关于空间想象力的含义

关于空间想象力的含义，林崇德（1991）指出，中学生的空间想象包括对平面
几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问
题的几何解释等。

空间想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、
方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的化水平上，体现在对简
单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对
抽象的数学式子（算式或代数式等）给与具体几何意义的想象解释或表象能力上。

才翰提出，空间想象能力就是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，
创造新的形象的能力。

在王焕勋主编的《实用教育大辞典》中指出，心理学把人对头脑中已有表象进
行改造，创造出新形象的过程称作想象。

在中小学数学学科中，空间想象力指的是
人们对客观事物的空间形式（包括二维空间、三维空间）进行想象的能力。

敦甲（1992）曾开展过中学生空间想象能力发展的研究，结果发现
[10]
：（1）
中学生空间想象能力的发展过程是从对基本几何形的初步想象到对平面几何图形
的深入想象，再到对立体基本几何形的深入想象。

（2）在空间能力想象方面，从初
二开始，学生的空间想象能力迅速发展，到高二时空间想象能力进入成熟期……。

那么，空间观念的含义如何？空间想象能力与空间观念又有怎样的关系呢？
NCTM（全美数学教师理事会，1989）
[11]
指出，空间观念是对一个人周围环境
和实物的直接感知；对于2—3 维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关
系和变换图形的效果是空间观念的重要方面。

才翰指出，空间想象能力对初中生来说，这种要求太高了，所以义务教育阶
段教学大纲中只提出培养学生的空间观念。

空间观念至少反映了如下的5 个方面的
要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）
由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找出基本元素及
其关系；（5）由文字或符号作出或画出图形。

在王焕勋主编的《实用教育大辞典》中也指出，在空间知觉的基础上形成的关
于物体的形状、大小及其相互位置关系（方位、距离）的表象。

小学数学的几何初
步知识教学中，让学生感知实物、模型、图形，学生也就形成了空间观念，即获得
线、角和简单平面图形和立体图形的形象，能对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计，能从复杂的图形中区分出基本图形。

……由此可见，空间想象
力是在空间观念的基础上形成和发展的。

用一般的发展理论来解释儿童对几何概念的理解，只能对数学教育产生有限的
意义。

而数学教育学家对空间观念（能力）及其与几何课程关系的研究却才刚刚起
步。

不论对心理学家还是数学教育家来说，空间观念（能力）都没有一个确切的定
义，而在其与几何课程的关系上，Coxford（1978）认为“发展家和干涉主义者（即
通常意义上的心理学家和数学教育者）为了获得对空间和几何的发展的深刻认识必
须加强合作”，“心理学家必须提供空间—几何概念的基本信息而数学教育家必须将
它们放在适当位置”。

John Del Grande（1990）研究指出，小学生能在与其空间能力
相关的几何概念上有很好的表现，因此，必须从直觉和实验活动出发设置适合小学
生的几何课程。

总之，几何课程在发展学生空间观念（能力）的重要性已是不争的
事实，然而，正如Coxford 指出的那样，应如何把它放在适当位置正是数学教育家
或数学工作者当前及未来所应致力研究的。

（三）几何教育的价值和空间观念的培养及其意义
作为数学学科的一个重要的分支，几何的教育价值可以从两个大的方面去考
虑，一方面它具有与数学的其他领域同样的教育功能；另一方面，几何的容的特
殊性以及思维方式的特点又决定它具有一些自己独特的教育价值。

大数学家希尔伯特曾说过：“在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾
向。

一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料作系统的有条理的处理。

另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的形象”。

“就几何方面说，抽象的倾向已经引导到代数几何、黎曼几何和拓扑学等宏伟
的系统理论；在这里抽象的思维方法、以及代数性质的符号运算获得广泛的运用。

然而，直观在几何中所起的作用却是更大，过去如此，现在还是如此。

具体的直观不仅对于研究工作有巨大的价值，对于理解和欣赏几何中的研究结果也是这样。

”
[12]
那么，一般的来讲，几何的教育价值体现在哪些方面呢？鲍建生（2000）概括
归纳出几何教育价值的六个方面
[13]
：
（1）几何有利于形成科学世界观和理性精神。

