初一数学新思维(3)
《新思维》、《新方法》对比简测
《新思维》、《新方法》以及《大视野》都是黄东坡老师的著作，作为初中数学拔高类的教辅，一直以来都被老师、家长和学生所推崇。
其中《大视野》因为主要是涉及竞赛内容，在此我们不再赘述，《新思维》和《新方法》则是一直被认为是初中数学拔高类教辅中的佼佼者，有不少名校培优班的数学老师会选择两者之一作为补充练习。
普遍认为，《新思维》偏课内一些，《新方法》偏竞赛一些，难度更高。
但是到底《新思维》与《新方法》有什么区别，我们说《新方法》偏竞赛， 到底有多“偏”？我们说《新方法》比《新思维》难， 到底难到什么程度？想必朋友们市很好奇这件事情的，正好前一段朋友们打赏我的文章，我用这些钱又购置了一些教辅，其中就有七年级的《新方法》，正好可以和我手头的七年级《新思维》做一个简单的对比评测，为朋友选择教辅提供参考。
关于《新思维》的评测，我在之前已经写过。
见书识人——黄东坡《数学探究应用新思维（七年级数学）》评测所有这里我着重比较两者的区别，更侧重对新方法的分析。
目录一、《新思维》与《新方法》的结构对比二、《新思维》与《新方法》的题目结构与难度对比（一）、知识简析（二）、例题对比（三）、习题对比三、《新思维》与《新方法》到底怎么选？怎么用？（一）、怎么选？（二）、怎么用？四、小结一、《新思维》与《新方法》的结构对比两本书拿到手里，厚薄差不多，《新方法》略厚一些，去掉答案，《新方法》多了大概十几页。
两本书的体例都比较类似，大体都是以七年级数学教材为纲，但是又按照代数、几何、概率统计分别整合成几大块 。
不过 《新方法》又额外多了一部分拓展内容 ，这是它与《新思维》的区别。
我将两本书在各部分中的内容对照表整理出来，大家一看便知。
显然可以看出，在代数部分，《新方法》在内容上是包含了《新思维》的内容的，相较于《新思维》，《新方法》多了一些 数学思维的拓展——走进美妙的数学世界、跨越——从算术到代数、创造的基石——观察、归纳与猜想；在一些 知识上做了细化，比如 一元一次方程中专门设置了绝对值与一元一次方程一节； 增添了整式的乘法与除法、乘法公式等章节。
七年级新思维1~4-有理数
数与代数 1．数形结合话数轴问题解决 例1 （1）（《时代学习报》数学文化节试题）已知a b 、为有理数，且a ＞0，b ＜0，a b +＜0，将四个数a b a b --、、、按由小到大的顺序排列是_______． （2）（广西竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是_______． 【答案】 （1）（江苏省竞赛题）b ＜a -＜a ＜b - （2）4或2或2-或4-例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-． 例3 已知两数a b 、，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小．【答案】 当点B 在原点的右边时，0＜b ＜a ，则||a ＞||b ；当点A 在原点的左边时，b ＜a ＜0，则||a ＜||b ；当点A B 、分别在原点的右、左两侧时，b ＜0＜a ，这时无法比较||a 与||b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，b ＜a =0，则||b ＞||a ；当点B 正好在原点位置时，0=b ＜a ，则||a ＞||b ．例4 （“希望杯”邀请赛试题）电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．【答案】 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则12100K K K 、、、点所表示的有理数分别为112123123499100x x x x --+-+--+-+-+，，，，，由题意得1234x -+-+9910019.94-+=．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A B 、两点所对应的数．（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点），在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A B 、两点所对应的数分别为820-，；（2）C 点对应的数为22-； （3）202102tAM t OP t +===+，（为什么？），则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成1122；变成1；等等）．那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．B A分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点． 解1121421210(1, )18( , , )7883851443( )( )3441583887( , , )8100(1, )8141831850(1)8178()38)(1434)(拉长后对折后拉长后对折后原图21()4341()83)(87180(1)12581121238141878345812381481AB 0故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=．数学冲浪知识技能广场1．数轴上有A B 、两点，若点A 对应的数量2-，且A B 、两点的距离为3，则点B 对应的数是_______. 【答案】5-或12．（“《时代学习报》数学文化节”试题）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A B 、站台分别位于21--，处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”． 【答案】113-3．已知点A B P 、、在数轴上，点B 表示的数为6，85AB AP ==，，那么点P 表示的数是_______．A NB M【答案】3或7- 4．（江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周1、2、0、1…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =_______；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_______（用含n 的代数式表示）. 【答案】（1）2；（2）31n + 5．（2012年湖南省常德市中考题）有理数a b 、在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（ ）A ．0a b +＞B ．0ab ＞C ．0a b +＜D ．0a b -＞ 【答案】A6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东60-米 【答案】A 7．（浙江省绍兴市中考题）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则（ ）．A ．910x ＜＜B ．1011x ＜＜C ．1112x ＜＜D ．1213x ＜＜ 【答案】C8．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001 【答案】C 9．（江苏省无锡市中考题）一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 【答案】12349910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 10．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和． 【答案】12 思维方法天地11．在数轴上，点A B 、分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是_______.【答案】115- AB 中点所表示的数是11123515⎛⎫-+÷=- ⎪⎝⎭12．在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点N 关于原点对称，则a 的值为_______. 【答案】6- 13．（《时代学习报》数学文化节试题）数形相伴（1）如图所示AB ，点A B 、所代表的数分别为12-，，在数轴上画出与A B 、两点的距离和为5的点（并标上字母）.（2）若数轴上点A B 、所代表的数分别为a b 、，则A B 、两点之间的距离可表示为AB = a b -，那么，当127x x ++-=时，x =________；当125x x ++-＞时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在_______． 【答案】（1）如图所示，点C D 、两点即为所求．（2）3x =-或4；点C 的左边或点D 的右边．14．（江苏省竞赛题）点A B 、分别是数132--、在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为AB ''，且线段AB ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是_______，点A 移动的距离是_______．【答案】71944； AB 长为15(3)22⎛⎫---= ⎪⎝⎭，A '对应数为31573224-⨯=，点A 移动的距离为719(3)44--=． 15．（福建省泉州市中考题）点123n A A A A 、、、、（n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，……，依照上述规律，点20082009A A 、所表示的数分别为（ ）．A ．20082009-，B ．20082009-，C ．10041005-，D ．10041004-， 【答案】C 16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】C17．有理数a b c 、、在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）．A ．23a b c +-B ．3b c -C ．b c +D ．c b - 【答案】C 18．（“希望杯”邀请赛题）不相等的有理数a b c 、、在数轴上对应点分别为A B C 、、，若a b b c a c -+-=-，那么点B （ ）．A ．在A C 、点右边B ．在AC 、点左边 C ．在A C 、点之间D ．以上均有可能【答案】C 19．（“CASIO 杯”河南省竞赛题）在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？ 【答案】24与4020．已知数轴上有A B C 、、三点，分别代表241010--、、，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行．甲的速度为4个单位/秒． （1）问多少秒后甲到A B C 、、的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）、（2）的条件下，当甲到A B C 、、的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 【答案】（1）设x 秒后甲到A B C 、、距离和为4010(24)1410(10)20---=-=． ①当甲在A B 、之间时 4(144)(14420)40x x x +-+-+=，得2x =．②当甲在B C 、之间时 4(414)(20414)40x x x +-+-+=，得5x =，即2秒或5秒后． （2）设x 秒后相遇 (46)10(24)x +=-- 1034 3.4.x x ==24 3.4410.4-+⨯=-，即在10.4-处相遇．（3）①设甲向C 走2秒后掉头返回x 秒与乙相遇 2442410266x x -+⨯-=-⨯-，解得7x =． 10266106(2)106944x x ∴-⨯-=-+=-⨯=-． ②设甲向C 走5秒后掉头返回y 秒与乙相遇 2445410566y y -+⨯-=-⨯-，解得8y =-．∴不合题意，舍去．即甲、乙能在44-所表示的点处相遇． 应用探究乐园 21．（2012年北京市中考题）操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '．点A B ，在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段AB ''，其中，点A B，的对应点分别为A '，B '.如图所示，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是_______；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是_______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是_______．【答案】0；3；32．设E 点表示的数为x ，则E '点表示的数为113x +，由113x x =+得32x =．22．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数（如456454x x x ===，，），求2011x 所对应的数.【答案】因20118251322513505=⨯+⨯+=，，故2011x 所对应的数为505．2．聚焦绝对值问题解决例 1 （“CASIO 杯”河南省竞赛题）已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x ＜＜，≤≤，那么y 的最小值为_______．【答案】20 [(20)][(20)]202040y x b x x b x b x x b x =-+--+---=--+-++=-，当20x =时，y 的值最小为20．例2 式子a b aba b ab ++的所有可能的值有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个A B'【答案】A 分00;00;00;00a b a b a b a b >><<><<>，，，，四种情况讨论． 例3 （1）（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知220ab a -+-=， 求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++++1(2006)(2006)a b ++的值．（2）（“希望杯”邀请赛试题）设a b c 、、为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值. 【答案】（1）由2020ab a -=-=，，得21a b ==，． 原式=111111111111223342007200822320072008++++=-+-++-=-⨯⨯⨯⨯12008= 20072008． （2）因a b c 、、为整数，且||||1a b c a -+-=，故||||a b c a --与一个为0，一个为1，从而||()()|1b c b a a c --+-=所以，原式=1+1+0=2． 例4 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道(0)0(0)(0).xx x x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩＞，，＜现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）1x -＜；（2）12x -＜≤；（3）2x ≥．从而化简代数式12x x ++-可分以下3种情况：（1）当1x -＜时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+； （2）当12x -＜≤时，原式1(2)3x x =+--=； （3）当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-． 综上讨论，原式21(1)3(12)21(2).x x x x x -+-⎧⎪=-⎨⎪-⎩＜，＜，≤≥ 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出2x +和4x -的零点值； （2）化简代数式24x x ++-.【答案】（1）分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4|2|x x =∴+，和|4|x -的零点值分别为2x =-和4x =．（2）当2x <-时，原式=(2)(4)2422;x x x x x -+--=---+=-+当24x -<≤时，原式=2(4)6x x +--=；当4x ≥时，原式=2422x x x ++-=-． ∴综上讨论，原式=22(2)6(24)22(4).x x x x x -+<-⎧⎪-<⎨⎪-⎩，，≤≥ 例5 （1）当x 取何值时，3x -有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，52x -+有最大值？这个最大值是多少？ （3）求45x x -+-的最小值． （4）求789x x x -+-+-的最小值．分析 对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示45、的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小.解 （1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0． （2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5． （3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1． （4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2． 对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1； 当45x ＜≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x ＞时，原式4529x x x =-+-=-，最小值为1． 综上所述，原式有最小值等于1． 以退求进例6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算．现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由．分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值． 解 由于输入的数都是非负数，当1200x x ，≥≥时，12x x -不超过12x x 、中最大的数，对123000x x x ，，≥≥≥，则123x x x --不超过123x x x 、、中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是121991x x x ，，，．相当于计算：12319901991x x x x x P ----=，因此P的值1991≤.另外从运算奇偶性分析，12x x 、为整数，12x x -与12x x +奇偶性相同，因此P 与12x x +++1991x 的奇偶性相同．但121991121991x x x +++=+++=偶数．于是断定1990P ≤．我们证明P 可以取到1990.对1，2，3，4，按如下次序：13420---=，(41)(43)(44)(42)0k k k k +-+-+-+=，对于012k =，，，均成立．因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989199019911990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1．数a 在数轴上的位置如图所示 ，且12a +=，则37a +=_______. 【答案】22．已知53a b ==，，且a b b a -=-，那么a b +=_______. 【答案】2-或8- 3．（北京市竞赛题）化简111111200420032003200220022001-+-+--1120012004-= _______． 【答案】04．已知有理数a b c 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则1c a c a b -+-+-化简后的结果是_______． 【答案】12-c b +5．（2012年江苏省盐城市中考题）已知整数1234a a a a ，，，，满足下列条件：121324012a a a a a a ==-+=-+=，，， 33a -+，，依次类推，则2012a 的值为（ ）．A ．1005-B ．1006-C ．1007-D ．2012-【答案】B 12345678a a a a a a a a ，，，，，，，对应的数分别为0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4． 6．已知a a =-，化简12a a ---所得的结果是（ ）．A ．1-B ．1C ．23a -D ．32a - 【答案】A7．若m 是有理数，则m m -一定是（ ）．A ．零B ．非负数C ．正数D ．负数 【答案】B 8．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b c 、、的大小关系如图： ，c 0则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++＞B ．a b c +＜C ．a c a c -=+D ．b c c a --＞ 【答案】C 9．化简 （1）3x -； （2）12x x +++.【答案】（1）原式=3(3)3(3)x x x x -<⎧⎨-⎩≥（2）原式=23(2)1(21)23(1)x x x x x --<-⎧⎪-<-⎨⎪+-⎩≤≥ 10．（南京市中考题）阅读下面材料并回答问题．B B A B A 图④图①图②图③B O O O点A B 、在数轴上分别表示实数a b A B 、，、两点之间的距离表示为AB ．