诱导公式复习
5.5诱导公式复习课
运用知识
练习5.5.3
强化练习
求下列各三角函数值 （1） tan 225 （3） cos 495 （5） sin （2） sin 660 （4） tan
11π 3
7π )． 6
17 π 3
（6） cos(
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
再 见
3.设 tan( ) 2, 求 sin( 3 ) cos( ) 的值 sin( ) cos( )
五、课堂小结
本节课我们从数形结合以及任意角的三角函数定
义的角度复习公式一到四这四组公式，这四组公式在
求三角函数值、化简三角函数及证明三角恒等式时经
常用到，为了记牢公式，我们总结了“符号看象限”
的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过
重要的还是应用，我们要多加练习，切实掌握由未知
向已知的化归思想和数形结合思想.简单来说就是：
“负化正，大化小，化到锐角结束了”。
大学向你招手
• • • •
你们走进职高来、为了梦想而努力 要想数学听得懂、跟住老师不溜号 多做题目少贪玩、天天去找老师讲 要想考上好大学、课上课下多练习
（2） sin(390 ) ； （3） cos(
8 )； 3
诱
诱导公式三：
π
sin （π ） sin cos （π ） cos tan （π ） tan
导 公 式
sin( π ) sin cos( π + ) cos tan( π + ) tan
sin （π ） sin cos （π ） cos tan （π ） tan
诱导公式
诱导公式（1）——360︒ k + α, 180︒ - α, 180︒ + α, 360︒ - α, - α 目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。
过程：一、诱导公式的含义：任意角的三角函数 0︒到360︒角的三角函数 锐角三角函数二、诱导公式1、公式1：（复习）sin(360︒k +α) = sin α, cos(360︒k +α) = cos α.tan(360︒k+α) = tan α, cot(360︒k +α) = cot α.sec(360︒k +α) = sec α, csc(360︒k +α) = csc α2、对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角）[[[[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当 36027036027018018018090180)900 （以下设α为任意角） 3、公式2：设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180︒+α终边与单位圆交于点P ’(-x ,-y )∴sin(180︒+α) = -sin α, cos(180︒+α) = -cos α. ︒+α) = tan α, cot(180︒+α) = cot α.︒+α) = -sec α, csc(180︒+α) = -csc α4、公式如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：-α) = -sin α, cos(-α) = cos α. -α) = -tan α, cot(-α) = -cot α. -α) = sec α, csc(-α) = -csc α5、公式4： sin(180︒-α) = sin[180︒+(-α)] = -sin(-α) = sin α,cos(180︒-α) = cos[180︒+(-α)] = -cos(-α) = -cos α,同理可得： sin(180︒-α) = sin α, cos(180︒-α) = -cos α.tan(180︒-α) = -tan α, cot(180︒-α) = -cot α.sec(180︒-α) = -sec α, csc(180︒-α) = csc α6、公式5： sin(360︒-α) = -sin α, cos(360︒-α) = cos α.tan(360︒-α) = -tan α, cot(360︒-α) = -cot α.sec(360︒-α) = sec α, csc(360︒-α) = -csc αy ) P’(P(诱导公式（2） 90︒ k ± α, 270︒ ± α,目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
12诱导公式
12 诱导公式练习11、诱导公式——综合练习2、通过练习，使学生进一步熟悉诱导公式，形成熟练技巧,为继续学习以后的内打下基础。
重点：诱导公式的运用难点：逐渐形成熟练技巧讲授法诱导公式练习及单元复习一、诱导公式复习二、例题讲解：例1、 例2、例3、 例4、把下列三角函数化为锐角三角函数： 1、sin1315︒ 2、cos(-780︒) 3、tan(-1930︒) 4、 sin 6125π 2、cos(-4123π) 3、tan(-830︒)一、复习：1、诱导公式2、对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角） [[[[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当 36027036027018018018090180)900 二、例1、把下列三角函数化为锐角三角函数：1、sin2315︒2、cos(-1480︒)3、tan(-1230︒)解：1、sin2315︒= sin(2315︒-6*360︒)=sin155︒= sin （180︒-35︒）= sin35︒2、cos(-1480︒)= cos(-1480︒+5*360︒)= cos320︒= cos （360︒-40︒） = cos40︒3、tan(-1230︒)= tan(-1230︒+4*360︒)= tan210︒= tan （180︒+30︒） =- tan30︒=-33 小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1︒用“2k π + α”公式化为[0，2π]角的三角函数2︒用“π±α”或“2π - α”公式化为锐角的三角函数三、学生练习 、把下列三角函数化为锐角三角函数：1、sin2115︒2、cos(-1180︒)3、tan(-2120︒)例2、计算：sin315︒-sin(-480︒)+cos(-330︒)解：原式 = sin(360︒-45︒) + sin(360︒+120︒) + cos(-360︒+30︒) = -sin45︒ + sin60︒ + cos30︒ =223-例3、已知的值。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解22---诱导公式
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5.3诱导公式【考点梳理】考点一：公式二1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.考点二：公式三1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．2．公式：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.考点三：公式四1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．2．公式：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.考点四：公式五1．角π2－α与角α的终边关于直线y ＝x 对称，如图所示． 2．公式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 考点五：公式六1．公式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.2．公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.大重点：诱导公式规律总结1.明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值 公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三 将负角转化为正角求值 公式四将角转化为0～π2之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．【题型归纳】题型一：诱导公式一的应用1．（2021·江苏·高一课时练习）求值： （1）7πsin6； （2）11πcos 4； （3）()tan 1560-︒. 2．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）计算 （1）142053sin cos tan 336πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()tan675sin 330cos960︒--︒-︒．题型二：诱导公式二、三、四应用 3．（2021·江苏·高一课时练习）化简：（1）cos(π)ππsin cos sin(π)22αααα-⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭.4．（2021·全国·高一课时练习）已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f αππααπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭=--⋅--． （1）化简()f α；（2）若α为第四象限角且31sin 25απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值；（3）若313απ=-，求()f α．题型三：：诱导公式五、六应用5．（2021·全国·高一课时练习）已知3tan 4θ=-．求下列各式的值：（1）3sin cos 222sin()cos()ππθθπθθπ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--；（2）222sin cos cos 2sin cos θθθθθ-++． 6．