若四面体ABCD的三组对棱分别相等
立体几何压轴填空题
立体几何压轴填空题题库一、填空题1．在三棱锥ABCD 中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD 体积的最大值是_____． 2．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为__________． 3．已知，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球内任取一点,则该点落在三棱锥内的概率为__________．4．正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为12π， E 为球心， F 为11C D 的中点.点M 在该正方体的表面上运动，则使ME CF ⊥的点M 所构成的轨迹的周长等于__________．5．如下图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体外接球的表面积为__________．6．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3,23BC AB ==E 在线段 BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．7．(数学文卷·2017届重庆十一中高三12月月考第16题) 现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221254y x += ，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．8．(2017届高三第二次湖北八校文数试卷第16题)祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆22221(0)y xa ba b+=>>所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______．9．在一个平行六面体中，以A为端点的三条棱长都相等，均为2，且,,AD AB AA'的夹角均为30︒，那么以这个顶点A为端点的平行六面体的体对角线的长度为__________．10．如图所示，在确定的四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD.(1)若AB⊥CD，则截面EFGH与侧面ABC垂直；(2)当截面四边形EFGH面积取得最大值时，E为AD中点；(3)截面四边形EFGH的周长有最小值；，则在四面体内存在一点P到四面体ABCD六条棱的中点的距离相等.上(4)若AB⊥CD，AC BD述说法正确的是．11．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不改变；③棱始终与水面平行；④当时，是定值．其中正确说法是．12．如图所示，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线B1C上运动，则下列四个命题：①AP∥面A1C1D，②A1P⊥BC1，③平面PD1B⊥平面A1C1D，④三棱锥A1-DPC1的体积不变其中正确的命题序号是______．13．已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_________.14．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线,,围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体,如图分别为的渐近线与,的交点,曲边五边形绕轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理(祖恒原理：幂势既同，则积不容异).意思是：两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等,那么这两个几何体的体积相等，那么这两个几何体的体积相等)，据此求得该金杯的容积是_____.(杯壁厚度忽略不计)15．正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，如顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离为___________；17．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即，，，则______写出所有正确结论的编号四面体ABCD每个面的面积相等四面体ABCD每组对棱相互垂直连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长18．已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______ 19．若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为_________．20．已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则的最小值是______________________；21．已知正方体的棱长为，平面与对角线垂直且与每个面均有交点，若截此正方体所得的截面面积为，周长为，则的最大值为______.22．正方体中，点分别在棱上，且其中，若平面与线段的交点为，则__________．23．已知点在球表面上，且，若三棱锥的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为__________．24．已知半径为4的球面上有两点，，，球心为，若球面上的动点满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_______．25．如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．26．在棱长为1的正方体中，设以上、下底面各边中点为顶点的正四棱柱为，以左、右侧面各边中点为顶点的正四棱柱为，则正方体体对角线在，公共部分的长度为______．27．已知正三棱柱的所有棱长为2，点分别在侧面和内，与交于点，则周长的最小值为_______．28．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______．29．已知点，，在半径为2的球的球面上，且，，两两所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为_______．30．正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．31．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是_____填上所有你认为正确的序号正三边形正四边形正五边形正六边形钝角三角形等腰梯形非矩形的平行四边形32．已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值是______33．在三棱锥中，平面，且，，，当三棱锥的体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为__________．34．古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯（Pappus，约300～约350）在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积.”如图，半圆的直径，点是该半圆弧的中点，半圆弧与直径所围成的半圆面（阴影部分不含边界）的重心位于对称轴上.若半圆面绕直径所在直线旋转一周，则所得到的旋转体的体积为__________,___________________．35．已知底面边长为3的正三棱锥的外接球的球心Q满足，则正三棱锥的内切球半径为___．36．已知A,B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的体积为，则三棱锥P-ABC表面积为___________．37．类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值为______.38．某三棱锥的三视图如下图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为___________，__________.39．已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm3．（结果保留圆周率 ）40．如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为____________。
河北省容城中学2014-2015学年高二12月月考数学试题
河北省容城中学2014-2015学年高二12月月考数学试题3. 将两个数25a =，9b =交换，使9a =，25b =，下面语句正确的一组是（ ）A. B.D.6. 一根木棒长5米，从任意位置砍断，则截得两根木棒都大于2米的概率为（ ）A ．15 B. 25 C. 35 D. 457. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是( ) A. B. C. D.8. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．349. 如图(第2页)，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A.6B. 9C. 12D.1810. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．12s >B ．53>sC ．710s >D ．45s >11. “12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-= 相互垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要12. 某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”;黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i ＋2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（ ）A ． 0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）.13. 将八进制数(8)127化成十进制数为 .14. 过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A B 、两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则||AB = .15. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11BB CC 、的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.16. 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，ACBD =，AD BC =，(第10题)(第9题)则______(写出所有正确结论编号)。
安徽省2009—2013年高考数学真题汇编(文科)
安徽省2009—2013年高考数学真题汇编（文科）（选择题、填空题部分）高考考点1：集合与常用逻辑用语1.(2009年-2). 若集合()(){},0312<-+=x x x A {}5≤∈=+x N x B ，则B A ⋂是A ．{1，2，3} B. {1，2} C. {4，5} D. {1，2，3，4，5}2.(2009年-4).“d b c a +>+”是“b a >且d c >”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2010年-1).若{|10}A x x =+>，{|30}B x x =-<，则AB = A.(1,)-+∞ B.(,3)-∞ C.(1,3)- D.(1,3)4.（2011年-2）集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(CuT S ⋂等于A. }{,,,1456B. }{,15C. }{4D. }{,,,,123455.（2012年-2）设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=A. （1，2）B.[1，2]C. [ 1，2D.（1，2 ]6.（2012年-4）命题“存在实数x ，使x > 1”的否定是A .对任意实数x , 都有x > 1 B.不存在实数x ，使x ≤ 1C.对任意实数x , 都有x ≤ 1D.存在实数x ，使x ≤ 17.（2013年-2）已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂=A.{}2,1--B.{}2-C.{}1,0,1-D.{}0,18.（2013年-4） “(21)0x x -=”是“0x =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.(2010年-11).命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是 高考考点2：函数、 导数及其应用1.(2009年-8) 设b a <，函数()()b x a x y --=2的图像可能是2.(2009年-9)设函数()θθθt an 2cos 33sin 23++=x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πθ，则导数()1'f 的取值范围是A.[]2,2-B.[]3,2C. []2,3D. []2,2 3.(2010年-6).