2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题(含答案)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =． 所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=， 于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案
第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。
2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的填空题 （本题满分２８分，每小题７分）
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
2018年初中数学联赛试题及答案
2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时，其边长为 （ ）A.6．B.22．C.32．D.23． 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ，)0,(2x C ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=，则22223|2|a a ⋅=-，解得62=a 或02=a （舍去）.所以，△ABC 的边长3222==a BC .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，1AB =，15CAE ∠=︒，则BE =（ ）． B.22． C.12-．1．【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ，1==AB BF ， ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =，则2xHE HF ==，23x BH =. 因为HF BH BF +=，所以2231xx +=，解得13-=x .所以 13-=BE .3．设q p ,均为大于3的素数，则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为（ ） A.1． B.2． C.3． D.4．【答】B.设22245m q pq p =++（m 为自然数），则22)2(m pq q p =++，即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数，且q q p m p q p m >++>++2,2，所以21m p q --=，2m p q pq ++=，从而0142=---q p pq ，即9)2)(4(=--q p ，所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以，满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4．若实数b a ,满足2=-b a ，4)1()1(22=+--ab b a ，则=-55b a （ ）A.46．B.64．C.82．D.128． 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ，即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ，又2=-b a ，所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ，解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=，332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=，82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5．对任意的整数y x ,，定义xy y x y x -+=@，则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=，由对称性，同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(，xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以，由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ，即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以，z y x ,,为整数时，只能有以下几种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以，)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.6．设20501202012019120181++++=M ，则M1的整数部分是 （ ） A.60． B.61． C.62． D.63．【答】B.因为3320181⨯<M ，所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>， 所以13451185611345832301=<M ，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于E ，F 为AD 的中点，若︒=∠48AEF ，则=∠B _______．【答】84︒. 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥，所以FG CE ⊥，所以FH 垂直平分CE ，故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2．若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ，则y x +的最大值为 ． 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以kk k xy 3215413-+=. 于是，y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根，所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥， 化简得 0303≤-+k k ，即0)103)(3(2≤++-k k k ，所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816=+（个）.4．已知实数c b a ,,满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则=++abcc b a 555 ．【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ，abc c b a 3333=++，所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4． 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时，2-=x . 当112=-+x x 时，2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时，0=x . 所以，满足条件的整数x 有3个.2．已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++= （ ）A.5．B.6．C.7．D.8．【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312=+=x x x ，故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CE CD 4=，FBC EFB ∠=∠，则 =∠ABF tan （ ）A.21． B.53． C.22． D.23． 【答】B.不妨设4=CD ，则3,1==DE CE .设x DF =，则x AF -=4，92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠，BHF BAF ∠=︒=∠90，BF 公共，所以△BAF ≌△BHF ，所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x ， 解得58=x .所以5124=-=x AF ，53tan ==∠AB AF ABF .4．=（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y =0y ≥，且29x y =-=1y =或6y =，从而可得8x =-或27x =.检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5．设c b a ,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 （ ）A.4．B.5．C.6．D.7． 【答】B.