第三讲MATLAB的符号运算
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a=sym('[1/4,exp(1);log(3),3/7]') a= [ 1/4,exp(1)] [log(3), 3/7] vpa(a,10) ans = [.2500000000, 2.718281828] [1.098612289, .4285714286]
3.符号表达式的化简
• 可以对符号计算结果进行简化，诸如因
0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(A) ans = [ 1/3, 5/2] [10/7, 2/5]
❖将符号矩阵转化为数值矩阵
函数调用格式： numeric(A)??? A= [ 1/3, 5/2] [10/7, 2/5]
numeric(A) ans =
0.3333 2.5000 1.4286 0.4000
※ 注意与'[a,b;c,d]'的区别
例如：A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]') A= [ a, 2*b] [3*a, 0]
这就完成了一个符号矩阵的创建。 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方
括号，这是与 Matlab数值矩阵的 一个重要区别。
用字符串直接创建矩阵
❖ 模仿Matlab数值矩阵的创建方法 ❖ 需保证同一列中各元素字符串有相
二、符号运算
由于Matlab7.0采用了重载技术，使得符号计 算表达式的运算符和基本函数，无论在 形状、名称上，还是在使用方法上，都 与数值计算中的运算符和基本函数几乎 完全相同。这无疑给用户带来了极大的 方便。
例外：在符号对象的比较中，没有”大 于”、 ”大于等于”、 ”小于”、 ” 小于等于”的概念，而只有是否“等于”
例：用函数命令sym( )和syms( )来创建符号对 象并检测数据类型。
a=sym('a')
注意两个 a的区别
b=sym('c')
classa=class(a)
classb=class(b) 可看出两个变量均为符号对象
syms a b c d e f g h
whos
也可以查看所有变量类型
从上述比较来看：当需要同时定义多个符号 变量时，使用syms( )更简洁一些。
③符号计算指令的调用简单，和经典教科书公式相近。
④计算所需的时间较长。
• Symbolic Math Toolbox——符号运算工具包通过调用
Maple软件实现符号计算的。
• Maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件
的主导地位。
2. 字符串与符号变量、符号常量
字符串对象 f = 'sin(x)+5x'
• ans =
NaN
• ans =
-Inf
• ans =
Inf
符号表达式的积分
• int(f) — 对f表达式的缺省变量求不定积分 • int(f,v) — 对f表达式的v变量求不定积分 • int(f,v,a,b) — 对f表达式的v变量在（a,b)
区间求定积分 findsym(f) —可以找出f中的每个变量 注意：当函数的积分不存在时，Matlab7.0将简单地 返回原来的积分表达式。
多项式，三角函数、指数函数、对数函数。 例：syms x y;
f=(x+y)^3; f1=expand(f) f1 = x^3+3*x^2*y+3*x*y^2+y^3 例：h=cos(x-y) expand(h)
• factor(S) 将系数为有理数的多项式(矩
阵)S，表示成低阶多项式相乘的形式， 如果不能分解，则返回S本身。 例：syms x y
运算
• 浮点算术运算
format long －－(定义输出格式) 1/2+1/3 ans = 0.83333333333333
• 符号运算
sym(1/2)+(1/3) 或sym(1/2+1/3) ans = 5/6 －－精确解
• 任意精度算术运算
digits(n) —— 设置近似解的精读为n位有效数字， 默认32位有效数字。
符号常量
• 当数值常量作为sym( )的输入参量时，就
建立了一个符号对象——符号常量。
• 虽然看上去是一个数ຫໍສະໝຸດ Baidu量，但已经是一
个符号对象了。
例：a=3/4; b='3/4'; c=sym(3/4); d=sym('3/4'); whos 查看变量类型
a为实双精度浮点数值类型；b为实字符类 型；c和d都是符号对象类型。
行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。
• 第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简
化、提取分子和分母、倒数、反函数。
• 第五行是处理 f 和 a 的加减乘除等运算。
• 第六行前四个进行 f 和 g 之间的运算，后
三个分别是：求复合函数；把 f 传递给 ； swap是实现 f 和 g 功能的交换。
