中考数学好题难题集锦

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【初三数学】二次函数难题压轴题中考精选(共20页)

二次函数中考题精选 1、41、�2009年枣庄市�如图�抛物线的顶点为A �2�1��且经过原点O �与x 轴的另一个交点为B � �1�求抛物线的解析式� �2�在抛物线上求点M �使△M O B 的面积是△A O B 面积的3倍� �3�连结O A �A B �在x 轴下方的抛物线上是否存在点N �使△O B N 与△O A B 相似�若存在�求出N 点的坐标�若不存在�说明理由�2、�2009年株洲市�已知A B C �为直角三角形�90A C B ��A C B C �,点A 、C 在x 轴上�点B 坐标为�3�m ��0m ��线段A B 与y 轴相交于点D �以P �1�0�为顶点的抛物线过点B 、D � �1�求点A 的坐标�用m 表示�� 2�求抛物线的解析式� �3�设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点�连结P Q 并延长交B C 于点E �连结 BQ 并延长交A C 于点F �试证明�()F C A C E C �为定值�y QE DBy x O AB 第24题图3、�2009年重庆市江津区�某商场在销售旺季临近时 �某品牌的童装销售价格呈上升趋势�假如这种童装开始时的售价为每件20元�并且每周�7天�涨价2元�从第6周开始�保持每件30元的稳定价格销售�直到11周结束�该童装不再销售。

�1�请建立销售价格y �元�与周次x 之间的函数关系� �2�若该品牌童装于进货当周售完�且这种童装每件进价z �元�与周次x 之间的关系为12)8(812��x z� 1≤ x ≤11�且x 为整数�那么该品牌童装在第几周售出后�每件获得利润最大�并求最大利润为多少�4、�2009年重庆市江津区�抛物线c b x x y ��2与x 轴交与A (1,0),B (- 3�0)两点��1�求该抛物线的解析式� �2�设�1�中的抛物线交y 轴与C 点�在该抛物线的对称轴上是否存在点Q �使得△Q A C 的周长最小�若存在�求出Q 点的坐标�若不存在�请说明理由. �3�在�1�中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P �使△P B C 的面积最大��若存在�求出点P 的坐标及△P B C 的面积最大值.若没有�请说明理由.5、�2009年滨州� 如图①�某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成�在等腰梯形A B C D 中�A B D C ∥�20c m 30c m 45A B D C A D C ��°�对于抛物线部分�其顶点为C D 的中点O �且过A B 、两点�开口终端的连线M N 平行且等于D C � �1�如图①所示�在以点O 为原点�直线O C 为x 轴的坐标系内�点C 的坐标为(150)�� 试求A B 、两点的坐标� �2�求标志的高度�即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离�� 3�现根据实际情况�需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3c m 的保护膜�如图②�请在图中补充完整镀膜部分的示意图�并求出镀膜的外围周长�6、�2009年常德市�已知二次函数过点A �0�2��B �1��0��C �5948��1�求此二次函数的解析式��2�判断点M �1�12�是否在直线A C 上��3�过点M �1�12�作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点�不同于A �B �C 三点��请自已给出E 点的坐标�并证明△B E F 是直角三角形�N BC D A M yx �第4题图①� � OA B C D �第4题图②� �� 20c m 30c m 45°7、(2009年陕西省)如图�在平面直角坐标系中�O B⊥O A�且O B�2O A�点A的坐标是(�1�2)��1�求点B的坐标��2�求过点A、O、B的抛物线的表达式��3�连接A B�在�2�中的抛物线上求出点P�使得S△A B P�S△A B O�8、(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机�及时调整投资方向�瞄准光伏产业�建成了太阳能光伏电池生产线�由于新产品开发初期成本高�且市场占有率不高等因素的影响�产品投产上市一年来�公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程�公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次��公司累积获得的利润y�万元�与销售时间第x�月�之间的函数关系式�即前x个月的利润总和y与x之间的关系�对应的点都在如图所示的图象上�该图象从左至右�依次是线段O A、曲线A B和曲线B C�其中曲线A B为抛物线的一部分�点A为该抛物线的顶点�曲线B C为另一抛物线252051230 y x x��的一部分�且点A�B�C的横坐标分别为4�10�12�1�求该公司累积获得的利润y�万元�与时间第x�月�之间的函数关系式��2�直接写出第x个月所获得S�万元�与时间x�月�之间的函数关系式�不需要写出计算过程��3�前12个月中�第几个月该公司所获得的利润最多�最多利润是多少万元�9、(2009武汉)某商品的进价为每件40元�售价为每件50元�每个月可卖出210件�如果每件商品的售价每上涨1元�则每个月少卖10件�每件售价不能高于65元��设每件商品的售价上涨x 元�x 为正整数��每个月的销售利润为y 元� �1�求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围� �2�每件商品的售价定为多少元时�每个月可获得最大利润�最大的月利润是多少元� �3�每件商品的售价定为多少元时�每个月的利润恰为2200元�根据以上结论�请你直接写出售价在什么范围时�每个月的利润不低于2200元�10、(2009武汉)如图�抛物线24y a x b x a ��经过(10)A ��、(04)C �两点�与x 轴交于另一点B � �1�求抛物线的解析式� �2�已知点(1)D m m ��在第一象限的抛物线上�求点D 关于直线B C 对称的点的坐标� �3�在�2�的条件下�连接B D �点P 为抛物线上一点�且45D B P ��°�求点P 的坐标�yx O ABC11、(2009年安顺)如图�已知抛物线与x 交于A (�1�0)、E (3�0)两点�与y 轴交于点B (0�3)。

中考数学经典难题解答集锦

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点，连接EB2并延长交C2Q 于H 点，连接FB2并延长交A2Q 于G 点，由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和A FG CE B O D∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ，可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．求∠DEN ，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN ＝∠MFC ．连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG ∴∠GMN=∠GNMD 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1CB DAA 1B∴∠DEN ＝∠MFC经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）分别过P、C、E、F作AB的垂线，垂足依次是Q、H、M、N。

中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

(word完整版)人教版初中数学中考经典好题难题(有答案)

数学难题一．填空题（共2小题）1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点O n，则BO1=_________，BO n=_________．2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C n（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为_________；抛物线C8的顶点坐标为_________．二．解答题（共28小题）3．已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．4．已知：关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0．（1）求证：方程总有实数根；（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？5．在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C1：沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．（1）求直线AB的解析式；（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH 的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m 的解析式．6．已知：关于x的一元二次方程﹣x2+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4．（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；（2）设抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），且AD•BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．7．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m 时，求m的值．8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根，且c为正整数．（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．求证：（1）∠EAD=∠EDA．（2）DF∥AC．（3）∠EAC=∠B．11．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x2+（m ﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．12．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_________；（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．13．已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）=0，其中m＞0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若，求y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围．14．已知：关于x的一元二次方程x2+（n﹣2m）x+m2﹣mn=0①（1）求证：方程①有两个实数根；（2）若m﹣n﹣1=0，求证：方程①有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当x=2时，关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a（n﹣2m）x+m2﹣mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．15．如图，已知抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）确定直线AB的解析式；（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．16．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．（1）证明BF是⊙O的切线；（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．17．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=_________；（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是_________．小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．18．已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=_________；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．20．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是_________；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是_________．21．已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2﹣bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；（2）求代数式的值；（3）求证：关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．22．已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．23．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．24．根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC 面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．25．例．如图①，平面直角坐标系xOy中有点B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面积．解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE==×（3+4）×（5﹣2）+×2×3﹣×5×4=3.5．∴△OBC的面积为3.5．（1）如图②，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）；（2）如图③，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．26．阅读：①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．问题1：我们学习过的平移、_________、_________变换都是正交变换．②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n°（0＜n≤360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的n度旋转变换．特别地，具有180˚旋转变换的图形称为中心对称图形．例如，图A中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．图B的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．问题2：图C和图D中的两个几何图形具有n度旋转变换，请分别写出n的最小值．答：（图C）_________；答：（图D）_________．问题3：如果将图C和图D的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n度旋转变换，则n的最小值为_________．问题4：请你在图E中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）27．已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合）．在同一平面内，把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三点共线，如图所示．（1）若△CDP、△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长；（2）若AB=12，tan∠C=，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE 的面积的最小值．28．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=﹣x+交x轴于点C，交y轴于点A．等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图A所示．把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B点恰好落在AC上的B'处，如图B所示．（1）求图A中的点B的坐标；（2）求α的值；（3）若二次函数y=mx2+3x的图象经过（1）中的点B，判断点B′是否在这条抛物线上，并说明理由．29．已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长．（1）若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线．（2）在（1）成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：△BED 是等边三角形．30．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．（1）写出此图中相等的线段．（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）2012年初中难题数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共2小题）1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点O n，则BO1=2，BO n=．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。

中考数学满分题库(难题100道1-10题含详解)

2019届中考数学满分题库难题100道（1-10题）1.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．2.如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．C．D．3.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是（不包括5）．4.如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．5.已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．6.如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．7.已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．8.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）填空：∠OBC=60°；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？9.再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图①中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB=（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．实际操作（4）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．10.如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．2019届中考数学满分题库难题100道答案及解析（1-10题）1. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；（2）根据弧长公式解答即可．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．2.如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．C．D．【分析】如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；【解答】解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，CF==，∴AK=OK==，∴OA=，由△FOC∽△OBA，可得==，∴==，∴OB=，AB=，∴A（，），∴k=．故选：B．3.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是13或49或9（不包括5）．【分析】当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9．【解答】解：当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9．故答案为13或49或9．4. 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．【解答】解：（1）如图，AE为所作；（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∴EF=3，∴OF=5﹣3=2，在Rt△OCF中，CF==，在Rt△CEF中，CE==．5. 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB=∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，又∵AC=CD，AB=DB，∴AC=CD=DB=BA∴四边形ACDB是菱形，∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）解：设菱形ACDB的边长为x，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CE，∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠E，△EAB∽△FCE则：，即，解得：x=4，过A点作AH⊥CD于H点，∵在Rt△ACH中，∠ACH=45°，∴，∴四边形ACDB的面积为：．6.如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．7. 已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．【分析】（1）由翻折可知：BE=EB′，再利用全等三角形的性质证明CD=BB′即可；（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．只要证明△BAB′∽△CAD，可得= =，推出=，可得CD=2•BE•tan2α；（3）首先证明∠ECF=90°，由∠BEC+∠ECF=180°，推出BB′∥CF，推出===sin（45°﹣α），由此即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴==，∴=，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．8. 已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）填空：∠OBC=60°；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【分析】（1）只要证明△OBC是等边三角形即可；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N 在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为60．（2）如图1中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=OB=2，AB=OA=2，=•OA•AB=×2×2=2，∴S△AOC∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC==2，∴OP===．（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ON•sin60°=x，=•OM•NE=×1.5x×x，∴S△OMN∴y=x2．∴x=时，y有最大值，最大值=．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°=（8﹣1.5x），∴y=×ON×MH=﹣x2+2x．当x=时，y取最大值，y＜，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y=•MN•OG=12﹣x，当x=4时，y有最大值，最大值=2，综上所述，y有最大值，最大值为．9.再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图①中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB=（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．实际操作（4）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．【分析】（1）理由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形；【解答】解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，AB===，故答案为．（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD，∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．∵AD=．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=﹣1，∵BC=2，∴=，∴矩形BCDE是黄金矩形．∵==，∴矩形MNDE是黄金矩形．（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．长GH=﹣1，宽HE=3﹣．10. 如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）。

