初三下学期数学复习资料
初三数学复习资料
![初三数学复习资料](https://img.taocdn.com/s3/m/bbaa1ce65ff7ba0d4a7302768e9951e79b896912.png)
初三数学复习资料初三数学复习资料11、弧长公式n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为L=nπr/1802、扇形面积公式,其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长.S=﹙n/360﹚πR2=1/2×lR3、圆锥的侧面积,其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径.S=1/2×l×2πr=πrl4、弦切角定理弦切角:圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角.弦切角定理:弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角.一、选择题1.(20__o珠海,第4题3分)已知圆柱体的底面半径为3cm,髙为4cm,则圆柱体的侧面积为()A.24πcm2B.36πcm2C.12cm2D.24cm2考点:圆柱的计算.分析:圆柱的侧面积=底面周长×高,把相应数值代入即可求解.解答:解:圆柱的侧面积=2π×3×4=24π.故选A.点评:本题考查了圆柱的计算,解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法.2.(20__o广西贺州,第11题3分)如图,以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E,且AC=2,AE=,CE=1.则弧BD的长是()A.B.C.D.考点:垂径定理;勾股定理;勾股定理的逆定理;弧长的计算.分析:连接OC,先根据勾股定理判断出△ACE的形状,再由垂径定理得出CE=DE,故=,由锐角三角函数的定义求出∠A的度数,故可得出∠BOC的度数,求出OC的长,再根据弧长公式即可得出结论.解答:解:连接OC,∵△ACE中,AC=2,AE=,CE=1,∴AE2+CE2=AC2,∴△ACE是直角三角形,即AE⊥CD,∵sinA==,∴∠A=30°,∴∠COE=60°,∴=sin∠COE,即=,解得OC=,∵AE⊥CD,∴=,∴===.故选B.初三数学复习资料2因式分解的方法1.十字相乘法(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;(4)检验。
初中数学经典试题及答案(初三复习资料)
![初中数学经典试题及答案(初三复习资料)](https://img.taocdn.com/s3/m/d447f1e6b7360b4c2f3f64ae.png)
初中数学经典试题一、选择题:1、图 ( 二) 中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角。
关于这七个角的度数关系,下列何者正确( )A.2=4+7B.3=1+6C.1+ 4+ 6=180D.2+ 3+ 5=360答案: C.2、在平行四边形ABCD中, AB= 6, AD= 8,∠ B 是锐角,将△ ACD沿对角线 AC折叠,点D落在△ ABC所在平面内的点 E 处。
如果 AE过 BC的中点,则平行四边形ABCD的面积等于()A、48B、10 6C、127D、24 2BOCFDA答案: C.3、如图,⊙ O中弦 AB、 CD相交于点F, AB= 10,AF= 2。
若 CF∶ DF= 1∶ 4,则 CF的长等于()A、2B、2C、3D、22答案: B.4、如图:△ ABP与△ CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD。
有下列四个结论:①∠PBC =150;② AD∥BC;③直线 PC与 AB垂直;④四边形ABCD是轴对称图形。
其中正确结论的个数为()A DPB第10题图CA 、 1B、 2C、 3D、 4答案: D.C5、如图,在等腰Rt△ABC中,∠ C=90o ,AC=8,F 是 AB边上的E中点,点 D、E 分别在 AC、 BC 边上运动,且保持 AD=CE,连接DDE、 DF、 EF。
在此运动变化的过程中,下列结论:A F B① △DFE是等腰直角三角形;②四边形 CDFE不可能为正方形;③ DE 长度的最小值为 4;④四边形 CDFE的面积保持不变;⑤△ CDE 面积的最大值为 8。
其中正确的结论是()A.①②③B.①④⑤C.①③④ D .③④⑤答案: B.二、填空题:6、已知0x1.(1) 若x 2 y 6 ,则y的最小值是;(2). 若x2y2 3 , xy1,则x y =.答案:( 1)-3 ;( 2)-1.7、用 m根火柴可以拼成如图 1 所示的 x 个正方形,还可以拼成如图 2 所示的 2y 个正方形,那么用含 x 的代数式表示y,得 y= _____________ .图1图2答案: y=3x-1.552218、已知m- 5m- 1= 0,则 2m- 5m+m2=.A D 答案: 28.9、 ____________________ 范围内的有理数经过四舍五入得到的近似数.N M答案:大于或等于且小于 .10、如图:正方形 ABCD中,过点 D 作 DP交 AC于点 M、交AB于点 N,交 CB的延长线于点 P,若 MN= 1, PN= 3,P B C第19题图则 DM的长为.答案: 2.11、在平面直角坐标系xOy 中,直线 y x 3 与两坐标轴围成一个△AOB。
中考数学总复习资料大全(精华版)
![中考数学总复习资料大全(精华版)](https://img.taocdn.com/s3/m/950b6304650e52ea55189863.png)
中考数学总复习资料大全第一章 实数★重点★ 实数的有关概念及性质,实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1.数的分类及概念 数系表:说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏) 2)有标准2.非负数:正实数与零的统称。
(表为:x ≥0) 常见的非负数有:性质:若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0。
3.倒数: ①定义及表示法②性质:A.a ≠1/a (a ≠±1);B.1/a 中,a ≠0;C.0<a <1时1/a >1;a >1时,1/a <1;D.积为1。
4.相反数: ①定义及表示法②性质:A.a ≠0时,a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴:①定义(“三要素”)②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数) 定义及表示: 奇数:2n-1偶数:2n (n 为自然数) 7.绝对值:①定义(两种): 代数定义:实数 无理数(无限不循环小数)0 (有限或无限循环性数) 整数分数正无理数负无理数0 实数 负数 整数 分数无理数 有理数正数整数分数无理数 有理数│a │ 2a a (a ≥0) (a 为一切实数) a(a≥0)-a(a<0)│a │=几何定义:数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。
二、 实数的运算 1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2. 运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律) 3.运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左”到“右”(如5÷51×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
中考数学复习资料(7篇)
![中考数学复习资料(7篇)](https://img.taocdn.com/s3/m/010b6bd09a89680203d8ce2f0066f5335a816798.png)
中考数学复习资料(7篇)中考数学复习资料(7篇)它是初中毕业证发放的必要条件,中国将这几科考试科目规定为国家课程的学科,全部列入初中学业水平考试的范围。
以下是小编为大家整理的中考数学复习重点,仅供参考,希望能够帮助大家。
中考数学复习重点1中考临近,考生在复习时数学如何才能抓住要点数学复习应该重点抓好数字式、方程(组)与不等式(组)、函数及其图像、统计与概率、几何的基本概念与三角形、四边形、相似图形、特直角三角形、圆及视图与投影等10大模块。
同时,于忠翠老师强调,考生应该以轻松自信的心态应对中考,发挥出自己的真实水平。
数字式以中、低档题居多“这一板块主要包括实数、整式、因式分解、分式及二次根式等内容,中考中多以填空选择的客观题形式出现,淡化了计算难度,主要以中、低档次的题居多。
”于忠翠说,随着课改的深入,这一板块的考察形式将会多样化,一些以实际生活题材为背景、结合当今社会热点的问题将会占据主流,近似数、有效数字、科学论证法、绝对值、因式分解、规律探究及阅读理解题成为近几年的热点题型。
方程与不等式难度不大、函数突出开放性单纯求解方程的不等式问题多以填空、选择的题型出现,一般难度不大。
对于应用方程(组)与不等式(组)解决实际问题,特别是与生产生活相联系的方案设计、决策应用等问题应是中考重点,尤其是方程与函数知识、几何知识的综合运用及不等式的实际运用问题是热点问题。
“函数题越来越突出开放性,单纯求函数解析式的题型越来越少,函数中的一些动点问题,尤其是设计新颖、贴近生产生活的函数最值问题、一些开放性探索题及图表信息题将会成为中考热点问题。
”于忠翠说。
统计概率以图表信息题为主统计与概率在中考试卷中所占分数一般在10分左右,这一板块在考察基础知识和基本技能的同时,多以图表信息题为主,考察学生利用图表的信息及所求概率的大小,解决现实生活中的问题。
对于几何与三角形,于忠翠表示,这一板块主要考察结合图形探索规律,特殊三角形在实际生活中的应用及利用旋转、轴对称等知识解决实际问题,淡化了传统的推理论证题。
初三数学复习--九下 二次函数图象及其性质
![初三数学复习--九下 二次函数图象及其性质](https://img.taocdn.com/s3/m/1b8edf25647d27284b735114.png)
课题:二次函数图象及其性质一、课标与教材分析(一)课标要求:1、通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义2、通过二次函数的图像了解二次函数的性质3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为2=-+的形式,()y a x h k 并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,说出图像的开口方向,画出图像的对称轴,并能解决简单的实际问题。
4、会用二次函数的图像求一元二次方程的近似解二、知识网络a>0三、学情分析:二次函数是中考必考内容,也是中考的重点内容,学生在学习的过程中往往出现对各个知识点的孤立的理解,不能将这些知识点有机地结合起来进行综合分析,在复习教学中要通过系统的分析、训练解决这一问题,帮助学生提高分析问题、理解问题、解决问题的能力。
本节课考点较多,涉及题目应分类整理,注意方法的总结与指导。
四、教学目标:知识技能:1、理解二次函数的概念2、掌握二次函数的图像和性质3、会画出二次函数的图像,求二次函数的关系式4、能灵活运用二次函数的有关性质解决实际问题数学思考:1、体会函数的模型思想2、经历借助图像思考问题的过程,初步建立几何直观问题解决:学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题。
情感态度:体会数学的实际应用价值。
