2.1 随机变量的概念与分类
《概率论与数理统计》课程教学进度与教案表
《概率论与数理统计》课程教学进度与教案表第一章：概率论的基本概念1.1 随机试验与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的基本性质1.4 条件概率与独立性1.5 贝叶斯定理第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的定义及其分类2.2 离散型随机变量的概率分布2.3 连续型随机变量的概率密度2.4 随机变量的期望与方差2.5 大数定律与中心极限定理第三章：多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的联合分布3.2 边缘分布与条件分布3.3 随机变量的独立性3.4 随机向量的重要结论3.5 协方差与相关系数第四章：数理统计的基本概念4.1 统计量及其性质4.2 点估计与区间估计4.3 假设检验的基本方法4.4 参数估计的置信区间4.5 假设检验的错误类型与功效第五章：回归分析与相关分析5.1 一元线性回归模型5.2 回归模型的参数估计5.3 回归模型的检验与预测5.4 多元线性回归模型5.5 相关分析与协方差分析第六章：大数定律与中心极限定理6.1 大数定律的意义及其应用6.2 中心极限定理的证明与意义6.3 样本均值的分布6.4 样本方差的估计6.5 样本分布的性质第七章：假设检验7.1 假设检验的基本概念7.2 常见的检验方法7.3 检验的统计功效与类型II 错误7.4 参数估计的显著性检验7.5 非参数检验方法第八章：回归分析8.1 简单线性回归分析8.2 多元线性回归分析8.3 回归模型的诊断与改进8.4 回归分析的应用实例8.5 岭回归与套索回归第九章：时间序列分析9.1 时间序列的基本概念9.2 平稳时间序列的性质9.3 自相关函数与偏自相关函数9.4 时间序列的模型建立9.5 预测与控制方法第十章：贝叶斯统计10.1 贝叶斯统计的基本概念10.2 贝叶斯估计方法10.3 贝叶斯推断的应用10.4 贝叶斯决策理论10.5 贝叶斯网络及其应用重点和难点解析一、事件及其运算补充说明：通过具体例子解释事件的包含关系、交集、并集、补集等概念，以及如何运用这些概念解决实际问题。
概率论与数理统计考点归纳
概率论与数理统计考点归纳1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。
在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。
2. 概率论考点2.1 随机变量与概率分布•随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。
•期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。
•大数定律和中心极限定理的概念和应用。
2.2 一维随机变量的分布特征•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。
•分位数和分位点的概念和计算方法。
•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。
•常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。
2.3 多维随机变量的分布特征•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。
•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。
•多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。
2.4 随机变量的函数的分布特征•随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。
•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。
3. 数理统计考点3.1 抽样与抽样分布•抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。
•抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。
•中心极限定理在抽样分布中的应用。
3.2 参数估计•点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。
•点估计的性质：无偏性、有效性、一致性等。
•置信区间的定义和计算方法。
3.3 假设检验•假设检验的基本步骤：建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。
•假设检验的错误和功效：第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。
•常见假设检验方法：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。
随机变量及其分布
记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
医科高等数学 教材答案
医科高等数学教材答案1. 引言医科高等数学是医学生必修的一门数学课程，主要涵盖了微积分、概率统计等数学内容，是医学生综合素质培养的重要组成部分。