（2021·陕西·杨陵区高级中学高一月考）已知角θ的顶点是平面直角坐标系的原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角θ的终边过点()1,2P ．（1）求sin θ，cos θ的值；（2）求()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．题型四：诱导公式的化简求值7．（2021·海南·儋州二中高一月考）已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+. （1）化简()f α； （2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值8．（2020·四川·威远中学校高一月考）化简:（1）设tan 3α=，求sin()cos()sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，求2sin sin cos ααα-.题型五：利用诱导公式证明恒等式 9．（2019·全国·高一课时练习）求证：()()()2cos cos 223sin 3cos sin sin cos sin 1222θθθθθθθθπ-π-+=ππ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫π++-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 10．（2021·全国·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题型六：正切函数的诱导公式的应用 11．（2021·陕西富平·高一期末）化简求值：（1）3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；（2）()tan 315tan 570tan 60tan 675︒+︒-︒-︒．12．（2021·上海师范大学第二附属中学高一月考）化简下列各式：（1）()()()()()sin 180cot 90cos 360tan 180tan 90sin()αααααα︒-︒-︒-⋅⋅︒+︒+-（2）()22221sin cot cot cos αααα+--【双基达标】一、单选题13．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））若3tan 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2t a n 5πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．4-14．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）已知200︒的终边上有一点(1,)a -，则si n 160︒=（ ）A ．a -B ．21a a +C ．21a a -+D ．211a +15．（2021·江西·九江一中高一期中）已知65s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+，则3cos 10πα⎛⎫⎝-⎪⎭=( )A ．33-B ．63-C ．33D ．6316．（2020·湖北荆门外语学校高一月考）若()tan 20192πα-+=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-=（ ） A ．35-B ．45C ．25D ．117．（2021·全国·高一课时练习）已知3312,,tan(),sin cos 22425ππααπαα⎛⎫∈-=-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+等于（ ）A ．15±B ．15-C ．15D ．75-18．（2021·全国·高一课时练习）已知31,2,sin 223ππαπα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan()πα+=（ ） A ．22B ．22-C ．2D ．2-19．（2021·北京市第四十三中学高一月考）已知tan 2θ=，则s i n c o s ()2c o s s i n ()πθπθθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=--（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．2320．（2020·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知cos 29m =，则sin 241tan151的值是（ ）A ．21m m -B ．21m -C ．21m m-D ．21m --21．（2021·安徽·淮北市树人高级中学高一期中）若3sin(π)5α+=，且α是第三象限角，则ππsin cos 22ππsin cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B ．7C ．-7D ．-122．（2021·辽宁·大连市一0三中学高一月考）已知点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且3sin 5θ=，则sin()2sin 22tan()ππθθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=-（ ）A ．2215B ．23C ．2215-D ．23-【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一课时练习）设()tan 5m πα+=（4k παπ≠+，且2k παπ≠+，k ∈Z ），则()()()()sin 3cos sin cos a αππαπα-+---+的值为（ ）A ．11m m +-B ．11m m -+C ．－1D ．1 24．（2021·广西·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．32C ．32±D ．12-25．（2021·全国·高一课时练习）化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-------=（ ）A ．-sin θB ．sin θC ．cos θD ．-cos θ26．（2021·陕西渭滨·高一期末）sin(600)tan300-+︒︒的值是（ ） A ．32-B ．32C ．132-+D ．132+27．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知()sin 0πα+<，且s i n 02πα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 28．（2021·全国·高一单元测试）“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简tan1tan 2tan3tan89︒︒︒︒（ ） A ．442B ．1C ．1442D ．145230．（2021·广西·防城港市防城中学高一月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90° ，则称θ与q “广义互余”已知1sin()4πα+=-，下列角β中：①15sin 4β=；②1cos()4πβ-=；③tan 15β=；④tan 152πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.可能与角a “广义互余”的有（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④31．（2021·广西·全州县第二中学高一期中）化简221cos 102sin 201cos 160-+--的结果为（ ）A ．sin10B ．sin102C ．12D ．1 32．（2021·全国·高一课时练习）已知3cos cos()2,2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ） A ．2B ．-2C ．13D ．3二、多选题33．（2021·河北·曲周县第一中学高一月考）下列化简正确的是 A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-34．（2020·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+ 35．（2021·全国·高一课时练习）下列化简正确的是（ ） A ．tan(1)tan1π+=B ．()sin()cos tan 360ααα︒-=-C ．cos()tan()1sin(2)παπαπα---=-D ．若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭36．（2020·江苏省苏州第十中学校高一月考）已知()()()()()sin 540cos 3601sin()tan 900tan 450tan 810xx x x x x--⋅⋅----，则（ ） A ．当120x =时，上式的值为32B ．当150x =时，上式的值为12C ．当240x =时，上式的值为32D ．当60x =-时，上式的值为32-三、填空题37．（2021·全国·高一课时练习）若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-_____． 38．（2021·全国·高一课时练习）求值()()sin 420cos750sin 690cos 660︒︒+-︒⋅-︒=_________．39．（2021·河南·新乡县高中高一月考）已知α为第二象限角，且115tan tan 4αα-=则πsin sin(π)2πsin sin(π)2αααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值为______.40．（2021·全国·高一课时练习）已知角2()5k k Z παπ=-∈，若角θ与角α的终边相同，则sin cos tan |sin ||cos ||tan |y θθθθθθ=++的值为______. 41．