(完整word版)初三下学期数学好题难题集锦含答案,推荐文档

合集下载

初三高难度数学题

初三高难度数学题
以下是一些初三数学难题，供您参考：
1. 设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE。

已知△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5。

求
∠APB的度数。

2. 设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA。

求证：∠PAB ＝∠PCB。

3. 设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD。

4. 平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且∠EAP＝∠FCP。

求证：△AEF是等腰三角形。

5. △ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，
∠DCA＝30度，∠EBA＝20度。

求∠BED的度数。

6. 已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4√3。

将线段AB绕点A旋转至AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数。

7. M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM重直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数。

8. 取BF的中点M，连接MN，根据三角形中位线定理得到点N在以M为圆心、半径是2的圆上，从而确定过圆心M的AN最大。

9. 若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为多少。

以上题目难度较大，需要学生具备扎实的数学基础和较高的思维能力才能解决。

建议学生从基础知识点入手，逐步提高难度和综合运用能力。

初三数学重点难点几何题及答案

压轴题经典难题（1）1、已知：如图，P 是正方形ABCD 点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）2、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）D 2 C 2B 2 A 2 D 1C 1 B 1 C B DA A 1A FG CE B O D A P C D BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难1、已知：△ABC 是正三角形，P求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．FP DE CBAA PC BAC BPDEDA ACBPD经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

初三数学超难试题及答案

初三数学超难试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴？A. x=-b/2aB. x=b/2aC. x=a/2bD. x=b/2c答案：A2. 已知等腰三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长是多少？A. 12B. 15C. 18D. 21答案：B3. 在一次函数y=kx+b中，若k>0且b<0，则该函数的图像不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：C4. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 计算下列二次根式中，哪个是同类二次根式？A. √2和√8B. √3和√12C. √5和√20D. √6和√24答案：C6. 一个数的立方等于8，那么这个数是多少？A. 2B. -2C. 2和-2D. 以上都不对答案：C7. 一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，那么这个长方体的体积是多少？A. 24cm³B. 36cm³C. 48cm³D. 52cm³答案：A8. 已知一个角的余角是30°，那么这个角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：A9. 一个数的相反数是-5，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A10. 计算：(1/2)^-1的值是多少？A. 2B. -2C. 1/2D. -1/2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。

答案：±52. 一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。

答案：60°3. 一个正数的倒数是1/4，那么这个数是______。

答案：44. 一个三角形的内角和是______。

(完整版)中考数学几何综合压轴题初三难题训练(真题附答案)

中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交于点G ， H ，则-EF 的值是（）GHA.——B. 2C. . 3D. 222.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（）D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点,6Di到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线；(2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动旋转变换(1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求ABB 的大小；(2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆.(I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度；(3)如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半与角满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆，问：角6. (2016成都中考)如图，在RtVABC中，ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点E，连接BD , BE .(1)求证：VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时，求tanE ；BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下，作BAC的平分线，与7. （2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s）（0 t 8）•3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为.（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3,在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由.8. （2015扬州中考）如图，已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦，过点延长线于点P ，连接BC •（1）求证： PCA B ；（2）已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点重合），当VABQ 与VABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止（点Q 与点C 不9. （ 2015大庆中考）如图，四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点，APB BAD . (1) 证明：AB CD ;(2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD 2 AB 2 AD BC .10. （2015武汉中考）如图，AB是eO的直径，ABT 4^ , AT AB •（1）求证：AT是eO的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值.11. （2016随州中考）如图，AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB •（1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由；5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -，求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图，eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状：；(2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景：如图1，在四边形 ADBC 中， ACB形，所以CE . 2CD ，从而得出结论：AC BC . 2CD •(1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径，点 C 、D 在e 上，AD BD ，若AB 13, BC 12，求CD 的长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ，若 AC m , BC n m n ，求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点，若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ，点Q 为AE 的中点，则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ，探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD 绕点D ，逆时针旋转 90°到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2)，易证点 C,A,E 在同一条直线上，并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数；(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段DC的中点时，(i)求证：FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. （2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q .（1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长;（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为丄?（直接写出答案）21（3）当使VCQD的面积为丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图2）,2求AP的长.第11页（共29页）第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图，连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ，过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ，第13页（共29页）故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF ：丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -，负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ，过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图，连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径，ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上，BE 是eO 的切线.(2)如图，设圆的半径为 R ，连接CD .QAD 为eO 的直径，ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中， QVA BC 是由VABC 旋转得到，ABC ABC 130°，CB CBCBB CBB ，Q BCB 50o ，CBB CB B 650，ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论：直线 BB ，是e A 的切线. 理由：如图②中，150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中，Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中，当 180°时，直线BB ，是e A 的切线理由：Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一：在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ，解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径，DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知，VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC ， FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二：如图 2过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ，AFeC 的半径是NG BN a ，CG 3 a ，4 NC BC 9 a，4BH 9a， 5AB 3a ， AC AG 3a ，tan NAC NG AG sin NAC 10105a ，4 15 a，4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M ，解法三:AE 于点G ，FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ，则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ，即 t 1.(2)如图，过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中，AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ，得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1，设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图，设MQ与eO相切时，切点我G，连接OG ,OG BCOF BD，0.88吗3t 10，4丄4t3当t -时，正方形PQMN的边长为3解法一：连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ，260.815HQ4，HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上，当QM1与eO相切时，PM与eO【解析】解法二：连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ，则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H，过点H作HK PM于点K不相切.OQ，设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时，PM与eO不相切QAB是eO的直径，ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线，PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12，AO 6 .AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时，即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ，DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ，延长TO 交eO 于D ，连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图，过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径，CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线；(2)如图，过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明：如图，在PC上截取PD PA，连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—，即DG 12 .12在RtVEDG 中，DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE，AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时，四边形 APBC 面积最大.理由如下：如图，过点 P 作PE AB ，垂足为E , 过点C 作CF AB ，垂足为F ，四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径，ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ，逆时针旋转90°到VAED 处，如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线，Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得： AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ，S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形，CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ，D 1B ， D 1C ，如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m ， BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形，AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图，连接GE •由(2)的证明过程可知： ACBC ■ 2D 1C ，ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中，G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点，E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线，EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2，解得，n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测，S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线，OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中，CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线，PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2，而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-，从而如下图，我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ，薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。

北师大初三数学下册圆章节复习题难题培优(带答案)

