直角坐标系中的基本公式
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
直角坐标系的8大公式
直角坐标系的8大公式直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
在直角坐标系中，我们通过坐标对点进行唯一标识和定位。
本文将介绍直角坐标系中的8大公式，这些公式在解决几何和代数问题时非常有用。
一、坐标距离公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们之间的距离。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么点A和点B之间的距离可以由以下公式求得：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)这个公式被称为坐标距离公式，可以通过计算两点之间的直线距离来确定它们之间的距离。
二、中点公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们的中点坐标。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么这两点的中点坐标可以由以下公式求得：M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)这个公式被称为中点公式，可以通过计算两点坐标的平均值来确定它们的中点坐标。
三、斜率公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们之间的斜率。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么这两点之间的斜率可以由以下公式求得：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)这个公式被称为斜率公式，可以用于计算两点之间直线的斜率。
斜率表示直线的倾斜程度。
四、线性方程公式在直角坐标系中，我们可以通过直线的斜率和一点的坐标来确定直线的方程。
假设直线的斜率为m，一点的坐标为(x₁, y₁)，那么直线的方程可以由以下公式给出：y - y₁ = m(x - x₁)这个公式被称为线性方程公式，可以用于描述直线在直角坐标系中的方程。
五、平行线公式在直角坐标系中，我们可以通过两条平行线的斜率来确定它们之间的关系。
假设平行线L₁的斜率为m₁，平行线L₂的斜率为m₂，那么这两条平行线之间的关系可以由以下公式给出：m₁ = m₂这个公式表示两条平行线的斜率相等。
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （ ）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。
平面直角坐标系八大公式
平面直角坐标系八大公式
在平面直角坐标系中，常用的八大公式如下：
1. 距离公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离为：d = √((x2 - x1)² + (y2
- y1)²)。
2. 中点公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)的中点坐标为：M((x1 + x2)/2, (y1 +
y2)/2)。
3. 斜率公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的斜率为：m = (y2 - y1)/(x2 - x1)，其中x2不等于x1。
4. 判别式公式：对于一次函数的方程y = ax + b，其判别式为：Δ = b² - 4ac，其中a、
b、c为方程的系数。
5. 点到直线的距离公式：对于一条直线的方程Ax + By + C = 0，点P(x0, y0)到该直线
的距离为：d = |Ax0 + By0 + C|/√(A² + B²)。
6. 直线的倾斜角公式：对于一条直线的斜率为m，则该直线与x轴的夹角θ满足：
tan(θ) = m。
7. 两条直线的夹角公式：设两条直线的斜率分别为m1和m2，则两条直线的夹角θ满足：tan(θ) = |(m2 - m1)/(1 + m1m2)|。
8. 直线的方程公式：已知一条直线通过点P(x1, y1)且斜率为m，则该直线的方程为：y
- y1 = m(x - x1)。
以上是平面直角坐标系中常用的八大公式，它们在求解点、直线、距离等问题时非常有用。
平面直角坐标系中的公式
d(A,B)
( 4) 7
2 2
65
〖课堂检测1〗
课本第71页练习A， 1.求两点间的距离。
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。 证明：因为 d(A,B)= 2 2
d(A,C)= 2 5 d(C,B)= 2 5 即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
〖课堂检测2〗 已知：A（1，1）B（5，3）
C（0，3）求证：三角形ABC是直角三角形
【例3】证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和的两倍.