由已知得， 20182017=+bc a ，20182017=+ac b ，20182017=+ab c ，两两作差，可得0)20171)((=--c b a ，0)20171)((=--a c b ，0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ，可得 b a =或20171=c . （1）当c b a ==时，有020*******=-+a a ，解得1=a 或20172018-=a . （2）当c b a ≠=时，解得20171==b a ， 201712018-=c . （3）当b a ≠时，20171=c ，此时有：201712018,20171-==b a ，或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6．已知实数b a ,满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，则=+b a （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ，2)1(2)1(3=-+-b b ，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a ， 所以 02=-+b a ，因此 2=+b a .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知r q p ,,为素数，且pqr 整除1-++rp qr pq ，则=++r q p _______． 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-，由题意知k 是正整数，又2,,≥r q p ，所以23<k ，从而1=k ，即有pqr rp qr pq =-++1，于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时， qr rp qr pq pqr 31<-++=，所以3<q ，故2=q .于是222qr qr q r =++1-，故3)2)(2(=--r q ，所以32,12=-=-r q ，即5,3==r q ，所以，)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知，所有可能的数组(,,)p q r 共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10=++r q p .2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ． 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >，则 100022-=+n m n m ，即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以 2(1,1)m n --＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件，此时8,1442==n m .3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，6AB =，10BC =，BCD BAD ∠=∠，ABD EDC ∠=∠，则=DE ．【答】4.延长CD 至F ，使DC DF =，则AF DE //且AF DE 21=，所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠，故D B F A ,,,四点共圆，于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠，所以10==BC BF ，且FC BD ⊥，故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ，故861022=-=AF ，所以421==AF DE .4．已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 ．【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ，整理得49424<++n m mn ，即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数，所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ，所以22512<+n ，故5≤n . 当1=n 时，3251≤+m ，故322≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有7个；当2=n 时，51≤+m ，故4≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有4个；当3=n 时，7251≤+m ，故718≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有2个； 当4=n 时，9251≤+m ，故917≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个；当5=n 时，11251≤+m ，故1114≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知：符合条件的正整数对),(n m 有7＋4＋2＋1＋1＝15个.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设d c b a ,,,为四个不同的实数，若b a ,为方程011102=--d cx x 的根，d c ,为方程011102=--b ax x 的根，求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=，10c d a +=，两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根，所以011102=--d ac a ，又c a d -=10，所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①－②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠，所以121=+c a ，所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，︒=∠90AOB ，12=OA ，点C 在OA 上，4=AC ，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线，垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ，得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD ， ……………………5分 当DC OE ⊥时，S 取得最大值60.此时，536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 （2）延长OB 至点G ，使12==OB BG ，连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ，EOG DOE ∠=∠，所以△ODE ∽△OEG ，所以21=EG DE ，故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ，当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、（本题满分25分）求所有的正整数n m ,，使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=，则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数，故可令pqn m mn =+，q p ,为正整数，且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数，所以2|q p ，又1),(=q p ，故1=p ，即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数，所以2|)(n n m +，故n m n +≥2，即n m n ≥-2. 又由0≥S ，知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥，所以m n ≥.由对称性，同理可得n m ≥，故n m =. ……………………20分 把n m =代入①，得m |2，则2≥m .把n m =代入②，得0243≥-m m ，即2≤m . 故2=m .所以，满足条件的正整数n m ,为2=m ，2=n . ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ，求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++，y ca bc ab =++，z abc =，则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-， ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AC AB =，DC DE =.（1）证明：BC AD //；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果︒=∠30ACE ，求PEDP. 