中考数学难题100题

中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。

中考数学相似难题压轴题精选

1、如图,在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别是BC ,AC ,AB 上的点,DE AC ⊥,EF AB ⊥,FD BC ⊥,则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于 A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶2D ．3∶ 32、如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC的延长线于点E ,则CE 的长为A ．32B ．76C ．256D ．23.提出问题：如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕BC AB =,且AC BC ≠,在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：1小明很快就想到了一条分割直线,而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”,从而平分蛋糕．2 小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图1中过点C 画了一条直线CD 交AB于点D ．你觉得小华会成功吗如能成功,说出确定的方法；如不能成功,请说明理由．3通过上面的实践,你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB ＝BC ＝5 cm,AC ＝6 cm,请你找出△ABC 的所有“等分积周线”,并简要的说明确定的方法．4.如图,点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点,连结CP 并延长,交AD于E,交BA 的延长线点F ．问：1 图中△APD 与哪个三角形全等并说明理由．2 求证：△APE ∽△FPA ．3 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系并说明理由．5、如图1,在Rt ABC △中,90BAC ∠=°,AD BC ⊥于点D ,点O 是AC 边上一点,连接BO 交AD 于F ,OE OB ⊥交BC 边于点E ．1求证：ABF COE △∽△；2当O 为AC 边中点,2ACAB =时,如图2,求OF OE 的值； 3当O 为AC 边中点,ACnAB =时,请直接写出OF OE 的值．6、已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD ∥BC,P 为线段BD 上的动点,点Q 在射线AB 上,且满足AB ADPC PQ =如图1所示． A B C AB C B 图 1 C B 图 2 C B B A A C OE D D E C O F图1 图2 F1当AD=2,且点Q 与点B 重合时如图2所示,求线段PC 的长；2在图中,连结AP ．当32AD =,且点Q 在线段AB 上时,设点B Q 、之间的距离为x ,APQPBC S y S =△△,其中APQ S △表示△APQ 的面积,PBCS △表示PBC △的面积,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义域；3当AD AB <,且点Q 在线段AB 的延长线上时如图3所示,求QPC ∠的大小．7、如图1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(80)-，,直线BC 经过点(86)B -，,(06)C ，,将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C ''',此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ． 1四边形OABC 的形状是 ,当90α=°时,BPBQ 的值是；2①如图2,当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时,求BPBQ 的值；②如图3,当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时,求OPB '△的面积．（3）在四边形OABC 旋转过程中,当0180α<≤°时,是否存在这样的点P 和点Q,使12BP BQ =若存在,请直接写出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．8、如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动,设AP=x ,现将纸片折叠,使点D 与点P 重合,得折痕EF 点E 、F 为折痕与矩形边的交点,再将纸片还原;1当x=0时,折痕EF 的长为_______；当点E 与点A 重合时,折痕EF 的长为_______； 2请写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围,并求出当x=2时菱形的边长；图3图2x备用图第26题ADPCBQ 图1DAPCBQ 图2图3C ADPBQ3令2y EF =,当点E 在AD 、点F 在BC 上时,写出y 与x 的函数关系式;当y 取最大值时,判断EAP 与PBF 是否相似若相似,求出x 的值；若不相似,请说明理由;9、如图,在ABC △中,9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25,点D 为AB 边上的任意一点D 不与A 、B 重合,过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E ．设DE x =,以DE 为折线将ADE △翻折使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内,所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ． 1用x 表示ADE △的面积；2求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； 3求出510x <<时y 与x 的函数关系式； 4当x 取何值时,y 的值最大最大值是多少10、如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点点M 与点A B 、不重合,过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h ．1请你用含x 的代数式表示h ．2将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A MN△与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少11、如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,E 是AC 的中点,ED 的延长线与CB 的延长线交于点F; （1）求证：FD 2=FB ·FC;（2）若G 是BC 的中点,连接GD,GD 与EF 垂直吗并说明理由;12、正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,当M 点在BC 上运动时,保持AM 和MN 垂直,1证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；2设BM x =,梯形ABCN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积；3当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△,求x 的值．13、如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,6cm AD =,4cm CD =,10cm BC BD ==,EDBCABC A点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动,速度为1cm/s ；同时,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD 于Q ,连接PE ．若设运动时间为t s 05t <<．解答下列问题： 1当t 为何值时,PE AB ∥2设PEQ △的面积为y cm 2,求y 与t 之间的函数关系式；3是否存在某一时刻t ,使225PEQ BCD S S =△△若存在,求出此时t 的值；若不存在,说明理由．4连接PF ,在上述运动过程中,五边形PFCDE 的面积是否发生变化说明理由．14、如图,已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与点B 重合．1求ABC △的面积；2求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；3若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为(012)t t ≤≤秒,矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围．15、△ABC 是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG ,使正方形的一条边DE 落在BC 上,顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上. Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa 和Ⅱb 的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解,只以Ⅱa 的解答记分.Ⅱa . 小聪想：要画出正方形DEFG ,只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE 的长,从而确定D 点和E 点,再画正方形DEFG 就容易了.设△ABC 的边长为2 ,请你帮小聪求出正方形的边长结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化 . Ⅱb . 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB 边上任取一点G ’,如图作正方形G ’D ’E ’F ’； ②连结BF ’并延长交AC 于F ；③作FE ∥F ’E ’交BC 于E ,FG ∥F ′G ′交AB 于G ,GD ∥G ’D ’交BC 于D ,则四边形DEFG 即为所求. 你认为小明的作法正确吗说明理由.ABCDEFG 图 1DE图 2ABC D EF G 图 3G ′ F ′E ′D ′16、如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若ABC固定不动,AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E点D不与点B重合,点E不与点C重合,设BE=m,CD=n.1请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.2求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.3以ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系如图12.在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD2＋CE2=DE2.42＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.。

