Ch5 数学模型作业解答
运筹学课件ch5指派问题[全文]
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运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。
指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。
其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。
指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。
指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。
数学建模课后答案
数学建模课后答案数学建模课后答案【篇一：《数学模型》习题解答】t>1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑n=10的分配方案，p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）第二章(1)（2008年9月16日）pi?13i1000.q1?p1npi?132.35,q2?p2nipi?133.33, q3?p3nipi?134.32i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：n1?2,n2?3, n3?4第10个席位：计算q值为235233324322q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.22?33?44?5q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5方法三（d’hondt方法）此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.pi是ni每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的pip中选较大者，可使对所有的i,i尽量接近. nini再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得tvdt?2?k?(r?wkn)dnn2?rk?wk22n22vv《数学模型》作业解答第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、s、?的关系.解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0，其量纲表达式为: [p]=mlt 23, [v]=lt1,[s]=l,[?]=ml,这里l,m,t是基本量纲.2?3量纲矩阵为：1?2?10a=?3?1(p)(v)齐次线性方程组为：2?3?(l)01??(m) 00??(t)(s)(??2y1?y2?2y3?3y4?0y1?y4?03y?y?012?它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ，其中?是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，0-1-3[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[g]=lmt,其中l，m，t是基本量纲.-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2量纲矩阵为1?3?11?(l)?0?(m)110?a=? ???10?1?2(t)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组ay=0 ，即y1-3y2-y3?y4?0?0 ?y2?y3-y-y-2y?034?1的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理得*v?3??1?g. ?v??3g，其中?是无量纲常数. ?16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lm0t0 ，[g]=lmt0-1-3-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为1?0a=1(v)齐次线性方程组ay=0 即(l)?(m)?00?1?2?(t)?(?)(?)(?)(g)1?3?10111y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ?y1?y4?2y5?0?的基本解为11?y?(1,?,0,0,?)?12231?y2?(0,?,?1,1,?)22?得到两个相互独立的无量纲量1?v??1/2g?1/23/2?1?1/2g??2??即 v?1) g?1,?3/2?g1/2??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2g?(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)?0其量纲表达式为：[t]?l0m0t,[l]?lm0t0,[m]?l0mt0,[g]?lm0t?2,[k]?[f][v]?1?mlt?2(lt 1 )1l0mt?1，其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为0?0a=1(t)?(l)?(m)?00?2?1??(t)(l)(m)(g)(k)10011001齐次线性方程组y2?y4?0??y3?y5?0 ?y?2y?y?045?1的基本解为11?y?(1,?,0,,0)?122 ?11y2?(0,,?1,?,1)22?得到两个相互独立的无量纲量tl?1/2g1/2??11/2?1?1/2lmgk??2∴t?kl1/2l1, ?1??(?2), ?2?gmg1/2∴t?lkl1/2(1/2) ，其中?是未定函数 . gmg考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,t；l?kl?1/2l,l;m,m. 又t() 1/2gm?g当无量纲量m?l?t?l?gl?时，就有 ?.mltgll《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：【篇二：数学建模习题答案】t>中国地质大学能源学院华文静1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？解：模型假设（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。