设0abc >，二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是4.(2010年-7)设253()5a =，352()5b =，252()5b =，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a c b >> B.a b c >> （C ）c a b >> D.b c a >>5.（2011年-5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是A.（a 1，b ）B. (10a,1-b)C. (a10,b+1) D. (a 2,2b) 6.(2011年-10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是A. 1B. 2C. 3 D .47.（2012年-3）（2l o g 9）·（3log 4）= A . 14 B. 12C. 2 D . 4 8.(2013年-8) 函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同12,,,n x x x ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围为A. {}2,3B.{}2,3,4C. {}3,4D. {}3,4,59.（2013年-10）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程 23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A. 3B. 4C. 5D. 610.（2011 年-11）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =22x x -，则(1)f =.11.（2011年-13）函数y =的定义域是 .12.(2012年-13)若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________.13.（2013年-11） 函数1ln(1)y x =+_____________.14.（2013年-14）定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时。
山西省曲沃中学2014届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
曲沃中学2014届高三上学期第一次月考数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．1个或无数个3.若曲线y=4x 的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为（ ）A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=04.平面α，β，γ两两互相垂直，且交于点A ，点B 到α，β，γ的距离均为1，则A 、B 两点之间的距离|AB|＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．25. 若集合A ＝{x|ax 2－ax ＋1<0}＝Φ，则实数a 的值的集合是( )A ．{a|0<a<4}B ．{a|0≤a<4}C ．{a|0<a ≤4}D ．{a|0≤a ≤4}6.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A ．112 B.5 C.4 D. 927.设l 是直线，a ，β是两个不同的平面 ( )A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β8.将正方形（如图1）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）9.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若S n ＝10，则n 的值是( )A ．11B ．99C ．120D ．12111. 已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ） AB． C ．132 D．12.设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是( )(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知t>0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为_____ 14.四边形ABCD 在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是_________.15.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为正方形。
安徽省六安市2016年高二数学(文)暑假作业 第26天 Word版含答案
第26天 空间中的平行与垂直关系课标导航：1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.能运用公理、定理和一些结论证明空间图形的位置关系的简单命题.一、选择题1. 已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ）A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥2. 设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）①若α⊥l，则l 与α相交②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l③若l ||m ，m ||n ，α⊥l，则α⊥n④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||n A ．1B ．2C ．3D ．4 3. 用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：（ ）①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ）A ．m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β5．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 即不充分不必要条件6. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个7. 直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8. 如图，已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA=2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥AD B ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成角为450二、填空题9. 三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA=4，AB=3，D 为AB 的中点 ∠ABC=90°，则点D 到面SBC 的距离等于 ； 10. 如图，直线l α⊥平面，垂足为O ，已知ABC ∆中，ABC ∠为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A l ∈，（2）B α∈.则C 、O 两点间的最大距离为 .11.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等,即AB CD =,AC BD =,AD BC =,则 .(写出所有正确结论编号)①四面体ABCD 每组对棱相互垂直; ②四面体ABCD 每个面的面积相等; ③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90ο而小于180ο; ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分;⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 12.对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）。
第三节 点、线、面的位置关系
第三节点、线、面的位置关系高考试题考点一判断点、线、面的位置关系1.(2013年浙江卷,文4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n (B)若m∥α,m∥β,则α∥β(C)若m∥n,m⊥α,则n⊥α(D)若m∥α,α⊥β,则m⊥β解析:A项,当m∥α,n∥α时,m,n可能平行,可能相交,也可能异面,故错误;B项,当m∥α,m∥β时,α,β可能平行也可能相交,故错误;C项,当m∥n,m⊥α时,n⊥α,故正确;D项,当m∥α,α⊥β时,m可能与β平行,可能在β内,也可能与β相交,故错误.故选C.答案:C2.(2012年四川卷,文6)下列命题正确的是( )(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:如图所示,在正方体ABCD A 1B1C1D1中,直线A1B1和B1C1与下底面所成的角相等(都是0),但A1B1与B1C1不平行.即选项A不正确;若E、F、G、H分别为AA1、BB1、CC1、DD1的中点,则平面ABB1A1内点A、B、B1、A1到平面EFGH的距离都相等,但平面EFGH与平面ABB1A1相交,即选项B不正确;A1B1∥平面ABCD,A1B1∥平面CDD1C1,易知A1B1平行于平面ABCD与平面CDD1C1的交线CD,平面ABB1A1与平面BCC1B1都与底面ABCD垂直,但两平面不平行.即选项D不正确;故选C.答案:C3.(2012年浙江卷,文5)设l是直线,α,β是两个不同的平面( )(A)若l∥α,l∥β,则α∥β(B)若l∥α,l⊥β,则α⊥β(C)若α⊥β,l⊥α,则l⊥β(D)若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:当l∥α,l∥β时,α与β可能相交,这时l平行于α与β的交线,故选项A错误;由于l∥α,故在α内存在直线l′∥l,又因为l⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以选项B正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此选项C错误;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因此选项D错误.答案:B4.(2011年四川卷,文6)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )(A)l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3 (B)l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3(C)l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 (D)l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面解析:如图,在正方体ABCD A 1B1C1D1中:对于选项A:A1D1⊥AA1,AB⊥AA1,但A1D1与AB是异面直线,选项A错误;对于选项C:AB∥A1B1∥C1D1,但三线不共面,选项C错误;对于选项D,AB、AA1、AD共点于A,但三线不共面,选项D错误.正确答案是B.答案:B5.(2010年山东卷,文4)在空间,下列命题正确的是( )(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行解析:平行直线的平行投影可能平行,故选项A不正确;平行于同一直线的两个平面可能相交,故选项B不正确;垂直于同一平面的两个平面也可能相交.故选项C不正确;选项D是直线与平面垂直的性质定理,故选项D正确.答案:D6.(2011年浙江卷,文4)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )(A)α内的所有直线与l异面(B)α内不存在与l平行的直线(C)α内存在唯一的直线与l平行(D)α内的直线与l都相交解析:由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.答案:B7.(2010年湖北卷,文4)用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题的序号是( )(A)①②(B)②③(C)①④(D)③④解析:①是平行公理,正确;②空间中垂直于同一直线的两直线可能平行,也可能相交、异面但不垂直,故②不正确;③平行于同一平面的两直线可能平行、相交或异面,故③不正确;④垂直于同一平面的两直线平行,是直线与平面平行的性质定理,正确,故答案选C.答案:C8.(2009年江苏卷,12)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号).解析:命题①是两个平面平行的判定定理,正确;命题②是直线与平面平行的判定定理,正确;命题③中在α内可以作无数条直线与l垂直,但α与β只是相交关系,不一定垂直,错误;命题④中直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直,但l与α内的两条直线垂直推不出直线l与α垂直,所以命题④不正确.答案:①②考点二几何体中点、线、面的位置关系1.(2013年江西卷,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析:依题意把正四面体CDEF放在正方体内,假设AB与CD等长,使AB与CD重合.