高中数学经典例题、错题详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（）M NA M NBM NCM ND1 2 3egh123egh123egh123egh 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。

（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。

映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。

映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。

本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。

【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）高中数学经典例题、错题详解【分析】如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则集合A 到集合B 的映射共有n m 个；集合B 到集合A 的映射共有m n 个，所以答案为23=9；32=8【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x ﹥0时，f(x)=x-1,则当x ﹤0时，有（）A 、f(x)﹥0B 、f(x)﹤0C 、f(x)·f(-x)≤0D 、f(x)-f(-x)﹥0奇函数性质：1、图象关于原点对称；2、满足f(-x)=-f(x)；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）偶函数性质：1、图象关于y 轴对称；2、满足f(-x)=f(x)；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x ，f(x)=0)。

通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x +x 2。

两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。

两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。

两个偶函数的乘积为一个偶函数。

两个奇函数的乘积为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。

两个偶函数的商为一个偶函数。

两个奇函数的商为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。

一个偶函数的导数为一个奇函数。

一个奇函数的导数为一个偶函数。

两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数【分析】f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，当X ﹤0时，f(x)=-f(-x)=-[-(-x)–1]=-x+1>0,所以A 正确，B 错误；f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C 错误；f(x)-f(-x)=（x-1）-（-x+1）﹤0,故D 错误【例5】已知函数f(x)是偶函数，且x ≤0时，f(x)=xx-+11，求：（1）f(5)的值；（2）f(x)=0时x 的值；（3）当x ＞0时，f(x)的解析式【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题，函数的性质及应用【分析及解答】（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)=f(-x)，可得f(5)=f(-5)=）（）（5--15-1+=—32（2）当x ≤0时，f(x)=0可求x ，然后结合f(x)=f(-x)，即可求解满足条件的x ，即当x ≤0时，xx-+11=0可得x=—1；又f(1)=f(-1)，所以当f(x)=0时，x=±1（3）当x ＞0时，根据偶函数性质f(x)=f(-x)=)(1)(1x x ---+=xx+-11【例6】若f(x)=e x +ae -x 为偶函数，则f(x-1)＜ee 12+的解集为（）A.（2，+∞）B.（0,2）C.（-∞，2）D.（-∞，0）∪（2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析及解答】根据函数奇偶性的性质先求出a 值，结合函数单调性的性质求解即可∵f(x)=e x +ae -x 为偶函数，∴f(-x)=e -x +ae x =f(x)=e x +ae -x ，∴a=1，∴f(x)=e x +e -x 在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，则由f(x-1)＜e e 12+=e+e1，∴-1＜x-1＜1，求得0＜x ＜2故B 正确【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键【例7】函数f(x)=21xb ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+f(x)＜0【考点】函数奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析及解答】（1）因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，由f(21)=52，所以2)21(121+a=52，得出a=1，所以f(x)=21x x +（2）根据函数单调性的定义即可证明任取-1＜x 1＜x 2＜1，f(x 1)—f(x 2)=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1＜x 1＜x 2＜1，所以x 1-x 2＜0，1—x 1x 2＞0，所以f(x 1)—f(x 2)＜0，得出f(x 1)＜f(x 2)，即f(x)在(-1,1)上为增函数（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可：f(2x-1)+f(x)=＜0，f(2x-1)＜—f(x)，由于f(x)为奇函数，所以f(2x-1)＜f(—x)，因为f(x)在(-1,1)上为增函数，所以2x-1＜—x ○1，因为-1＜2x-1＜1○2，-1＜x ＜1○3，联立○1○2○3得0＜x ＜31，所以解不等式f(2x-1)+f(x)＜0的解集为（0，31）【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。

【例8】定义在R 上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，又f(-3)=0，则不等式x f(x)＜0的解集为（）【考点】函数单调性的性质【专题】综合题；函数的性质及应用【分析及解答】易判断f(x)在（-∞，0）上的单调性及f(x)图像所过特殊点，作出f(x)草图，根据图像可解不等式。

解：∵f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴f(x)在（-∞，0）上也是增函数，由f(-3)=0，可得-f(3)=0，即f(3)=0，由f(-0)=-f(0)，得f(0)=0作出f(x)的草图，如图所示：xy30-3由图像得：x f(x)＜0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0，∴x f(x)＜0的解集为：（-3，0）∪（0，3），故答案为：（-3，0）∪（0，3）【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键。