中考数学难题归纳

一．选择题（共3小题）1．（1998•南京）若双曲线的两个分支在第二、四象限内，则抛物线y=kx2﹣2x+k2的图象大致是图中的（）大致是图中的（A．B．C．D．2．如图，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，那么下列结论成立的是（，那么下列结论成立的是（）OCA B B．△OAB∽△ODA A．△OAB∽△OCA C．△BAC∽△BDA D．以上结论都不成立．以上结论都不成立3．（2012•绵阳）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A．B． C．D．二．填空题（共11小题）4．（2012•黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S=1+2+3+…+98+99+100 ①S=100+99+98+…+3+2+1 ②①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050 请类比以上做法，回答下列问题：请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=_________．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直的坐标为 _________．径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为6．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点，PO=8cm，∠P=30°，则AB=_________cm．7．（2000•甘肃）如图，AB 是半圆的直径，直线MN 切半圆于C ，CM ⊥MN ，BN ⊥MN ，如果AM=a ，BN=b ，那么半圆的半径是那么半圆的半径是 _________ ．8．已知双曲线y=与直线y=相交于A ，B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，﹣n ）作NC ∥x 轴交双曲线y=于点E ，交BD于点C ．若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，则直线CM 的解析式为的解析式为 _________ ．9．如图，M 为双曲线y=上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m 于D 、C 两点，若直线y=﹣x+m 与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，则AD •BC 的值为的值为 _________ ．10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，若DE=6，则EF 等于等于 _________ ．11．（2012•金山区二模）金山区二模）如图，如图，如图，已知已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ，如果，那么=_________ ．12．如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD、AE于G、H，则BG：GH：HM=_________．13．（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为的长为 _________．14．（2013•芦淞区模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD= _________．三．解答题（共9小题）15．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．求证：FE=EH．16．把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2﹣3x+5，求b，c的值．的值．17．（2003•海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，﹣3）两点．）两点．，求此抛物线的解析式；（1）若抛物线的对称轴为直线x=﹣1，求此抛物线的解析式；的取值范围；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；的值．（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．18．（2000•杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值． 19．（原创题）如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．点所运动的路径长；（1）求O点所运动的路径长；围成的面积．（2）O点走过路径与直线L围成的面积．20．（2013•重庆）重庆）已知：如图，抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的交点为A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线AC 与抛物线交于A 、C 两点．两点．如图，的y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B 的坐标．的坐标．（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上是否存在一点P ，使得△BCP 为等腰三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．标；若不存在，说明理由．（3）若点Q 在直线AC 下方的抛物线上，且S △QOC =2S △BOC ，求点Q 的坐标．的坐标．21．（2014•徐州模拟）如图，已知抛物线y=﹣x 2+2x+1﹣m 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，连接CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求m 的值；的值；（2）求∠CDE 的度数；的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．的坐标；如果不存在，请说明理由．22．（2006•锦州）如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，四边形四边形OABC 为菱形，为菱形，点点C 的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M 、N （点M 在点N 的上方）．（1）求A 、B 两点的坐标；两点的坐标；（2）设△OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒（0≤t ≤6），试求S 与t 的函数表达式；的函数表达式；（3）在题（2）的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少？的面积最大？最大面积是多少？23．（2007•济宁）如图，先把一矩形ABCD 纸片对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线上，得到△ABE ，过B 点折纸片使D 点叠在直线AD 上，得折痕PQ ．（1）求证：△PBE ∽△QAB ；（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；上？为什么？（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？2南京）若双曲线的两个分支在第二、四象限内，则抛物线A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的性质．分析：的符号判断抛物线的开口方向及对称轴．根据双曲线的图象位置可知k＜0；再根据k的符号判断抛物线的开口方向及对称轴．解答：解：∵双曲线的两个分支在第二、四象限内，即k＜0，抛物线开口向下，∴抛物线开口向下，对称轴x=﹣=＜0，对称轴在y轴的左边．故选A．本题考查了反比例函数图象的性质和二次函数系数与抛物线形状的关系．点评：本题考查了反比例函数图象的性质和二次函数系数与抛物线形状的关系．A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODA C．△BAC∽△BDA D．以上结论都不成立上结论都不成立考点：相似三角形的判定．专题：常规题型．常规题型．根据已知及相似三角形的判定进行分析，从而得到答案．分析：根据已知及相似三角形的判定进行分析，从而得到答案．解答：解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x ∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x ∴，，∴∴△BAC∽△BDA 故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．3．（2012•绵阳）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．压轴题．专题：压轴题．分析：作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到===，设CD=1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．解答：解：作DE⊥AB于点E．∵∠CBD=∠A，∴tanA=tan∠CBD====，设CD=1，则BC=2，AC=4，∴AD=AC﹣CD=3，在直角△ABC中，AB===2，在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，∵AE2+DE2=AD2，∴x2+（2x）2=9，解得：x=，则DE=，AE=．∴BE=AB﹣AE=2﹣=，∴tan∠DBA==，∴sin∠DBA=．故选：A．本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．点评：本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．n=12．考点：有理数的混合运算．压轴题；规律型．专题：压轴题；规律型．根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．分析：根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．解答：解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n2+2n﹣168=0，即（n﹣12）（n+14）=0，解得n1=12，n2=﹣14（舍去）．故答案为：12．点评：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出方程是解题的关键．的坐标为（1，3）．的坐标为考点：垂径定理；勾股定理；平行四边形的性质．计算题．专题：计算题．分析：过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=4，过点C作CE⊥OA于点E，由勾股定理可求得MF的长，从而的坐标．得出OE的长，然后写出点C的坐标．解答：解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（8，0），∴CD∥OA，CD=OB=8 过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=4 过点C作CE⊥OA于点E，∵A（10，0），∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=5﹣4=1．连接MC，则MC=OA=5 ∴在Rt△CMF中，由勾股定理得∴点C的坐标为（1，3）本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．点评：本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．6．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点，PO=8cm，∠P=30°，则AB=6cm．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．的长，再解直角三角形并根据垂径定理即可求出．分析：首先作出辅助线，求出OD的长，再解直角三角形并根据垂径定理即可求出．解答：解：如图：作OD⊥AB于D，连接OB，因为∠P=30°所以OD=PO=×8=4cm 在直角三角形ODB中，BD===3cm 根据垂径定理，BD=AD，则AB=2BD=2×3=6cm．，根据垂径定理解答．点评：解答此题的关键是作出辅助线OD，根据垂径定理解答．7．（2000•甘肃）如图，AB是半圆的直径，直线MN切半圆于C，CM⊥MN，BN⊥MN，如果AM=a，BN=b，那么半圆的半径是．半圆的半径是考点：梯形中位线定理；切线的性质．分析：根据切线的性质，只需连接OC．根据切线的性质定理以及平行线等分线段定理得到梯形的中位线，再根据梯形的中位线定理进行计算即可．梯形的中位线定理进行计算即可．解答：解：连接OC，则OC⊥MN．∴OC∥AM∥BN，又OA=OB，则MC=NC．根据梯形的中位线定理，得该半圆的半径是．点评：此题主要是根据切线的性质定理和平行线等分线段定理，发现梯形的中位线，进而熟练运用梯形的中位线定理求解．定理求解．8．已知双曲线y=与直线y=相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，﹣n）作NC∥x轴交双曲线y=于点E，交BD于点C．若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，则直线CM的解析式为的解析式为 y=．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．动点型．专题：动点型．根据一次函数和反比例函数的性质及点的坐标和解析式的关系解答．分析：根据一次函数和反比例函数的性质及点的坐标和解析式的关系解答．解答：解：设B点坐标为（x1，﹣），代入y=x得，﹣=x1，x1=﹣2n；∴B点坐标为（﹣2n，﹣）．因为BD∥y轴，所以C点坐标为（﹣2n，﹣n）．因为四边形ODCN的面积为2n•n=2n2，三角形ODB，三角形OEN的面积均为，四边形OBCE的面积为4．则有2n2﹣k=4﹣﹣﹣①；又因为2n•=k，即n2=k﹣﹣﹣②②代入①得，4=2k﹣k，解得k=4；则解析式为y=；又因为n2=4，故n=2或n=﹣2．M在第一象限，n＞0；将M（m，2）代入解析式y=，得m=2．故M点坐标为（2，2）；C（﹣4，﹣2）；设直线CM解析式为y=kx+b，则，解得∴一次函数解析式为：y=x+．点评：解答本题要明确两个关系：（1）双曲线中，xy=k；（2）S△DBO=|k|．9．如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴、x轴分别交于点A、B，则AD•BC的值为的值为 2．考点：反比例函数综合题．综合题．专题：综合题．分析：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图所示，根据直线y=﹣x+m，表示出A与B坐标，可得出三角形OAB 为等腰直角三角形，进而确定出三角形ADF与三角形CEB都为等腰直角三角形，设M（a，b），代入反比的值．例解析式得到ab=，CE=b，DF=a，表示出AD与BC，即可求出AD•BC的值．解答：解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，，如图，对于y=﹣x+m，令x=0，得到y=m；令y=0，得到x=m，∴A（0，m），B（m，0），为等腰直角三角形，∴△OAB为等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，∴△ADF与△CEB都是等腰直角三角形，设M（a，b），则ab=，CE=b，DF=a，∴AD=DF=a，BC=CE=b，∴AD•BC=a•b=2ab=2．故答案为：2．点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，反比例函数的性质，以及矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．质，以及矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．10．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于F，若DE=6，则EF等于等于 2．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．再根据相似三角形的对应边成比例可得出．中点，解答：解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴=，∴，即，解得EF=2，故答案为2．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．11．（2012•金山区二模）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么=．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：的值．根据角平分线的定义，平行线的性质易证EA=ED，△CED∽△CAB，从而求得的值．的角平分线，解答：解：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA．∴∠EDA=∠EAD，∴EA=ED，∵=，∴ED：EC=2：3，∴=ED：EC=2：3．故答案为：．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边对应成比例，同时考查了角平分线的定义．12．如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD、AE于G、H，则BG：GH：HM= 5：3：2．考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理．分析：首先过点M作MK∥BC，交AD，AE分别于K，N，由M是AC的中点与D、E是BC的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MN=NK=BD=DE=EC，然后根据比例的性质，即可求得BG：GH：HM的值．的值．解答：解：法一：过点M作MK∥BC，交AD，AE分别于K，N，∵M是AC的中点，的中点，∴=，的三等分点，∵D、E是BC的三等分点，∴BD=DE=EC，∴MN=NK，∵=，=1，∴MH=BH，MG=BG，设MH=a，BH=4a，BG=GM=，∴GH=GM﹣MH=，∴BG：GH：HM=：：a=5：3：2．故答案为：5：3：2．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．意数形结合思想的应用．13．（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的长为．的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为考点：翻折变换（折叠问题）．压轴题．专题：压轴题．即可．分析：首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．解答：解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，的中点处，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．AC=，ACD=．考点：解直角三角形．分析：在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．解答：解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B==．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．考点：圆周角定理．证明题．专题：证明题．分析：首先连接AH，由AD⊥BC，BH⊥AC与∠AFE=∠BFD，即可得∠EAF=∠FBD，又由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠HAC=∠HBC，即可得∠HAE=∠F AE，则可用ASA证得△AEF≌△AEH，继而证得FE=EH．解答：证明：连接AH，∵AD⊥BC，BH⊥AC，∴∠FDB=∠AEF=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠HAC=∠HBC，∴∠HAE=∠EAF，∵BH⊥AC，∴∠AEF=∠AEH=90°，中，在△AEF和△AEH中，∴△AEF≌△AEH（ASA），∴FE=EH．点评：此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．16．把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2﹣3x+5，求b，c的值．值．考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出y=x2﹣3x+5的顶点坐标，再根据“左加右减”求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，整理成二次函数的一般形式，再根据对应项系数相等解答．式写出，整理成二次函数的一般形式，再根据对应项系数相等解答．解答：解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，∴y=x2﹣3x+5的顶点坐标为（，），个单位，∵向右平移3个单位，向下平移2个单位，∴平移前的抛物线的顶点的横坐标为﹣3=﹣，纵坐标为+2=，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴平移前的抛物线为y=（x+）2+=x2+3x+7，∴b=3，c=7．点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据两个函数图象的顶点坐标确定平移方法更简便，要注意知道平移后的顶点坐标求平移前的顶点坐标的方法．平移后的顶点坐标求平移前的顶点坐标的方法．17．（2003•海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，﹣3）两点．）两点．，求此抛物线的解析式；（1）若抛物线的对称轴为直线x=﹣1，求此抛物线的解析式；的取值范围；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；的值．（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．考点：二次函数综合题．压轴题．专题：压轴题．分析：（1）可将A、M的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c的值，再根据抛物线的对称轴为﹣1，即可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式．的值，也就确定了抛物线的解析式．的取值范围．（2）抛物线的对称轴在y轴左侧，即抛物线对称轴方程小于0，由此可得出a的取值范围．（3）可设出B、C的坐标，如果∠BAC=90°，在直角三角形BAC中，可根据射影定理得出OA2=OC•OB，的值．据此可得出a的值．解答：解：将A、M的坐标代入抛物线的解析式中有：的坐标代入抛物线的解析式中有：，解得：∴抛物线的解析式为y=ax2﹣（2+2a）x+1．（1）∵x=﹣=﹣1，∴=﹣1，解得a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+1．（2）由题意知：x=﹣＜0，即﹣＜0；抛物线开口向下，∵抛物线开口向下，∴a＜0 ∴1+a＞0，且a＜0 ∴﹣1＜a＜0．（3）设B（x1，0），C（x2，0），x1＜x2；∵x1x2=，且a＜0．轴正半轴；∴x1x2＜0，即B在x轴负半轴，C在x轴正半轴；∴OB=﹣x1，OC=x2．∵∠BAC=90°，，根据射影定理可得：在直角三角形BAC中，AO⊥BC，根据射影定理可得：OA2=OB•OC=﹣x1•x2=1，即﹣=1，a=﹣1．本题主要考查了抛物线对称轴解析式、二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理等知识．点评：本题主要考查了抛物线对称轴解析式、二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理等知识．18．（2000•杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．考点：正多边形和圆．分析：根据正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半，所以只需根据它们的周长计算其边心距；在由正多边形的半径、边心距和边长组成的直角三角形中，根据锐角三角函数的概念可以分别求得它们的边心距，再进一步计算其面积，从而得到其比值．再进一步计算其面积，从而得到其比值．．根据题意，得解答：解：设它们的周长是1．根据题意，得正三角形的边长是，正六边形的边长是．则正三角形的边心距是，正六边形的边心距是．则正三角形的面积是，正六边形的面积是．则它们的面积比是2：3．点评：熟悉正多边形的面积公式：正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半．能够根据由半径、边心距和半边组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行计算．半边组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行计算．19．（原创题）如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．点所运动的路径长；（1）求O点所运动的路径长；围成的面积．（2）O点走过路径与直线L围成的面积．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．本题一共转动了三次，关键是分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式求．分析：本题一共转动了三次，关键是分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式求．解答：解：（1）运动路径第一段弧长=，第二段路径为线段长为，第三段路径为，即O在L上运动路径为．）围成面积，（2）围成面积，S1=．本题的难点是第二次，实际上就是扇形的弧长，其它二次则简单．点评：本题的难点是第二次，实际上就是扇形的弧长，其它二次则简单．20．（2013•重庆）重庆）已知：如图，抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的交点为A、B两点，与y轴交于点C，直线AC与抛两点．物线交于A、C两点．如图，的y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．的坐标．（1）求点B的坐标．（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上是否存在一点P，使得△BCP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．存在，说明理由．的坐标．（3）若点Q在直线AC下方的抛物线上，且S△QOC=2S△BOC，求点Q的坐标．考点：二次函数综合题．压轴题．专题：压轴题．分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），点的坐标；根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x ﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程的坐标；求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．长度的最大值．解答：解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，两点，对称，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；）代入，②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．21．（2014•徐州模拟）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+1﹣m与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，连接CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E．（1）求m的值；的值；的度数；（2）求∠CDE的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．综合题．专题：综合题．的值．分析：（1）由于抛物线的解析式中只有一个未知数m，因此只需将C点的坐标代入抛物线中即可求出m的值．（2）此题可首先表示出抛物线的顶点式，就可以求出D点的坐标，然后过C点作DE的垂线CF，在△DCF的度数；中根据C、D、F三点的坐标求出DF和CF长度相等，得出∠CDE的度数；的坐标．（3）利用二次函数的对称性可求出，以及利用线段垂直平分线的性质求出P的坐标．解答：（1）∵抛物线过点C（0，3）∴1﹣m=3 ∴m=﹣2 （2）由（1）可知该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 ∴此抛物线的对称轴x=1 抛物线的顶点D（1，4）过点C作CF⊥DE，则CF∥OE ∴F（1，3）所以CF=1，DF=4﹣3=1 ∴CF=DF 又∵CF⊥DE ∴∠DFC=90°∴∠CDE=45°）存在．（3）存在．的对称点时，①延长CF交抛物线于点P1，则CP1∥X轴，所以P1正好是C点关于DE的对称点时，有DC=DP1，得出P1点坐标（2，3）；由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．②若以CD为底边，则PD=PC，，根据两点间距离公式，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．）在抛物线上，又∵P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，，应舍去；解得：x=，＜1，应舍去；∴x=，∴y=4﹣x=则P2点坐标（，）．∴符合条件的点P坐标为（，）和（2，3）．点评：此题主要考查了二次函数的对称性，以及等腰三角形的判定方法和垂直平分线的性质等知识，题目综合性较强，是中考中热点题型．较强，是中考中热点题型．22．（2006•锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．两点的坐标；（1）求A、B两点的坐标；的函数表达式；（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？的面积最大？最大面积是多少？。