在正四面体CDEF内,易得CD与EF所在直线是异面直线且互相垂直,故正方体内与CD(也即AB)垂直的平面必与EF平行,这样的平面有2个.又因EF不与平面α垂直,易知EF与正方体内其他4个平面的关系是相交的.答案:42.(2012年安徽卷,文15)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD每组对棱相互垂直;②四面体ABCD每个面的面积相等;③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°;④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.解析:把四面体补形为平行六面体,由三组对棱分别相等可知此平行六面体为长方体,如图所示,只有长方体为正方体时①才正确,故①不正确.在长方体中,有△BAC≌△DCA.△ABC≌△DCB,△CBD≌△ADB.∴四面体ABCD每个面的面积都相等,故②正确.对于③,以∠BAC,∠CAD,∠BAD为例说明.∵△BAC≌△DCA,∴∠CAD=∠ACB.又∵△DAB≌△CBA,∴∠BAD=∠ABC.∴∠BAC+∠CAD+∠BAD=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,故③不正确.对于④,连接四面体ABCD对棱中点的线段即是连接长方体对面中心的线段,显然相互垂直平分,故④正确.对于⑤,以AB、AC、AD为例进行说明.∵AD=BC,AB、AC、BC三边长可构成△ABC,∴AB、AC、AD可以作为一个三角形的三边长.同理可得从其他顶点出发的三条棱的长也可以作为一个三角形的三边长.故⑤正确.答案:②④⑤3.(2010年江西卷,文11)如图所示,M是正方体ABCD A 1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;②过M 点有且只有一条直线与直线AB,B 1C 1都垂直; ③过M 点有且只有一个平面与直线AB,B 1C 1都相交; ④过M 点有且只有一个平面与直线AB,B 1C 1都平行. 其中真命题是( ) (A)②③④ (B)①③④ (C)①②④ (D)①②③解析:在AB 上任取一点P,则平面PMC 1与AB,B 1C 1都相交,这样的平面有无数个,故③是假命题,结合选项可知应选C. 答案:C4.(2009年海南、宁夏卷,文9)如图所示,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F,且EF=12,则下列结论中错误的是( )(A)AC ⊥BE (B)EF ∥平面ABCD(C)三棱锥A BEF 的体积为定值 (D)△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 解析:∵AC ⊥平面BB 1D 1D,又BE ⊂平面BB 1D 1D,∴AC ⊥BE,故选项A 正确. ∵B 1D 1∥平面ABCD, 又E 、F 在直线B 1D 1上运动, 故EF ∥平面ABCD.故选项B 正确.选项C 中由于点B 到直线EF 的距离是定值,故△BEF 的面积为定值,又点A 到平面BEF 的距离为定值,故A BEF V 不变.故选项C 正确.由于点A 到B 1D 1的距离与点B 到B 1D 1的距离不相等,因此△AEF 与△BEF 的面积不相等,故选项D 错误. 答案:D考点三 利用线面关系解决有关数量问题1.(2013年北京卷,文8)如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线BD 1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( )(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个解析: 如图,取底面ABCD 的中心O,连接PA,PC,PO.∵AC⊥平面DD1B,又PO⊂平面DD1B,∴AC⊥PO.又O是AC的中点,∴PA=PC.同理,取B1C与BC1的交点H,易证B1C⊥平面D1C1B,∴B1C⊥PH.又H是B1C的中点,∴PB1=PC,∴PA=PB1=PC.同理可证PA1=PC1=PD.又P是BD1的三等分点,∴PB≠PD1≠PB1≠PD,故点P到正方体的顶点的不同距离有4个.答案:B2.(2012年重庆卷,文9)设四面体的六条棱的长分别为a,且长为a面,则a的取值范围是( )解析:如图所示设点E为AB的中点 ,则ED⊥AB,EC⊥AB,则同理.由构成三角形的条件知∴答案:A3.(2009年湖南卷,文6)平行六面体ABCD A 1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:与AB 共面也与CC 1共面的棱有CD,BC,BB 1,AA 1,C 1D 1,共5条. 答案:C4.(2013年安徽卷,文15)如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段CC 1上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<12时,S 为四边形;②当CQ=12时,S 为等腰梯形; ③当CQ=34时,S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R=13;④当34<CQ<1时,S 为六边形;⑤当CQ=1时,S 的面积为2解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. ①当0<CQ<12时,如图(1).在平面AA 1D 1D 内,作AE ∥PQ, 显然E 在棱DD 1上,连接EQ, 则S 是四边形APQE.②当CQ=12时,如图(2).显然PQ ∥BC 1∥AD 1,连接D 1Q, 则S 是等腰梯形. ③当CQ=34时,如图(3).作BF ∥PQ 交CC 1的延长线于点F,则C 1F=12. 作AE ∥BF,交DD 1的延长线于点E,D 1E=12,AE ∥PQ,连接EQ 交C 1D 1于点R,由于Rt △RC 1Q ∽Rt △RD 1E, ∴C 1Q ∶D 1E=C 1R ∶RD 1=1∶2,∴C 1R=13.④当34<CQ<1时,如图(3),连接RM(点M 为AE 与A 1D 1交点),显然S 为五边形APQRM.⑤当CQ=1时,如图(4).同③可作AE ∥PQ 交DD 1的延长线于点E,交A 1D 1于点M,显然点M 为A 1D 1的中点,所以S 为菱形APQM,其面积为12MP ×AQ=12答案:①②③⑤5.(2011年福建卷,文15)如图所示,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB=2,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C,则线段EF 的长度等于 .解析:由于在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB=2,∴又E 为AD 中点,EF ∥平面AB 1C,EF ⊂平面ADC,平面ADC ∩平面AB 1C=AC,∴EF ∥AC.∴F 为DC 中点.∴EF=12答案6.(2013年陕西卷,文18)如图,四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,O 是底面中心,A 1O ⊥底面ABCD,AB=AA 1(1)证明:平面A 1BD ∥平面CD 1B 1; (2)求三棱柱ABD A 1B 1D 1的体积. (1)证明:由题设知,BB 1DD 1,∴BB 1D 1D 是平行四边形, ∴BD ∥B 1D 1.又BD平面CD 1B 1,∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1B 1C 1BC, ∴A 1BCD 1是平行四边形, ∴A 1B ∥D 1C. 又A 1B 平面CD 1B 1, ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B=B,∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解:∵A 1O ⊥平面ABCD, ∴A 1O 是三棱柱ABD A 1B 1D 1的高.又∵AO=12AC=1,AA 1∴A 1=1.又∵S △ABD =12×∴111ABD A B C V -=S △ABD ×A 1O=1.7.(2013年湖南卷,文17)如图,在直棱柱ABC A 1B 1C 1中,∠BAC=90°1=3,D 是BC 的中点,点E在棱BB 1上运动.(1)证明:AD ⊥C 1E;(2)当异面直线AC,C 1E 所成的角为60°时,求三棱锥C 1A 1B 1E 的体积. (1)证明:因为AB=AC,D 是BC 的中点,所以AD ⊥BC. ① 又在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,BB 1⊥平面ABC,而AD ⊂平面ABC,所以AD ⊥BB 1. ② 由①②,得AD ⊥平面BB 1C 1C.由点E 在棱BB 1上运动,得C 1E ⊂平面BB 1C 1C, 所以AD ⊥C 1E.(2)解:因为AC ∥A 1C 1,所以∠A 1C 1E 是异面直线AC,C 1E 所成的角. 由题意知∠A 1C 1E=60°. 因为∠B 1A 1C 1=∠BAC=90°, 所以A 1C 1⊥A 1B 1. 又AA 1⊥A 1C 1, 从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1. 于是A 1C 1⊥A 1E.故C 1E=11cos 60AC又B 1C 1所以B 1从而111A B E C V -三棱锥 =1113A B ES ·A 1C 1=13×12×223. 考点四 求异面直线所成的角1.(2012四川卷,文14)如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .解析:如图所示,取CN 的中点K,连接MK,则MK 为△CDN 的中位线,所以MK ∥DN.所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角.连接A 1C 1,AM.设正方体棱长为4,则A 1K= ,MK=12 DN==A 1M=∴A 1M 2+MK 2=A 1K 2, ∴∠A 1MK=90°. 答案:90°2.(2012年大纲全国卷,文16)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点,那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为 . 解析:如图所示,连接DF,则AE ∥DF,∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角. 设正方体棱长为a,则D 11∴cos∠D1222a⎫⎫+-⎪⎪35.答案:35模拟试题考点一判断点、线、面的位置关系1.(2013广东珠海高三上学期期末)已知直线l、m和平面α,则下列命题正确的是( )(A)若l∥m,m⊂α,则l∥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m(C)若l⊥m,l⊥α,则m∥α(D)若l⊥α,m⊂α,则l⊥m解析:对于选项A,l可能在α内;对于选项B,l与m可能异面;对于选项C,m可能在α内,只有选项D正确.答案:D2.(2012湖北襄阳模拟)关于直线a、b、l以及平面α、β,下面命题中正确的是( )(A)若a∥α,b∥α,则a∥b(B)若a∥α,b⊥a,则b⊥α(C)若a⊥α,a∥β,则α⊥β(D)若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥α解析:如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,A1B1∥平面ABCD,B1C1∥平面ABCD,但A1B1∩B1C1=B1,故选项A不正确;A1B1∥平面ABCD,A1D1⊥A1B1,但A1D1∥平面ABCD,故选项B不正确;对于平面ABCD内的直线AB、CD都与直线A1D1垂直,但A1D1∥平面ABCD,故选项D不正确.故选C.答案:C考点二判断几何体中点、线、面的位置关系1.(2011浙江省嘉兴市高三教学测试)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( )(A)MN与CC1垂直(B)MN与AC垂直(C)MN与BD平行(D)MN与A1B1平行解析:由于C1D1与A1B1平行,MN与C1D1是异面直线,所以MN与A1B1是异面直线,故选项D错误.答案:D2.(2012安徽蚌埠模拟)如图所示,在四面体OABC 中,OA 、OB 、OC 两两垂直,且OB=OC=3,OA=4.给出以下命题:①存在点D(O 点除外),使得四面体DABC 有三个面是直角三角形;②存在点D,使得点O 在四面体DABC 外接球的球面上;③存在唯一的点D 使得四面体DABC 是正棱锥;④存在无数个点D,使得AD 与BC 垂直且相等.其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号填上).解析:①过O 作平面ABC 的垂线(O ′为垂足),延长至D 使O ′D=OO ′,连接AD,BD,CD,则四面体DABC 有三个面是直角三角形,故①正确;②在以O 、A 、B 、C 确定的球上,显然存在点D 满足条件,故②正确;③因为所以当点D 满足AD=5,四面体是以△BCD 为底面的正棱锥,这样的D 点有两个,所以③不正确.④取BC 的中点O 1,在平面AOO 1内以A 为圆心,以BC 为半径作圆,圆周上任一点满足条件,所以这样的点D 有无数个,故④正确.答案:①②④考点三 利用点、线、面关系解决有关数量问题1.(2013北京西城区模拟)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,与体对角线AC 1异面的棱有( )(A)3条 (B)4条 (C)6条 (D)8条解析:正方体的12条棱中,以点A 和点C 1作为一个端点的棱各有3条,故与AC 1异面的棱有12-6=6条. 故选C.答案:C2.(2011辽宁抚顺)已知空间四边形ABCD 中,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,则下列判断正确的是( )(A)MN ≥12(AC+BD) (B)MN ≤12(AC+BD) (C)MN=12(AC+BD) (D)MN<12(AC+BD) 解析:如图所示,在空间四边形ABCD 中,取BC 的中点E,连接ME 、NE,则ME=12AC,NE=12BD.在△MNE 中,MN<ME+NE=12(AC+BD).故选D.答案:D 考点四 求异面直线所成的角(2013山东临沂3月月考)在正四棱锥V ABCD 中,底面正方形ABCD 的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA 与BD 所成角的大小为( ) (A)π6(B)π4 (C)π3 (D)π2 解析:如图所示,连接AC 、BD,设AC ∩BD=O,∵BD ⊥AC,BD ⊥VO,AC ∩VO=O,∴BD ⊥平面VAC,VA ⊂平面VAC,∴BD ⊥VA,即异面直线BD 与VA 所成的角是π2. 答案:D 综合检测1.(2013潍坊一模)已知直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,则“α∥β”是“l ⊥m ”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件解析:若α∥β,l ⊥α,则l ⊥β,又m ∥β,∴l ⊥m,若l ⊥m,l ⊥α,m ∥β,不一定有α∥β,故“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件. 故选A.答案:A2.(2012海南琼海一模)已知一个平面α,l 为空间中的任意一条直线,那么在平面α内一定存在直线b 使 得( )(A)l ∥b (B)l 与b 相交(C)l 与b 是异面直线 (D)l ⊥b解析:当l 与平面α相交时,平面α内不存在直线l 满足l ∥b,故选项A 错;当l ∥α时,l 与b 平行或异面,故选项B 错;当l ⊂α时,l 与b 平行或相交,故选项C 错误;无论l 与α的位置关系如何,在平面α内总存在直线b ⊥l.故选D.答案:D。
