不等式的解法1
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。
例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。
对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。
下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。
然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。
当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。
例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。
分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。
解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。
不等式的解法1
不等式的解法（一）考点1 一元一次不等式的解法解一元一次不等式，可先利用不等式的性质变成ax>0或ax<0 的形式，然后根据 a 为正，为负，为零三种情况分别求解.{}.,532,2)1(.42.12的值求）若不等式的解集为（，求解不等式；）若（求解不等式；若的不等式关于a x x R a a ax x a x ->∈=+>-.0)2()3(,310)32()(.2的解集的不等式求关于的解集为的不等式已知关于>-+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-++a b x b a x x x b a x b a x考点2 一元一次不等式的解法先利用不等式的性质等价变成.00.000)0(0022的情形时应转换成三种情况求解，，再分的形式，或><∆=∆∆><++>++a a a c bx ax c bx ax32)4(41)3(0322)2(02321.32222≥-+->->-+->--x x x x x x x x ）（解以下不等式0)2)(2(.4>--ax x x 的不等式解关于03.52>--m mx x x 的不等式解关于0)(.6322>++-a x a a x x 的不等式解关于.01)1(,0.72<++->x aa x a 解不等式设.0,00.822的解求的解为已知不等式>++<<<>++a bx cx x c bx ax βα.2)1(.012.92的取值范围，求）若不等式的解集是（的取值范围；，求若不等式的解集为已知不等式a a R x ax Φ>+-考点3 一元二次不等式类型的恒成立的问题.,03)1(4)54(.1022的取值范围恒成立，求实数对于一切已知不等式m x x m x m m >+---+考点4 一元二次方程根的分布问题.4312-..42..43..12.,02)13(7.1122<<-<<<<-<<-<<-=--++-k k D K C k B k A k k k x k x 或的取值范围是则实数若方程.40..4..1..0.1102322.122-<>-<>>=---K K D K C K B K A k k x kx x 或的取值范围是，则实数另一个小于，的两个实根一个大于的方程设关于.107)1(8.132的取值范围求实数，的两个实根都大于若方程m m x m x =-+--。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象 （a＞0） ax2+bx+c＞0 （a＞0）
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x 2、已知a≠b，解关于的不等式：
a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式
x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a x x b 0
ax b
b ( ＞a＞b＞0 ) a
＞0
2
=0
无实根
＜0
两相异实根
b b 4ac x 1 、2 = 2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
{x｜x＜x1或 {x｜x∈ R x＞x2 } 且X≠X1}
R
ax2+bx+c＜0 {X｜X1＜X （a＞0） ＜X2}
4、分式不等式的源自法x 0 （1）简单分式不等式的解法 如： 3 x
5、解关于x的不等式：
ax2-2(a+1)x+4＞0 6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7 (其中a≠0)
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
=0 ＜0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
ax b x2 5x 6 ＞0
1、含参数不等式要注意参数的范围、参数引起 的讨论
2、含两个绝对值不等式的解法 ——零值点法
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x
2、已知a≠b，解关于的不等式： a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a xxb 0
b
( ＞a＞b＞0 )
ax b
a
5、解关于x的不等式： ax2-2(a+1)x+4＞0 (其中a≠0)
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、解不等式时一定要注意“是否有=”。
3、对绝对值不等式一定要分清是 “或”还是“且”， 是求并集还是要求交集。
4、对一元二次不等式，要注意二次项系数a是否大于0
5、数轴标根法—分式不等式—高次整式不等式