当A B 、两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①，AB OB b a b ===-；当A B 、两点都不在原点时，（1）如图②，点A B 、都在原点的右边，AB OB OA b a =-=-=b a a b -=-；（2）如图③，点A B 、都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； （3）如图④，点A B 、在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-. 综上，数轴上A B 、两点之间的距离AB a b =-．请回答：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_______；②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______，如果2AB =，那么x 为_______； ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是_______．【答案】①3；3；4 ②|1|;1x +或-3 ③12x -≤≤ 思维方法天地11．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知123a b c ===，，，且a b c ＞＞，那么a b c +-=_______．【答案】2或012．（“五羊杯”竞赛题）在数轴上，点A 表示的数是3x +，点B 表示的数是3x -，且A B 、两点的距离为8，则x =_______． 【答案】413．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知51x y ==，，那么x y x y --+=_______． 【答案】2 分x y ，同号、x y ，异号两种情形讨论14．（1）（“希望杯”邀请赛试题）11x x ++-的最小值为_______．（2）（北京市“迎春杯”竞赛题）111213x x x ++-++的最小值为_______．【答案】（1）2 （2）25 15．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b 、在数轴上对应的位置如图所示： 则代数式11a ab aa a a b+--+-+-11b b --的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D16．（北京市中考题）若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（ ）．A ．4-B ．1-C ．0D ．4 【答案】C17．如图，已知数轴上点A B C 、、所对应的数a b c 、、都不为0，且C 是AB 的中点．C B A 如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=，那么原点O 的位置在（ ）．A ．线段AC 上B ．线段CA 的延长线上C ．线段BC 上D ．线段CB 的延长线上 （江苏省竞赛题） 【答案】A 提示：2a bc +=原式化为||||||a b b a +=- 18．（重庆市竞赛题）设1m x x =+-，则m 的最小值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．1- D ．2 【答案】B19．已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且24(1)0a b ++-=，A B 、之0a间的距离记作AB ． （1）求线段AB 的长AB ；（2）设点P 在数轴上对应的数为x ，当2PA PB -=时，求x 的值；（3）若点P 在A 的左侧，M N 、分别是PA PB 、的中点，当点P 在A 的左侧移动时，式子PN PM -的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由．【答案】（1）||5;AB =（2）12x =-；（3）5||||2PN PM -=，值不变． 20．（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知a b c abcx a b c abc=+++，且a b c 、、都不等于0，求x 的所有可能值． 【答案】4或0或4- 应用探究乐园 21．（“希望杯”邀请赛试题）绝对值性质（1）设a b 、为有理数，比较a b +与a b +的大小．（2）已知a b cd 、、、是有理数，916a b c d --，≤≤，且a b c d --+=25，求b a d c ---的值．【答案】（1）||||||a b a b ++≤，当且仅当a b 、同号或a b 、至少有一为0时等号成立．（2）因||9||a bc d --，，≤≤故||||91625a b c d -+-+=≤，又因为25|||()()||a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-，≤≤所以||9||16a b c d -=-=，，故原式9167=-=-．22．已知数轴上两点A B 、对应的数分别为13-，，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ． （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？【答案】（1）1；（2）3.5或-1.5；（3）B 未追上A 时，223t =；b 追上A 时，415t =．3．有理数的运算问题解决例1 （1）（成都市中考题）已知21(123)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2b =122(1)(1)a a --，，122(1)(1)(1)n n b a a a =---，则通过计算推测n b 的表达式n b =_______．（用含n 的代数式表示） （2）（“希望杯”邀请赛试题）若a b 、是互为相反数，c d 、是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b +--的值是_______． 【答案】（1）21n n ++ （2）20例 2 （江苏省竞赛题）已知整数a b c d 、、、满足25abcd =，且a b c d ＞＞＞，那么a b c d +++等于（ ）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12【答案】D 51(1)(5)5115abcd a b c d =⨯⨯-⨯-===-=-，，，，． 例3 计算 （1）（广西竞赛题）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（“祖冲之杯”邀请赛试题）111112123123100+++++++++++； （3）（“五羊杯”竞赛题）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）885 设原式=S ,又12132159581233444606060S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，两式相加得2123591770S =++++=，所以885;S = （2）200112112;201123(1)12nn n n n ⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭ （3）2 原式34247616261022272739A A ⎛⎫=+-÷=÷= ⎪⎝⎭，其中1712388135272739A =+-．例4 （辽宁省大连市中考题）在数学活动中，小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示），设计了如图所示的几何图形．图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值； （2）请你用图②，再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】（1）原式=112n -；（2）略． 例5 在1，2，…，2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值．分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．因a b +与a b -的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1+2+3+…+2001+2002=2002(12002)2⨯+=10012003⨯的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于1． 又∵(12)(3456)(78910)(11121314)(199920002001-++--++--++--+++--+ 2002)1=，∴所求非负代数和的最小值为1．类比类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6 观察下面的计算过程 111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律． （2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：“提出问题比解决问题更重要”． 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．分析与解 （1）111(1)1n n n n =-++．（2）从连续自然数到连续偶数，从2个到3个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题： ①111244620122014+++⨯⨯⨯；②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯； ④22221232012++++．数学冲浪知识技能广场 1．（2012年潍坊市中考题）如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1357+++++(21)n -=_______．（用n 表示，n 是正整数）．【答案】2n 2．（2012年河北省中考题）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第2位同学报112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭，……这样得到的20个数的积为_______．【答案】21 3．计算：（第1题）n2n-1n1234（1）（“希望杯”邀请赛试题）211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=_______． （2）（广西桂林市中考题）23181920222222-----+=_______． 【答案】（1）154000；（2）6 21n +-22n n = 4．（2012年湖北省黄石市中考题）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：123S =+++…+98+99+100 ① S =100+99+98+…+3+2+1 ②①+②有2(1100)1005050S S =+⨯=，． 请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，3+5+7+…+（21n +）=168，则n =_______． 【答案】12 由(321)1682n n ++=，得(21214n n +=⨯ 5．（“希望杯”邀请赛试题）设0a ＜，在代数式20092010a a a aa --，，，，，22a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，中负数的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 6．（2012年四川省竞赛题）我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为470克，则他应付邮资（ ）元．A ．2.3B ．2.6C ．3D ．3.5 【答案】A 470100310070=+⨯+7．（湖北省鄂州市中考题）为了求232012222+++++的值，可令23200812222S =+++++，则2222S =++342009222+++，因此2009221S S -=-，所以23200820091222221+++++=-．仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）．A ．200951- B ．201051- C ．2009514- D ．2010514-【答案】D8．（江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）． A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数【答案】A 提示：第n 个数为1122n -+，把第10、11、12、13个数分别求出． 9．（2012年益阳市中考题）观察图形，解答问题： ⑤④③②-33-9-5-817-4-5-1①xy 11-2-325517-1（1（2【答案】（1）略（2）图④：5(8)(9)3605(8)(9)12360(12)30;y ⨯-⨯-=+-+-=-=÷-=-，，图⑤：13313x x ⋅⋅=-++，解得2x =-．10．（2012年广东省中考题）观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； ……请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：5a =_______=_______；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =_______=________（n 为正整数）； （3）求1234100a a a a a +++++的值．【答案】（1）51111;9112911a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭（2）1111;(21)(21)22121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪--=+⎝⎭（3）原式100201=思维方法天地 11．计算：（1）（“华罗庚杯”邀请赛试题）1111111113243546⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111979998100⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭_______． （2）（“希望杯”邀请赛试题）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．（3）（江苏省竞赛题）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．【答案】（1）1.98；（2）9110；（3）1.04 12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0abb ，，的形式，则20042001a b +=_______．【答案】2 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，a b +与a 中有一个为0，ba与b 中有一个为1，可推得11a b =-=，． 13．（“五羊杯”竞赛题）已知31x x =+，则22005(64489)x x ++=_______．【答案】114．（四川省竞赛题）已知a b c 、、满足()()()0a b b c c a +++=且0abc ＜，则代数式a b ca b c ++的值是______． 【答案】115．（北京市竞赛题）11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）． A ．118 B ．136 C ．133 D ．166 【答案】B16．如果4个不同的正整数m n p q 、、、满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么m n ++ p q +等于（ ）． A ．10 B ．21 C ．24 D ．26 E ．28 【答案】E 42(2)1(1)=⨯-⨯⨯- 17．（河北省竞赛题）如果3121231t t tt t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ）． A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定【答案】A 18．（济南市中考题）观察下列各式： （1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=；……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）． A ．210051006100730162011++++= B ．210051006100730172011++++= C ．210061007100830162011++++= D ．210071008100930172011++++= 【答案】C 19．（“希望杯”邀请赛试题）观察下面的等式： 224224⨯=+=，；313134342222⨯=+=，； 414145453333⨯=+=，； 515156564444⨯=+=，． （1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想． 【答案】（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如131 3.⨯≠+ （2）将第一组等式变形为22242411⨯=+=，，得出如下猜想：“若n 是正整数，则11(1)(1)n n n n n n ++⨯+=++”．证明：左边=111(1)(1)n n n n n +⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭右边． 20．（四川省内江市中考题）同学们，我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道1011223(1)3n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=(1)(1)n n +-时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：2222212(10)1(11)2101212(12)(0112)123(10)1+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯++=+⨯+，(11)2(12)3101212323(123)(011223)+⨯++⨯=+⨯++⨯++⨯=+++⨯+⨯+⨯，22221234(10)1(11)2(12)3_______101212323_______+++=+⨯++⨯++⨯+=+⨯++⨯++⨯+(1234)(_______)=++++；……（2）归纳结论：[]2222123(10)1(11)2(12)31(1)n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-101212323(1)n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯(_______)(__________)=+ ______________=+1_______6=；（3）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是______．【答案】（1）(13)4;434;01122334;+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯（2）123;n++++0⨯1+1⨯2+2⨯3+…+(1)n n-；12n(1);n+13(1)(1);n n n+-(1)(21)n n n++；（3）338350．应用探究乐园21．（山东省青岛市中考题）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1234n+++++的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1234n+++++的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为123n，，，，个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n+++++的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有(1)n+个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为(1)n n+个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为(1)2n n+，即(1)12342n nn++++++=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙n∙∙∙∙∙∙n43211234（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）【答案】原式=2n，构造平行四边形或正方形．22．（四川省竞赛题）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为12345++--++6789--+是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法的种数．【答案】（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，无论怎样填“+”、“-”号，代数和一定是奇数，又1234567897--++-+-+=，故7是可被表出的数，而8是不可被表出的数．（2）设填“+”号的数字和为x ，填“-”号的数字和为y ，则25x y -=，又45x y +=，解得3510x y ==，，因910123410<+++=，，故填“-”号的数字至少有2个至多有4个，由此知填“-”号的数之和为10，只要计算出从1到9中选出若干个其和为10的数字的不同方法，就得到25可表出的不同方法，经讨论知有4+4+1=9种．4．信息技术中的数学问题问题解决例1 （广西竞赛题）给出下列程序x k b →→⨯→+→入立方出输输，且已知当输入的x 值为1时，输出值为1；输入的x 值为1-时，输出值为3-，则当输入的x 值为12时，输出值为_______．【答案】由条件得13k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，得2k b ==-，1，故当12x =时，33132(1)24kx b ⎛⎫+=⨯+-=- ⎪⎝⎭．例2 （湖北省荆门市中考题）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n 数的和，依次写出1或0即可．如4321()(2)19162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十．为二进制下的5倍数，则十进数2004是二进制下的（ ）．A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数 【答案】 B 2004=1024+980=1⨯102+980．例3 （第17届“希望杯”邀请赛试题）一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送．例如信息到2b 点可由径1a 的站点送达，也可由经2a 的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条．【答案】画出路线图：b 2c 3c 3c 2c 2d 3d 3d 3d 3d 3b 2b 3c 2a 1b 1a 2d 3c 3A故有6条不同途径． 例 4 （《时间学习报》数学文化节试题）你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的54321。