解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC =，EC =，所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC ∠= 45EBC ∠=︒，所以ACB DAC ∠=∠，所以BC AD //.……………………10分（2）设x AE =，因为︒=∠30ACE ，可得x AC 3=，2CE x =，DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以△APE ∽△DPC ，故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆，2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆，于是可得 2)32(x S DPC -=∆，2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，1+x 的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =，由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ，则1+=m n ，所以(,)1m n =，矛盾，故9=d . ……………………5分 若9≠c ，则891-=-+=m m n ，故(,)(,8)m n m =，它不可能是大于2的素数，矛盾，故9=c .……………………10分若9=b ，显然9≠a ，所以269991-=---+=m m n ，故(,)(,26)13m n m ==，但此时可得13≥n ，363926>≥+=n m ，矛盾. ……………………15分若9≠b ，则17991-=--+=m m n ，故(,)m n (,17)17m ==，只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题及答案
2018年全国初中数学竞赛（初一组）初赛试题参考答案和评分标准一、1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. D10. 221二、7. -1 9 × 11 = 2 8. 30° ⎭ 9. 3 或-15三、11. （） 1 1 ⎛ 1 1 ⎫； 厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖 分 （） n 1 n ) ；1 ⎛ 1 1 ⎫；2 ( )( 2 2n - 1 ⎭2 - 1 2 + 1 10 ………………………………………………………………………………………………………… 分（3）a 1 + a 2 + a 3 + … + a 100 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎛ 1 1= 1 × ⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫ ⎫ + ⎫ ⎫2 ⎝1 -3 ⎭ + 2 × ⎝ 3 - 5 ⎭ + 2 × ⎝ 5 - 7 ⎭ 2 × ⎝ 7 - 9 ⎭ + ⋯ + 2 × ⎝ 199 - 201 ⎭ 153 + ⎭1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫ …………………………………………… 分= 1 × ⎛ 1 ⎫2 ⎝1 - 201 ⎭= 1 × 200 2 201= 100201. 20 分 四、12. （1）130? . 厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖? 5 分（2）∠APC = ∠? + ∠β. 10理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E . 厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖? 分因为 AB ∥CD ，所以 AB ∥PE ∥CD .所以∠?=∠APE，∠?=∠CPE.15所以∠APC=∠APE+∠CPE=∠?+∠?.…………………………………………………………分（3）当点P在BD延长线上时，∠APC=∠?-∠?；厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖20分当点P在DB延长线上时，∠APC=∠?-∠?.厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖25分⎛120⎫五、13.（）根据题意，得t⎝120 -50× 5⎭120( )=50 + 5× 2 +150≈ 6.3 h .答：三人都到达B地所需时间约为6.3h.……………………………………………………………… 5 分（2）有，设甲从A地出发将乙载到点D行驶x千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A地出发步行至点E，继续前行后与甲在点F处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.10…………………………………………………………………………………………………………分2∙x+50=5.1550 + 5根据题意，得x -50∙5120 - x120 - x…………………………………………………………20分解得x≈ 101.5.厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖分则所用总时间为t=101.5120 - 101.5≈ 5.7( ) 50+5h .答：有，方案如下:甲从A地出发载乙，同时丙步行前往B地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7 h.………………………………………………………………………25分第1页（共1页）。
2018年初中数学联赛试题及答案
2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时，其边长为 （ ）A.6．B.22．C.32．D.23． 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ，)0,(2x C ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=，则22223|2|a a ⋅=-，解得62=a 或02=a （舍去）.所以，△ABC 的边长3222==a BC .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，1AB =，15CAE ∠=︒，则BE =（ ）． B.22． C.12-．1．【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ，1==AB BF ， ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =，则2xHE HF ==，23x BH =. 因为HF BH BF +=，所以2231xx +=，解得13-=x .所以 13-=BE .3．设q p ,均为大于3的素数，则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为（ ） A.1． B.2． C.3． D.4．【答】B.设22245m q pq p =++（m 为自然数），则22)2(m pq q p =++，即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数，且q q p m p q p m >++>++2,2，所以21m p q --=，2m p q pq ++=，从而0142=---q p pq ，即9)2)(4(=--q p ，所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以，满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4．若实数b a ,满足2=-b a ，4)1()1(22=+--ab b a ，则=-55b a （ ）A.46．B.64．C.82．D.128． 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ，即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ，又2=-b a ，所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ，解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=，332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=，82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5．