一、符号运算的基本操作
1. 什么是符号运算 • 与数值运算的区别
※ 数值运算中必须先对变量赋值， 然后才能参与运算。 ※ 符号运算无须事先对独立变量 赋值，运算结果以标准的符号形式 表达。
• 特点：
运算对象可以是没赋值的符号变量，以推理解析的方 式进行，因此不受计算误差累积所带来的困扰。
可以给出完全正确的封闭解或任意精度的数值解(当封 闭解不存在时)。
Math Toolbox 。
图示化符号计算器
• 由三个独立的窗口构成，通过函数运算
控制窗口来演示另外两个图形窗口，任 何时候，只有一个窗口属于激活状态。 而被激活的函数图像可随运算控制窗口 的操作而做相应的变化。
• 下面给出运算控制窗口的键位功能。
• 前两行是函数 f 和 g 的具体解析式，第三
• 最后一行是对计算器自身进行操作。
• Funtool计算器存有一张函数列表fxlist
这7个功能键分别是：
• Insert：把当前激活窗的函数写入列表 • Cycle：依次循环显示fxlist中的函数 • Delete：从fxlist列表中删除激活窗的函数 • Reset：使计算器恢复到初始调用状态 • Help：获得关于界面的在线提示说明 • Demo：自动演示 • Close：关闭整个计算器
• 虽然并非表达式中的字符越少，表达式
就越简单，但采用这个标准往往能够得 到满意的结果，尤其是对于包含三角函 数的表达式。
例：sym x
simple(cos(x)^2+sin(x)^2)
• 从结果看出，simple比较这些不同函数的
结果，最终把最少字符作为标准。
4. 符号微积分与积分变换
• diff(f) — 对缺省变量求f的微分 • diff(f,v) — 对指定变量v求微分 • diff(f,n) — 对默认变量求n阶微分 • diff(f,v,n) —对指定变量v求f的n阶微分
由符号变量构成的符号函数和 符号方程
• 符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函
数运算符以及专用函数连接起来的符号对象。
• 包括：符号函数和符号方程。判断看带不带等
号。 例：syms x y z; f1=x*y/z;
f2=x^2+y^2+z^2; f3=f1/f2;
e1=sym('a*x^2+b*x+c')
1.符号矩阵运算
数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比 较直观、简单。例如：a=b+c; a=a*b ； A=2*a^2+3*a-5等。
符号运算中，很多方面在形式上同数值计 算都是相同的，没必要重新学习新的规则。
2. 任意精度的数学运算
在symbolic中有三种不同的算术运算：
1. 数值类型 matlab的浮点算术运算 2. 有理数类型 maple的精确符号运算 3. vpa类型 maple的任意精度算术
同的长度。
例：A =['[ a,2*b]'; '[3*a, 0]'] A= [ a, 2*b] [3*a, 0]
符号矩阵的修改
a.直接修改 可用、 键找到所要修改的矩阵，
直接修改 b.指令修改
❖ 用A1=subs(A, 'new', 'old')来修改
例如：A =[ a, 2*b] [3*a, 0]
vpa(x,n) —— 求符号解的近似解，该近似解的有 效位数由n来决定。
digits(25) vpa(1/2+1/3) ans = .8333333333333333333333333
vpa(5/6,40) ans = .8333333333333333333333333333333333333333
f —— 字符串名
sin(x)+5x—— 函数表达式
'
'—— 字符串标识
❖字符串表达式一定要用' '单引
号括起来Matlab才能识别。
❖用class( )来返回对象的数据类型。
‘ ’ 里的内容可以是函数表达式，也 可以是方程。
例：
f1='a*x^2+b*x+c' —— 二次三项式 f2= 'a*x^2+b*x+c=0' —— 方程 f3='Dy+y^2=1' ——微分方程
A(2,2)='4*b' A1 = [ a, 2*b]
[3*a, 4*b] A2=subs(A1, 'c', 'b') A2 =[ a, 2*c]
[3*a, 4*c]
符号矩阵与数值矩阵的转换
❖将数值矩阵转化为符号矩阵
函数调用格式：sym(A) clear A=[1/3,2.5;1/0.7,2/5] A=
factor(x^3-y^3)
• simplify( ) 该函数是一个强有力的具有
普遍意义的工具，它利用Maple化简规则 对表达式进行简化。
例：S=sym('[(x^2+5*x+6)/(x+2);sqrt(16)]')
simplify(S)
• simple( ) 用几种不同的算术简化规则对
符号表达式进行简化，使其用最少的字 符来表示。
e2=sym('sin(x)^2+2*cos(x)=1')
e3=sym('Dy-y=x')
3.符号矩阵的创建
数值矩阵 clear clc A=[1,2;3,4] A=[a,b;c,d] —— 不识别