中考数学经典难题

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤l ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。

历年中考数学难题及答案汇编

应用题20．（本小题满分8分）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=⨯利润成本）22．（本小题满分10分）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368y x =-+，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？20.（9分）某项工程，甲工程队单独完成任务需要40天．若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天就恰好完成任务．请问：（1）（5分）乙队单独做需要多少天才能完成任务？（2）（4分）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x 天，乙队做另一部分工程用了y 天．若x 、y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到 70天，那么两队实际各做了多少天？3、某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的y 2售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

中考数学经典难题集锦

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：1≤L ＜中考数学经典难题集锦2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。

初中数学中考数学经典难题

初中数学中考数学经典难题1. 引言中考是初中学生在数学学科中的重要考试，具有很高的挑战性。

在中考数学中，经典难题是考生必须要面对的。

这些难题既考察了学生的思维逻辑能力，又考察了他们对数学知识的掌握程度。

本文将介绍一些中考数学的经典难题，并提供答案和解析，帮助学生更好地应对这些难题。

2. 题目1：直角三角形的性质题目：已知直角三角形ABC，∠B=90°，AC=5cm，BC=12cm，求∠A和∠C的大小。

解析：根据直角三角形的性质，∠A + ∠C = 90°。

我们可以通过三角形的正弦定理求解此题。

根据正弦定理，我们有：sin(∠A) = AC / BC = 5 / 12所以，∠A = arcsin(5 / 12) ≈ 23.6°根据∠A + ∠C = 90°，我们可以得出，∠C = 90° - ∠A ≈ 66.4°所以，∠A ≈ 23.6°，∠C ≈ 66.4°3. 题目2：解线性方程组题目：解方程组： 2x + 3y = 8 3x - 2y = 5解析：我们可以使用消元法或代入法来解决此题。

让我们使用代入法来解决它。

我们可以将第一个方程写为x = (8 - 3y) / 2，并将其代入第二个方程中。

3(8 - 3y) / 2 - 2y = 5解方程得到：24 - 9y - 4y = 10-13y = -14y = 14 / 13 ≈ 1.08将y的值代入第一个方程中，解出x：2x = 8 - 3(1.08)2x ≈ 4.76x ≈ 2.38所以，方程组的解为x ≈ 2.38，y ≈ 1.08。

4. 题目3：三角形的面积计算题目：已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，∠B = 60°，求三角形ABC的面积。

解析：我们可以使用正弦定理来求解三角形的面积。

根据正弦定理，我们有：sin(∠A) / AB = sin(∠B) / BCsin(∠A) / 5 = sin(60°) / 8sin(∠A) = 5 * sin(60°) / 8sin(∠A) ≈ 0.72由此，我们可以解出∠A ≈ arcsin(0.72) ≈ 46.3°所以，三角形ABC的面积为(1 / 2) * AB * BC * sin(∠B) = (1 / 2) * 5 * 8 * sin(60°) ≈ 17.32cm²5. 题目4：平方根的求解题目：求解方程x² + 5x + 4 = 0的解。

九年级数学中考刷题北京十区2022-2033大题难题集合整理

昌平2022-202321．（6分）已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F 是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）如果正方形边长为2，求BG的长．24．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，AD＝AC，连接CD，点E 是CB上一点，CE＝DB，过点E作CD的垂线分别交CD，AB于F，G．（1）依题意补全图形；（2）∠BCD＝α，求∠CAB的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AG，AC，BC之间的数量关系，并证明．25．（7分）已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．（1）若C（﹣2，0）．①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是；②若直线y＝kx+（k≠0）．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；（2）点C在线段AB上，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．大兴2022-202324．（6分）如图，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，点C为的中点，过点A作MN ⊥BC交BC的延长线于点D．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．25．（6分）抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点E到点A的距离AE＝x（单位：m），点E到桥拱顶面的竖直距离EF＝y（单位：m）．x，y近似满足函数关系y＝ax2+bx（a＜0）．通过取点，测量，得到x与y的几组对应值，如下表：x（m）01234y（m）0 1.252 2.252（1）桥拱顶面离水面AB的最大高度为m；（2）根据上述数据，求出满足的函数关系y＝ax2+bx和水面宽度AB的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，1），B（0，﹣3）都在抛物线y＝ax2+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线y＝ax2+c（a≠0），使得平移后抛物线的顶点为P（m，n）（m＞0），已知点C（x1，y1）在原抛物线上，点D（x2，y2）在平移后的抛物线上，且C，D两点都位于直线x＝m的右侧．当S△OPB＝3时，若对于x1＝x2，都有y1＞y2，求n的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AE⊥BC于点E，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AD，连接BD交AE于点F．（1）依题意补全图形；（2）求∠AFD的度数；（3）求证：DF＝AE．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：P为⊙O上一点，过点P作直线y＝﹣x+b，交x轴于点Q，称点Q为点P的“关联点”．（1）如图，A（1，0），B（0，1），若点P在上，且的长为π，则∠AOP＝°，点P的“关联点”点Q的坐标是；（2）求点P的“关联点”点Q的横坐标的最小值；（3）若线段PQ的长为，直接写出这时点P的“关联点”点Q的横坐标的最大值和最小值．2022-2023房山24．（6分）如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，4），一次函数y＝﹣x+2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B．（1）求m的值；（2）点C（x C，y C）是y＝（x＜0）图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线y＝﹣x+2于点E．①当x C＝﹣2时，判断CD与CE的数量关系，并说明理由；②当CE≥CD时，直接写出x C的取值范围．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．（1）求证：BC是∠ABD的平分线；（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．27．（6分）已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．点D为平面上一点，使得∠BDA＝90°．点P为BC中点，连接DP．（1）如图，点D为△ABC内一点．①猜想∠BDP的大小；②写出线段AD，BD，PD之间的数量关系，并证明；（2）直接写出线段CD的最大值．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作⊙M．取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线y＝x2．①若点A横坐标为﹣2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为；②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+a，若点A在直线y＝﹣4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．2022-2023门头沟25．（6分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D 作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果，DE＝1，求AB的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+1（a＜0）上，其中x1＜x2，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当t＝1时，如果y1＝y2＝1，直接写出x1，x2的值；（2）当x1＝﹣1，x2＝3时，总有y2＜y1＜1，求t的取值范围．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交AC于点F．（1）如图1，当AC＝BC时，①依题意补全图1，猜想∠ADC与∠CAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BF，EF的数量关系，并证明．（2）如图2，当AC＝mBC（m＞0）时，直接用含m的等式表示线段BF，EF的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1•x2＝y1•y2时，称点N是点M的等积点．已知点M（1，2）．（1）在Q1（6，3），Q2（3，﹣1），Q3（﹣4，﹣2）中，点M的等积点是；（2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；（3）已知点P（6，2），Q（2，a），⊙Q的半径为1，连接MP，点A在线段MP上．如果在⊙Q上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．2022-2023密云24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD与AB交于点E，CE＝ED，延长AB至F，连接DF，使得∠CDF＝2∠CAE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知BE＝1，BF＝2，求⊙O的半径长．26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）．（1）若抛物线经过点A（2，0），求抛物线的对称轴；（2）已知抛物线上有四个点B（﹣1，y1），C（1，y2），D（3，y3），E（m，0），且2＜m＜4．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合），∠ADE＝60°，AD＝DE，连接CE．（1）判断CE与AB的位置关系，并证明；（2）过D过DG⊥AB，垂足为G．用等式表示DG，AG与DC之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，O、M、P三点不在同一条直线上，将线段OM平移得到线段PP1，（其中P，P1分别是O，M的对应点），延长PO至P2，使得OP2＝2OP，连接P1P2，交OM于点Q，称Q为点P关于线段OM的关联点．（1）如图，点M（1，2），P（2，0），点Q为点P关于线段OM的关联点．①在图中画出点Q；②求证：OQ＝2QM；（2）已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一动点，O，M，P三点不在同一条直线上，OP ＝3，点P关于线段OM的关联点为Q．求P2Q的取值范围．2022-2023平谷区24．（6分）如图，已知锐角∠ABC，以AB为直径画⊙O，交BC边于点M，BD平分∠ABC 与⊙O交于点D，过点D作DE⊥BC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE交BD于点F，若∠ABC＝60°，AB＝4，求DF长．27．（7分）如图，△ABC中，D为AC边中点，E为BC延长线上一点，连接ED并延长，使DF＝ED，连接BF．（1）依题意补全图形；（2）连接BD，若CE2+BF2＝AB2，猜想BD与DE的数量关系，并证明．28．（7分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”，（1）已知点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是；（2）⊙O的圆心O（﹣，1）半径为，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，求t的取值范围；（3）⊙O的圆心O（m，1）（m＜0）半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围（用含m的式子表示）．2022-2023石景山25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）在抛物线y＝ax2+c（a＞0）上，抛物线与x轴有两个交点B（x1，0），C（x2，0），其中x1＜x2．（1）当a＝1，m＝﹣3c时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点D（x1+3，n）在抛物线上，若m＞n＞0，求x1的取值范围．27．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．（1）求∠DEB的度数；（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是；（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；（3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．2022-2023顺义23．（6分）如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处（不与B、C重合），折痕为EF．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）若BD＝6，DC＝2，分别求△BDE，△CFD的周长；（3）在（2）的条件下，求BE的长．27．（7分）已知：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，DF平分∠ADC，交线段AE 于点F．（1）如图1，若AE＝AD，延长EA到点G，使得AG＝BE，连结DG，依题意补全图形并证明DG＝AB；（2）在（1）的条件下，用等式表示线段CD，AF，BE之间的数量关系，并证明；（3）如图2，若AE：AD＝1：2，用等式表示线段CD，AF，BE之间的数量关系，直接写出结果．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形M上存在一点P，将点P先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点Q，若点Q在图形N上，则称图形M与图形N 成“斜关联”．（1）已知点A（﹣2，1），B（﹣2，2），C（﹣1，2），D（﹣1，1）．①点A与B、C、D中的哪个点成“斜关联”？②若线段AB与双曲线y＝（k≠0）成“斜关联”，求k的取值范围；（2）已知⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直线l的表达式为y＝x+6，若⊙T与直线l成“斜关联”，请直接写出t的取值范围．2022-2023通州26．（7分）如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠A＝60°时，在⊙O上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．27．（7分）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标x E的取值范围．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），（1）d（点A，点B）＝，d（点A，线段BC）＝；（2）⊙O半径为r，①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝；②若d（⊙O，△ABC）＝1，求⊙O的半径r的长．2022-2023燕山24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：EF为⊙O的切线．（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）则为抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上任意两点，其中x1＜x2．（1）求该抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）；（2）当M，N的坐标分别为（0，﹣3），（2，﹣3）时，求m的值；（3）若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，求m的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，作∠CAD的角平分线AE交BC的延长线于点E，连接CD，DE．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEC的度数；（2）用等式表示线段AE，BE，DE之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN＝90°，且MP＝MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”．（1）已知点A（0，4），B（4，4），①在点M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2）中，是点O关于点A的“旋垂点”的是；②若点M（m，n）是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；（2）直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为，圆心为T（t，0）．若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ＝，直接写出t的取值范围．。