y D (b-a, c) C (b, c) x
A(0,0)
B(a,0)
该题用的方法----坐标法。可以将几何问题 转化为代数问题。记住结论。
合作探究（二）：中点公式 2、中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB的 中点，计算公式如下
x1 x 2 x 2 y1 y 2 y 2
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 设D 点的坐标为(x,y). 则
x 2 35 2 2 y2 02 2 2
第二章平面解析几何初步p6521平面直角坐标系中的基平面直角坐标系中的基本公式本公式211第二章来自平面解析几何初步P65
2.1平面直角坐标系中的基 本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
直角坐标系与参数方程公式
直角坐标系与参数方程公式直角坐标系是平面上最常用的坐标系之一，它利用两条相互垂直的坐标轴来确定任意一个点的位置。
与之相对应的是参数方程，它通过一组参数来描述曲线或平面上的点的位置。
本文将介绍直角坐标系和参数方程公式的基本概念、特点以及它们之间的转换关系。
直角坐标系直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴构成的二维坐标系。
通常情况下，我们习惯将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。
在直角坐标系中，任何一个点P都可以由一个有序数对（x，y）表示，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
而直角坐标系中的原点O则是x轴和y轴的交点。
直角坐标系可以用于描述平面上的点、线、曲线等。
例如，一条直线可以通过一个方程来表示：y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
一个圆可以通过方程x^2 + y^2 = r^2来表示，其中r为半径。
参数方程参数方程是由一组参数表示的曲线或平面上的点的位置。
与直角坐标系不同，参数方程将曲线的位置与参数的取值联系起来。
参数方程通常以参数t为变量，通过给定t的值，可以确定曲线上的一个点。
例如，一个简单的参数方程可以表示一条直线。
参数方程可以写成x = at + b，y = ct + d，其中a、b、c、d为常数，t的取值范围根据具体情况而定。
给定一个t的值，带入参数方程可以计算出对应的x和y的值。
不同的t值对应曲线上的不同点，当t遍历整个取值范围时，曲线被完整地描述出来。
直角坐标系与参数方程之间的转换直角坐标系和参数方程是可以互相转换的。
对于一个给定的曲线，可以通过直角坐标系的方程得到参数方程，也可以通过参数方程得到直角坐标系的方程。
从直角坐标系到参数方程假设有一个曲线的直角坐标系方程为y = f(x)，要将其转换为参数方程。
首先，我们需要选择一个参数，通常选择t作为参数。
然后，我们可以令x = t，代入直角坐标系方程，得到y = f(t)。
于是我们得到了参数方程x = t，y = f(t)。
学案2：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学习目标：1、了解两点间距离公式的推导过程；熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；2、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；3、理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．重点：熟记并能会运用两点间的距离公式、中点公式解简单的题目；难点：灵活运用两点间的距离公式和中点公式解几何综合题和对称问题．学法指导通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想及“数”和“形”结合转化思想.自学达标：复习回顾平面直角坐标系中点的坐标(初中所学)：在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内点的集合具有一一对应关系．有序实数对(x，y)与点P对应时，(x，y)叫做点P的坐标．其中x叫做点P的横坐标．y叫做点P的纵坐标．新知探究知识点1．两点间的距离公式(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离表示为d(P1，P2)＝__________________.①当P1P2平行于x轴时，d(P1，P2)＝________；②当P1P2平行于y轴时，d(P1，P2)＝________；③当P2点是原点时，d(P1，P2)＝_________.(2)算术平方根(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是___________________________________．思考感悟：算术平方根a2＋b2的几何意义是什么？知识点2．中点公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝_______，y＝________.知识点3．解决几何问题的基本方法——解析法解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把________问题转化成_______问题，通过建立________________加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系；(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系；(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来演算．考点突破考点 1 两点间的距离公式及中点公式—找到所用的点的坐标代入公式，然后进行等价化简．例1 已知点A (－3,4)，B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )．并求出d (P ，A )．【分析】 可利用已知条件，设出点P 的坐标(x,0)，利用方程可求出x ，从而确定点P ，进而求出d (P ，A )．【点评】 熟练掌握两点间距离公式．跟踪训练1 已知平行四边形三个顶点坐标分别为(－1，－2)，(3,1)，(0,2)，求平行四边形第四个顶点的坐标．