用Matlab函数sym创建矩阵
命令格式：A=sym('[
]')
※ 符号矩阵内容同数值矩阵
※ 需用sym指令定义，需用' '标识
• limit(F,x,a, 'right') 取F的右极限
例：syms h n x
dc=limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)
%按照导数的定义求sin的导数
注意：对于极限不存在，返回NaN 例： limit(1/x,x,0)
limit(1/x,x,0, 'left') limit(1/x,x,0, 'right') 结果分别为：
第三讲 MATLAB的符号运算
• 科学与工程技术中的数值运算固然重要，但自
然科学理论分析中各种各样的公式、关系式及 其推导就是符号运算要解决的问题。
• 在Matlab7.0中，符号计算虽以数值运算的补充
身份出现，但它们都是科学计算研究的重要内 容。
• Matlab开发了实现符号计算的工具包Symbolic
式分解、同类项合并、符号表达式的展 开、符号表达式的化简和通分等等。
• 合并同类项 collect(v) ----将表达式v的相
同次幂的项合并。
例：syms x t
% 定义基本变量
f=(x-1)*(x-2)*(x-3) ％定义符号表达式
collect(f)
％合并f中x的同类项
• expand(s) 将s中的各项进行展开，用于
例：syms a x
f=sin(a*x)
df=diff(f)
dfa=diff(f,a,2)
符号表达式的极限
• limit(F,x,a) 求当x→a时，表达式F的极限
• limit(F, a) 默认自变量时，趋于a的极限
• limit(F)
默认自变量，默认a=0
• limit(F,x,a, 'left') 取F的左极限
※函数表达式或方程可以赋给字符串 或符号变量，以后方便调用。
符号变量
• 符号变量是内容可变的符号对象。 • 符号变量通常是指一个或几个特定的字
符，不是指符号表达式，甚至可以将一 个符号表达式赋值给一个符号变量。
• 符号变量有时也称自由变量，它的命名
规则和数值变量的命名规则相同。
• 相关指令为： sym( ) 和 syms( ) （symbolic的缩写）
泰勒级数逼近分析
• 该界面用于观察函数f(x)在给定区间被N
阶泰勒多项式Tn(x)逼近的情况。
• f(x)的输入可由命令taylortool(fx)引入，
或者在栏中直接输入表达式，回车确定。
• N默认值为7，a是级数的展开点。 • 函数的观察区间默认为(-2pi，2pi)。
符号运算的功能
• 符号表达式、符号矩阵的创建 • 符号线性代数 • 因式分解、展开和简化 • 符号代数方程求解 • 符号微积分 • 符号微分方程
3.符号表达式的化简
• 可以对符号计算结果进行简化，诸如因
0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(A) ans = [ 1/3, 5/2] [10/7, 2/5]
❖将符号矩阵转化为数值矩阵
函数调用格式： numeric(A)??? A= [ 1/3, 5/2] [10/7, 2/5]
numeric(A) ans =
0.3333 2.5000 1.4286 0.4000
※ 注意与'[a,b;c,d]'的区别
例如：A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]') A= [ a, 2*b] [3*a, 0]
这就完成了一个符号矩阵的创建。 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方
括号，这是与 Matlab数值矩阵的 一个重要区别。
用字符串直接创建矩阵
❖ 模仿Matlab数值矩阵的创建方法 ❖ 需保证同一列中各元素字符串有相
二、符号运算
由于Matlab7.0采用了重载技术，使得符号计 算表达式的运算符和基本函数，无论在 形状、名称上，还是在使用方法上，都 与数值计算中的运算符和基本函数几乎 完全相同。这无疑给用户带来了极大的 方便。
例外：在符号对象的比较中，没有”大 于”、 ”大于等于”、 ”小于”、 ” 小于等于”的概念，而只有是否“等于”
例：用函数命令sym( )和syms( )来创建符号对 象并检测数据类型。
a=sym('a')
注意两个 a的区别
b=sym('c')
classa=class(a)
classb=class(b) 可看出两个变量均为符号对象
syms a b c d e f g h
whos
也可以查看所有变量类型
从上述比较来看：当需要同时定义多个符号 变量时，使用syms( )更简洁一些。
③符号计算指令的调用简单，和经典教科书公式相近。
④计算所需的时间较长。
• Symbolic Math Toolbox——符号运算工具包通过调用
Maple软件实现符号计算的。
• Maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件