七年级新思维1~4-有理数
数与代数 1．数形结合话数轴问题解决 例1 （1）（《时代学习报》数学文化节试题）已知a b 、为有理数，且a ＞0，b ＜0，a b +＜0，将四个数a b a b --、、、按由小到大的顺序排列是_______． （2）（广西竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是_______． 【答案】 （1）（江苏省竞赛题）b ＜a -＜a ＜b - （2）4或2或2-或4-例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-． 例3 已知两数a b 、，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小．【答案】 当点B 在原点的右边时，0＜b ＜a ，则||a ＞||b ；当点A 在原点的左边时，b ＜a ＜0，则||a ＜||b ；当点A B 、分别在原点的右、左两侧时，b ＜0＜a ，这时无法比较||a 与||b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，b ＜a =0，则||b ＞||a ；当点B 正好在原点位置时，0=b ＜a ，则||a ＞||b ．例4 （“希望杯”邀请赛试题）电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．【答案】 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则12100K K K 、、、点所表示的有理数分别为112123123499100x x x x --+-+--+-+-+，，，，，由题意得1234x -+-+9910019.94-+=．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A B 、两点所对应的数．（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点），在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A B 、两点所对应的数分别为820-，；（2）C 点对应的数为22-； （3）202102tAM t OP t +===+，（为什么？），则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成1122；变成1；等等）．那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．B A分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点． 解1121421210(1, )18( , , )7883851443( )( )3441583887( , , )8100(1, )8141831850(1)8178()38)(1434)(拉长后对折后拉长后对折后原图21()4341()83)(87180(1)12581121238141878345812381481AB 0故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=．数学冲浪知识技能广场1．数轴上有A B 、两点，若点A 对应的数量2-，且A B 、两点的距离为3，则点B 对应的数是_______. 【答案】5-或12．（“《时代学习报》数学文化节”试题）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A B 、站台分别位于21--，处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”． 【答案】113-3．已知点A B P 、、在数轴上，点B 表示的数为6，85AB AP ==，，那么点P 表示的数是_______．A NB M【答案】3或7- 4．（江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周1、2、0、1…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =_______；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_______（用含n 的代数式表示）. 【答案】（1）2；（2）31n + 5．（2012年湖南省常德市中考题）有理数a b 、在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（ ）A ．0a b +＞B ．0ab ＞C ．0a b +＜D ．0a b -＞ 【答案】A6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东60-米 【答案】A 7．（浙江省绍兴市中考题）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则（ ）．A ．910x ＜＜B ．1011x ＜＜C ．1112x ＜＜D ．1213x ＜＜ 【答案】C8．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001 【答案】C 9．（江苏省无锡市中考题）一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 【答案】12349910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 10．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和． 【答案】12 思维方法天地11．在数轴上，点A B 、分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是_______.【答案】115- AB 中点所表示的数是11123515⎛⎫-+÷=- ⎪⎝⎭12．在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点N 关于原点对称，则a 的值为_______. 【答案】6- 13．（《时代学习报》数学文化节试题）数形相伴（1）如图所示AB ，点A B 、所代表的数分别为12-，，在数轴上画出与A B 、两点的距离和为5的点（并标上字母）.（2）若数轴上点A B 、所代表的数分别为a b 、，则A B 、两点之间的距离可表示为AB = a b -，那么，当127x x ++-=时，x =________；当125x x ++-＞时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在_______． 【答案】（1）如图所示，点C D 、两点即为所求．（2）3x =-或4；点C 的左边或点D 的右边．14．（江苏省竞赛题）点A B 、分别是数132--、在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为AB ''，且线段AB ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是_______，点A 移动的距离是_______．【答案】71944； AB 长为15(3)22⎛⎫---= ⎪⎝⎭，A '对应数为31573224-⨯=，点A 移动的距离为719(3)44--=． 15．（福建省泉州市中考题）点123n A A A A 、、、、（n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，……，依照上述规律，点20082009A A 、所表示的数分别为（ ）．A ．20082009-，B ．20082009-，C ．10041005-，D ．10041004-， 【答案】C 16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】C17．有理数a b c 、、在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）．A ．23a b c +-B ．3b c -C ．b c +D ．c b - 【答案】C 18．（“希望杯”邀请赛题）不相等的有理数a b c 、、在数轴上对应点分别为A B C 、、，若a b b c a c -+-=-，那么点B （ ）．A ．在A C 、点右边B ．在AC 、点左边 C ．在A C 、点之间D ．以上均有可能【答案】C 19．（“CASIO 杯”河南省竞赛题）在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？ 【答案】24与4020．已知数轴上有A B C 、、三点，分别代表241010--、、，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行．甲的速度为4个单位/秒． （1）问多少秒后甲到A B C 、、的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）、（2）的条件下，当甲到A B C 、、的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 【答案】（1）设x 秒后甲到A B C 、、距离和为4010(24)1410(10)20---=-=． ①当甲在A B 、之间时 4(144)(14420)40x x x +-+-+=，得2x =．②当甲在B C 、之间时 4(414)(20414)40x x x +-+-+=，得5x =，即2秒或5秒后． （2）设x 秒后相遇 (46)10(24)x +=-- 1034 3.4.x x ==24 3.4410.4-+⨯=-，即在10.4-处相遇．（3）①设甲向C 走2秒后掉头返回x 秒与乙相遇 2442410266x x -+⨯-=-⨯-，解得7x =． 10266106(2)106944x x ∴-⨯-=-+=-⨯=-． ②设甲向C 走5秒后掉头返回y 秒与乙相遇 2445410566y y -+⨯-=-⨯-，解得8y =-．∴不合题意，舍去．即甲、乙能在44-所表示的点处相遇． 应用探究乐园 21．（2012年北京市中考题）操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '．点A B ，在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段AB ''，其中，点A B，的对应点分别为A '，B '.如图所示，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是_______；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是_______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是_______．【答案】0；3；32．设E 点表示的数为x ，则E '点表示的数为113x +，由113x x =+得32x =．22．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数（如456454x x x ===，，），求2011x 所对应的数.【答案】因20118251322513505=⨯+⨯+=，，故2011x 所对应的数为505．2．聚焦绝对值问题解决例 1 （“CASIO 杯”河南省竞赛题）已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x ＜＜，≤≤，那么y 的最小值为_______．【答案】20 [(20)][(20)]202040y x b x x b x b x x b x =-+--+---=--+-++=-，当20x =时，y 的值最小为20．例2 式子a b aba b ab ++的所有可能的值有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个A B'【答案】A 分00;00;00;00a b a b a b a b >><<><<>，，，，四种情况讨论． 例3 （1）（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知220ab a -+-=， 求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++++1(2006)(2006)a b ++的值．（2）（“希望杯”邀请赛试题）设a b c 、、为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值. 【答案】（1）由2020ab a -=-=，，得21a b ==，． 原式=111111111111223342007200822320072008++++=-+-++-=-⨯⨯⨯⨯12008= 20072008． （2）因a b c 、、为整数，且||||1a b c a -+-=，故||||a b c a --与一个为0，一个为1，从而||()()|1b c b a a c --+-=所以，原式=1+1+0=2． 例4 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道(0)0(0)(0).xx x x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩＞，，＜现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）1x -＜；（2）12x -＜≤；（3）2x ≥．从而化简代数式12x x ++-可分以下3种情况：（1）当1x -＜时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+； （2）当12x -＜≤时，原式1(2)3x x =+--=； （3）当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-． 综上讨论，原式21(1)3(12)21(2).x x x x x -+-⎧⎪=-⎨⎪-⎩＜，＜，≤≥ 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出2x +和4x -的零点值； （2）化简代数式24x x ++-.【答案】（1）分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4|2|x x =∴+，和|4|x -的零点值分别为2x =-和4x =．（2）当2x <-时，原式=(2)(4)2422;x x x x x -+--=---+=-+当24x -<≤时，原式=2(4)6x x +--=；当4x ≥时，原式=2422x x x ++-=-． ∴综上讨论，原式=22(2)6(24)22(4).x x x x x -+<-⎧⎪-<⎨⎪-⎩，，≤≥ 例5 （1）当x 取何值时，3x -有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，52x -+有最大值？这个最大值是多少？ （3）求45x x -+-的最小值． （4）求789x x x -+-+-的最小值．分析 对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示45、的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小.解 （1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0． （2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5． （3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1． （4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2． 对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1； 当45x ＜≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x ＞时，原式4529x x x =-+-=-，最小值为1． 综上所述，原式有最小值等于1． 以退求进例6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算．现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由．分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值． 解 由于输入的数都是非负数，当1200x x ，≥≥时，12x x -不超过12x x 、中最大的数，对123000x x x ，，≥≥≥，则123x x x --不超过123x x x 、、中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是121991x x x ，，，．相当于计算：12319901991x x x x x P ----=，因此P的值1991≤.另外从运算奇偶性分析，12x x 、为整数，12x x -与12x x +奇偶性相同，因此P 与12x x +++1991x 的奇偶性相同．但121991121991x x x +++=+++=偶数．于是断定1990P ≤．我们证明P 可以取到1990.对1，2，3，4，按如下次序：13420---=，(41)(43)(44)(42)0k k k k +-+-+-+=，对于012k =，，，均成立．因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989199019911990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1．数a 在数轴上的位置如图所示 ，且12a +=，则37a +=_______. 【答案】22．已知53a b ==，，且a b b a -=-，那么a b +=_______. 【答案】2-或8- 3．（北京市竞赛题）化简111111200420032003200220022001-+-+--1120012004-= _______． 【答案】04．已知有理数a b c 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则1c a c a b -+-+-化简后的结果是_______． 【答案】12-c b +5．（2012年江苏省盐城市中考题）已知整数1234a a a a ，，，，满足下列条件：121324012a a a a a a ==-+=-+=，，， 33a -+，，依次类推，则2012a 的值为（ ）．A ．1005-B ．1006-C ．1007-D ．2012-【答案】B 12345678a a a a a a a a ，，，，，，，对应的数分别为0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4． 6．已知a a =-，化简12a a ---所得的结果是（ ）．A ．1-B ．1C ．23a -D ．32a - 【答案】A7．若m 是有理数，则m m -一定是（ ）．A ．零B ．非负数C ．正数D ．负数 【答案】B 8．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b c 、、的大小关系如图： ，c 0则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++＞B ．a b c +＜C ．a c a c -=+D ．b c c a --＞ 【答案】C 9．化简 （1）3x -； （2）12x x +++.【答案】（1）原式=3(3)3(3)x x x x -<⎧⎨-⎩≥（2）原式=23(2)1(21)23(1)x x x x x --<-⎧⎪-<-⎨⎪+-⎩≤≥ 10．（南京市中考题）阅读下面材料并回答问题．B B A B A 图④图①图②图③B O O O点A B 、在数轴上分别表示实数a b A B 、，、两点之间的距离表示为AB ．当A B 、两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①，AB OB b a b ===-；当A B 、两点都不在原点时，（1）如图②，点A B 、都在原点的右边，AB OB OA b a =-=-=b a a b -=-；（2）如图③，点A B 、都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； （3）如图④，点A B 、在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-. 