立体几何难题
学霸专题22：立体几何难题1．已知四面体ABCD 的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x ，则x 的取值范围是( )A ．B ．)C ．)D ．()4,72．在棱长均为ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（ ）A ．2 B C D ．3．如图，一张纸的长、宽分别为，四条边的中点分别是A ，B ，C ，D ，现将其沿图中虚线折起，使得1M ，2M ，3M ，4M 四点重合为一点M ，从而得到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论：①该多面体是六面体；②点M 到棱AC 的距离为2a ； ③BD ⊥平面AMC ；④该多面体外接球的直径为2a ， 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①④B ．③④C ．②③D ．②③④4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PM N 的面积3PMN S =△则点P 的轨迹长度为（ ）A ．9B ．9C ．3D ．35．侧棱长为的正三棱锥V -ABC 的侧棱间的夹角为40°，过顶点A 作截面AEF ，截面AEF 的最小周长为（ ）A ．B ．6aC ．4aD ． a 6．已知一圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体（每条棱长都为a 的三棱锥），并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则a 的最大值为（ ）A ．1 BC D ．2 7．如图，已知ABC 的顶点C ∈平面α，点,A B 在平面α的同一侧，且|||2AC BC ==．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，则ABC 面积的取值范围是（ ）A ．[6,3]B ．[3,3]C ．[3,23]D ．[6,23] 8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列说法错误的个数是（ ）①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为52；②若P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +的最小值为622+；③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥P ABC -的体积最大时，三棱柱P ABC -外接球的表面积为2π；④若过点P 的平面α与正方形每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为334A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ）A ．S 为定值,l 不为定值B ．S 不为定值,l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值10．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4，侧棱1AA ⊥底面ABC ，P ，Q ，R 分别在棱1AA ，AB ，11B C 上，2AP AQ ==，13B R =，过P ，Q ，R 三点的平面将三棱柱分为两部分，下列说法错误的是（ ）A ．截面是五边形B ．截面面积为C ．截面将三棱柱体积平分D ．截面与底面所成的锐二面角大小为π311．半径为R 的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（ ）AB RC ．2)R -D R12．长方体1111ABCD A B C D -中，P 是对角线1AC 上一点，Q 是底面ABCD 上一点，若AB =11BC AA ==，则1PB PQ +的最小值为（ ）A ．32BCD ．213．如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是( )①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 交点R 满足1113C R =； ④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为2． A ．①③④ B ．②④⑤ C ．①②④ D ．①②③⑤ 14．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱AP ⊥平面ABCD ，1AB =，AP =点M 在线段BC 上，且AM MD ⊥，则当PMD ∆的面积最小时，线段BC 的长度为( )A B ．2 C ．2 D ．15．正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为2,点,E F 分别为棱111,BB AC 的中点,若过点,,A E F 作一截面,则截面的周长为（ ）A ．B ．C．D ．16．过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A ．1 BC D ．2 17．现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是 （ ） A ．611 B ．311 C ．411 D ．511 18．已知球O 与棱长为4的正方形1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是 （ ）A ．B ．22⎤⎦C ．⎡⎣D ．19．如图，正方体的棱长为，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．B ．C ．D ．20．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的的棱异面，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．21．如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．13 B ．3 C ．3 D ．2322．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（ ）A ．2B ．√5C ．3D ．423．某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积之比为（ ）A ．153πB ．163πC ．3011πD ．3211π 24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ；②存在点M ，使得//DM 平面11CB D ；③若1A DM 的面积为S ，则3S ⎛∈ ⎝； ④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 25．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．133B ．143C ．5D ．16326．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．83 C ．4 D ．16327．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A B ．3 C ．3 D ．628．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球12,O O ，这两个球相外切，且球1O 与正方体共顶点A 的三个面相切，球2O 与正方体共顶点1B 的三个面相切，则两球在正方体的面11AAC C 上的正投影是（ ）A ．B ．C ．D ． 29．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=，则直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．12⎡⎢⎣⎦30．已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点，沿直线DE 将ADE 翻折成PDE △，直线PB 与平面BCDE 所成角最大时，线段PB 长是( )A ．743B ．543C ．742D ．54231．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,,a E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点,G H ，设,[0,]BG x x a =∈.给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为2a ； ③四棱锥1C EGFH-的体积为36a ；④点1B 到平面EGFH .其中命题正确的序号为（ ）A ．②③④B ．②③C ．①②④D ．③④32．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 、N 分别为边AB 、BC 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A 折至1A 处（1A 与A 不重合），若M 、K 分别为线段1A D 、1AC 的中点，则在ADE ∆折起过程中（）A ．DE 可以与1AC 垂直B ．不能同时做到//MN 平面1A BE 且//BK 平面1A DEC ．当1MN AD ⊥时，MN ⊥平面1A DED ．直线1AE 、BK 与平面BCDE 所成角分别为1θ、2θ，1θ、2θ能够同时取得最大值33．正方体中1111ABCD A B C D -,过1D 作直线l ,若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π,且直线l 与直线1BC 所成角为4π,则满足条件的直线l 的条数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．434．如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成的角为45°，顶点B 在平面α内的射影为O ，当顶点A 与点O 的距离最大时，直线CD 与平面α所成角的正弦值等于( )A ．12B ．15C ．4D ．512+ 35．如图，正方体1111ABCD A B C D -中， E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且 1//A F 平面1AD E ，则 1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值 t 构成的集合是（ ）A ．B ．{|2t t ≤<C ．D ．36．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点,M N 分别在1111,A B D C 上，且111A M D N ==.过点,M N 的平面α与此四棱台的下底面会相交，则平面α与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A ．B ．C ．D ．37．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）AB C D 38．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，AC =1BC =，90ACB ∠=︒，点D 是11A B 的中点，F 是 侧面11AA B B （含边界）上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ， 则线段1C F 的长的最大值为（ ）AB C D39．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 中点，点P 是正方形11DCC D 内的动点(含边界)，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ）A ．