考点2 坐标法证明几何题—建立坐标系，用两点间的距离公式、中点坐标公式等证明． 例2 已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系， 证明：2AM ＝BC .【分析】 借助坐标法证明此题．因为△ABC 是直角三角形，所以选择直角顶点为坐标原点，直角边所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，便于设点求解．【点评】 建立直角坐标系时，要利用图形特点，建立适当 的坐标系，以避免复杂的运算量．跟踪训练2 在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B 、C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形．考点3 代数问题的几何解法—涉及到无理式，尤其是根式中含平方的形式，我们联想到两点间的距离公式，即构造两点间的距离．例3 求函数y ＝x 2＋x ＋1－x 2－x ＋1的值域．【分析】 将被开方式配方，可化为两点的距离公式的形式，结合几何意义求值域．【点评】 涉及到无理式，其中含二次三项式的，我们联想到两点间的距离公式，即构造两点间的距离公式，再结合平面几何知识求解．跟踪训练3 函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值．课堂小结1．判断一个量是否为向量，就是要判断该量是否既有大小，又有方向．2．特殊向量：零向量的起点与终点重合，它没有确定的方向，它的长度为0.3．两相等向量的方向相同，长度相等．凡是相等向量均看作一个向量，向量可以在坐标平面上平行移动，而不改变其大小，如图．向量OA → 的起点为坐标原点，终点为A 点，向量OA→的坐标为(0,1)，将向量OA →沿 x 轴平移1个单位，得向量BD →，显然向量BD →与向量OA →为相等向量(不但方向相同，而且大小相等)．所以向量BD →的坐标仍为(0,1)，因此向量的平移只是改变向量的位置，并不改变向量的方向与大小．4．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标．5．坐标法：就是通过建立坐标系(直线坐标系或直角坐标系)，将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法．6．坐标法证明题的基本步骤：(1)根据题设条件，在适当位置建立坐标系(直线坐标系或直角坐标系)；(2)设出未知点坐标，然后根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导出结论．7．使用“坐标法”来处理几何问题，体会“数形结合”的数学思想方法．8．列方程或方程组求解问题的方法，也是解析几何中常用的基本方法．9．两点间距离公式与中点公式是两个重要的基本公式．公式的推导过程中所使用的“分解”、“综合”方法，充分体现了转化思想．这里所说的“分解”与“综合”方法，是指把坐标平面上的问题投影到两个坐标轴上，从而分解为两个坐标轴上的问题；然后再把每个坐标轴上的问题的解答综合起来，得到坐标平面上的问题．课堂达标检测1．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点为B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是() A．4 B.13C.15D.172．已知点A(5，－1)、B(1,1)、C(2,3)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，则a的值为________．4．已知A(－7,0)、B(－3，－2)、C(1,6)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的外心的坐标．5. 平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(2,3)、B(4,0)、D(5,3)，求顶点C的坐标．6. 求下列两点间的距离：(1)A(2,5)、B(3，－4)；(2)A(2－1，3＋2)、B(2＋1，3－2)；(3)A(a＋1，b)、B(a－2，b)；(4)A(a,2b)、B(a,3b－1)．参考答案知识点1（1）(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2①|x 2－x 1| ②|y 2－y 1| ③x 21＋y 21 （2）表示两点P 1(x ，y )，P 2(a ，b )的距离思考感悟：提示：点(a ，b )到原点的距离．知识点2 x 1＋x 22， y 1＋y 22知识点3 几何 代数 适当的坐标系例1【解】 设P (x,0)，由题意得d (P ，A )＝x 2＋6x ＋25，d (P ，B )＝x 2－4x ＋7，由d (P ，A )＝d (P ，B ) 即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7得x ＝－95， 故P 点的坐标为(－95，0)， d (P ，A )＝21095. 跟踪训练1解：设A (－1，－2)，B (3,1)，C (0,2)，第四个顶点的坐标为D (x ，y )，(1)若四边形ABCD 是平行四边形，则由中点坐标公式得：⎩⎨⎧ x ＋32＝－1＋02y ＋12＝－2＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－1， ∴点D 坐标为(－4，－1)．(2)若四边形ABDC 是平行四边形，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧ x －12＝3＋02y －22＝1＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝5， ∴点D 坐标为(4,5)．(3)若四边形ACBD 是平行四边形，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧ x ＋02＝－1＋32y ＋22＝－2＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－3，∴点D 坐标为(2，－3)．综上所述，第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4,5)或(2，－3)．例2 【证明】 如图建立直角坐标系，设B ，C 的坐标分别是(b,0)，(0，c )．