综上，数轴上A B 、两点之间的距离AB a b =-．请回答：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_______；②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______，如果2AB =，那么x 为_______； ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是_______．【答案】①3；3；4 ②|1|;1x +或-3 ③12x -≤≤ 思维方法天地11．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知123a b c ===，，，且a b c ＞＞，那么a b c +-=_______．【答案】2或012．（“五羊杯”竞赛题）在数轴上，点A 表示的数是3x +，点B 表示的数是3x -，且A B 、两点的距离为8，则x =_______． 【答案】413．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知51x y ==，，那么x y x y --+=_______． 【答案】2 分x y ，同号、x y ，异号两种情形讨论14．（1）（“希望杯”邀请赛试题）11x x ++-的最小值为_______．（2）（北京市“迎春杯”竞赛题）111213x x x ++-++的最小值为_______．【答案】（1）2 （2）25 15．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b 、在数轴上对应的位置如图所示： 则代数式11a ab aa a a b+--+-+-11b b --的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D16．（北京市中考题）若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（ ）．A ．4-B ．1-C ．0D ．4 【答案】C17．如图，已知数轴上点A B C 、、所对应的数a b c 、、都不为0，且C 是AB 的中点．C B A 如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=，那么原点O 的位置在（ ）．A ．线段AC 上B ．线段CA 的延长线上C ．线段BC 上D ．线段CB 的延长线上 （江苏省竞赛题） 【答案】A 提示：2a bc +=原式化为||||||a b b a +=- 18．（重庆市竞赛题）设1m x x =+-，则m 的最小值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．1- D ．2 【答案】B19．已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且24(1)0a b ++-=，A B 、之0a间的距离记作AB ． （1）求线段AB 的长AB ；（2）设点P 在数轴上对应的数为x ，当2PA PB -=时，求x 的值；（3）若点P 在A 的左侧，M N 、分别是PA PB 、的中点，当点P 在A 的左侧移动时，式子PN PM -的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由．【答案】（1）||5;AB =（2）12x =-；（3）5||||2PN PM -=，值不变． 20．（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知a b c abcx a b c abc=+++，且a b c 、、都不等于0，求x 的所有可能值． 【答案】4或0或4- 应用探究乐园 21．（“希望杯”邀请赛试题）绝对值性质（1）设a b 、为有理数，比较a b +与a b +的大小．（2）已知a b cd 、、、是有理数，916a b c d --，≤≤，且a b c d --+=25，求b a d c ---的值．【答案】（1）||||||a b a b ++≤，当且仅当a b 、同号或a b 、至少有一为0时等号成立．（2）因||9||a bc d --，，≤≤故||||91625a b c d -+-+=≤，又因为25|||()()||a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-，≤≤所以||9||16a b c d -=-=，，故原式9167=-=-．22．已知数轴上两点A B 、对应的数分别为13-，，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ． （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？【答案】（1）1；（2）3.5或-1.5；（3）B 未追上A 时，223t =；b 追上A 时，415t =．3．有理数的运算问题解决例1 （1）（成都市中考题）已知21(123)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2b =122(1)(1)a a --，，122(1)(1)(1)n n b a a a =---，则通过计算推测n b 的表达式n b =_______．（用含n 的代数式表示） （2）（“希望杯”邀请赛试题）若a b 、是互为相反数，c d 、是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b +--的值是_______． 【答案】（1）21n n ++ （2）20例 2 （江苏省竞赛题）已知整数a b c d 、、、满足25abcd =，且a b c d ＞＞＞，那么a b c d +++等于（ ）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12【答案】D 51(1)(5)5115abcd a b c d =⨯⨯-⨯-===-=-，，，，． 例3 计算 （1）（广西竞赛题）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（“祖冲之杯”邀请赛试题）111112123123100+++++++++++； （3）（“五羊杯”竞赛题）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）885 设原式=S ,又12132159581233444606060S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，两式相加得2123591770S =++++=，所以885;S = （2）200112112;201123(1)12nn n n n ⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭ （3）2 原式34247616261022272739A A ⎛⎫=+-÷=÷= ⎪⎝⎭，其中1712388135272739A =+-．例4 （辽宁省大连市中考题）在数学活动中，小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示），设计了如图所示的几何图形．图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值； （2）请你用图②，再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】（1）原式=112n -；（2）略． 例5 在1，2，…，2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值．分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．因a b +与a b -的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1+2+3+…+2001+2002=2002(12002)2⨯+=10012003⨯的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于1． 又∵(12)(3456)(78910)(11121314)(199920002001-++--++--++--+++--+ 2002)1=，∴所求非负代数和的最小值为1．类比类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6 观察下面的计算过程 111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律． （2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：“提出问题比解决问题更重要”． 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．分析与解 （1）111(1)1n n n n =-++．（2）从连续自然数到连续偶数，从2个到3个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题： ①111244620122014+++⨯⨯⨯；②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯； ④22221232012++++．数学冲浪知识技能广场 1．（2012年潍坊市中考题）如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1357+++++(21)n -=_______．（用n 表示，n 是正整数）．【答案】2n 2．（2012年河北省中考题）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第2位同学报112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭，……这样得到的20个数的积为_______．【答案】21 3．计算：（第1题）n2n-1n1234（1）（“希望杯”邀请赛试题）211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=_______． （2）（广西桂林市中考题）23181920222222-----+=_______． 【答案】（1）154000；（2）6 21n +-22n n = 4．（2012年湖北省黄石市中考题）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：123S =+++…+98+99+100 ① S =100+99+98+…+3+2+1 ②①+②有2(1100)1005050S S =+⨯=，． 请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，3+5+7+…+（21n +）=168，则n =_______． 【答案】12 由(321)1682n n ++=，得(21214n n +=⨯ 5．（“希望杯”邀请赛试题）设0a ＜，在代数式20092010a a a aa --，，，，，22a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，中负数的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 6．（2012年四川省竞赛题）我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为470克，则他应付邮资（ ）元．A ．2.3B ．2.6C ．3D ．3.5 【答案】A 470100310070=+⨯+7．（湖北省鄂州市中考题）为了求232012222+++++的值，可令23200812222S =+++++，则2222S =++342009222+++，因此2009221S S -=-，所以23200820091222221+++++=-．仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）．A ．200951- B ．201051- C ．2009514- D ．2010514-【答案】D8．（江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）． A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数【答案】A 提示：第n 个数为1122n -+，把第10、11、12、13个数分别求出． 9．（2012年益阳市中考题）观察图形，解答问题： ⑤④③②-33-9-5-817-4-5-1①xy 11-2-325517-1（1（2【答案】（1）略（2）图④：5(8)(9)3605(8)(9)12360(12)30;y ⨯-⨯-=+-+-=-=÷-=-，，图⑤：13313x x ⋅⋅=-++，解得2x =-．10．（2012年广东省中考题）观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； ……请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：5a =_______=_______；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =_______=________（n 为正整数）； （3）求1234100a a a a a +++++的值．【答案】（1）51111;9112911a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭（2）1111;(21)(21)22121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪--=+⎝⎭（3）原式100201=思维方法天地 11．计算：（1）（“华罗庚杯”邀请赛试题）1111111113243546⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111979998100⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭_______． （2）（“希望杯”邀请赛试题）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．（3）（江苏省竞赛题）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．【答案】（1）1.98；（2）9110；（3）1.04 12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0abb ，，的形式，则20042001a b +=_______．【答案】2 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，a b +与a 中有一个为0，ba与b 中有一个为1，可推得11a b =-=，． 13．（“五羊杯”竞赛题）已知31x x =+，则22005(64489)x x ++=_______．【答案】114．（四川省竞赛题）已知a b c 、、满足()()()0a b b c c a +++=且0abc ＜，则代数式a b ca b c ++的值是______． 【答案】115．（北京市竞赛题）11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）． A ．118 B ．136 C ．133 D ．166 【答案】B16．如果4个不同的正整数m n p q 、、、满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么m n ++ p q +等于（ ）． A ．10 B ．21 C ．24 D ．26 E ．28 【答案】E 42(2)1(1)=⨯-⨯⨯- 17．（河北省竞赛题）如果3121231t t tt t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ）． A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定【答案】A 18．（济南市中考题）观察下列各式： （1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=；……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）． A ．210051006100730162011++++= B ．210051006100730172011++++= C ．210061007100830162011++++= D ．210071008100930172011++++= 【答案】C 19．（“希望杯”邀请赛试题）观察下面的等式： 224224⨯=+=，；313134342222⨯=+=，； 414145453333⨯=+=，； 515156564444⨯=+=，． （1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想． 【答案】（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如131 3.⨯≠+ （2）将第一组等式变形为22242411⨯=+=，，得出如下猜想：“若n 是正整数，则11(1)(1)n n n n n n ++⨯+=++”．证明：左边=111(1)(1)n n n n n +⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭右边． 20．（四川省内江市中考题）同学们，我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道1011223(1)3n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=(1)(1)n n +-时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：2222212(10)1(11)2101212(12)(0112)123(10)1+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯++=+⨯+，(11)2(12)3101212323(123)(011223)+⨯++⨯=+⨯++⨯++⨯=+++⨯+⨯+⨯，22221234(10)1(11)2(12)3_______101212323_______+++=+⨯++⨯++⨯+=+⨯++⨯++⨯+(1234)(_______)=++++；……（2）归纳结论：[]2222123(10)1(11)2(12)31(1)n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-101212323(1)n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯(_______)(__________)=+ ______________=+1_______6=；（3）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是______．【答案】（1）(13)4;434;01122334;+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯（2）123;n++++0⨯1+1⨯2+2⨯3+…+(1)n n-；12n(1);n+13(1)(1);n n n+-(1)(21)n n n++；（3）338350．应用探究乐园21．（山东省青岛市中考题）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1234n+++++的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1234n+++++的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为123n，，，，个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n+++++的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有(1)n+个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为(1)n n+个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为(1)2n n+，即(1)12342n nn++++++=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙n∙∙∙∙∙∙n43211234（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）【答案】原式=2n，构造平行四边形或正方形．22．（四川省竞赛题）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为12345++--++6789--+是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法的种数．【答案】（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，无论怎样填“+”、“-”号，代数和一定是奇数，又1234567897--++-+-+=，故7是可被表出的数，而8是不可被表出的数．（2）设填“+”号的数字和为x ，填“-”号的数字和为y ，则25x y -=，又45x y +=，解得3510x y ==，，因910123410<+++=，，故填“-”号的数字至少有2个至多有4个，由此知填“-”号的数之和为10，只要计算出从1到9中选出若干个其和为10的数字的不同方法，就得到25可表出的不同方法，经讨论知有4+4+1=9种．4．信息技术中的数学问题问题解决例1 （广西竞赛题）给出下列程序x k b →→⨯→+→入立方出输输，且已知当输入的x 值为1时，输出值为1；输入的x 值为1-时，输出值为3-，则当输入的x 值为12时，输出值为_______．【答案】由条件得13k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，得2k b ==-，1，故当12x =时，33132(1)24kx b ⎛⎫+=⨯+-=- ⎪⎝⎭．例2 （湖北省荆门市中考题）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n 数的和，依次写出1或0即可．如4321()(2)19162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十．为二进制下的5倍数，则十进数2004是二进制下的（ ）．A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数 【答案】 B 2004=1024+980=1⨯102+980．例3 （第17届“希望杯”邀请赛试题）一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送．例如信息到2b 点可由径1a 的站点送达，也可由经2a 的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条．【答案】画出路线图：b 2c 3c 3c 2c 2d 3d 3d 3d 3d 3b 2b 3c 2a 1b 1a 2d 3c 3A故有6条不同途径． 例 4 （《时间学习报》数学文化节试题）你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的54321。