五、教学重点、难点:会灵活运用二次函数的图像和性质解决数学问题六、教学方法与媒体:七、教学过程:【基础知识梳理】1.一般地如果y= (a、b、c是常数,a≠0)那么y叫做x的二次函数.2. 二次函数2=-+的图像和性质()y a x h ka>03. 二次函数c=2用配方法可化成()k+bxy+ax-=2的形式,其中h=y+axhk= .4. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.5. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,及b 2-4ac 的符号的确定.6.在抛物线y= ax 2+bx+c 中,当x=1时,y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号.则a 0, b 0, c 0,ac b 42- 0, a +b +c 0,a -b +c 0; 【基础知识诊断】1. 下列函数中,不是二次函数的是( )A.222y x x =+;B.213xy x =-++;C.221y x x =-+; D.()22y x x x =-+ 2. 将抛物线23y x =-向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是 . 3. 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象,那么a 的值是 .4.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是( )A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)5.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示, 则a 0, b 0, c 0,ac b 42- 0, a +b +c 0,a -b +c 0;【精典例题】例1 (2012•常州)已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x3、0时,对应的函数值分别:y1,y2,y3,,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y3<y2<y1B.y1<y2<y3C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2例2 (2012•咸宁)对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:①它的图象与x轴有两个公共点;②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1;④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3.其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)例3 (2012•玉林)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论:①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,则正确的结论是()A.①② B.①③ C.②④ D.③④【当堂训练】一、选择题(每小题有四个选项,只有一个选项是正确的.)1.抛物线4y的顶点坐标是()22-=xA.(1,-2) B.(0,-2) C.(1,-3) D.(0,-4)2.对抛物线y = -x2+2x-3而言, 下列结论正确的是( )A. 与x轴有两个交点B. 开口向上C. 与y轴的交点坐标是(0, 3)D. 顶点坐标是(1, -2)3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,•则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2012四川巴中)对于二次函数y2(x1)(x3)=+-,下列说法正确的是().A. 图象的开口向下B. 当x>1时,y随x的增大而减小C. 当x<1时,y随x的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=-15.(2011安徽芜湖)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( ).二、填空题1.抛物线y =2x 2+4x+5的对称轴是x=_________2.抛物线432-+=x x y 与y 轴的交点坐标是 ,与x 轴的交点坐标是 .3.把抛物线223x y -=向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数关系式为 .4.(2012江苏苏州)已知点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)在二次函数y=(x -1)2+1的图象上,若x 1>x 2>1,则y 1 y 2.5. (2011山东日照)如图,是二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的一部分, 给出下列命题 :①a+b+c=0;②b >2a ;③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1;④a -2b +c >0.其中正确的命题是 .(只要求填写正确命题的序号)提升训练一、选择题(每小题有四个选项,只有一个选项是正确的.)(-2,1. (2011山东潍坊)已知一元二次方程20(0)ax bx c a ++= >的两个实数根1x 、2x 满足124x x +=和123x x =,那么二次函数2(0)y ax bx c a =++ >的图象有可能是( )2. (2012山东济南)如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是 A .y 的最大值小于0B .当x =0时,y 的值大于1C .当x =-1时,y 的值大于1D .当x =-3时,y 的值小于03. (2010湖北孝感)如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,下列结论:①ac <0;②a+b=0;③4ac -b 2=4a ;④a+b+c <0.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3D. 44.(2012•河北)如图,抛物线y 1=a (x+2)2-3与y 2=12(x-3)2+1交于点A (1,3),过点A 作x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点B ,C .则以下结论: ①无论x 取何值,y 2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y 2-y 1=4;④2AB=3AC ; 其中正确结论是( )A .①② B .②③ C .③④ D .①④5.(2012•德阳)设二次函数y=x 2+bx+c ,当x ≤1时,总有y ≥0,当1≤x ≤3时,总有y ≤0,那么c 的取值范围是( )A .c=3B .c ≥3C . 1≤c ≤3D .c ≤3二、填空题1.(2011江苏扬州)如图,已知函数xy 3-=与bx ax y +=2(a>0,b>0)的图象交于点P ,点P 的纵坐标为1,则关于x 的方程bx ax +2x3+=0的解为2.(2012•玉林)二次函数y=-(x-2)2+94的图象与x 轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有 个(提示:必要时可利用下面的备用图画出图象来分析).3.(2012•长春)在平面直角坐标系中,点A 是抛物线y=a (x-3)2+k 与y 轴的交点,点B 是这条抛物线上的另一点,且AB ∥x 轴,则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .4.(2012•孝感)二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:①abc <0; ②a-b+c <0; ③3a+c <0; ④当-1<x <3时,y >0. 其中正确的是 (把正确的序号都填上).x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A 5.(2012•广安)如图,把抛物线y=12x2交于点(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12Q,则图中阴影部分的面积为.三、解答题1.(2011·贵阳)如图所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A (3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.(1)求m的值;(2)求点B的坐标;(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.若把条件x>0,y>0去掉,则会有几个满足条件的点D?1x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y 2. (2011贵州安顺)如图,抛物线y=2轴交于C点,且A(一1,0).⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.3.(2012北京市)已知二次函数23=++++在x0=和x2=时的函数值相y(t1)x2(t2)x2等。
初三数学试卷资料书推荐
![初三数学试卷资料书推荐](https://img.taocdn.com/s3/m/f0888ddad5d8d15abe23482fb4daa58da0111cb5.png)
摘要:随着中考临近,初三学生面临着严峻的升学压力。
为了帮助学生更好地复习数学,提高成绩,本文将为您推荐几本优秀的初三数学试卷资料书,助您冲刺满分。
一、《中考数学试卷解析》这本书以历年中考真题为基础,详细解析了各个题型的解题思路和技巧。
书中不仅包含了大量的中考真题,还附有详细的答案解析和知识点总结。
通过学习这本书,学生可以全面了解中考数学的命题规律,提高解题能力。
二、《五年中考三年模拟》这本书集合了五年的中考真题和三年的模拟试题,涵盖了初中数学的所有知识点。
每道题都配有详细的解题步骤和答案解析,帮助学生巩固知识点,提高解题速度。
此外,书中还提供了针对不同知识点的专项训练,帮助学生查漏补缺。
三、《中考数学冲刺100分》这本书以冲刺满分为目标,精选了100道最具代表性的中考数学试题。
每道题都配有详细的解题思路和技巧,帮助学生掌握中考数学的核心考点。
此外,书中还附有针对不同题型的解题技巧总结,帮助学生提高解题速度和准确率。
四、《数学奥林匹克小丛书》这本书适合对数学有浓厚兴趣的学生,书中收集了大量的数学奥林匹克竞赛题目。
通过学习这些题目,学生可以拓宽数学视野,提高解题能力。
同时,这些题目也具有一定的难度,有助于培养学生的逻辑思维和创新能力。
五、《启东中学数学》这本书以启东中学的数学教学体系为基础,详细讲解了初中数学的所有知识点。
书中不仅包含了大量的例题和习题,还附有详细的答案解析和知识点总结。
通过学习这本书,学生可以系统地掌握初中数学的知识体系,提高解题能力。
六、《领跑中考》这本书是很多学校推荐的复习资料,包含了大量的中考真题和模拟试题。
每道题都配有详细的答案解析和知识点总结,帮助学生巩固知识点,提高解题能力。
此外,书中还提供了针对不同知识点的专项训练,帮助学生查漏补缺。
七、《知识清单》这本书以知识点清单的形式,整理了初中数学的所有知识点。
书中不仅包含了知识点,还附有相关的例题和习题。
通过学习这本书,学生可以系统地掌握初中数学的知识体系,提高解题能力。
初三数学知识点总结归纳(4篇)
![初三数学知识点总结归纳(4篇)](https://img.taocdn.com/s3/m/c376a370bf1e650e52ea551810a6f524ccbfcbf4.png)
初三数学知识点总结归纳初三数学复习五大方法初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径:圆上一点与圆心的连线段。
2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧:圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧:小于半圆周的弧。
(2)优弧:大于半圆周的弧。
5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。
6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。
7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形,它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论:平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r,OP=d。
初三数学知识点总结归纳(二)1.数的分类及概念数系表:说明:分类的原则:1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数:正实数与零的统称。