九年级数学下册圆章节复习题（难）一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣13．如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（）A．B．C．2D．4．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB 的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．5．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大7．如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD，如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（）A．70°B．64°C．52°D．51°8．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D 点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．89．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OP A最大时，P A的长等于（）A．B．C．3D．210．如图，P A是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB＝6cm，BC＝4cm，则⊙O的直径为（）A．cm B．cm C．13cm D．cm11．如图，△ABC的外接圆⊙O的直径BE交AC于点D，已知弧BC等于120°，，则关于x的一元二次方程根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的正实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的正实数根12．如图，在⊙O中，弦AB＝6，点C是AB所对优弧上一点，∠ABC＝120°，BC＝8，点P为AB上方一点，记△P AB的面积为S1，△AOB的面积为S2，且S1＝S2，则OP+PC的最小值为（）A．2B．C．D．1013．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（）A．B．C．2+D．1+14．如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA 为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（）A．B．6π﹣C．D．15．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（）A．B．C．D．与的大小关系无法比较二．填空题（共10小题）16．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是．17．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是．18．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝7，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．20．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为．21．如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为．22．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点P为上任意一点（点P不与点A、点B重合），连结PB、PO，取BC的中点D，取OP的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠PBC的度数为．（用含α的代数式表示）23．如图，AC，BC是⊙O的两条弦，M是的中点，作MF⊥AC，垂足为F，若BC＝，AC＝3，则AF＝．24．如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐标为．三．解答题（共10小题）26．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长．（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．27．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．29．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．30．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．31．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB于点D，连结ED．（1）判断△BDE的形状并证明．（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．32．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧BD的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD＝4，CA＝6，求AF的长．33．如图所示，在△ABC中，AB＝CB，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作⊙O的切线交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若AC＝16，⊙O的半径是5，求EF的长．34．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：EF⊥AC．（2）连结DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．35．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cos C＝时，求⊙O的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：∵F为的中点，∴＝，故①正确，∴∠FCM＝∠F AC，∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠F AC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴＝，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴的度数+的度数＝180°，∴的度数+的度数＝180°，∴+＝+＝+＝+，故④正确，故选：C．2．【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，∴∠OAT＝∠P AG＝30°，∴∠OAP＝∠TAG，＝＝∴＝，∴△OAP∽△TAG，∴＝＝，∵OP＝2，∴TG＝2，∵OG≤OT+GT，∴OG≤1+2，∴OG的最大值为1+2，故选：B．3．【分析】连接DP，根据直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值．【解答】解：如图，连接DP，∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB＝，∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，∴DE＝DF，PE⊥DE，∵PE＝PF，PD＝PD，∴△PED≌△PFD（SSS），∵⊙P的半径为，∴DE＝，当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，∴四边形PEDF面积的最小值为．故选：A．4．【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，AN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．5．【分析】如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．只要证明△EFB是等腰直角三角形，即可推出EF＝BF＝1，再利用勾股定理求出EC即可解决问题；【解答】解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．∵∠AOD＝∠BOE，∴＝，∴AD＝BE＝，∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝1，在Rt△ECF中，EC＝＝＝，∵△OCE是等腰直角三角形，∴OC＝＝．故选：C．6．【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y﹣x 即可判断；【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣•（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），∵PC∥DQ，∴＝，∴＝，∴a＝y﹣x，∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝故选：B．7．【分析】连接OC．证明∠CAO＝∠OAB＝∠BAD，从而进一步求解．【解答】解：连接OC．则OC＝OB，AC＝AB，OA＝OA，△AOC≌△AOB．∴∠CAO＝∠BAO．∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB．∵BD＝OB，∴AB是线段OD的垂直平分线，OA＝AD．∴∠OAB＝∠DAB＝∠OAC＝×78°＝26°．∠ADO＝180°﹣∠ABD﹣∠DAB＝180°﹣90°﹣26°＝64°．故选：B．8．【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．9．【分析】当P A⊥OA时，∠OP A取得最大值，然后在直角三角形OP A中利用勾股定理求P A的值即可．【解答】解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴P A⊥OA时，∠OP A最大，在直角三角形OP A中，OA＝，OP＝3，∴P A＝＝．故选：B．10．【分析】连接PH，OH，根据切线的判定可得到HB是圆的切线，再根据切割线定理及勾股定理求得BP，PH的长，利用相似三角形的判定方法得到Rt△BPH∽Rt△HP A，根据相似比即可求得直径的长．【解答】解：连接PH，OH，∵H是的中点，∴∠HPC＝∠APH，∠AOH＝∠APC，∴OH∥BC，即OH⊥BH，∴HB是⊙O的切线；∵PB是⊙O的割线，HB＝6cm，BC＝4cm，∴HB2＝BC•BP，∴36＝4BP，∴BP＝9，∴PH＝＝＝；∵在Rt△BPH与Rt△HP A中，∠HPC＝∠APH，∴Rt△BPH∽Rt△HP A，∴＝，∴AP＝＝＝13cm；故选：C．11．【分析】BD为直径，连接CE，构成直角三角形．过O点作OF⊥BC．在Rt△CDF中，运用锐角三角函数求边长；在Rt△BCE中，因为弧BC等于120°，可求其两锐角分别为60°、30°，根据锐角三角函数可求BD、DE的长，代入判别式中，确定判别式的符号．【解答】解：过O点作OF⊥BC，垂足为点F，连接CE．在Rt△CDF中，．设CF＝2，则DF＝．已知弧BC等于120°，BE为直径，所以∠E＝60°，∠ECB＝90°，∠EBC＝30°．在Rt△BDF中，BD＝2DF＝2，BF＝3．在Rt△BCE中，BC＝BF+CF＝5，BE＝＝，DE＝BE﹣BD＝．∵△＝（BD）2﹣4•BD•DE＝（×2）2﹣4×2×＝36﹣32＝4＞0，又x1+x2＝BD＞0，x1•x2＝BD•DE＞0，∴方程有两个不相等的正实数根，故选D．12．【分析】如图，作OD⊥AB于D，作线段OD的中垂线m，作CH⊥AB交AB的延长线于H．由△P AB的面积为S1，△AOB的面积为S2，且S1＝S2，推出点P在直线m上运动，连接CD交直线m于P′，连接OP′，此时OP′+CP′的值最小，最小值＝线段CD的长．【解答】解：如图，作OD⊥AB于D，作线段OD的中垂线m，作CH⊥AB交AB的延长线于H．∵△P AB的面积为S1，△AOB的面积为S2，且S1＝S2，∴点P在直线m上运动，连接CD交直线m于P′，连接OP′，此时OP′+CP′的值最小，最小值＝线段CD的长．∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝3，∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝60°，∵BC＝8，∴BH＝BC＝4，HC＝4，在Rt△CDH中，CD＝＝＝，故选：B．13．【分析】作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．首先证明CH是⊙O的直径，△ACH，△BDH都是等腰直角三角形，再证明∠ACD＝∠CHB＝67.5即可解决问题；【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH＝90°，∴∠ABD＝∠ABH＝45°，∴∠AHC＝∠ABC＝45°，∴∠ACH＝∠AHC＝45°，∴AC＝AH，∵OC＝OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC＝DH，∴∠DCH＝∠DHC，∵BD＝BH，∴∠BDH＝∠BHD＝45°，∵∠BDH＝∠DCH+∠DHC，∴∠DCH＝22.5°，∴∠ACD＝∠CHB＝67.5°，设BD＝BH＝a，则CD＝DH＝a，∴tan∠ACB＝tan∠CHB＝＝＝1+，故选：D．14．【分析】如图，连接DF．解直角三角形求出CF、BF，∠FDC的度数，再根据S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）计算即可；【解答】解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝DF＝BC＝6，∴CF＝＝3，BF＝BC﹣CF＝3，∴tan∠FDC＝，∴∠FDC＝30°，∠ADF＝60°∴S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）＝﹣（18﹣﹣•3•3）＝π﹣，故选：A．15．【分析】可过O作半径OF⊥AB于E，由垂径定理可知＝，因此只需比较和的大小即可；易知AE＝AB＝CD，在Rt△AEF中，AF是斜边，AE是直角边，很显然AF＞AE，即AF＞CD，由此可判断出、的大小关系，即可得解．【解答】解：如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF；由垂径定理知：AE＝BE，＝；∴AE＝CD＝AB；在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD；∴＞，即＞2；故选：A．二．填空题（共10小题）16．【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故答案为：﹣2．17．【分析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O 的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．【解答】解：如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．∵BE∥AC，∴∠EBC+∠C＝180°，∵∠EBC+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠EOD＝2∠EAD，∴∠EOD＝2∠C＝定值，∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝4，∴AJ＝＝＝2，∵OK⊥DE，∴EK＝DK，∵AB＝6，∴OE＝OD＝3，∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，∴sin∠EOK＝sin∠C＝，∴＝，∴EK＝，∴DE＝2，∴DE的最小值为2．故答案为2．18．【分析】如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM＝x，则BM＝5﹣x．根据CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，可得82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，解得x＝4，推出∠EAF＝60°，由A，E，D，F四点共圆，推出当⊙O的直径最小时，EF的长最小，根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM＝x，则BM＝5﹣x．∵CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，解得x＝4，∴AM＝4，AC＝2AM，∴∠ACM＝30°，∠CAM＝60°，CM＝AM＝4，∵S△ABC＝•BC•AN＝•AB•CM，∴AN＝＝，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴A，E，D，F四点共圆，∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，AD的最小值为，此时OE＝OF＝，EF＝2•OE•cos30°＝，∴EF的最小值为，故答案为．19．【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝AD＝1，∴BM≤BN+NM，∴BM≤1+，∴BM≤，∴BM的最大值为．20．【分析】如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．想办法用a表示PE，利用相交弦定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．∵PD∥CH，∴＝＝＝，∴CH＝3a，∵BD：AD＝2：3，∴BD：AD＝BD：BH，∴AD＝BH，∴BD＝AH，∴AH：AD＝2：3，∴CH∥DE，∴＝＝，∴DE＝a，∴PE＝a﹣2a＝a，∵BC＝10，BP：PC＝2：1，∴PB＝，PC＝，∵PB•PC＝PD•PE，∴5a2＝，∴a＝（负根已经舍弃），∴PD＝2a＝．故答案为．21．【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC＝DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB＝＝5，∴BA′＝＝，∵AC＝CA′，DE＝EA，∴EC＝DA′，∵DA′≤BD+BA′，∴DA′≤5+，∴DA′的最大值为5+，∴EC的最大值为，故答案为．22．【分析】根据圆内接等边三角形的性质表示∠EOD的度数，再根据四边形内角和表示出∠BED的度数，进而根据三角形内角和即可求解．【解答】解：如图：连接OD、OB，∵等边△ABC内接于⊙O，∴OD⊥BC，OD＝OB，∠OBD＝30°．∵E点是OP的中点，∴OE OP，∵OB＝OP，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE＝α，∴∠EOD＝180°﹣2α．因为四边形DOEB内角和为360°，∴∠BED＝360°﹣90°﹣60°﹣（180﹣2α）﹣α＝30°+α，∠EOB＝180°﹣30°﹣（30+2α）＝120﹣2α．∵OB＝OP，∴∠P＝∠OBP＝（180°﹣∠POB）＝（180﹣120+2α）＝30°+α．∴∠PBC＝∠OBP+∠OBC＝30°+α+30°＝60°+α．故答案为60°+α．23．【分析】如图，作直径MH，延长MF交⊙O于K，作HJ⊥AC于J，连接CK，AK，AH，设AC交HM于T，HM 交AB于R．首先证明BC＝HK＝，再证明Rt△HJA≌Rt△KFC（HL），推出AJ＝CF，求出AJ即可解决问题．【解答】解：如图，作直径MH，延长MF交⊙O于K，作HJ⊥AC于J，连接CK，AK，AH，设AC交HM于T，HM交AB于R．∵＝，HM是直径，∴HM⊥AB，∵MF⊥AC，∴∠ART＝∠MFT＝90°，∵∠MTF＝∠ATR，∴∠CAB＝∠FMT，∴＝，∴BC＝KH＝，∵MH是直径，∴∠MKH＝90°，∴∠MKH＝∠MFT，∴AC∥KH，∴∠CAK＝∠AKH，∴＝，∴AH＝CK，∵∠HJA＝∠KFC＝90°，HJ＝FK，∴Rt△HJA≌Rt△KFC（HL），∴AJ＝CF，∵四边形KHJF是矩形，∴KH＝FJ＝，∴AJ＝（AC﹣FJ）＝（3﹣），∴AF＝AJ+FJ＝．故答案为．24．【分析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．首先证明∠CAE＝∠CAH ＝45°，推出∠BOC＝90°，推出BC＝2，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，根据CH2+BH2＝BC2，构建方程求出x即可解决问题；【解答】解：如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故答案为6．25．【分析】根据已知条件得到抛物线的解析式，设抛物线的对称轴与x轴的交点为Q；假设存在符合条件的P点，且⊙P与直线DM的切点为E，连接PE；若⊙P同时经过A、B两点，根据圆和抛物线的对称性知圆心P必在抛物线的对称轴上；可设出⊙P的半径，易证得△DMQ是等腰直角三角形，则∠EDQ＝45°，可据此表示出PD的长；在Rt△APQ中，根据勾股定理可表示出PQ的长，由于PQ+PD＝DQ，可根据这个等量关系列出关于⊙P半径的方程，进而可求出P点的坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，∴，∴，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；∴顶点D（1，4），对称轴为直线x＝1；∴直线CD的解析式为y＝x+3，∴直线CD与x轴的交点为M（﹣3，0）设抛物线的对称轴x＝1与x轴的交点为Q，⊙P与直线CD的切点为E，连接PE、P A；设PE＝P A＝m；∵在Rt△DMQ中，DQ＝MQ＝4，∴△MDQ是等腰直角三角形，∠DMQ＝45°；在Rt△PDE中，PE＝m，∠EDP＝∠MDQ＝45°，则PD＝m；在Rt△P AQ中，P A＝m，AQ＝AB＝2，则PQ＝；由于DQ＝DP+PQ＝4，或DQ＝PD﹣PQ，即：m+＝4，m﹣＝4解得m＝4﹣2；m＝4+2∴m＝8﹣2，或m＝8+2，4﹣m＝2﹣4或4﹣m＝﹣4﹣2；即P（1，2﹣4）或（1，﹣4﹣2）．三．解答题（共10小题）26．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB＝90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；（2）连接OD．利用（1）中求得AB＝4可以推知OA＝OD＝2；然后由角平分线的性质求得∠AOD＝90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AB2+62，∴AB＝4．（2）连接OD．∵AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴S△AOD＝OA•OD＝•2•2＝6，∴S扇形△AOD＝•π•OD2＝•π•（2）2＝3π，∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6．27．【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP 的长；（2）根据S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB直接进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB＝BO，∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；（2）阴影部分面积为：S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．28．【分析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC＝90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得AD＝＝4．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×4×3＝×5DE．∴DE＝．29．【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°．∴∠EDC＝30°．∴∠ODE＝90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB＝∠ADB＝90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC＝30°，∴．∴FE＝FC﹣EC＝1．30．【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．【解答】解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．31．【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定证明即可；（2）利用等腰直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】（1）证明：△BDE是等腰直角三角形．∵AE是⊙O的直径∴∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°．∵CA＝CB，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形．（2）过点F作FG⊥AC于点G，则△AFG是等腰直角三角形，且AG＝FG．∵OA＝OC，∴∠EAC＝∠FCG．∵BE＝CE＝3，∴AC＝BC＝2CE＝6，∴tan∠FCG＝tan∠EAC＝．∴CG＝2FG＝2AG．∴FG＝AG＝2，∴AF＝2．32．【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB＝∠EAD，由于∠ACB＝2∠EAB，则∠ACB＝∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠DAC+∠ACB＝90°，所以∠DAC+∠DAB＝90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）得出∠EAC＝∠AFD，进而利用勾股定理解答；【解答】（1）证明：连结AD，如图，∵E是的中点，∴∠DAB＝2∠EAB，∵∠ACB＝2∠EAB，∴∠ACB＝∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠EAC+∠EAB＝90°，∠DAE+∠AFD＝90°，∠EAD＝∠EAB，∴∠EAC＝∠AFD，∴CF＝AC＝6，∴DF＝2，∵AD2＝AC2﹣CD2＝62﹣42＝20，∴33．【分析】（1）连接EO，由OE＝OC、AB＝CB知∠A＝∠OEC，从而得AB∥EO，根据EF⊥OE得EF⊥AB，即可得证；（2）连结BE，根据圆的直径和直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：连结OE．∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCA，∵AB＝CB，∴∠A＝∠OCA，∴∠A＝∠OEC，∴OE∥AB，∵EF是⊙O的切线，∴EF⊥OE，∴EF⊥AB．（2）连结BE．∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，又AB＝CB，AC＝16，∴AE＝EC＝AC＝8，∵AB＝CB＝2BO＝10，∴BE＝，又△ABE的面积＝△BEC的面积，即8×6＝10×EF，∴EF＝4.834．【分析】（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；（2）连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，从而得到r+r＝2，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∵EF为切线，∴OE⊥EF，∴EF⊥AC；（2）解：连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，∵BD为直径，∴∠BED＝90°，在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，∴DE＝BD＝r，BE＝r，∵DF∥BC，∴∠EDF＝∠BED＝90°，∵∠C＝∠B＝30°，∴∠CEF＝60°，∴∠DFE＝∠CEF＝60°，在Rt△DEF中，DF＝r，∴EF＝2DF＝r，在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，而BC＝2，∴r+r＝2，解得r＝，即⊙O的半径长为．35．【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cos C＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM＝cos C＝，所以AO＝，从而可求出OM＝【解答】解：（1）连结OM．∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠2 又OM＝OB∴∠2＝∠3∴OM∥BC∵AE是BC边上的高线∴AE⊥BC，∴AM⊥OM∴AM是⊙O的切线（2）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，∴E是BC中点∴EC＝BE＝3∵cos C＝＝∴AC＝EC＝∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE ∴△AOM∽△ABE∴又∵∠ABC＝∠C∴∠AOM＝∠C在Rt△AOM中cos∠AOM＝cos C＝，∴∴AO＝AB＝+OB＝而AB＝AC＝∴＝∴OM＝∴⊙O的半径是。

初三数学试卷超级难题

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10等于：A. 25B. 27C. 29D. 312. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，若AB=8cm，则BC的长度为：A. 4√3 cmB. 8√3 cmC. 16√3 cmD. 4√6 cm3. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在区间[0, 3]上有极值，则f(x)的极大值点x为：A. 1B. 2C. 3D. 2或34. 已知函数y = log2(x - 1)的图像关于点(2, 1)对称，则该函数的图像上存在一个点P，使得点P到直线y = x的距离为：A. 1B. √2C. 2D. √35. 在直角坐标系中，点A(-3, 2)，点B(1, -4)，则线段AB的中点坐标为：A. (-1, -1)B. (-2, -1)C. (-1, -2)D. (0, -1)6. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，那么数列的前n项和S_n为：A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^n - 2D. 2^n + 27. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相切，则k和b的关系为：A. k^2 + b^2 = 4B. k^2 + b^2 = 16C. k^2 + b^2 = 5D. k^2 + b^2 = 98. 在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=120°，则△ABC的外接圆半径R为：A. 2√3B. √3C. √2D. 29. 函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|的最小值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数y = e^x - x在x=0处取得极值，则该极值为：A. 1B. 0C. -1D. e二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a, b, c之间的关系为______。

初中数学好题难题集锦(含答案解析)

初三下学期数学好题难题集锦一、分式：1、如果abc=1，求证++=1．2、已知+=，则+等于多少？3、一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．4、（2009•邵阳）已知M=、N=，用“+”或“﹣”连接M、N，有三种不同的形式，M+N、M﹣N、N﹣M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2．二、反比例函数：5、一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围．6、（2009•邵阳）如图是一个反比例函数图象的一部分，点A（1，10），B（10，1）是它的端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．7、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于_________．8、（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y 轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP 面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．9、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y在第一象限的图象交于点c（1，6）、点D（3，x）．过点C作CE上y轴于E，过点D 作DF上X轴于F．（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式．三、勾股定理：10、清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：=m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．11、（2009•温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A、第4张B、第5张C、第6张D、第7张12、（2009•茂名）如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是_________米．13、（2009•恩施州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X 垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．14、（2009•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2，求AB的长．四、四边形：15、（2008•佛山）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．16、（2008•山西）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．17、（2008•资阳）如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的_________心；（2）求证：四边形DECF为菱形．18、（2008•哈尔滨）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+PQ；（2）若BC=6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x 的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长．19、（2008•常州）如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2，下底长为4，腰长为2，这样的纸片共有5张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形？分别画出它们的示意图，并写出它们的周长．20、（2008•常州）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．21、（2008•潍坊）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长．22、（2008•新疆）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）（2）写出你的作法．23、（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．24、（2008•义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k ＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值．五、几何：25、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）26、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）27、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）28、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CEBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF29、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）30、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）31、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）32、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．33、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）34、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）35、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）36、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E37、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）38、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）39、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）40、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）41、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．42、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．43、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．44、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCB ACBPDEDCB A A CBPD五、数据的分析：45、（2005•南平）为了帮助贫困失学儿童，宿迁市团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐赠给贫困失学儿童．某中学共有学生1200人，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图．（1）求该学校的人均存款数；（2）已知银行一年定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给1位失学儿童一年的基本费用，那么该学校一学年能够帮助多少位失学儿童？46、（2005•河北）如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．（1）请根据图中所提供的信息填写右表：（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好；②依据平均数与中位数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好．③依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．47、（2005•重庆）如图所示，A、B两个旅游点从2001年至2005年“五•一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求A、B两个旅游点从2001到2005年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系y=5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？答案与评分标准一、分式：1、如果abc=1，求证++=1．考点：分式的混合运算。