Ch5投入产出分析模型rev17
实物表基本表式(q-Y-Q)
X = AX + Y
18
例：3部门经济体投入产出表（单位：元） x(i,j)+Y=X
xij
X
总投入
19
记住：X = (I-A)^-1*Y
I-A 称为列昂惕夫矩阵
A = xij /( X .* I ) X = A*X + Y I*X = A*X + Y (I*X –A*X) = Y (I-A) *X = Y X = (I-A)^-1*Y
X=
1.0516e+006 5.1584e+005 5.4871e+005
23
总产出
X = （I - A）-1 * 外部订单Y
24
如果外部订单改变为Y1 总产出（投资结构）X 须调整为何？
% 如果外部订单改变为Y1 %总产出（=总投入）结构须调 整为
Y1=[ 750000 300000 250000] X1 = inv(eye(3,3) - A) * Y1
12
例：3部门经济体投入产出表
13
例：3部门经济体投入产出表
由价值型投入产出数学模型 x + Y = X
求直接消耗系数矩阵A
%内部流量矩阵 x=[ 0 36506 15582 25522 2808 2833 25522 2808 0
x= 0 36506 15582
数学建模课后答案
第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。
f 和g 都是连续函数。
椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。
不妨设0)0(,0)0(g >=f 。
当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。
就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。
证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。
关于运用数学方法解决化学问题的几个实例
高三培优----穿梭在化学问题中的数学方法从近几年的化学高考题中不难发现，常常直接或间接隐含着一些数学知识、方法在化学解题中有较广泛的应用。
利用数学思想处理化学问题能力的考查，主要体现了等价转化（即守恒），数形结合，分析推理，函数方程等数学思想。
所以，如果在解决某些化学问题时，同学们能理清思路，灵活、合理的利用数学思想，将化学题抽象成为数学问题，利用数学工具，结合化学知识通过计算和推理，可以提高解决化学问题的能力，化学问题就迎刃而解，过程也大为简化。
一、利用一次函数解析式求解例1：在标准状况下，将100mLH 2S 和O 2的混合气体点燃，反应后恢复到原状况，发现反应后所得气体总体积V (总)随混合气体中O 2所占的体积V (O 2)的变化而不同，其关系如图： 试用含V (总)和V (O 2)的函数式 表示V (总)和V (O 2)的关系。
分析：本题粗看需要讨论H 2S 和O 2的量比关系。
但仔细观 察发现，可以将其抽象成 求一次函数解析式的数学模型，从而简化解题过程。
设V (总)=k V (O 2)+b, A 、B 两点坐标为（0，100），（33.3，0），分别将其代入所设的解析式，即可求得k= —3，b=100。
所以，AB 段的函数关系式为： V (总)= —3 V (O 2)+100 ，0 ＜V (O 2)≤33.3mL同理，将C 、D 两点坐标（40，60）、（100，100）分别代入上述解析式，求得k= 3/2，b= —50。
所以，CD 段的函数关系式为：V (总)= 23V (O 2)—50 ，33.3mL ＜V (O 2)＜100mL二、利用建立不等式求解例2：我国产的喜树中，可以提取一种生物碱。
这种生物碱的相对分子质量约在300~400之间，化学分析得其质量组成为：C ：69%；H ：4.6%；O ：18.4%；N ：8.0%。
试确定其相对分子质量和分子式。
分析：本题学生均能解出四种元素原子间的物质的量比n (C):n (H):n (O):n (N)=10 :8 :2:1，得到最简式为C 10H 8O 2N 。
ch5 分布的检验
i 1 ~ n
5.1.1
夏皮洛· 威尔克检验
c' c
i 1
n
5.1.1
夏皮洛· 威尔克检验
(4)W检验的拒绝域。由于W是n个数对
(x(1),a1),…,(x(n),an)之间的相关系数的平方,所以W仅在 [0,1]上取值。
5.1.1
夏皮洛· 威尔克检验
若把上式中u(i)用期望E(u(i))=mi代替,会产生 误差,记此误差为εi,这样上式可改写为 x(i)=μ+σmi+εi, i=1,2,…,n(5.1.2) 这是一元线性回归模型。由于次序统计量的 关系,其中诸εi是相关的。若记ε=(ε1,ε2,…,εn)', 则ε是均值为零向量,协方差矩阵为V=(vij)的n 维随机向量。
5.2.1
χ2检验
定理5.2.1 在H0为真和上述符号下,令 y1=n(x(1)-x0), x0=0 y2=(n-1)(x(2)-x(1))(5.2.2) ︙ yr=(n-r+1)(x(r)-x(r-1)) 则y1,y2,…,yr是相互独立同分布随机变量,共同分布为 exp(λ)。
5.2.1
χ2检验
为σ的最小方差线性无偏估计 2(BLUE),由例2.5.2知,正 态标准差σ的BLUE为:
c 2 ci x (i ) c x （5.1.5） ~
，
，
n
i 1
其中系数为 c'=(c1,c2,…,cn)= m v1 '
' 1
mv
m
(5.1.6)
5.1.1
夏皮洛· 威尔克检验
ch5