本文将为大家提供医科高等数学教材的一些答案，希望对学生们在学习中有所帮助。
2. 微积分部分2.1 极限与连续性2.1.1 极限的基本概念与性质- 问题1: 计算极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。
- 解答: 根据已知极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$。
2.1.2 函数的连续性- 问题2: 判断函数 $f(x) = \begin{cases}x^2, & x\neq1 \\ 2, &x=1\end{cases}$ 的连续性。
- 解答: 函数在 $x=1$ 处连续，其他点处连续。
2.2 导数与微分2.2.1 导数的概念与性质- 问题3: 计算函数 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ 的导数。
- 解答: $f'(x) = 6x - 4$。
2.2.2 高阶导数与高阶微分- 问题4: 计算函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的二阶导数。
- 解答: $f''(x) = e^x(\sin x + 2\cos x)$。
3. 概率统计部分3.1 随机事件和概率3.1.1 随机试验与事件- 问题5: 已知一枚硬币被抛掷，求出现正面的概率。
- 解答: 假设硬币均匀，正面出现的概率为 $\frac{1}{2}$。
3.1.2 概率的性质与公式- 问题6: 已知事件 $A$ 的概率为 $P(A) = \frac{1}{3}$，求事件$\overline{A}$ 的概率。
- 解答: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。
3.2 随机变量与概率分布3.2.1 随机变量的概念与分类- 问题7: 将一枚骰子投掷一次，定义随机变量 $X$ 表示出现的点数，求随机变量 $X$ 的概率分布。
§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量§2.2 随机变量的分布函数(distribution function)
解 由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。 解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确 定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续 掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面 的序列组成，总共有 210 个元素。 定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出 现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。 例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …） 则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示
概率论2.1随机变量的概念
随机变量X的所有可能取值称为样本空间
样本空间是一个数字集合，事件也是数字集合
例如 掷骰子，
事件
s {1,2,
,6}
事件即是X满足的条件
A＝ “点数大于3” 可以写为： {x|X>3}
通常简单记为： {X>3}
再如：灯泡的寿命 用Y
事件
A＝ “灯泡寿命大于3000｝
s
一样吗？ 对于随机变量，我们不过多关注e和X（e)的 对应关系，而是把关心X（e）的取值情况
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊字母ζ ,η 等表示
而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母
x , y , z等
引入随机变量的目的是为了便于以数量形式全面 地研究随机试验的全部结果的概率分布情况， 及其
一、随机变量的概念
举例：掷骰子 s={1,2,3,4,5,6}
用X表示投掷的结果，X的取值事先并不知道，只能
知道是六个数之中的一个。
再举例：每天来听课的人数， 用Y表示，Y具有随机性质
随机变量的直观定义： 事先不能够确定取得什么值的量称为随机变量， 事后的结果成为随机变量的取值 特别强调：“事先”两字，
设 S e i 是 E 的样本空间， 若对于每一个
X X e , 则称
e S , 有一个实数 X e 和它对应 即
X e 为随机变量。
也可用 Y、 Z 来表示。 为了区别不同的随机变量， 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
e.
X(e) R
s
e.
X(e) R
问题：如果试验的结果不是数字，能不能也用数字
方便的表示呢？ 比如：投掷硬币观察正反面 记录新生婴儿的性别、考试合格不合格等问题 做法：可以把样本点和数字建立一一对应关系 样本点←→数字 比如 X=1 正面←→1 表示取正面 反面 ←→0 X =0表示取反面
§2.1随机变量与分布函数