（2021·浙江临海·高一期中）已知点(1,2)P 是角θ终边上的一点，则5sin cos(3)2sin sin()2πθπθπθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭_________． 42．（2021·上海·高一课时练习）已知sin(π)α-是方程61x x =-的根，求cos(5π)tan(2π)sin(3π)cot(π)αααα-⋅-+⋅-的值.四、解答题43．（2021·陕西·绥德中学高一月考）(1)计算：3sin(90)5tan1805cos0sin540-+︒+︒+︒；(2)化简：()3sin 2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαααπαππαπααπα-+------+. 44．（2021·全国·高一课时练习）已知sin α是方程25760x x --=的根．求233sin sin tan (2)tan()22cos cos 22αππαπαπαππαα⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．45．（2021·江西省靖安中学高一月考）已知3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f παππαααπαπα---+=----.（1）化简()f α； （2）若313πα=-，求()f α的值；（3）若13cos(),,252ππααπ⎡⎤--=∈⎢⎥⎣⎦，求()f α的值. 46．（2021·陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：3sin(3)cos(2)sin 2cos()sin()παπαπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭-⋅--（2）求值：()()sin 150cos 210cos 420tan 60-︒⋅︒⋅-︒⋅︒47．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知角α的终边经过点(),2P x -，（0x ≠），且3cos 6x α=，求cos sin sin ααα+的值； （2）求值：()()sin 420cos750sin 690cos 660tan(1380)+--+-o o o o o.48．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）（1）求函数|sin |2cos |tan |2cot sin |cos |tan |cot |y αααααααα=+++的值域；（2）化简：sin()cos(6)7sin cot 22θπθπππθθ--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．49．（2021·陕西韩城·高一期末）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan tan 20αα--=.（Ⅰ）求()tan πα-的值；（Ⅱ）求2021sin sin(2021)2cos()2sin()παπααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭-++的值. 50．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简： （1）212sin100cos 280cos3701cos 170-︒︒︒--︒；（2）()()()()sin tan 5tan 2cos 2αππαπαπα-----. 51．（2021·湖北武汉·高一期中）已知角α的终边经过点(),22P m ，22sin 3α=且α为第二象限角.（1）求实数m 和tan α的值；（2）若tan 2β=，求()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin cos παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值.【答案详解】1．（1）7π1sin62=-；（2）22-；（3）3. 解 （1）7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.（2）11π3π3ππcoscos 2πcos cos π4444⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π2cos42=-=-. （3）()()tan 1560tan1560tan 4360120-︒=-︒=-⨯︒+︒()tan120tan 18060tan 603=-︒=-︒-︒=︒=.2．（1）336--；（2）-1. 【详解】 （1）142053sin cos tan 336πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=sin 4cos 6tan 933621ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=sin cos 11tan 3361πππππ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=sin cos tan 3361πππ--+，313=223--+， 336--=. （2）()tan675sin 330cos960︒--︒-︒，()()()tan 72045sin 36030cos 3360120=︒---︒+-⨯︒-， tan45sin30cos60=--+，11122=--+，1=-．3．（1）2cos α-；（2）cos α【详解】 （1）()()2cos(π)ππcos sin cos cos sin cos sin(π)22sin ααααααααα--⎛⎫⎛⎫⋅-+=⋅--=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos sin sin cos sin cos tan cos αααααααα⋅-==-. 4．（1）()cos f αα=-；（2）15-；（3）12-． 【详解】（1）[]3sin()cos()sin (sin )cos (cos )2()cos cos()sin()(cos )sin f απααπαααααπαπααα⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪-⋅⋅-⎝⎭===-+⋅-+-⋅．（2）因为31sin sin cos 225παπαα⎛⎫⎛⎫-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()cos 5f αα=-=-．（3）因为313απ=-，()cos f αα=-， 所以3131cos 33f ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 52cos cos 331132ππππ⎛⎫⎪⎝⎛⎫=--⨯-=--=-=- ⎪⎭⎭⎝．5．（1）710- ；（2） 2225．【详解】（1）原式31cos sin 1tan 7462sin cos 2tan 11014θθθθθθ---+-+====--+-++． （2）原式2tan 12tan 1θθ-=++312242925116--=+=+． 6．（1）25sin 5θ=，5cos 5θ=；（2）2-. 【详解】因为角θ的终边过点()1,2P ，所以1x =，2y =，22125r OP ==+=， 所以225sin 55y r θ=== ，15cos 55x r θ===， （2）()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()sin 4cos sin 4cos sin cos sin cos θθθθθθθθ-+---==--+，由（1）知：tan 2yxθ==， 所以sin 4cos tan 4242sin cos tan 121θθθθθθ------===-+++所以()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2-.7．（1）sin cos αα⋅；（2）32-.【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-；（2）由()1sin cos 8f ααα==可知()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴3cos sin 2αα-=-. 8．（1）2；（2）25.【详解】 ∵tan 3α=，则sin()cos()sin cos 22a a a a ππππ-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin (cos )sin cos cos (sin )sin cos a a a aa a a a-+-+==+--tan 1312tan 131a a ++===--.（2）依题意得：tan 353tan a a+=-，∴tan 2a =，∴2222sin sin cos sin sin cos sin cos a a a a a a aα--=+22tan tan tan 1a aa -=+ 222221-=+25=. 9． 证明：左边()cos cos cos cos 1cos cos cos θθθθθθθ-=+---+ 111cos 1cos θθ=++-221cos θ=-=22sin θ=右边，所以原式或立． 10． 【详解】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．11．（1）1；（2）33． 【详解】（1）3πsin(2π)cos(3π)cos sin (cos )sin 21sin(π)sin(3π)cos(π)sin sin (cos )αααααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭==-+-----；（2）()31tan 315tan 570tan(36045)tan(54030)tan 45tan 3033tan 60tan 675tan 60tan(72045)tan 60tan 45331-+︒+︒︒-︒+︒+︒-︒+︒====-︒-︒-︒-︒-︒-︒+︒-+．12．（1）sin α；（2）0. 