新思维系列七年级数学正数和负数课后拓展训练
正数和负数1．下列说法正确的有( )①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上一个“一”号，就是一个负数；③大于零的数是正数；④字母a既是正数，又是负数.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．下列说法正确的是( )A．－3，－5，－0．5，0都是负数 B．0既是正数又是负数C．0不是非负数 D．6既是整数又是正数3．规定上升为正，水位上升了－0．5 m的意义是( )A．水位上升了0．5 m B．水位下降了0．5 mC．水位没有变化 D．水位下降了5 m4．如果一个物体沿着东、西两个方向运动，若向东记为正，向西记为负，则：(1)向东运动2米，记作，向西运动4米，记作；(2)＋3米表示向运动米，－6米表示向运动米；(3)物体原地不动时，记作米．5．如图1－1－2所示，某食品包装盒上标有“净含量385g±5g”，则这盒食品的合格净含量范围是g～390g．6．课桌高度比标准高度高2毫米记作＋2毫米，那么比标准高度低3毫米记作什么?现有5张课桌，量得它们的高度比标准高度分别高＋1毫米，－1毫米，0毫米，＋3毫米，－1．5毫米，若规定课桌的高度比标准高度高最多不能超过2毫米，低最多不能超过2毫米就算合格，那么上述5张课桌中有几张合格?参考答案1．C 解析：本题考查正负数的概念．说法①不正确，如：2前面没有符号，但也是正数；说法②正确，符合负数的概念；说法③正确，符合正数的概念；说法④不正确，字母a可以表示正数，也可以表示负数或0，但不可能既是正数，又是负数．2．D 解析：0既不是正数，也不是负数，故A、B均错；非负数是指正数和0，所以C 错，故选D．3．B 解析：负数和正数表示具有相反意义的量，“水位上升了－0．5 m”就是“水位下降了0．5 m”．4．(1)＋2米，－4米 (2)东，3，西，6 (3)05．380 解析：“净含量385 g±5 g”中385 g表示标准质量，＋5 g表示超出标准质量的最大值是5 g，－5 g表示低于标准质量的最大值是5 g．6．解：比标准高度低3毫米记作－3毫米．上述5张课桌中有4张合格．。
探究应用新思维-数学7年级1-10
1．数形分离话数轴之阳早格格创做解读课标数教是钻研“数”战“形”的一门教科，从古希腊时期起，人们便已试图把它们统所有去.正在凡是死计中咱们常常对付有形的物品认识比较快，而对付抽象的物品认识比较缓，那正是现阶段数教教习的特性，以形帮数是数教教习的一个要害要领．使用数形分离思维解题的闭键是修坐数与形之间的通联，现阶段数轴是数形通联的有力工具，主要反映正在：1．利用数轴局里天表示有理数；2．利用数轴曲瞅天阐明好异数；3．利用数轴办理与千万于值有闭的问题；4．利用数轴比较有理数的大小．问题办理例1 (1)已知a、b为有理数，且0+<，将四a ba>，0b<，0个数a、b、a-、b-按由小到大的程序排列是__________．（《时代教习报》数教文化节试题）(2)已知数轴上有A、B二面，A、B之间的距离为1，面A与本面O的距离为3，那么面B对付应的数是__________．（广西竞赛题）试一试对付于(1)，赋值或者借帮数轴比较大小；对付于(2)决定A、B二面正在数轴上的位子，充分思量A、B二面的多种位子闭系.例2如图，数轴上标出若搞个面，每相邻二面相距1个单位，面A 、B 、C 、D 对付应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的本面应是()．A.A 面B.B 面C.C 面D.D 面（江苏省竞赛题）试一试 从觅找d 与a 的另一闭系式进脚．例3已知二数a 、b ，如果a 比b 大，试推断||a 与||b 的大小. 试一试 果a 、b 标记已定，故a 比b 大有多种情形，借帮数轴可曲瞅周到比较||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤降正在数轴上的某面0K ，第一步从0K 背左跳1个单位到1K ，第二步由1K 背左跳2个单位到2K ，第三步由2K 背左跳3个单位到3K ，第四步由3K 背左跳4个单位到4K ，……，按以上程序跳了100步时，电子跳蚤降正在数轴上的面100K 所表示的数恰是19.94，试供电子跳蚤的初初位子0K 面所表示的数．（“期视杯”邀请赛试题）试一试设0K 面表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 面所表示的数用x 的式子表示．例5已知数轴上的面A 战面B 之间的距离为28个单位少度，面A 正在本面的左边，距离本面8个单位少度，面B 正在本面的左边．(1)供A 、B 二面所对付应的数．(2)数轴上面A 以每秒1个单位少度出收问左疏通，共时面B 以每秒3个单位少度的速度背左疏通，正在面C 处逃上了面A ，供C 面对付应的数．(3)已知正在数轴上面M 从面A 出收背左疏通，速度为每秒1个单位少度，共时面N 从面B 出收背左疏通，速度为每秒2个单位少度，设线段NO 的中面为P (O 为本面)，正在疏通的历程中线段PO AM -的值是可变更？若没有变，供其值；若变更，请道明缘由．分解与解对付于(3)，设M 面疏通时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．(1)A 、B 二面所对付应的数分别为8,20-；(2)C 面对付应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM-的值没有变． 死计开示例6李教授从油条的创造中受到开收，安排了一个数教问题．如图，正在数轴上截与从本面到1的对付应面的线段AB ，对付合后（面A 与面B 沉合），牢固左端背左匀称天推成1个单位少度的线段，那一历程称为一次支配（比圆，正在第一次支配后，本线段AB 上的14，34均形成12；12形成1；等等）.那么正在线段AB 上（除面A 、面B 中）的面中，正在第二次支配后，供恰佳被推到与1沉合的面所对付应的数字之战.（浙江省绍兴市中考题）分解捕获问题所蕴含的疑息，阅读明白“一次支配”的意思：将线段沿中面翻合，中面左侧的面没有动，中面左侧的面翻合到左侧的对付应位子上，由本去的一个仄分面形成二个仄分面．解故正在第二次支配后，恰佳被推到与1沉合的面所对付应的数字之战是131+=．44数教冲浪知识技能广场A、B二面，若面A对付应的数是2-，且A、B二面的距离为3，则面B对付应的数是__________.站台”的2.影戏《哈利·波特》中，小哈利，波特脱墙加进“394镜头（如示企图中的M站台），构思奇妙，能给瞅寡留住深刻的影像，若A、B站台分别位于2-，1-处，2=，则N站AN NB台用类似影戏中的要领可称为“__________站台”．（“《时代教习报》数教文化节”试题）A、B、P正在数轴上，面B表示的数为6，8AP=，那AB=，5么面P表示的数是__________．4.如图所示，按下列要领将数轴的正半轴绕正在一个圆（该圆周少为3个单位少，且正在圆周的三仄分面处分别标上了数字0、1、2）上：先让本面与圆周上数字0所对付应的面沉合，再将正半轴按逆时针目标绕正在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对付应的面分别与圆周上1、2、0、1所对付应的面沉合.那样，正半轴上的整数便与圆周上的数字修坐了一种对付应闭系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对付应，则a =__________； (2)数轴上的一个整数面刚刚刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并降正在圆周上数字1所对付应的位子，那个整数是__________（用含n 的代数式表示）．（江西省中考题）a 、b 正在数轴上的位子如图所示：，则下列各式精确的是()．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b ->（2012年湖北省常德市中考题）6.文具店、书籍店、玩具店依次坐降正在一条物品走背的大街上，文具店正在书籍店西20米，玩具店位于书籍店东100米处．小明从书籍店沿街背东走了40米，交着又背东走了60-米，此时小明的位子正在()．4060-米7.将一刻度尺如图所示搁正在数轴上（数轴的单位少度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对付应数轴上的 3.6-战x ，则()．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<（浙江省绍兴市中考题）119999的线段，则此线段正在那条数轴上最多能挡住的整数面的个数是()．A.1998B.1999C.2000D.2001（沉庆市竞赛题）9.一个跳蚤正在一条曲线上，从O 面开初，第1次背左跳1个单位，紧交着第2次晾左跳2个单位，第3次背左跳3个单位，第4次背左跳4个单位……依此程序剧下去，当它跳第100次降下时，供降面处离O 面的距离（用单位表示）．（江苏省无锡市中考题）A 、B 二面，A 、B 之间的距离为1，面A 与本面O 的距离为3，供所有谦脚条件的面B 与本面O 的距离的战．（北京市“迎秋杯”竞赛题）--思维要领天天--11.正在数轴上，面A 、B 分别表示13-战15，则线段AB 的中面所表示的数是____.12.正在数轴上，表示数(2)2a +，的面M 与表示数(3)3a +，的面N闭于本面对付称，则a 的值为__________．(1)如图所示，面A 、B 所代表的数分别为1-,2，正在数轴上绘出与A 、B 二面的距离战为5的面（并标上字母）．(2)若数轴上面A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 二面之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对付应的面正在数轴上的位子是正在__________．（《时代教习报》数教文化节试题）A 、B 分别是数3-、12-正在数轴上对付应的面，使线段AB 沿数轴背左移动为A B ''，且线段A B ''的中面对付应的数是3，则面A '对付应的数是__________，面A 移动的距离是__________.（江苏省竞赛题）1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）皆正在数轴上，面1A 正在本面O 的左边，且11AO =，面2A 正在面1A 的左边，且212A A =;面3A 正在面2A 的左边，且323A A =，面4A 正在面3A 的左边，且434A A =，，依照上述程序，面2008A 、2009A 所表示的数分别为()．A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-（祸修省泉州市中考题）16.如图：，数轴—上标出若搞个面，每相邻二面相距1个单位，面A、B、C、D对付应的数分别是整数a、b、c、d，且29-=，那么数轴的本面对付应面是b a（）.A.A面B.B面C.C面D.D面a、b、c正在数轴上的位子如图，式子++-化简截止为( )．a b b ca b++||||||||A.23+- B.3b c- C.b c+D.c b-a b ca、b、c正在数轴上对付应面分别为A、B、C,若-+-=-那么面B( )．||||||a b b c a cA、C A、C面左边A、C(“期视杯”邀请赛题) 19.正在数轴上，N面与O面的距离是N面与30所对付应面之间的距离的4倍，那么N面表示的数是几?(“CASIO杯”河北省竞赛题)-、10,二只电子蚂蚁甲、乙A、B、C三面，分别代表24-、10分别从A、C4个单位/秒.(1)问几秒后甲到A、B、C的距离战为40个单位?(2)若乙的速度为6个单位/秒，二只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C二面共时相背1而止，问甲、乙正在数轴上的哪个面相逢?(3)正在(1)、(2)的条件下，当甲到A、B、C的距离战为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能正在数轴上相逢吗?若能，供出相逢面；若没有克没有及，请道明缘由.对付数轴上的面P举止如下支配：先把面P表示的数乘以13再把所得数对付应的面背左仄移1个单位，得到面P的对付应面P'.面A,B正在数轴上，对付线段AB上的每个面举止上述支配后得到线段A B'',其中，面A,B的对付应面分别为A B'',如图所示，若面A表示的数是3-,则面A'表示的数是__________；若面B'表示的数是2,则面B'表示的数是__________；已知线段AB上的面E通过上述支配后得到的对付应面E'与面E沉合，则面E表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动面P从数轴上的本面出收，沿数轴的正目标以每前进5个单位、退却3P每秒前进或者退却1个单位，设n x表示第n秒面P正在数轴上的位子所对付应的数(如44x=，55x=，64x=)，供2011x所对付应的数.千万于值是数教中的一个基础观念，那一观念是教习好异数、有理数运算、算术根的前提；千万于值又是数教中的一个要害观念，千万于值与其余知识混合产死千万于值圆程、千万于值没有等式、千万于值函数等，正在代数式化简供值、解圆程、解没有等式等圆里有广大的应用，明白、掌握千万于值应注意以下几个圆里：脱去千万于值标记时常使用到相闭规则、分类计划、数形分离等知识要领.从数轴上瞅||a 表示数a 的面到本面的距离；||a b -表示数a 、数b 的二面间的距离.①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠ 例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯”河北省竞赛题)试一试 分离已知条件推断出每一个千万于值标记内式子的正背性，再去掉千万于值标记.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有大概的值有( ). A.2个 B .3个 C.4试一试根据a 、b 的标记所有大概情况，去掉千万于值标记，那是解本例的闭键.例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,供111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯”香港中教竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，供||||||c a a b b c -+-+-的值.(“期视杯”邀请赛试题)试一试对付于（1),由非背数的本量开初出a 、b 的值;对付于(2)，1写成二个非背整数的战的形式又有几种大概?那是解(2)的突破心.例4阅读下列资料并办理有闭问题：咱们知讲(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩当前咱们不妨用那一论断去化简含有千万于值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=战20x -=，分别供得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的整面值)正在有理数范畴内，整面值1x =-战2x =可将部分有理数分成没有沉复且没有遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.进而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，本式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，本式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，本式1221x x x =++-=-.综上计划，本式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请您办理以下问题：(1)分别供出|2|x +战|4|x -的整面值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云北省中考题)试一试正在阅读明白的前提上化简供值.例5(1）当x 与何值时，|3|x -有最小值?那个最小值是几?（2）当x 与何值时，5|2|x -+有最大值?那个最大值是几?（3）供|4||5|x x -++的最小值.（4）供|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分解对付于（3）、（4）可先使用整面分段计划法去掉千万于值标记，再供最小值;也可利用千万于值的几许意思，即正在数轴上找一表示x 的面，使之到表示4、5的面 (:或者表示7、8、9的面）的距离战最小.解(1）当3x =时，本式有最小值，最小值为0.（2）当2x =-时，本式有最大值，最大值为5.（3）当45x ≤≤时，本式有最小值，最小值为1.（4）当8x =时，本式有最小值，最小值为2.对付于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，本式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1； 当45x <≤时，本式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，本式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，本式有最小值等于1.以退供进例6少年科技组造成一台单项功能估计器，对付任性二个整数只可完成供好后 再与千万于值的运算，其运算历程是:输人第一个整数1x ，只隐现没有运算，交着再输人整数2x 心后则隐现12||x x -1到1991那1991个整数随意天一个一个天输人,局部输进完成之后隐现的末尾截止设为P ，试供出P 的最大值，并道明缘由.分解先思量输进个数较少的情形，并分离奇奇分解安排估值，一步步供出P 的最大值.解由于输进的数皆利害背数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -没有超出1x 、2x 中最大的数，对付10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --没有超开工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输进那1991个数的序次是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相称于估计:12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，果此P 的值1991x ≤. 其余从运算奇奇性分解，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇奇性相共，果此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇奇性相共， 但是121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=1990P x ≤，咱们道明P 不妨与到1990.对付 1,2,3,4,按如下序次：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对付于0,1,2,k =⋅⋅⋅均创造.果此，1~1988可按上述办法依次输进末尾隐现截止为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数教冲浪知识技能广场a 正在数轴上的位子如图所示，，且|1|2a +=,则|37|a +=____.||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题）a 、b 、c 正在数轴上的对付应位子如图所示:,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的截止是__________.1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅谦脚下列条件：10a =,21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，则2012a 的值为（ ）.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐皆会中考题）||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的截止是（ ）.A.1-B.1C.23a -D.32a -m 是有理数，则m m -一定是（ ）. a 、b 、c 的大小闭系如图：则下列式子中一定创造的是（ ）.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“期视杯”遨请赛试题)(1)|3|x -； (2)|1||2|x x +++.10.阅读底下资料并回问问题.面A、B正在数轴上分别表示真数a、b，A、B二面之间的距离表示为||AB.。