6、有关计算的要求------移项、去括号、通分、两边同 乘一个数是正还是负。
不等式解题技巧
不等式解题技巧引言不等式是数学中重要的一个概念，它描述了数的大小关系。
不等式解题是数学学习中的基础内容，它在数学应用中有着广泛的应用。
本文将介绍一些不等式解题的常用技巧，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、一元一次不等式1.1 简单不等式的解法对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，我们可以通过变形和一些基本的性质来求解。
示例：解不等式2x+5>7。
解法：首先，我们可以将不等式变形为2x>7-5，即2x>2。
接下来，我们将不等式两边除以2，得到x>1。
所以，解集为所有大于1的实数。
1.2 不等式的加减法性质当不等式中的两项都加上（或减去）同一个数时，不等号的方向不发生改变。
示例：解不等式3x-4<7。
解法：我们可以将不等式中的所有项都加上4，得到3x<11。
因为加上4不改变不等号的方向，所以不等式解为x<11/3。
1.3 不等式的乘除法性质当不等式中的两项都乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不发生改变；当不等式中的两项都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向发生改变。
示例：解不等式-2x/3>4。
解法：我们可以将不等式中的所有项都乘以-3，注意这里负数的情况，得到2x<-12。
因为乘以负数改变了不等号的方向，所以不等式解为x>-6。
二、一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过求解其对应的二次方程的解集来确定其解集。
示例：解不等式x^2-3x+2>0。
解法：首先，我们可以将不等式对应的二次方程进行因式分解，得到(x-1)(x-2)>0。
然后，我们绘制出二次方程对应的抛物线，找出使得函数大于0的区间。
最后，我们得到不等式的解集为(1, 2)。
2.2 一元二次不等式的图像法对于一元二次不等式，我们还可以借助图像来确定其解集。
不等式的解法高中数学公式
不等式的解法高中数学公式
高中数学常见的不等式解法有如下几种公式：
1. 二次函数法：
对于一元二次不等式，可以将其转化为二次函数的求解问题。
首先对不等式中的二次项与常数项进行合并，得到一个一元二次函数。
然后通过求解二次函数的根或者根的位置来确定不等式的解集。
2. 直接法：
对于一些简单的不等式，可以直接通过对不等式进行变形，化简得到最终结果。
常见的直接法有加减法、乘除法等。
3. 分段讨论法：
对于一个包含多个不等式的复合不等式，可以将复合不等式拆分成若干个简单的不等式，并通过讨论每个简单不等式的解集的情况来确定复合不等式的解集。
4. 取模法：
对于一些涉及取模的不等式，可以通过取模运算的性质来进行求解。
通过去除不等式中的取模运算，将其转化为普通的不等式，进而求解得到最终结果。
5. 绝对值法：
对于一些含有绝对值的不等式，可以通过绝对值的性质来进行求解。
通过分情况讨论绝对值的取值范围，进而求解得到最终结果。
以上是高中数学中常见的不等式解法公式，通过灵活应用这些公式，可以有效地解决各种不等式问题。
不等式的解法
不等式的解法数学中的不等式是我们在初中阶段学习的重要内容之一。
解不等式是解决数学问题的基本技能，也是我们日常生活中需要运用的数学知识。
在这篇文章中，我将为大家介绍几种常见的不等式解法，并通过具体的例子来说明。
一、一元一次一元一次不等式是最基础的不等式类型，它的解法与一元一次方程类似。
我们以不等式2x + 3 > 5为例进行讲解。
首先，我们将不等式中的等号去掉，得到2x + 3 = 5。
然后，我们根据方程的性质，将x的系数化为1，得到x + 3/2 = 5/2。
最后，我们将x的系数化为1后的方程进行求解，得到x = 1/2。
根据不等式的性质，我们可以知道，当x > 1/2时，不等式2x + 3 > 5成立。
因此，不等式的解集为x > 1/2。
二、一元二次一元二次不等式是稍微复杂一些的不等式类型，它的解法需要运用到二次函数的性质。
我们以不等式x^2 - 4x + 3 > 0为例进行讲解。
首先，我们将不等式中的等号去掉，得到x^2 - 4x + 3 = 0。
然后，我们求出方程的根，得到x = 1和x = 3。
接下来，我们将数轴分成三段：x < 1，1 < x < 3和x > 3。
我们可以通过代入法来判断每一段的取值范围。
当x < 1时，代入x = 0，得到0^2 - 4*0 + 3 = 3 > 0，因此不等式在这一段成立。
当1 < x < 3时，代入x = 2，得到2^2 - 4*2 + 3 = -1 < 0，因此不等式在这一段不成立。
当x > 3时，代入x = 4，得到4^2 - 4*4 + 3 = 7 > 0，因此不等式在这一段成立。
综上所述，不等式的解集为x < 1或x > 3。
三、绝对值绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的解法需要运用到绝对值的性质。
我们以不等式|2x - 3| < 5为例进行讲解。
不等式的解法(一)
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时 才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把 二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后 的解要 求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
第3课 不等式的解法(1)
解方程或不等式的步骤： ①去括号(不要漏乘) ②移项(要改变正负号) ③合并同类项 ④系数化为 1(注意：两边同乘或除负数时，不等号的 方向要改变)
6. (例 2)解不等式：8－2(x＋1)＞x.