ˆ ˆ ˆ Yt = β 0 + β 1 X t
若回归函数在两个时刻t1,t2发生结构变 若回归函数在两个时刻 化，可定义两个虚拟变量
1, t ≥ t 2 D1 = 0, t < t2 1, t ≥ t1 Dt = 0 , t < t1
相应的回归模型 Yt = β 0 + β1 X t + β 2 ( X t − X t ) Dt + β 3 ( X t − X t ) D2 + µt
Yi = β 0 + β1 X i + β 2 D1 + β 3 D2 + µ i (i = 1,2, L , n )
其中： 为企业职工的薪金， 其中：Yi 为企业职工的薪金，Xi 为工龄
1 （男性） D1 = 0 （女性）
1 （本科及以上） D2 = 0 （本科以下）
二、虚拟变量的引入
用OLS法可得样本回归函数 法可得样本回归函数
ˆ ˆ ˆ ˆ Yt = β 0 + β1 X t + β 2 ( X t − X t* ) Dt
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 当t ≥ t*时，Dt=1, Yt = ( β 0 − β 2 X t* ) + ( β1 + β 2 ) X t 时
当t < t*时，Dt=0, 时
其矩阵形式为： 其矩阵形式为：
Y = (X
β D ) + µ α
如果取六个观测值，其中春季与夏季取了两次， 如果取六个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各 取到一次观测值，则解释变量矩阵： 取到一次观测值，则解释变量矩阵：
1 1 1 D) = 1 1 1
1， ， D= 0， ， 女性 男性
数学模型第三版(高等教育出版社)课后习题答案
《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）1． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1)因为一个时段上市的商品不能立即售完,其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定,如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7。
1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外,1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由(2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β （1)代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ 0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时,则有特征根在单位圆外，设8<αβ,则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 2 12,1<⇔<∴αβλ即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2)此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6）,得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程(7）无正实根,且42 ,αβαβ---, αβ不是(7）的根。
数学建模课后习题作业
选修课——数学建模部分习题详细解答【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。
【模型建立】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学建模习题集及答案解析课后习题集
第一局部课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用以下方法分配各宿舍的委员数：〔1〕按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数局部较大者。
〔2〕2.1节中的Q值方法。
〔3〕d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
〔4〕你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品廉价这种现象了吗。
比方洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
〔1〕分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产本钱、包装本钱和其他本钱等决定，这些本钱中有的与重量w成正比，有的与外表积成正比，还有与w无关的因素。
〔2〕给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大〔如图〕。
假设知道管道长度，需用多长布条〔可考虑两端的影响〕。
如果管道是其他形状呢。
5.用尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温根本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运发动的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。
数学建模课后参考答案
数学建模课后参考答案数学建模课后参考答案数学建模是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题。
在学习数学建模的过程中，课后作业是巩固知识、提高能力的重要环节。
然而，由于数学建模问题的多样性和复杂性，有时候我们可能会遇到一些难以解决的问题，或者对于某些题目的答案不够确定。
因此，提供一份数学建模课后参考答案是很有必要的。
1. 问题描述假设有一座小岛，岛上有一座高度为h的灯塔，灯塔的光照范围是一个圆形区域。
