倒立摆MATLAB建模

线控大作业

如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图倒立摆系统

假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g

摆杆的长度：2l=1m

小车的质量：M=1kg

重力加速度：g=10/s2

摆杆惯量：I=0.003kgm2

摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，

调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求：1、建立倒立摆系统的状态方程

2、定量分析,定性分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性

3、极点配置

设计分析报告

1 系统建模

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示。

图 一级倒立摆模型 其中：

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

N x b F x

M --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

)sin (22

θl x dt d m N += 即：

θθθθsin cos 2 ml ml x

m N -+= 把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程：

F ml ml x b x

m M =-+++θθθθsin cos )(2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

)cos (22

θl dt

d m mg P =- θθθθ

cos sin 2 ml ml mg P --=- 力矩平衡方程如下：

θ

θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：

θθθcos sin )(2x

ml mgl ml I -=++ 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1<<φ，则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dt

d θφθθ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： 2(+)()I ml mgl mlx M m x bx ml u ϕϕϕ⎧-=⎨++-=⎩

对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到

⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)

()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

)(])([)(22s s

g ml ml I s X Φ-+= 或 mgl

s ml I mls s X s -+=Φ222

)()()( 如果令x

v =，则有：

mgl

s ml I ml s V s -+=Φ22)()()( 把上式代入方程组的第二个方程，得到：

)()()()()()(2222s U s s ml s s s g ml ml I b s g ml

ml I m M =Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ 整理后得到传递函数：

s q

bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s -+-++=Φ23242)()()()( 其中 []

22)())((ml ml I m M q -++=

设系统状态空间方程为： Du CX y Bu AX X

+=+=

方程组 对φ

,x 解代数方程，得到解如下： ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mlb u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2222222222)()()()()()()()()(φφφ

φφ 整理后得到系统状态空间方程：

u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222

222)(0)(00)()()(010000)()()(00010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 代入倒立摆系统的参数。

摆杆的质量：m=0.1g

摆杆的长度：2l =1m