七年级探究应用新思维 奥数教程
七年级探究应用新思维奥数教程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!一、引言随着新课程改革的不断推进,奥数学习已经不再仅仅局限于计算技巧的训练,更加注重培养学生的数学思维。
2020年探究应用新思维-数学7年级1-10
作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458时间：2020.12.131．数形结合话数轴解读课标数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1．利用数轴形象地表示有理数；2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；4．利用数轴比较有理数的大小．问题解决例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．（《时代学习报》数学文化节试题）(2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．（广西竞赛题）试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是( )．A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点（江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．（“希望杯”邀请赛试题）试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示． 例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边．(1)求A 、B 两点所对应的数．(2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．(3)已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P (O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．分析与解 对于(3)，设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．(1)A 、B 两点所对应的数分别为8,20-；(2)C 点对应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变．生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12变成1；等等）.那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.（浙江省绍兴市中考题）分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪知识技能广场 1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”．（“《时代学习报》数学文化节”试题）3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =__________；(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n 的代数式表示）．（江西省中考题）5.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是( )．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b -> （2012年湖南省常德市中考题）6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在( )．A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店东60-米7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则( )．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<（浙江省绍兴市中考题）8.在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )．A.1998B.1999C.2000D.2001（重庆市竞赛题）9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）．（江苏省无锡市中考题）10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．（北京市“迎春杯”竞赛题）--思维方法天地--11.在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是____. 12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3a +，的点N 关于原点对称，则a 的值为__________．13.数形相伴(1)如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）． (2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在__________．（《时代学习报》数学文化节试题）14.点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为A B ''，且线段A B ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是__________，点A 移动的距离是__________.（江苏省竞赛题）15.点1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11A O =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =;点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )． A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-（福建省泉州市中考题）16.如图：，数轴—上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）.A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点 17.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子||||a b ++||||a b b c ++-化简结果为( )． A.23a b c +- B.3b c - C.b c + D.c b -18.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ,若||||||a b b c a c -+-=-那么点B ( )．A.在A 、C 点右边B.在A 、C 点左边C.在A 、C 点之间D.以上均有可能 (“希望杯”邀请赛题)19.在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少?(“CASIO 杯”河南省竞赛题)20.已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行.甲的速度为4个单位/秒.(1)问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位?(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向1而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458时间：2020.12.1321.操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.点A ,B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中，点A ,B 的对应点分别为A B '',如图所示，若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数是__________；若点B '表示的数是2,则点B '表示的数是__________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数(如44x =，55x =，64x =)，求2011x 所对应的数. 2.聚焦绝对值绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法.2.恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看||a 表示数a 的点到原点的距离；||a b -表示数a 、数b 的两点间的距离.3.灵活运用绝对值的基本性质①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯”河南省竞赛题)试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有可能的值有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个试一试根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯”香港中学竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||c a a b b c -+-+-的值.(“希望杯”邀请赛试题)试一试 对于（1),由非负数的性质先导出a 、b 的值;对于(2)，1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.例4阅读下列材料并解决有关问题：我们知道(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的零点值)在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.从而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，原式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|2|x +和|4|x -的零点值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云南省中考题)试一试 在阅读理解的基础上化简求值.例5 (1）当x 取何值时，|3|x -有最小值?这个最小值是多少?（2）当x 取何值时，5|2|x -+有最大值?这个最大值是多少?（3）求|4||5|x x -++的最小值.（4）求|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点 (:或表示7、8、9的点）的距离和最小.解(1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0.（2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5.（3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1.（4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2.对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1；当45x <≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，原式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，原式有最小值等于1.以退求进例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输人整数2x 心后则显示12||x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由.分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值.解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --不超过工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相当于计算: 12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，因此P 的值1991x ≤.另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇偶性相同，但121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=偶数.于是断定1990P x ≤，我们证明P 可以取到1990.对 1,2,3,4,按如下次序：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对于0,1,2,k =⋅⋅⋅均成立.因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1.数a 在数轴上的位置如图所示，，且|1|2a +=,则|37|a +=____.2.已知||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.3.化简1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题）4.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示: ,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的结果是__________.5.已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅满足下列条件：10a =, 21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，则2012a 的值为（ ）.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐城市中考题）6.已知||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的结果是（ ）.A.1-B.1C.23a -D.32a -7.若m 是有理数，则m m -一定是（ ）.A.零B.非负数C.正数D.负数8.有理数a 、b 、c 的大小关系如图： 则下列式子中一定成立的是（ ）.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“希望杯”遨请赛试题)9.化简(1)|3|x -；(2)|1||2|x x +++.10.阅读下面材料并回答问题.点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为||AB . 作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458时间：2020.12.13。
数学新思维-教学课件
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------数学新思维-教学课件列方程式解应用题 (1)一辆公共汽车上原有32名乘客，第一站上来7人，下去5人，第二站又上来 3 人，下去 10 人，这时汽车上还有多少人? (2)一辆公共汽车上原有 32 名乘客，第一站上来 7 人，下去若干人，第二站又上来 3 人，下去的人数恰好是第一站下去人数的 2 倍，这时汽车上还有 27 人，请问第一站下去几人? 你认为这两个问题哪一个比较难?难在哪里? 如果第二题也像第一题那样顺向思考列式，需要知道什么?不知道怎么办?你能否用一个字母替换题中不知道的量?你能根据题意列出一个等式吗? 有些问题用算术法来解需要逆向思考，不易于理解。
如果换用方程法来解，就可以顺向思考，问题就容易理解了。
一起做 1.小明的年龄的2倍减去l等于他的年龄加上5，求小明的年龄。
思路导航：题中有着怎样的等量关系?知道了哪个未知量就能列出方程?不妨设这个未知量为 x 。
2.甲、乙、丙三个数的和是 96，甲数是乙数的 2 倍，乙数除以丙数商是 5，甲、乙、丙三个数各是多少? 思路导航：题中有哪几个未知量?未知量之间有着怎样的关系?如果知道哪个未知量，更容易表示出其他未知量，不妨就设这个未知量为 X。
根据它们的和是 96，列出方程。
1 / 33. 遥养殖场共养鸡、兔 80 只，已知鸡腿总数比兔腿总数多40 条。
问养殖场有鸡、兔各多少只? 思路导航：如果鸡有 X 只，则兔有( )只。
鸡腿共有( )条，兔腿共有( )条。
4.若干辆汽车装运一批货物，如果每辆装 3.5 吨，这批货物就有2 吨不能运走，如果每辆装 4 吨，装完这批货物后，还可以装 1 吨货，这批货物有多少吨? 思路导航：这批货物总量是一定的，如果知道有多少辆车，就能求出有多少吨货物，那么设哪一个未知量为 x，更方便列方程呢? 5.有两组数，第一组 16 个数，和是 98，第二组数的平均数是 ll，两组数中所有数的平均数是 8，则第二组有多少个数? 思路导航：题中有哪几个未知量?还记得平均数的求法吗? 总数=( )X( )。
初中数学 新思维 新方法 压轴题 大视野
《探索初中数学：新思维、新方法与压轴题》1.引言初中数学作为学生学习生涯中的重要一环，承载着培养学生数理思维、逻辑推理能力的重要使命。
然而，常规的教学方法往往难以激发学生的学习热情，且对于拓展学生数学视野、培养新思维缺乏足够的重视。
本文将从新思维、新方法和压轴题三个角度，深入探讨初中数学的教学与学习，以及如何拓展学生的大数学视野。
2.新思维：从简单到复杂的数学思维发展在传统的初中数学教学中，常常注重基础知识和解题方法的训练，但往往忽视了学生数学思维的激发和培养。
作为你的文章写手，我认为初中数学教学应当注重培养学生的新思维，例如启发学生的数学直觉思维，培养学生的数学探究思维等。
这种新思维能够帮助学生更深入地理解数学概念，同时也能激发学生的学习兴趣和动力。
3.新方法：以启发式教学和项目化学习方法促进数学学习为了激发学生对数学的兴趣，需要运用新方法进行教学。
启发式教学和项目化学习方法是有效的教学手段，能够帮助学生更灵活地运用数学知识，增强数学思维能力。
在教学过程中，可以设计一些有趣的数学探究项目，让学生在实际问题中运用所学知识，培养他们的实践能力，促进他们的数学思维的拓展。
4.压轴题：拓展数学学习的大视野作为初中数学的学习者，学生们应当积极参与数学竞赛，接触一些高难度的数学问题。
这样的压轴题不仅能够挑战学生智力，还能够拓展他们的数学视野，对他们的数学思维能力起到很好的锻炼作用。
在初中数学的教学中，应当注重培养学生对数学的兴趣，鼓励他们参与数学竞赛，接触更多的压轴题，促进他们数学思维的全面发展。
5.总结初中数学教学应当注重培养学生的新思维和新方法，同时要关注学生的数学视野拓展和数学思维能力的全面发展。
培养学生的数学兴趣及提高他们的数学思维能力，是我认为初中数学教学中至关重要的一环。
6.个人观点在我看来，初中数学教学的改革是一个系统工程，需要学校、老师和家长们的共同努力。
我们应当关注学生的数学学习兴趣，鼓励他们参与各种数学竞赛，并在教学中注重培养学生的新思维和新方法，促进他们的数学思维全面发展。
七年级数学新思维（第3本）
七年级数学新思维（第3本）七⼋年级奥数培训题（甲）1.若a是⾃然数，试将a4-3a2+9变换成乘积的形式。
2.P是负整数，且2001+P是⼀个完全平⽅数，则P的最⼤值为。
3.在⼗进制中，下列算式中的每个字母表⽰⼀个完全确定的数字：3abcdef=4defabc,请把上式中的字母还原成数字。
4.若⼀个⾸位数字是1的六位数abcde1乘以3所得的乘积是⼀个末位数字为1的六位数1abcde，求原来的六位数。
5.分解因式：x（x-1）+y（y+1）-2xy6.若整数a、b满⾜6ab-9a+10b=303，求a+b的值。
7.把(x2+3x+2)(4x2+8x+3) -90变成乘积的形式。
8.因式分解:(a+b-2ab)(a+b-2)+(1- ab)29.请把x5+ x+1变成乘积形式是。
10.把x3+9 x2+26x+24变成乘积的形式是。
11.分解因式:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)12.因式分解: x 4+x 2y 2+y 413. x 是正有理数，〈x 〉表⽰不超过x 的质数的个数。
如〈5〉=3,即不超过5的质数有2,3,5共3个。
因此〈x 〉定义了对x 的⼀种操作。
试求〈〈19〉×〈9〉+〈1〉〉的值。
14. 对不⼩于3的⾃然数n,我们规定⼀种操作“[ ]”, [n]表⽰不是n 的约数的最⼩⾃然数,试计算[[19]×[96]]的值。
15.试证明333777+777333能被37整除。
16.解⽅程∣2013x-2013∣=201317.在计算⼀个正整数乘以3.5.7的运算时,某同学误将3.5.7错写成3.57,结果与正确答案相差1.4,求正确的乘积应是多少?18.海滩上有⼀堆核桃,第⼀天猴⼦吃掉了这堆核桃的52,⼜将4个扔到⼤海中;第⼆天猴⼦吃掉的核桃数加上3个,就是第⼀天所剩核桃数的85。
若第⼆天剩下6个核桃,问海滩上原有多少个核桃?20.甲⽤40秒可绕⼀环形跑道⼀圈,⼄反⽅向跑每隔15秒与甲相遇⼀次,问⼄跑⼀圈需要多少秒?21.甲⼄两⼈分别从AB 两地同时相向匀速⾏进,在距A 点700⽶处第⼀次相遇,然后继续前进,甲到B 地,⼄到A 地后都⽴即返回,在距B 点400⽶处第⼆次相遇,求AB 两地的距离是多少⽶?22.当时针在3点与4点之间时,分针与时针在什么时间重合?23.若∣x-y+3∣与∣x+y-2013∣互为相反数,求yxyx -+2的值。