因为点M 是BC 的中点，故点M 的坐标为(b 2，c 2)． 由两点间距离公式，得d (B ，C )＝c 2＋b 2，d (A ，M )＝b 24＋c 24＝b 2＋c 22. ∴2d (A ，M )＝d (B ，C )．∴2|AM |＝|BC |，即2AM ＝BC .跟踪训练2证明：如图，作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由两点间的距离公式，得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )，又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以△ABC 为等腰三角形．例3 【解】 显然函数的定义域为R ，y ＝(x ＋12)2＋34－ (x －12)2＋34.设P (x,0)，A (12，32)，B (－12，32)为平面上三点， 则|P A |＝(x ＋12)2＋34＝x 2－x ＋1， |PB |＝(x ＋12)2＋34＝x 2＋x ＋1. y ＝|PB |－|P A |.∵||PB |－|P A |<|AB |，且|AB |＝1，∴|y |<1，即－1<y <1，故函数的值域为(－1,1)．跟踪训练3 解：∵函数的解析式可化为y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8令A (0,1)，B (2,2)，P (x,0)，则问题转化为在x 轴上求一点P (x,0)，使得|P A |＋|PB |取最小值． ∵A 关于x 轴的对称点为A ′(0，－1)，∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A ′B |＝4＋9＝13.即函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值为13.课堂达标检测1. [答案] D[解析] 由⎩⎨⎧ x －22＝15－32＝y得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝1，∴|OP |＝17. 2. [答案] B[解析] |AB |＝25， |AC |＝5，|BC |＝1＋4＝5，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形．3. [答案] －1或85[解析] ∵d (A ，B )＝5，即5a 2－3a －8＝0，解得a ＝－1或a ＝85. 4.[解析] (1)∵|AB |＝20，|BC |＝80，|AC |＝100＝10，∴|AB |2＋|BC |2＝|AC |2，∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形．(2)∵△ABC 为直角三角形，∴其外心为斜边AC 的中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫1－72，6＋02，即(－3,3)． 5. [解析] 设AC 与BD 交点为M (a ，b )，则M 为BD 的中点，由中点坐标公式⎩⎨⎧ a ＝92b ＝32. 又设C (x 0，y 0)，则M 为AC 的中点，∴⎩⎨⎧ 92＝2＋x 0232＝3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝7y 0＝0.∴C 点坐标为(7,0)． 6. [解析] (1)Δx ＝3－2＝1，Δy ＝－4－5＝－9.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝82.(2)Δx ＝2＋1－(2－1)＝2，Δy ＝(3－2)－(3＋2)＝－22，∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝2 3.(3)Δx ＝a －2－(a ＋1)＝－3，Δy ＝b －b ＝0.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝9＋0＝3.(4)Δx ＝a －a ＝0，Δy ＝3b －1－2b ＝b －1.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝|b －1|.。
直角坐标系坐标转换公式解析
直角坐标系坐标转换公式解析直角坐标系（也称笛卡尔坐标系）是一种二维坐标系统，由两条相互垂直的轴组成，通常水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。
在这种坐标系中，每个点的位置由两个坐标值（x，y）表示，x值表示点相对于原点在x轴方向上的距离，y值表示点相对于原点在y轴方向上的距离。
1.极坐标转直角坐标：在极坐标系中，一个点的位置由极径r和极角θ表示。
极径r表示点相对于极点的距离，极角θ表示点与极正方向的夹角。
对于特定的点（r，θ），我们可以使用以下公式将其转换为直角坐标系中的坐标（x，y）：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中cos(θ)表示θ的余弦值，sin(θ)表示θ的正弦值。
这两个公式描述了点在直角坐标系中的位置。
2.直角坐标转极坐标：对于给定的点（x，y），我们可以使用以下公式将其转换为极坐标系中的坐标（r，θ）：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)其中sqrt(x^2 + y^2)表示点到原点的距离，atan2(y, x)表示点与正 x 轴的夹角。
这两个公式描述了点在极坐标系中的位置。
需要注意的是，当进行坐标转换时，需要考虑坐标系的正负方向以及特殊角度的处理，如负角度和超过360度的角度。
此外，将极坐标系的点转换为直角坐标系时，有可能存在多个直角坐标系的点对应于同一个极坐标系的点，这是由于一个角度对应于一条射线，而不是一个具体的点。
直角坐标系坐标转换公式在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
它们可以用于描述点的位置、计算两点间的距离和角度，以及进行图形的变换和旋转等操作。
了解和理解这些公式可以帮助我们更好地理解和应用直角坐标系。
平面直角坐标系中的基本公式PPT教学课件
二. 坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标 系或者是直角坐标系），将几何问题转化 为代数问题，再通过一步步地计算来解决 问题的方法.