第二章随机变量及其分布本章内容§2.1 随机变量与分布§2.2 重要概率分布本章提要(略，见大纲)§ 2.1随机变量与分布函数正确理解对概率论研究和发展起重大推动作用的两个最基本概念: “随机变量”和“分布函数”.2.1.1 随机变量和分布函数的定义和分类1.rv和df的定义定义2.1.1 设(Ω, ℱ,P)为概率空间, X为Ω上的实值函数，满足对任意的 x∈R, (X≤x):={ω : X(ω) ≤x}∈ℱ则称X为随机变量,简记rv. 而称实变量的实值函数F X( x):= P(X≤x), x∈R为X的分布函数，简记df.2. rv与df的关系rv给定则df是存在且唯一决定的.3. rv和df的分类定义2.1.2 至多取可列多个值的rv [或相应的F(x)]，称为离散型的. 设{x i}是rv X可能取的值的全体，p i := P (X = x i ), i =1,2,…(,n )称实数列{p i }为离散型X 的分布. 称两行矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅)()(2121n n p p p x x x为X 的分布列. 其中最后一列表示列数为有限的n 或为可列无穷多的情形.定义2.1.3 在一个有限或无限区间取值的rv X ，如存在非负可积函数f (x ) 使X 在(−∞ , x ] 的概率可写成R x dy y f x X P x X P x F xX ∈∀=≤<−∞=≤=∫∞−,)()()()(则称X [或F (x )]为连续型的，称f (x )为X [或F (x )]的概率密度函数，简记为 pdf . 也常记为 f X (x ).2.1.2 分布函数, 分布和密度函数 1. 离散型和连续型df例2.1.1 本节引例中，如该厂生产的电子元件的等级数Y 有分布列图2.1.2 离散型分布函数图象⎟⎟Y ～⎠⎞⎜⎜⎝⎛1.06.03.0321.求Y 的df【 】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.31329.0213.010)(y y y y y F Y例2.1.2 设X 的pdf 为，)(x f X = ⎩⎨⎧∈−其它0],()/(1b a x a b ，求X 的df .【⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−−<=bx b x a a b ax a x x F X 1)(.】 2. df 的基本性质性质1 rv X 的df F(x ) 有下述基本性质： F 1) 非降性，即 F(x ) ≤ F(y ), ∀ x < y ; F 2) 边界极端性，即F(+∞) := lim x →∞ F ( x ) =1, F(−∞) := lim x → −∞ F ( x ) =0; F 3) 右连续性，即 F(x +0) : = )()(lim x F y F x y =↓.性质2 (存在定理) 满足性质F 1)至F 3)的任意一个实变量的实值函数, 都可作为一个df .性质3 df 的凸组合, 还是df , 即如F i (x )是df , i =1,2,…,n , 则对任意实数=1, 仍是df .∑==≥n i i i a n i a 1,,...,2,1,0∑==n i i i x F a x F 1)(:)(2.2.3. 分布与密度函数的性质性质1 (基本性质) 分布{p i }满足,,0i p i ∀≥且1=∑i i p而pdf 满足f (x ) ≥ 0, ∀ x , 且R ∈∫∞+∞−dy y f )(=1 .性质2 1) 对离散型rv ，如其分布为 {p i } 则F X (x ) =R x p i xx i i ∈∀∑≤,:2) 对有 pdf f (x ) 的连续型rvX ， F X (x ) =R x dy y f x ∈∀∫∞−,)(性质3 1) 凡离散型rv 有最可能值，即存在x m ，rv X 取该值的概率不小于取其它值的概率：P(X =x m ) =p m ≥ p m , ∀ i .2) 连续型分布取任意一固定值的概率为零，即对每个固定的实数x , P(X =x ) =0.f (x )d x 为X 在x 点微分邻域的概率. 由此∫∫==∈],()()(]),((b a X ba X dx x f dx x fb a X P .对更一般的实数集合D 有 ∫=∈D X dx x f D X P )()([ 例题精选 ]z分布与df 的概念例2.1.3 将3个球逐个随机放入4个分别编号为1、2、3和4的盒子.令X 是“有球盒子的最小号码”，求X 的分布列.【⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛64/1464/7364/19264/371】 例2.1.4 设rvX 的pdf 为 ,k 使得⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=,0]6,3[9/2]1,0[3/1)(其它若若x x x f 若3/2)(=≥k X P , 则k 的取值范围是_________.【[1, 3] 】z分布与df 的性质例2.1.5 试确定值, 使下一函数为pdf , .a )()(),1()1(3x I e a x f x ∞−−=例2.1.6 设F i (x )是X i 的df , i =1,2, 为使F (x )= aF 1(x )−bF 2(x )是df ,下列给定各组数值中应取A) a = 3/5, b = −2/5. B)a = 2/3,b = 2/3. C) a = −1/2, b =3/2. D) a =1/2, b = −3/2.z综合题例2.1.7 设某电子元件寿命的pdf 为 )100()(2>=x I xa x f1) 试确定a 值;2) 某台设备装有三个这种电子元件. 