探究应用新思维-数学7年级1-40
1．数形结合话数轴解读课标数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1．利用数轴形象地表示有理数；2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；4．利用数轴比较有理数的大小．问题解决例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．（《时代学习报》数学文化节试题）(2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．（广西竞赛题）试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是( )．A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点（江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．（“希望杯”邀请赛试题）试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示． 例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边．(1)求A 、B 两点所对应的数．(2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．(3)已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P (O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．分析与解 对于(3)，设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．(1)A 、B 两点所对应的数分别为8,20-；(2)C 点对应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变．生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12变成1；等等）.那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.（浙江省绍兴市中考题）分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪知识技能广场 1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”．（“《时代学习报》数学文化节”试题）3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =__________；(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n 的代数式表示）．（江西省中考题）5.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是( )．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b ->（2012年湖南省常德市中考题）6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在( )．A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店东60-米7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则( )．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<（浙江省绍兴市中考题）8.在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )．A.1998B.1999C.2000D.2001（重庆市竞赛题）9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）．（江苏省无锡市中考题）10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．（北京市“迎春杯”竞赛题）--思维方法天地--11.在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是____. 12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3a +，的点N 关于原点对称，则a 的值为__________．13.数形相伴(1)如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）． (2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在__________．（《时代学习报》数学文化节试题）14.点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为A B ''，且线段A B ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是__________，点A 移动的距离是__________.（江苏省竞赛题）15.点1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11A O =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =;点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )． A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-（福建省泉州市中考题）16.如图：，数轴—上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）.A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点17.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子||||a b ++||||a b b c ++-化简结果为( )．A.23a b c +-B.3b c -C.b c +D.c b -18.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ,若||||||a b b c a c -+-=-那么点B ( )．A.在A 、C 点右边B.在A 、C 点左边C.在A 、C 点之间D.以上均有可能 (“希望杯”邀请赛题)19.在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少?(“CASIO 杯”河南省竞赛题)20.已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行.甲的速度为4个单位/秒.(1)问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位?(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向1而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.21.操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.点A ,B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中，点A ,B 的对应点分别为A B '',如图所示，若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数是__________；若点B '表示的数是2,则点B '表示的数是__________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数(如44x =，55x =，64x =)，求2011x 所对应的数.2.聚焦绝对值绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法.2.恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看||a 表示数a 的点到原点的距离；||a b -表示数a 、数b 的两点间的距离.3.灵活运用绝对值的基本性质①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠ 例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯”河南省竞赛题)试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有可能的值有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个试一试根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯”香港中学竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||c a a b b c -+-+-的值.(“希望杯”邀请赛试题)试一试 对于（1),由非负数的性质先导出a 、b 的值;对于(2)，1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.例4阅读下列材料并解决有关问题：我们知道(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的零点值)在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.从而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，原式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|2|x +和|4|x -的零点值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云南省中考题)试一试 在阅读理解的基础上化简求值.例5 (1）当x 取何值时，|3|x -有最小值?这个最小值是多少?（2）当x 取何值时，5|2|x -+有最大值?这个最大值是多少?（3）求|4||5|x x -++的最小值.（4）求|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点 (:或表示7、8、9的点）的距离和最小.解(1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0.（2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5.（3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1.（4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2.对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1；当45x <≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，原式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，原式有最小值等于1.以退求进例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输人整数2x 心后则显示12||x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由.分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值.解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --不超过工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相当于计算: 12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，因此P 的值1991x ≤.另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇偶性相同，但121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=偶数.于是断定1990P x ≤，我们证明P 可以取到1990.对 1,2,3,4,按如下次序：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对于0,1,2,k =⋅⋅⋅均成立.因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1.数a 在数轴上的位置如图所示，，且|1|2a +=,则|37|a +=____.2.已知||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.3.化简1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题）4.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示: ,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的结果是__________.5.已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅满足下列条件：10a =, 21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，则2012a 的值为（ ）.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐城市中考题）6.已知||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的结果是（ ）.A.1-B.1C.23a -D.32a -7.若m 是有理数，则m m -一定是（ ）.A.零B.非负数C.正数D.负数8.有理数a 、b 、c 的大小关系如图： 则下列式子中一定成立的是（ ）.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“希望杯”遨请赛试题)9.化简(1)|3|x -； (2)|1||2|x x +++.10.阅读下面材料并回答问题.点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为||AB .当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图①,AB OB b a b ==--|;当A 、B 两点都不在原点时,（1）如图②,点A 、B 都在原点的右边,AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-;（2）如图③,点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-（3）如图④,点A 、B 在原点的两边,()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-; 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-.请回答:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________;②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______,如果2AB =,那么x 为_______; ③当代数式12x x ++-取最小值时,相应的x 的取值范围是_______.（南京市中考题）思维方法天地11.已知1a =,2b =,3c =,且a b c >>,那么a b c +-=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）12.在数轴上,点A 表示的数是3x +,点B 表示的数是3x -,且A 、B 两点的距离为8,则x =________.（“五羊杯”竞赛题）13.已知5x =,1y =那么x y x y --+=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）14.（1）11x x ++-的最小值为__________.（“希望杯”邀请赛试题）（2）111213x x x ++-++的最小值为________.（北京市“迎春杯”竞赛题）15.有理数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示:,则代数式1111a ab a ba a ab b +---+-+--的值为（ ）. A.1-B.0C.1D.2 （“希望杯”邀请赛试题）16.若()2210m n ++-=,则2m n +的值为（ ）. A.4-B.1-C.0D.4（北京市中考题）17.如图,已知数轴上点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为0,且C 是AB 的中点.如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=,那么原点O 的位置在（ ）.A.线段AC 上B.线段CA 的延长线上.iC.线段BC 上D.线段CB 的延长线上!（江苏省竞赛题）18.设1m x x =+-,则m 的最小值为（ ）. A.0B.1C.1-D.2（重庆市竞赛题）19.已知点A 在数轴上对应的数为a ,点B 对应的数为b ,且()2410a b ++-=,A 、B 之间的距离记作AB . （1）求线段的长AB ;（2）设点P 在数轴上对应的数为x ,当2PA PB -=时,求x 的值;（3）若点P 在A 的左侧,M 、N 分别是的中点,当点P 在A 的左侧移动时,式子PN PM -的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由. 20.已知a b c abcx a b c abc=+++,且a 、b 、c 都不等于0,求1的所有可能值.; （“华罗庚杯”香港中学竞赛题）应用探究乐园21.绝对值性质（1）设a 、b 为有理数,比较a b +与a b +的大小.（2）已知a 、b 、c 、d 是有理数,9a b -≤,16c d -≤,且25a b c d --+=,求b a dc ---的值.（“希望杯”邀请赛试题）22.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-,3,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x . （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等,求点P 对应的数.:（2）数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为5?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由. （3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等?3.有理数的运算解读课标有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有: 利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等. 问题解决 例1（1）已知()()211,2,3,1n a n n ==+,记()1121b a =-,()()()()()21212211,,b 2111n n b a a a a a =--=---,则通过计算推测n b 的表达式n b =_________.（用含n 的代数式表示）（成都市中考题）（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是______.（“希望杯”邀请赛试题）试一试 对于（2）,运用相关概念的特征解题.例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（ ）.: A.0B.10C.2D.12（江苏省竞赛题）试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式. 例3 计算: （1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （广西竞赛题）（2）111112123123100+++++++++++;（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （“五羊杯”竞赛题）试一试 对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.例4 在数学活动中,小明为了求2341111122222n +++++的值（结果用n 表示）,设计了如图所示的几何图形.图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值; （2）请你用图②,再设计一个能求2341111122222n +++++的值的几何图形.（辽宁省大连市中考题）试一试 求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键. 例5 在1,2,,2002前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0.代数和的最小值能是0吗?能是1吗?由于任意添“+”号或“-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手. 