解：（1）()()()()()()()sin 180cot 90cos 360sin tan cos sin tan 180tan 90sin()tan cot sin ααααααααααααα︒-︒-︒-⋅⋅⋅⋅==︒+︒+-⋅-⋅- （2）()222222221sin cot cot cos cot cos cot cos 0αααααααα+--=+--=13．D 解：因为2π2π2πtan tan tan π555ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πtan 45α⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.所以2tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：D. 14．C 【详解】 由题意2sin 2001a a ︒=+，所以2sin160sin(360200)sin 2001a a ︒=︒-︒=-︒=-+．故选：C ． 15．B 【详解】 ∵3=()5102πππαα+-+，65s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+， ∴由诱导公式可得，336sin[()]cos()102103sin()5ππππααα=-+=-=-+， 故选：B. 16．D 【详解】由()tan 20192tan 2παα-+=⇒=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-222222sin cos sin cos tan tan 14211sin cos tan 141ααααααααα+⋅-+-+-====+++. 故选：D. 17．B 【详解】由题意得3tan()tan 4απα-==-，又3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos 0,sin 0αα<>，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-， 所以sin cos αα+341555=-=-， 故选：B. 18．B 【详解】 因为31,2,sin cos 223ππαπαα⎛⎫⎛⎫∈+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 3α=-，tan 22α=-， 所以()tan tan 22παα+==-， 故选：B 19．B 【详解】 因为tan 2θ=，所以sin cos()2cos sin()πθπθθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--，2cos cos sin θθθ=-，221tan θ==--，故选：B 20．B 【详解】sin 241tan151sin 61tan 29cos29tan 29== 22sin 291cos 291m ==-=-，故选：B. 21．B 【详解】由()3sin πsin 5αα+=-=，则3sin 5α=-.又α是第三象限角，所以24cos 1sin 5αα=--=-，所以ππ43sin cos cos sin 22557ππ43cos sin sin cos 2255αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 22．C 【详解】依题意，θ是第二象限角，而3sin 5θ=，则24sin 3cos 1sin ,tan 5cos 4θθθθθ=--=-==-， 所以342()sin()2sin()sin 2cos 2255232tan()2tan 152()4ππθθθθπθθ-+⋅-++--+===----⋅-. 故选：C 23．A 【详解】∵()tan 5m πα+=，4k παπ≠+，且2k παπ≠+，k ∈Z ，∴tan m α=，1m ≠， ∴()()()()sin cos tan 111sin cos tan sin 3cos 11n 1si cos a m m m m ααααααππαπαα------+====-+--+-+-+-+--．故选：A. 24．B 【详解】∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴55,636πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴2553sin 1cos 662ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴553sin sin sin 6662πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：B 25．A 【详解】原式=sin()cos()cos 2cos sin()πθπθθθθ-+-， =2(sin )cos cos (sin )θθθθ--， =-sin θ. 故选：A 26．A 【详解】()33sin(600)tan 300sin120tan 60sin 60tan 60322-+︒=+-︒=︒︒-︒=-=-︒.故选：A. 27．B 【详解】由诱导公式可得：()sin sin 0παα+=-<，sin cos 02παα⎛⎫-=< ⎪⎝⎭所以sin 0α>，cos 0α<，所以α是第二象限角 故选：B 28．B 【详解】sin cos sin()2παββ==-，所以22k παβπ=-+或22k παππβ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，k Z ∈，即2()2k k Z παβπ+=+∈或2()2k k Z παπβ=++∈，因此题中应是必要不充分条件． 故选：B ． 29．B 【详解】因为sin sin(90)sin cos tan tan(90)1cos cos(90)cos sin αααααααααα︒-︒-=⋅=⋅=︒-， 所以tan1tan 2tan3tan89(tan1tan89)(tan 2tan88)(tan 44tan 46)tan 451︒︒︒︒=︒︒⋅︒︒︒︒︒=． 故选：B ． 30．A 【详解】由1sin()4πα+=-，得1sin 4α-=-，所以1sin 4α=，故15cos 4α=±. 由题意，a +β= 90°，所以sin β15cos ,4α==±，1cos sin 4βα==，tan 15β=±.故①③满足；对于②，由1cos()4πβ-=，得cos β= 14-，不满足；对于④，由tan()152πβ+=，可得115tan β-=.则15tan 15β=-，不满足.故可能与角a “广义互余”的有①③. 故选：A. 31．B 【详解】222221cos 10sin 10sin102sin 20sin 202sin 201cos 1602sin 2s 0s 6in in 110-===+-+--+-，故选：B. 32． A 【详解】3cos cos()2,sin cos 22παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos 2,(sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=-∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==， 故选：A ． 33．AB利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos o αααααααα--===--，故B 正确；C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB 34．AB 【详解】由题意知sin 0α<，cos 0α>，tan 0α<. 选项Asin 0tan αα>； 选项B ，cos sin 0αα->； 选项C ，sin cos 0αα<； 选项D ，sin cos αα+符号不确定. 故选：AB. 35．ABD 【详解】由诱导公式易知A 正确；B 正确，()sin()sin cos tan tan 360ααααα︒--==--；C 错误，cos()tan()sin(2)παπαπα----(cos )(tan )1sin ααα--==--；D 正确，312sin()sin 12sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，原式2(sin cos )|sin cos |θθθθ=-=-∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0,cos 0θθ><，∴sin θcos θ0->，∴312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=-⎪⎝⎭. 故选：ABD. 36．ABD 【详解】()()()()()sin 540cos 3601sin()tan 900tan 450tan 810xx x x x x--⋅⋅---- ()()()()()sin 180cos 1sin()tan 180tan 90tan 90xx x x x x --=⋅⋅----2sin 1cos cos sin cos sin 11tan sin cos tan tan xx x xx x xx x x x=⋅⋅==⨯=--， 当120x =时，原式3sin1202==，故选项A 正确； 当150x =时，原式1sin1502==，，故选项B 正确；当240x =时，原式()3sin 240sin 18060sin 602==+=-=-，故选项C 不正确； 当60x =-时，原式()3sin 60sin 602=-=-=-，故选项D 正确， 故选：ABD 37．2或2- 【详解】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭， 当角α为第一象限角时，2cos sin 2αα==，22cos sin 222αα--=--=-； 当角α为第三象限角时，2cos sin 2αα==-，22cos sin 222αα--=+=． 故答案为：2或2-. 38．1 【详解】()()sin 420cos750sin 690cos 660sin 60cos30sin 30cos60331112222︒︒+-︒⋅-︒=︒+︒⋅︒=⋅+⋅=故答案为：139．