的主导地位。
2. 字符串与符号变量、符号常量
字符串对象 f = 'sin(x)+5x'
• ans =
NaN
• ans =
-Inf
• ans =
Inf
符号表达式的积分
• int(f) — 对f表达式的缺省变量求不定积分 • int(f,v) — 对f表达式的v变量求不定积分 • int(f,v,a,b) — 对f表达式的v变量在（a,b)
区间求定积分 findsym(f) —可以找出f中的每个变量 注意：当函数的积分不存在时，Matlab7.0将简单地 返回原来的积分表达式。
多项式，三角函数、指数函数、对数函数。 例：syms x y;
f=(x+y)^3; f1=expand(f) f1 = x^3+3*x^2*y+3*x*y^2+y^3 例：h=cos(x-y) expand(h)
• factor(S) 将系数为有理数的多项式(矩
阵)S，表示成低阶多项式相乘的形式， 如果不能分解，则返回S本身。 例：syms x y
运算
• 浮点算术运算
format long －－(定义输出格式) 1/2+1/3 ans = 0.83333333333333
• 符号运算
sym(1/2)+(1/3) 或sym(1/2+1/3) ans = 5/6 －－精确解
• 任意精度算术运算
digits(n) —— 设置近似解的精读为n位有效数字， 默认32位有效数字。
符号常量
• 当数值常量作为sym( )的输入参量时，就
建立了一个符号对象——符号常量。
• 虽然看上去是一个数ຫໍສະໝຸດ Baidu量，但已经是一
个符号对象了。
例：a=3/4; b='3/4'; c=sym(3/4); d=sym('3/4'); whos 查看变量类型
a为实双精度浮点数值类型；b为实字符类 型；c和d都是符号对象类型。
行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。
• 第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简
化、提取分子和分母、倒数、反函数。
• 第五行是处理 f 和 a 的加减乘除等运算。
• 第六行前四个进行 f 和 g 之间的运算，后
三个分别是：求复合函数；把 f 传递给 ； swap是实现 f 和 g 功能的交换。
一、符号运算的基本操作
1. 什么是符号运算 • 与数值运算的区别
※ 数值运算中必须先对变量赋值， 然后才能参与运算。 ※ 符号运算无须事先对独立变量 赋值，运算结果以标准的符号形式 表达。
• 特点：
运算对象可以是没赋值的符号变量，以推理解析的方 式进行，因此不受计算误差累积所带来的困扰。
可以给出完全正确的封闭解或任意精度的数值解(当封 闭解不存在时)。
Math Toolbox 。
图示化符号计算器
• 由三个独立的窗口构成，通过函数运算
控制窗口来演示另外两个图形窗口，任 何时候，只有一个窗口属于激活状态。 而被激活的函数图像可随运算控制窗口 的操作而做相应的变化。
• 下面给出运算控制窗口的键位功能。
• 前两行是函数 f 和 g 的具体解析式，第三
• 最后一行是对计算器自身进行操作。
• Funtool计算器存有一张函数列表fxlist
这7个功能键分别是：
• Insert：把当前激活窗的函数写入列表 • Cycle：依次循环显示fxlist中的函数 • Delete：从fxlist列表中删除激活窗的函数 • Reset：使计算器恢复到初始调用状态 • Help：获得关于界面的在线提示说明 • Demo：自动演示 • Close：关闭整个计算器
• 虽然并非表达式中的字符越少，表达式
就越简单，但采用这个标准往往能够得 到满意的结果，尤其是对于包含三角函 数的表达式。
例：sym x
simple(cos(x)^2+sin(x)^2)
• 从结果看出，simple比较这些不同函数的
结果，最终把最少字符作为标准。
4. 符号微积分与积分变换
• diff(f) — 对缺省变量求f的微分 • diff(f,v) — 对指定变量v求微分 • diff(f,n) — 对默认变量求n阶微分 • diff(f,v,n) —对指定变量v求f的n阶微分
由符号变量构成的符号函数和 符号方程
• 符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函
数运算符以及专用函数连接起来的符号对象。
• 包括：符号函数和符号方程。判断看带不带等
号。 例：syms x y z; f1=x*y/z;
f2=x^2+y^2+z^2; f3=f1/f2;
e1=sym('a*x^2+b*x+c')
1.符号矩阵运算
数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比 较直观、简单。例如：a=b+c; a=a*b ； A=2*a^2+3*a-5等。
符号运算中，很多方面在形式上同数值计 算都是相同的，没必要重新学习新的规则。
2. 任意精度的数学运算
在symbolic中有三种不同的算术运算：