(表为:x0)性质:若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。
3.倒数:①定义及表示法②性质:A.a1/a(a1);B.1/a中,aC.04.相反数:①定义及表示法②性质:A.a0时,aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴:①定义(三要素)②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
初三数学复习 第三章 函数 第四节 二次函数的图象与性质(1)
![初三数学复习 第三章 函数 第四节 二次函数的图象与性质(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/c1bd6977192e45361066f5f5.png)
第四节二次函数的图象与性质姓名:________ 班级:________ 限时:______分钟1.(2019·荆门)抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为( )A.0 B.1 C.2 D.32.(2019·温州)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是( )A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-2 3.(2019·湖州)已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是( )4.(2019·河池)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,则下列结论中错误的是( )A .ac <0B .b 2-4ac >0C .2a -b =0D .a -b +c =05.(2019·梧州)已知m >0,关于x 的一元二次方程(x +1)(x -2)-m =0的解为x 1,x 2(x 1<x 2),则下列结论正确的是( ) A .x 1<-1<2<x 2 B .-1<x 1<2<x 2 C .-1<x 1<x 2<2 D .x 1<-1<x 2<26.(2019·贵阳)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y =12x +12上.若抛物线y =ax 2-x +1(a≠0)与线段AB 有两个不同的交点,则a 的取值范围是( )A .a≤-2B .a<98C .1≤a<98或a≤-2D .-2≤a<987.(2019·玉林)已知抛物线C :y =12(x -1)2-1,顶点为D ,将C 沿水平方向向右(或向左)平移m 个单位,得到抛物线C 1,顶点为D 1,C 与C 1相交于点Q.若∠DQD 1=60°,则m等于( )A.±4 3 B.±2 3C.-2或2 3 D.-4或4 38.(2019·烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:x -1 0 2 3 4y 5 0 -4 -3 0下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1<x2,其中正确的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.59.(2019·哈尔滨)二次函数y=-(x-6)2+8的最大值是________.10.(2019·凉山州)将抛物线y=(x-3)2-2向左平移________个单位后经过点A(2,2).11.(2019·广元)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值范围是______.12.(2019·武汉)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是________.13.(2019·贺州)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示,下列说法中:①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c=0;④当-1<x<3时,y>0,正确的是________(填写序号).14.(2019·长丰县二模)如图,菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2+2ax +2(a<0)的图象上,点A,B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,则点D的坐标为________.15.(2019·宁波)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标.(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.①当m=2时,求n的值;②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.16.(2019·黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、点B(-1,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点D(0,3)作直线MN∥x轴,点P在直线MN上且S△PAC=S△DBC,直接写出点P的坐标.1.(2019·济宁)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是________.2.(2019·芜湖二十九中一模)设二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时取得最大值10,并且它的图象在x轴上所截得的线段长为4,求a、b、c的值.3.(2019·贺州)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A,B,C三点.(1)求A,C两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.参考答案基础训练1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.A 8.B9.8 10.3 11.-6<M<612.x1=-2,x2=5 13.①③④14.(-2,2)15.解:(1)∵把点P(-2,3)代入y=x2+ax+3中,解得a=2,∴y=x2+2x+3.∴顶点坐标为(-1,2).(2)①当m=2时,n=11;②∵点Q到y轴的距离小于2,∴|m|<2,∴-2<m<2,∴2≤n<11.16.解:(1)将点A(3,0)、点B(-1,0)分别代入y=x2+bx+c,可得b =-2,c =-3, 则y =x 2-2x -3. (2)∵C(0,-3), ∴S △DBC =12×6×1=3,∴S △PAC =3.∵设P(x ,3),直线CP 与x 轴交于点为Q , ∴S △PAC =12×6×AQ,∴AQ=1,∴Q(2,0)或Q(4,0).设直线CQ 的解析式为y =kx +b ,代入点Q 坐标, ∴直线CQ 为y =32x -3或y =34x -3.当y =3时,x =4或x =8, ∴P(4,3)或P(8,3). 拔高训练 1.x<-3或x>12.解:∵设抛物线与x 轴的交点的横坐标为x 1,x 2, ∴x 1+x 2=-ba ,x 1·x 2=ca,∴|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=b 2-4aca 2=4,① ∴x=3时取得最大值10,∴-b2a =3,②4ac -b 24a =10,③ 联立①②③解之得: a =-52,b =15,c =-252.3.解:(1)∵OA=OC =4OB =4,∴点A ,C 的坐标分别为(4,0),(0,-4).(2)抛物线的解析式为y =a(x +1)(x -4)=a(x 2-3x -4), 将点C(0,-4)的坐标代入得-4a =-4,解得a =1, 则抛物线的解析式为y =x 2-3x -4. (3)设直线AC 的解析式为y =kx +b ,将点A(4,0),C(0,-4)的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k +b =0,b =-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1,b =-4,则直线AC 的解析式为y =x -4.如解图,过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H. ∵OA=OC =4, ∴∠OAC=∠OCA=45°. ∵PH∥y 轴,∴∠PHD=∠OCA=45°.设点P(x,x2-3x-4),则点H(x,x-4),PD=HPsin∠PHD=22(x-4-x2+3x+4)=-22x2+22x.∵-22<0,∴PD有最大值,当x=2时,其最大值为22,此时点P的坐标为(2,-6).。
2020年初三数学下册中考专题复习 二次函数的存在性问题【含答案】
![2020年初三数学下册中考专题复习 二次函数的存在性问题【含答案】](https://img.taocdn.com/s3/m/ebd984400c22590103029d59.png)
2020年初三数学下册中考专题复习二次函数的存在性问题一.解答题(共20小题)1.如图,在▱OABC中,A、C两点的坐标分别为(4,0)、(﹣2,3),抛物线W经过O、A、C三点,点D是抛物线W的顶点.(1)求抛物线W的函数解析式及顶点D的坐标;(2)将抛物线W和▱OABC同时先向右平移4个单位长度,再向下平移m(0<m<3)个单位长度,得到抛物线W1和□O1A1B1C1,在向下平移过程中,O1C1与x轴交于点H,▱O1A1B1C1与▱OABC重叠部分的面积记为S,试探究:当m为何值时,S有最大值,并求出S的最大值;(3)在(2)的条件下,当S取最大值时,设此时抛物线W1的顶点为F,若点M是x 轴上的动点,点N是抛物线W1上的动点,是否存在这样的点M、N,使以D、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图1(注:与图2完全相同),在直角坐标系中,抛物线经过点A(1,0)、B(5,0)、C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)P是抛物线对称轴上的一点,求满足PA+PC的值为最小的点P坐标(请在图1中探索);(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形?若存在,请求出点E坐标,若不存在请说明理由(请在图2中探索)3.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标;(3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c的图象经过点C(0,﹣2),顶点D的坐标为(1,﹣),与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式.(2)连接AC,E为直线AC上一点,当△AOC∽△AEB时,求点E的坐标和的值.(3)点F(0,y)是y轴上一动点,当y为何值时,FC+BF的值最小.并求出这个最小值.(4)点C关于x轴的对称点为H,当FC+BF取最小值时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QHF是直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图1,抛物线C:y=ax2+bx经过点A(﹣4,0)、B(﹣1,3)两点,G是其顶点,将抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线C′.(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标;(2)如图2,直线l:y=kx﹣经过点A,D是抛物线C上的一点,设D点的横坐标为m(m<﹣2),连接DO并延长,交抛物线C′于点E,交直线l于点M,若DE=2EM,求m的值;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG、AB,在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P,使得∠DEP=∠GAB?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.(1)求这个抛物线的函数表达式.