用坐标法证题的步骤
用坐标法证题的步骤
（1）根据题设条件，在适当位置建立坐 标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的 坐标，进而推导结论.
（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2， y2). （2）计算两个坐标的差，并赋值给另外 两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.
（3）计算 d= x2 y2 （4）给出两点的距离 d.
通过以上步骤，对任意的两点，只 要给出两点的坐标，就可一步步地求值， 最后算出两点的距离.
例1. 已知A(2，－4)，B(－2，3，y2=3， △x=x2－x1=－4，△y=y2－y1=7，
梳理总结 内化提高
• 通过练习引导学生总结本节知识，即从“数” “形”两个特 征来认识函数的奇偶性， 从而达到数与形的完美结合。
布置作业 以图创新
• 通过课本习题1.3的习题9巩固本节知识。 • 通过习题10来培养学生的创新应用意识。
板书设计
图象引入 表格分析
函数的奇偶性
偶函数定义
例一
奇函数定义
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由 ∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2， ∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，
解得x=0或x=2,
若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90° 得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式在平面直角坐标系中，有两个常用的公式，分别是距离公式和中点公式。
这些公式用于计算平面上两点之间的距离和两点的中点坐标。
1.距离公式：在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
假设有平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则两点之间的距离为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过将两点的坐标差值平方相加，再开平方来计算出两点之间的距离。
例如，有两个点A(2,3)和B(5,7)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
2.中点公式：在平面直角坐标系中，给定两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，可以使用中点公式来计算这两点的中点坐标。
中点是连接两个点的线段的中心点，它的坐标可以通过坐标平均值来计算。
中点坐标的x坐标为两个点的x坐标之和的一半；中点坐标的y坐标为两个点的y坐标之和的一半。
中点的x坐标：x=(x1+x2)/2中点的y坐标：y=(y1+y2)/2例如，给定两个点A(2,3)和B(5,7)，我们可以使用中点公式来计算它们之间的中点坐标：x=(2+5)/2=7/2=3.5y=(3+7)/2=10/2=5因此，点A和点B之间的中点坐标为P(3.5,5)。
中点公式可以用于计算线段的中点坐标，并且在几何学和数学中经常被使用。
距离公式和中点公式在平面直角坐标系中具有广泛的应用。
它们可以用于解决几何问题，例如计算两点之间的距离或线段的中点。
另外，它们也可以扩展到三维坐标系中，并用于计算空间中两点之间的距离和中点坐标。
除了在数学和几何学中的应用，距离公式和中点公式在计算机图形学和计算机视觉等领域也有重要的应用。
在这些领域中，这些公式用于计算物体之间的距离、图像边界的中点等。
直角坐标系中两点之间的线段公式
直角坐标系中两点之间的线段公式
摘要：
一、直角坐标系简介
1.定义
2.作用
二、两点之间的线段公式
1.定义
2.公式推导
3.公式应用
三、结论
正文：
直角坐标系是一个在二维平面上以两条互相垂直的数轴来表示二维空间中的点的方法。
在我们的日常生活中，直角坐标系被广泛应用于地图、工程制图、数据分析等领域。
通过直角坐标系，我们可以方便地表示和计算两点之间的距离和角度。
在直角坐标系中，如果已知两个点的坐标（x1, y1）和（x2, y2），我们可以使用两点之间的线段公式来计算这两点之间的线段长度。
这个公式如下：
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
其中，d表示两点之间的距离，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示两个点的坐标。
为了更好地理解这个公式，我们可以进行如下的推导：
我们假设两个点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的长度可以表示为：
d = |x2 - x1| + |y2 - y1|
这是因为线段AB的两个端点分别位于x轴和y轴上，它们在x轴和y轴上的坐标差分别为|x2 - x1|和|y2 - y1|，所以线段AB的长度等于这两个坐标差的绝对值之和。