数学试卷难题初三答案

一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(x)的顶点坐标为（）A. (1, 0)B. (0, 1)C. (2, 0)D. (1, 2)答案：A解析：因为f(x)的图像关于直线x=1对称，所以f(1)是f(x)的最小值。

将x=1代入f(x)，得f(1) = 1^2 - 21 + 1 = 0。

所以顶点坐标为(1, 0)。

2. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则b的值为（）A. 0B. -1C. 1D. 无法确定答案：A解析：由等差数列的性质知，a+b+c=3b。

因为a+b+c=0，所以3b=0，解得b=0。

3. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：由勾股定理知，AB^2 = AC^2 + BC^2。

将AC=3，BC=4代入，得AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25。

所以AB=√25=5。

4. 若a、b、c是等比数列，且a+b+c=0，则b的值为（）A. 0B. -1C. 1D. 无法确定答案：D解析：由等比数列的性质知，a、b、c成等比数列，所以b^2 = ac。

因为a+b+c=0，所以a=-b-c。

将a=-b-c代入b^2 = ac，得b^2 = (-b-c)c。

化简得b^2 + bc -c^2 = 0。

因为a、b、c是等比数列，所以b≠0。

所以b^2 + bc - c^2 = 0有唯一解，即b的值无法确定。

5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=50，则第15项a15的值为（）A. 5B. 10C. 15D. 20解析：由等差数列的前n项和公式知，S5 = (a1 + a5) 5 / 2，S10 = (a1 + a10) 10 / 2。

因为S5=15，S10=50，所以(a1 + a5) 5 / 2 = 15，(a1 + a10) 10 /2 = 50。

《好题》初中数学九年级下期中经典习题(含答案)

一、选择题1．(0分)[ID ：11131]若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）都在反比例函数1y x =-的图象上，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1 C ．y 1＜y 3＜y 2 D ．y 3＜y 1＜y 22．(0分)[ID ：11122]如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ：DB ＝2：3，则下列结论中正确的（）A ．23DE BC = B ．25DE BC = C ．23AE AC = D ．25AEEC =3．(0分)[ID ：11118]已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a =，正确的作法是（） A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：11115]在Rt ABC ∆中，90,2,1C AC BC ∠=︒==，则cos A 的值是( )A 25B 5C 5D ．125．(0分)[ID ：11108]若35x x y =+，则xy 等于（）A ．32 B ．38 C ．23 D ．856．(0分)[ID ：11105]如图，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（3，4），顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=k x （x ＞0）的图象经过顶点B ，则反比例函数的表达式为（）A ．y=12xB ．y=24xC ．y=32xD ．y=40x7．(0分)[ID ：11103]如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x=-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（）A ．4B ．3C ．2D ．18．(0分)[ID ：11101]下列判断中，不正确的有（）A ．三边对应成比例的两个三角形相似B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似9．(0分)[ID ：11091]已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( ) A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．2:3 10．(0分)[ID ：11089]如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（）A ．3B ．2C ．6D ．411．(0分)[ID ：11082]如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（） A ．8米 B ．9米 C ．10米 D ．11米12．(0分)[ID：11074]在同一直角坐标系中，函数kyx=和y=kx﹣3的图象大致是（）A．B．C．D．13．(0分)[ID：11065]已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d 14．(0分)[ID：11034]下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．(0分)[ID：11037]制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元二、填空题16．(0分)[ID：11202]如图，P（m，m）是反比例函数9yx=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．17．(0分)[ID：11199]已知反比例函数21kyx+=的图像经过点(2,1)-，那么k的值是__．18．(0分)[ID ：11185]如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．19．(0分)[ID ：11164]已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y =﹣4x图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________． 20．(0分)[ID ：11141]如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似．21．(0分)[ID ：11182]如图，若点 A 的坐标为 ()1,3 ，则 sin 1∠ =________.22．(0分)[ID ：11179]小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm ．23．(0分)[ID ：11176]已知CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos ∠ACD= ______ ．24．(0分)[ID ：11163]如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.25．(0分)[ID：11222]如果a c eb d f===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．三、解答题26．(0分)[ID：11276]如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．27．(0分)[ID：11271]如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：ACD ABE∽．（2）若将D，E连接起来，则AED与ABC能相似吗？说说你的理由．28．(0分)[ID：11259]已知锐角三角形ABC内接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、AE交于点F．（1）如图1，若⊙O直径为10，AC＝8，求BF的长；（2）如图2，连接OA，若OA＝F A，AC＝BF，求∠OAD的大小．29．(0分)[ID：11251]如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD.∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．(1)求证：△ABD∽△ACB；(2)求线段CD的长．30．(0分)[ID：11241]为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y 与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．C4．A5．A6．C7．D8．B9．A10．B11．C12．A13．B14．D15．C二、填空题16．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三17．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以18．【解析】【分析】认真审题根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短分别求出PBOBOAAB的长度利用△PBM∽△ABO即可求出本题的答案【详解】解：如图过点P作PM⊥AB则：∠PMB=90°当PM⊥19．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y随x的增大而增大∵A（-4y1）B（-1y2）20．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似21．【解析】【分析】根据勾股定理可得OA的长根据正弦是对边比斜边可得答案【详解】如图由勾股定理得：OA==2sin∠1=故答案为22．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于D∴OC⊥ABBD=AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm23．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B利用同角的余弦得结论解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠24．7【解析】设树的高度为m由相似可得解得所以树的高度为7m25．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．【详解】∵反比例函数y=﹣1x中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．2．B解析：B【解析】【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】∵AD：DB=2：3，∴ADAB=25．∵DE∥BC，∴DEBC=ADAB=25，A错误，B正确；AE AC =ADAB=25，C错误；AE EC =ADDB=23，D错误．故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a、b和2b，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x．【详解】解：由题意，22b xa =∴2a bb x =，∵线段x没法先作出，根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．故选C．4．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得22=5AC BC+∴cosA=255ACAB==，故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A解析：A【解析】【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.【详解】根据比例的基本性质得：5x=3（x+y），即2x=3y，即得32xy=，故选A．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键. 6．C解析：C【解析】【分析】过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC ，AB ∥OC ，OA ∥BC ，求出∠AOM=∠BCN ，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN ，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B 点的坐标，把B 的坐标代入y=kx 求出k 即可．【详解】过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，则∠AMO=∠BNC=90°，∵四边形AOCB 是菱形，∴OA=BC=AB=OC,AB ∥OC,OA ∥BC ，∴∠AOM=∠BCN ，∵A(3,4)，∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，即OC=OA=AB=BC=5，在△AOM 和△BCN 中AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM ≌△BCN(AAS)，∴BN=AM=4，CN=OM=3，∴ON=5+3=8，即B 点的坐标是(8,4)，把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，即y=32x，故答案选C.【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.7．D解析：D【解析】因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 8．B解析：B【解析】【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．【详解】∵两个相似三角形的面积之比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的周长之比为2：3．故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．10．B解析：B【解析】【分析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC =,可求出AC 的长．【详解】解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC=42, 故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答． 11．C解析：C【解析】如图所示，AB ，CD 为树，且AB=13，CD=8，BD 为两树距离12米，过C 作CE ⊥AB 于E ，则CE=BD=8，AE=AB-CD=6，在直角三角形AEC 中，AC=10米，答：小鸟至少要飞10米．故选C ．12．A解析：A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k ≠0，所以分k ＞0和k ＜0两种情况讨论．当两函数系数k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】分两种情况讨论：①当k ＞0时，y =kx ﹣3与y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；②当k ＜0时，y =kx ﹣3与y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A 符合要求．故选A ．本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．13．B解析：B【解析】【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A、a：d=c：b⇒ab=cd，故正确；B、a：b=c：d⇒ad=bc，故错误；C、d：a=b：c⇒dc=ab，故正确；D、a：c=d：b⇒ab=cd，故正确．故选B．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．14．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．15．C解析：C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．二、填空题16．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三解析：9332+．【解析】【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△P AB是等边三角形，∴∠P AH=60°.∴根据锐角三角函数，得3∴OB3∴S△POB=12OB•PH933+.17．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以解析：32 k=-【解析】【分析】将点的坐标代入，可以得到-1=212k+，然后解方程，便可以得到k的值．∵反比例函数y＝21kx+的图象经过点（2，-1），∴-1=21 2 k+∴k＝− 32；故答案为k＝−32．【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答18．【解析】【分析】认真审题根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短分别求出PBOBOAAB的长度利用△PBM∽△ABO即可求出本题的答案【详解】解：如图过点P作PM⊥AB则：∠PMB=90°当PM⊥解析：28 5【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB 的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．19．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y随x的增大而增大∵A（-4y1）B（-1y2）解析：y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题．详解：∵反比例函数y=-4x，-4＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵A（-4，y1），B（-1，y2）是反比例函数y=-4x图象上的两个点，-4＜-1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．20．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似解析：4或9．【解析】当△ADP∽△ACB时，需有AP ADAB AC=，∴6128AP=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有AP ADAC AB=，∴6812AP=，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．21．【解析】【分析】根据勾股定理可得OA的长根据正弦是对边比斜边可得答案【详解】如图由勾股定理得：OA==2sin∠1=故答案为【解析】【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．【详解】如图，由勾股定理，得：OA=22OB AB+=2．sin∠1=32ABOA=，故答案为32．22．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于D∴OC⊥ABBD=AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm解析：10【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD=12 AB，由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，∴r2=36+（r﹣2）2，∴r=10cm，故答案为10．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．23．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B利用同角的余弦得结论解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠解析：4 5【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B，利用同角的余弦得结论．解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，∴cos∠ACD=cos∠B=BCAB=810=45，故答案为：4 5 .24．7【解析】设树的高度为m由相似可得解得所以树的高度为7m 解析：7【解析】设树的高度为x m，由相似可得6157262x+==，解得7x=，所以树的高度为7m25．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3解析：3【解析】∵a c eb d f===k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，故答案为：3.三、解答题26．(1)见解析 (2)△ABD∽△ACE【解析】分析：（1）由∠BAD=∠CAE易得∠BAC=∠DAE，这样结合∠ABC=∠ADE，即可得到△ABC∽△ADE．（2）由（1）中结论易得AB ACAD AE=，从而可得：AB ADAC AE=，这样结合∠BAD=∠CAE即可得到△ABD∽△ACE了．详解；（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAC=∠DAE ，∵∠ABC=∠ADE ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）△ABD ∽△ACE ，理由如下：由（1）可知△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE =， ∴AB AD AC AE=，又∵∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE ．点睛：这是一道考查“相似三角形的判定与性质的题目”，熟悉“相似三角形的判定定理和性质”是解答本题的关键.27．（1）见解析；（2）能，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；（2）根据第一问可得到AD ：AE=AC ：AB ，有一组公共角∠A ，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．【详解】()1证明：ACD ABE ∽．证明：∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，∴90ADC AEB ∠=∠=．∵A A ∠=∠，∴ACD ABE ∽．()2若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．∵ACD ABE ∽，∴::AD AE AC AB =．∴AD:AC=AE:AB∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.28．（1）BF ＝6；（2）∠OAD ＝30°．【解析】【分析】（1）如图1中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ．利用勾股定理求出AM ，证明四边形AMBF 是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ，设AD 交CM 于J ．证明AO ⊥CM ．推出∠OAD ＝∠BCM ，解直角三角形求出∠BCM 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ．∵CM 是直径，∴∠CAM ＝∠CBM ＝90°，∵CM ＝10，AC ＝8，∴AM ＝22CM AC -＝22108-＝6，∵AD ⊥CB ，BE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠MBC ＝90°，∠BEC ＝∠MAC ＝90°，∴AD ∥BM ，AM ∥BE ，∴四边形AMBF 是平行四边形，∴BF ＝AM ＝6．（2）如图2中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ，设AD 交CM 于J ．由（1）可知四边形AMBF 是平行四边形，∴AM ＝BF ，AF ＝BM∵AC ＝BF ，∴AC ＝AM ，∵∠MAC ＝90°，MO ＝OC ，∴AO ⊥CM ，∵AD ⊥BC ，∴∠AOJ ＝∠CDJ ＝90°，∵∠AJO ＝∠CJD ，∴∠DCJ ＝∠JAO ，∵AF ＝OA ，AF ＝BM ，∴OA ＝BM ，∴CM ＝2BM ，∵∠CBM ＝90°，∴sin ∠BCM ＝BM CM ＝12， ∴∠BCM ＝30°，∴∠OAD ＝∠BCM ＝30°．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊四边形解决问题．29．（1）参见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD 长．【详解】（1）∵∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A （公共角），∴△ABD ∽△ACB ；（2）由（1）知：△ABD ∽△ACB ，∵相似三角形的对应线段成比例，∴AD AB =AB AC ，即46＝64+cD ，解得：CD ＝5．30．（1）()3084{?48(8)x x y x x≤≤=>；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．【解析】【分析】（1）药物燃烧时，设出y 与x 之间的解析式y=k 1x ，把点（8，6）代入即可，从图上读出x 的取值范围；药物燃烧后，设出y 与x 之间的解析式y=2k x，把点（8，6）代入即可；（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x ；（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x ，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．【详解】解：（1）设药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y=k 1x （k 1＞0）代入（8，6）为6=8k 1∴k 1=34设药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为y=2k x （k 2＞0）代入（8，6）为6=2k 8， ∴k 2=48 ∴药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为3y x 4=（0≤x≤8）药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为48y x=（x ＞8） ∴()30x 84y 48(8)xx x ⎧≤≤⎪⎪⎨=⎪>⎪⎩ （2）结合实际，令48y x =中y≤1.6得x≥30 即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）把y=3代入3y x 4=，得：x=4 把y=3代入48y x =，得：x=16 ∵16﹣4=12所以这次消毒是有效的．【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．。