因a b +与a b -的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯的奇偶性相同,即为奇数.因此,所求非负代数和不会小于1. 又()()()()1234567891011121314-++--++--++--+++()19992000200120021--+=,∴所求非负代数和的最小值为1.类比类比是一种推理方法,根据两#事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法. 例6 观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 问:（1）从上面的解题方法中,你发现了什么?用字母表示这一规律. （2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要”. 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题. 分析与解 （1）()11111n n n n =-++.（2）从连续自然数到连续偶数,从2个到3个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:①111244620122014+++⨯⨯⨯; ②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯; ③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯;④22221232012++++.数学冲浪知识技能广场1.如图,每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:()135721n +++++-=_______.（用n 表示,n 是正整数）.（第1题）（2012年潍坊市中考题）2.某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加1,第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭,第2位同学报112⎛⎫+⎪⎝⎭,第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭……这样得到的20个数的积为________. （2012年河北省中考题）3.计算:（1）()211455365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=______.（“希望杯”邀请赛试题）（2）23181920223222-----+=_______.（广西桂林市中考题）4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在课堂上快速地计算出12398991005050++++++=,今天我们可以将高斯的做法归纳如下: 1239899100S =++++++ ① 1009998321S =++++++ ② ①+②有()21100100S =+⨯,5050S =. 请类比以上做法,回答下列问题: 若n 为正整数,()35721168n +++++=,则n =_______.（2012年湖北省黄石市中考题）5.设0a <,在代数式|a ,a -,2009a ,2010a,a -,2a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,2a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭中负数的个数是（ ）. A.1B.2C.3D.4（“希望杯”邀请赛试题）6.我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下:100克以内0.7元,每增加100克（不足100克按100克计）0.4元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为470克,则他应付邮资（ ）元.A.2.3B.2.6C.3D.3.5（2012年四川省竞赛题）7.为了求23200812222+++++的值,可令23200812222S +=++++,则2342009222222S ++++=+,,因此2009221S S -=-所以23200820091222221+++++=-.仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）. A.200951-B.201051-C.2009514-D.2010514-（湖北省鄂州市中考题）8.下面是按一定规律排列的一列数: 第1个数:11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭; 第2个数:()()2311111113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 第3个数:()()()()234511111111111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ……第n 个数:()()()232111111111112242n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是（ ）. A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个数（江苏省中考题）观察图形,解答问题:（2012年益阳市中考题）10.观察下列等式: 第1个等式:111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; 第2个等式:2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式:3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式:4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; ……请解答下列问题:（1）按以上规律列出第5个等式:5a =______=_______;（2）用含n 的代数式表示第n 个等式n a =______=_______;（n 为正整数）; （3）求1234100a a a a a +++++的值.（2012年广东省中考题）思维方法天地11.计算: （1）11111111111113243546979998100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.（“华罗庚杯”邀请赛试题）（2）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_____. （“希望杯”邀请赛试题）（3）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.（江苏省竞赛题）12.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a b +,a 的形式,又可分别表示为0,ab,b 的形式,则20042001a b +=______. 13.已知31x x =+,则()2005264489x x ++=______.（“五羊杯”竞赛题）14.已知a 、b 、c 满足()()()0a b b c c a +++=且0abc <,则代数式的a b ca b c++值是________.（四川省竞赛题）15.11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）. A.118 B.136 C.133 D.166（北京市竞赛题）16.如果4个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足()()()()77774m n p q ----=,那么m n p q +++等于（ ）. A.10 B.21C.24D.26E.2817.如果3121231t t t t t t ++=,那么123123t t t t t t 的值为（ ）. A.1-B.1C.1±D.不确定（河北省竞赛题）18.观察下列各式: （1）211=; （2）32343++=;（3）2345675++++=; （4）2456789107++++++=;……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）. A.210051006100730162011++++= 2 B.210051006100730172011++++=C.210061007100830162011++++=D.210071008100930172011++++=（济南市中考题）19.观察下面的等式: 224⨯=,224+=;313422⨯=,313422+=; 414533⨯=,414533+=; 515644⨯=,515644+=. （1）小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?为什么?（2）请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.（“希望杯”邀请赛试题）20.同学们,我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++.但n 为100时,应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来研究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道()()()10112231113n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=+-时,我们可以这样做:（1）观察并猜想:()()()()2212101112101212120112+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯, ()()()2221231011121231012123++=+⨯++⨯++⨯=+⨯++⨯++ ()()23123011223⨯=+++⨯+⨯+⨯,()()()22221134101112123+++=+⨯++⨯++⨯+_______101=+⨯+212323+⨯++⨯+______()()1234_______________=++++;……（2）归纳结论:()()()()222212310111212311n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-⎡⎤⎣⎦()1012123231n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯=（_________________）+（_______________________）=____________+______________ 16=_____________; （3）实践应用::通过以上探究过程,我们就可以算出当n 为100时,正方形网格中正方形的总个数是________.（四川省内江市中考题）应用探究乐园21.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.例如,求1234n +++++的值,其中n 是正整数.对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对n 的奇偶性进行讨论.如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观.现利用图形的性质来求1234n +++++的值,方案如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,,n 个小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n +++++的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有n 行,每行有()1n +个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为()1n n +个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为()12n n +,即()112342n n n ++++++=.（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求()135721n +++++-的值,其中n是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）.（2）试设计另外一种图形,求()135721n +++++-的值,其中n 是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）（山东省青岛市中考题）22.在“123456789□□□□□□□□□”的小方格中填上“+”、“-”号,如果可以使其代数和为n ,就称数n 是“可被表出的数”（如1是可被表出的数,这是因为123456789++--++--+是1的一种可被表出的方法）. （1）求证:7是可被表出的数,而8是不可被表出的数; （2）求25可被表出的不同方法的种数.（四川省竞赛题）4.信息技术中的数学问题解读课标伴随着计算机和网络技术的迅猛发展,人类社会已步入信息时代,并将迈入后信息化时代:IT 技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式. 计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式,现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具.近年出现的以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景,这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透,构思巧妙、立意新颖,其托容涉及计算机常识（数制、字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等. 解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系,将其转化为数学问题. ——问题解决——例1 给出下列程序x k −−→−−→⨯−−→立方输入输出,且已知当输入的x 值为1时,输出值为1;输入的x 值为1-时,输出值为3-,则当输入的x 值为12时,输出值为____. （广西竞赛题）试一试 把程序流程图用代数式表示,由条件先求出k 、b 的值.例2 计算机利用的是二进制数,它共有两个数码0、1,将一个十进制数转化为二进制数,只需把该数写成若干个2n数的和,依次写出1或0即可.如()()4321219162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十.为二进制下的5位数,则十进制数2004是二进制下的（ ）. A.10位数 B.11位数 C.12位数D.13位数（湖北省荆门市中考题）试一试本例渗透了计算机的基本知识—“二进制计算”,无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式.例3 一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送.例如信息到2b 点可由经1a 的站点送达,也可由经2a 的站点送达,共有两条途径传送,那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条.（第17届“希望杯”邀请赛试题）试一试 在阅读理解的基础上,画出路线示意图,穷举得出结论.。
人教版初一教材中的数学思维拓展与应用
人教版初一教材中的数学思维拓展与应用在人教版初一教材中，数学是一门重要的学科，它既是一种学习方法，也是培养学生思维能力的良好工具。
通过数学的学习，学生能够拓展思维，培养逻辑思维和创造力，并将其应用于解决实际问题中。
下面我们将从不同角度探讨人教版初一教材中的数学思维拓展与应用。
1. 培养逻辑思维数学是一门逻辑性很强的学科，通过学习数学，学生能够培养良好的逻辑思维。
例如，在代数中，学生需要根据已知的条件推导出结论，这要求他们运用逻辑推理的能力进行演绎。
又如，在几何中，学生需要通过给定的几何定理和推理证明来解决问题，这同样需要灵活运用逻辑思维。
2. 拓展创造力数学不仅仅是一门工具性的学科，还是培养学生创造力的有力工具。
在人教版初一教材中，数学问题往往有多种解法，鼓励学生进行思路拓展，尝试多种解决方法。
例如，在整数的乘除法中，初一学生经常依赖机械运算，但教材通过一些思维训练题目，引导学生运用巧妙的方法解题，培养他们的创造力和灵活性。
3. 培养问题解决能力数学思维的拓展与应用的核心在于解决实际问题。
通过人教版初一教材的数学学习，学生能够获得解决问题的方法和技巧。
教材中的问题往往与日常生活紧密相关，从简单到复杂，层层推进。
例如，在“周长与面积”的章节中，学生需要计算不规则图形的周长和面积，这要求他们将数学知识与实际问题相结合，培养问题解决的能力。
4. 培养数学应用能力数学在现实生活中有着广泛的应用。
人教版初一教材通过引入实际问题，培养学生将数学知识应用于实际情境的能力。
例如，在“整数的应用”章节中，学生需要通过实际情境来理解正负数的概念，如温度的上升和下降等。
这种数学的应用让学生能够将所学的知识用于实际生活中，并加深对数学的理解。
综上所述，人教版初一教材中的数学思维拓展与应用是非常重要的。
通过培养逻辑思维、拓展创造力、培养问题解决能力和数学应用能力，学生能够在数学学习中找到乐趣，提高思维能力，为今后的学习打下坚实的数学基础。
初中数学课堂教学新思维(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学课堂教学新思维第一篇范文随着教育理念的不断更新和发展，初中数学课堂教学正逐渐从传统的“填鸭式”教学转变为更加注重学生主体性、探究性和创新性的教学模式。
新课程标准对初中数学教学提出了更高的要求，教师需要从学生的实际出发，以学生为中心，运用新思维进行课堂教学，提高学生的数学素养和综合能力。
一、以学生为中心，关注个体差异新课程标准强调，教学活动应以学生为中心，关注每个学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。
教师在教学过程中应关注学生的学习需求，因材施教，创设充满挑战性和趣味性的学习情境，激发学生的学习兴趣和求知欲。
二、启发式教学，培养学生的思维能力启发式教学是一种以学生为主体，注重培养学生的思维能力、创新能力和实践能力教学方法。
教师在教学过程中应善于设问解疑，引导学生主动探究，通过分析、比较、归纳、演绎等思维活动，使学生掌握数学知识，提高解决问题的能力。
三、整合教学资源，提高教学质量教师应根据教学内容和学生的实际情况，合理运用多媒体、网络等现代教学手段，整合教学资源，丰富教学形式，提高教学质量。
同时，教师应注重与生活实际的联系，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的应用能力。
四、重视数学思维方法的培养数学教学不仅是知识的传授，更重要的是数学思维方法的培养。
教师在教学过程中应注重引导学生掌握数学的基本概念、定理、公式、解题方法等，使学生形成良好的数学思维习惯，提高学生的数学思维品质。
五、开展合作学习，培养学生的团队协作能力合作学习是一种以学生为主体，通过小组合作、讨论、探究等方式进行学习的方法。
教师应组织合理的学习小组，引导学生在合作中发现问题、解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六、实施多元化评价，促进学生全面发展教师应坚持多元化评价原则，关注学生的知识、技能、过程、方法、情感、态度等多方面的发展，充分发挥评价的诊断、反馈、激励等功能，促进学生的全面发展。
总之，初中数学课堂教学新思维要求教师从学生的实际出发，关注个体差异，创设富有挑战性和趣味性的学习情境，运用启发式教学方法，整合教学资源，重视数学思维方法的培养，开展合作学习，实施多元化评价，全面提高学生的数学素养和综合能力。
数学思维初一教案
数学思维初一教案引言：数学思维是培养学生创新意识和解决问题能力的关键环节。
本教案旨在帮助初中一年级的学生建立正确的数学思维方式，提升他们的数学综合素养。
本教案将通过多样化的教学方式和资源，激发学生的学习兴趣，培养他们的数学思维能力。
教学目标：1. 帮助学生了解数学思维的定义和重要性；2. 培养学生探究和分析问题的能力；3. 提高学生解决实际问题的能力；4. 锻炼学生的逻辑思维和推理能力；5. 培养学生良好的数学思维习惯。
教学内容：1. 数学思维的定义和特点- 引导学生思考数学思维的概念，并与其他思维方式进行对比；- 分析数学思维的特点，如逻辑性、抽象性、推理性等。
2. 数学思维的培养方法- 利用实例引导学生掌握归纳与演绎的思维方式；- 开展数学课外活动，如数学竞赛、数学游戏等，培养学生的问题解决能力；- 利用算式化思维帮助学生理解数学问题，并进行有效的推断和推理。
3. 数学思维与实际问题的联系- 利用实际问题引导学生思考将数学知识应用于实际生活中的能力；- 引导学生通过观察、实验、验证等方式解决实际问题。
4. 培养学生的创新思维- 培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力；- 引导学生进行数学探究活动，培养他们的创新和发散思维。
教学方法：1. 情境教学法：通过情境引导学生进行思考和分析，激发他们的学习兴趣。
2. 合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作，促进信息交流和思维碰撞。
3. 创新教学法：鼓励学生发散思维，解决未知或开放性问题。
教学过程：1. 导入：通过展示一道有趣的数学问题引起学生的兴趣并激发他们对数学思维的好奇心。
2. 呈现：介绍数学思维的定义和特点，并通过具体的例子帮助学生理解。
3. 引导：以小组合作形式，组织学生进行数学思维训练活动，如解决有趣的数学难题。
4. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数学思维在解决问题中的重要性，并鼓励学生在日常学习中运用数学思维。
5. 课后作业：布置合适的数学思维训练题，要求学生自主解答并思考解题过程中的数学思维方法。