中考数学旋转(大题培优易错难题)及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .在由△ ABC中,AB=BC=5, Z B=90%将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点.处,将三角板绕点0旋转,三角板的两直角边分别交AB, BC或其延长线于E, F两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.〔1〕三角板绕点0旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形？假设能,指出所有情况〔即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长〕：假设不能,请说明理由：〔2〕三角板绕点0旋转,线段0E和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证实：〔3〕假设将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处〔如图③〕,当AP:AC=L4时,PE和PF 有怎样的数量关系？证实你发现的结论.【解析】【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF 的长度,即可推出BF 的长度；【小题2】连接0B,由己知条件推出△ OEB合么OFC,即可推出OE=OF：【小题3］过点P做PM±AB, PN±BC,结合图形推出△ PNF~ & PME, △ APM- △ PNC,继而推出PM： PN=PE： PF, PM： PN=AP： PC,根据条件即可推出PA： AC=PE： PF=1： 4.2 .在平面直角坐标中,边长为2的正方形OA8C的两顶点A、C分别在y轴、X轴的正半轴上,点.在原点.现将正方形.48c绕.点顺时针旋转,当A点一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,A5边交直线〕'='于点M边交汇轴于点N 〔如图〕.〔1〕求边04在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕旋转过程中,当和AC平行时,求正方形O43C旋转的度数:(3)设AM3N的周长为P,在旋转正方形O45C的过程中,〃值是否有变化？请证实你的结论. 【答案】(1)n/2(2) 22.5.⑶周长不会变化,证实见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边0A在旋转过程中所扫过的面积：(2)解决此题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出NAOM的度数：(3)利用全等把△ MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) TA点第一次落在直线y=x上时停止旋转,直线y=x与y轴的夹角是45.,/. 0A 旋转了45°.0A在旋转过程中所扫过的面积为土」=-.360 2(2) •/ MNII AC,・•. Z BMN=Z BAC=45% Z BNM=Z BCA=45°./. Z BMN=Z BNM. /. BM=BN.又YBA=BC, A AM=CN.又；OA=OC, Z OAM=Z OCN, △ OAM合△ OCN./. Z A0M=Z CON=- (Z AOC-Z MON ) =- (90°-45°) =22.5°.2 2旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45.-22.5.=22.5..(3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.证实：延长BA交y轴于E点,那么N AOE=45°-Z AOM, Z CON=90°-45°-Z AOM=450-Z AOM,・•. Z AOE=Z CON.又：OA=OC, Z OAE=180o-90o=90°=Z OCN.:, & OAE2 A OCN.「.OE=ON, AE=CN.文:Z MOE=Z MON=45°, 0M=0M,「・△ OME2△ OMN. /. MN=ME=AM+AE.・•, MN=AM+CN,/. p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4...・在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.考点：旋转的性质.3.己知：如图1,将两块全等的含30.角的直角三角板按图所示的方式放置,N 84c=N 8MiC=30°,点8, C, 8］在同一条直线上.(1)求证：AB=2BC(2)如图2,将△ABC绕点C顺时针旋转凌.(0Va<180),在旋转过程中,设AB与AiC. AiB】分别交于点D、E, AC与A】Bi交于点F.当骏等于多少度时,AB与A X B工垂直？请说明理由.〔3〕如图3,当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如下图的位置,使ABIICBi,AB与AK 交于点D,试说明A1D=CD.【答案】〔1〕证实见解析〔2〕当旋转角等于30.时,AB与AiBa垂直.〔3〕理由见解析【解析】试题分析：⑴由等边三角形的性质得八8=88］,又由于8B1=2BC,得出A8=28C;⑵利用AB与AiBi垂直得N AiED=90°,那么N AQE=90°-N Ai=60°,根据对顶角相等得Z BDC=60.,由于N B=60°,利用三角形内角和定理得N A1CB=180°-Z BDC-Z B=60°,所以N ACA】=90.-/AiCB=30.,然后根据旋转的定义得到旋转角等于30.时,AB与AiBi垂直：⑶由于ABIICB］, N ACBF90.,根据平行线的性质得N ADC=90.,在由△ ADC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=L AC,再根据旋转的性质得AC=AC 所以2CD=-AiC,贝ljAiD=CD.2试题解析：（1）.「△488］是等边三角形；AB=BBi•/ 881=2BCAB=2BC〔2〕解：当AB 与AiBi垂直时,Z AiED=90%・•, Z A1DE=90°-Z A F900-30°=60°,Z B=60% ?. Z BCD=60%/. Z ACAi=90°-60c=30°,即当旋转角等于30.时,AB与A】B,垂直.〔3〕 ABII CBi, Z ACBi=90%/. Z CDB=90°,即CD 是△ ABC 的高,设BC=.,AC=.,贝lj由〔1〕得AB=2fl, ,7 ^WRC = — BCxAC = — ABxCD.UBC 2 2即［=k2axeO2 2CD = -b 9即CD=-!-AiC,2 2/. AiD=CD.【点睛】此题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中央的距离相等: 对应点与旋转中央的连线段的夹角等于旋转角.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.4.:在△ ABC中,BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究以下问题：〔1〕如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且N ACB=60.,那么CD=—: 〔2〕如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且N ACB=90.,那么CD=_；〔3〕如图3,当NACB 变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的N ACB的度数.【答案】〔1〕3\产：〔2〕 3、伸-3\4 ㈠〕当NA CB=120.时,CD有最大值是a+b.【解析】【分析】〔1〕a=b=3,且NACB=60.,△ ABC是等边三角形,且CD是等边三角形的高线的2倍,据此即可求解；〔2〕 a=b=6,且NACB=90.,△ ABC是等腰直角三角形,且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差：〔3〕以点D为中央,将△ DBC逆时针旋转60.,那么点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b.【详解】（1）/ a=b=3,且NACB=60°,「. △ ABC是等边三角形,3//. 0C= 2 ,/. CD=3、3：（2）石-3©〔3〕以点D 为中央,将△ DBC 逆时针旋转60., 那么点B 落在点A,点C 落在点E.连接AE, CE, CD 有最大值是a+b.此题主要考查了等边三角形的性质,以及轴对称的性质,正确理解CD 有最大值的条件, 是解题的关键.5.在△ ABC 中,AB=AC, Z A=30°,将线段BC 绕点B 逆时针旋转60.得到线段BD,再将线段BD 平移到EF,使点E 在AB 上,点F 在AC 上.〔1〕如图1,直接写出N ABD 和NCFE 的度数；〔2〕在图1中证实:AE=CF ；〔3〕如图2,连接CE,判断4CEF 的形状并加以证实.□ 1 口2【答案】(1)15% 45.： (2)证实见解析：(3) 4CEF 是等腰直角三角形,证实见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到N ABC 的度数,由旋转的性质得到/ DBC 的度数,从・•・A CDE 为等边三角CE=CD.当点E 、A 、C 不在一条直线上时,有 CD=CE<AE+AC=a+b ；当点E 、A 、C 在一条直线上时,CD 有最大值,CD=CE=a+b ：只有当N ACB=120°时,Z CAE=180%即A 、C 、E 在一条直线上,此时AE 最大【点/. Z ACB=120°, 因此当N ACB=120°时,而得到NABD的度数；根据三角形外角性质即可求得NCFE的度数.(2)连接CD、DF,证实△ BCD是等边三角形,得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而ABH FD,证实△ AEF合△ FCD即可得AE=CF.(3)过点E作EG J_CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即可证实△ CEF是等腰直角三角形.(1) :在△ ABC 中,AB=AC, ZA=30% Z ABC=75°.•将线段BC绕点B逆时针旋转60.得到线段BD,即NDBC=60..NABD=15../. Z CFE=Z A+Z ABD=45°.(2)如图,连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD, /. BD=BC, Z CBD=60°. △ BCD是等边三角形.「・CD=BD.・「线段BD平移到EF,・・.EFII BD, EF=BD.四边形BDFE是平行四边形,EF=CD.「AB = AC, Z A=30°, /. Z ABC=Z ACB=75°. /. Z ABD=Z ACD=15°.,•,四边形BDFE是平行四边形…♦・ABH FD. /. Z A=Z CFD.:■ & AEF合△ FCD (AAS)./. AE=CF.(3) ZkCEF是等腰直角三角形,证实如下：如图,过点E作EG_LCF于G,: Z CFE =45°, /. Z FEG=45°. /. EG=FG.1EG =耳AEZ A=30°, NAGE=90°,「・2・1 1EG = £：F FG = KFV AE=CF,「. 2 . /. 2.・.G为CF的中点.「.EG为CF的垂直平分线.EF=EC./. Z CEF=Z FEG=90°.・•.△ CEF是等腰直角三角形.考点：1 •旋转和平移问题：2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质：5.平行四边形的判定和性质：6.全等三角形的判定和性质；7.含30度直角三角形的性质：8.垂直平分线的判定和性质：9.等腰直角三角形的判定.6.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上〔如图1〕.现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交DF于点M, BC边交DG于点N.〔1〕求边DA在旋转过程中所扫过的面积：〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时〔如图2〕,求正方形ABCD旋转的度数；〔3〕如图3,设AMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化？清证实你的结论.71【答案】〔1〕2 〔2〕 225°；〔3〕不变化,证实见解析.【解析】试题分析：〔1〕将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,DA旋转了45°,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时,根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为22.5.〔3〕延长BA交DE轴于H点,通过证实/D4〃三4DCN和/DM〃三4DMN可得结论.〔1〕;A点第一次落在DF上时停止旋转,「.DA旋转了45°.457r x 22 7TDA在旋转过程中所扫过的而积为360― 一2〔2〕 ,/ MN II AC, = ^-BAC = 45° Z./7/VM = ZBC4=45°.乙BMN =乙BNM . BM = BN・•・• • •T7.. BA = BC . AM = CN • ,・・•T7..DA = DC,4AM =乙DCN . ADAM=ADCN• /• • •1"DM = k〔900 - 45°〕 = 22.5°.L ADM=乙CDN . 2••• ・• •厂.旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形ABCD旋转的度数为45°-22.5.= 22.5.⑶不变化,证实如下：如图,延长BA交DE轴于H点,那么LADE = 45° - LADM L CDN = 900 - 45° - L ADM = 450 - L ADM,,.LADE =乙CDN•• •T7.. DA = DC^DAH = 1800-90° = 90° = LDCN . ADAH^ADCN • •• • •.DH = DN f AH = CN•• ♦..〔MDE =乙MDN = 45°刀M = DM . ADMHwADMNv.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CNp = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB + BC = 4,在旋转正方形ABCD的过程中,P值无变化.考点：1 ,而动旋转问题：2.正方形的性质：3,扇形面积的计算：4.全等三角形的判定和性质.7.思维启迪：(1)如图1, A, B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A, B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个方法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P (点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CDII AB,思维探索：(2)在4ABC 和4ADE 中,AC=BC. AE = DE,且AE<AC,Z ACB = Z AED =90.,将△ ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ ADE的位置作为起始位置 (此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为a,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC, PE.①如图2,当△ ADE在起始位置时,猜测：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3,当a = 90.时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证实你的结论：③当a=150.时,假设BC = 3, DE=I,请直接写出PC?的值.【答案】(1) 200： (2)①PC=PE, PC_LPE：②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PC±PE,见解析：@PC2=-1()+ 3-.2【解析】【分析】(1)由CDIIAB,可得NC=NB,根据N APB=N DPC即可证实△ ABP2△ DCP,即可得AB = CD,即可解题.(2)①延长EP交BC于F,易证△ FBP合△ EDP (SAS)可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC=PE, PCXPE.②作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,易证△ FBP合△ EDP (SAS),结合得BF = DE=AE,再证实△FBCW △ EAC (SAS),可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC = PE, PC±PE.③作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H 点,由旋转旋转可知,Z CAE = 150", DE与BC所成夹角的锐角为30.,得N FBC = N EAC, 同②可证可得PC=PE, PC_LPE,再由己知解三角形得J. EC2=CH2+HE2=1O + 3JJ,即可求出尸C2=9EC2 = 1()-3丫’3 2 2【详解】(1)解:丁CDII AB, J Z C=Z B,在仆ABP和aDCP中,BP = CPZAPB = NDPC,/B = /C:■ & ABP合△ DCP (SAS),DC=AB.AB = 200 米.・•・CD=200米,故答案为：200.(2)①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PCXPE.理由如下：如解图1,延长EP交BC于F,同(1)理,可知,△ FBP合 & EDP (SAS),/. PF=PE, BF = DE,又,.,AC=BC, AE = DE,FC=EC,又•・・Z ACB = 90\EFC是等腰直角三角形,・/ EP = FP,・・.PC=PE, PCJLPE.®PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC = PE, PC±PE.理由如下：如解图2,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF, 同①理,可知△ FBP2△ EDP (SAS),・・.BF = DE. PE = PF=-EF, 2・/ DE=AE,/. BF = AE,・••当a=90.时,Z EAC=90°,ED II AC, EAII BCFBII AC, Z FBC=90,・•・ Z CBF=Z CAE,在^ FBC和^ EAC中,BF = AE< NCBE = NCAE ,BC = AC:■ & FBC合 ' EAC (SAS),・•. CF = CE, Z FCB = Z EC A,•/ Z ACB = 90°,/. Z FCE = 90°,△ FCE是等腰直角三角形,・/ EP = FP,CP±EP, CP = EP=-EF.2③如解图3,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H点,当a=150.时,由旋转旋转可知,Z CAE = 150°, DE与BC所成夹角的锐角为30.,・•・ Z FBC=Z EAC=a=150°同②可得^ FBP24 EDP (SAS),同②△ FCE是等腰直角三角形,CPJ_EP, CP = EP=』±CE,2在RSAHE 中,NEAH = 30.,AE=DE=1,HE=- , AH=叵,2 2又< AC=AB=3,/. CH=3+正,2・•, EC2=CH2+HE2=IO +3>/3【点睛】此题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30.直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.8.小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ ABC, △ DEF均为等腰直角三角形, 各顶点坐标分别为 A (1, 1) , B (2, 2) , C (2, 1) , D ( 0) , E( 2五,0),〔1〕他们将△ ABC绕C点按顺时针方向旋转45.得到△ AiBiC.请你写出点A］,Bi的坐标,并判断A】C和DF的位置关系：〔2〕他们将△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = 2g?+bx+c±.请你求出符合条件的抛物线解析式：〔3〕他们继续探究,发现将△ ABC绕某个点旋转45,假设旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = x?上,那么可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的所有坐标.A】C和DF的位置关系是平行.〔2〕•/ △ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为^ DEF,2 应x〔扃+>/Ib + c = O①当抛物线经过点D、E时,根据题意可得：｛, ,解得2 应x〔2 回一+ 2回+ c=0b = -12(=8万A y = 2>/2x2-12x+8x/2 .2 五x(近忘b + c = o②当抛物线经过点D、F时,根据题意可得：｛(3①丫372 点,解得I 2 J 2 2b = -llL = 7-72y = 2V2x2-llx+7>/2.2耳〔2⑸+2岳+ c = 0③当抛物线经过点E、F时,根据题意可得：｛〔30丫35/22ax --- +---b + c =-2 2J 乙b = -13'c = 10 应y = 2x/2x2-13x + 10x/2 .〔3〕在旋转过程中,可能有以下情形：①顺时针旋转45.,点A、B落在抛物线上,如答图1所示,易求得点p坐标为〔o, Lz叵〕. 2②顺时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图2所示,设点夕,.的横坐标分别为右,X2,易知此时BC与一、三象限角平分线平行,.•.设直线BC的解析式为y=x+b.联立丫f2与丫=乂+1〕得：x2=x+b,即X? — x-b = 0,「. X]+x? =1,X t x2 =-b ..•.根据题意易得：|x「x」=走,.J 〔Xi-xJ?=：,即 2 2\2 IX] +X2〕 -4x^2 =-..1- l + 4b = i,解得b =一2 8x2-x + - = 0,解得x = ^^x 或x = ^^.8 4 4••1点c的横坐标较小,x = 三口 .42 - *\/2 . 9 3-2近1IX = ------------- 时,y = x = ---------------------- .4 8.p f 2-5/2 3-2V2 .4 8③顺时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图3所示,设点C, A,的横坐标分别为4, X2.易知此时C7V与二、四象限角平分线平行,.•.设直线C7V的解析式为y = -x + b.联立y=x?与y = lX + b 得：x° =-x + b ,即+ x - b = 0 , /. X. +x?=一1, x,x, ="b .••・UA'=1, .•.根据题意易得：|x「x」= WI, ... 〔x「X2〕2 =；,即2 2.1- l+4b = l,解得b =一 2 8, 2 I ] 八-2 + y/2 T -2 - V2..X- + X + —= 0 , 解得X = ------------------ x 或X = ---------------- -8 4 4•・•点C的横坐标较大,「. x = "2+V,2 .4w + V? . 2 3 -2>/2ix = --------------- 时,y = x = ----------------------- .4 8*〕.4 8④逆时针旋转45.,点A、B落在抛物线上.由于逆时针旋转45.后,直线AB与y轴平行,由于与抛物线最多只能有一个交点,故此种情形不存在.⑤逆时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图4所示,与③同理,可求得：P 〔二2 一退,3二2巫〕.4 8⑥逆时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图5所示,与②同理,可求得：p 〔2y,,一y.〕.综上所述,点P的坐标为：〔0,上叵〕,〔三叵,3-2立〕,p〔―2 +点,2 4 8 43-2>/2 2 + 72 3 + 20\8 4 8等图I 答医2 硝； 1 答& 等国【解析】〔1〕由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解.〔2〕首先明确△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为ADEF,然后分三种情况进行讨论,分别计算求解.〔3〕旋转方向有顺时针、逆时针两种可能,落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能,因此共有六种可能的情形,需要分类讨论,防止漏解.考点：旋转变换的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平行线的性质,等腰直角三角形的性质,分类思想的应用.。