初三下册数学练习题及解析

初三下册数学练习题及解析一、选择题1. 下列哪一个数是无理数？A. √16B. -√9C. -√25D. -√4解析：A选项：√16=4，是有理数；B选项：-√9=-3，是有理数；C选项：-√25=-5，是有理数；D选项：-√4=-2，是有理数。

因此，选项A、B、C、D都是有理数，答案为无理数，故选其他选项。

2. 若a:b=2:3，且a=8，则b等于多少？A. 9B. 10C. 12D. 18解析：由题目可得，a:b=2:3，又已知a=8，代入可得8:b=2:3，即8/b=2/3，求解可得b=12。

因此，答案选项C为正确答案。

3. 填空：已知2x+3=7，则x的值为__________。

解析：将已知条件代入方程，可得2x+3=7，解得2x=4，进一步解得x=2。

所以x的值为2。

二、解答题1. 解方程：3x+5=17。

解析：移项，将方程变形为3x=12，再将等式两边同时除以3，得到x=4。

所以方程的解为x=4。

2. 求下列各组数的最小公倍数和最大公约数：(1) 6和9(2) 12和18解析：(1) 6和9的最小公倍数是18，最大公约数是3。

(2) 12和18的最小公倍数是36，最大公约数是6。

3. 一桶可乐的容量为2升，小红喝了1/4升，小明喝了1/3升，还剩下多少升可乐？解析：一桶可乐的容量为2升，小红喝了1/4升，小明喝了1/3升，所以总共喝了1/4+1/3=7/12升。

剩下的可乐为2升-7/12升=17/12升，即1又5/12升。

4. 某个正整数a满足a除以3余2，且a除以5余3，求a的最小值。

解析：根据题意可设正整数a=3n+2，且a=5m+3。

经过计算可得n=7，m=2，因此a的最小值为3*7+2=23。

5. 甲、乙两人比赛，甲先走58米，然后双方以相同的速度走，到终点时甲比乙多走2米。

如果甲的速度是乙速度的4倍，求赛道的长度。

解析：设乙的速度为v，则甲的速度为4v。

根据题意可得，(58+2)/(4v-v)=58/v，解得v=5。

九年级数学难题精选(有答案)

一、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF ∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN'的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN'上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）∴PQ=（-x2+2x+3）-（x﹣1）=-x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ·AG=（-x2+x+2）×3=-（x﹣）2+∴面积的最大值为．二、已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连结AD、BD、BE。

中考数学九年级下册专题训练50题含参考答案

2023年2月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．2．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A．B．C．D．3．如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体是（）A．长方体B．圆柱C．球D．圆锥4．如图，已知点P为反比例函数y=-6x上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为()A．-6B．6C．3D．125．桌上倒扣着背面图案相同的15张扑克牌，其中9张黑桃、6张红桃，则（）. A．从中随机抽取1张，抽到黑桃的可能性更大B．从中随机抽取1张，抽到黑桃和红桃的可能性一样大C．从中随机抽取5张，必有2张红桃D ．从中随机抽取7张，可能都是红桃 6．函数3xy x ＝＋中，自变量x 的取值范围是（） A ．3x ＞－B ．3x ＜－C ．x≠-3D ．x≠ 37．将抛物线22y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（）A ．()2232y x =-++ B ．()2232y x =-+- C ．()2232y x =--+D ．()2232y x =---8．从正面、上面、左面三个方向看某一物体得到的图形如图所示，则这个物体是（）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．圆锥D ．圆柱9．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的主视图和俯视图，那么这个几何体最少需要用（）个小正方体A ．12B ．11C ．10D ．910．若气象部门预报明天下雨的概率是70%，下列说法正确的是（） A ．明天下雨的可能性比较大 B ．明天下雨的可能性比较小 C ．明天一定会下雨D ．明天一定不会下雨11．一个由两个一次性纸杯组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）12．已知点()()121,,2,A y B y 在抛物线()()2120y a x a =++>上，则下列结论正确的是（） A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>13．下图是几个小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图为（）A ．B ．C ．D ．14．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为（－2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；①方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－2，x 2＝6；①12a ＋c ＞0；①当y ＞0时，x 的取值范围是－2≤x ＜2；①当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个15．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）16．若下列有一图形为二次函数2286y x x =-+的图形，则此图为（）A ．B ．C ．D ．17．已知二次函数21=++()y ax bx c b c ≠图象的最高点坐标为（-2,4），则一次函数22()4y b c x b ac =-+-图象可能在：A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限18．如图是一个圆形转盘，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是（）．A ．14B ．34C ．29D ．91619．二次函数y=ax2+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）中x 与y 的部分对应值如下表：给出以下三个结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c 最小值为﹣4；（2）若y ＜0，则x 的取值范围是0＜x ＜2；（3）二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧，则其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．320．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线21y x =与223x y =于B 、C 两点，过点C作y 轴的平行线交1y 于点D ，直线DE ∥AC 交2y 于点E ，则DEAB的值是（）A ．2B ．32y =C ．3D ．3．二、填空题21．有6张同样的卡片，卡片上分别写上数字“1921”、“1994”、“1935”、“1949”、“1978”、“1980”，将这些卡片背面朝上，洗匀后随机从中抽出一张，抽到标有的数字是偶数的概率是______．22．抛物线y =(a −1)x 2−2x +3在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是________．23．事件A 发生的概率为15，大量重复做这种试验事件A 平均每100次发生的次数是___．24．已知二次函数245y x x =--的图像与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，则①ABC 的面积为________．25．甲、乙两人分别从、、A B C 这3个景点随机选择2个景点游览，甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是________．26．在10以内的素数中，随机抽取其中的一个素数，则所抽取的素数是偶数的等可能性大小是______．27．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是___________．28．如图，P 是反比例函数y = 3x图象上一点，P A ①x 轴于点A ，则PAOS =_______________．29．写出抛物线y ＝2（x ﹣1）2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标可以是_____．30．如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为240°和120°.让转盘自由转动2次，则指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率是________.31．如图，在平面直角坐标系中，反比例(0)ky k x=>的图象和ABC ∆都在第一象限内，52AB AC ==，BC x ∕∕轴，且4BC =，点A 的坐标为()3,5．若将ABC ∆向下平移m 个单位长度，,A C 两点同时落在反比例函数图象上，则m 的值为_____．32．已知Rt △ABC ，①C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，以AC 所在直线为轴将此三角形旋转一周所得圆锥的侧面积是________．(结果保留π)33．若二次函数26y x x k =-+的最小值为2，则k =________．34．将图所示的Rt①ABC 绕AB 旋转一周所得的几何体的主视图是图中的________ （只填序号）．35．如图，矩形ABCD 的顶点C ，D 在x 轴的正半轴上，顶点A ，B 分别在反比例函数y=4x 和y=16x的图象上，则矩形ABCD 的面积为__36．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为函数21k y x-=图象上的两点，且x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，则实数k 的取值范围是__． 37．如图，将抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(6,0)A -和点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ．（1）点P 的坐标为______；（2）图中阴影部分的面积为_____．38．30张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后再放回，洗牌后再抽，抽到红心、黑桃、草花、方块的频率依次为20%，32%，44%，4%，则四种花色的牌各约有________ ．（按红心、黑桃、草皮、方块的顺序填写）39．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ．则下列结论：①abc ＜0；①244b ac a-＞0；①ac －b ＋1＝0；①OA·OB ＝ca-．其中正确结论的个数是______个．40．如图，在平面直角坐标系中．点A 、B 在反比例函数y ＝5x的图象上运动，且始终保持线段AB ＝M 为线段AB 的中点，连接OM ，则线段OM 的长度是_____．三、解答题41．当自变量x 取何值时，函数512y x =+与54y x =-的值相等？这个函数值是多少？ 42．抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且顶点在x 轴上，与y 轴的交点为A ，A 点的坐标为()0,1，点()2,1B 在抛物线的对称轴上，直线1y =-与直线2x =相交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线1y =-交于点D ．试判断PBD ∆是否为等腰三角形，并说明理由．（3）作PE BD ⊥于点E ，当点P 从横坐标2013处运动到横坐标2019处时，请求出点E 运动的路径长．43．如图，一次函数112y k x =+与反比例函数22k y x=的图象交于点(4,)A m 和(8,2)B --，与y 轴交于点C .（1）1k = ，2k = ；（2）根据函数图象可知，当1y ＞2y 时，x 的取值范围是；（3）过点A 作AD ①x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD 交于点E ，当ODAC S 四边形：ODES=3：1时，求点P 的坐标.44．我校为了迎接体育中考，了解学生的体育成绩，从全校1000名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试，其中“跳绳”成绩制作图如下：根据图表解决下列问题：(1)本次共抽取了名学生进行体育测试，表中，a＝，b＝，c＝；(2)补全统计图；(3)“跳绳”数在180(包括180)以上，则此项成绩可得满分．那么，你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分？45．某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x＋20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：(1)求每天销售这种水果的利润W （元）与x （天）之间的函数关系式； (2)求x 为何值时，日销售利润为900元？(3)直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？46．在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球（材质、形状、大小等完全相同），甲先从中随机取出一个小球，记下数字为x 后放回，然后乙也从中随机取出一个小球，记下数字为y ，这样确定了点P 的坐标(),x y ．（1）请用列表或画树状图的方法写出点P 所有可能的坐标；（2）求点P 在函数22y x =-+的图象上的概率．47．已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝3；当x ＝12时，y ＝1．求x ＝－12时，y 的值．48．综合与探究如图，已知抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．其顶点为D ，对称轴是直线l ，且与x 轴交于点H ．（1）求点A ，B ，C ，D 的坐标；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的﹣个动点，求①PBC 周长的最小值；（3）若点E 是线段AC 上的一个动点（E 与A ．C 不重合），过点E 作x 轴的垂线，与抛物线交于点F ，与x 轴交于点G ．则在点E 运动的过程中，是否存在EF ＝2EG ？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．49．指出下列随机事件中，哪些是等可能事件，哪些是非等可能事件．①在一个装着3个白球、3个黑球(每个球除颜色外都相同)的袋中摸出一个球，摸出白球与摸出黑球；①掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数分别为1、2、3、4、5、6；①从4张扑克牌中(4张牌的花色分别为红桃、方块、梅花、黑桃)随意抽取一张，这张牌分别是红桃、方块、梅花、黑桃；①掷一枚图钉，钉尖着地与钉尖朝上．50．如图，①OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为(3，4)且OB＝BA．(1)求经过A，B，O三点的抛物线的解析式；(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形ABB′A′为菱形，求平移后的抛物线的解析式．参考答案：1．B【分析】根据左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),判断即可.【详解】解:根据左视图的定义可知: 该几何体的左视图为:故选:B.【点睛】此题考查的是判断一个几何体的左视图,掌握左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),是解决此题的关键.2．B【详解】试题分析：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2．故选B．考点：二次函数图象与几何变换．3．D【分析】根据圆锥侧面展开图的特征即可求解．【详解】解：如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体是圆锥．故选：D．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，解题的关键是根据几何体的展开图判断几何体的形状，难度不大．4．B【分析】设P（x，y），根据点P在反比例函数上得xy=-6，由反比例函数k的几何意义结合矩形的面积公式即可得出答案.【详解】设P（x，y），①点P在反比例函数y=-6x上，①xy=-6，①S四边形MONP=ON·OM=|xy|=|-6|=6.故答案为B.【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数k y x=（k 为常数，k ≠0）图像上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线你，以点P 及点P 的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数k .5．A【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．【详解】解： A 、黑桃数量多，故抽到黑桃的可能性更大，故正确；B 、黑桃张数多于红桃，故抽到两种花色的可能性不相同，故错误；C 、从中抽取5张可能会有2张红桃，也可能不是，故错误；D 、从中抽取7张，不可能全是红桃，故错误.故选A ．【点睛】本题考查概率的意义．6．C【分析】根据分式中分母不为零计算即可．【详解】由题意得x+3≠0，解得：x≠-3，故选：C ．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握知识点是解题关键．7．D【分析】根据二次函数图象左加右减在自变量，上加下减在函数值的平移规律进行求解．【详解】.解：抛物线 22y x =- 向右平移3个单位，得()22-3y x =-，再向下平移2个单位，得：()2222y x =---．故答案为：D ．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．8．A【分析】由主视图和左视图可得知几何体为锥体，再根据俯视图是三角形即可判断其为三棱锥．【详解】解：①主视图和左视图均为三角形①该几何体为椎体①俯视图为三角形①该几何体为三棱锥．故选:A．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，良好的空间想象能力是解答本题的关键．9．D【分析】根据几何体的主视图和俯视图可得：该几何体由3层组成，最底层至少6个小正方体；第二层2个小正方体；最高层1个小正方体，即可求解．【详解】解：根据几何体的主视图和俯视图得：该几何体由3层组成，最底层至少6个小正方体；第二层2个小正方体；最高层1个小正方体；++=个小正方体．①这个几何体最少需要用6219故选：D【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的特征是解题的关键．10．A【分析】根据“概率”的意义进行判断即可．【详解】解：A．明天下雨的概率是70%，即明天下雨的可能性是70%，也就是说明天下雨的可能性比较大，因此选项A符合题意；B．明天下雨的可能性是70%，也就是说明天下雨的可能性比较大，因此选项B不符合题意；C．明天下雨的可能性是70%，并不代表明天一定会下雨，因此选项C不符合题意；D．明天下雨的可能性比较大，与明天一定不会下雨是矛盾的，因此选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了概率与可能性的关系，正确理解概率的意义是解题的关键．11．C【分析】根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答．【详解】解：几何体的俯视图是：【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．12．B【分析】根据题意可得当1x >-时，y 随x 的增大而增大，即可求解．【详解】解：①抛物线()()2120y a x a =++>，①抛物线的对称轴为直线1x =-，且开口向上，①当1x >-时，y 随x 的增大而增大，①当1x =-时，函数值最小，最小值为2，①点()()121,,2,A y B y 在抛物线()()2120y a x a =++>上， ①212y y >>．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．13．C【分析】由几何体的俯视图，可知从正面看这个几何体，会看到左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有1个小正方形，从而确定答案．【详解】解：由几何体的俯视图，可知从正面看这个几何体，会看到左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有1个小正方形．故选C ．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体等知识点的理解和掌握，能正确画图是解此题的关键，难度不大．14．B【分析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为(6， 0)，则可对①进行判断；由对称轴方程得到b =－2a ，然后根据x =－1时函数值为0可得到3a +c =0，则可对①进行判断；根据抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围可对①进行判断；根据二次函数的性质对①进行判断．【详解】解：①抛物线开口向下，顶点在x 轴上方，①抛物线与x 轴有两个交点，①①= b 2－4ac >0，①①正确；①抛物线的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为(－2，0)，①抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（6，0），①方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=2，x 2=6，①①正确； ①22b a-=， ①b =－4a ，①x =－2时，y =0，①4a －2b +c =0，①4a +8a +c =0，即12a +c=0，①①错误；当－2<x <6时，y >0，①①错误；当x <0时，y 随x 的增大而增大，①①正确．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a >0时，抛物线向上开口；当a <0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时(即ab >0)，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时( 即ab <0)，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于(0，c )；抛物线与x 轴交点个数由①决定：①= b 2－4ac >0时，抛物线与x 轴有2个交点；①= b 2－4ac =0时，拋物线与x 轴有1个交点；①=b 2－4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点．15．B【分析】根据三视图的形状即可判断．【详解】解：A 、圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆，故此选项不符合题意；B 、几何体的主视图是长方形，左视图是小长方形，俯视图是三角形，故此选项符合题意；C 、长方体的主视图是长方形，左视图是小长方形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意；D 、圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆且中间有点，故此选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了根据三视图判断几何体的形状，解题的关键是掌握常见几何体的三视图特征．16．A【分析】根据二次函数的解析式y=2x 2-8x+6求得函数图象与y 轴的交点及对称轴，并作出选择．【详解】解：①当x=0时，y=6，及二次函数的图象经过点（0，6）；①二次函数的图象的对称轴是：x=--822=2，即x=2；综合①①，符合条件的图象是A ；故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象．解题时，主要从函数的解析式入手，求得函数图象与y 轴的交点及对称轴，然后结合图象作出选择．17．B【分析】根据图象有最高点可知a <0，把（-2，4）代入函数表达式可得4a -2b +c =4，根据最高点坐标可得到对称轴的表达式．【详解】解：①图象有最高点，①a ＜0，把（-2，4）代入21=++y ax bx c 得：4a -2b +c =4， ①最高点坐标（-2，4），①对称轴表达式：x =-2b a=-2，整理得：b =4a ，把b =4a 代入4a -2b +c =4得：b -c =-4<0，①a ＜0，且最高点坐标（-2，4），①21=++y ax bx c 与x 轴有两个交点，①∆=24b ac -＞0，①一次函数22()4y b c x b ac =-+-在一二四象限．故选①B ．【点睛】一次函数y =kx +b （k ≠0，k 、b 为常数）的图像与性质可知：当k ＞0，b ＞0时，图像过一二三象限；当k ＞0，b ＜0时，图像过一三四象限；当k ＜0，b ＞0时，图像过一二四象限；当k ＜0，b ＜0，图像过二三四象限．18．D【分析】首先将黄色区域平分成三部分，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：将黄色区域平分成三部分，如图：画树状图得：①共有16种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有9种情况，①两次指针都落在黄色区域的概率为916；故选D ．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．C【分析】根据表格数据确定出二次函数的顶点坐标，开口方向，与x 轴的交点坐标，然后再逐一进行判断即可得解．【详解】解：由表格得：二次函数顶点坐标为（1，﹣4），开口向上，与x 轴交点坐标为（﹣1，0）与（3，0），则（1）二次函数y=ax 2+bx+c 最小值为﹣4，正确；（2）若y ＜0，则x 的取值范围是﹣1＜x ＜3，错误；（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧，正确，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x 轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．D【分析】设A 点坐标为（0，a ），利用两个函数解析式求出点B 、C 的坐标，然后求出AB 的长度，再根据CD ∥y 轴，利用y 1的解析式求出D 点的坐标，然后利用y 2求出点E 的坐标，从而得到DE 的长度，然后求出比值即可得解．【详解】解：设A 点坐标为（0，a ），（a ＞0），则x 2=a ，解得x①点B a ），23x =a ，则x①点C a ），①CD ∥y 轴，①点D 的横坐标与点C①y 1=2=3a ，①点D ，3a ），①DE ∥AC ，①点E 的纵坐标为3a ， ①23x =3a ，①x①点E 的坐标为（3a ），①DE ，①则3DE AB == 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x 轴的点的纵坐标相同，平行于y 轴的点的横坐标相同，用点A 的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．21．12【分析】直接利用概率公式计算即可．【详解】根据题意可知：这些卡片中标有数字是偶数的卡片有3张．故抽到标有的数字是偶数的概率是3162=．故答案为：12．【点睛】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键． 22．a <1【分析】根据题意列出不等式并解答即可．【详解】解：①抛物线y =(a −1)x 2−2x +3在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，①a −1<0，解得a <1，故答案为：a <1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性．23．20【分析】根据概率的意义解答即可．【详解】解：①事件A 发生的概率为15，①大量重复做这种试验事件A 平均每100次发生的次数是100×15＝20．故答案为：20．【点睛】本题考查了概率意义，熟记概率意义是在大量重复试验下事件发生的频率会趋近于某个数（即概率）附近是解题关键． 24．27【分析】先求出A ，B ，C 的坐标，再以AB 为底边，求出三角形ABC 的高，即可求出面积．【详解】解：当y =0时，2450x x --=，解得11x =-，25x =，①A ，B 的坐标为（1-，0），（5，0）， ①AB =6，①2245(2)9y x x x =--=--， ①C （2，9-）， ①C 到AB 的距离为9， ①169272ABCS=⨯⨯=．故答案为：27．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据解析式求出图象与坐标轴的交点． 25．13【分析】用树状图表示所有可能出现的结果，再求出两个景点相同的概率．【详解】解：用树状图表示如下：共有9种可能的结果，其中甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的有3种结果， ①甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是3193P ==，故答案为：13．【点睛】本题考查了用树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决本题的关键．26．14【分析】根据10以内的素数有4个，分别是：2、3、5、7；其中偶素数只有1个即2；求抽取的素数是偶数的可能性，就相当于求1是4的几分之几，用除法计算，据此解答．【详解】解解：10以内的素数有4个，分别是：2、3、5、7；其中偶素数只有1个即2； ①1144÷=，故答案为：14．【点睛】本题考查了简单事件发生的可能性的求解，即用可能性=所求情况数÷总情况数或求一个数是另一个数的几分之几用除法计算，注意：在所有的素数中只有一个偶素数即2．27．直三棱柱．【详解】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱．故答案为：直三棱柱．【点睛】本题考查由三视图判断几何体，难度不大． 28．32【分析】根据反比例函数k 的几何意义即可求解．【详解】解：①P 是反比例函数y = 3x图象上一点P A ⊥x 轴于点A ， ①PAOS=32，故答案为：32.【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数k 的几何意义是解题的关键．29．（2，2），（0，2）（答案不唯一）【分析】由函数y＝2（x﹣1）2可得函数的对称轴，任取函数上一点，求出其关于对称轴对称的点可得答案.【详解】解：由抛物线y＝2（x﹣1）2，可得其对称轴为x=1，可取一点（0，2），则其关于x=1的对称点位（2，2），故答案：（2，2），（0，2）（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查二次函数的性质及二次函数关于对称轴对称的点的特征.30．4 9【分析】由白色区域是240度，黑色区域是120度，指针落在它们的可能性不相同；所以将白色区域分成相等的两部分，那么指针落在三个部分的可能性相同，则可由列表法或树状图列出所有可能的结果，利用概率公式即可求解.【详解】解：将白色扇形分成相等的两部分，分别记为白1和白2，所以转盘自由转动1次，指针落在白1，白2，黑三部分的可能性相同，如下表，所有等可能的结果有9种，其中一次落在白色区域，一次落在黑色区域的有4种，所以P(指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域)= 4 9 .故答案为4 9 .【点睛】本题考查了几何概率的求法，将白色扇形分成相等的两部分，再利用列表法（或树状图法）求解是解决本题的基本思路.31．5 4【分析】根据已知求出B与C点坐标，再表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解；【详解】解：①52AB AC ==，4BC =，点()A 3,5． ①71,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，75,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将ABC ∆向下平移m 个单位长度， ①()3,5A m -，75,2C m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，①,A C 两点同时落在反比例函数图象上， ①73(5)52m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，①54m =；故答案为54；【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三角形求出点的坐标是解题的关键． 32．65π【详解】试题分析：首先确定圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用侧面积计算公式直接求得圆锥的侧面积即可．试题解析：①①C=90°，AB=13，AC=12， ①BC=5，以AC 所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长=10π，侧面积=12×10π×13=65π．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体． 33．11【分析】根据二次函数解析式求出函数的顶点坐标,代入即可解题. 【详解】解：①函数2y x 6x k =-+的对称轴是x=3, ①当x=3时,函数有最小值2, 即9-18+k=2, 解得：k=11.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,属于简单题,求出二次函数的顶点坐标是解题关键. 34．①【分析】易得此几何体为两个底面相同且相连的圆锥的组合体，主视图是从几何体正面看【详解】解：Rt △ABC 绕斜边AB 旋转一周所得的几何体是两个底面相等相连的圆锥，圆锥的主视图是等腰三角形，所以该几何体的左视图是两个底边相等的等腰三角形相连，并且上面的等腰三角形较大，故为图①．故答案为①．【点睛】本题考查了空间想象能力及几何体的三视图；发挥空间想象能力，确定旋转一周所得的几何体形状是关键． 35．12．【分析】利用反比例函数k 的几何意义求解即可．【详解】①延长BA 交y 轴于点E ，顶点A ，B 分别在反比例函数y=4x 和y=16x的图象上， ①ADOE S 矩形=4，OE S 矩形BC =16， ①矩形ABCD 的面积为：OE S 矩形BC -ADOE S 矩形=16-4=12；故答案为：12．【点睛】本题考查了反比例函数的k 的几何意义，熟练将k 的几何意义与图形的面积有机结合，灵活解题是解题的关键． 36．﹣1＜k ＜1【分析】根据函数值的大小关系，判别函数的图象位置，根据位置判定比例系数的大小，再解不等式．【详解】因为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为函数21k y x-=图象上的两点，且x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，所以函数图象分支在二、四象限。