35【详解】 由115tan tan 4αα-=，得24tan 15tan 40αα--=，得1tan 4α=-或tan 4α=. α为第二象限角，∴1tan 4α=-，π1sin sin(π)1cos sin 1tan 3241πcos sin 1tan 51sin sin(π)42αααααααααα⎛⎫+-+-⎪++⎝⎭∴====--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭. 故答案为：35. 40．1- 【详解】sin cos tan |sin ||cos ||tan |y θθθθθθ=++sin cos tan |sin ||cos ||tan |αααααα=++ sin 2cos 2tan 2555|sin 2||cos 2||tan 2|555k k k k k k ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin cos tan 555sin costan555ππππππ--=++--sin cos tan 5551111sincostan555ππππππ--=++=-+-=-.故答案为：1- 41．2- 【详解】点(1,2)P 是角θ终边上的一点，则2tan 21θ==5sin cos(3)cos cos 2cos 222cos sin cos sin 1tan sin sin()2πθπθθθθπθθθθθθπθ⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭====----⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故答案为：2- 42．520±【详解】61x x =-即26()10x x +-= ，解得13x = ，19x = ，1sin(π)sin 9αα-=-=，1sin 9α=- ， cos(5π)tan(2π)cos(π)tan()cos (tan )sin(3π)cot(π)sin(π)cot()sin (cot )αααααααααααα-⋅--⋅--⋅-==+⋅-+⋅--⋅-sin cos sin cos cos cos sin sin αααααααα⋅==⋅， 因为1sin 9α=-，所以45cos 9α=± ，那么原式值为520±. 故答案为：520±43．(1)2；(2)1. 【详解】(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得，3sin(90)5tan1805cos 0sin 5403sin 905tan 05cos 0sin 03505102-+︒+︒+︒=-++-=-+⨯+⨯-=(2) 由诱导公式可得，()3sin 2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2sin (sin )cos (cos )cos sin sin cos 1.πππαααπαππαπααπααααααααα-+------+---=-=44．34±． 【详解】由sin α是方程25760x x --=的根，可得3sin 5α=-或sin 2α=（舍），原式233sin sin (tan )(tan )22sin (sin )ππαααααα⎛⎫⎛⎫-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯- 2cos (cos )tan (tan )sin (sin )αααααα⨯-⨯⨯-=⨯-tan α=-．由3sin 5α=-，可知α是第三象限或者第四象限角， 当α是第三象限时，4cos 5α=-，3tan 4α=； 当α是第四象限时，4cos 5α=，3tan 4α=-； 所以3tan 4α=或34-， 即所求式子的值为34±． 45．（1）cos α-；（2）12-；（3）265. 【详解】 解：（1）3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f παππαααπαπα---+=----sin cos (cos )cos cos sin αααααα-⨯⨯-==--⨯； （2）若313πα=-，则3111()cos()cos 332f παπ=--=-=-； （3）由1cos()25πα--=，可得1sin 5α=-， 因为[απ∈，3]2π，所以26cos 5α=-，所以26()cos 5f αα=-=. 46．（1）cos α；（2）38 【详解】 （1）原式()sin cos cos cos cos sin αααααα⋅⋅-==-⋅；（2）原式()()()sin 18030cos 18030cos 36060tan 60=-︒+︒⋅︒+︒⋅-︒-︒⋅︒()sin30cos30cos60tan 60=-︒⋅-︒⋅︒⋅︒131332228⎛⎫=-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 47．（1）6566+-或6566-；（2）13+. 【详解】（1） 角α的终边经过点(),2P x -，由三角函数的定义，23cos 62x x x α==+，解得10=±x . 当10x =时，30cos 6α=，6sin 6α=-，cos 656sin sin 6ααα-+=；当10x =-时，30cos 6α-=，6sin 6α=-，cos 656sin sin 6ααα++=-. （2）由诱导公式可得：()()sin 420cos 750sin 690cos 660tan(1380)sin 60cos30sin 30cos 60tan 6033113132222+--+-=++=⋅+⋅+=+o o o o o o o o o o48．（1）{4,2,0,6}--；（2）cos θ． 【详解】 解：（1）因为|sin |2cos |tan |2cot sin |cos |tan |cot |y αααααααα=+++，显然|,2k k Z παα⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭； 当α在第一象限时，sin 0α>、cos 0α>、tan 0α>，cot 0α>，所以sin 2cos tan 2cot 6sin cos tan cot y αααααααα=+++=； 当α在第二象限时，sin 0α>、cos 0α<、tan 0α<，cot 0α<，所以sin 2cos tan 2cot 4sin cos tan cot y αααααααα-=+++=---； 当α在第三象限时，sin 0α<、cos 0α<、tan 0α>，cot 0α>，所以sin 2cos tan 2cot 0sin cos tan cot y αααααααα-=+++=-； 当α在第四象限时，sin 0α<、cos 0α>、tan 0α<，cot 0α<，所以sin 2cos tan 2cot 2sin cos tan cot y αααααααα--=+++=--； 综上可得{}4,2,0,6y ∈--；（2）sin()cos(6)7sin cot 22θπθπππθθ--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin cos cos tan θθθθ-=- sin cos cos sin cos cos θθθθθθ==⋅49．（Ⅰ）2-；（Ⅱ）13. 【详解】（Ⅰ）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan 0α>.由2tan tan 20αα--=，解得tan 2α=，或tan 1α=-（舍去）. ∴tan()tan 2παα-=-=-.（Ⅱ）2021sin sin(2021)cos sin 2cos()2sin()cos 2sin παπααααπααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭=-++- 1tan 112tan 3αα-==-.50．（1）1；（2）tan α． 【详解】（1）22(cos10sin10)12sin100cos 28012cos10sin10cos10sin101cos10sin170cos10sin10cos10sin10cos3701cos 170︒-︒-︒︒-︒︒︒-︒====︒-︒︒-︒︒-︒︒--︒； （2）()()()()sin tan 5sin()(tan )sin tan tan 2cos 2(tan )cos cos αππαπααααπαπαααα--+--===-----．51．（1）1m =-，tan 22α=-；（2）211. 【详解】（1）由三角函数定义可知22222sin 38m α==+，解得1m =±，∵α为第二象限角，∴1m =-，所以tan 22α=-． （2）由（1）知tan 22α=-，()()sin cos 3sin sin sin cos 3cos sin 2cos cos 3sin cos cos cos 3sin cos παβαβαβαβπαβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=-+--+ ()tan 3tan 223213tan tan 12232αβαβ+-+=-=-++-⨯211=。
13三角函数的诱导公式(1)
公式一~四可用下面的话来概括：
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
Hale Waihona Puke 即： 函数名不变，符号看象限！“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可以 通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的角 的象限来判断。 如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象限角 ，所以sin(π+a)=-sina
任意正角的 三角函数
公式一
0°到360°的角 的三角函数
公式二或四
锐角三 角函数
填表：
sin
-
6
2 3
3 2
1 2
3 4
2 2
2 2
7 6
1 2
3 2 3 3
5 3
3 2
1 2
3 2 3 3
cos
tan
1 2
- 3
-1
- 3
三、例题分析
cos(180 ) sin( 360 ) . 例2、 化简： sin( - - 180 ) cos( -180 - )
一、复习回顾 1、终边相同的角的三角函数关系 由三角函数定义可得(诱导公式一) 终边相同的角的三角函数的值相等.