对任意的整数y x ,，定义xy y x y x -+=@，则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=，由对称性，同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(，xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以，由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ，即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以，z y x ,,为整数时，只能有以下几种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以，)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.6．设20501202012019120181++++=M ，则M1的整数部分是 （ ） A.60． B.61． C.62． D.63．【答】B.因为3320181⨯<M ，所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>， 所以13451185611345832301=<M ，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于E ，F 为AD 的中点，若︒=∠48AEF ，则=∠B _______．【答】84︒. 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥，所以FG CE ⊥，所以FH 垂直平分CE ，故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2．若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ，则y x +的最大值为 ． 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以kk k xy 3215413-+=. 于是，y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根，所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥， 化简得 0303≤-+k k ，即0)103)(3(2≤++-k k k ，所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816=+（个）.4．已知实数c b a ,,满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则=++abcc b a 555 ．【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ，abc c b a 3333=++，所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4． 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时，2-=x . 当112=-+x x 时，2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时，0=x . 所以，满足条件的整数x 有3个.2．已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++= （ ）A.5．B.6．C.7．D.8．【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312=+=x x x ，故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CE CD 4=，FBC EFB ∠=∠，则 =∠ABF tan （ ）A.21． B.53． C.22． D.23． 【答】B.不妨设4=CD ，则3,1==DE CE .设x DF =，则x AF -=4，92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠，BHF BAF ∠=︒=∠90，BF 公共，所以△BAF ≌△BHF ，所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x ， 解得58=x .所以5124=-=x AF ，53tan ==∠AB AF ABF .4．=（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y =0y ≥，且29x y =-=1y =或6y =，从而可得8x =-或27x =.检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5．设c b a ,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 （ ）A.4．B.5．C.6．D.7． 【答】B.由已知得， 20182017=+bc a ，20182017=+ac b ，20182017=+ab c ，两两作差，可得0)20171)((=--c b a ，0)20171)((=--a c b ，0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ，可得 b a =或20171=c . （1）当c b a ==时，有020*******=-+a a ，解得1=a 或20172018-=a . （2）当c b a ≠=时，解得20171==b a ， 201712018-=c . （3）当b a ≠时，20171=c ，此时有：201712018,20171-==b a ，或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6．已知实数b a ,满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，则=+b a （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ，2)1(2)1(3=-+-b b ，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a ， 所以 02=-+b a ，因此 2=+b a .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知r q p ,,为素数，且pqr 整除1-++rp qr pq ，则=++r q p _______． 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-，由题意知k 是正整数，又2,,≥r q p ，所以23<k ，从而1=k ，即有pqr rp qr pq =-++1，于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时， qr rp qr pq pqr 31<-++=，所以3<q ，故2=q .于是222qr qr q r =++1-，故3)2)(2(=--r q ，所以32,12=-=-r q ，即5,3==r q ，所以，)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知，所有可能的数组(,,)p q r 共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10=++r q p .2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ． 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >，则 100022-=+n m n m ，即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以 2(1,1)m n --＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件，此时8,1442==n m .3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，6AB =，10BC =，BCD BAD ∠=∠，ABD EDC ∠=∠，则=DE ．【答】4.延长CD 至F ，使DC DF =，则AF DE //且AF DE 21=，所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠，故D B F A ,,,四点共圆，于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠，所以10==BC BF ，且FC BD ⊥，故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ，故861022=-=AF ，所以421==AF DE .4．已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 ．【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ，整理得49424<++n m mn ，即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数，所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ，所以22512<+n ，故5≤n . 