【例9】已知f （x+1）的定义域为[-2,3]，则f （2x+1）的定义域为（）抽象函数定义域求法总结：（1）函数y=f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求f （x ）的定义域：利用a ＜x ＜b ，求得g （x ）的范围就是f （x ）的定义域；（2）函数y=f （x ）的定义域是（a ，b ），求y=f[g(x)]的定义域：利用a ＜g(x)＜b ，求得x 的范围就是y=f[g(x)]的定义域。

【考点】函数定义域极其求法【分析及解答】由f （x+1）的定义域为[-2,3]，求出f （x ）的定义域，再由2x+1在函数f （x ）的定义域内求解x 的取值集合，得到函数f （2x+1）的定义域。

解：由f （x+1）的定义域是[-2,3]，得-1≤x+1≤4；再由-1≤2x+1≤4⇒0≤x ≤25∴f （2x+1）的定义域是[0，25]，故选A 【点评】本题考查了复合函数定义域的求法，给出函数f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求函数f （x ）的定义域，就是求x ∈（a ，b ）内的g(x)的值域；给出函数f （x ）的定义域是（a ，b ），只需由a ＜g(x)＜b ，求解x 的取值集合即可。

【例10】已知函数f(x)=x 7+ax 5+bx-5，且f(-3)=5，则f(3)=（）A.-15B.15C.10D.-10【考点】函数的值；奇函数【分析及解答】令g(x)=x 7+ax 5+bx ，则g(-3)=解法1：f(-3)=(-3)7+a(-3)5+b(-3)-5=-（37+a35+3b-5）-10=-f(3)-10=5，∴f(3)=-15解法2：设g(x)=x7+ax5+bx ，则g(x)为奇函数，f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5∴g(3)=-10,∴f(3)=g(3)-5=-15【例11】已知二次函数f （x ）=x 2+x+a (a ﹥0)，若f （m ）﹤0，则f （m+1）的值为（）A.正数B.负数C.零D.符号与a 有关解法1：因为f(m)<0所以m2+m+a<0，因为a>0.所以m2+m<0，所以-1<m<0f(m+1)=m2+3m+2+a=(m+23)2-41+a.因为-1<m<0所以(m+23)2>41，所以f(m+1)>0答案为A解法2：f(x)=x²+x+a=x(x+1)+a∵f(m)=m(m+1)+a ＜0∴m(m+1)＜-a ，∵a ＞0，且m ＜m+1∴m ＜0,m+1＞0∵(m+1)²≥0即：f(m+1)=(m+1)²+(m+1)+a ＞0∴f(m+1)＞0选A【例12】函数f(x)=︱x 2-2x ︱—m 有两个零点，m 的取值范围（）解：令f(x)=︱x 2-2x ︱—m=0，则︱x 2-2x ︱=m ，作y=︱x 2-2x ︱和y=m 的图像要使f(x)=︱x 2-2x ︱—m 有两个零点，则图像y=︱x 2-2x ︱和y=m 有两个交点【例13】已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，F(x)=a f(x)+b g(x)+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么F(x)在区间（-∞，0）上的最小值为（）解法1：根据题意，得a·f(x)+b·g(x)在(0,+∞)上有最大值3,所以，a·f(x)+b·g(x)在(-∞,0)上有最小值-3,故F(x)=a·f(x)+b·g(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.解法2：F(x)=a f(x)+b g(x)+2是由G(x)=a f(x)+b g(x)向上平移2个单位得到，由题意G(x)=a f(x)+b g(x)在（-∞，0），（0，+∞）上是奇函数，在（0，+∞）上有最大值3，那么在（-∞，0）上有最小值-3，那么F(x)=a·f(x)+b·g(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.【例14】对于每个实数x ，设f(x)取y=x+1，y=2x+1，y=-21x 三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出f(x)的解析式，求出f(x)的最小值为（）【例15】已知函数f(x)=x 2+ax+3，（1）当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围；（2）当x ∈[-2,2]时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围解（2）函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a／2，依题意得①当-a／2≤-2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(-2)=4-2a+3≥a，无解②当-2＜-a／2＜2，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(-a／2)≥a，得-4＜a≤2③当-a／2≥2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(2)=4+2a+3≥a，得-7≤a≤-4综上所述得：-7≤a≤2解法2：【例16】下列各组函数表示相等函数的是（）A.y=39x 