问在开始使用的150小时中它们中恰有一个要替换和至少有一个要替换的概率各是多少？【 1) .100,100)(11002====∫∫∞∞∞−a adx x a dx x f 故2) 每个元件的寿命有两个可能结果：大于或不大于150小时，即可看为Ber-E ，从而三个元件中寿命小于150小时（因此要替换）的个数，服从二项分布B(3, p ), 其中31]1[100100)(1001501501002150=⋅===∫∫∞−x dx x dx x f p .因此, 使用到150小时它们中恰有一个要替换的概率44.09432313)1(2213≈=⎟⎠⎞⎜⎝⎛××=−p p C .“至少有一个要替换”概率是 701.027193213≈=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−．】§2.2 重要概率分布本节从两类随机试验, Poisson 流和误差问题，介绍几类最重要的rv 及其分布. 掌握这些重要分布的定义、性质、产生的背景以及它们间关系.2.2.1 重要分布的产生与定义 1. Bernoulli 试验及有关分布 1) Bernoulli 分布2) n 重Ber-试验及其产生的B(n , p ) 3) 可列重Ber-试验及其产生的Ge(p ) 2. Poisson 流及有关分布 1) Poisson 流与Poisson 定理定理2.3.1（Poisson ） 设,],0(t ξ t ≥ 0 是Poisson 流，则存在某正数λ，使)()(],0(k P t p t k ==ξ = ,)(tk e k t λλ−!k = 0, 1,...Poisson 定理中的λ称为强度. 2). Poission 流产生离散型的P(λ)分布 3) Poisson 流产生的连续型分布：Ex(λ)误差问题产生的分布：U(a ,b )与N(μ, σ 2)2.2.2 重要分布间的关系和性质 1. 重要分布间的关系2.重要分布的性质性质1 重要离散型分布的最可能值设X ~ B(n , p ), 则X 的最可能值是 [(n +1)p ] . 如 (n +1)p 是整数，则[(n +1)p ]−1＝np -q 也是最可能值. 这里 [⋅]为取整函数.设X ~ Ge( p ), 则X 的最可能值是1.设X ~ P(λ), 则X 的最可能值在[λ]；如λ＝[λ]，即λ是正整数时，则λ−1也是最可能值.性质2 B(n , p )的Poisson 逼近.定理2.3.1 (Poisson 逼近) 设∼B (n ,)，即对固定的n 次试验中，每次试验成功的概率是. 又设存在极限n X n p n p n n np ∞→lim =λ > 0，则对任意非负整数k , 有P(=k )=n X k n n kn k n p p C −−)1(→∞→!−n e k k,λλ.性质3 几何分布和指数分布的无记忆性：几何分布和指数分布的都有无记忆性: 当 X ~ Ge(p ) 时P(X >n +k | X >n ) = P(X >k ). 反之，有无记忆性的离散型分布，必为几何分布.当X ~ Ex(λ)时P(X >s +t |X >s ) = P(X >t )，0 ≤ s ，0 < t .反之，有无记忆性的连续型分布，必为指数分布.均匀分布和正态分布的性质性质4 1) 遵从[a , b ]上均匀分布的rv 的均匀性, 使其值落在[a , b ]内任一子区间的概率与此子区间长度成正比. 精确地说)/()()(a b D L D X P −=∈, 其中L(D)表D 的长度, 而D 是[a , b ]的任意一个(开、闭或半开半闭)子区间, 也可以是一些子区间的并集.2) 正态分布的对称性, 使pdf 是关于直线x = μ 对称的，),;(σμμφx −= ),;(σμμφx +.由此, ),;(σμμx −Φ= 1 − ),;(σμμx +Φ.性质5 正态分布的其它性质1) ),;(σμφx >0，任意阶导函数 , ∀ n ，存在且连续. ),;()(σμφx n 2) ),;(σμφx 在 (−∞, μ )中单调升，在 x = μ 处达极大值 1/ (σπ2)，而在 (μ, ∞) 时下降. 参数μ 决定它的对称位置；σ越大pdf越平缓(参看图2.2.7), 概率分布越分散.3) 如X ~ N(μ, σ 2)则其标准化σμ/)(*−≡X X ~ N(0, 1). 4) 3σ法则. 正态变量离中心位置μ的距离超过 3σ 的概率不到千分之三，依此在正态性统计判别和产品质量管理中形成很有用的3σ法则.性质 6 独立和的分布与分布的可加性可加性的证明方法:(1). 由分布产生的背景, 立即可得上述结论: 例如 B(n ,p )、F(r ,p )和Γ(r ,p )的可加性(当r 为正整数时), 以及关于Ge(p )、Ex(λ)的结论.(2). 利用全概率公式, 例如 B(n ,p )、F(r ,p )、P(λ)和Γ(r ,p )的可加性;(3). 利用求独立和的df 或者密度的卷积公式[ 典型例题 ]例 2.2.1 设某车间需要安排维修工人负责对一批相同型号设备进行保全维修，有两种建议方案．方案A ：1人维修固定的20台. 方案B ：3人维修固定的80台. 设每台设备的故障率为0.01，哪种方案较好，即出现设备需要维修而得不到维修（维修人员正忙于其它设备的维修）的概率较小？