sin( 2k ) sin tan( 2k ) tan
cos( 2k ) cos (k Z )
注意：(1)利用公式一，可以把任意角的三角函数值转 换为 0°到360°角的三角函数值。
α与－α关于x轴对称
O
-
1
开学三角函数的诱导公式复习
讲授新课
思考下列问题三： o o (1) 30 与(－30 )角的终边关系如何？ [关于x轴对称] o o (2) 设30 与(－30 )的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P' 的关系如何？ (3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？ [P'(x,－y)] o o (4) sin(－30 )与sin30 的值关系如何？
1.3三角函数的 诱导公式
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诱导公式 (一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
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诱导公式的结构特征
①终边相同的角的同一三角函数值相等；
o o o o
讲授新课
思考下列问题三： o o (1) 30 与(－30 )角的终边关系如何？ [关于x轴对称] o o (2) 设30 与(－30 )的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P' 的关系如何？ (3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？ (4) sin(－30 )与sin30 的值关系如何？
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例．求下列三角函数值．(可查表)
(1)
(2) tan(－210 );
(3) cos(－2040 ).
o
o
复习回顾
诱导公式(四)
sin(－)=sin
cos( －)=－cos
tan (－)=－tan
讲授新课
3. 诱导公式 (五)
sin(
2
) cos
cos( ) sin 2
o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？
三角函数的8个诱导公式(汇总)
三角函数的8个诱导公式（汇总）三角函数的8个诱导公式1. 正弦函数的诱导公式sin(-x) = -sin(x)这个公式表明，正弦函数的值在x轴上是关于原点对称的。
也就是说，如果一个角度的正弦值为a，那么它的相反数的正弦值就是-a。
这个公式在解三角形问题时非常有用，为它可以帮助我们计算负角度的正弦值。
2. 余弦函数的诱导公式cos(-x) = cos(x)这个公式表明，余弦函数的值在y轴上是关于原点对称的。
也就是说，如果一个角度的余弦值为a，那么它的相反数的余弦值也是a。
这个公式同样也可以帮助我们计算负角的余弦值。
3. 正切函数的诱导公式tan(-x) = -tan(x)这个公式表明，正切函数的值在原点上是关于y轴对称的。
也就是说，如果一个角的正切值为a，那么它的相反数的正切值就是-a。
这个公式在计算负角的正切值时非常有用。
4. 余切函数的诱导公式cot(-x) = -cot(x)这个公式表明，余切函数的值在原点上是关于x轴对称的。
也就是说，如果一个角的余切值为a，那么它的相反数的余切值就是-a。
这个公式同样也可以帮助我们计算负角的余切值。
5. 正弦函数的平方的诱导公式sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个公式是三角函数中最著名的公式之一，它表明正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。
这个公式在解三角形问题时非常有用，为它可以帮助我们计算三角形中的未知边长。
6. 正切函数的平方的诱导公式tan^2(x) + 1 = sec^2(x)这个公式表明，正切函数的平方加1等于其对应的正割函数的平方。
这个公式在计算三角形中的未知边长时非常有用。
7. 余切函数的平方的诱导公式cot^2(x) + 1 = csc^2(x)这个公式表明，余切函数的平方加1等于其对应的余割函数的平方。
这个公式同样也可以帮助我们计算三角形中的未知边长。
8. 正弦函数和余弦函数的诱导公式sin(x + π/2) = cos(x)cos(x + π/2) = -sin(x)这两个公式表明，正弦函数和余弦函数之间存在一种特殊的关系，即它们的相位差为π/2。
高中数学诱导公式大全
高中数学诱导公式大全数学中有众多的诱导公式，本文为大家整理了高中数学中的常见诱导公式，方便大家在复习学习时使用。
1. 平方差公式(a + b)(a - b) = a² - b²这个公式通常用于把一个含有两个数的算式转化为两个平方数之差的形式。
例如：19 × 21 = (20 - 1)(20 + 1) = 400 - 1 = 399。
2. 同底数幂相除的规律a^m ÷ a^n = a^(m-n)这个公式通常用于简化同底数幂的除法计算，只需要将指数相减即可。
例如：4³ ÷ 4² = 4^(3-2) = 4。
3. 牛顿莱布尼兹公式f(b) - f(a) = ∫a^b f'(x) dx这个公式是微积分中的重要定理，用于计算曲线下的面积或弧长。
它将原函数的值与导数之间建立了联系，方便进行积分计算。
4. 余弦定理c² = a² + b² - 2ab cosC这个公式通常用于求解三角形的边长或角度，可以根据三边长度或两边一夹角的余弦值来计算第三边长度或夹角大小。
5. 正弦定理a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式通常用于求解三角形的边长或角度，可以根据三角形的一个角和这个角的对边的长度，以及任意两个角或者边长之比来计算其他角或者边长的值。
6. 勾股定理a² + b² = c²这个公式通常用于求直角三角形中三条边中未知边的长度或判定一个三角形是否为直角三角形。
7. 毕达哥拉斯定理若a、b、c都是正整数，且a² + b² = c²，则称该三组数为毕达哥拉斯数。
8. 相反数的性质a + (-a) = 0一个数加上它的相反数等于零，即a和-a互为相反数。
9. 分配律a(b + c) = ab + ac这个公式通常用于计算多项式的乘法。
初中数学复习-三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
诱导公式复习课件和练习高品质版
又∵0<A<π,
03
又由
04
得
05
又0<B<π,故
06
故
07
所以△ABC中，
08
【拓展提升】1.三角形中的诱导公式 在△ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C, tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, 三角形中的隐含条件
【规范解答】（1）选D.由 得,
(2)选B.由已知得 即
1
由sin α是方程5x2-7x-6=0的根，可得 或
2
sin α=2(舍）,
5
当α是第三象限角时， 故
4
由 可知α是第三象限或者第四象限角.