649B ．CD 40．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 13,4,AB AA P ==是侧面11BCC B 内的动点，且1,AP BD ⊥记AP 与平面1BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为A ．43B ．53C ．2D ．25941．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 的最小值为5B ．DPC ．1AP PC +D ．1AP PC +的最小值为542．点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为__________．43．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形的面积不改变；③棱始终与水面平行； ④当时，是定值．其中正确说法是 ．44．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当]x ∈时，函数()y f x =的值域为______．45．如图正方体1AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段1CC 上一动点(不含C )，过M N P 、、与正方体的截面为α，则下列说法正确的是___________.①当112CP CC ≤时，α为五边形 ②截面α为四边形时，α为等腰梯形 ③截面α过1D 时，113CP CC =④α为六边形时在底面投影面积1,S α为五边形时在底面投影面积2S ，则12S S >46．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào ）.如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，则该三棱锥即为鳖臑.若2AB =且三棱锥外接球的体积为36π，则PB AC +长度的最大值是______.47．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面n 边形（其中*3,n n N >∈）的周长的范围是_________.48．以棱长为O 为球心，以(13)R R <<为半径的球面与正四面体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是____________.49．正四面体A BCD -的各个点在平面M 同侧，各点到平面M 的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．50．水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是________.51．将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部分截去4个相等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则其体积为_______3cm .52．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是_____(填上所有你认为正确的序号)①正三边形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 ⑤钝角三角形 ⑥等腰梯形 ⑦非矩形的平行四边形53．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________．54．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）． ①当102CQ时，S 为四边形； ②当12CQ时，S 为等腰梯形； ③当23CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足112C R =；④存在点Q ，S 为六边形.55．在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，过A 作截面AEF ，交SB 于E ，交SC 于F ，则截面AEF 周长的最小值为__________．56．已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1AC 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①//BN 平面1A DM ，且BN ；②三棱锥N DMC -的最大体积为3； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 57．已知四面体ABCD 的四个顶点均在球O 的表面上，AB 为球O 的直径，4,2AB AD BC ===，四面体ABCD 的体积最大值为____ 58．在三棱锥ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD 体积的最大值是_____． 59．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221254y x += ，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．60．棱长为2的正方体在平面α上的射影的面积最大值等于________________.61．如图,已知正四棱锥V ABCD -可绕着AB 任意旋转,CD ∥平面α.若2AB =，VA =则正四棱锥V ABCD -在面α内的投影面积的取值范围是_______.62．某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积__________．63．已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______64．如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，G 、H 分别是BC 和AD 上的动点，且EH 与GF 相交于点K ．下列判断中：①直线BD 经过点K ；②EFC EFH S S =；③E 、F 、G 、H 四点共面，且该平面把四面体ABCD 的体积分为相等的两部分．所有正确的序号为__________．65．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足()0BC AC λλ=>，且在平面α内运动，则有以下几个命题：①当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线；②当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线；③当2λ=时，点C 的轨迹是圆；④当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线.其中正确的命题是__________.（将所有正确的命题序号填到横线上）66．如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,点E 、F 分别是线段11AB C D 、上的动点,点P 是上底面1111D C B A 内一动点,且满足点P 到点F的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离,则当点P 运动时,PE 的最小值是__________.67．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD ==AD BC ==,E F 分别是,AD BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.68．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120的二面角，已知直角边AB AC =_________．（1） 平面ABC ⊥平面ACD（2）四面体D ABC -（3）二面角A BC D --3（4）BC 与平面ACD 所成角的正弦值是14 69．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA SB ==S AB C --的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．70．已知球O 的半径为1，A 、B 是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是__________． 71．在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为r 的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R 的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r 的最大值为________；大球半径R 的最小值为________.72．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体的表面上运动，且与点A 的距离为3.动点P 的集合形成一条曲线，这条曲线在平面11 ABB A 上部分的形状是__________；此曲线的周长是_______.73．金石文化，时中国悠久文化之一.“金”是指“铜”,“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形(如图)，若一个三视图(即一个正八边形)的面积是2(8)dm +，则该工艺品共有___个面，表面积是_____74．三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面ABC 的投影恰好是ABC 的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥P ABC -的体积是________；它的外接球的表面积是________.75．如果四面体的四条高交于一点，则该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体.（1）证明：如果四面体的对棱互相垂直，则该四面体是垂心四面体；反之亦然.（2）给出下列四面体①正三棱锥；②三条侧棱两两垂直；③高在各面的射影过所在面的垂心；④对棱的平方和相等.其中是垂心四面体的序号为.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(安徽卷)
12安徽(文)1.(2012安徽,文1)复数z 满足(z -i )i =2+i ,则z =( ). A .-1-i B .1-i C .-1+3i D .1-2i B 由题意可得,z -i =2i i+=2(2i)i i+=1-2i ,所以z =1-i .2.(2012安徽,文2)设集合A ={x |-3≤2x -1≤3},集合B 为函数y =lg (x -1)的定义域,则A ∩B =( ). A .(1,2) B .[1,2] C .[1,2) D .(1,2] D 由-3≤2x -1≤3得,-1≤x ≤2;要使函数y =lg (x -1)有意义,须令x -1>0, ∴x >1.∴集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x >1}, ∴A ∩B ={x |1<x ≤2}.3.(2012安徽,文3)(log 29)·(log 34)=( ). A .14B .12C .2D .4D 原式=(log 232)·(log 322)=4(log 23)·(log 32)=4·lg 3lg 2·lg 2lg 3=4.4.(2012安徽,文4)命题“存在实数x ,使x >1”的否定．．是( ). A .对任意实数x ,都有x >1 B .不存在实数x ,使x ≤1 C .对任意实数x ,都有x ≤1 D .存在实数x ,使x ≤1C 该命题为存在性命题,其否定为“对任意实数x ,都有x ≤1”.5.(2012安徽,文5)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ). A .1 B .2 C .4 D .8 A 由题意可得,a 3·a 11=27a =16,∴a 7=4.∴a 5=72a q=242=1.6.(2012安徽,文6)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ).A .3B .4C .5D .8B 由程序框图依次可得,x =1,y =1→x =2,y =2→x =4,y =3→x =8,y =4→输出y =4.7.(2012安徽,文7)要得到函数y =cos (2x +1)的图象,只要将函数y =cos 2x 的图象( ). A .向左平移1个单位 B .向右平移1个单位 C .向左平移12个单位 D .向右平移12个单位C ∵y =cos (2x +1)=cos 122x ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴只须将y =cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y =cos (2x +1)的图象.8.(2012安徽,文8)若x ,y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z =x -y 的最小值是( ).A .-3B .0C .32D .3A 作出可行域如图所示,令z =0,得l 0:x -y =0,平移l 0,当l 0过点A (0,3)时满足z 最小,此时z min =0-3=-3.9.(2012安徽,文9)若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( ). A .[-3,-1] B .[-1,3] C .[-3,1] D .(-∞,-3]∪[1,+∞C 由题意可得,圆的圆心为(a ,0),22221(-1)≤+即|a +1|≤2,解得-3≤a ≤1.10.