解 Y n : n 台中的故障数， 则 Y n ~B(n , p ),0169.01)1()0(1)1(1912020202020≈−−==−=−=>=pq C qY P Y P Y P p a用Poisson 近似，λ = 0.2, 则 0175.02.012.02.0≈×−−=−−e e p a0091.0e !)01.080(1)3(30.01)(8080≈×−≈>=∑=×i -i b i Y P p . p b > p a , 方案B 较好.例2.2.2 一大批产品，其次品率为p ，采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个次品时为止，或一直抽到10个产品时就停止检查. 设X 为停止检查时抽样的个数. 求X 分布列.【，】9....,,2,1,)(1===−k p q k X P k 9)10(q X P ==例2.2.3 (非中心的指数分布) 设某流水线上一类电子元件寿命(小时)X 的pdf 为 )()()10(a x I e x f x X >=−−λλ, 其中λ>0是常数. 试求常数a ; 如令y=x −a , 将作平移, 得到新的函数是否仍然为)(x f Xpdf ? 能判断它是什么类型分布吗?例2.2.4 已知X ~ . ),(2σμN 1) 求P(a ≤X ≤ b )；2) 设 μ＝20，σ2＝402，求P(|X | ≤ 20)的值，并找点x 0, 使P(X > x 0 )= 0.05.【()(σμσμ−Φ−−Φa b ;1587.05.0)1()0(−=−Φ−Φ=0.3413, x 0＝85.6】例2.2.5 对某射手打靶考核，有两次命中6环以下(不含6环)时,立即淘汰出局. 如果此射手每次命中6环及其以上的概率是0.8, 则他在第4次射击后即被淘汰的概率是 .【p 2 := P(X = 2) =， p = 0.2】 2421214−−−qp C。
概率论§2.1 随机变量-§2.2离散型随机变量
0, w = (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 ) 1, w = (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ) X = X (w ) = (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ) 2, w = (a1 , a2 )
18
分布函数的性质
(1) F(x)是x的不减函数 ，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
(2)
F ( ) = lim F ( x ) = 0
x
F ( ) = lim F ( x ) = 1
x
理解：当x→+时,{X≤x}愈来愈趋于必然事件. (3)右连续性: 对任意实数 x0 ,
P ( X x ) = 1 P ( X x ) = 1 F ( x );
21
例1 设F1 ( x )与F2 ( x )分别为随机变量X 1与X 2
的分布函数，为了使 ( x ) = aF1 ( x ) bF2 ( x ) F
是某一随机变量的分布函数，则下列各组值 中应取（A）
3 2 ( A) a = , b = 5 5
连续型随机变量
如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到 的 24 “测量误差”等。
§2.2 离散型随机变量及其分布
定义 如果随机变量X 只取有限个或可列无限 多个不同可能值，则称X 为离散型随机变量. 例如, 抛一枚硬币，X 可取0,1有限个值。 可知X为一个离散型随机变量。 例如，电话交换台一天内接到的电话个数
F ( x0 0) = lim F ( x ) = F ( x0 )
x x0
19
如果一个函数满足上述三条性质，则一 定是某个随机变量 X 的分布函数。也就是说， 性质(1)-(3)是判别一个函数是否是某个随机 变量的分布函数的充分必要条件。
概率论第二章
§2.1 随机变量
[注] 1.常用大写字母 X , Y , Z ，或希腊字母
, , 表示随机变量；
2.用小写字母 x, y, z 表示随机变量的取值；
3.随机变量具有变异性和随机性； 4.随机事件是从静态的角度研究随机现象， 而随机变量则从动态角度研究随机现象。
§2.1 随机变量
例1 测量某地的降水情况，用 R.VX 表示降 水量(单位：毫升)
§2.2 离散型随机变量
定义1 设离散型随机变量X所有可能取值 为 x1 , x2 ,，称 P{ X xk } pk k=1,2,… 为离散型随机变量X的概率函数或分 布律，也称概率分布. 例1 设随机变量X的概率函数为：
k P( X k ) a , k!
k =0,1,2, …, 0
§2.2 离散型随机变量
定理2（ 泊松定理）
在 n 重贝努里试验里，事件A发生的次数X 服从二项分布，假设每次试验发生的概率为 p n
(0 pn 1)并且 lim np n ,则对任一整数 k 0 n k k k 有 lim C n p n (1 p n ) n k e , k 0,1,2, n k!
中随机抽取一件，用“X=1”和“X=0”分别
表示抽到的是一等品和二等品，求X的分
布律。
§2.2 离散型随机变量
2. 二项分布 如果离散型随机变量X的概率分布为
P{X k} C p (1 p)
k n k
n p
其中 0 p 1, k 0,1, 2,, n ，则称X服从参数
为n,p的二项分布(或贝努利分布)，记为
2） F () lim