然而，我们需要注意的是，线段AB的长度应该是非负的。
因此，我们可以将上述公式改写为：
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
这就是我们所需要的两点之间的线段公式。
在实际应用中，我们可以使用这个公式来计算地图上两点之间的距离，或者在计算机图形学中计算两个像素之间的距离。
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2
数轴上的中点坐标公式
已知数轴上两点A(x1)，B(x2),如何计算线 段AB的中点M的坐标？
O
AM MB
ＡM
ｘ１ X
Ｂ Ｘ２
AM=MB x-x1=x2-x
合作探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，
那么点P1和P2的距离为多少？
y
|P1P2|=|x1-x2|
C
x
A1 O (x1，0)
B1 (x2，0)
由特殊得到一般的结论
1、公式：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间 的距离，用d（A，B）表示为
d ( A, B) AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|； 当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|； 当B为原点时，d(A，B)=
合作探究（二）：中点公式
2、中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB 的中点，计算公式如下
x x1 x2 2
y y1 y2 2
y
B(x 2,y 2)
A(x 1,y 1) M(x,y)
x O
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
所以，三角形ABC为等腰三角形。
〖课堂检测2〗 已知：A（1，1）B（5，3）
C（0，3）求证：三角形ABC是直角三角形
【例3】证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和的两倍.
y D (b-a, c) C (b, c)
A(0,0) B(a,0) x
该题用的方法----坐标法。可以将几何问题 转化为代数问题。记住结论。
直角坐标系中的基本公式
直角坐标系中的基本公式
一、坐标极限
在直角坐标系中，每个坐标轴的极限均为正无穷大、负无穷大，若设坐标轴为x轴和y轴，则有：
x→±∞，y→±∞
二、坐标点
坐标系中的任意一点通过其与坐标轴的交点定义出来，若该点与坐标轴上的点非常接近，则坐标系中的任意一点可以用坐标点(x,y)表示，其中x和y分别表示该点到x轴和y轴的距离，正数表示向右向上距离，负数表示向左向下距离。
三、坐标轴
在直角坐标系中，一般有两个相互垂直的坐标轴，一般称为x轴和y 轴，x轴垂直于y轴，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，称为坐标轴正方向。
四、坐标原点
在直角坐标系中，由x轴和y轴交点定义的点称为坐标原点，符号为O，x轴上该点的坐标为(0,0)，即x=0，y=0。
五、坐标轴上的点
在直角坐标系中，任何一点，其到坐标轴的距离均为常数，若该点在x轴上的坐标为a，在y轴上的坐标为b，则该点的坐标可表示为(a,0)（在x轴上）或(0,b)（在y轴上），其中a和b均为实数。
六、基本公式
1、点到坐标轴的距离
设点P(x,y)与x轴和y轴的距离为a和b，则有：a=，x，b=，y
2、点到坐标原点的距离。
课件4：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
1．已知 A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段 AB 的中点坐标为( )
A．(32，2)
B．(－32，－3)
C．(－32，3)
D．(32，－3)
【解析】 由中点坐标公式可以求得．
【答案】 B
2．已知 A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则 a 的值为( )
A．4
B．－4 或 2
C．－2
例 1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－a,0)，B(a,0)， C(0， 3a)．求证：△ABC 是等边三角形．
【思路探究】 解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出 三边长，再用三角形知识解决．
【自主解答】 由两点的距离公式得 |AB|＝ (a＋a)2＋(0－0)2＝2|a|， |BC|＝ (0－a)2＋( 3a－0)2＝2|a|， |CA|＝ (－a－0)2＋(0－ 3a)2＝2|a|. ∴|AB|＝|BC|＝|CA|， 故△ABC 是等边三角形．
(b,0)，(0，c)．
因为点 M 是 BC 的中点， 故点 M 的坐标为(0＋2 b，0＋2 c)，即(b2，2c)． 由两点间距离公式得|BC|＝ (0－b)2＋(c－0)2＝ b2＋c2， |AM|＝ (b2－0)2＋(2c－0)2＝12 b2＋c2.