（2）几何有助于培养良好的思维习惯。

（3）几何有助于发展演绎推理和逻辑推理思维能力。

（4）几何是一种理解、描述和联系现实空间的工具。

（5）几何能为各种水平的创造活动提供丰富的素材。

（6）几何可以作为各种抽象数学结构的模型。

淑文（2006）在其博士论文中归纳概括了一些学者的观点总结了几何的教育
价值。

这些概括和总结考虑了几何作为一个学科课程领域的较为全面的意义。

那么，几何作为数学的一个分支，其研究容和方法的特殊性又有哪些特别的11
教育价值呢？
阿蒂亚（M．Atiyah）认为，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占
主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。

这种区分也许用另一对词刻画更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。

它们在教育中的意义也是清楚的。

我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的
[2]。

荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔（Freudenthal，1989）指出，几何是对
空间的把握——这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。

在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。

NCTM（1989）指出，几何有助于我们用一种有序的方式表示和描述我们生活的
现实世界，将帮助学生描述和弄清世界的意义。

对于学生来说，发展牢固的空间关系的观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。

几何的模型提供了一个透视图，从中，学生可以分析和解决问题，而且几何的解释还可以帮助学生形成一个抽象的（符号的）表
示，使人更容易理解。

NCTM（2000）进一步指出，空间想象——建立和操纵二维和三维物体的心智表
征，及从不同角度观察一个物体的能力，是几何思维的重要方面。

几何很自然地有
助于培养学生的思维和推理能力，中学阶段是学习证明的重要阶段。

因此，关于几何的特点以及由此引来的作为教育容的几何的特征带给学习者
的首先就应该是视觉的、形象的（visual）、直观的，另一面则是推理及证明的逻
辑思维能力的培养。

义务教育《数学课程标准》（2007）这样来概括并解释了几何的教育中三个核
心的思想和目标：空间观念（spatial sense）、几何直觉（geometry intuition）、
推理能力（reasoning ability）。

空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实
际物体；能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系；根据语言描述或通过
想象画出图形等。

直观与推理是“图形与几何”学习中的两个重要方面。

几何直观是指利用图形
描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。

在许多情况下，借
助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。

几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中。

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，因
此，与直观一样，推理也贯穿在整个数学学习中。

推理一般包括合情推理和演绎推理。

合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些
结果，是由特殊到一般的过程。

演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）验证结论，是由一般到特殊的过程。

在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理10 小有较正确的估计，能从复杂的图形中区分出基本图形。

……由此可见，空间想象
力是在空间观念的基础上形成和发展的。

用一般的发展理论来解释儿童对几何概念的理解，只能对数学教育产生有限的
意义。

而数学教育学家对空间观念（能力）及其与几何课程关系的研究却才刚刚起步。

不论对心理学家还是数学教育家来说，空间观念（能力）都没有一个确切的定义，而在其与几何课程的关系上，Coxford（1978）认为“发展家和干涉主义者（即通常意义上的心理学家和数学教育者）为了获得对空间和几何的发展的深刻认识必
须加强合作”，“心理学家必须提供空间—几何概念的基本信息而数学教育家必须将
它们放在适当位置”。

John Del Grande（1990）研究指出，小学生能在与其空间能力相关的几何概念上有很好的表现，因此，必须从直觉和实验活动出发设置适合小学
生的几何课程。

总之，几何课程在发展学生空间观念（能力）的重要性已是不争的
事实，然而，正如Coxford 指出的那样，应如何把它放在适当位置正是数学教育家或数学工作者当前及未来所应致力研究的。

（三）几何教育的价值和空间观念的培养及其意义
作为数学学科的一个重要的分支，几何的教育价值可以从两个大的方面去考
虑，一方面它具有与数学的其他领域同样的教育功能；另一方面，几何的容的特
殊性以及思维方式的特点又决定它具有一些自己独特的教育价值。

大数学家希尔伯特曾说过：“在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾
向。

一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其在的逻辑关系，
并根据这些关系把这些材料作系统的有条理的处理。