九年级下册数学复习难题及压轴题

九年级下学期第二讲1.最值2.实数运算1.计算：．2.先化简，再求值：y x x xy x xy y x y xy x -++⋅-++222222，其中21,==y x .3.测高1．如图，无人机在离地面60米的C 处，观测楼房顶部B 的俯角为30°，观测楼房底部A 的俯角为60°，求楼房的高度．)()020112cos30320101π︒+--+-2.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）圆的证明；1.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC＝10，cos A＝，求CG的长．一次函数：一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，己知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？二次函数1.如图，点A（﹣2，4）和点B（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+4上．（1）求抛物线的表达式；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，若四边形AA1B1B为菱形，求平移后抛物线的对称轴；（3）在（2）的条件下，记平移后抛物线的对称轴与直线A1B的交点为点C，试在平面内找一点D，使得以点A1、B1、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求D点的坐标．压轴题：提出问题（1）如图①，已知在边长为 10 的等边△ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD＝6，连接 AD，则△ACD 的面积为------ ；问题探究：（2）如图②，已知在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，且∠EAF ＝45°．若 EF＝5，求△AEF 的面积；问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在 AB＝4 米，AD＝6 米的矩形 ABCD 区域内开挖一个△AEF 的工作面，其中 E、F 分别在 BC、CD 边上（不与 B、 C、D 重合），且∠EAF ＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF 面积最小？那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF 面积的最小值请说明理由．。