所以|AM|＝12|BC|.
当堂双基达标
【解】 设点 M 的坐标为(x,0)， 由题意知|x|＝ (x－5)2＋(0＋3)2， 即 x2＝(x－5)2＋9，解得 x＝3.4，
故所求点 M 的坐标为：
D．－2 或 4
【解析】 (a－1)2＋(6－2)2＝5，解得 a＝－2 或 4.
【答案】 D
3．点 A(2,3)，B(5,4)之间的距离为________．
平面直角坐标系中的基本公式
练习题：
1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一 个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标 是－1，则端点B的纵坐标是（ C ） （A）－3 （B）5
（C）－3或5 （D）－1或3
2．设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得
|AB|=5，则B点的坐标是（ D ）
（A）(2，0)或(0，0) （B）( 1 21，0) （C）( 1 21 ，0) （D）( 1 21 ，0)或( 1 21 ，0)
已知平面上任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，
如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
注意：P1P2
所在直线不与坐标轴平行且不在坐标轴上
y y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O
x1
x2
x
| PQ 1 || x2 x1 |
｛ ｛
三、数学思想方法：
｛
1.特殊到一般 2.方程与化归的思想 3.坐标法（几何与代数的转化）
D
C
A
B
Hale Waihona Puke 证明：以A为原点，AB为x轴 建立直角坐标系。
则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
y
D (b,c)
C (a+b,c)
第一步:建立坐标系，用 坐标表示有关的量。
2 2 2 2
翻译成几何关系。
x
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。
例5.求函数y= x2 1 x2 4x 的最小值 . 8
解：函数的解析式可化为
x2 1 x2 4 x 8
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2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
知识点1. 两点间的距离公式
①. 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B
②． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|； 当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|； 当B 为原点时，d (A ，B
求两点距离的步骤
已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：
（1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1. （3）计算 d 22x y +.
（4）给出两点的距离 d .
通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离
知识点2. 坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.
用坐标法证题的步骤
（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标；
（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论. 知识点3. 中点坐标公式
已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有 12122
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。
（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ). （3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为
12312
333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨
++⎪=⎪⎩
题型1. 公式的基本应用
例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标，
（1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2).
（2）设CD 的中点为N (x ，y )，得线段CD 的中点坐标为N (23，2
3
)，
例2． 已知点A (－1，3)，B (3，1)，点C 在坐标轴上，∠ACB =90°，则满足条件的点C 的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
题型2. 公式的逆用
例3. 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标.
例4．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE |=|CE |.
例5．已知△ABC的顶点为A(－1，3)，B(3，－2)，C(2，4)，求BC边上的中线AM的长.
【练习】
1．如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标是－1，则端点B的纵坐标是（）
（A）－3 （B）5 （C）－3或5 （D）－1或3
2．设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得|AB|=5，则B点的坐标是（）
（A）(2，0)或(0，0) （B）(10)
（C）(10) （D）(10)或(10)
3．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是（）（A）(－2，0) （B）(1，0) （C）(1.5，0) （D）(3.4，0)
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)等距离，则M点的坐标是 . 5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距离相等，求x+y的值.
6．设D为△ABC的边BC上的一点，而BD=2DC，求证：|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.
例6．求函数y.
例7．已知正方形ABCD的三个顶点坐标是A(2，3)，B(6，6)，C(3，10)，求顶点D的坐标。
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