中考数学三角形难题旋转好题

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如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1．
（1）作出△ACP绕点C逆时针旋转90°所得的图形．
（2）求∠BPC的度数．
考点：旋转的性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形．
专题：计算题．
分析：（1）由于∠ACB=90°，AC=BC，则△ACP绕点C逆时针旋转90°得到点A的对应点B，C的对应点为C，只要作CD⊥CP，CD=CP，然后连DB即可；
（2）根据旋转的性质得到CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，则△CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD=PC=，∠CPD=45°，在△PDB中，PB=1，PD=，DB=3，易得PB2+PD2=BD2，根据勾股定理的逆定理得到△PBD为直角三角形，即可得到∠BPC的度数．
解答：解：（1）如图△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD；
（2）连DP，如图，
∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，
∴CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，
∴△CPD为等腰直角三角形，
∴PD=PC=2，∠CPD=45°，
在△PDB中，PB=1，PD=2，DB=3，
而12+（2）2=32，
∴PB2+PD2=BD2，
∴△PBD为直角三角形，
∴∠DPB=90°，
∴∠BPC=45°+90°=135°．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了等腰直角三角
形的性质以及勾股定理的逆定理．。

中考数学专题：几何难题

A
B
C
E
F
D
13. 如图， Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90 ° ， AC=BD, ∠ EDB= 1 CAB ， BE ⊥ DE,CD= 2 5 ,
2
3
tan ABE 1 则 AE=_______. 2
A
E F
C
B
D
14.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AD=BC,E 为 DB 中点，∠DFE=45°，DF= 2 ,则 AC=______.
A
F E
B
C
D
40 如图 1，等边△ABC 中，CE 平分∠ACB,D 为 BC 边上一点，且 DE=CD,连接 BE
（1）若 CE=4，BC=6 3 ，求线段 BE 的长；
（2）如图 2，取 BE 中点 P,连接 AP,PD,AD,求证：AP⊥PD,且 AP= 3 PD; （3）如图 3，把图 2 中的△CDE 绕点 C 顺时针旋转任意角度，然后连接 BE,点 P 为 BE 中点，连接 AP,PD,AD,问（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
G
GM
A E
DA
E
F
D
N
B
CB
图1
图2
10
11
34.等边△ABC，AB=4，将△BEF 沿 EF 翻折使 B 落在 AC 边的 D 处，且 CD=1，连结 EC 交 FD 于 G,求 EG 的长。
A
E
D
G
B
F
C
35.如图，正方形 ABCD 中，点 P 在对角线 BD 上，E 在 CB 的延长线上，且 PE=PC,过点 P 作 PF⊥AE 于点 F,若 BE=1，AB=3，则 PF 的长为______.