解：8－2x－2＞x 6＞3x x＜2
7. 解不等式： (1)5(x－1)＜3x＋1；
(1)解：5x－5＜3x＋1 2x＜6 x＜3
(2)2(x－1)＋5＜3x.
(2)解：2x－2＋5＜3x 3＜x ∴x＞3
8. 解不等式： (1)3x－5＜2(2＋3x)；
(1)解：3x－5＜4＋6x －3x＜9 x＞－3
(2)10－4(x－3)≥2(x－2). (2)解：10－4x＋12≥2x－4 －6x≥－26 13 x≤ 3
三、过关检测
12. (1)不等式 3(x－1)≤5－x 的非负整数解有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
( C )
(2)如果关于 x 的不等式(a＋1)x＞a＋1 的解集为 x＜1， 那么 a 的取值范围是 ( D ) A.a＞0 B.a＜0 C.a＞－1 D.a＜－1
第3关 13. 当 x 为何值时，代数式 3x－5 的值不大于 4(x－1)的值？
谢Байду номын сангаас！
解：3－2x≤5 2x≥－2 x≥－1
二、新课学习
3. (例 1)解不等式：3x＋1＞x－5.
解：3x－x＞－1－5 2x＞－6 x＞－3
4. 解不等式： (1)3x≤x－2；
(1)解：2x≤－2 x≤－1
(2)2x－4≥5x＋5. (2)解：2x－5x≥9 －3x≥9 x≤－3
类比探究：解一元一次方程 VS 一元一次不等式(不含分母) 5. 解方程：8－2(x＋1)＝x. 解：8－2x－2＝x 6＝3x x＝2
不等式解法1
( x + 1)( x − 1) < 0 ( x + 1)( x − 1)( x − 2) < 0
−1
−
1
1
+
2
+
−
+
x −3x +2 练 ： 不 式 2 习 解 等 ： <0 x −2x −3
2
解：原不等式等价于： − 3x + 2)( x − 2 x − 3) < 0 (x
2 2
即( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
2
x − 3x + 2 − x + 2 x + 3 解： <0 2 x − 2x − 3
2 2
− x+5 ⇒ 2 <0 x − 2x − 3
x −5 ⇒ >0 ( x + 1)( x − 3)
分 不 式 解 →将 一 化 0 →数 标 式 等 的 法 另 端 为 轴 根
即( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
2 2
{x | 1 < x < 2或3 < x < 4}
解法三：原不等式等价于
x 2 − 5x + 5 ≥ 0 x 2 − 5x + 5 < 0 或（2） 2 (1) 2 x − 5x + 5 < 1 x − 5 x + 5 > −1
∴原不等式的解集为
5− 5 5+ 5 由(1)得 1 < x ≤ 或 ≤x<4 2 2 由(2)得 3 < x < 5 + 5 或 5 − 5 < x < 2 2 2
5、不等式解法1(整式、分式、根式)
精心整理§6.5不等式的解法（一）【一线名师精讲】 基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求出对应方程的根。
（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。
方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。
即“奇过偶不过”。
（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为0)())((21>---n x x x x x x a 的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解。
（二）、分式不等式的解法 标准形式：0)()(>x f x g ，或0)()(<x f x g 。
解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将分式不等式转化为整式不等式求解。
若分母的正负可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以)；≥00 解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式0)1)(3(>-+x x ，易得：1,3>-<x x 或。
由222+<x x 得01)1(2>+-x ，所以R x ∈。
综上所述，原不等式组的解集为{}13|>-<x x x 或，。
（2）解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ， 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： 误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为{}42|≤≤-x x 。
另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉3=x 这类解。
（3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。
但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。
简单不等式的解法
简单不等式的解法
一,绝对值不等式|x|＜a,|x|＞a(a＞0)的解法.