F () lim
x
随机变量的定义及分类
随机变量的定义及分类随机变量是概率论中的重要概念，它是指一种随机试验中可能发生的某种事件或结果。
下面将会从定义、分类两个方面来详细介绍随机变量。
一、定义随机变量可以用数学式子来表示，在一些可能发生的结果中，随机变量X可以代表某种结果的取值，比如抛硬币出现正面朝上的概率，X可以表示正面朝上时的取值为1；反面朝上时的取值为0。
换言之，随机变量X就是一个函数，用于描述随机事件中某种结果的取值。
二、分类2.1 离散型随机变量：如果随机变量X只能取有限个或可数个数值时，那么X就是离散型随机变量。
比如，抛一枚硬币正面朝上的概率为1/2，反面朝上的概率也为1/2，用0表示反面朝上，1表示正面朝上，那么X就是一个离散型随机变量。
2.2 连续型随机变量：如果随机变量X的取值可以是从一个范围内的任意数，那么X就是连续型随机变量。
比如，取人的身高作为X值，虽然人的身高并不是无限小数，但是因为可以无限分割人的身高，所以X是连续型随机变量。
2.3 二项分布随机变量：二项分布随机变量是指在重复的n次独立试验中，每次试验只有两种结局的事件（成功或失败），且每次试验成功的概率相等。
比如，在10次抛掷硬币的过程中，每次正面朝上的概率是相等的，试验结果可以用二项分布随机变量X表示。
2.4 正态分布随机变量：正态分布随机变量也叫高斯分布随机变量，通常被用于描述一些连续型随机变量。
其概率密度函数呈钟形，且均值、方差完全决定了正态分布曲线的性质。
此类随机变量在自然界的统计学中有广泛应用。
综上所述，随机变量是概率论中的一个基本概念，主要包含离散型随机变量、连续型随机变量、二项分布随机变量、正态分布随机变量等类型。
对不同类型的随机变量，需要采用不同的计算方法和应用方式。
最新概率论与数理统计第二章随机变量及其分布
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
在离散型随机变量的概率分布中，事件“X=x1〞， “X=x2〞....“X=xk〞,...构成一个完备事件组。因此， 上述概率分布具有以下两个性质：
(1) pk 0,k 1,2,
(2)pk 1 k
满足上两式的任意一组数pk ,k 1,2, 都可以成为 离散型随机变量的概率分布。对于集合xk ,k 1,2,
解 按第一种方法。以X记“第1人维护的20台中同一时刻发 生故障的台数〞，以Ai(i＝1，2，3，4)表示事件“第i人 维护的20台中发生故障不能及时维修〞，那么知80台中 发生故障而不能及时维修的概率为
P(A1UA2UA3UA4)≥P(A1)＝P{X≥2}．
而X～b(20，0．01)，故有 1 P{X2}1P{Xk} k0
b (k 1 ;n ,p ) kq
kq
当k<(n+1)p时，b(k;n,p)>b(k-1;n,p)
当k=(n+1)p时，b(k;n,p)=b(k-1;n,p)
当k>(n+1)p时，b(k;n,p)<b(k-1;n,p)
因为(n+1)p不一定是正整数，所以存在正整数m，使 得(n+1)p-1＜m≤(n+1)P,当k=m时达到极大值。
k=1,2, …
P{X=k}= (1-p)k-1p,
并称X服从参数为p的几何分布。
几何分布的无记忆性
在贝努利试验中，等待首次成功的时间 服从几何 分布。现在假定在前m次试验中没有出现成功，那么为 了到达首次成功所再需要的等待时间 ′也还是服从几 何分布，与前面的失败次数m无关，形象化地说，就是 把过去的经历完全忘记了。因此无记忆性是几何分布所 具有的一个有趣的性质。但是更加有趣的是，在离散型 分布中，也只有几何分布才具有这样一种特殊的性质。
2.1随机变量的概念及离散型随机变量
当 k 从 0 增加时,概率 P( X k ) 经历了一个从小到大, 又从大变小的过程,事件“ X 5 ”发生的概率最大, 我们称之为最可能事件,“5 次”为最可能次数.
一般地,若 X~ b(n, p) ,则当 (n 1) p 是整数时,X 有两个最 可能次数 (n 1) p 及 (n 1) p -1; 当 (n 1) p 不是整数时 , 最可 能次数为 (n 1) p (即 (n 1) p 的整数部分).
1 p
例1:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀. 如果从班中随机地找出5名学生.设X：这5名学 生中成绩优秀的人数” ，求X的分布律.
解 ： X的所有可能取值为0,1，…，5，且X~b(5,1/4).
k P( X k ) C5 0.25k (1 0.25)5k , k 0,1,2,...,5.
该分布律也可以简单地用表格表示为：
X P
0 0.01
1 0.18
2 0.81
例 3: 设随机变量 X 具有分布律
.
P( X k ) ak, k 1,2,3,4,5
（1）确定常数 a ,
（2）计算
P(
1 5 X ), P(1 X 2) 6).
由上面的例子可知，有了随机变量，至少使随机 事件的表示在形式上简洁得多了 . 这只是一个方 面，我们在以后的讨论中，会看到引入“随机变 量”这一概念还有更为深远的意义.
二、随机变量的概念
在例 1 中，对每一个试验结果，“自然地”对应 着一个实数，而在例 2 中，这种对应关系是人为 地建立起来的。由此可见，无论是哪一种情形， 所谓随机变量，不过是试验结果（即样本点）和 实数之间的一个对应关系，这与我们熟知的“函 数”概念在本质上一回事. 定义：设随机试验的样本空间为 S ，称定义在样 本空间S上的实值单值函数X=X(w)为随机变量.