(2012安徽,文10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ). A .15B .25C .35D .45B 记1个红球为A ,2个白球为B 1,B 2,3个黑球为C 1,C 2,C 3,则从中任取2个球,基本事件空间Ω={(A ,B 1),(A ,B 2),(A ,C 1),(A ,C 2),(A ,C 3),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 1,C 2),(B 1,C 3),(B 2,C 1),(B 2,C 2),(B 2,C 3),(C 1,C 2),(C 1,C 3),(C 2,C 3)},共计15种,而两球颜色为一白一黑的有如下6种:(B 1,C 1),(B 1,C 2),(B 1,C 3),(B 2,C 1),(B 2,C 2),(B 2,C 3),所以所求概率为615=25.安徽,文11)设向量a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ),若(a +c )⊥b ,则|a |= . 2由题意可得,a +c =(3,3m ).由(a +c )⊥b 得,(a +c )·b =0,即(3,3m )·(m +1,1)=3(m +1)+3m =0, 解之,得m =-12.∴a =(1,-1),|a 212.(2012安徽,文12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 .56 由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,且侧棱垂直于底面的棱柱,∴V 柱=12×(2+5)×4×4=56.13.(2012安徽,文13)若函数f (x )=|2x +a |的单调递增区间是[3,+∞),则a = .-6 f (x )=|2x +a |=a 2x a,x ,2a 2x a,x ,2⎧+≥-⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩∵函数f (x )的增区间是[3,+∞), ∴-a 2=3,即a =-6.14.(2012安徽,文14)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,若|AF |=3,则|BF |= .32设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|AF |=3及抛物线定义可得,x 1+1=3,∴x 1=2.∴A 点坐标为(2,则直线AB 的斜率为k1∴直线AB 的方程为y =x -1). 由2y 4x ,y x 1),⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得,2x 2-5x +2=0,解得x 1=2,x 2=12.∴|BF |=x 2+1=32.15.(2012安徽,文15)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等,即AB =CD ,AC =BD ,AD =BC ,则 (写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长②④⑤ 如图所示,四面体ABCD 中,AB =CD ,AC =BD ,AD =BC ,则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ,故②正确;∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ,∴∠BAD =∠ABC ,∠C AD =∠ACB ,∴∠BAC +∠CAD +∠B AD =∠B AC +∠ACB +∠ABC =180°,故③错; 取AB ,BC ,CD ,DA 的中点M ,N ,P ,Q ,连接MN ,NP ,PQ ,MQ ,由此得,MN =QP =12AC ,NP =MQ =12BD ,∵BD =AC ,∴MN =QP =MQ =NP ,∴四边形MNPQ 为菱形,∴对角线相互垂直平分,故④正确,①错误;而⑤正确,如AB ,AC ,AD 可作为△ABC 的三边.16.(2012安徽,文16)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,且有2sin B cos A =sin A cos C +cos A sin C . (1)求角A 的大小;(2)若b =2,c =1,D 为BC 的中点,求AD 的长.解:(1)(方法一)由题设知,2sin B cos A =sin (A +C )=sin B ,因为sin B ≠0,所以cos A =12.由于0<A <π,故A =3π.(方法二)由题设可知,2b ·222b c a 2bc +-=a ·222a b c 2ab +-+c ·222b c a 2bc+-,于是b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A =222b c a 2bc +-=12.由于0<A <π,故A =3π.(2)(方法一)因为2A D =2A B A C 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭=14(2A B+2A C +2AB ·AC ) =11421243cos π⎛⎫++⨯⨯⨯⎪⎝⎭=74,所以|AD2从而AD2(方法二)因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A =4+1-2×2×1×12=3, 所以a 2+c 2=b 2,B =2π.因为BD2AB =1,所以AD217.(2012安徽,文17)设定义在(0,+∞)上的函数f (x )=ax +1ax+b (a >0).(1)求f (x )的最小值;(2)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =32x ,求a ,b 的值.解:(1)(方法一)由题设和均值不等式可知,f (x )=ax +1ax+b ≥2+b ,其中当且仅当ax =1时,等号成立, 即当x =1a时,f (x )取最小值为2+b .(方法二)f (x )的导数f '(x )=a -21ax=222a x 1ax-,当x >1a时,f '(x )>0,f (x )在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增;当0<x <1a时,f '(x )<0,f (x )在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减.所以当x =1a 时,f (x )取最小值为2+b . (2)f '(x )=a -21ax.由题设知,f '(1)=a -1a =32,解得a =2或a =-12(不合题意,舍去). 将a =2代入f (1)=a +1a+b =32,解得b =-1.所以a =2,b =-1.18.(2012安徽,文18)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时,则视为合格品,否则视为不合格品,在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5 000件进行检测,结果发现有50件不合格品,计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm ),将所得数据分组,得到如下频率分布表:(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上;(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率;(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品,据此估算这批产品中的合格品的件数.(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50+0.20=0.70;(3)设这批产品中的合格品数为x件,依题意有505000=20x20+,解得x=50002050⨯-20=1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件.19.(2012安徽,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点,(1)证明:BD⊥EC1(2)如果AB=2,AE OE⊥EC1,求AA1的长.(1)证明:连接AC,A1C1.由底面是正方形知,BD⊥AC.因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD.又由AA1∩AC=A,所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1⊂平面AA1C1C知,BD⊥EC1.(2)解:设AA1的长为h,1.在Rt△OAE中,AE AO故OE 222=4.在Rt △EA 1C 1中,A 1E =h A 1C 1=故E 21C =(h 2+(2.在Rt △OCC 1中,OC CC 1=h ,O 21C =h 22, 因为OE ⊥EC 1,所以OE 2+E 21C =O 21C ,即4+(h 2+(2=h 22,解得h =所以AA 1的长为20.(2012安徽,文20)如图,F 1,F 2分别是椭圆C :22x a +22y b =1(a >b >0)的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°.(1)求椭圆C 的离心率;(2)已知△AF 1B 的面积为求a ,b 的值. 解:(1)由题意可知,△AF 1F 2为等边三角形,a =2c ,所以e =12.(2)(方法一)a 2=4c 2,b 2=3c 2直线AB 的方程可为:y x -c ). 将其代入椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2,得B 855⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以|AB 8c 05-=165c .由1A FB S =12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB =12a ·165c 252=解得a =10,b =(方法二)设|AB |=t .因为|AF 2|=a ,所以|BF 2|=t -a .由椭圆定义|BF 1|+|BF 2|=2a 可知,|BF 1|=3a -t . 再由余弦定理(3a -t )2=a 2+t 2-2at cos 60°可得,t =85a .由1A FB S =12a ·85a 252=,a =10,b =21.(2012安徽,文21)设函数f (x )=x 2+sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)设{x n }的前n 项和为S n ,求sin S n . 解:(1)f '(x )=12+cos x =0.令f '(x )=0,则cos x =-12,解得x =2k π±23π(k ∈Z ).由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知 x n =2n π-23π(n ∈N *).(2)由(1)可知,S n =2π(1+2+…+n )-23n π=n (n +1)π-2n 3π,所以sin S n =sin 2n n (n 1)3ππ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦.因为n (n +1)表示两个连续正整数的乘积,n (n +1)一定为偶数, 所以sin S n =-sin 2n 3π.当n =3m -2(m ∈N *)时,sin S n =-sin 42m 3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2当n =3m -1(m ∈N *)时, sin S n =-sin 22m 3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2当n =3m (m ∈N *)时,sin S n =-sin 2m π=0.综上所述,sin S n=***n 3m 2(m ),2n 3m 1(m ),20,n 3m (m ).N N N ⎧-=-∈⎪⎪⎪⎪=-∈⎨⎪=∈⎪⎪⎪⎩。
SS二中101班必修一必修二测试题(2013.1.17晚自习)
SS 二中101班必修一必修二测试题（2013.1.17晚自习）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ） A.72π B.48π C.30π D.24π 参考公式：球的体积334R V π=，其中R 为球的半径。
锥体的体积公式为Sh V 31=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
2 设集合=A {}3123|≤-≤-x x ，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=（ ） （A ） （1，2） （B ）[1, 2] （C ） [ 1，2 ） （D ）（1，2 ]3 （2log 9） · （3log 4）=（ ） （A ）14（B ）12（C ） 2 （D ）44 已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示，则(2)y f x =--的图象为（ ）5 已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则 ()()U U C A C B ⋂=（ ）(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 6 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．||y x x =7 将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）O1 2x1-1y AO1 2x1-1y B O1 2x 1-1y C O1 2x 1-1y DO1 2x1-1y8. 已知三点)2,(a A 、)7,3(B 、)9,2(a C --在同一直线上，则实数a 的值是（ ） （A ）92 （B ）12（C ） 2 （D ）2或929 若直线01=+-y x 与曲线2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（ ） （A ） [-3 ，-1 ] （B ）[ -1 ， 3 ] （C ） [ -3 ，1 ] （D ）（- ∞ ，-3 ] U [1 ，+ ∞ ）10 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） （A ）15（B ）25（C ）35（D ）45二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2012年立体几何(文科)学生版