现在有一只船在岛外的海上，船上的人想知道距离灯塔多远的位置才能看到灯塔。
请问，船上的人应该停留在哪个位置才能看到灯塔？2. 建模过程首先，我们可以根据几何知识得出，船上的人能够看到灯塔的条件是船在灯塔的光照范围内。
因此，我们需要确定灯塔的光照范围。
灯塔的光照范围是一个圆形区域，半径为r。
根据几何知识，我们可以得出光照范围的半径与灯塔的高度之间的关系：r = √(2hR)其中，R为地球半径，h为灯塔的高度。
接下来，我们需要确定船在哪个位置才能看到灯塔。
我们可以假设船位于距离灯塔为d的位置，且船与灯塔连线与地球表面垂直。
此时，船与灯塔连线与地球表面的夹角为θ。
根据三角函数的定义，我们可以得出：tan(θ) = h/d解出θ后，我们可以得到船位于距离灯塔为d的位置时，船与灯塔连线与地球表面的夹角。
3. 答案求解根据上述建模过程，我们可以得到船位于距离灯塔为d的位置时，船与灯塔连线与地球表面的夹角θ。
如果我们已知灯塔的高度h和地球半径R，我们可以使用数学软件或计算器来计算出θ的近似值。
例如，假设灯塔的高度h为100米，地球半径R为6371千米。
我们可以使用计算器来计算出船位于距离灯塔为d的位置时，船与灯塔连线与地球表面的夹角θ的近似值。
根据公式tan(θ) = h/d，我们可以解出θ的近似值为θ ≈ 0.0157 弧度。
4. 结论根据上述计算结果，船位于距离灯塔为d的位置时，船与灯塔连线与地球表面的夹角θ的近似值为θ ≈ 0.0157 弧度。
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
CH5例讨论
运价表 上海 天津 南京 济南 南昌 青岛 产量 2 3 M M M M 600 广州 3 1 M M M 4 400 大连 0 M 2 6 3 6 1000 上海 M 0 4 4 6 5 1000 天津 销量 1000 1000 200 150 350 300
x13+ x14 ≤ 600
(广州分厂供应量限制） (大连分厂供应量限制）
x23+ x24+ x28 ≤ 400
-x13- x23 + x35 + x36+ x37 + x38 = 0 （上海销售公司，转运站） -x14- x24 + x45 + x46+ x47 + x48 = 0 （天津销售公司，转运站）
x35+ x45 = 200 （南京的销量） x36+ x46 = 150 （济南的销量） x37+ x47 = 350 （南昌的销量） x38+ x48 + x28 = 300 （青岛的销量） xij ≥ 0 , i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8
解法2 建立产销平衡表， 解法2：建立产销平衡表，用运输软件求解
例8（转运问题P138 ）腾飞电子仪器公司在大连和广州 转运问题P138 有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂 每月生产400台，广州分厂每月生产600 台。该公司在上海和天津有两个销售公 司负责对南京、济南、南昌、青岛四个 城市的仪器供应。另外因为大连距离青 岛较近，公司同意大连分厂向青岛直接 供货，运输费用如图，单位是百元。 问应该如何调运仪器，可使总运输费用 最低？ 图中 1- 广州、2 - 大连、3 - 上海、4 - 天津、5 - 南京、6 - 济 南、7 – 南昌、8 - 青岛
ch3ch5习题课.ppt
EX i和DX i均存在，且方差有界，即DX i C(i 1,2,...),
则对任意的ε>0，lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
EX i
|
}
1
2.Th3.9（切比雪夫大数定律）
设 X1,X2, …是两两不相关的随机变量，它们的
EX i和DX i均存在，且方差有界，即DX i C(i 1,2,...),
解
设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则X ~ b(6000,
由中心极限定理,
有
X
a ~ N (1000
, 5000 6
)
1 6
),
P
X 6000
1 6
0.01
P940
X
1060
0
1060 1000 5000 6
0
940 1000 5000 6
影响生产？
解 用X 表示开工的机床数，则X~b(200,0.7)
由于n=200较大，
有
X
a
~
N (140 ,140 0.3 )
Ex47. 某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0.7,假定各车床
开关是独立的，开动时每部都要消耗电能15个单位.问电厂最少应供
应该车间多少单位电能，才能以95％的概率保证不致因供电不足而
r.v.函数 离散型r.v. 直接在表上做 难点 的分布 连续型r.v. FZ (z) P{Z z} P{g( X ,Y ) z}
Ch5运输问题
设xij(i=1,2,3；j=1,2,3,4)为i个产粮地运往第j个需求地的运量， 这样得到下列运输问题的数学模型：
min Z 3x11 2 x12 6 x13 3x14 5x21 3x22 8x23 2 x24 4 x31 x32 2 x33 9 x34
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3.1 运输模型 Model of Transportation Problems
Chapter 3 运输问题
Page 13 2013年7月31日星期三
称集合 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js , xis j1 (i1 , i2 ,, is；j1 , j 2 ,, j s 互不相同)
i 1
m
再将后n个约束相加得
x
j 1 i 1
n
m
ij
bj
j 1
n
显然前m个约束方程之和等于后n个约束方程之和，m+n个约束 方程是相关的，系数矩阵
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3.1 运输模型 Model of Transportation Problems