已知sin(3π+α)= ,则cosα的值为( )
(B) (C) (D)
【解析】选D.由sin(3π+α)=sin(π+α)=-sinα= ∴sinα= ,∴cosα=
的值是( ) (B) (C)0 (D) 【解析】选A.
3.点A（sin 2 012°,cos 2 012°)在直角坐标平面中位于 ( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选C.∵sin 2 012°=sin(6×360°-148°) =sin(-148°)=-sin 148°<0, cos 2 012°=cos(6×360°-148°) =cos(-148°)=cos 148°<0.故选C.
【拓展提升】利用诱导公式解题的原则和步骤 应用诱导公式化简的原则： 负化正、大化小，化到锐角为终了. 诱导公式应用的步骤： 【提醒】用诱导公式时不要忽略角的范围和三角函数的符号.
高一数学复习考点知识与题型讲解21---诱导公式
高一数学复习考点知识与题型讲解第21讲诱导公式1 诱导公式公式(一) .公式(二) .若，则.公式(三) .若，则.公式(四).若，则.公式(五) .若，则.公式(六) .若，则.利用以上组公式，最好结合图象，利用对称性和全等三角形进行理解消化.2 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限(奇偶指的是中整数是奇数还是偶数，看象限时把看作锐角)为偶数为奇数为偶数为奇数【题型一】求具体角度的三角函数值【典题1】的值为．【解析】.【点拨】角度负角化正角，大角化小角，小角化锐角.【题型二】诱导公式的使用【典题1】设，则等于．【解析】是以为周期的函数，又．【点拨】数值比较大项数比较多的时候，注意周期性.【典题2】已知，则．【解析】，.【点拨】①注意到是的倍数，则可利用诱导公式，这属于整体代换，相当于令②对公式的理解要注意一点:比如诱导公式中的其实它可以是一数(如、)、一字母如、或者一式子如、，利用公式要特别灵活.【典题3】已知g(θ．化简；若，求的值；若，求的值．【解析】；，，，即；；当时，；当，；由，得，整理得，两边平方得：，即，－－，，，即－，则．作【点拨】在解题中综合法与分析法相结合.巩固练习1(★)若，则()．．．．【答案】【解析】若，所以cos=sin，，，．故选：．2(★)在中，下列等式一定成立的是()．．．．【答案】【解析】在中，有，，故错误；﹣，故错误；，故正确；，故错误．等式一定成立的是．故选：．3(★)．【答案】【解析】－；4(★★)已知，则．【答案】【解析】，－，5(★★)已知是关于的方程的两个根．求的值；求的值．【答案】【解析】依题意，－－，解得或，又，所以，即－－，解得或舍去)，因此．(1)－[－．(2)－．挑战学霸.【解析】设①又∵②由①+②得，则．。
高考数学三角函数的诱导公式总复习课件
B. 2 2
C. 3 2
解析 sin 585°=sin(360°+225°)=
D. 3 2
sin(180°+45°)= 2 .
2
2.若 、 终边关于y轴对称,则下列等式成立的是
（A）
A.sin =sin
B.cos =cos
C.tan =tan
D.sin =-sin
解析 方法一 ∵ 、 终边关于y轴对称，
sin 3 ( ) cos3 (3 )
知能迁移3 求证 : 2
2
sin(3 ) cos(4 )
sin(5 ) cos(3 ) 1.
2
2
证明 左边 cos3 ( sin )3 cos sin
sin cos
(cos sin )(cos2 cos sin sin2 ) cos sin cos sin
tan sin
(2) cos( 3 ) sin ,
2
sin 1 , cos
52 12 2
6,
5
5
5
f ( ) 2 6.
5
题型三 三角恒等式的证明 【例3】 求证 : tan(2 ) sin(2 ) cos(6 ) tan .
cos( ) sin(5 )
题型二 三角函数式的求值
【例2】 (12分)已知cos( ) 2sin( ).
2
2
求
5
sin 3 ( cos( 5
) )
cos( 3 sin( 7
)
)
的值.
2
2
思维启迪 化简已知条件
化简所求三角函数式,用已知表示
代入已知求解
解 cos( ) 2sin( ),
三角函数复习(同角三角函数基本关系与诱导公式)
三角函数复习（同角三角函数基本关系与诱导公式）. （2）商数关系：sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1（3）倒数关系：tan α=co 1t∝2.六组诱导公式（1）诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． （2）同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 二、课前自测1. tan 等于 ( ) A. √B. √C.√D.√2. 若 α=1，α ./，则 tanα 等于 ( )A.√B.√C. √D. √3. 已知 tanα= 1，且 α 为第二象限角，则 nα 的值为 ( )A. 1B. 11C.1D.14. .1 / n.1/= ．5. 已知 tanα= ，则的值为 ．三、典型例题1. 已知 α 是三角形的内角，且 nα α=1．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ把1用tanα表示出来，并求其值；Ⅲ求：的值；Ⅳ求 nα nα α的值．2. （1） n()() n()=；（2）已知 .α/=√，则 .α/ n.α/的值为．（3）已知 n.1 α/=，则 .α111/=．（4）若 .α/=1，则 n.α/=．3. （1）已知=()()()，则的值构成的集合是()A. *+B. *+C. *+D. *+（2）()() . /()()=．（3）已知α为第三象限角，(α)= . / . / ()()()．Ⅰ化简(α)；Ⅱ若 .α/=1，求(α)的值．同角三角函数基本关系式与诱导公式答案课前自测 1. D 2. C 3. C4. √5. 1典型例题1. （1） 解法一： 联立 { nα α=1n αα=由 得 α=1nα， 将其代入 ，整理得 n α nα = ． 因为 α 是三角形的内角， 所以 nα=，所以 α=， 所以 tanα=． 解法二：因为 nα α=1，所以 ( nα α)=.1 /，则 nα α=1，所以 nα α=，所以 ( nα α) = nα α==． 因为 nα α= 1且 α ， 所以 nα ， α ， 所以 nα α ． 所以 nα α= ．由 { nα α=1nα α=得 { nα=α=所以 tanα= ．（2）1 === 11因为tanα=，所以α nα=tanαtanα=. /. /=（3）tanα=，则：==. /=．（4）nα nα α==1=1=2. （1）；（2）√（3）（4）. 13. （1）C 【解析】当为偶数时，==；当为奇数时，==．所以的值构成的集合是*+．（2）.【解析】原式=0 ./1 ( ), ( )-=./( ) =( ) ===（3）(α)= . / ./ ( ) ( ) ( )=( ) ( )( )= α（4） 因为 .α/=1， 所以 nα=1，从而 nα= 1． 又 α 为第三象限角， 所以 α= √ n α= √，所以 (α)= √．同角三角函数基本关系式与诱导公式课堂练习与作业一、选择题（共7小题；共35分） 1. n 的值为 ( ) A. 1B. √C.D. √2. 