2012年 G 立体几何 G1 空间几何体的结构1．G1[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)2．G1、G2[2012·陕西卷] 将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )3．G1、G12[2012·安徽卷] 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．4．G1[2012·上海卷] 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．5．G1、G11[2012·上海卷] 如图1－1，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2，求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)．G2 空间几何体的三视图和直观图6．G2[2012·天津卷] 一个几何体的三视图如图1－2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.7．G2[2012·辽宁卷] 一个几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为________．8．G2[2012·课标全国卷] 如图1－2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6 B．9 C．12 D．189. G2、G7[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该三棱锥的体积是() A．1 cm3B．2 cm3 C．3 cm3D．6 cm310.G2[2012·湖北卷] 已知某几何体的三视图如图1－4所示，则该几何体的体积为________．11．G2[2012·广东卷] 某几何体的三视图如图1－1所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π12．G2[2012·福建卷] 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱13．G2、G7[2012·安徽卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积等于________．14．G2、G7[2012·北京卷] 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是() A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 515．G2[2012·湖南卷] 某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是( )16．G2[2012·江西卷] 若一个几何体的三视图如图1－2所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4G3 平面的基本性质、空间两条直线G4 空间中的平行关系17．G4、G5[2012·山东卷] 如图1－6，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD. (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC.18．G4、G7[2012·辽宁卷] 如图1－5，直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA′＝1，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．(1)证明：MN ∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)19．G4、G5[2012·江苏卷] 如图1－4，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C)，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE.20．G4、G5[2012·浙江卷] 设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥βG5 空间中的垂直关系21．G5[2012·江西卷] 如图1－7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4，现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．图1－722．G5、G7[2012·陕西卷] 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，∠CAB ＝π2.(1)证明：CB 1⊥BA 1；(2)已知AB ＝2，BC ＝5，求三棱锥C －ABA 的体积．23．G5、G12[2012·广东卷] 如图1－5所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面PAB.24．G5、G11[2012·安徽卷] 如图1－3，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面A 1B 1C 1D 1是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱AA 1上任意一点．(1)证明：BD ⊥EC 1；(2)如果AB ＝2，AE ＝2，OE ⊥EC 1，求AA 1的长．G6 三垂线定理G7 棱柱与棱锥25．G7[2012·山东卷] 如图1－3所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．226．G7[2012·江苏卷] 如图1－2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.G8 多面体与球27．G8[2012·辽宁卷] 已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形，若PA＝26，则△OAB的面积为________．28．G8[2012·课标全国卷] 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6π B．43πC．46π D．63πG12 单元综合29．G12[2012·四川卷] 下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2012模拟题40．[2012·韶关调研] 三棱柱的直观图和三视图(正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形)如图K27－3所示，则这个三棱柱的全面积等于()图A．12＋4 2 B．6＋2 2 C．8＋4 2 D．441．[2012·辽宁两校联考] 已知球的直径SC＝4，A，B是球面上的两点，AB＝2，∠BSC＝∠ASC＝45°，则棱锥S －ABC的体积是()A.33 B.233 C.433 D.53342．[2012·辽宁部分重点中学联考] 棱长为1的正方体和它的外接球被一个平面所截，截面是一个圆及其内接正三角形，那么球心到截面的距离等于________．。
安徽省蚌埠三中2014-2015学年第一学期高二第一次月考高二数学理调研试卷(pdf版含答案)_精校完美版
1蚌埠三中2104-----2015年度第一学期高二年级第一次月考理科数学试卷(考试时间:120分钟分值:150分)一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的代号填涂在答题卡上相应位置）1．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为()A ．1B .3C .233D ．－32．下列叙述中错误的是()A .A ∈l ,A ∈α,B ∈l ,B ∈α⇒l αB .梯形一定是平面图形C .空间中三点能确定一个平面D .A ∈α,A ∈β,B ∈α,B ∈β⇒α∩β=A B 3．下列说法正确的是()A ．a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下左图所示，则该几何体的左视图为()5．球面上有A ，B ，C 三点，且A B ＝A C ＝2，B C ＝22，球心到平面A B C 的距离为1，则该球的表面积为()A ．4πB ．6πC ．12πD ．43π6．若∠A O B ＝∠A 1O 1B 1且O A ∥O 1A 1，O A 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是()A ．O B ∥O 1B 1且方向相同B ．O B ∥O 1B 1C ．O B 与O 1B 1不平行D ．O B 与O 1B 1不一定平行7．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为()A .54B .45C ．－54D ．－458．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图7(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为()A ．(1＋22)a 2B ．(2＋2)a 2C ．(3－22)a 2D ．(4＋2)a 29．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π410．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C (5，k2)在同一直线上，则k ＝________.12.如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为a c m (a >0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形O A B C 的周长是________.13．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．14．若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高是________．15．若四面体A B C D 的三组对棱分别相等，即A B ＝C D ，A C ＝B D ，A D ＝B C ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体A B C D 每组对棱相互垂直；②四面体A B C D 每个面的面积相等；③从四面体A B C D 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体A B C D 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体A B C D 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤）16.（本题满分12分）如图正方体1111A B C D A B C D 中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为A C 与B D 、A 1C 1与E F 的交点.（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面D B F E 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.17．（本题满分12分）已知空间四边形A B C D ，E 、H 分别是A B 、A D 的中点，F 、G 分别是边B C 、D C 的三等分点（如右图），求证：（1）对角线A C 、B D 是异面直线；（2）直线E F 和H G 必交于一点，且交点在A C 上.18．（本题满分12分）两个全等的正方形A B C D 和A B E F 所在平面相交于A B ，M ∈A C ，N ∈F B ，且A M =F N ，过M 作M H ⊥A B 于H .求证：（1）平面M N H //平面B C E ；（2）M N ∥平面B C E .19．（本题满分12分）如右图，直线A B 和C D 是异面直线，//A B ，//C D ，A C M ，B D N ，求证：A M B N M C N D .20．(本小题满分13分)如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：c m )．(注:正视图即主视图,侧视图即左视图)(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接B C ′，求证：B C ′∥面E F G .21.(本小题满分14分)如图，△A B C 内接于圆O ,A B 是圆O 的直径，A B =2，B C =1，E A B ,且3t a n 2,四边形D C B E 为平行四边形，D C ⊥平面A B C ．（1）求三棱锥C -A B E 的体积；（2）证明：平面A C D ⊥平面A D E ；（3）在C D 上是否存在一点M ，使得M O ∥平面A D E ？证明你的结论．P Q F E D 1C 1B 1A 1DC BA AB CDM。
高中数学立体几何小题题库题(适用培优)