零件 机床 A1 A2 A3 需要量 B1 5 6 7 70 B2 2 4 3 30 B3 3 1 4 50 生产任务 50 60 40 150
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3.1 运输模型 Model of Transportation Problems
Chapter 3 运输问题
x
min z
Ch5常微分方程数值解法
Ch5. 常微分方程数值解法§1. 引言1. 问题的提出假设一阶微分方程初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 中的(),f x y 关于y 满足Lipschitz条件，即存在常数L ，使得()()1212,,f x y f x y L y y -≤-，则由常微分方程理论知，初值问题有唯一解。
除了一些特殊类型的方程外，许多微分方程都没有解析解。
2. 数值解法的基本思想——离散化计算解)(x y 在离散点 ,,,,10n x x x 上值)(i x y 的近似值i y ，ih x x i +=0。
3. 几个基本概念(1) 单步法与多步法若计算1i y +时只用到i y ，则称这种方法为单步法，如()1,i i i i y y hf x y +=+；若计算1i y +时需用到()1,,,1i i i k y y y k --≥，则称这种方法为多步法。
(2) 显式与隐式 若1i y +可以直接用1,,,i i i k y y y --表示，则称此计算公式为显式，否则称之为隐式。
§2. Euler 方法1. Euler 公式将),(y x f y ='在[]1,+n n x x 上积分，⎰+=-+1))(,()()(1n nx x n n dx x y x f x y x y ，得⎰+=≈-+1))(,(1n nx x n n I dx x y x f y y ，用数值积分法求I 。
(1) ()n n y x hf I ,=，得()n n n n y x hf y y ,1+=+。
Euler 公式(2) ()11,++=n n y x hf I ，得()111,++++=n n n n y x hf y y 。
后退的Euler 公式 (3) ()()[]11,,2+++=n n n n y x f y x f hI ， 得()()[]111,,2+++++=n n n n n n y x f y x f hy y 。
数学分析ch5-5应用举例
f (4) 4。对这些值进行比较，就得到函数 f (x) 在区间1,4上的最大
值点为 x 4 ，最大值为 f (4) 4，最小值点为 x 0与 x 2 ，最小值为 0。
证毕
第四页，共三十九页。
关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 y x4 , y x4 和 y x3 。 x 0是 y x4 的极小值点，是 y x4 的极大值点，而不是 y x3 的极值点。但它们都满足 y(0) 0和 (Q) f v(Q) Q 。 这里， f 0 称为固定成本（如厂房和设备的折旧、工作人员的工资、 财产保险费等），一般可以认为与产量的大小无关，而 v(Q) Q 称为可 变成本（如原材料、能源等）， v(Q) 是一个正值函数，表示在总共生 产 Q 件产品的情况下，每生产一件的可变成本，最简单的情形是 v(Q) v 正常数。
极值点。
⑵ 设 f (x0 ) 0 ，且 f (x) 在 x0 点二阶可导， (i) 若 f (x0 ) 0 ，则 x0 是 f (x) 的极大值点； (ii) 若 f (x0 ) 0 ，则 x0 是 f (x) 的极小值点； (iii) 若 f (x0 ) 0 ，则 x0 可能是 f (x) 的极值点，也可能不是 f (x)
x0 是 f (x) 的极大值点； (ii) 若在 (x0 , x0 ) 上有 f (x) 0 ，在 (x0 , x0 ) 上有 f (x) 0 ，
则 x0 是 f (x) 的极小值点； (iii) 若 f (x) 在 (x0 , x0 ) 与 (x0 , x0 ) 上同号，则 x0 不是 f (x) 的
ch5_example
§5.2 中心极限定理
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰 击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期 望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的 炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
§5.1 大数定律
概率论与数理统计是研究随机现象统计规 律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同 的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法 则，应该研究大量随机现象.
例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 )
(0) (13.33) 0.5
例2 某车间有200台车床，每台独立工作，开 工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而 影响生产？ 解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，
X 为开工的车床数 , 则 X ~ B(200,0.6) ,
X ~ N (200,225)
近似
(1)
180 200 P( X 180) 1 15
1 (1.33) (1.33) 0.9082
(2)
200 200 0 200 P(0 X 200) 15 15
5000 E ( X ) 1000, D( X ) 6 1 X P 0.01 6000 6 5000 6 83 0.7685 P(| X 1000 | 60) 1 2 60 108
数学建模实验答案__数学规划模型二.
