦达定理来解.典型例题十三例13 不等式的解集为{}21<<-x x ,求a 与b 的值.分析:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为{}21<<-x x ,不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ,0>∆,022=-+bx ax 的两根为11-=x ,22=x .解法一:设022=-+bx ax 的两根为1x ,2x ,由韦达定理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x a b x x 22121 由题意:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221aab∴1=a ,1-=b ,此时满足0>a ,0)2(42>-⨯-=∆a b . 解法二:构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式:0)2)(1(<-+x x ,即022<--x x ,此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式,故需满足:2211--=-=b a ∴1=a ,1-=b . 说明:本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能力.对有关字母抽象问题,同学往往掌握得不好.典型例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax .分析:本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法,因为含有字母系数,所以还考查分类思想. 解:分以下情况讨论(1)当0=a 时,原不等式变为:01<+-x ,∴1>x (2)当0≠a 时,原不等式变为:0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时,①式变为0)1)(1(>--x a x ,∴不等式的解为1>x 或a x 1<.②当0>a 时,①式变为0)1)(1(<--x ax . ②∵a a a -=-111,∴当10<<a 时,11>a ,此时②的解为a x 11<<.当1=a 时,11=a ,此时②的解为11<<x a.说明:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本题还要注意在讨论0<a 时,解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解.典型例题十五例15 解不等式x x x ->--81032.分析:无理不等式转化为有理不等式,要注意平方的条件和根式有意义的条件,一般情况下,)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =,而)()(x g x f >等价于:⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f .解:原不等式等价于下面两个不等式组:①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或,∴8>x 由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或 81374≤<x ,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或,即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x . 说明:本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解,注意:⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f , 这里,设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032,则所求不等式的解集为A 的补集A ,由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x .即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或,∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A .。