(2)点D的坐标为(﹣1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP 面积的最大值.(3)点M为抛物线对称轴上的点,问:在抛物线上是否存在点N,使△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.7.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(﹣3,0),C(1,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.8.如图,抛物线y=ax2+2x+c经过A(﹣1,0),B两点,且与y轴交于点C(0,3),抛物线与直线y=﹣x﹣1交于A,E两点.(1)求抛物线的解析式;(2)坐标轴上是否存在一点Q,使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.(3)P点在x轴上且位于点B的左侧,若以P,B,C为顶点的三角形与△ABE相似,求点P的坐标.9.如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.求S关于t的函数表达式,并求出当t为何值时,△PBC的面积S有最大值;(3)如图2,设抛物线的对称轴为直线l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.10.综合与探究如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0)、B两点,与y轴相交于点.当x=﹣4和x=2时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y相等,连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,则t的值为,点P的坐标为;(4)抛物线对称轴上是否存在一点F,使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形?若不存在,请说明理由;若存在,请直接写出点F的坐标.11.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.(l)求抛物线的表达式;(2)如图l,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标;(3)如图2,在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由.12.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0).C(0,3),点M是抛物线的顶点.(1)求二次函数的关系式;(2)点P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D.若OD=m,△PCD的面积为S,①求S与m的函数关系式,写出自变量m的取值范围.②当S取得最值时,求点P的坐标;(3)在MB上是否存在点P,使△PCD为直角三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.13.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,已知点P为抛物线第一象限上一动点,连接PB、PC、BC.(1)求抛物线的解析式,并直接写出抛物线的顶点坐标;(2)当△PBC的面积最大时,求出点P的坐标;(3)如图②,当点P与抛物线顶点重合时,过点B的直线与抛物线交于点E,在直线BE上方的抛物线上是否存在一点M,使得∠BEM=∠PBC?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴分别交于A,B,C三点,连接AC,BC.(1)直接写出A,B,C三点的坐标;(2)点M是线段BC上一点(不与B,C重合),过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,连接CN.若点M关于直线CN的对称点M'恰好在y轴上,求出点M的坐标;(3)在平面内是否存在一点P,使△AOC关于点P的对称△A'O'C'(点A',O',C'分别是点A,O,C的对称点)恰好有两个顶点落在该抛物线上?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.如果没有解题思路,可以这样考虑:变换后,A'O'与AO,O'C'与OC有什么样的位置关系?进而分析点O',A',C'的坐标关系!15.如图1,过原点的抛物线与x轴交于另一点A,抛物线顶点C的坐标为,其对称轴交x轴于点B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点,求使△ACD 面积最大时点D的坐标;(3)在对称轴上是否存在点P,使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.16.综合与探究如图,已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,对称轴为直线l,顶点为D.(1)求抛物线的解析式及点D坐标;(2)在直线l上是否存在一点M,使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在x轴上取一动点P(m,0),﹣3<m<﹣1,过点P作x轴的垂线,分别交抛物线,AD,AC于点E,F,G.①判断线段FP与FG的数量关系,并说明理由②连接EA,ED,CD,当m为何值时,四边形AEDC的面积最大?最大值为多少?17.如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=相交于点A、B,已知点A坐标(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).(1)求实数a、b、k的值;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形?若存在请求出所有的P点的坐标,若不存在请说明理由.(3)在坐标系内有一个点M,恰使得MA=MB=MO,现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小,请求出M的坐标和△BQM周长的最小值.18.如图,已知,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,过点A的直线y=kx+k与该抛物线交于点C,点P是该抛物线上不与A,B重合的动点,过点P 作PD⊥x轴于D,交直线AC于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)若k=﹣1,当PE=2DE时,求点P坐标;(3)当(2)中直线PD为x=1时,是否存在实数k,使△ADE与△PCE相似?若存在请求出k的值;若不存在,请说明你的理由.19.如图,抛物线y=ax2+bx﹣过点A(﹣,0)和点B(,2),连结AB交y轴于点C.(1)求抛物线的函数解析式;(2)点P在线段AB下方的抛物线上运动,连结AP,BP.设点P的横坐标为m,△ABP 的面积为s.①求s与m的函数关系式;②当s取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=s.若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.20.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点C,抛物线y =﹣2x2+bx+c过A,C两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式.(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线AC相交于点F,当EF =BF时,求sin∠EBA的值.(3)点N是抛物线对称轴上一点,在(2)的条件下,若点E位于对称轴左侧,在抛物线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.详细答案一.解答题(共20小题)1.【解答】解:(1)设抛物线W的函数解析式为y=ax2+bx,图象经过A(4,0),C(﹣2,3)∴抛物线W的函数解析式为,顶点D的坐标为(2,﹣1);(2)根据题意,由O(0,0),C(﹣2,3),得O1(4,﹣m),C1(2,3﹣m)设直线O1C1的函数解析式为y=kx+b把O1(4,﹣m),C1(2,3﹣m)代入y=kx+b得:,直线O1C1与x轴交于点H∴过C1作C1E⊥HA于点E,∵0<m<3∴,∴,∵,抛物线开口向下,S有最大值,最大值为∴当时,;(3)当时,由D(2,﹣1)得F(6,)∴抛物线W1的函数解析式为,依题意设M(t,0),以D,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形,分情况讨论:①以DF为边时∵D(2,﹣1),F点D,F横坐标之差是4,纵坐标之差是,若点M、N的横纵坐标与之有相同规律,则以D,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形,∵M(t,0),∴把分别代入得t1=0,t2=4,t3=6,t4=14∴M1(0,0),M2(4,0),M3(6,0),M4(14,0)②以DF为对角线时,以点D,F,M,N为顶点不能构成平行四边形.综上所述:M1(0,0),M2(4,0),M3(6,0),M4(14,0).2.【解答】解:(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得:y=a(x﹣1)(x﹣5)=a(x2﹣6x+5),则5a=4,解得:a=,抛物线的表达式为:y=(x2﹣6x+5)=x2﹣x+4,函数的对称轴为:x=3,顶点坐标为(3,﹣);(2)连接B、C交对称轴于点P,此时PA+PC的值为最小,将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b得:,解得:,直线BC的表达式为:y=﹣x+4,当x=3时,y=,故点P(3,);(3)存在,理由:四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形,=OB×|y E|=5×|y E|=12,则S四边形OEBF点E在第四象限,故:则y E=﹣,将该坐标代入二次函数表达式得:y=(x2﹣6x+5)=﹣,解得:x=2或4,故点E的坐标为(2,﹣)或(4,﹣).3.【解答】解:(1)把A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c 得,解得,所以抛物线的函数表达式为y=﹣x2﹣2x+3.(2)如解(2)图1,过P点作PQ平行y轴,交AC于Q点,∵A(﹣3,0),C(0,3),∴直线AC解析式为y=x+3,设P点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3.),则Q点坐标为(x,x+3),∴PQ=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x.=,∴S△P AC∴,解得:x1=﹣1,x2=﹣2.当x=﹣1时,P点坐标为(﹣1,4),当x=﹣2时,P点坐标为(﹣2,3),综上所述:若△PAC面积为3,点P的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3),(3)如解(3)图1,过D点作DF垂直x轴于F点,过A点作AE垂直BC于E点,∵D为抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点,∴D点坐标为(﹣1,4),又∵A(﹣3,0),∴直线AD为y=2x+6,AF=2,DF=4,tan∠DAB=2,∵B(1,0),C(0,3)∴tan∠ABC=3,BC=,sin∠ABC=,直线BC解析式为y=﹣3x+3.∵AB=4,∴AE=AB•sin∠ABC==,BE=,∴CE=,∴tan∠ACB=,∴tan∠ACB=tan∠DAB=2,∴∠ACB=∠DAB,∴使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似,则有两种情况,如解(3)图2Ⅰ.当∠AOM=∠CAB=45°时,△ABC∽△OMA,即OM为y=﹣x,设OM与AD的交点M(x,y)依题意得:,解得,即M点为(﹣2,2).Ⅱ.若∠AOM=∠CBA,即OM∥BC,∵直线BC解析式为y=﹣3x+3.∴直线OM为y=﹣3x,设直线OM与AD的交点M(x,y).则依题意得:,解得,即M点为(,),综上所述:存在使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似的点M,其坐标为(﹣2,2)或(,),4.