另一种是直观的倾向，即更直
接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的
形象”。

“就几何方面说，抽象的倾向已经引导到代数几何、黎曼几何和拓扑学等宏伟
的系统理论；在这里抽象的思维方法、以及代数性质的符号运算获得广泛的运用。

然而，直观在几何中所起的作用却是更大，过去如此，现在还是如此。

具体的直观不仅对于研究工作有巨大的价值，对于理解和欣赏几何中的研究结果也是这样。

”
[12]
那么，一般的来讲，几何的教育价值体现在哪些方面呢？鲍建生（2000）概括
归纳出几何教育价值的六个方面
[13]
：
（1）几何有利于形成科学世界观和理性精神。

（2）几何有助于培养良好的思维习惯。

（3）几何有助于发展演绎推理和逻辑推理思维能力。

（4）几何是一种理解、描述和联系现实空间的工具。

（5）几何能为各种水平的创造活动提供丰富的素材。

（6）几何可以作为各种抽象数学结构的模型。

淑文（2006）在其博士论文中归纳概括了一些学者的观点总结了几何的教育
价值。

这些概括和总结考虑了几何作为一个学科课程领域的较为全面的意义。

那么，几何作为数学的一个分支，其研究容和方法的特殊性又有哪些特别的9
12
用于验证结论的正确性。

关于空间观念的意义和发展，NCTM（全美数学教师理事会，1989）指出：“发展学生的空间观念，儿童必须具有许多经验。

例如，几何关系的要点，在空间中物体的方向、方位和透视观点；相关的形状和图形与实物的大小，以及如何通过改变来改变形状。

这些经验要依靠儿童以下几个方面的能力……。

这些活动促进了儿童的空间观念的发展。

”
“作图、折叠等是发展空间观念的重要部分”；“让儿童想象、绘制和比较放在
不同位置上的图形，这样的练习将有助于发展他们的空间观念。

”；“空间观念对于解释、理解和认识学生周围现实中的几何是必要的。

”
为数众多的研究表明，通过培训能提高空间能力。

Ben-Chaim 等报告了一个三
周的教学培训计划，它明显增强了五至八年级所有学生的空间直观化能力，而且在能力获得方面没有性别差异。

Bishop 发现使用操作材料的小学所教过的学生在空间能力测试方面比缺少这种材料的学校的学生成绩明显占优势。

从以上的文献研究中，我们可以能到这样的结论，关于空间能力的成分、结构及其发展的研究还是比较多的；从数学教育和数学课程的角度出发认识空间想象力和空间观念的意义也已经受到比较充分的关注，但是缺乏较为系统地对学生纵向空间能力或空间观念发展的研究，缺乏对发展学生空间能力或空间观念的教育经验的研究。

二．关于几何（空间）概念和几何思维发展的几个主要理论
15
如，有平行线推出三角形角和。

但他们还没有意识到逻辑的严密性，也不理解其
他演绎体系见的关系。

水平5：严密性、元数学。

学生分析各种演绎系统的高度严密性可以与Hilbert
当初创立几何学时的方法相比。

他们能够理解演绎系统的特性，如公设的相容性、独立性和完整性。

·希尔理论的特点主要表现在这样几个方面，第一，学习是不连续的，即学
习曲线中有跳跃，这个跳跃表明了存在思维的不连续性和思维水平的定性差异。

第二，水平是有序和有层次的，学生若恰好达到某一高级水平，他们必须已掌握大量的低水平容；第三，在一个水平上被隐含地理解的概念在下一个水平就变的被很
清晰的理解了；第四，每个水平都有自己的语言，在一个水平上是“正确”的关系能揭示出自己在另一个水平是不正确的。

那么，·希尔划分的水平是否对学生几何思维有一个准确的描述呢？回答是
基本肯定的。

例如，尤西斯金（Usisking）发现大约75%的中学生适用于·希尔
模式。

伯格（Burger）和肖西（Shauhnessy）对从幼儿园到大学的学生实施了诊
断式谈话，他们报告的学生行为通常与·希尔关于水平的一般描述相一致。

但是研究者们也发现，来自以·希尔理论作基础的大部分研究证据，与来自
皮亚杰观点的研究一道都显示出存在一个比·希尔水平1 更原始的、可能是先决
的思维水平，即存在一个0 水平：前认知。