2--x 与y=x+3B.y=12-x 与y=x-1C.y=x 0(x ≠0)与y=1（x ≠0）D.y=2x+1（x ∈Z ）与y=2x-1（x ∈Z ）解：A.y=392--x x =x+3（x≠3）与y=x+3定义域不同，不是相等的函数；B.y=2x -1=|x|-1与y=x-1对应关系不同，不是相等的函数；C.y=x 0=1（x≠0）与y=1（x≠0）是相等函数；正确D.y=2x+1，x∈Z与y=2x-1，x∈Z 对应关系不同，不是相等函数．【例17】函数y=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞）上时增函数，在区间（-∞，2]上是减函数，则f(1)=（） A.-7 B.1 C.17 D.25解：由已知中函数的单调区间，可得函数y=4x 2-mx+5的图像关于直线x=-2对称，因为函数y=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞）上时增函数，在区间（-∞，2]上是减函数，故函数y=4x 2-mx+5的图像关于直线x=-2对称，故28-=m，m=-16，y=4x 2+16x+5，f(1)=25【例18】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为：_________（1）、3)5)(3()(+-+=x x x x f ，5)(-=x x g （2）、11)(-+=x x x f （3）、x x f =)(，2)(x x g =（4）、334)(x x x f -=，31)(-=x x x g （5）、2)52()(-=x x f ，52)(-=x x g 【例19】函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在区间[-2，+∞）上递增，则a 的取值范围______【例20】函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(-∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A.a ≤3B.a ≥3C.a ≥-3D.a ≤5E.a ≤-3【例21】已知)(x f 是定义在（-2,2）上的减函数，并且)21()1(m f m f --->0，求实数m 的取值范围【例22】若集合}{Rx x x A ∈≤=,12，}{R x x y yB ∈≤=,22，则A ∩B=（）A.{x ∣-1≤x ≤1}B.{x ∣0≤x ≤1}C.{x ∣x ≥0}D.Φ设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，)(x f =2x 2-x,则)1(f =（）A.-3B.-1C.1D.3函数)(x f =⎩⎨⎧〉--≤-1,31,122x x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛)3(1f f 的值为（）【例23】已知)0(1)12(22≠-=-x xx x f ,那么)0(f 等于（）【例24】已知集合}{322=--=x x x A ，φ=B ，若B ∩A=B ，实数a 的值为（）(3,0)(-1,0)0yxA.3B.6C.8D.10【例25】函数x x x y +-=)1(的定义域为（）A.{x ∣x ≥0}B.{x ∣x ≥1}C.{x ∣x ≥1}∪{0}D.{x ∣0≤x ≤1}【例26】下列判断正确的是（）A.函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B.函数1)(2-+=x x x f 是非奇函数C.函数xxx x f -+-=11)1()(是偶函数 D.函数)(x f =1即是奇函数又是偶函数【例27】432+--=x x y 的单调区间是（）A.(-∞，-32] B.[-32，+∞) C.[-4,-32] D.[-32，1]【例28】设)(x f 是奇函数，且在区间（0，+∞）内是增函数，又)3(-f =0，则)(x f ﹤0的解集是（）A.{x ∣-3﹤x ﹤0或x>3} B.{x ∣0﹤x﹤3或x ﹤-3}C.{x ∣x ﹤-3或x>3}D.{x ∣-3﹤x ﹤0或0﹤x ﹤}【例29】函数3)(35-+-=cx bx ax x f ，)3(-f =7，则)3(f =_________【思考】1、已知二次函数y=x 2-2x-3，试问x 取哪些值时y=0？代数法：求方程x 2-2x-3=0的根，x 1=-1x 2=3几何法：求函数函数y=x 2-2x-3的图象与x 轴的交点的横坐标（-1，3），此时，-1与3也称为函数y=x 2-2x-3的零点[零点的定义：对于函数)(x f y =，我们把使)(x f =0的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。