2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数压轴题经典题型(含答案解析).docx

2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数压轴题经典题型1．如图，已知抛物线y=−1x2+bx+c交x轴于A（－3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点3P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若S△BOP=2S△AOC，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．作为武汉市菜篮子工程生产基地，我市新洲区光明村白菜丰收却面临滞销的情况，在武汉市政府的关心和帮助下，各地的订单如雪片般“飞”向光明村，千亩白菜的滞销状况得到较大改善．市政府拟采用水陆联运的方式，派出车队到田间将白菜装车后运往码头再装船销往各地，负责人统计了解装载情况，发现运送到码头的白菜量y（单位：吨）随时间x（单位：小时）的变化情况如图2所示，当0≤x≤10时，y是x的二次函数，图象经过A（0，100），顶点B（10，600）；当10＜x≤12时，累计数量保持不变．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）在码头安装了2台传送设备，在运送白菜的同时，可将码头上的白菜直接传送到船上，大大提高了工作效率．每台传送设备每小时可传送20吨白菜到船上．码头上等待传送上船的白菜最多时有多少吨？全部白菜都传送完成需要多少时间？3．如图1，抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝-1，且抛物线经过A（-3，0），C（0，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）P在直线AC上方抛物线上，作PD//y轴，交线段AC于点D，作PE//x轴，交抛物线于另一点E，若2PD=PE，求点P的坐标；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线PQ分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，做PQ的垂直平分线MN交y轴于点N，若PQ=2MN，求证：OEOF−OFOE=4OE．4．如图，抛物y=x2−2x−3与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），其中直线l经过点A且与y轴相交于点C(0，12 )．（1）写出A点坐标；B点坐标；（2）如图，在抛物线上存在点M（异于点B），使得B，M两点到直线l的距离相等，求出所有满足条件的点M的横坐标．5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．（1）若DP=2，则AE= ；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围；（3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．6．综合与探究如图，抛物线y=a x2+bx+c与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线y=2x−6与抛物线交于点B、点C，直线y=−12x−1与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线y=2x−6交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M(m，n)在抛物线上，当−4≤m≤2时，直接写出n的取值范围；（3）H是直线CB上一点，若S△ECH=2S△ECF，求点H的坐标；（4）P是x轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y=a x2+bx−4(a，b是常数，且a≠0)的图象过点(3，−1)．（1）试判断点(2，2−2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由．（2）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．（3）已知二次函数的图象过(x1，y1)和(x2，y2)两点，且当x1≤x2≤2时，始终都有y1>y2，求3a的取值范围．8．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）.（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围.9．如图1，在平面直角坐标中，抛物线y=−1x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)、B(4，0)两点，2与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y=2x+m交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F.（1）求抛物线的表达式；（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN=QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标.10．如图，抛物线y=1x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C，直线2y =12x−2经过B 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M.设M(m ，0)，点P 在抛物线上运动，若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），请直接写出符合条件的m 的值.11．当直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数且k≠0）与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）有唯一公共点时，叫做直线与抛物线相切，直线叫做抛物线的切线，这个公共点叫做切点，其切点坐标（x ，y ）为相应方程组{y =kx +b ax 2+bx +c 的解.如将直线y ＝4x 与抛物线y ＝x 2＋4，联合得方程组{y =4x y =x 2+4，从而得到方程x 2＋4＝4x ，解得x 1＝x 2＝2，故相应方程组的解为{x 1=x 2=2y 1=y 2=8，所以，直线y ＝4x 与抛物线y ＝x 2＋4相切，其切点坐标为（2，8）.（1）直线m：y＝2x-1与抛物线y＝x2相切吗？如相切，请求出切点坐标；（2）在（1）的条件下，过点A（1，-3）的直线n与抛物线y＝x2也相切，求直线n的函数表达式，并求出直线m与直线n的交点坐标；（3）如图，已知直线y＝kx＋3（k为常数且k≠0）与抛物线y＝x2交于C、D，过点C、D分别作抛物线的切线，这两条切线交于点P，过点P作x轴的垂线交CD于点Q，试说明点Q是CD的中点.12．如图，已知抛物线y=a x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（－3，0）两点，与y轴交于C （0，3）.（1）求抛物线的函数表达式：（2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值：（3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：把A (−3，0)，B (4，0)代入 y =−13x 2+bx +c ，得{−13×(−3)2+(−3)b +c =0−13×42+4b +c =0，解得{b =13c =4，∴ 抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4.（2）解：当x =0时，y =4，∴C (0，4)，∴OC =4，∵A (−3，0)，B (4，0)，∴OA =3，OB =4，∴S △AOC =12AO·OC =12×3×4=6，∵S △BOP =2S △AOC ，S △BOP =12OB·|y P |，∴12OB·|y P |=12，|y P |=6，∴当y =6时，−13x 2+13x +4=6，x 2−x +6=0，b 2−4ac =−23<0，∴方程无解，当y =−6时，−13x 2+13x +4=−6，x 2−x−30=0，x 1=6，x 2=−5，∴点P 的坐标为(6，−6)或(−5，−6).（3）解：如图，当点Q 在x 轴上方时，在对称轴上找一点F ，连接BF ，使得QF =BF ，∵∠QEB =90°，∠QBA =75°，∴∠BQE =15°，∵QF =BF ，∴∠BQE =∠QBF =15°，∴∠BFE =30°，∵A (−3，0)，B (4，0)，点E 是AB 的中点，∴E (12，0)，∴BE =12AB =72，∴EF =3BE =732，BF =2BE =7，∴QF =BF =7，∴QE =QF +FE =7+732，∴Q (12，7+732)，作点Q′与点Q 关于x 轴对称，∴∠Q′BA =75°，∴Q′(12，−7−732)，综上所述，Q (12，7+732)或(12，−7−732).2．【答案】（1）解：①当0≤x≤10时，∵顶点坐标为（10，600），∴设y ＝a （x －10）2+600，将（0，100）代入，得：100a+600＝100，解得a ＝-5，∴y ＝-5（x-10）2+600＝-5x 2+100x+100（0≤x≤10）②当10＜x≤12时，y ＝600（10＜x≤12），∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝{−5x 2+100x +100(0≤x ≤10)600(10<x ≤12)（2）解：设第x 小时的等待传送上船的白菜为w 吨，由题意可得w ＝y-40x ，①0≤x≤10时，w ＝-5x 2+100x+100-40x ＝-5x 2+60x+100＝-5（x-6）2+280，100≤w≤280；当x=10时，w=200，∵-5＜0，∴当x ＝6时，w 的最大值是280；②0≤x≤10时，100≤w≤280；∵当x=10时，w=200，∴传送设备一直工作∴当x>10时，w ＝600-40x ，全部白菜都传送完成，根据题意得：600-40x ＝0，解得：x ＝15（另：0≤x≤10，一直运送；当x>10时，w=200需5小时，共需15小时）∴等待传送上船的白菜最多是280吨；全部白菜都传送完成需要15小时．3．【答案】（1）解：由题意可知： {9a−3b +c =03=c −b 2a =−1解得：{a =−1b =−2c =3∴解析式为：y =−x 2−2x +3（2）解：设直线l AC ：y=kx+p ，代入A(－3，0)，C(0，3)得k=1，p=3∴l AC ：y =x +3设P （m ，−m 2−2m +3）D （m ，m+3）∵P 在直线AC 上方∴PD=−m 2−3m∵PE ∥x 轴，∴P ，E 关于对称轴x=－1对称∴PE=2|−1−m|∵2PD=PE∴−m 2−3m =|−1−m|①当m ＜－1时，−m 2−3m =−1−m解得m 1=−1−2；m 2=−1+2∵P 在AC 上方，∴－3＜m ＜0，∴m=−1−2，点P 为（－1－2，2）②当m ＞－1时，−m 2−3m =1+m解得m 1=−2−3（舍）m 2=−2+3∴点P 为（−2+3，23）综上：P 点坐标为（－1－2，2）或（−2+3，23）（3）解：平移后的解析式为：y=−x 2设l PQ ：y =kx +b∴E 为（−b k ，0），F 为（0，b ），OE=b k，OF=-b ∴OE OF −OF OE =−1k+k 联立{y =kx +b y =−x 2x 2+kx +b =0x p +x Q =−k ，x p .x Q =b连接PN ，QN ，过N 作GH ⊥y 轴，作PG ⊥GH 于G ，作QH ⊥GH 于H∵MN ⊥PQ ，PM=MQ ，且PQ=2MN∴ΔPQN 为等腰直角三角形∴△PGN ≌△NHQ∴{PG =NH GN =QH∴{y P −y G =x Q −x P =y Q −y N即y P −y Q =x P +x Q 整理得：k （x P −x Q ）=x p +x Q即：k 2−4b =1k−1k =4b k即OE OF −OF OE =4OE 4．【答案】（1）（-1，0）；（3，0）（2）解：设直线AC 的解析式为 y =kx +b ，则 {0=−k +b 12=b ，解得： {k =12b =12 ，∴直线AC 的解析式为 y =12x +12；分类讨论：①当点M 位于直线AC 下方时，如图点 M 1 ，∵ B 、M 两点到直线l 的距离相等，∴B M 1∥AC ，∴可设直线BM 1的解析式为 y =12x +b 1 ，则 0=12×3+b 1 ，解得： b 1=−32，∴直线BM 1的解析式为 y =12x−32．联立 {y =x 2−2x−3y =12x−32，解得： x 1=−12，x 2=3 （舍），∴此时点M 的横坐标为 −12 ；②当点M 位于直线AC 上方时，如图点M 2和M 3 ，∵直线BM 1的解析式为 y =12x−32 ，直线AC 的解析式为 y =12x +12，∴12−(−32)=2∴直线M 2M 3为直线AC 向上平移2个单位得到，∴直线M 2M 3的解析式为 y =12x +52 ．联立 {y =x 2−2x−3y =12x +52 ，解得： x 1=5+1134，x 2=5−1134 ，∴此时M 的横坐标为 5+1134 或 5−1134 ．综上可知M 的横坐标为 −12 或 5+1134 或 5−1134 ．5．【答案】（1）73（2）解：由（1）得：AEDP =APDC ，∴AE•DC =AP•DP ，设AP =x ，AE =y ，∴DP =9−x ，∴6y =x(9−x)，整理得：y =−16(x−92)2+278(0<x <9)，∵−16<0，∴当x =92时，y 最大值=278，∴BE =AB−AE =218，∴此时BE 的最小值为218，又∵E 在AB 上运动，∴BE <6，∴218≤BE <6．（3）解：如图，假设存在这样的点Q ，由（1）可得：AE•DC =AP•DP ，同理可得：AQ•DQ =AE•DC ，∴AQ•DQ =AP•DP ，∴AQ(9−AQ)=AP(9−AP)，整理得：(AP−AQ)(AP +AQ−9)=0，∵Q 不同于P 点，∴AP ≠AQ ，即：P 不是AD 的中点，∴AP +AQ =9，∴当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时AP +AQ =9．6．【答案】（1）解：∵直线y=2x-6与x 轴、y 轴交于点B 、点C ，∴B(3，0)，C(0，−6)，∵直线y =−12x−1与x 轴交于点A ，∴A(−2，0)，∵抛物线y =a x 2+bx +c 与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，∴{0=9a +3b +c −6=c 0=4a−2b +c ，解得：{a =1b =−1c =−6，∴抛物线的解析式为y =x 2−x−6；（2）解：∵y =x 2−x−6=(x−12)2−254， ∴抛物线的对称轴为x =12，∵点M(m ，n)在抛物线上，−4≤m ≤2，∴当x =12时，抛物线有最小值−254，即n 有最小值−254；∵当m =−4时，n =(−4−12)2−254=14；当m =2时，n =(2−12)2−254=−4，即n 有最大值14．∴n 的取值范围为−254≤n ≤14；（3）解：∵直线y =−12x−1与y 轴交于点E ， ∴E(0，−1)，∵{y =−12x−1y =2x−6，即得：{x =2y =−2，∴F(2，−2)，∴E C 2=[−6−(−1)]2=25，E F 2=[2−0]2+[−2−(−1)]2=5，F C 2=[2−0]2+[−2−(−6)]2=20，∴E C 2=E F 2+F C 2∴EF ⊥BC ．设H(m ，n)．①当H 在EF 上方，∵S △ECH =2S △ECF ，∴12CH ⋅EF =2×12CF ⋅EF ，∴CH =2CF ，即F 是CH 的中点，∴{0+m 2=2−6+n 2=−2，解得：{m =4n =2，∴H(4，2)；②当H 在EF 下方，∵S △ECH =2S △ECF ，∴12CH ⋅EF =2×12CF ⋅EF ，∴CH =2CF ，设点G （m ，n ）为HC 的中点，如图，即C 是FG 的中点，∴{2+m 2=0−2+n 2=−6，解得：{m =−2n =−10，∴G(−2，−10)．∵C(0，−6)，∴设点H(j ，ℎ)，由G(−2，−10)为HC 的中点，∴{0+j 2=−2−6+ℎ2=−10，解得：{j =−4ℎ=−14，∴H(−4，−14)；综上，点H 的坐标为(4，2)或(−4，−14)；（4）解：存在一点Q 使存在以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：如图，∵B(3，0)，C(0，−6)，∴BC =62+32=35，①当BC 为菱形一边时，则P 1(3+35，0)，P 2(3−35，0)，∴Q 1(0+35，−6)，Q 2(0−35，−6)，即Q 1(35，−6)，Q 2(−35，−6)，②当BC 为菱形对角线时，则B P 3=C P 3，设P 3(n ，0)，P 3B =P 3C =3−n ，∵P 3O 2+O C 2=P 3C 2，∴(3−n)2=n 2+62，解得：n =−92，∴P 3B =3+92=152，∴Q 3(152，−6)．综上，点Q 的坐标为(35，−6)或(−35，−6)或(152，−6)．7．【答案】（1）解：将点(3，−1)代入解析式，得3a +b =1，∴y =a x 2+(1−3a)x−4，将点(2，2−2a)代入y =a x 2+bx−4，得4a +2(1−3a)−4=−2−2a ≠2−2a ，∴点(2，2−2a)不在抛物线图象上（2）解：∵二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴△=(1−3a )2+16a =0，∴a =−1或a =−19，∴y =−x 2+4x−4或y =−19x 2+43x−4（3）解：抛物线对称轴x =3a−12a ，当a >0，3a−12a ≥23时，a ≥35；当a <0，3a−12a ≤23时，a ≥35(舍去)；∴当a ≥35满足所求；8．【答案】（1）解：如图，由题意得A(2，1.6)是上边缘抛物线的顶点，设y =a (x−2)2+1.6，又∵抛物线过点(0，1.2)，∴1.2=4a +1.6，∴a =−0.1，∴上边缘抛物线的函数解析式为y =−0.1(x−2)2+1.6，当y =0时，−0.1(x−2)2+1.6=0，解得x 1=6，x 2=−2（舍去），∴喷出水的最大射程OC 为6m ；（2）解：∵对称轴为直线x =2，∴点(0，1.2)的对称点为(4，1.2)，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，∴点B 的坐标为(2，0)；（3）2≤d ≤11−19．【答案】（1）解：∵抛物线y =−12x 2+bx +c 与x 轴交于点A(−1，0)、B(4，0)两点，∴抛物线的表达式为：y =−12(x +1)(x−4)，∴y =−12x 2+32x +2（2）解：∵y =−12x 2+32x +2，∴y =−12(x−32)2+258，∴P(32，258)，∵B(4，0)，C(0，2)，∴直线BC 的表达式为：y =−12x +2，把x =32代入y =−12x +2得：y =54，∴S ΔPBC =12×(258−54)×4=154（3）解：①过点N 作NG ⊥EF 于点G ，∵y =2x +m 过点B(4，0)，∴0=2×4+m ，∴m =−8，∴直线BM 的表达式为：y =2x−8，∴M(0，−8)，设E(a ，−12a +2)，F(a ，2a−8)，∵四边形BENF 为矩形，∴ΔBEH≅ΔNFG ，∴NG =BH ，EH =FG ，∴a =4−a ，∴a =2，∴F(2，−4)、E(2，1)，∴EH =FG =1，GH =4−1=3，∴N(0，−3)；②∵QN =QM ，∴点Q 在MN 的垂直平分线上，又∵B(4，0)，N(0，−3)，∴BN =5，∴C ΔQNB =BQ +NQ +5=BQ +MQ +5，∴当点B 、Q 、M 共线时，△QNB 的周长最小，此时，点Q 即为MN 的垂直平分线与直线BM 的交点，∵N(0，−3)；M(0，−8)，∴D(0，−112)，把y =−112代入y =2x−8得：x =54，∴Q(54，−112).10．【答案】（1）解：在y =12x−2中，当x =0时，y =−2；当y =0时，x =4；∴C(0，−2)，B(4，0)，把C(0，−2)，B(4，0)代入到抛物线解析式中得{8+4b +c =0c =−2，∴{b =−32c =−2∴抛物线解析式为y=12x2−32x−2（2）解：m的值为-2或−12或111．【答案】（1）解：直线m：y=2x−1与抛物线y=x2相切，理由如下：由{y=2x−1y=x2得{x1=x2=1 y1=y2=1，∴直线m：y=2x−1与抛物线y=x2相切，切点是(1，1)（2）解：设直线n的解析式为y=mx+n，将A(1，−3)代入得：m+n=−3，∴n=−3−m，∴直线n的解析式为y=mx−3−m，由{y=mx−3−my=x2得x2−mx+m+3=0，∵直线n与抛物线y=x2相切，∴x2−mx+m+3=0有两个相等实数解，∴△=0，即(−m)2−4(m+3)=0，解得m=−2或m=6，当m=−2时，直线n的解析式为y=−2x−1，解{y=−2x−1y=2x−1得{x=0 y=−1，∴此时直线m与直线n的交点坐标是(0，−1)；当m=6时，直线n的解析式为y=6x−9，解{y=6x−9y=2x−1得{x=2 y=3，∴此时直线m与直线n的交点坐标是(2，3)；答：直线n的函数表达式为y=−2x−1，直线m与直线n的交点坐标是(0，−1)或直线n的解析式为y=6x−9，直线m与直线n的交点坐标是(2，3)；（3）解：过C作CM⊥PQ于M，过D作DN⊥PQ于N，如图：设C(m，m2)，D(n，n2)，直线PC解析式为y=kx+b，将C(m，m2)代入y=kx+b得：m2=km+b，∴b=m2−km①，∵PC与抛物线y=x2相切，∴{y=kx+by=x2有两个相同的解，即x2=kx+b有两个相等实数解，∴△=k2+4b=0②，将①代入②得：k2+4(m2−km)=0，∴k=2m，b=−m2，∴直线PC解析式为y=2mx−m2，同理可得直线PD解析式为y=2nx−n2，由2mx−m2=2nx−n2得x=m+n2，∴P的横坐标为m+n2，设直线CD解析式为y=tx+s，将C(m，m2)D(n，n2)代入得：{m2=mt+sn2=nt+s，解得{t=m+n s=−mn，∴直线CD解析式为y=(m+n)x−mn，在y=(m+n)x−mn中，令x=m+n2得y=m2+n22，∴Q(m+n2，m2+n22)，∴CM=x Q−x C=n−m2，DN=x D−x Q=n−m2，MQ=y Q−y C=n2−m22，NQ=y D−y Q=n2−m22，∴CM =DN ，MQ =NQ ，∵∠CMQ =∠DNQ =90°，∴ΔCQM≅ΔDQN (SAS )，∴CQ =DQ ，∴点Q 是CD 的中点.12．【答案】（1）解：由题意得，{a +b +c =09a−3b +c =0c =3 ，解得{a =−1b =−2c =3，∴抛物线的函数表达式为y =−x 2−2x +3；（2）解：设点M 的坐标为（x ，−x 2−2x +3），过点P 作PQ//y 轴，交直线BC 于点Q ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，过点B （－3，0），C （0，3）两点，∴{−3m +n =0n =3 ，解得{m =1n =3，∴直线BC 的解析式为y =x +3，∴点Q 的坐标为（x ，x +3），∴PQ =y P −y Q =−x 2−2x +3−(x +3)=−x 2−3x ，∴S ΔBPC =S ΔBPQ +S ΔQPC=12PQ ×(x +3)+12PQ ×(0−x)=32PQ =32(−x 2−3x)=−32(x +32)2+278∵−32＜0，∴S ΔBPC 有最大值，此时x =−32，S ΔBPC 的最大值为278；（3）解：∵抛物线的函数表达式为y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴抛物线的对称轴直线为x =−1，设点M 的坐标为（t ，−t 2−2t +3），点N 的坐标为（−1，d ），（Ⅰ）当线段AC 为平行四边形的边时，则AM 与CN 为平行四边形的对角线，如图所示，由对角线互相平分可得，{t +12=−1+02d +32=−t 2−2t +3+02 ，解得{t =−2d =0 ，∴此时点N 的坐标为（−1，0）；（Ⅱ）当线段AC 为平行四边形的对角线时，则AC 与MN 为平行四边形的对角线，如图所示，由对角线互相平分可得，{t−12=1+020+32=−t 2−2t +3+d 2 ，解得{t =2d =8 ，∴此时点N 的坐标为（−1，8）；综上可得，存在点M 、N 使点A 、C 、M 、N 为平行四边形，此时点N 的坐标为（−1，8）或（−1，0）.。