在前认知水平，儿童感觉几何图形，但可能只注意形状只管特征的某些部分。

他们不能识别很多的常见形状，他们也许能区别曲线图形和直线图形，但在同类图形中却不能区分它们。

但是不管怎样，·希尔几何思维水平还主要是针对学生的关于图形的性状的
认识，也就是说更多的是从欧氏的角度审视学生几何思维的水平。

Bishop 等提出从畴的角度来考虑每一种Van Hiele 的水平
[29]
，即认为用现代
数学概念解释水平结构，一个畴由元素的集合组成，一个元素叫做一个对象（objects），另一个是对象之间关系的集合叫做射（morphisms），他们满足了一系列的公设（见Maclane，1971）。

基于这样的考虑，他们把每一水平的对象描述如下：水平0：对象是学习的基本元素。

水平1：对象是一些用来分析基本元素的特征。

水平2：对象是这些特征的述。

水平3：对象是述的部分次序。

水平4：对象是用来分析部分次序的特征。

例如，将上述对水平的描述运用于几何变换的水平刻画：
水平0：对象是图形变换，如倾斜、伸缩、结合和旋转。

水平1：对象是操作图形时的变换特征，如保持长度不变，逆转方向或使形状畸变。

水平2：对象是有关特征的述，如两个反射等于一个旋转或等于一个平移的复
合。

14
不同位置的影子。

研究还发现，当把钱币或铅笔换成圆锥时，则预言影子的形状要比简单的二维情况更困难，要到十一或十二岁时才能达到最高阶段即形式运算阶段，这时，儿童不借助于光源和物体所作的实验就能直接把正确答案概念化了。

关于空间的知识和概念的产生和发展，可能经验会告诉我们，是在通过“触”、“视”周围物体的感性经验而发展起来的，并在这些感知觉的基础上将这些物体合
成一个有意义的整体。

但是皮亚杰发现这个假定或者说结论实际上错误的，他发现
事实上儿童空间观念的演化是在两个不同的水平上进行的——知觉水平（即通过视
和触地感性学习）和思维或想象水平。