1.不等式|x|＜a(a＞0)的解集是{x|-a＜x＜a}
几何意义是:在数轴上表示到原点距离小于a的点.
2.不等式|x|＞a(a＞0)的解集是{x|x＞a或x＜-a}
几何意义是:在数轴表示到原点距离大于a的点.
二,一元二次不等式的解法.
一元二次不等式可归结为下面两种基本类型
(1).ax〃+bx+c＞0(a＞0)
(2).ax〃+bx+c＜0(a＞0)
利用一元二次方程与二次函数求解.
{x|x≠-b/(2a)}
Φ
练习:
1.解不等式 |x+1|＞2-x.
2.解关于x的分数不等式.①1/x -1 ＞2x ②[(x-k)(x+1)]/(x-2) ≤0(k∈R)
3.已知集合A={x||x-1|＜2,x∈Z},B={x|(x-3)/x ＜0,x∈Z},则集合A与B组成的全集的
子集个数为( ) A.4 B.6 C.8 D.9
4.已知不等式ax〃+bx+c≥0的解集是{x|-1/3 ≤x ≤2},求不等式cx〃+bx+a＜0的解集.
5.解关于x的不等式ax〃-2≥2x-ax(a∈R) (分类讨论)
6.设A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},集合C中含有三个元素,且满足C∩B≠Ф,集合C
是集合[(A∪B)∩Z]的子集,求集合C.。
不等式的解法(1)
不等式的解法（1）复习引入：解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1一元一次不等式ax +b >0(1)若a >0时,则其解集为{x |x >-ab } (2)若a <0时,则其解集为{x |x <-a b } (3)若a =0时,b >0,其解集为R b ≤0,其解集为 2一元二次不等式c bx ax ++2>0(a ≠0) 高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则 ①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab ,x ∈R }；②a <0时,其解集为 (3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集 3．不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集（1）|x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为:（2）|x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:讲解新课：不等式的有关概念 1同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式 2同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0；(3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 讲解范例：例1 解不等式|552+-x x |<1 解:原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②① 解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4}故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}点评：解不等式时,一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集例2 解不等式322322--+-x x x x ＜0 解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考332322--+-x x x x ≤0的等价变形 例3 解不等式2315222+---x x x x ＞1 解：原不等式等价变形为：2315222+---x x x x －1＞0 通分整理得：233222+---x x x x ＞0 等价变形为：（x 2－2x ＋3）(x 2－3x ＋2)＞0即 （x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞3}说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解例4、解不等式⎪⎩⎪⎨⎧>-+>+-2130862x x x x （1，2）⋃（4，5） 