(完整)初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题含答案解析,推荐文档

初三数学九上压轴题难题提高题培优题一•解答题(共8小题)1 •如图，抛物线y=a«+bx+c (a^0)经过点A (-3, 0)、B (1, 0)、C (- 2, 1),交y 轴于点M .(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△ MAO相似(不包括全等)？若存在，求点P的坐标；若不存在，2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx (a>0)经过点A 和x轴正半轴上的点B, AO=OB=4 / AOB=120.(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM，求/ AOM的大小；(3)如果点C在x轴上，且△ ABC与△ AOM相似，求点C的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A (2, 0), B (6, 0)两点，交y轴于点■■-二-.(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作。

D与x轴相切D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；(3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G,试确定P点的位置，使得△ PGA的面积被直线AC分为1: 2两部分？已知点 A (- 2, - 4), 0B=2 抛物线 y=af+bx+c(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+0M的最小值；(3) 在此抛物线上，是否存在点 P ,使得以点P 与点0、A 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5. 已知抛物线y=-貳+bx+c 经过点A (0，1 )，B (4，3). (1) 求抛物线的函数解析式；(2) 求 tan / AB0 的值；(3) 过点B 作BC 丄x 轴，垂足为C ,在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N,交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标.6. 如图1,已知抛物线的方程 G ： y=-L (x+2) (x - m ) (m >0)与x 轴交于点IDB 、C ,与y 轴交于点E ,且点B 在点C 的左侧.(1) 若抛物线G 过点M (2, 2),求实数m 的值；(2) 在(1)的条件下，求△ BCE 的面积；(3) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H ,使得BH+EH 最小，求出点H 的坐标；(4) 在第四象限内，抛物线 C i 上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△ BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.4.如图，在平面直角坐标系中, 经过点A 、0、B 三点.7•如图，已知抛物线y二x2-丄(b+1) x* (b是实数且b>2)与x轴的正半4 44轴分别交于点A、B (点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C.(1)__________________ 点B的坐标为 ________ ，点C的坐标为 (用含b的代数式表示)；(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b，且厶PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△ QCO, △ QOA和厶QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在，求出点Q8•如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (1, 0)，C (3, 0)，D (3, 4).以A为顶点的抛物线y=af+bx+c过点C•动点P从点A出发，沿线段AB 向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P, Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE± AB交AC于点 E.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF丄AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P, Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界) 存在点H,使以C, Q, E, H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一•解答题(共8小题)1 •如图，抛物线y=a«+bx+c (a^0)经过点A (-3, 0)、B (1, 0)、C (- 2, 1),交y 轴于点M .(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△ MAO相似(不包括全等)？若存在，求点P的坐标；若不存在，IE•••抛物线的表达式为y=-丄F亠~計1 •■—-13(2)将x=0代入抛物线表达式，得y=1.「.点M的坐标为(0,1). 设直线MA的表达式为y=kx+b,贝U ■] b=1.丨£k十b二0•直线MA的表达式为y=-x+1.设点D的坐标为(和务『上叱十1),则点F的坐标为(x0, ys0+l).1 A9 1DF=pR°-yx0+l-(yM0+ l)=丄=一「_「一一] +「•-一时，DF 的最大值为一.° 2 •此时一・.-3 ° 3 （3）存在点P ,使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△ MAO 相似.设P （m , 在Rt A MAO 中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限.①设点P 在第二象限时，•••点P 不可能在直线MN 上，二只能PN=3AN,]=■ n -：-，即 m 2+11m+24=0.解得 m=- 3 （舍去）或 m=- 8 .又—3v m v 0,故此时满足条件的点不存在.② 当点P 在第三象限时，•••点P 不可能在直线MA 上，二只能PN=3AN,1 二_3（-^-3）,即 m 2+11m+24=0.解得m=- 3或m=- 8 .此时点P 的坐标为（-8, — 15）.③ 当点P 在第四象限时，若AN=3PN 时，则-3：一* ,即点D 的坐标为（l)=m+3，即 m 2+m —6=0.解得m=-3 （舍去）或m=2.当m=2时，一矍,-1-丄.此时点P 的坐标为（2,-—）.若 PN=3NA 1 2 K 0 f 今口匚违讨打二3 （nrb3）（舍去）或m=10,此时点P 的坐标为（10,— 39）. 则— ,即 m 2 — 7m —30=0. 解得m=— 3综上所述，满足条件的点P 的坐标为（-8,— 15）、（2,-丄）、（10,— 39）. 4 / L J 一x ; 62. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y=ax ?+bx (a >0)经过点A 和x 轴正半轴上的点B , AO=OB=4 / AOB=120.(1) 求这条抛物线的表达式；(2) 联结OM ，求/ AOM 的大小；(3) 如果点C 在x 轴上，且△ ABC 与△ AOM 相似，求点C 的坐标.【解答】解：(1)如图，过点A 作AD 丄y 轴于点D ，•/ AO=OB=4•-B (4, 0).vZ AOB=120，•••/ AOD=30，••• AD 二OA=2, OD 亠OA=2 :. 2 2二 A (- 2, 2「；).将 A (-2,斯),B (4, 0)代入 y=af+bx ,得:(2)过点M 作ME 丄x 轴于点 E, 2_ 2 (x — 2) M (2，—.；) ，即 OE=2 3 ： EM=： 3•tan/ EOM輕巫.0E 3•/ EOM=3° .•/ AOM=/ AO涉/ EOM=15O .(3)过点A作AH丄x轴于点H,••• AH=2 二HB=HGOB=6,•tan/ ABH£=；.HB 3•/ ABH=30,•••/ AOM=15O•/ OAM v 30°•/ OMA v 30°•点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧. •/ ABC=180-/ ABH=150,•••/ AOM=150 ,•/ AOM=/ ABC.•△ ABC与△ AOM相似，有如下两种可能：①厶BAC与^△OAM，②△BA^sA OMA ••• OD=2, ME=.,•OM=：—3••• AH=2 :■；, BH=6,•AB=4 ；.①当△BAC与s△OAM时, 由A ClA B B C•••C (8, 0).②当△BAC与s△OMA时,由-得，解得BC=12BC AB• C2 （16, 0）.综上所述，如果点C在x轴上，且△ ABC与厶AOM相似, 则点C的坐标为（8, 0）或（16, 0）.导，解得BC=43. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=a«+bx+c 交x 轴于A (2, 0), B (6, 0)两点，交y 轴于点’I 工 .求此抛物线的解析式；若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点D ,作。

初三中考数学压轴难题有答案

1．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4．（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为 2 ，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N 的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．3．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C 分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝ 2 CD，从而得出结论：AC＋BC＝ 2 C D．简单应用：（1）在图①中，若AC＝ 2 ，BC＝2 2 ，则CD＝___________．（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，⌒AD＝⌒BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的长．拓展规律：（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝13AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是_______________________．4．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC ＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠P AB＝1，c＝4 2 时，a＝_________，b＝_________；如图2，当∠P AB＝30°，c＝2时，a＝_________，b＝_________；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，□ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3 5 ，AB＝3，求AF的长．1．如图，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A（－1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，－3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为___________（面积单位）．2．如图，点A为函数y＝9x（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝1x（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为_____________．3．书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_____________．4．已知抛物线y＝ax2－4ax＋c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P的坐标为_________________．5．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A 、B 、C 三点的坐标为（ 3 ，0）、（3 3 ，0）、（0，5），点D 在第一象限，且∠ADB ＝60°，则线段CD 的长的最小值为____________．6．若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝ ⎩⎨⎧x 22(x ≤2)4x (x ＞2) 的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是_____________．7．如图，在正方形ABCD 外侧作直线DE ，点C 关于直线DE 的对称点为M ，连接CM ，AM ．其中AM 交直线DE 于点N ．若45°＜∠CDE ＜90°，则当MN ＝4，AN ＝3时，正方形ABCD 的边长为_____________．8．如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为 ______________．9．如图，已知A 、C 是半径为2的⊙O 上的两动点，以AC 为直角边在⊙O 内作等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，连接OB ，则OB 的最小值为__________．10．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，BC ＝3，D 为BC 边上的三等分点，BD ＝2CD ，E 为AB 边上一动点，将△DBE 沿DE 折叠到△DB ′E 的位置，连接AB ′，则线段AB ′的最小值为：_________．11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_________．12．如图，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩形ABCD 内．若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AE ＝CG ＝3cm ，BF ＝DH ＝4cm ，四边形AEPH 的面积为5cm 2，则四边形PFCG 的面积为___________________．OCBA14．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为_____________．15．已知：直线y ＝－ n n ＋1x ＋ 2n ＋1 （n 为整数）与两坐标轴围成的三角形面积为s n ，则s 1＋s 2＋s 3＋…s n ＝___________________．16．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 的长为___________．18．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y ＝x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1 、S2、S 3 、…、S n ，则S n 的值为________．（用含n 的代数式表示，n 为正整数）AB CD19．如图，E 是正方形ABCD 内一点，E 到点A 、D 、B 的距离EA 、ED 、EB 分别为1、3 2 、2 5 ，延长AE 交CD 于点F ，则四边形BCFE 的面积为________________．20．如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（7，3），点E 在边AB 上，且AE ＝1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点F （0，254）运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为____________．21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足P A ⊥PB ，则PC 的取值范围为．22．已知一次函数y =－43x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，现有点M （m ，－m ），N （m ＋3，－m －4）则当四边形MNAB 周长最小时，m ＝____________．23．如图，四边形ABCD 的顶点都在坐标轴上，若AD ∥BC ，△ACD 与△BCD 的面积分别为10和20，若双曲线y ＝k x恰好经过边AB 的四等分点E （BE ＜AE ），则k 的值为____________．1.（1）16 设AM=x，则MD=4-x，得S=2(x-2)2+8,故当x=0或4时面积最大。