当1=n 时，3251≤+m ，故322≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有7个；当2=n 时，51≤+m ，故4≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有4个；当3=n 时，7251≤+m ，故718≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有2个； 当4=n 时，9251≤+m ，故917≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个；当5=n 时，11251≤+m ，故1114≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知：符合条件的正整数对),(n m 有7＋4＋2＋1＋1＝15个.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设d c b a ,,,为四个不同的实数，若b a ,为方程011102=--d cx x 的根，d c ,为方程011102=--b ax x 的根，求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=，10c d a +=，两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根，所以011102=--d ac a ，又c a d -=10，所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①－②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠，所以121=+c a ，所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，︒=∠90AOB ，12=OA ，点C 在OA 上，4=AC ，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线，垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ，得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD ， ……………………5分 当DC OE ⊥时，S 取得最大值60.此时，536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 （2）延长OB 至点G ，使12==OB BG ，连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ，EOG DOE ∠=∠，所以△ODE ∽△OEG ，所以21=EG DE ，故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ，当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、（本题满分25分）求所有的正整数n m ,，使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=，则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数，故可令pqn m mn =+，q p ,为正整数，且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数，所以2|q p ，又1),(=q p ，故1=p ，即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数，所以2|)(n n m +，故n m n +≥2，即n m n ≥-2. 又由0≥S ，知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥，所以m n ≥.由对称性，同理可得n m ≥，故n m =. ……………………20分 把n m =代入①，得m |2，则2≥m .把n m =代入②，得0243≥-m m ，即2≤m . 故2=m .所以，满足条件的正整数n m ,为2=m ，2=n . ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ，求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++，y ca bc ab =++，z abc =，则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-， ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AC AB =，DC DE =.（1）证明：BC AD //；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果︒=∠30ACE ，求PEDP. 解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC =，EC =，所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC ∠= 45EBC ∠=︒，所以ACB DAC ∠=∠，所以BC AD //.……………………10分（2）设x AE =，因为︒=∠30ACE ，可得x AC 3=，2CE x =，DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以△APE ∽△DPC ，故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆，2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆，于是可得 2)32(x S DPC -=∆，2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，1+x 的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =，由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ，则1+=m n ，所以(,)1m n =，矛盾，故9=d . ……………………5分 若9≠c ，则891-=-+=m m n ，故(,)(,8)m n m =，它不可能是大于2的素数，矛盾，故9=c .……………………10分若9=b ，显然9≠a ，所以269991-=---+=m m n ，故(,)(,26)13m n m ==，但此时可得13≥n ，363926>≥+=n m ，矛盾. ……………………15分若9≠b ，则17991-=--+=m m n ，故(,)m n (,17)17m ==，只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题(带答案)
2018年全国初中数学竞赛（初一组）初
赛试题（带答案）
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得分
一、选择題
.已知,6两个数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，现有下列四种说法:D|a1-|61>0
2a+6<0;3ab<0;@a+b+ab+1<a其中，一定成立的是
02。
023
on3o
第1题1
03D
2著2+1的值与y一3的值互为相反数，则4+2的值为-
-2
2
3.某种商品若按原标价出售，则可获利50%,若按原标价的八折出售，则可获利
15%20%
40%
30%
4.定义““运算为.b=2a+ab,若+-22则x的值为
-11-2
2
如图，有一个无益的正方体纸盒，下底面标有字母“m",若沿图中粗线将其剪开，则纸盒展开的平
面图形为
B)
D)
如图,AB//cD,若用會Z1,2,，1+2263
21+23-22
c)180*+3-21-2
2+23-21-180。
2018年全国初中数学竞赛试题
2018年全国初中数学竞赛试题、选择题A 、3;B 、.13 ;C 、1 一 13 ;D 、4- J32二、填空题：6、如图所示，在△ ABC 中，AB=AC AD=AE / BAD=60,则/ EDC= ______________ （度）。
7、 据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人口数 m n （单位：万 人）以及两个城市间的距离 d （单位：km ）有T=辱的关系（k 为常数）。
现测得A 、B 、C 三个城d市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知 A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为 t ，那么B C 两个城市间每天的电话次数为 ___________ 次（用t 表示）。
8、 已知实数 a 、b 、x 、y 满足 a+b=x+y=2 , ax+by=5，贝U （a +b ）xy+ab （x +y ）= ____。
9、 如图所示，在梯形 ABCD 中, AD// BC （ BO AD ） , / D=90°,BC=CD=12 / ABE=45 若 AE=10,贝U CE 的长度为 __________ 。