例5、解不等式1)1(->-ax ax a ，)0,(≠∈a R a解：原不等式可化为0)1)(1(>--ax a⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a x x a 11时，不等式解集为当；φ时，不等式解集为当1=a ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<a x x a 110时，不等式解集为当；⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x x a 10时，不等式解集为当。
不等式的解法
例3、（1）若ax2+abx+b>0的解集为区间（1，2） 求①a,b的值。②bx2－abx+a<0的解集 （2）若
的解集为R，求m的取值范围 解：（1）由已知得a<0且1，2是方程ax2+abx+a=0的根， 所以
则所求解之不等式为 ∴解集为
即2x2+3x+1>0
（2）若 的解集为R，求m的取值范围 解：（2）∵x2－2x+3=(x－1)2+2>0 ∴由已知得 的解集为R 则①当m=2时，不等式蜕化为－1<0，恒真 ②当m≠2时，应有
目标 △=b2-4ac的值 ax2+bx+c=0 (a>0)的解集 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
△>0 {x|x<x1或x>x2} 两根之外 {x|x1<x<x2} 两根之间
△=0 φ
△<0
φ
R
φ
例子讲解：
• 例1、解关于x的不等式 mx－2>x－3m • 分析：显然应该先标准化，再分类讨论得解。 • 解：原不等式可化为 （m－1）x>2－3m 当m>1时 解集为 当m=1时 得 x>－1解集为R 当m<1时 解集为
∴m&不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|0<α<χ<β}试用表 示α、β不等式cx2-bx+a>0的解集。
课外作业
后记
例2、解关于x的不等式（1）2－x>2x－x2 （2）2a－ax>2x－x2
基本不等式的解法
基本不等式的解法如下：
方法一：代数方法。
通过变形和化简等操作，将不等式转化为更简单的形式，从而得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 5 > 3x - 1，可以移项得到2x - 3x > -1 - 5，然后化简为-x > -6，最后根据-x的系数为负数，将不等式两边的符号取相反，得到x < 6。
方法二：图像法。
将不等式转化为图像的形式，通过观察图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x > -2。
然后在数轴上标出-2和1、2、3等点，根据不等号的符号确定解集。
方法三：比较法。
通过比较两个不等式的解集来确定它们是否相同。
例如，对于不等式x + 2 > 0和x + 1 > 0，可以通过比较它们的解集来确定它们是否相同。
方法四：同解变形法。
将不等式进行同解变形，使其转化为另一个不等式，然后求解新的不等式。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x + 1 > -1的形式，然后根据同解变形法则得到x + 1 > 0，从而得到原不等式的解集。
需要注意的是，基本不等式的解法有很多种，不同的方法适用于不同的不等式类型和问题背景。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
不等式解法举例
例2设x R, 解不等式 x 2 x 15 0.
2
解法一： x x ( x R ),
2 2
原不等式可化为： （ x 2 5)( x 2 3) 0. x 5 原不等式的解集是：（ ， 5] [5， ）。
例2设x R, 解不等式 x 2 x 15 0.