中考数学九年级下册专题训练50题含答案

中考数学九年级下册专题训练50题含答案_一、单选题1．从正面看如下几何体，看到的平面图形是（）A．B．C．D．2．如图，空心圆柱的俯视图是（）A．B．C．D．3．“十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（）A．43.5元B．26元C．18元D．43元4．如图，从正面看这个几何体得到的图形是（）A．B．C ．D ．5．下列事件中，属于必然事件的是（）． A ．明年元旦会下雨 B ．三角形三内角的和为180︒C ．抛一枚硬币正面向上D ．在一个没有红球的盒子里，摸到红球6．反比例函数10y x=-的图象经过点A （﹣3，y 1），B （﹣4，y 2），C （5，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 2＞y 17．如图所示的几何体的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．8．已知A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y ＝x 2﹣3x 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 1＞y 39．若抛物线2y ax bx c =++的项点在第一象限，与x 轴的两个交点分布在原点两侧，则点,a b b ⎛⎫⎪⎝⎭在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．若反比例函数的图像经过点(1,2)-，则它的解析式是（） A ．12y x=-B ．2y x=-C ．2y x=D ．12y x=11．如图，反比例函数ky x=的图象经过点A ，则k 的值是（）A ．2B ．1.5C ．﹣3D ．32-12．如图是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，则下列结论错误的是（）A ．ab 0<B ．2b 4ac 0->C ．4a 2b c 1++=D ．9a 3b c 1++>13．下列事件中，属于不确定事件的是（）A ．用长度分别是2cm ，3cm ，6cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形；B ．角平分线上的点到角两边的距离相等；C ．如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等；D ．三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合.14．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．15．已知反比例函数1y x=的图象上有一点Q ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，若两条平行线与两坐标轴所围成的矩形面积为S ，则（） A ．S=1 B ．S=2 C ．1<S<2D ．S>216．已知函数y ＝(m ＋1)25mx -是反比例函数,且该图象与y ＝x 图象无交点，则m 的值是 ( ) A ．2B ．－2C ．±2D ．－1217．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-，与x 轴的另一个交点在点(1,0)和(2,0)之间，对称轴l 如图所示，则下列结论：①0abc ＞；①0a b c -+=；①0a c +＞；①20a c +＜，其中正确的结论个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．418．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和cy x=的图象为（）A ．B ．C ．D ．19．函数ky x=和2(0)y kx k =-+≠在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．20．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （-1，2），与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是（）A ．b 2-4ac ＜0B ．a+b+c ＜0C ．c-a=2D ．方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根二、填空题21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为_________． 22．若反比例函数32my x -=的图象在二､四象限,则m 的取值范围是_______． 23．过反比例函数()0ky k x=>图象上一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为B C 、，如果ABC ∆的面积为3，则k 的值为______．24．如图，各图中的阴影部分绕着直线l旋转360°，所形成的立体图形依次是_______．25．如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动转盘，当转盘停止时，指针落在有阴影的区城内的概率为a（若指针落在分界线上，则重新转动），如果投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为b．关于a，b的大小关系是____________．26．若一组数据的样本容量为40，把它分成6组，前5组数据的频数分别是9，5，8，6，8.则第6组数据的频率是______．27．为全力抗战疫情，积极响应国家“停课不停学”号召，某市教育局发布关于疫情防控期间开展线上教学通知，自2020年2月17日开始，该市某中学借助直播云平台，有序开展网上授课教学，据老师数据统计显示，八年级（1）班2月17日六科师生互动次数如下表：那么，这一天地理学科师生互动的频率是______． 28．函数131y x =-中，自变量x 的取值范围是______． 29．下列函数中，图象位于第一、三象限的有________；在图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有_______．（1）23y x =；（2）0.1y x =；（3）5y x=；（4）275y x -=． 30．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OABC 的顶点A 在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，顶点B 在反比例函数8(0)y x x =>的图像上，顶点C 在x 轴的正半轴上，则OABC 的面积是______________．31．若反比例函数y =(2m -1)22m x - 的图象在第一、三象限，则函数的解析式为____________32．二次函数228y x mx =++的图象顶点在x 轴上，则m 的值是_______________． 33．将二次函数223y x x =-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为___34．已知点P 的坐标为（m ，0），点Q 在x 轴上（不与P 重合），以PQ 为边，①PQM＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y （1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），则图中点M 的坐标是_____．（2）随着m 的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，则点M 的坐标是：______________________．35．抛物线2222y x bx b b=++-+与x轴没有交点，则b的取值范围为_____．36．如图，点A为函数y＝4x（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝1x（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为__．37．如图，在地板的环形图案上，OA AB BC CD a====，任意抛出一个乒乓球，落在阴影区域的概率是_________．38．将x=23代入反比例函数y=－1x中，所得的函数值记为1y，又将x=1y+1代入反比例函数y=－1x中，所得的函数值记为2y，又将x=2y+1代入反比例函数y=－1x中，所得的函数值记为3y，…，如此继续下去，则y2020=______________39．如图，将半径为6的圆形纸片沿半径OA OB、将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为________．40．如图，已知抛物线y=49-(x-1)(x-7)与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，①C的半径为2，G为①C上的一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为_________.三、解答题41．如果从半径为5 cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),求这个圆锥的高.42．当前疫情防控处于常态化，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数的一部分，如图所示，（1）求x与y之间的函数解析式．（2）从7：00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校．（3）现学校通过调整校门口的入校通道，提高体温检测效率，经过调整，现在每分钟可以多通过3人，请问所有学生能够在7点30分完成进校吗？请说明理由．43．已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的的左侧），与y轴交于点C．（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为点D，求四边形ABDC的面积．44．每年的6月8日是“世界海洋日”，某校决定在这一天开展系列海洋知识的宣传活动，活动有A．唱歌、B．舞蹈、C．绘画，D．演讲四项宣传方式．学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，给制了如下两种不完整的统计图表：请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次抽查的学生共________人，=a ________，并将条形统计图补充完整；（2）如果该校学生有2000人，请你估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有__________人．（直接在横线上填答案）（3学校采用抽签方式让每班在A 、B 、C 、D 四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，请用树状图或列表法求某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率． 45．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A （3，3），求该抛物线解析式．46．二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于()2,0A ，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．(1)求这个二次函数的表达式：(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；(3)如图①，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面积为12时，求点P的坐标．47．如图，一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=kx图象的一个交点为M（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△MOB的面积．48．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC为平行四边形，点A、C 的坐标分别为（2，0）和（1，，抛物线y=ax2经过点A，点D是该抛物线的顶点．（1）求a的值；（2）判断点B是否在抛物线上，并说明理由；（3）连接AD，在线段OA上找一点P，使①APD=①OAB，求点P的坐标；（4）若点Q是y轴上一点，以Q、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在抛物线y=ax2上，写出点Q的坐标（直接写出答案即可）．49．已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m ＝1时，若点A 和点B 关于二次函数对称轴对称，求h 的值；①若存在点A 和点B 使得h 的值是4，则m 的取值范围是．50．如图，在直角坐标系中，直线113y x =+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，以=1x -为对称轴的抛物线2y x bx c =-++与x 轴分别交于点A 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ．设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点D ，连接PD ，交AB 于E ，求出当以A 、D 、E 为顶点的三角形与AOB ∆相似时点P 的坐标；（3）点M 是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点N ，使以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：1．A【分析】找到从正面看所得到的图形，即主视图即可．【详解】解：A、主视图，符合题意；B、左视图，不符合题意；C、右视图，不符合题意；D、俯视图，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的图形．2．D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，故选：D．【点睛】本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。

新北师版初中数学九年级下册难点专题二次函数的综合题和解析答案

难点专题：二次函数的综合题——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一抛物线与三角形的综合一、求最值1．如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错4】3．★如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．三、与面积相关的问题4．如图，坐标平面上，二次函数y ＝－x 2＋4x －k 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，则k 的值为( )A ．1B .12 C .43 D .455．★如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．◆类型二抛物线与特殊四边形的综合6．抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是( )A．(－6，0) B．(6，0) C．(－9，0) D．(9，0)7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关系式是________________．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)上，则a的值为________．9．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．参考答案与解析1．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)存在．∵点A 与点C 关于直线x ＝2对称，∴连接BC 与直线x ＝2交于点P ，则点P 即为所求．根据抛物线的对称性可知点C 的坐标为(3，0)．∵y ＝x 2－4x ＋3，∴点B 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，∴直线BC 与直线x ＝2的交点坐标为(2，1)，即点P 的坐标为(2，1)．2．解：(1)将A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的函数关系式为y ＝x 2－2x －3.(2)当点P 在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时点P 的横坐标为－b2a＝1，故点P 的坐标为(1，0)．(3)点M 的坐标为(1，－1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．解析：抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＝1.设点M 的坐标为(1，m )．已知A (－1，0)，C (0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(m ＋3)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝12＋32＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，解得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，解得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M 的坐标为(1，－1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a (0－1)2＋1，解得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x .联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ，y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，∴点B 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(－1，－3)．(2)证明：分别过A ，C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D ，E 两点，则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，CE ＝3，∴BE ＝CE ，∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABO ＋∠CBO ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．(3)解：假设存在满足条件的点N ，设点N 的坐标为(x ，0)，则点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x )，∴ON ＝|x |，MN ＝|－x 2＋2x |.由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝3 2.∵MN ⊥x 轴，∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB .①当MN AB＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x |2＝|x |32，即|x ||－x ＋2|＝13|x |.∵当x ＝0时，M ，O ，N 不能构成三角形，∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0；②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x |32＝|x |2，即|x ||－x ＋2|＝3|x |，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1，此时点N 的坐标为(－1，0)或(5，0)．综上所述，存在满足条件的N 点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0或(－1，0)或(5，0)．4．D 解析：∵y ＝－x 2＋4x －k ＝－(x －2)2＋4－k ，∴顶点D 的坐标为(2，4－k )，点C 的坐标为(0，－k )，∴OC ＝k .∵△ABC 的面积为12AB ·OC ＝12AB ·k ，△ABD 的面积为12AB ·(4－k )，△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，∴k ＝14(4－k )，解得k ＝45.故选D.5．解：(1)将A (2，4)与B (6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3.(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接CD ，CB ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F .则S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4.S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋3x ＝－x 2＋6x .则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x .∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2<x <6)．∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.6．D 解析：令x ＝0，得y ＝－9，∴点B 的坐标为(0，－9)．∵y ＝－x 2＋6x －9＝－(x －3)2，∴点A 的坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝3.∵点C 在抛物线上，且四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，即BC ∥x 轴，∴点C 的坐标为(6，－9)，∴BC ＝6，∴AD ＝6，∴点D 的坐标为(9，0)．故选D.7．y ＝－512x 2－12x ＋203 解析：依题意得A 点的坐标为(－4，2)，B 点的坐标为(－2，6)，C点的坐标为(2，4)．设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝6，4a ＋2b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－512，b ＝－12，c ＝203.∴抛物线的函数关系式为y ＝－512x 2－12x ＋203. 8．－23解析：连接OB .∵四边形OABC 是边长为1的正方形，∴∠BOC ＝45°，OB ＝1×2＝ 2.过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∵OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD ＝45°－15°＝30°，∴BD ＝12OB ＝22，∴OD ＝OB 2－BD 2＝（2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝62，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22.∵点B 在抛物线y ＝ax 2(a ＜0)上，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝－22，解得a ＝－23.9．解：(1)以O 点为原点，线段OA 所在的直线为x 轴，线段OC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，∴点O 的坐标为(0，0)，点A 的坐标为(4，0)，点P 的坐标为(2，2)．②设抛物线l 的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由抛物线l 经过O ，P ，A 三点，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝c ，0＝16a ＋4b ＋c ，2＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，c ＝0.∴抛物线l 的解析式为y ＝－12x 2＋2x .(2)∵点E 是正方形内的抛物线l 上的动点，∴设点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－12m 2＋2m (0＜m ＜4)，∴S△OAE＋S△OCE＝12OA·y E＋12OC·x E＝12×4×⎝⎛⎭⎪⎫－12m2＋2m＋12×4m＝－m2＋4m＋2m＝－(m－3)2＋9，∴当m＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.。

初三数学难题精选答案及讲解

1、如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。

此时，M是线段PQ的中点。

如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）。

点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环。

已知点P1的坐标是（1，1），则点P2017的坐标为。

解：P2的坐标是（1，-1），P2017的坐标是（1，-1）。

理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，-1），P3（-1，3），P4（1，-3），P5（1，3），P6（-1，-1），又回到原来P1的坐标，P7（-1，-1）；由此可知，每6个点为一个周期，作一次循环，2017÷6＝336…1，循环了336次后又回到了原来P1的坐标，故P2017的坐标与P1的坐标一样为（1，1）。

点评：此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键．2、如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且DE=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF。

试证明：AB=DB+AF。

【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB、DB、AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由。

（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间数量关系，不必说明理由。

证明：DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∵∠DBE=120°，∴∠EAF=∠DBE，又∵A，E，C，F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=DC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，∴△EDB≌FEA，∴BD=AF，AB=AE+BF，∴AB=BD+AF。