10、 实数 x 、y 、z 满足 x+y+z=5 , xy+yz+zx=3，贝U z 的最大值是 _.三、解答题:11、 通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化 的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一端时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数 y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集 中）。
当0W x w 10时，图象是抛物线的一部分，当 10W x <20和20W x <40时，图象是线段。
（1）当0w x < 10时，求注意力指标数 y 与时间x 的函数关系式；1、已知实数 a z b ,且满足（a+1） =3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2。
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2018年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若
，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P
＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千
米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
2018年全国初中数学竞赛试题及答案
若关于 m 的方程有正整数解，则
9 4n(n 1) 8 (2 n 1)2 l 2 （ l 为正整数），
即 l 2 (2n 1)2 8,[ l (2n 1)][( l (2 n 1)] 8
４
l (2n 1) 8 l (2n 1) 4
所以
,或
，
l (2n 1) 1 l (2n 1) 2
解得： n
5 4
所以 PQ＝ yp
yQ
( a2
3a
4)
(a2
3a
4) ＝
2
2a
8
即当 a＝ 0（属于 -2≤ a≤2）时， PQ 的最大值为 8。
12．已知 a ， b 都是正整数，试问关于 x 的方程 x 2 abx 1 ( a b) 2
把它们求出来；如果没有，请给出证明．
-4
Q
-6
B
-8
-10
0 是否有两个整数解？如果有，请
但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3 个，那么上述取法的种数是（
）
（ A ）14
（ B） 16
（C） 18
（D ）20
解：选（ B ）。只用考虑红球与黑球各有 4 种选择：红球（ 2,3,4,5 ），黑球（ 0,1,2,3 ）共 4× 4＝ 16 种
3．已知 a 、 b 、 c 是三个互不相等的实数，且三个关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 ，
综上，存在正整数 a＝ 1， b=3 或 a=3， b=1，使得
方程 x 2 abx 1 (a b) 0 有两个整数解为 x1 1, x2 2 。 2
DE
13．如图，点 E， F 分别在四边形 ABCD 的边 AD ， BC 的延长线上，且满足
初中数学竞赛“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题（含答案）
初中数学竞赛“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题（含答案）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．⽤圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.⼀、选择题（共5⼩题，每⼩题6分，满分30分. 以下每道⼩题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的. 请将正确选项的代号填⼊题后的括号⾥. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满⾜ 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x +==， 21122y --+==，所以444y x +=22233y x++- 2226y x=-+=7． 2．把⼀枚六个⾯编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正⽅体骰⼦先后投掷2次，若两个正⾯朝上的编号分别为m ，n ，则⼆次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12（第3题）【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个⼆次函数. 由题意知＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满⾜条件的m n ，有17对. 故1736P =.3．有两个同⼼圆，⼤圆周上有4个不同的点，⼩圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，⼤圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；⼩圆周上的两个点E ，F 中，⾄少有⼀个不是四边形ABCD 的对⾓线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，⾄少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从⽽这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所⽰放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满⾜条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的⼀条弦，且1AB a =<．以AB 为⼀边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的⼀点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则120ECA EAC α∠=?-=∠．⼜因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=?+?- 120α=?-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成⼀排，最后⼀个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第⼀个数整除，那么满⾜要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的⼀个满⾜要求的排列．⾸先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件⽭盾．⼜如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明⼀个偶数后⾯⼀定要接两个或两个以上的奇数，除⾮接的这个奇数是最后⼀个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满⾜条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．⼆、填空题（共5⼩题，每⼩题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义⼀种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的⽅程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满⾜条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠=+-+>?，，解得，0a >，或1a <-．7．⼩王沿街匀速⾏⾛，发现每隔6分钟从背后驶过⼀辆18路公交车，每隔3分钟从迎⾯驶来⼀辆18路公交车．假设每辆18路公交车⾏驶速度相同，⽽且18路公交车总站每隔固定时间发⼀辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x ⽶/分，⼩王⾏⾛的速度是y ⽶/分，同向⾏驶的相邻两车的间距为s ⽶．每隔6分钟从背后开过⼀辆18路公交车，则s y x =-66．①每隔3分钟从迎⾯驶来⼀辆18路公交车，则s y x =+33．②由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．⼜//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆⼼I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的（第8题）（第8题答案）⾼为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成⽐例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=?=-=-++ ()a b c a b c +=++，故 879168793DE ?