实验05 数学规划模型㈡（2学时）（第4章数学规划模型）1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102(1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3≥ 0并求解模型。
★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）：(2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3均为非负整数并求解模型。
LINGO函数@gin见提示。
★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）：2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP ，LP 且IP ）p104~107模型：已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=)15001000(63000)1000500(81000)5000(10)(x x x x x xx c注：当500 ≤ x ≤ 1000时，c (x ) = 10 × 500 + 8( x – 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x112112221112212211112112122211122122max 4.8() 5.6()()500100015000.50.6,,,,0z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+≤++≤≤≥+≥+≥2.1解法1（NLP ）p104~106将模型变换为以下的非线性规划模型：1121122212311122122111121121222123122312311122122max4.8()5.6()(1086)50010000.50.6(500)0(500)00,,500,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≥+≥+=++-=-=≤≤≥LINGO 软件设置：局部最优解，全局最优解，见提示。
ch5答案
三.充分性判断： 充分性判断：
1. B 2. A 3. E 4. C 5. D
四.计算题： 计算题：
1. 解 当 x < 0 时, F ( x ) = 当 x > 0 时, F ( x ) =
∫ f ( x)dx = ∫ sin 2 xdx = 2 cos 2 x + C
x
1
1
∫ f ( x)dx = ∫ e
x →0
lim F ( x ) = lim e x + C2 = 1 + C2 +
x →0
故
1 1 + C1 = 1 + C2 , 即 C2 = + C1 2 2
1
于是,
1 x<0 2 cos 2 x + C1 1 F ( x ) = + C1 x=0 2 x 1 x>0 e + 2 + C1
若令 c = 0,得 f(x)的一个原函数
1 2 cos 2 x, x < 0 F ( x) = e x + 1 , x ≥ 0 2
2. 解
x x x x x 2x ∫ e f ( e ) dx =∫ e e f ( e ) dx = ∫ e d
1 ex ex = ∫ dx 1 + ex 1 + ex 1 + ex
n n2
n 1
(
1 x2
)
= x ( arcsin x ) + n 1 x 2 ( arcsin x )
n(n 1) ∫ 1 x 2 ( arcsin x )
dx 1 x2
= x ( arcsin x ) + n 1 x 2 ( arcsin x )
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《数学模型》作业解答
第五章1（2009年4月10日）
1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σ
σ
1
)(,1
0=
s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少
至.∞s （2）.)()(,1
0∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ
解：传染病的SIR 模型（14）可写成
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dt
ds s i dt di
λσμ)
1(
.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dt
ds
i s dt ds λ
.)(∞s t s 单调减少至故
（1）.s s(t) .s(t) .1
00≤∴单调减少由若σ
s
;)(,0 .01,1
0单调增加时当
t i dt
di
s s s ∴
-σσ
.)(,0
.01,1单调减少时当t i dt
di
s s ∴-σσ .0)(lim
.0)18(t ==∞
→∞t i i 即式知又由书上 .)( .0,
1
m i t i dt
di
s 达到最大值时当∴==
σ
（2）().0 0.1-s
,1,10 dt
di
t s s σσσ从而则若 ()().0.0lim ==∴∞∞
→i t i t i t 即单调减少且
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=b
a
初始兵力00y x 与相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,y
y x x bx dt
dy
ay dt dx
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=00b a A
ab ab b a
A E ±=∴=-==-1,22 .0λλλ
λλ
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()t
ab t ab e
C e C t y t x -
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.
再由初始条件，得
()()2 220000 t
ab t
ab e y x e
y x t x -⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
又由().1ay
bx dx dy =可得
其解为 ()3 ,2
02
02
2
bx ay k k bx ay -==-而
(1) ()().2
3
10002
02011y a b y a bx ay a k t y t x =-=-===时，当
即乙方取胜时的剩余兵力数为
.2
3
0y 又令().0222,01
1
00001=-⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭
⎫
⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（
注意到0
00020022,1
x y y x e
y x t ab -+=
=得. .43
ln ,312
1
b
t e
t ab =
∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 y
y x x bx dt
dy
r ay dt dx
().,4rdy aydy bxdx bx
r
ay dy dx -=-+-=即得
由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222
2
20.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了
.a r 乙方取胜的条件为.,022202
0a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
- 亦即 第五章2（2009年4月17日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.
解: 设给药速率为()()(),,,,0V t C t x t f 容积为血药浓度为中心室药量为
()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数
(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e V
D
t C V D C t f -==
=解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vk
k t e Vk
k t C t k kt kt
,10 ,10
(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010t
k e
D k t f -=
()()()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---0101
01001 ,,01k k te V
kD k k e e k k V D k t C kt t k kt 3种情况下的血药浓度曲线如下：
第五章3（2009年4月21日）
8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,
(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ
求./21Q Q Q 和
(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.
解
)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/
2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
⨯⨯-⨯---
e e e e b
a v
aw Q v bl a v
l β
()10/10==l M w 其中，
()()97628571
.050
20
02.008.02
1
2
===⨯--
--e
e Q Q v
l b β (2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=-v
bl
a e
b a v aw Q '
103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭
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