历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析

题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系

是 .

（第十一届高二第一试第11题）

解法1 b b a a b b a x ++=

-+=

，a

b b a

a b b y -+=--=.

y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .

解法2

b

b a a

b b a b b b b a y x ++-+=

---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3

a a

b b a b b a a

b b b b a y x -+-

++=----+=-1111 =

y x y

x a a b b a <∴>-∴>--+,01

1,0.

解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2

)(2

2

2

y x y x +≥

+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .

解法5 如图1，在函数x y =

的图象上取三个不同的

点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）.

由图象，显然有AB BC

k k <，即)

()(a b b a

b b b b a b b a ----<

-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.

解法6 令()f t =

，t

t a a

t f ++=

)( 单

调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.

解法7 考虑等轴双曲线)0(2

2

>=-x a y x .

图1

如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>AB

k ，即1>-+--b

b a a

b b ，从而y x <.

解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，

AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD

从而-+b a AD-DC<-b DC ， 即a b b b b a --<-+，故y x <.

评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，

1a a b b >⇔>；0,

a b b

>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问

题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.

有人对此题作出如下解答：

取,2,1==b a 则1

21

12,231

23+=-=+=

-=

y x

，32+>10+>，

.,1

21

231

y x <∴+<

+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：

已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=

<<的大小关系是

图

2

图3

（ ）

A 、y x >

B 、y x ≥

C 、y x =

D 、y x <

此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确. 总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.

题 2 设c b a >>N n ∈,，且

11n

a b b c a c

+≥

---恒成立，则n 的最大值为 （ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

（第十一届高二第一试第7题）

解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔

．min

a c a c n a

b b

c --⎡⎤

∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =

b a

c b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当

b a

c b --=c

b b

a --，即

b

c a 2=+时取等号．min

a c a c a

b b

c --⎡⎤

∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为

()()()2a c n a b b c -≤

--．由()()()()22

2

42

a c a c a

b b

c a b b c --≥=---+-⎛⎫

⎪⎝

⎭

，即()()()4min

2=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡---c b b a c a ，

故由已知得4≤n ，选C ．

解

法

3

由

c

b a >>，知

,0,0>->->-c a c b b a ，有

()⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11

．

又

()()()[]()41111112

=+≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫

⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，

即()411

min

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．

解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为

()()()2a c n a b b c -≤

--．记()()()

2

a c k a

b b

c -=--，