已知 ./=√，且，则 tan = ( )A. √B. √C. √D. √3. 若 α 是第三象限角，且 tanα=1，则 α= ( )A. √11B.√11C.√11D. √114. 在 中，若 tan = 则 = ( )A. √B. √C. √D. √5. 已知 n ( )= n./ 则 n = ( )A.B.C. 或D. 16. 已知 (α)=( ) ( )( )，则 .1/ 的值为 ( )A. 1B. 1C. 1D. 17. 已知函数 ( )= n ( α) ( )，且 ( )= ，则 ( ) 的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）8. 已知α为锐角，且 tan(α) . /=，tan(α) n()=，则 nα的值是．三、解答题（共2小题；共26分）9. 已知 n(α)= n.α/，求下列各式的值：（1）；（2） nα nα α．10. 已知 n(α)(α)=√.α /，求下列各式的值．（1） nα α；（2） n.α/.α/．答案第一部分1. A【解析】 n = n ( ) ( )= n ( )= n =1 1=12. D 【解析】 ./= n =√，又，则 =1，所以 tan =√ ．3. C【解析】因为 α 是第三象限角，且 tanα= =1， n α α= ，所以 α= √1 1．4. B【解析】在 中，当 tan = 时， ./，所以 =√1=√= √． 5. B【解析】由已知等式得 n = ， 所以 n = = ，所以 =1，故 n = =． 6. C【解析】因为 (α)== α，所以 . 1/= .1/= ./== 1．7. c【解析】因为 ( )= n ( α) ( )= nα = ，所以( )= n ( α) ( )= n (α) ( )=第二部分 8. √1 1【解析】由已知可得 tanα n = ，tanα n = ， 解得 tanα= ， 又 α 为锐角，故 nα= √11． 第三部分9. （1） 解法一：由 n ( α)= n.α/ 得 tanα= ．原式=== 1．解法二：由已知得 nα= α．原式==1．（2）解法一：原式==1=．解法二：原式===．10. （1）由 n(α)(α)=√，得 nα α=√．将两边平方，得 nα α=，故 nα α=．又α，所以 nα， α．( nα α)= nα α= . /=1 ，所以 nα α=．（2） n.α/.α/=α nα=( α nα)(α α nα nα)= .1/=。
考研数学备考：诱导公式汇总.doc
考研数学备考：诱导公式汇总考研的复习阶段总得来说是对自己所学的知识进行一个总结归类加深自己的记忆，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：诱导公式汇总”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！考研数学备考：诱导公式汇总对于2020考研数学备考的学生来说，公式部分的内容我们要着重掌握，因为大多数题型都会涉及到。
为此，中公考研我整理了“2020考研数学：公式总结之常用诱导公式篇”的相关内容，希望对大家有所帮助。
一、常用诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
5.3诱导公式(第二课时)-课件(人教版)
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°．
5
所以cos β＝ 1 sin2 θ ＝ 1 (1)2 ＝ 2 6 ．
5
5
所以sin（37°＋α）＝sin γ＝ 2 6 ． 5
立德树人 和谐发展
计算或化简：
（1）cos
65π 6
y 的终边
2
P2 y, x
提示: 横、纵坐标互换 公式五
α的终边
O
P1(x，y)
sin(
)
cos
x
2
y=x
cos( ) sin
2
诱导公式五
探究(二 )
诱导公式六
公式六
sin(
立德树人 和谐发展
) cos
思考4： 与 有什么内在联系？
2
2
2
提示: ( )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
cos( ) sin
sin( ) cos cos 2sin sin cos
sin sin cos
tan tan 1
2
立德树人 和谐发展
必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角” 答：
角 α 0° 30° 45° 60°
角α的 0
弧度数
π 6
π 4
π 3
90°
π 2
(
3 2
)
cos
cos(32 ) sin
奇变偶不变，符号看象限.
例2已知：tan(3 ) 2 ，求值；
立德树人 和谐发展
sin( 3 ) cos( ) sin(2 ) 2 cos(2 ) sin( ) cos( )
高三数学知识点：诱导公式全集考前复习
高三数学知识点：诱导公式全集考前复习常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
高中知识点复习：高中数学诱导公式大全
高中知识点复习：高中数学诱导公式大全【】查字典数学网高中频道的编辑就为您预备了2021年高中知识点复习：高中数学诱导公式大全常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k)=sin (kZ)cos(2k)=cos (kZ)tan(2k)=tan (kZ)cot(2k)=cot (kZ)公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin()=-sincos()=-costan()=tancot()=cot公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四：利用公式二和公式三能够得到与的三角函数值之间的关系：sin()=sincos()=-costan()=-tancot()=-cot公式五：利用公式一和公式三能够得到2与的三角函数值之间的关系：sin(2)=-sincos(2)=costan(2)=-tancot(2)=-cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin(/2+)=coscos(/2+)=-sintan(/2+)=-cotcot(/2+)=-tansin(/2-)=coscos(/2-)=sintan(/2-)=cotcot(/2-)=tansin(3/2+)=-coscos(3/2+)=sintan(3/2+)=-cotcot(3/2+)=-tansin(3/2-)=-coscos(3/2-)=-sintan(3/2-)=cotcot(3/2-)=tan(以上kZ)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式经历口诀规律总结上面这些诱导公式能够概括为：关于/2*k (kZ)的三角函数值，①当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变;②当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincostancot，cottan.(奇变偶不变)然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。