用稳恒电流场模拟静电场

静电场的模拟实验（FB407型静电场描绘仪）

(四种电极）

实

验

讲

义

杭州精科科仪器有限公司

用稳恒电流场模拟静电场

在工程技术上，常常需要知道电极系统的电场分布情况，以便研究电子或带电质点在该电场中的运动规律。例如，为了研究电子束在示波管中的聚焦和偏转，这就需要知道示波管中电极电场的分布情况。在电子管中，需要研究引入新的电极后对电子运动的影响，也要知道电场的分布。一般说来，为了求出电场的分布，可以用解析法和模拟实验法。但只有在少数几种简单情况下，电场分布才能用解析法求得。对于一般的或较复杂的电极系统通常都用模拟实验法加以测定。模拟实验的缺点是精度不高，但对于一般工程设计来说，已完全能满足要求。

【实验目的】

1、懂得模拟实验法的适用条件。

2、学会用稳恒电流场(水槽法)，测定给定的电极模型等位线的分布，再根据电力线与等位线正交的原理，绘制出法模型代表的静电场的电场分布曲线。

3、对具有解析表达式的同轴电缆模型，将实验值与理论计算值进行比较，求出实验测量结果的相对误差。

【实验原理】

电场强度E 是一个矢量。因此，在电场的计算或测试中往往是先研究电位的分布情况，因为电位是标量。我们可以先测得等位面，再根据电力线与等位面处处正交的特点，作出电力线，整个电场的分布就可以用几何图形清楚地表示出来了。当我们得到了电位U 值的分布，由公式（1）

： U E -∇= (1) 便可以求出E 的大小和方向，整个电场也就确定了。

但实验上想利用磁电式电压表直接测定静电场的电位，是不可能的，因为任何磁电式电表都需要有电流通过才能偏转，而静电场是不存在电流的。再则任何磁电式电表的内阻都远小于空气或真空的电阻，如果在静电场中引入电表，势必使电场发生严重畸变；同时，电表或其它探测器置于电场中，要引起静电感应，使原场源电荷的分布发生变化。人们在实践中发现，有些测量在实际情况下难于进行时，可以通过一定的方法，模拟实际情况而进行测量，这种方法称为“模拟法”。

模拟法要求两个类比的物理现象遵从的物理规律具有相同的数学表达式。从电磁学理论知道，电解质中的稳恒电流场与介质（或真空）中的静电场之间就具有这种相似性。因为对于导电媒质中的稳恒电流场，电荷在导电媒质内的分布与时间无关，其电荷守恒定律的积分形式为

⎪⎩⎪⎨⎧=•=•⎰⎰⎰0ds j 0

dL j S

L

(在电源以外区域)

而对于电介质内的静电场，在无源区域内，下列方程式同时成立：

⎪⎩⎪⎨⎧=•=•⎰⎰⎰S

L

0ds E 0dL E

由此可见电解质中稳恒电流场的j 与电介质中的静电场的E 遵从的物理规律具有相同的数学公式，在相同的边界条件下，二者的解亦具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性，实验时就用稳恒电流场来模拟静电场，用稳恒电流场中的电位分布模拟静电场的电位分布。实验中，将被模拟的电极系统放入填满均匀的电导远小于电极电导的电解液中或导电纸上，电极系统加上稳定电压，再用检流计或高内阻电压表测出电位相等的各点，描绘出等位面，再由若干等位面确定电场的分布。

通常电场的分布是个三维问题，但在特殊情况下，适当选择电力线分布的对称面便可以使三维问题简化为二维问题。实验中，通过分析电场分布的对称性，合理选择电极系统的剖面模型，置放在电解液中或导电纸上，用电表测定该平面上的电位分布，据此推得空间电场的分布。

1、同轴圆柱形电缆电场的模拟：

如图1是一圆柱形电场，内圆筒半径1r ，外圆筒半径2r ，所带电量电荷线密度为λ±。

根据高斯定理，圆柱形电场的电位移矢量：

r

π2D •

λ

=

电场强度为： r

επ2E ••λ

=

式中，r 为场中任一点到轴的垂直距离。两极之间的电位差为： 1

2r r 21r r ln 2dr r ε2U U 2

1

•λ

=λ=

-⎰

πεπ

设 V 0U 2= 1

21r r ln 2U •λ

=πε (2 ) 任一半径r 处的电位为： r

r ln ε2dr ε2U 2r r

2

•λ

=λ=

⎰

ππ (3 ) 把（2）式代入（3）式消去λ，得： r r

ln r r ln U U 21

2

1•=

(4) 现在要设计一稳恒电流场来模拟同轴电缆的圆柱形电场，使它们具有电位分布相同的数学形式，其要求为：

（1）设计的电极与圆柱形带电导体相似，尺寸与实际场有一定比例，保证边界条件相同。 （2）电极用良导体制作，而导电介质用电阻率比电极大得多的材料（本实验用水），而且要求各向同性均匀分布，相似于电场中的各向同性均匀分布的电介质。

如图1所示，当两个电极间加电压时，中间形成一稳恒电流场。设径向电流为0I 则电流密度为r π2I j 0

=

，这里媒质（水）的厚度取

m 作为单位长度。

根据欧姆定律的微分形式： E j •σ= 所以： r σ2I E 0

••=

π

显然，该电流场的形式与静电场相同，电场强度E 都是与r 成反比。因此两极间电位差与（2）式亦相同，电位分布与（4）式相同。 ⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛•=)r /r ln()r /r ln(U U 1221 (5) 由（5）式可得： 1

U U

122r r r r -⎪⎭

⎫ ⎝⎛= (6) 在本实验中（同轴电缆模型）， m m 10r 1=， m m 50r 2=， V 10U 1= ， V 0U 2=

2、静电场的测绘方法：

在实际测量中，由于测定电位（标量）比测定场强（矢量）容易实现，所以实验时总是先测定出等位线，然后根据电力线和等位线的正交关系，绘制出电力线分布，从而把电场形象地反映出来。本实验用电压表法（数字式万用表的直流电压档）测绘电场，电路原理图如图2所示。为了测量准确，要求测量电位的仪表中基本无电流流过，一般采用高输入阻抗的晶体管（或电子管）电压表。用测笔C 测量场中不同点，电压表显示不同数值，找出电位相同点，使之能画出等位线。