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结在概率与统计学中，随机变量是一种具有概率分布的变量，它可以用来描述不确定性的现象和事件。
随机变量的理论是概率论的核心内容之一，掌握随机变量及其分布知识点对于理解概率与统计学的基本原理及应用具有重要意义。
本文将对概率与统计中的随机变量及其分布进行知识点总结。
一、随机变量的概念与分类随机变量（Random Variable）是指对于随机试验结果的数值描述。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
1. 离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）的取值为有限个或可数个。
常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项分布随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量连续型随机变量（Continuous Random Variable）的取值可以是任意的实数。
通常用于表示测量结果或特定区间内的变化。
常见的连续型随机变量有均匀分布随机变量、正态分布随机变量等。
二、随机变量的分布函数与概率函数随机变量的分布函数和概率函数是描述随机变量的重要工具。
1. 分布函数分布函数（Distribution Function）是随机变量取值小于或等于某个值的概率，通常记作F(x)，其中x为随机变量的取值。
分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、左极限性质。
2. 概率函数（密度函数）概率函数（Probability Density Function）用于描述连续型随机变量的概率分布情况，通常记作f(x)，其中x为随机变量的取值。
概率函数的性质包括：非负性、归一性。
三、常见的随机变量及其分布在概率与统计学中，有一些常见的随机变量及其分布是被广泛应用的。
1. 伯努利随机变量伯努利随机变量（Bernoulli Random Variable）是最简单的离散型随机变量，它只有两个取值，通常用来描述成功或失败的情况。
2. 二项分布随机变量二项分布随机变量（Binomial Random Variable）描述了n个独立的伯努利试验中成功的次数，其中n为试验次数，p为单次成功的概率。
随机变量
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
常常表示为：
1 2 0 X ~ 0.01 0.18 0.81
这就是X的概率分布
例4 某射手连续向一目标射击，直到命中为止， 已知他每发命中的概率是p ，求所需射击发数 X 的概率函数。 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
简记为 r.v
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示
而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等
例如，从某一学校随机选一 学生，测量他的身高。
我们可以把可能 的身高看作随机变量X, 然后我们可以提出关于X的各种问题。 如 P(X>1.7)=？ P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=? 一旦我们实际选定了一个学生并量了 他的身高之后，我们就得到X的一个具体 的值，记作x。
k 0,1,..., n
2.2.2 常用离散随机变量的分布
3、二项分布B(n,p)
P ( X k ) C p (1 p )
k n k
nk
k 0,1,..., n
伯努利概型（重复独立试验）
进行一系列试验，在每次试验中，事件 A 或者发 生或者不发生，假设每次试验的结果与其它各次试验 的结果无关，事件 A的概率在一系列试验中保持不变， 则这样的试验叫做重复独立试验(伯努利试验)。 定理 如果在重复独立试验中事件A的概率为 p(0<p<1)，则在n次试验中事件A恰发生m次的概率：
概率论与数理统计2.1随机变量的分布与数字特征
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
P{x1 X x2} P{X x2} P{ X x1}
X
F ( x2 ) F ( x1 ).
o
x1
x2
x
随机变量的分布函数定义了事件域σ(X)上的一个概
率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提供了
直观的描述。
例8
等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为 落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布 函数
例2
掷一颗骰子，用 X 表示出现的点数。则 X 就是一 个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6。则
X 4表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
X 取偶数表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
在同一个样本空间上可以定义不同的随机变
例量如．我们可以定义：
Y
1 0
出现偶数点 出现奇数点
Z
1 0
点数为 6 点数不为 6
例4
观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生
物的寿命。则 Z 就是一个随机变量。它的取值为 所有非负实数。
Z 1500
表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事
件．
Z 3000
表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件．
注意 Z 的取值是无界的区间 个！
二、离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的定义 如果随机变量 X 的全部不同取值是有限个或可列无 穷多个，则称 X 为离散型随机变量。 离散型随机变量的概率分布
第 2 章 随机变量的分布与数字特征
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数字特征 §2.3 常用的离散型分布 §2.4 常用的连续型分布 §2.5 随机变量函数的分布
第二讲随机变量
P{X k} Cnk pk (1 p)nk ,
此时称, X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记为 X ~ b(n, p).
n=1时， P{X=k}=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，
注意
即P{X=0}=1-p, P{X=1}=p
(0-1)分布
X ~ b(n, p).
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
,
二项分布的图形特点:
Pk
对于固定 n 及 p, 当 k 增
加时, 概率 P{ X k}先
是随之增加直至达到最
大值, 随后单调减少.
O
n
完
可以证明， 一般的二项分布的图形也具有这一
性质，且当 (n 1) p 不为整数时，二项概率
P{ X k} 在 k [(n 1) p] 达到最大值； 当 (n 1) p 为整数时， 二项概率 P{ X k} 在 k (n 1) p 和 k (n 1) p 1 处达到最
记载的实际年数作对照, 这些值及 P{ X k} 的值
均列入下表.
X Pk
理论年数
实际年数
0 12 3 45 6 0.055 0.160 0.231 0.224 0.162 0.094 0.045 3.5 10.1 14.6 14.1 10.2 5.9 2.8
4 8 14 19 10 4 2
X
7
售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数
5 的泊松分布来描述, 为了以 95%以上的把
握保证不脱销, 问商店在月底至少应进该种商品
多少件?