【解答】解:(1)由题可列方程组:,解得:∴抛物线解析式为:y=x2﹣x﹣2;(2)如图1,∠AOC=90°,AC=,AB=4,设直线AC的解析式为:y=kx+b,则,解得:,∴直线AC的解析式为:y=﹣2x﹣2;当△AOC∽△AEB时=()2=()2=,=1,∴S△AEB=,∵S△AOC∴AB×|y E|=,AB=4,则y E=﹣,则点E(﹣,﹣);由△AOC∽△AEB得:∴;(3)如图2,连接BF,过点F作FG⊥AC于G,则FG=CF sin∠FCG=CF,∴CF+BF=GF+BF≥BE,当折线段BFG与BE重合时,取得最小值,由(2)可知∠ABE=∠ACO∴BE=AB cos∠ABE=AB cos∠ACO=4×=,|y|=OB tan∠ABE=OB tan∠ACO=3×=,∴当y=﹣时,即点F(0,﹣),CF+BF有最小值为;(4)①当点Q为直角顶点时(如图3):由(3)易得F(0,﹣),∵C(0,﹣2)∴H(0,2)设Q(1,m),过点Q作QM⊥y轴于点M.则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2=HM•FM,∴12=(2﹣m)(m+),解得:m=,则点Q(1,)或(1,)当点H为直角顶点时:点H(0,2),则点Q(1,2);当点F为直角顶点时:同理可得:点Q(1,﹣);综上,点Q的坐标为:(1,)或(1,)或Q(1,2)或Q(1,﹣).5.【解答】解:(1)将A(﹣4,0)、B(﹣1,3)代入y=ax2+bx中,得解得∴抛物线C解析式为:y=﹣x2﹣4x,配方,得:y=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4,∴顶点为:G(﹣2,4);(2)∵抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线C′.∴新抛物线C′的顶点为:G′(2,﹣4),二次项系数为:a′=1∴新抛物线C′的解析式为:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x将A(﹣4,0)代入y=kx﹣中,得0=﹣4k﹣,解得k=,∴直线l解析式为y=x﹣,设D(m,﹣m2﹣4m),∵D、E关于原点O对称,∴OD=OE∵DE=2EM∴OM=2OD,过点D作DF⊥x轴于F,过M作MR⊥x轴于R,∴∠OFD=∠ORM,∵∠DOF=∠MOR∴△ODF∽△OMR∴===2∴OR=2OF,RM=2DF∴M(﹣2m,2m2+8m)∴2m2+8m=•(﹣2m)﹣,解得:m1=﹣3,m2=,∵m<﹣2∴m的值为:﹣3;(3)由(2)知:m=﹣3,∴D(﹣3,3),E(3,﹣3),OE=3,如图3,连接BG,在△ABG中,∵AB2=(﹣1+4)2+(3﹣0)2=18,BG2=2,AG2=20∴AB2+BG2=AG2∴△ABG是直角三角形,∠ABG=90°,∴tan∠GAB===,∵∠DEP=∠GAB∴tan∠DEP=tan∠GAB=,在x轴下方过点O作OH⊥OE,在OH上截取OH=OE=,过点E作ET⊥y轴于T,连接EH交抛物线C于点P,点P即为所求的点;∵E(3,﹣3),∴∠EOT=45°∵∠EOH=90°∴∠HOT=45°∴H(﹣1,﹣1),设直线EH解析式为y=px+q,则,解得∴直线EH解析式为y=﹣x,解方程组,得,,∴点P的横坐标为:或.6.【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,即﹣3a=2,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣x+2,则点C(0,2),函数的对称轴为:x=﹣1;(2)连接OP,设点P(x,﹣x2﹣x+2),=S△APO+S△CPO﹣S△ODC=×AO×y P+×OC×|x P|﹣×CO×OD 则S=S四边形ADCP=(﹣x2﹣x+2)×2×(﹣x)﹣=﹣x2﹣3x+2,∵﹣1<0,故S有最大值,当x=﹣时,S的最大值为;(3)存在,理由:△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角时,点N的位置如下图所示:①当点N在x轴上方时,点N的位置为N1、N2,N1的情况(△M1N1O):设点N1的坐标为(x,﹣x2﹣x+2),则M1E=x+1,过点N1作x轴的垂线交x轴于点F,过点M1作x轴的平行线交N1F于点E,∵∠FN1O+∠M1N1E=90°,∠M1N1E+∠EM1N1=90°,∴∠EM1N1=∠FN1O,∠M1EN1=∠N1FO=90°,ON1=M1N1,∴△M1N1E≌△N1OF(AAS),∴M1E=N1F,即:x+1=﹣x2﹣x+2,解得:x=(舍去负值),则点N1(,);N2的情况(△M2N2O):同理可得:点N2(,);②当点N在x轴下方时,点N的位置为N3、N4,同理可得:点N3、N4的坐标分别为:(,)、(,);综上,点N的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).7.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点B(﹣3,0),C(1,0)∴解得:∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3(2)过点P作PH⊥x轴于点H,交AB于点F∵x=0时,y=﹣x2﹣2x+3=3∴A(0,3)∴直线AB解析式为y=x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0)∴F(t,t+3)∴PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t=S△P AF+S△PBF=PF•OH+PF•BH=PF•OB=(﹣t2﹣3t)=﹣(t+)∴S△P AB2+∴点P运动到坐标为(﹣,),△PAB面积最大(3)存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),则D(t,t+3)∴PD=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4∴对称轴为直线x=﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴y E=y P,即点E、P关于对称轴对称∴=﹣1∴x E=﹣2﹣x P=﹣2﹣t∴PE=|x E﹣x P|=|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形,∠DPE=90°∴PD=PE①当﹣3<t≤﹣1时,PE=﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t=﹣2﹣2t解得:t1=1(舍去),t2=﹣2∴P(﹣2,3)②当﹣1<t<0时,PE=2+2t∴﹣t2﹣3t=2+2t解得:t1=,t2=(舍去)∴P(,)综上所述,点P坐标为(﹣2,3)或(,)时使△PDE为等腰直角三角形.8.【解答】解:(1)将A(﹣1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c,得,解得,,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)联立,解得,或,∴E(4,﹣5),如图1,当点Q在x轴上时,设Q(m,0),∵AE为底边,∴QA=QE,∴QA2=QE2,即(m+1)2=52+(m﹣4)2,解得,m=4,∴Q1(4,0);当点Q在y轴上时,设Q(0,n),∵AE为底边,∴QA=QE,∴QA2=QE2,即n2+12=42+(n+5)2,解得,n=﹣4,∴Q2(0,﹣4);综上所述,Q1(4,0),Q2(0,﹣4);(3)如图2,过点E作EH⊥x轴于点H,∵A(﹣1,0),E(4,﹣5),∴AH=EH=5,AE==5,∠BAE=45°,又OB=OC=3,∴∠ABC=45°,AB=4,BC==3,设P(t,0),则BP=3﹣t,∵∠BAE=∠ABC=45°,∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况,当△PBC∽△BAE时,,∴=,∴t=,∴P1(,0);当△PBC∽△EAB时,,∴=,∴t=﹣,∴P2(﹣,0),综上所述,点P的坐标为(,0)或(﹣,0).9.【解答】解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,得,,解得,,∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3;(2)如图1,过点P作PF∥y轴,交BC于点F,设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,得,,解得,,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,∵点P的坐标为(t,﹣t2+2t+3),∴点F的坐标为(t,﹣t+3),∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,∵﹣<0,∴当t=时,S取最大值,最大值为;(3)如图2,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∵x D﹣x C=1,∴x P﹣x M=1,∴x P=2,∴P(2,3),在y=﹣x2+2x+3中,当x=0时,y=3,∴C(0,3),∴y C﹣y D=3,∴y M﹣y P=3,∴y M=6,∴点M的坐标为(1,6);当x P≠2时,不存在,理由如下,若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为1,∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2,又∵x P≠2,∴不存在,综上所述,点M的坐标为(1,6).10.【解答】解:(1)∵在抛物线y=ax2+bx+c中,当x=﹣4和x=2时,二次函数y=ax2+bx+c 的函数值y相等,∴抛物线的对称轴为x==﹣1,又∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0)、B两点,由对称性可知B(1,0),∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),将C(0,)代入y=a(x+3)(x﹣1),得,﹣3a=,解得,a=﹣,∴此抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣x+;(2)△ABC为直角三角形,理由如下:∵A(﹣3,0),B(1,0),C(0,),∴OA=3,OB=1,OC=,∴AB=OA+OB=4,AC==2,BC==2,∵AC2+BC2=16,AB2=16,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形;(3)∵点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,∴BM=BN=t,由翻折知,△BMN≌△PMN,∴BM=PM=BN=PN=t,∴四边形PMBN是菱形,∴PN∥AB,∴△CPN∽△CAB,设PM与y轴交于H,∴==,即==,解得,t=,CH=,∴OH=OC﹣CH=﹣=,∴y P=,设直线AC的解析式为y=kx+,将点A(﹣3,0)代入y=kx+,得,k=,∴直线AC的解析式为y=x+,将y P=代入y=x+,∴x=﹣1,∴P(﹣1,),故答案为:,(﹣1,);(4)设直线BC的解析式为y=kx+,将点B(1,0)代入y=kx+,得,k=﹣,∴直线BC的解析式为y=﹣x+,由(2)知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,如图2,当∠ACF=90°时,点B,C,F在一条直线上,在y=﹣x+中,当x=﹣1时,y=2,∴F1(﹣1,2);当∠CAF=90°时,AF∥BC,∴可设直线AF的解析式为y=﹣x+n,将点A(﹣3,0)代入y=﹣x+n,得,n=﹣3,∴直线AF的解析式为y=﹣x﹣3,在y=﹣x﹣3中,当x=﹣1时,y=﹣2,∴F2(﹣1,﹣2);∴点F的坐标为F1(﹣1,2),F2(﹣1,﹣2).11.