不等式的x 2 x 1 4的解集是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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间中,绝对算得上高级善术.”“老祖,呐位鞠言战申还很年轻,将来他应该也能在道法上成就善王.那事候,就是道法、炼体双善王.俺甚至觉得,他有可能进入天庭.”仲零王尪压低了声音说.“你对の评价,竟如此之高?”方烙老祖露出意外の表情.“俺想,毕微王尪应该也有差不多の评价,否 则他不会作出授与鞠言战申王国名誉大公爵呐样の决定.”仲零王尪轻吸了口气,眼申中有光泽闪烁.先前,他仲零王尪比毕微王尪晚了一步,而现在情况又发生了改变.临高王国の倪炯老祖,反对临高王国对鞠言战申授与名誉大公爵の身份.如此一来,法辰王国又能够与鞠言战申进行接触 了.“嗯,此事你自身决定吧！既然倪炯老祖已经走了,那俺也回去了.”方烙老祖话音落下之后,他の身影微微一闪,便消失在了大殿之中.……鞠言和纪沄国尪居住之地.临高王国の盛月大臣,再次来到了呐里,呐是他第三次来到鞠言和纪沄国尪の临事住所.“盛月大臣,你是说……临高王国决 定撤掉对俺の名誉大公爵授予?”鞠言看着盛月大臣,声音有些冷.盛月大臣,表情难免有些尴尬.他能理解,鞠言の愤怒.换做是任何人,恐怕都会非常の愤怒吧！先是说要授予人家名誉大公爵,然后又突然说撤销?“鞠言战申,真の是万分抱歉.陛下他,也真の是没有办法.如果鞠言战申愿意加入 临高王国,那临高王国上下随事都欢迎.”盛月大臣苦笑着说道.“呵呵……”鞠言冷笑.“临高王国の好意,俺鞠言着实消受不起.盛月大臣,俺已经收到了你の传话,那就呐样吧！”鞠言起身,送客の意思很明显了.“鞠言战申,陛下真の不是有意如此.而是,王国内出现了巨大の反对声音,陛下 の压历很大.”盛月大臣也站起身,他还在解释.“俺知道了.”鞠言道.“临高王国怎么能呐样做呢?”在盛月大臣走后,纪沄国尪愤怒の说道：“简直是可恶,鞠言战申,法辰王国之前也有授与你名誉大公爵の身份,但你都由于答应了临高王国而拒绝了法辰王国.现在,临高王国居然反悔,堂堂 混元王国,居然出尔反尔.”“他们……会后悔の！”鞠言气息凝了凝,带着怒吙沉声说道.临事城市中！“鞠言战申の临高王国名誉大公爵身份,被取消了.”“取消了?怎么会?临高王国毕微王尪,不是亲自见过鞠言说了呐件事吗?怎么会取消?”“真の取消了.”“临高王国,是在故意の耍弄 鞠言战申?”“应该不会是故意の吧?混元七大王国之一の王尪,怎会随意出尔反尔?”“或许是出了哪个变故吧！”“哈哈,那鞠言战申一个新晋崛起の善王,怎么能有资格成为王国の名誉大公爵?俺早就知道,呐件事不可能成.果然如俺所料,鞠言白高兴了一场.”“嗯,他の资格确实还不够. 以他の资历,离王国名誉大公爵呐等身份还差得远.”“凭他鞠言,想成王国の名誉大公爵?白人做梦！”当临高王国取消授与鞠言名誉大公爵の消息传开后,又是一片吙爆の议论.一些之前对此产生嫉妒情绪の善王战申,开始说一些风凉话.还有东华尪国、玄秦尪国、明图尪国等与鞠言有嫌隙 の国家,也有人员站出来煽风点吙.“那个龙岩国の鞠言,他想成为临高王国の名誉大公爵?呵呵,他真の不配！”明图尪国の庆广国尪公开说出了呐样の言论.明图尪国の郭彤战申,也是死在鞠言の手中,庆广国尪和明图尪国上下成员,对鞠言怀恨在心.现在他们听到了呐样の消息,当然是喜大 普奔,恨不得告诉他们所认识の每一个人.“鞠言那小子,差得远,跳梁小丑而已.还不离开龙岩国,他算哪个东西?他不离开龙岩国,就永远待在那个弹丸小国好了.愚蠢の东西！”月灿尪国の国尪,也是冷言冷语の发出了嘲讽.(本章完)第三零一三章突破道法善王呐个事候の鞠言,已是进入了又 一次闭关.战申榜排位赛决赛阶段,是在淘汰阶段结束半年后正式开始.鞠言,要在呐半年の事间里,令自身の实历再次提升.以他此事の实历,确实不可能击败混元无上级の国家战申.而鞠言,心中却是想要在决赛阶段击败那么一两位混元无上级の战申,让自身在战申榜上の排名能够更靠前一些. 半年の事间极为短暂,而鞠言必须要抓紧一切能够利用の事间.淘汰阶段结束后,鞠言又耗费了三亿白耀翠玉在交易大厅购买了大量の各种修炼资源.一个半月之后.“俺の申魂体提升,似乎已达到了一个瓶颈.再使用红毛果,效果已经很差了.”房间内盘膝而坐の鞠言,暗暗思忖.大约在三天之 前,他使用红毛果提升申魂体の效果就非常低效了.到了今日,当他在服用红毛果之后,已是察觉不到有进步.而第二次在交易大厅购买の红毛果,还剩下不到一百颗.“再想快速提升申魂体强度,怕是要使用更高级の申魂资源了,比如蓝槐呐样の宝物.”鞠言睁开双目.他看了一眼剩余の红毛果, 暗道：“剩下の红毛果,倒也有用处.俺参悟混元碎片至高黑道则,申魂很容易疲倦,使用呐红毛果恢复精申效果倒是非常好.只是,有些奢侈.”鞠言参悟混元碎片空间の至高道则,申魂能量消耗又快又大,但呐种申魂历の消耗并不会伤害到申魂体,所以通过事间就可自行恢复.用红毛果呐等一 颗就价值伍拾万白耀翠玉の资源来纯粹恢复申魂历,委实是极度の奢侈.但是鞠言想在决赛阶段开始之前大幅度提升战斗历,那也只能在资源上多付出一些.又是一个月事间过去！“啧啧,成了！”鞠言の申念从混元碎片空间迅速退了出来.就
不等式的解法(1)
两不等根 x1 , x2 .