解 设该商品每月的销售数为X , 已知 X 服从参数
5 的泊松分布. 设商店在月底应进该种商品 m
2.1,2.2离散型随机变量的概率分布
解 k可取值0，1，2
P{X＝k}＝
C2k C33k C53
.
例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概 率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。
解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,…A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,…5. SX={0,1,2,3,4,5},
e e 3e2 2
P{X 3} 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2}
1 e2 21 e2 22 e2 1 5e2 0.323
1!
2!
解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则X～B(400, 0.02)，故
P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…
泊松定理 设随机变量Xn～B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P{X k} k e ,
随机变量通常用X、Y、Z 或 、、等表示。 用小写字母x,y,z,…表示它们可能的取值。
随机变量的特点: 1 X的全部可能取值是互斥且完备的. 2 X的部分可能取值描述随机事件.
例1．引入适当的随机变量描述下列事件：
①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成 功一次}，G={至多成功3次}.
X
X (e)
0, 1,
eT eH
则这个有两个可能值的变量X代表了抛1枚硬币这一
试验的结果。
作为随机试验的结果，这些数量与以往用来表示时 间，位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的 变化情况取决于随机试验的结果，即是不能完全预 言的，这种随机取值的变量就是随机变量。
第二章随机变量
这种对应关系在数学上理解为定义了一种 实值函数. 实值函数 w. X(w) R
Ω
称这种定义在样本空间上的实值函数为
简记为 r.v.或 R.V.
(Random Variable)
定义 设随机试验为 E ,其样本空间为
Ω = {ω}, 如果对于每个 ω ∈ Ω ，都有一个实数
和它对应， X (ω) 和它对应，于是就得到一个定义在 Ω 上的实值单值函数 X (ω ) ，称 X (ω ) 为随机变 简记为R.V.X。 量。简记为 X
P(X=3)=P( A A A )=(1− p)2⋅p 1 2 3
P(X=k)=(1− p) ⋅p
⋯k−1 ⋯
k= ,2,⋯ 1 ⋯
随机变量X的这种分布称为几何分布. 随机变量 的这种分布称为几何分布 的这种分布称为几何分布
如右图所示，从中任取3 例3 如右图所示，从中任取3个 取到的白球数X是一个随机变量 是一个随机变量。 球。取到的白球数 是一个随机变量。 X可能取的值是 可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为 可能取的值是 。
k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P X = 5) = C (0.001) (0.999) （ ≈ 0.1756
5 5000 5
4995
(2)
P(X ≥1) = 1 − P( X < 1) = 1 − P( X = 0)
=1−C
0 5000
(0.001) (0.999)
Ck4−1 (k = 5， 6， ⋯， 10) P{X = k} = 5 C10 具体写出， 的分布律： 具体写出，即可得 X 的分布律：
X P 5
1 252
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例 抛掷一枚硬币可能出现 的两个结果 , 可以用一个 变量来描述.
例 {1, 2, 3,4,5,6}
1, =正面 X () 0 , =反面
定义: X()
．．A．．．
．．
—————>
R
X : 按一定法则 实数 X ()
一、随机变量的概念
1.定义:定义在概率空间(, P)上，取值为实数 的函数X ()（ ）,称为(, P)上的一个
------由r.v.X生成的事件
（4）在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v.
例如 : {1, 2, 3,4,5,6}
定义: X()
1 1，3，5 Y () 0 2，4，6
2、r.v. 分类
离散型(D.r.v.) 非离散型(N.D.r.v.)
其中一种重要的类型为
第2 章
随机变量及其分布
第2章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念与分类 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 连续型随机变量及其分布 §2.4 随机变量的分布函数 §2.5 随机变量函数的分布
2.1 随机变量的概念与分类
一、随机变量的概念 二、随机变量的分类
为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果.
连续性 r.v.(C.r.v.)
引入 r.v.
重要意义
◇ 随机现象可被 r.v.描述 ◇ 借助微积分方法
讨论解决问题
随机变量(random variable). 简记为r.v. X .
描述性定义：称这种依赖于特定随机试 验，并且由试验结果完全确定的变量为
随机变量X ()，简记为X。
注：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z,… 或小写希腊字母 ,η, ζ,….等表示.
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）随机变量的特点
定义域 样本空间 变异性 随试验结果而变的量
随机性
r.v. X 的可能取值不止一个,
试验前只能预知它的可能取值，但不
能预知取哪个值
概率特性 X 以一定的概率取某个值
（3）随机变量的取值表示事件
可用r.v.取值的等式或不等式表示随机事件
例如 : { | X a},{ | a X () b},{ | X x}L
I R, {X () I}F