【解答】解:(1)将点A(1,0),B(﹣3,0)代入y=ax2+bx+3,得,,解得,,∴抛物线表达式为y=﹣x2﹣2x+3;(2)如图1,过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3<a<0),∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a,∴===,最大,且最大值为;∴当时,S四边形BOCE当时,,此时,点E坐标为;(3)如图2,连接AC,①当CA=CD时,此时CO为底边的垂直平分线,满足条件的点D1,与点A关于y轴对称,点D1坐标为(﹣1,0);②当AD=AC时,在Rt△ACO中,∵OA=1,OC=3,由勾股定理得,AC==,以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交x轴于两点D2,D3,即为满足条件的点,此时它们的坐标分别为,;③当DA=DC时,线段AC的垂直平分线与x轴的交点D4,即为满足条件的点,设垂直AC的垂直平分线交y轴于点P,过AC中点Q,∵∠AOC=∠BOC=∠PQC=∠PQA=90°,∠D4PO=∠CPQ,∴∠ACO=∠OD4P,∴△D4AQ∽△CAO,∴=,即=,∴D4A=5,∴OD4=D4A﹣OA=4,∴点D4的坐标为(﹣4,0);综上所述,存在符合条件的点D,其坐标为D1(﹣1,0)或或或D 4(﹣4,0).12.【解答】解:(1)将点B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得,解得,,∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)①∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点M(1,4),设直线BM的解析式为y=kx+b,将点B(3,0),M(1,4)代入,得,解得,∴直线BM的解析式为y=﹣2x+6,∵PD⊥x轴且OD=m,∴P(m,﹣2m+6),=PD•OD=m(﹣2m+6)=﹣m2+3m,∴S=S△PCD即S=﹣m2+3m,∵点P在线段BM上,且B(3,0),M(1,4),∴1≤m≤3;②∵S=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,∵﹣1>0,∴当m=时,S取最大值,∴P(,3);(3)存在,理由如下:如图2﹣1,当∠CPD=90°时,∵∠COD=∠ODP=∠CPD=90°,∴四边形CODP为矩形,∴PD=CO=3,将y=3代入直线y=﹣2x+6,得,x=,∴P(,3);如图2﹣2,当∠PCD=90°时,∵OC=3,OD=m,∴CD2=OC2+OD2=9+m2,∵PD∥OC,∴∠PDC=∠OCD,∴cos∠PDC=cos∠OCD,∴=,∴DC2=PD•OC,∴9+m2=3(﹣2m+6),解得,m1=﹣3﹣3(舍去),m2=﹣3+3,∴P(﹣3+3,12﹣6),当∠PDC=90°时,∵PD⊥x轴,∴不存在,综上所述,点P的坐标为(,3)或(﹣3+3,12﹣6).13.【解答】解:(1)将点A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3,得,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4);(2)如图1,过点P作x轴的垂线,交BC于点N,在y=﹣x2+2x+3中,当x=0时,y=3,∴C(0,3),设直线BC的解析式为y=kx+3,将点B(3,0)代入y=kx+3,得3k+3=0,∴k=﹣1,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,设P(x,﹣x2+2x+3),则N(x,﹣x+3),∴PN=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x,=×PN×OB=(﹣x2+3x)×3=﹣(x﹣)2+,∴S△PBC∴当x=时,△PBC的面积最大,∴P(,);(3)存在,如图2,过点P作PH⊥x轴于H,设直线与y轴交于点Q,则Q(0,﹣),在Rt△OBQ中,tan∠OBQ===,在Rt△PHB中,tan∠BPH===,∴∠OBQ=∠BHP,∵∠BPH+∠PBH=90°,∴∠OBQ+∠PBH=90°,即∠PBE=90°,将点B(3,0)代入直线,得3k﹣=0,∴k=,∴y=x﹣,联立,解得,x1=3,x2=﹣,∴E(﹣,﹣),过点E作EF⊥BC于点F,则∠FEB+∠FBE=90°,∵∠PBC+∠FBE=90°,∴∠FEB=∠PBC,则此时射线EF与抛物线的交点即为所求的点M,∵BC==3,PC==,PB==2,∴BC2+PC2=PB2,∴△PCB为直角三角形,且∠PCB=90°,∴sin∠PBC===,∴sin∠FEB==,∵EB==,∴FB=,过点F作FD⊥x轴于点D,∵OB=OC=3,∴∠OBC=∠OCB=45°,∴∠DBF=∠DFB=45°,∴DB=DF=FB=,∴F(,),设直线EF的解析式为y=kx+b,将点E(﹣,﹣),F(,)代入y=kx+b,得,解得,∴直线EF的解析式为y=x﹣,联立,解得,x1=,x2=﹣,当x=时,y=,∴M(,).14.【解答】解:(1)在抛物线y=﹣x2+2x+3中,当y=0时,x1=﹣1,x2=3;当x=0时,y=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)(2)∵点M'与点M关于直线CN对称,且点M'在y轴上,∴∠M'CN=∠MCN,∵MN∥y轴,∴∠M'CN=∠CNM,∴∠MCN=∠CNM,∴MN=CM,∵点C的坐标为(0,3),∴可设直线BC的解析式为y=kx+3,将点B(3,0)代入y=kx+3,得,3k+3=0,∴k=﹣1,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,设点M的横坐标为t,则M(t,﹣t+3),N(t,﹣t2+2t+3),∴MN=(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,,∴,∵t≠0,∴,∴,(3)根据题意,A'O'平行于x轴,O'C'平行于y轴,A'O'=1,O'C'=3,点A'在点O'的右边,点C'在点O'的下方,设点O'的横坐标为m,则A'的横坐标为m+1,点C'的横坐标为m,①若A'、O'在抛物线上,则﹣m2+2m+3=﹣(m+1)2+2(m+1)+3,∴,∴,则点P在OO'的中点处,∴;②若A'、C'在抛物线上,则﹣(m+1)2+2(m+1)+3=﹣m2+2m+3+3∴m=﹣1,∴O'(﹣1,3),则点P在OO'的中点处,∴,综上所述,存在点或,使△AOC关于点P的对称△A'O'C'恰好有两个顶点落在该抛物线上.15.【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣h)2+k,(a≠0)∵顶点,∴,又∵图象过原点,∴,解出:,∴,即;(2)令y=0,即,解得:x1=0,x2=4,∴A(4,0),设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A(4,0),代入,得,解得,∴直线AC的解析式为y=﹣x+4,过点D作DF∥y轴交AC于点F,设,则,∴,∴=,有最大值,∴当m=3时,S△ACD当m=3时,,∴;(3)∵∠CBO=∠CBA=90°,OB=AB=2,,∴,∴OA=OC=AC=4,∴△AOC为等边三角形,①如图3﹣1,当点P在C时,OA=AC=CA'=OA',∴四边形ACA'O是菱形,∴;②作点C关于x轴的对称点C',当点A'与点C'重合时,OC=AC=AA'=OA',∴四边形OCAA'是菱形,∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点,记为P2,∴,∵∠OBP2=90°,OB=2,∴OP2=2BP2,∵∠OBP2=90°,OB=2,∴OP2=2BP2,设BP2=x,∴OP2=2x,又∵,∴(2x)2=22+x2,解得或,∴;综上所述,点P的坐标为或.16.【解答】解:(1)由抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3;由y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,得,点D坐标为(﹣1,4);(2)在直线l上存在一点M,到点B的距离与到点C的距离之和最小,根据抛物线对称性MA=MB,∴MB+MC=MA+MC,∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l:x=﹣1的交点,当x=0时,y=3,∴C(0,3),设直线AC解析式为直线y=kx+b,把A(﹣3,0)、C(0,3)分别代入y=kx+b,得,,解得,,∴直线AC解析式为y=x+3,把x=﹣1代入y=x+3得,y=2,∴M(﹣1,2),即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1,2);(3)①PF=2FG,理由如下,设直线AD解析式为y=k'x+b',把A(﹣3,0)、D(﹣1,4)分别代入直线y=k'x+b',得,,解得,∴直线AD解析式为y=2x+6,则点F的坐标为(m,2m+6),同理G的坐标为(m,m+3),则FG=(2m+6)﹣(m+3)=m+3,FP=2m+6=2(m+3),∴FP=2FG;②根据题意得点E的坐标为(m,﹣m2﹣2m+3),设直线l与x轴交于点N,EF=(﹣m2﹣2m+3)﹣(2m+6)=﹣m2﹣4m﹣3=﹣(m+2)2+1=S△AEF+S△EFD==∴S△AED,的最大值为1,∴当m为﹣2时,S△AED如图,过点D作DH∥x轴,交y轴于点H,在△DHC中,∠DHC=180°﹣∠AOB=90°,,在Rt△AOC中,,在Rt△ADN中,,∵,∴DC2+AC2=AD2,∴∠ACD=90°,∴,∴,∴当m为﹣2时,四边形AEDC的面积最大,最大值为4.17.【解答】解:(1)将A(1,4)代入y=,得,k=4,∴双曲线解析式为y=,设B(m,)(m<0),连接AB,交x轴于点C,设直线AB的解析式为y=kx+b,将点A(1,4),B(m,)代入,得,解得,,∴直线AB的解析式为y=﹣x+,当y=0时,x=m+1,∴C(m+1,0),OC=﹣m﹣1,=OC•(y A﹣y B)∴S△AOB=(﹣m﹣1)(4﹣),∵△AOB的面积为3,∴(﹣m﹣1)(4﹣)=3,整理,得2m2+3m﹣2=0,解得,m1=(舍去),m2=﹣2,∴B(﹣2,﹣2),将A(1,4),B(﹣2,﹣2)代入y=ax2+bx,得,,解得,,∴抛物线的解析式为y=x2+3x,∴a=1,b=3,k=4;(2)在抛物线y=x2+3x中,对称轴为x=﹣,设P(﹣,y),∵O(0,0),B(﹣2,﹣2),∴PO2=+y2,OB2=8,PB2=+(y+2)2,。
初三中考数学总复习资料(备考大全)
![初三中考数学总复习资料(备考大全)](https://img.taocdn.com/s3/m/bd295a23ba1aa8114531d929.png)
2011年中考数学总复习资料代数部分第一章:实数基础知识点:一、实数的分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数:任何一个有理数总可以写成qp 的形式,其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征。
2、无理数:初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根,如2、34;特定结构的不限环无限小数,如1.101001000100001……;特定意义的数,如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
(1)实数a 的相反数是 -a ; (2)a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数:(1)实数a (a ≠0)的倒数是a1;(2)a 和b 互为倒数⇔1=ab ;(3)注意0没有倒数 3、绝对值:(1)一个数a 的绝对值有以下三种情况:⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a (2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号。
4、n 次方根(1)平方根,算术平方根:设a ≥0,称a ±叫a 的平方根,a 叫a 的算术平方根。
(2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
(3)立方根:3a 叫实数a 的立方根。
(4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系:数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
![初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)](https://img.taocdn.com/s3/m/fed760f5a26925c52cc5bff4.png)