中考数学难题集锦

中考数学难题集锦难题一：甲、乙两个机器同时开始工作。

甲每分钟可以工作4件产品，乙每分钟可以工作6件产品。

请问，甲、乙两个机器同时工作10分钟，能生产多少件产品？解析：甲每分钟可以生产4件产品，那么在10分钟内甲可以生产4x10=40件产品。

同样地，乙每分钟可以生产6件产品，所以在10分钟内乙可以生产6x10=60件产品。

因此，甲、乙两个机器同时工作10分钟，总共可以生产40+60=100件产品。

难题二：若一个角的余弦值等于0.6，那么这个角的弧度值是多少？解析：根据三角函数的定义，余弦值等于邻边长度与斜边长度的比例。

假设该角对应的直角边长为x，斜边长为1。

根据勾股定理，可得到x2+12=1，即x^2=0，所以x=0。

因此，该角的弧度值为0。

难题三：一个立方体的边长为a，体积为V，若将该立方体的体积增加到原来的8倍，边长变为原来的一半，求增加后的体积。

解析：原立方体的体积为V，边长为a。

增加后的立方体边长为a/2，体积为8V。

我们可以通过体积的公式得到方程：(a/2)3=8V。

将等式两边同时开立方，得到a3/8=8V，化简为a^3=64V。

所以，增加后的体积为64V。

难题四：某商场原价为100元的商品打六折促销，然后进行满减活动，满200元减20元。

问若购买者购买该商品2件，实际需要支付的金额是多少？解析：首先，打六折，原价100元的商品会有60元的折扣，所以每件商品的价格为100-60=40元。

购买2件商品的总价为2x40=80元。

然后，根据满减活动，若满200元减20元，则购买者需要支付的金额为总价80元-20元=60元。

难题五：若正方形的边长为x，那么它的对角线长度是多少？解析：正方形的对角线可以看作是直角三角形的斜边。

直角三角形的两条直角边分别为正方形的边长，假设为x。

根据勾股定理，可得对角线的长度为√(x2+x2)=√(2x^2)=x√2。

以上是一些中考数学的难题集锦及其解析。

这些题目涵盖了各个考点，帮助学生通过解题训练提高数学思维和解题能力。

中考数学难题汇总

C'E D C B AP D C BAGF E DCB A 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处．（1）求'C DE ∠的度数；（2）求△'C DE 的面积．2．已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，∠C =45°，BE ⊥DC 于E ，BC =5，AD :BC =2:5. 求ED 的长.3在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，过点C 作射线CP ∥AB ，在射线CP 上截取CD=2，联结AD ，求AD 的长．4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，(1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长.5．已知：如图，在□ABCD 中，∠ADC 、∠DAB 的平分线DF 、AE 分别与线段BC 相交于点F 、E ，DF 与AE 相交于点G ．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．6．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底AD = 8，AB=12,CD 边的垂直平分线交BC 边于点G ，且交AB 的延长线于点E ，求AE 的长.A BCD GFEDCBA7．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，求FC 的长．EDA BC8.已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°. （1）利用图1，求证：P A =PB ；（2）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图2补全图形，并求OP 的长.9．（本题满分4分）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF 的面积.（2）如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1, 求三角形DBF 的面积. （3）如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，求三角形DBF 的面积.从上面计算中你能得到什么结论.图1TNMBPOA 图2TN M B P O AC10．（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系,（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120求证：PA+PD+PC ＞BD11．已知：如图，在四边形ABCD 中， AD =B C ,∠A 、∠B 均为锐角．(1) 当∠A=∠B 时，则C D 与A B 的位置关系是CD AB ，大小关系是CD AB ； (2) 当∠A>∠B 时，（1）中C D 与A B 的大小关系是否还成立，证明你的结论．12．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为；（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.CB B D CBA 图①图②C'E D C B AEB CDA 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处．（1）求'C DE ∠的度数；（2）求△'C DE 的面积． .解：(1) 过点D 作DF BC ⊥于F . ∵ AD BC , 90B ∠=︒, AD AB =, ∴ 四边形ABFD 是正方形.∴4DF BF AB === , 3FC = --------1分在Rt DFC ∆中，2222435CD DF FC =+=+= ∴ '5C D =∵ AD FD =,90A DFC ∠=∠=︒, 'C D CD = ∴ 'AC D FCD ∆≅∆∴ 'ADC FDC ∠=∠ , '3AC FC == ----------------------------------2分 ∴ ''''90ADF ADC C DF FDC C DF C DC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∵ 'C DE CDE ∠=∠ ∴ '45C DE ∠=︒-----------------------------3分 (2) 设 EC x = ，则7BE x =- ，'C E x = ∵'3AC = ∴'1BC =在Rt 'BEC ∆中 22(7)1x x -+= 解方程，得 257x = ∴ '11255014722777C DE CDE S S EC DF ∆∆==⋅=⨯⨯== ---------------5分2．已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，∠C =45°， BE ⊥DC 于E ，BC =5，AD :BC =2:5. 求ED 的长.解：作DF ⊥BC 于F ,EG ⊥BC 于G. …………………………1分 ∵∠A =90°，AD ∥BC ∴ 四边形ABFD 是矩形. ∵ BC =5,AD :BC =2:5.∴ AD=BF=2. ………………………………………..2分 ∴ FC=3.在Rt △DFC 中， ∵ ∠C =45°， ∴ DC=23.…………………………………………3分在Rt △BEC 中，P D C BA∴ EC =225……………………………………………….……………………………....4分 ∴ DE =2222523=-……………………………………………………………….5分3在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，过点C 作射线CP ∥AB ，在射线CP 上截取CD=2，联结AD ，求AD 的长．解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥AB 于F ，则DE ∥CF ∵CP ∥AB ，∴四边形DEFC 是矩形---------------------------------------1分 ∵在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，CD=2 ∴AF=CF=12AB=3 ---------------------------------------2分 ∴EF=CD=2,DE=CF=3 --------------------------------------3分∴AE=1 --------------------------------------4分在△ADE 中，∠AED=90°,DE =3,AE=1 ∴----------------------------5分4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，BC =2cm . (1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长.解：∵AD BD ⊥, ∴︒=∠90ADB . ∵︒=∠60A ,∴︒=∠30ABD .………………………………1分 ∵AB ∥CD ,∴︒=∠=∠30CBD ABD .……………………2分 ∵BC=CD,∴︒=∠=∠30CBD CDB . ……………………3分 ∴︒=∠60ABC .ABCD FE P D CBAG F ED CB A∴ABCA∠=∠.∴梯形ABCD是等腰梯形.…………………4分∴AD=BC=2.在中，︒=∠90ADB，︒=∠30ABD，∴AB=2AD=4. ………………………………5分5．已知：如图，在□ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．：（1）在□ABCD中，AB DC∥，∴∠ADC+∠DAB=180°．DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，∴12ADF CDF ADC∠=∠=∠，12DAE BAE DAB∠=∠=∠．∴1()902ADF DAE ADC DAB∠+∠=∠+∠=︒．∴90AGD∠=︒．∴AE⊥DF．…………………………………………………………………2分（2）过点D作DH AE∥，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH．∴DH=AE=4，EH=AD=10.在□ABCD中，AD BC∥，∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．∴DC=FC，AB=EB．在□ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，∴CF=BE=6，BF=BC－CF=10－6=4．∴FE=BE－BF=6－4=2．…………………………………………………3分∴FH= FE+EH= 12．………………………………………………………4分6．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底AD = 8，AB=12,CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长.解：联结DG………………………………………1分∵EF是CD的垂直平分线∴DG=CG………………………………………2分GFEDCBAHGF EDCBA∴∠GDC =∠C , 且∠C =45° ∴∠DGC=90°∵AD ∥BC,∠A=90° ∴∠ABC=90°∴四边形ABGD 是矩形………………………………………3分 ∴BG=AD=8∴∠FGC =∠BGE =∠E= 45°∴BE=BG=8 ………………………………………4分 ∴AE=AB+BE=12+8=20………………………………………5分7．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，求FC 的长．E：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. …………………………………… 1分在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE=3. …………………………………… 2分在矩形ABCD 中，DC=AB=5.∴CE=DC-DE=2. ………………………………………………………………… 3分设FC=x ，则EF=4-x.在Rt △CEF 中，()22242x x -=+. .…………………………………………… 4分解得23=x . ………5分即FC=23.8.已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°. （1）利用图1，求证：P A =PB ；（2）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图2补全图形，并求OP 的长.N图2B（1）在OB 上截取OD =OA ，连接PD ，∵OP 平分∠MON ， ∴∠MOP =∠NOP ．又∵OA =OD ，OP =OP ，∴△AO P ≌△DO P ． ……………1分 ∴P A =PD ，∠1=∠2．∵∠APB +∠MON =180°， ∴∠1+∠3=180°． ∵∠2+∠4=180°， ∴∠3=∠4． ∴PD =PB ．∴P A =PB ． …………… 2分（2）作BE ⊥OP 交OP 于E ，∵∠AOB =600，且OP 平分∠MON ， ∴∠1=∠2=30°．∵∠AOB +∠APB =180°， ∴∠APB =120°． ∵P A =PB ，∴∠5=∠6=30°． ∵∠3+∠4=∠7，∴∠3+∠4=∠7=(180°-30°)÷2=75°． ∵在Rt △OBE 中，∠3=600，OB =2∴∠4=150，OE =3，BE =1 ∴∠4+∠5=450，∴在Rt △BPE 中，EP =BE =1∴OP =13+ …………… 8分9．（本题满分4分）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF 的面积.（2）如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1, 求三角形DBF 的面积. （3）如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，求三角形DBF 的面积.7612435ECAOPBM NTD 1234AO PBMNT（1）92 92………………………（2分）（2）22a …………（2分）结论是：三角形DBF 的面积的大小只与a 有关，与b 无关. （没写结论也不扣分）从上面计算中你能得到什么结论.10．（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC（2）如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系,（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC ＞BD猜想：AP=BP+PC ------------------------------1分（1）证明：延长BP 至E ，使PE=PC ，联结CE ∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°，又PE=PC ∴△CPE 为等边三角形∴CP=PE=CE ，∠PCE=60° ∵△ABC 为等边三角形 ∴AC=BC ，∠BCA=60°CB CB P DB ∴∠ACB=∠PCE ，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP 即：∠ACP=∠BCE∴△ACP ≌△BCE∴AP=BE --------------------------------- ------------------------------------------2分 ∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC ------------------------------------ ---------------------------------------- 3分（2）方法一：在AD 外侧作等边△AB ′D ---------------------------------------------------------- 4分则点P 在三角形ADB ′外∵∠APD=120°∴由（1）得PB ′=AP+PD 在△PB ′C 中，有PB ′+PC ＞CB ′，∴PA+PD+PC ＞CB ′ ∵△AB ′D 、△ABC 是等边三角形 ∴AC=AB ，AB ′=AD ，∠BAC=∠DA B ′=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAB ′+∠CAD即：∠BAD=∠CAB ′ ∴△AB ′C ≌△ADB∴C B ′=BD ------------------------------------------------------------------------ 6分 ∴PA+PD+PC ＞BD ------------------------------------------------------------------------- 7分方法二：延长DP 到M 使PM=PA ，联结AM 、BM ∵∠APD=120°，∴△APM 是等边三角形， -----------------------------4分∴AM=AP ，∠PAM=60° ∴DM=PD+PA ------------------------------5分∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC ，∠BAC=60° ∴△AMB ≌△APC∴BM=PC ---------------------------------------------------------------------------------6分在△BDM 中，有DM + BM ＞BD ，∴PA+PD+PC ＞BD ----------------------------------------------------------------------------7分11．