+==++（）．10．关于x ，y 的⽅程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ====??，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平⽅数除以4所得的余数为0，奇数的平⽅数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213?，（第9题答案）其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=?-+≤2222131511?-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进⽽2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从⽽13s -＝7．于是62044s s t t ====??，，；，因此 481603232.x x y y ====??，，，三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直⾓坐标系xOy 中，⼀次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的⾯积值等于3OA OB ++．（1）⽤b 表⽰k ；（2）求△OAB ⾯积的最⼩值．解：（1）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00bx k k=-><，．所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b AB b k -（，，，，于是，△OAB 的⾯积为 )(21kbb S -?=．由题意，有3)(21++-=-?b kbk b b ，解得 )3(222+-=b b b k ，2b >．……………… 5分（2）由（1）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=?-==--21027)72b b =-++=++-≥1027+，当且仅当1022b b -=-时，有S =102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成⽴．所以，△OAB ⾯积的最⼩值为1027+． ……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的⼀元⼆次⽅程20px qx p -+=有有理数根？解：设⽅程有有理数根，则判别式为平⽅数．令2224q p n ?=-=，其中n 是⼀个⾮负整数．则2()()4q n q n p -+=．……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下⼏种可能情形：222q n q n p -=??+=?，， 24q n q n p -=??+=?，， 4q n p q n p -=??+=?，， 22q n p q n p -=??+=?，， 24.q n p q n ?-=?+=?，消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+，，，，．……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从⽽q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从⽽q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．⼜当2p =，q ＝5时，⽅程为22520x x -+=，它的根为12122x x ==，，它们都是有理数．综上所述，存在满⾜题设的质数． ……………… 15分13．如图，△ABC 的三边长B C aC Ab A ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最⼤公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重⼼和内⼼，且90GIC ∠=?．求△ABC 的周长．解：如图，延长GI ，与边BC CA ，分别交于点P Q ，．设重⼼G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的⾼的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由PQC GPC GQC S S S =+△△△，可得 ()123a b r GE GF h h =+=+，即 222123A B C A B C A B CS S Sa b c a b=?+ ?++??△△△，从⽽可得 6aba b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重⼼G 和内⼼I 不重合，所以，△ABC 不是正三⾓形，且b a ≠，否则，2a b ==，可得2c =，⽭盾．不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，，于是有1111126a b ab a b a b =++为整数，所以有11()12a b +，即()24a b +．于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满⾜条件．因此有35a b c ++=．所以，△ABC 的周长为35．……………… 15分（第13题）（第13题答案）。
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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得0分）1. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6,12y x y x 的解的个数为（ ）（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 42. 口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）（A ） 14 （B ） 16 （C ） 18 （D ） 203. 已知△ABC 为一锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与的△ADE 的外接圆的半径相等．则⊙O 一定经过△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ） 外心 （C ）重心 （D ） 垂心4. 已知关于x 的一元二次方程,02=++c bx ax 02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰好有一个公共实数根．则abc ca b bc a 222++的值为（ ） （A ） 0 （B ） 1（C ） 2 （D ） 35. 方程256323+-=++y y x x x 的整数解（y x ,）的个数是（ ） （A ） 0 （B ）1 （C ）3 （D 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA =4，点半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 则这两部分面积之差的绝对值是 ． 7．如图，点A ，C 都在函数)0(33>=x xy 的图象上， 点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形， 则点D 的坐标为 ．8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），若二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ． 9．如图，n G F E D C B A =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠.90°， 则n = ． 10．已知对于任意正整数n ，都有++21a a (3)n a n =+则+-+-111132a a ···=-+11100a ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，—1）点P 是抛物线241x y =上的一个动点．（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点 为Q ，连接NP ，NQ ．求证：∠PNM =∠QNM ．)12．已知a ，b 都是正整数，试问关于的方程0)(212=++-b a abx x 是否有两个 整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．13．如图，已知AB 为半圆O 的直径．点P 为直径上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ．且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．D C P A B M (第13题图) O ·14. （1）是否存在正整数m，n，使得)1nmm？+n=()2(+（2）设knkmm？+n=()(+ k(≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得)1。