(2) 已知| x | a(a 0) ,求 x 时,要注意 x a
考点 3 平方根与算术平方根
1、 若 x 2 a(a 0) ,则 x 叫 a 做的_________,记作______;正数 a 的__________叫做算术平 方根,0 的算术平方根是____。当 a 0 时, a 的算术平方根记作__________。
2
y
5、 实数 a, b, c 在数轴上对应点的位置如图 2 所示,下列式子中正确的有( )
c
ba
-2 -1 0 1 2 3
图2
① b c 0 ② a b a c ③ bc ac ④ ab ac
A.1 个
B.2 个 C.3 个 D.4 个
6、 ①数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是______数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是
用根号形式表示的数并不都是无理数(如 4 ),也不是所有的无理数都可以写成根号的形
式(如 )。
练习: 1、 把下列各数填入相应的集合内:
7.5,
15, 4,
8 ,
2 ,
3 8,
,
0.25,
0.1 5
13 3
有理数集{ 正实数集{
},无理数集{
}
}
2、 在实数 4, 3 , 0, 2
2 1,
64, 3 27 , 1 中,共有___ 27
2、 幂的运算法则:(以下的 m, n 是正整数)
(1)a m a n _____ ; (2)(a m )n ____ ; (3)(ab)n _____ ; (4)a m a n ______(a 0) ;
(5)(b )n ______ a
3、 乘法公式:
初三数学知识点总结
![初三数学知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/91469f3203020740be1e650e52ea551810a6c9c9.png)
初三数学知识点总结初三数学知识点总结「篇一」一、代数式1.概念:用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
2.代数式的值:用数代替代数式里的字母,按照代数式的运算关系,计算得出的结果。
二、整式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式:1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数:单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式:1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列:1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项,包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分,一起移动。
初三数学知识点总结「篇二」有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质(1)具有平行四边形的一切性质。
(2)矩形的四个角都是直角。
(3)矩形的对角线相等。
(4)矩形是轴对称图形。
3、矩形的判定(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形。
(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。
4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab初三数学重点知识点(四)1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等;(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴;(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典
![(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典](https://img.taocdn.com/s3/m/87948ab6f12d2af90342e626.png)
A
D
E
O
C
B
线长是这点到割
( 4 )割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
(如上图) 。
即:在⊙ O 中,∵ PB 、 PE 是割线
∴PC PB PD PE
例 1. 如图 1,正方形 ABCD的边长为 1,以 BC为直径。在正方形内作半圆 于 E,求 DE: AE的值。
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
此定理也称 1
推 3 定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论,
即:① AOB DOE ;② AB DE ; ③ OC OF ;④ 弧 BA 弧 BD
O A
C
E F D
∴C D
推论 2 :半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧
C
是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙ O 中,∵ AB 是直径
或∵ C 90
B
A
O
∴ C 90
∴AB 是直径
推论 3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是
C
直角三角形。
即:在△ ABC 中,∵ OC OA OB
B
A
推论 1:( 1 )平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2 )弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3 )平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结
初三数学考试复习资料
![初三数学考试复习资料](https://img.taocdn.com/s3/m/81885d632f3f5727a5e9856a561252d380eb20bc.png)
初三数学考试复习资料复习是对前面已学过的知识进行系统再加工,并根据学习情形对学习进行适当调剂,为下一阶段的学习做好准备。
下面是作者为大家整理的关于初三数学考试复习资料,期望对您有所帮助!初三数学知识点分类复习题【复习要点】代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性的题型,近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的情势显现,其解题关键点是借助几何直观解题,运用方程、函数的思想解题,灵活运用数形结合,由形导数,以数促形,综合运用代数几何知识解题.【实弹射击】1、(08广东省)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.(1)填空:如图a,AC= ,BD= ;四边形ABCD是梯形.(2)请写出图a中所有的类似三角形(不含全等三角形).图10(3)如图b,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范畴.图a2、(09广东省) 正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,(1)证明:Rt△ABM ∽Rt△MCN;(2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN的面积,并求出面积;(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN,求此时x的值.3、(10广东省)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2。
动点M、N分别从点D、B同时动身,沿射线DA、线段BA向点A 的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动。
初三中考数学复习资料-能力加速度(专题-图表信息综合题)
![初三中考数学复习资料-能力加速度(专题-图表信息综合题)](https://img.taocdn.com/s3/m/7cb162b3cf84b9d529ea7aa7.png)
能力加速度一、精心选一选——慧眼识金1。
(2006江苏扬州中考,12)观察表一,寻找规律.表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分,其中a、b、c的值分别为1234…2468…36912…481216………………表一A。
20、29、30 B。
18、30、26C。
18、20、26 D。
18、30、28解析:本题实际是一个表格数字规律推理的题目。
(1)横等差、竖等差;(2)行与列的积得到表内的数.答案:B2.(2006四川重庆中考,8)观察市统计局公布的“十五"时期重庆市农村居民人均收入每年比上一年增长率的统计图(图2—7-3),下列说法正确的是()图2-7-3A。
2003年农村居民人均收入低于2002年B。
农村居民人均收入比上年增长率低于9%的有2年C。
农村居民人均收入最多是2004年D。
农村居民人均收入每年比上一年的增长率有大有小,但农村居民人均收入在持续增加解析:总体是在增长,A不对;B应当有三年;最多的应是2005年,C不对。
答案:D3.(2006江苏江阴中考,13)如图2-7-4,圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底,向水池匀速注入水(倒在杯外),水池中水面高度是h,注水时间为t,则h与t之间的关系大致为图2—7-5中的( )图2—7—4图2-7—5解析:小杯子满时肯定有一段时间水面高度不变,变时先上升得快,后上升得慢。
答案:C4.(2006江苏扬州中考,8)图2—7—6四个统计图中,用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是()图2—7—6解析:饼图不明显最好表示占的比例;折线表示增长好;B答案不易看、画.答案:D5。
(2006四川重庆中考,9)免交农业税,大大提高了农民的生产积极性,镇政府引导农民对生产的耨中土特产进行加工后,分为甲、乙、丙三种不同包装推向市场进行销售,其相关信息如下表:质量(克/袋)销售价(元/袋)包装成本费用(元/袋)甲400 4.80.5乙3003。
初中九年级数学(初三)总复习 第六课 数的开方与二次根式
![初中九年级数学(初三)总复习 第六课 数的开方与二次根式](https://img.taocdn.com/s3/m/6a865dd0a6c30c2258019e6e.png)
第6课 数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根(包括利用计算器及查表);2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念,会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质,会化简简单的二次根式,能根据指定字母的取值范围将二次根式化简;3.掌握二次根式的运算法则,能进行二次根式的加减乘除四则运算,会进行简单的分母有理化。
内容分析1.二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式.注意被开方数只能是正数或O .(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数,因式是整式,不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.(3)同类二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式.2.二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a3.二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类三次根式分别合并. (2)三次根式的乘法二次根式相乘,等于各个因式的被开方数的积的算术平方根,即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘,可参照多项式的乘法进行. 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个三次根式互为有理化因式.(3)二次根式的除法二次根式相除,通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式,把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去,叫做分母有理化. 〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