已知：如图，在四边形ABCD 中， AD =B C ,∠A 、∠B 均为锐角．(3) 当∠A=∠B 时，则C D 与A B 的位置关系是CD AB ，大小关系是CD AB ； (4) 当∠A>∠B 时，（1）中C D 与A B 的大小关系是否还成立，证明你的结论．）答：如图1，D CBA M P D CB ACD ∥AB ，C D <A B ． …………2分（2）答：C D <A B 还成立． …………3分证法1：如图2，分别过点D 、B 作BC 、C D 的平行线，两线交于F 点．∴ 四边形DCBF 为平行四边形．∴.,FB DC BC FD ==∵ AD =B C ，∴ AD =FD ． …………4分作∠ADF 的平分线交A B 于G 点，连结GF ． ∴ ∠ADG =∠FDG ．在△ADG 和△FDG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DG DG FDG ADG FD AD ∴ △ADG ≌△FDG ．∴ AG =FG ． …………5分 ∵在△BFG 中，BF BG FG >+．∴ .DC BG AG >+ …………6分 ∴ DC <A B ． …………7分证法2：如图3，分别过点D 、B 作A B 、AD 的平行线，两线交于F 点．∴ 四边形DABF 为平行四边形．∴ .,BF AD AB DF ==∵ A D =B C ， ∴ B C =BF ．作∠CBF 的平分线交DF 于G 点，连结C G ．以下同证法112．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为；（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.MECBAD解：(1)BD=2BM. ……………………………………………………………………………2分图①图②NMDECABABCD E F(2)结论成立.证明:连接DM ，过点C 作CF ∥ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，可证得△MDE ≌△MFC.………………………………… 3分 ∴DM=FM, DE=FC. ∴AD=ED=FC.作AN ⊥EC 于点N. 由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4分 ∵CF ∥ED ，∴∠1=∠FCM.∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.∴△BCF ≌△BAD. …………………………………………………………………………5分 ∴BF=BD ，∠5=∠6.∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.∴△DBF 是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6分 ∵点M 是DF 的中点，则△BMD 是等腰直角三角形.∴BD=2BM. …………………………………7分（说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分．）13．(海淀)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AB 的长．14丰台.已知:如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE.(1) 求证：四边形BECF 是菱形；(2) 当A ∠的大小为多少度时,四边形BECF 是正方形？A DCBDC BA ABC DA B CD15．如图，梯形ABCD 中, AD //BC , ∠ABC =45︒ , ∠ADC =120︒ , AD =DC , AB =22, 求BC的长.16西城．已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，∠BAC=105°，AD =CD =4．求BC 的长．17.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分）DC B A图① 图② （1）已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；19崇文．（本小题满分８分）在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=LQ；（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q= （用x、L表示）．20.海淀．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30︒,∠ADB=∠BEC=60︒.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30︒，∠ADB=∠BEC=60︒，原问题中的其他条件不变，你在ABC DEF （1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图1 图2 图313．(海淀)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AC 的长．解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则∠AED =∠DEC =90°.………….……………………1分 ∵ AC ⊥AB ，∴ ∠BAC =90°. ∵ ∠B =60°,∴ ∠ACB =30°.∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC =∠ACB =30°.………….……………………2分∴ 在Rt △ADE 中，DE =12AD =3，AE =，∠ADE =60°. ….………3分 ∵ ∠ADC=105°，∴ ∠EDC =45°.∴ 在Rt △CDE 中， CE =DE =3.…………….……………………………4分∴ AC =AE +CE =3.14丰台.已知:如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE.(3) 求证：四边形BECF 是菱形；BECAD FDACE FBEFCBAD ADCB ADCBEAB CDEF(4) 当A ∠的大小为多少度时,四边形BECF 是正方形？⑴∵ EF 垂直平分BC,∴CF=BF,BE=CE ，∠BDE=90° …………………………1’又∵ ∠ACB=90°∴EF ∥AC∴E 为AB 中点，即BE=AE ………………………………2’ ∵CF=AE ∴CF=BE∴CF=FB=BE=CE …………………………………………3’ ∴四边形是BECF 菱形. …………………………………4’ ⑵当∠A= 45°时，四边形是BECF 是正方形. …………5’15．如图，梯形ABCD 中, AD //BC , ∠ABC =45︒ , ∠ADC =120︒ , AD =DC , AB =22, 求BC的长.16西城．已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，∠BAC=105°，AD =CD =4．求BC 的长．作AE ∥DC 交BC 于点E ，AF ⊥BC 于点F （如图2）． ······································· 1分∵AD ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形． ······················································ 2分 ∵AD=CD ，∴四边形ADCE 是菱形． ∴ AE=EC =CD=AD =4． ······················ 3分 ∴∠EAC ＝∠ACB ，∵∠B=45°，∠BAC=105°，∴∠ACB=180°－∠B －∠BAC=30°．∴∠AEB =∠EAC ＋∠ACB =60°．在Rt △AEF 中，221==AE EF ，323==EF AF ． ··························· 4分 DC B AD AB C E F 图2DC BA ABC DA B CD在Rt △ABF 中，32==BF AF ．∴BC =BF ＋EF ＋EC =326+．························································ 5分17.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分）图① 图② （1）已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AC=BC，∴∠A＝∠B＝45°.以CE为一边作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF=CB，则CF=CB=AC. 图①连接DF、EF，则△CFE≌△CBE. ………………………………………………1分∴FE=BE，∠1＝∠B＝45°.∵∠DCE＝∠ECF＋∠DCF＝45°，∴∠DCA＋∠ECB＝45°.∴∠DCF＝∠DCA.∴△DCF≌△DCA. ……………………………………………………………2分∴∠2＝∠A＝45°，DF＝AD.∴∠DFE＝∠2＋∠1＝90°.∴△DFE是直角三角形.又AD=DF，EB=EF，∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形. ……………………………4分（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能如图②，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA.∴AD=DF，EF=BE.图②∴∠DFE＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＝120°. ……………………………………5分若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. ……………6分且顶角∠DFE为120°.19崇文．（本小题满分８分）在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=LQ；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时32=L Q ．（II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．CD BD =,且 120=∠BDC ．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又ABC ∆是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠=．在MBD ∆与ECD ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM∴≅∆MBD ECD ∆(SAS) ． ∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN在MDN ∆与EDN ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆(SAS) ∴MN=NE=NC+BMAMN ∆的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等边ABC ∆的周长L=3AB∴3232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= 2x +L 32（用x 、L 表示）．25．怀柔如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 之间的位置关系为，数量关系为．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？A B C D E F图1 图2 FE D C B AF E D C B A 图3（2）①如果AB=AC ，∠BAC≠90º，点D 在射线BC 上运动．在图4中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；②如果∠BAC=90º，AB≠AC ，点D 在射线BC 上运动．在图5中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；答：（3）要使（1）问中CF ⊥BC 的结论成立，试探究：△ABC 应满足的一个．．条件，（点C 、F 重合除外）？画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；（1）①CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等；……1分②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．由正方形ADEF得AD=AF ，∠DAF=90º．∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，∴∠DAB=∠FAC.又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC.∴CF=BD.∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90º，AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD.……………3分（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立.②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立.……4分（3）当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图6）．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG.可证：△GAD≌△CAF∴∠ ACF=∠AGD=45º .∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD.…………………………………5分图620.海淀．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC =30︒,∠ADB =∠BEC =60︒. 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系；（2）如图2，若∠ABC =30︒，∠ADB =∠BEC =60︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图1 图2 图3解: （1）DF= EF . ………………………………………………………………1分（2）猜想：DF= FE .证明：过点D 作DG ⊥AB 于G , 则∠DGB =90︒. ∵ DA =DB , ∠ADB =60︒.∴ AG =BG , △DBA 是等边三角形. ∴ DB =BA .∵ ∠ACB =90︒ , ∠ABC =30︒,∴ AC =21AB =BG . …………………………………………………………2分 ∴ △DBG ≌△BAC .∴ DG =BC . ……………………………………………………3分 ∵ BE=EC , ∠BEC =60︒ , ∴ △EBC 是等边三角形. ∴ BC =BE , ∠CBE =60︒.∴ DG = BE , ∠ABE =∠ABC +∠CBE =90︒ . ∵ ∠DFG =∠EFB , ∠DGF =∠EBF , ∴ △DFG ≌△EFB .∴ DF= EF . ……………………………………………………4分（3）猜想：DF= FE .证法一：过点D 作DH ⊥AB 于H , 连接HC , HE , HE 交CB 于K , 则∠DHB =90︒. ∵ DA =DB ,∴ AH =BH , ∠1=∠HDB .∵ ∠ACB =90︒, ∴ HC =HB .BECAD FDACE FBEFCBAD K H BFECAD 2431∵ EB =EC , HE =HE ,∴ △HBE ≌△HCE . ……………………………5分 ∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH . ∴ HK ⊥BC .∴ ∠BKE =90︒. ……………………………6分 ∵ ∠ADB =∠BEC =2∠ABC , ∴ ∠HDB =∠BEH =∠ABC .∴ ∠DBC =∠DBH +∠ABC =∠DBH +∠HDB =90︒，∠EBH =∠EBK +∠ABC =∠EBK +∠BEK =90︒. ∴ DB //HE , DH //BE .∴ 四边形DHEB 是平行四边形.∴ DF =EF . ………………………………………………………………………7分证法二：分别过点D 、E 作DH ⊥AB 于H , EK ⊥BC 于K , 连接HK , 则∠DHB =∠EKB =90︒.∵ ∠ACB =90︒,∴ EK //AC .∵ DA =DB , EB =EC ,∴ AH =BH , ∠1=∠HDB ,CK =BK , ∠2=∠BEK .∴ HK //AC . ∴ 点H 、K 、E 在同一条直线上. …………………5分D A CE F B H K 12。