1. 数值类型 matlab的浮点算术运算 2. 有理数类型 maple的精确符号运算 3. vpa类型 maple的任意精度算术
同的长度。
例：A =['[ a,2*b]'; '[3*a, 0]'] A= [ a, 2*b] [3*a, 0]
符号矩阵的修改
a.直接修改 可用、 键找到所要修改的矩阵，
直接修改 b.指令修改
❖ 用A1=subs(A, 'new', 'old')来修改
例如：A =[ a, 2*b] [3*a, 0]
vpa(x,n) —— 求符号解的近似解，该近似解的有 效位数由n来决定。
digits(25) vpa(1/2+1/3) ans = .8333333333333333333333333
vpa(5/6,40) ans = .8333333333333333333333333333333333333333
f —— 字符串名
sin(x)+5x—— 函数表达式
'
'—— 字符串标识
❖字符串表达式一定要用' '单引
号括起来Matlab才能识别。
❖用class( )来返回对象的数据类型。
‘ ’ 里的内容可以是函数表达式，也 可以是方程。
例：
f1='a*x^2+b*x+c' —— 二次三项式 f2= 'a*x^2+b*x+c=0' —— 方程 f3='Dy+y^2=1' ——微分方程
A(2,2)='4*b' A1 = [ a, 2*b]
[3*a, 4*b] A2=subs(A1, 'c', 'b') A2 =[ a, 2*c]
[3*a, 4*c]
符号矩阵与数值矩阵的转换
❖将数值矩阵转化为符号矩阵
函数调用格式：sym(A) clear A=[1/3,2.5;1/0.7,2/5] A=
factor(x^3-y^3)
• simplify( ) 该函数是一个强有力的具有
普遍意义的工具，它利用Maple化简规则 对表达式进行简化。
例：S=sym('[(x^2+5*x+6)/(x+2);sqrt(16)]')
simplify(S)
• simple( ) 用几种不同的算术简化规则对
符号表达式进行简化，使其用最少的字 符来表示。
e2=sym('sin(x)^2+2*cos(x)=1')
e3=sym('Dy-y=x')
3.符号矩阵的创建
数值矩阵 clear clc A=[1,2;3,4] A=[a,b;c,d] —— 不识别
用Matlab函数sym创建矩阵
命令格式：A=sym('[
]')
※ 符号矩阵内容同数值矩阵
※ 需用sym指令定义，需用' '标识
• limit(F,x,a, 'right') 取F的右极限
例：syms h n x
dc=limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)
%按照导数的定义求sin的导数
注意：对于极限不存在，返回NaN 例： limit(1/x,x,0)
limit(1/x,x,0, 'left') limit(1/x,x,0, 'right') 结果分别为：
第三讲 MATLAB的符号运算
• 科学与工程技术中的数值运算固然重要，但自
然科学理论分析中各种各样的公式、关系式及 其推导就是符号运算要解决的问题。
• 在Matlab7.0中，符号计算虽以数值运算的补充
身份出现，但它们都是科学计算研究的重要内 容。
• Matlab开发了实现符号计算的工具包Symbolic
式分解、同类项合并、符号表达式的展 开、符号表达式的化简和通分等等。
• 合并同类项 collect(v) ----将表达式v的相
同次幂的项合并。
例：syms x t
% 定义基本变量
f=(x-1)*(x-2)*(x-3) ％定义符号表达式
collect(f)
％合并f中x的同类项
• expand(s) 将s中的各项进行展开，用于
例：syms a x
f=sin(a*x)
df=diff(f)
dfa=diff(f,a,2)
符号表达式的极限
• limit(F,x,a) 求当x→a时，表达式F的极限
• limit(F, a) 默认自变量时，趋于a的极限
• limit(F)
默认自变量，默认a=0
• limit(F,x,a, 'left') 取F的左极限
※函数表达式或方程可以赋给字符串 或符号变量，以后方便调用。
符号变量
• 符号变量是内容可变的符号对象。 • 符号变量通常是指一个或几个特定的字
符，不是指符号表达式，甚至可以将一 个符号表达式赋值给一个符号变量。
• 符号变量有时也称自由变量，它的命名
规则和数值变量的命名规则相同。
• 相关指令为： sym( ) 和 syms( ) （symbolic的缩写）
泰勒级数逼近分析
• 该界面用于观察函数f(x)在给定区间被N
阶泰勒多项式Tn(x)逼近的情况。
• f(x)的输入可由命令taylortool(fx)引入，
或者在栏中直接输入表达式，回车确定。
• N默认值为7，a是级数的展开点。 • 函数的观察区间默认为(-2pi，2pi)。
符号运算的功能
• 符号表达式、符号矩阵的创建 • 符号线性代数 • 因式分解、展开和简化 • 符号代数方程求解 • 符号微积分 • 符号微分方程