这后一个水平并非如人们所设想的在逻辑上
是从前一个水平来的，而是各自沿着本身的途径发展，因而在某些地方必须将两者
分别的发展协调起来。

物质世界提供了一个天然的水平和垂直形式的参照系，地板和地面代表着水平
面，许多垂直的物体比如墙壁、树木、轮船的桅杆、旗杆等都代表着垂直。

当需要
的时候，儿童是否会运用这样一些垂直和水平的系统呢？皮亚杰研究的结果发现，
刚入学的儿童很少能这样做。

只有到了十一岁至十二岁后的思维的形式运算中，儿
童方能建立真正规的参照系，使他能真正比较距离和位置。

因而，到小学毕业进
入初中时，儿童对于画地图所必需的经验才有所准备。

通过制作布局模型，皮亚杰来考察儿童确定物体彼此间的位置的能力。

皮亚杰
的研究发现，儿童在经历了几个阶段的发展后，在阶段4 时，即从十一岁到十三岁，儿童终于达到抽象水平或“形式”运算水平。

儿童为了能够确定物体的位置，已经
能够在自己的头脑中具有了相交于模型中心的抽象的坐标轴（一根垂直的和一根水
平的坐标轴），以作为复制模型的最好的参照物。

皮亚杰关于儿童学习几何、把握空间、认识图形等思维发展水平的研究，为我
们从某些角度了解儿童的几何（空间）认知特点提供了很好的素材和结果。

（二）·希尔（Van Hiele）关于学生几何思维水平的研究
就像皮亚杰等人的工作一样，·希尔的理论有着广泛的影响并被深入地研
究。

·希尔的理论认为学生通过几何思维水平的进步，从一个像格式塔的直观化
水平不断地提高到描述、分析、抽象和证明等复杂水平。

·希尔将学生几何思维
的发展水平分为5 个层次
[30]
：
水平1：直观化。

学生通过整体形状来认识图形，他们能够说出三角形、正方
形、立方体等，但不能准确判定图形的性质。

水平2：描述、分析。

学生通过图形的性质来识别图形并能确定图形的特征。

如学生能这样分析图形的特性“矩形的对角线相等”、“菱形的边都相等”。

但他们
看不到图形的联系。

（学生可能会满足于一个图形因为它是正方形所以不是长方形）水平3：抽象、关联。

学生能够将图形和他们的特性联系起来，能形成抽象的
定义，区分概念的充分和必要条件。

知道“每个正方形都是矩形”但他们不能组织
定理系列来证明他们的观察。

水平4：形式推理。

学生掌握了定理系列，并能从一个定理推出另一个定理。

13
特点和阶段性。

例如，为了研究儿童对透视或者呈现
形状的理解，皮亚杰将儿童、一个娃
娃和一根棒安排成如右图所示的位
置，实际上，儿童看到的是长的，
而娃娃只看到棒的断面。

要求儿童画
出自己看到的样子以及娃娃看到的
样子。

可以观察到三个阶段：
第一阶段，4 到7 岁的儿童表现出完全不会
或部分地不会对不同的视点加以区别。

在这个阶
段的较高水平，儿童开始对各种不同的视点加以区别。

第二阶段，受试的5 岁的儿童的有些回答是正确的，而另一些却错了。

比如，
当木棒对于娃娃水平或竖直放置时，能够正确画出。

但当木棒指向娃娃时，却无法
画出木棒的断面来。

类似的，对于一个圆形的金属片，该儿童只能画出圆形金属片
正对它时的样子，但它的侧面却仍被画成完整的圆形或半圆形。

第三阶段，儿童的思维处于运算的、智慧的或抽象的水平，与前两个水平根本
不同。

前两个水平儿童的思维都是根据感觉和知觉映像的。

在此阶段，他（汉恩，
八岁）能够概括出一种观念，即当一个物体离开观察者倾斜时，它看上去就短些。

并且他知道随着木棒继续倾斜至水平时，他只能看到一点圆形的东西。

类似的，正
面看一个圆盘，他把它画成一个圆，当盘子稍微倾斜一点时，汉恩画了一个椭圆，
继续下去，他画出了更扁的椭圆，最后是一条线。

皮亚杰还将透视方面的研究拓展到对各种物体所投射的影子的研究（如上图）。

比如，当一支铅笔、一枚硬币或一块长方形硬纸板倾斜成各种角度以及旋转到侧面
或端面等各种位置时，让儿童试着用图画来预言影子将是什么样。

从这类活动中可
以发现，处于各个发展阶段的儿童的情况，同其他类似的研究结论相似。

比如，当
实验用的物体时一支铅笔，那么，不满七岁或八岁的前运算阶段的儿童，他们将自
己的视点放在物体上，完全受自我中心所支配，不能从其他的视点来考虑，总是将
物体画成同样的模样。

在阶段2，儿童是从自身的位置而不是从光源的角度来表征
物体的。

而处于运算水平的儿童能从不同的视点进行考虑，正确地预言铅笔房放在12 16
水平3：对象是述的序列，如证明发射产生等距或证明反射和拓产生一致性。

水平4：对象是一些特征，它们可以用来分析各种几何转换群。

当然，以上的分析和讨论主要是针对中学生进行的，可以作为我们研究小学生
空间观念水平的参考。

（三）SOLO 分类法
SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分类法是Biggs and Collis
于1982 年提出的。

他们认为描述学生学习的发展和结构，最恰当的方法是对学生
的反应进行讨论。

SOLO 分类法提出了一套用以评价各个领域的认知表现的分类方法，其中包含
了从简单到复杂的五种思维作用方式，他们与Piaget 的认知发展阶段大致平行。

这五种思维作用方式分别是：感觉运动方式（从出生开始）、表象阶段（大约18 个月。