两等根 b . 没有实数根 2a
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x x1 x x2
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b
2a
R
不等式的解法(1) 二、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法口诀
大大小小取两边, 大小小大取中间.
解:原不等式可化为 : (ax 2)(x 1) 0,
(1)当a 0时,原不等式的解集为:x x 1;
(2)当a 0时,原不等式可化为: (x 2)(x 1) 0, a
Q 2 0 1, a
原不等式的解集为: x
2 a
x
1;
(3)当a 0时,原不等式可化为: (x 2)(x 1) 0, a
O
x
不等式的解法(1)
二、一元二次不等式的解法
y
例1.画出下列函数的图象.
(1) y x2 1. (2) y x2. (3) y x2 1.
例 2 . 解下列方程 .
O
x
(1) x2 1 0. (2) x2 0. (3) x2 1 0. 函数方程不等式
例3.解下列不等式.
图象求根写解集
①当0 a 1时,原不等式的解集为 ②当a 1时,原不等式无解;
x
1
x
1 a
;
③当a
1时,原不等式的解集为x
1 a
x
1.
不等式的解法(1) 二、一元二次不等式的解法
例6.已知一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集为
x
x
1或x 3
1 2
,
求不等式
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不等式的解法（一）
教学目标： 能熟练地求解一元一次不等式（组），掌握一元二次不等式的解法；关于分式不等式可先化为0)()(>x g x f 或0)
()(<x g x f ，再转化为整式不等式求解或不等式组求解；会解含有参数的不等式；2010年考试说明要求C 。
知识点回顾：
1.一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0的解法：○1移项；○2当a>0时不变号，当a<0时，改变不等号方向；○3系数化为1
2. 一元二次不等式ax 2+bx+c>0或ax 2+bx+c<0
先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：21x x x <<（两根之内）说明：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行；②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．
3. 分式不等式可先化为
0)()(>x g x f 或0)()(<x g x f ，再转化为整式不等式求解或不等式组求解。
基础训练：
1.解不等式：
（1）22203
x x -+-
>； （2）9x 2-6x+1>0； （3）-x 2+12x-36≥0； （4）2x 2-x+1<0
（5）212320x x x x -⎧≥⎪⎨⎪+-≥⎩； （6）222306x x x x ++<-++； （7）1-x x ≥2
典型例题：
解不等式（组）：○1若不等式220ax bx ++>的解集为11(,)23
-，则a+b= ○
2不等式()()1||10x x -+>的解集是
解关于x 的不等式： ()2110ax a x -++<.
设a 是任意实数，解关于x 的不等式0)3(2)3(2>-+++a ax x a
课堂检测：
1．已知集合{}1|(1)0,|01P x x x Q x x ⎧⎫=-≥=>⎨⎬-⎩⎭
，则P ∩Q = .
2．不等式(0x -≥的解集是 .
3．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20cx bx a -+>的解集为 .
4．已知关于x 的不等式32
ax >+的解集是()4,b ，求a,b 的值.
5．解关于x 的不等式：解关于x 的不等式()1x x a a -+<.
6.解关于x 的不等式0)1()12(2<+++-a a x a x
5.若关于x的不等式22
≤的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是_______
(21)
x ax。