初三数学主要知识点
![初三数学主要知识点](https://img.taocdn.com/s3/m/4fa163aeb8d528ea81c758f5f61fb7360a4c2b44.png)
初三数学主要知识点初三下册数学知识点总结一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法)f(x)=f(a)+f'(a)/1!.(x-a)+f''(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。
2.直角三角形的三条高交点在一个顶点上。
3.勾股定理:两直角边平方和等于斜边平方四、利用三角函数测高1、解直角三角形的应用(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如:测不易直接测量的物体的高度、测河宽等,关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度.(2)解直角三角形的一般过程是:①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.初三数学复习资料轴对称知识点1.如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.角平分线上的点到角两边距离相等。
4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。
苏科版初三数学 复习资料(2次根式,方程)
![苏科版初三数学 复习资料(2次根式,方程)](https://img.taocdn.com/s3/m/752036375727a5e9856a6171.png)
初 三 数 学(第一章 复习(2))时间: 月 日教学目标:1.进一步掌握等腰梯形的性质和判定;2.进一步掌握中位线定理.教学重点:等腰梯形的性质和判定、中位线定理的运用.教学难点:等腰梯形的性质和判定、中位线定理的运用. 作业布置:P 37∽38 5、6、9 教学过程: 一、自主探究1.回忆等腰梯形的性质和判定填空:(1)等腰梯形同一底上的 ; (2)等腰梯形的两条 ;(3)在同一底上的 是等腰梯形.2.回忆中位线的性质填空:(1)三角形的中位线 ; (2)梯形的中位线 .二、自主合作例1等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AE ∥CD 交BC 于点E ,AD =AB =12 BC ,梯形的周长是30.(1)求AD 的长;(2)证明:△ABE 是等边三角形.例2如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =3㎝,BC =7㎝,E 是CD 的中点,四边形ABED 的周长比△BCE 的周长大2㎝,试求AB 的长.例3如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC ,BD ⊥AD 于点D ,E•为BC 中点.求DE 的长.三、自主展示1. 三角形的三条中位线长分别为2cm 、3cm 、4cm ,则原三角形的周长为 .2. 在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =CD =AD =2㎝,∠B =600,则下底BC = ㎝.EDCBA ED CBA EDCBA3. 如图,等腰梯形ABCD 中,A D ∥BC ,∠B =450,AE ⊥BC 于点E ,AE =AD =2㎝,则这个梯形的下底长为 ㎝.(第3题) (第4题) (第5题)4. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 相交于点O ,以下四个结论:①DCB ABC ∠=∠,②OA =OD ,③BDC BCD ∠=∠,④S AOB ∆=S DOC ∆,其中正确的是(填序号).5. 如图,梯形ABCD 中,∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ,若EF =3,则梯形ABCD 的周长为 .6. 如图,梯形A B C D 中,A D B C ∥,A B D C =,P 为梯形A B C D 外一点,P A P D 、分别交线段B C 于点E F 、,且PA PD =.(1)图中除了A B E D C F △≌△外,请你再找出其余三对全等的三角形(不再添加辅助线); (2)求证:A B E D C F △≌△.四、自主拓展1. 如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,E 、F 、G 分别是AB 、BD 、AC 的中点.若EG=EF ,AD+EF=12cm ,求△ABC 的面积.2. 已知,如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AD =BC ,AC ⊥BD ,BE ⊥DC ,垂足为E ,若AB=4,DC=6,求梯形的面积.五、自主评价1. 本节课你学到了哪些知识?2. 本节课你最大的收获是什么?教学反思:EDCBAODC BAA B CD EF PEDCBA D CFEA BP23Aa c0b初 二 数 学(第三章 二次根式复习(2))时间: 月 日教学目标:1.进一步加深对二次根式有关概念的理解;2.熟练掌握二次根式的化简和加、减、乘除、乘方等混合运算. 教学重点:二次根式的化简与加减、乘除、乘方混合运算. 教学难点:解决问题使用的思想方法. 一、化简与运算的步骤: 1.二次根式的化简步骤:(1)一分:分解因数(因式)、平方数(式);(2)二移:根据算术平方根的概念,把根号内的平方数或者平方式移到根号外面; (3)三化:化去被开方数中的分母. 2.二次根式混合运算的步骤:(1)乘方运算;(2)乘除运算;(3)加减运算. 二、解决问题使用的思想方法: (一)整体思想: 例题1.化简:)0,0(n m n m nm n m ≠>>--且练习:化简)0,0(2>>--+++b a abab b a ba abb a(二)分类思想: 例题2.化简:1222+-+x x x提示:零点分段法.具体操作:先令求和的各项值为0,求出对应的未知数的值,然后分区间讨论.练习:化简 4422+-a a(三)数形结合:例题3.已知:数轴上点A 表示的实数为a ,化简22)3()2(-+-a a .练习:a 、b 、c 、在数轴上的位置如图所示,请化简式子b a c a c b a+--+++222)()(.214422-+-+-=x x x y DCBA (四)二次根式的非负性: 例题4.(1)已知:011=-++b a ,试求ba b a +-的值.(2)已知:x x y 2112-+-=,求yx 的值.练习:已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ,且a 、b 满足条件:b a b 4412=+-+.试求c 的取值范围.三.巩固练习: 1. 如果22332+-+-=x x y ,求2x +3y的平方根.2.已知86-++-b a b a 与互为相反数,求a 、b 的值. 3. 已知三角形的三边长分别是a 、b 、c ,且c a >,那么2)(b c a a c -+--= . 4.已知x 、y 是实数,且 ,试求3x +4y 的值.5.已知2323+-=x ,,2323-+=y 求x 2y +xy 2的值.6. 如图,在四边形ABCD 中,∠A =∠BCD =Rt ∠,已知∠B =450,AB =62 , CD =3.试求:(1)四边形ABCD 的周长;(2)四边形ABCD 的面积.四、课后作业:补充习题P 50-51小结与思考五、教学反思:3. 若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x +m 2+2m -3=0有一根为0,则m 的值是_____. 6.某数学兴趣小组对关于x 的方程01)2()1(22=--+++x m x m m(提出了下列问题.(1)若使方程为一元一次方程,m 是否存在?若存在,求出m 并解此方程.(2)若使方程为一元二次方程,m 是否存在?若存在,求出m 并解此方程.二、自主合作思考:通过配方法可将一元二次方程02=++c bx ax 转化为22244)2(aac b ab x -=+,问这个方程是否有实数根,由什么来判定? 点拨:总结:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定:当240b ac ->时,方程有两个不相等的实数根; 当240b ac -=时,方程有两个相等的实数根; 当240b ac -<时,方程没有实数根。
九年级下册数学考点
![九年级下册数学考点](https://img.taocdn.com/s3/m/5709937b0812a21614791711cc7931b765ce7be2.png)
九年级下册数学的考点主要包括以下几点:
相似三角形:理解相似三角形的定义,掌握相似三角形的性质和判定方法,能够进行简单的相似三角形计算。
锐角三角函数:掌握锐角三角函数的定义和性质,能够进行简单的三角函数计算。
二次函数:理解二次函数的定义和性质,掌握二次函数的图像和解析式,能够进行简单的二次函数计算。
圆:理解圆的定义和性质,掌握圆的周长和面积计算公式,能够进行简单的圆的相关计算。
概率初步知识:理解概率的初步知识,掌握简单概率的计算方法,能够进行简单的概率计算。
需要注意的是,这些考点只是其中的一部分,具体考试内容还需要参考当地的教学大纲和考试说明。
在学习过程中,建议注重基础知识的掌握和解题思路的梳理,多做一些练习题,提高自己的数学水平。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
初三下学期数学复习资料
复习要明确重点、难点。
对每一个知识结构及其知识点中的重点,深刻理解,突破难点,把握知识结构内部之间的联系。
同时进行解题训练,提升实战能力。
以下是《初三下学期数学复习资料》,供大家学习参考。
【篇一:二次函数】
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k 的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a 时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-
h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
【篇二:反比例函数】
定义:形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的一般形式
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。
其中,x是自变量,y是函数。
由于x在分母上,故取x≠0的一切实数,看函数y的取值范围,因为k≠0,且x≠0,所以函数值y也不可能为0。
补充说明:1.反比例函数的解析式又可以写成:(k是常数,k≠0).
2.要求出反比例函数的解析式,利用待定系数法求出k即可.
反比例函数解析式的特征
⑴等号左边是函数,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1。
⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
【篇三:反比例函数的图象和性质】
函数y=k/x称为反比例函数,其中k≠0,其中X是自变量,
1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当
k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3.x的取值范围是:x≠0;
y的取值范围是:y≠0。
4..因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
但随着x无限增大或是无限减少,函数值无限趋近于0,故图像无限接近于x轴
5.反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=xy=-
x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。