立体几何小题题库一、单选题1．已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是A．B．C．D．2．如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．3．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．4．如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A．B．C．D．5．在长方体中，底面是边长为3的正方形，侧棱为矩形内部（含边界）一点，为中点，为空间任一点，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（）A．为奇函数B．在上单调递增；C．D．6．有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料，其各棱长都为2.已知，分别为上，下底面的中心，M为的中点，过A，B，M三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（）A．B．C．D．27．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（）A．63+43+6B．66+23+6C．62+33+26D．64+33+268．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（）A．2B．5C．3D．49．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角为；④抛物线中焦点到准线的距离为.A．1个B．2个C．3个D．4个11．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。
高考文科数学精准培优专题十五平行垂直关系的证明 含答案
培优点十五平行垂直关系的证明．平行关系的证明1BCGAACDABCD?ABCDCCEHF，分别是正方体，，的棱例1：如图，，，，11111111的中点．求证：∥EGDBBD 1）平面；（11HBD∥BDF）平面平面．（211）见解析．【答案】（1）见解析；（2OBGOODB，证明（【解析】1）如图，取，连接，的中点111EGOB∥BEGOBEOGBECOGB，所以因为，，所以四边形为平行四边形，故∥∥∥112?EGOB?DBBDBBDBBDDD平面平面因为，，所以平面．∥EG111111FDDBD∥BHB，）由题意可知．连接，（2111DFBHBF∥HBFDHD因为，所以四边形是平行四边形，故∥111BDIHD=DBDH ∥BDF．平面又，所以平面，BBFBDI=1111112．垂直关系的证明ABCACAB=BC?AAC?ABCABM，的中点．，为棱在三棱柱：例2如图，侧棱中，底面1111=2ACAA=2，．1．ABM∥BC；（1）求证：平面11AC?ABM；平面（2）求证：11BNNCCAABB?ACN的（3）在棱平面上是否存在点？如果存在，求此时，使得平面1111BB1值；如果不存在，请说明理由．1．3）存在，）见解析；【答案】（1（2）见解析；（2OOMABBA．与，连接【解析】（1）证明：连接，两线交于点11OACABOMAC∥BC△BM，，分别为中，∵在的中点，∴，111OM?ABMBC?ABMABM∥CB．又∵，∴平面平面平面，11111ABCABCAA?AA?BM?BM，，，∴底面（2）证明：∵侧棱平面11ACAB=BCBM?ACM．，∴为棱又∵的中点，AC?ACCAACCAAAABM?ACAAAC=?BM平面，∴平面，，∴∵，1111111=2ACAA=2Rt△ACCRt△AAM1=AM中，，∴在∵和，∴．又∵111tan?ACC?tanAMA?2，11?ACC＝?AMA，∴11?ACC??CAC??AMA??CAC?90?AM?AC，∴即111111BMAM?MAM?ABMAC?ABMBM．，∴，平面，平面∵11111BN1NBBCAAC?ACN的中点，即为3（时，平面）解：当点平面?11112BB1．证明如下：DNACCC∥DMACACDMMDD设分别为的中点为，，连接，，，，∵的中点，∴1111BN?∥BNDMNDMBBCC?DM的中点，∴．又∵，为且，且112DN∥BNDMBM为平行四边形，∴∴四边形，?DNDN?NACAACACCAC?BM平面平面平面，∴∵．又∵，11111CAAC?NAC ∴平面．平面111对点增分集训一、单选题nm，给出下列内的射影分别是和，如果1．平面外有两条直线和和在平面??nmmn11四个命题：m?nm??nn?m?n?mnm?nmm平③与④；②相交与相交或重合；①与；n11111111m?）行平行或重合；其中不正确的命题个数是（与n B．2C．31 A．D．4D【答案】D?ABCDACB中：结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体【解析】1111ABCDACACn，BDmBD，，对于说法①：若取平面为分别为，，，分别为?nm，1111m?nADDnAm?m，为满足，但是不满足，，该说法错误；对于说法②：若取平面?11111m?nm?AC，BDnnAD，AD，，满足分别为，但是不满足，分别为n，m111111111ABCDAC，BDnm，，分别为该说法错误；对于说法③：若取平面为分别为，?n，m11AC，BD，11nADDAm，相交，但是与异面，该说法错误；对于说法④：若取平面满足与为?nm1111nAD，ADAC，BCnmm平行，分别为，、、与分别为，满足nm11111111但是与异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D选项．nm?为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）为两条不同的直线，2．已知、、?nm??ll?nl?m，且，则A．若，??nm，???的距离相等，则内有不共线的三点到平面B．若平面∥???∥n?m?nm C．若，，则????mm∥nn，．若，则D【答案】Dl?ml?n，且，则对于选项A，若l不一定垂直平面，∵，有可【解析】??mn?m，能和平行，n∴该选项错误；??可能相交或平行，内有不共线的三点到平面、的距离相等，则对于选项B，若平面??∴该选项错误；?，m?nm?，则有可能在平面内，∴该选项错误；对于选项C，若?n对于选项D，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，∴该选项正确，??故答案为D．3．给出下列四种说法：a∥b????；，直线①若平面，则?，∥ba??∥baa∥???；，直线，则②若直线，直线∥∥b???；，直线，则③若平面∥a∥??a?∥a???．其中正确说法的个数为（④若直线，则），∥∥a A．4个 B．3个 C．2个 D．1个D【答案】b，a????可异面；【解析】若平面，则，直线?，a∥?b?ba，ba∥a∥???，直线可相交，此时，直线，则平行两平面的交线；若直线，∥b?b，a∥a???，则若直线，平行两平面的交线；可相交，此时，a∥????与a，直线；故选若平面D无交点，即，则．∥a∥??a?、4．已知为两条不同的直线，、）为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（?nm????，）（1，，∥?n∥m∥????nm????mn?mn∥），（2???∥n?m?nm???，（3）），，（4n?m∥?n∥??m3 ．个 D B．1个个A．0 C．2B【答案】baba，∥????与，若相交，则可得，，【解析】由，，若，则∥n∥m∥????m?n?可能平行也可能相交，故（1）错误；???mnm∥n?，故（根据线面垂直的第二判定定理可得，2若）正确；m∥n???或异面，故（若3，，）错误；，则?n∥?nm，m???∥nm?m?n或，故（4若，则）错误；故选，B．??n M，N，PCD，B?ACDBC，ADABCD的中点，则下列中，分别是．如图，在正方体511111111命题正确的是（）MN∥APMN∥BD A．B．1MN∥平面BBDD C ．D．BDP∥平面MN11C【答案】．MNAP是异面直线，故选项不正确；和A【解析】：MNBD是异面直线，故选项不正确；和B：1M，NCDBCD，BCABCD?A是的中点，：记C．∵正方体分别中，OACIBD?1111111ON∥DM∥CDMNODMN∥ODCD?DM?ON，为平行四边形，∴∴，∴，11112MN?MN∥BDDBDDBDD?OD．平面，∵，∴平面平面1111MN∥平面BBDDBBDDBDP相交，故选项不正确；故选C．，而面和面D：由C知1111??是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）是两条不同的直线，6．已知，n，m????与平行A．若垂直于同一平面，则，B．若平行于同一平面，则平行nm与n，m???平行的直线不平行，则在C．若内不存在与，?D．若不平行，则不可能垂直于同一平面nm与nm，【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C不正确；D为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D正确．故选D．??是三个两两不重合的平面，给出下列四个，7．已知是两条不重合的直线，，?nm，命题： ????；，则①若?，mm?∥??????；，则②若??，∥????；③若，则∥nmm?，n?∥，??????．其中真命题是（是异面直线，④若），则∥，?m∥，m?，nn∥nm，A．①和②．①和④D ．③和④C ．①和③BD【答案】【解析】逐一考查所给的命题：????，则，命题正确；①由线面垂直的性质定理可得若??m，m∥．???DABC?ABCD分别为平面中，取平面②如图所示的正方体，，1111ABBA，ADDA，ABCD，1111??????，命题错误；满足，但是不满足?，?∥??ABBA，ADD?ABCDAABCD，中，取平面分别为平面③如图所示的正方体，11111111????DDBB，，命题错误；，满足，但是不满足直线分别为∥nm?m，n?∥，n，m11??????，，由面面平行的性质定理易知④若是异面直线，∥m∥，n?nm?，，∥n，m命题正确；综上可得，真命题是①和④，本题选择D选项．E，FCAEF?2；则下列结论错误，线段，且上有两个动点8．如图，正方体的棱长为111的是（）．BD?CE．B． A ABCDEF∥平面△CEFE?FBCBEF△的体积为定值．三棱锥的面积与的面积相等 CD．【答案】DABCD?ABCDAACC?BD，平面在正方体【解析】中，111111CE?BD?CEACCA而平面正确．A，故，故11．ABCDABCD∥AC∥EF，故B又正确．平面平面，因此11CEFCEFACCCBBEF的距当的距离就是变化时，三角形到平面的面积不变，点到平面11E?FBCB?CEF的体积）的体积为定值（此时可看成三棱锥离，它是一个定值，故三棱锥，故C正确．6CEFBEF的距离为1，D是错误的，故选，而D到在正方体中，点．到的距离为2OVAOCA，BAB是圆周上不同于垂直于圆是圆所在的平面，点9．如图所示，的直径，M，NVA，VC的中点，则下列结论正确的是（）的任意一点，分别为MN∥ABMNBC45?与．．A所成的角为BVAC?VACVBC?OC DC．．平面平面平面D【答案】MNAB项错；A对于项，异面，故与A【解析】?90BC?V AC?MNBC平面，故项，可证，因此项错；，∴所成的角为B对于B VACACOCOC与不垂直，∴项错；不可能垂直平面，故CC对于项，BCABC?VA?BCVABC?AC?ABC平面项，由于，∴，，平面，D对于VBCBC??VAC?VACBCVBC，∴．平面∵，，故选平面D，∴平面平面A=VAACICCBA?AACBAABC?AB是正三角，底面三角形中，侧棱．如图，在三棱柱10底面1111111111BCE中点，则下列叙述正确的是（形，是）AC?ABBAECCB A．平面与B．是异面直线1111ACC∥ABEBCAE?BAE．C．，平面D为异面直线且1111111C【答案】CCBE在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A与错；【解析】对于A项，11AC?ABBA 不可能，∴B平面对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故错；11BCAE为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴项，∵，对于C11C正确；ACABEAC与交线有公共点，相交，且项，∵D所在的平面与平面对于11111AC∥ABE不正确，∴D项不正确；故选平面C故．111E，FDCAB?2，EF?1DABCD?ABC，给出下列11．设分别是正方体上两点，且的棱1111四个命题：45?DBDB?D?BEFEF平面与的体积为定值；②异面直线①三棱锥；③所成的角为11111160?EFDBBBEF．其中正确的命题为（与平面）所成的角为；④直线1111A．①② B．②③ C．①②④ D．①④A【答案】由题意得，如图所示，【解析】1112V?V??S?BC???EF?2?2?，∴体①中，三棱锥的体积的为1B?DBD△EF1EFD?EF332311111积为定值；EF∥CDDBDBCDEF所成所成的角就是直线与，∴异面直线②中，在正方体中，与11111111的角，即，∴这正确的；??45?BDC111DBDB?BEFEF不成立，∴是错误的；③中，由②可知，直线不垂直，∴与面11111DBBEF?BDC?45?，④中，根据斜线与平面所成的角，可知与平面所成的角，即为111111∴不正确．ABCDAD∥BCAD?AB?1，AD?AB，?BCD?45?△ABD沿中，将如下图，梯形，，12．??BCD?ABDBDAA．，并且平面给出下面四个命对角线折起．设折起后点平面的位置为题：2????BCD?BCACDA?DBDA；的体积为；③平面；②三棱锥①2??DCABCA?．其中正确命题的序号是（平面④平面）A．①②．②④D ．①③C ．③④BB【答案】??ABD?45ADB90?BAD??，AD?AB??①∵【解析】，∴，DCBD??AD∥BC，?BCD45?∵，∴，???BCDBD?CDBCD??ABDBDA，∴平面，且平面∵平面平面平面，IBDA????BC?CD?ADAD?DABDA，∴，故平面不成立，故①错误；∵2112?BCDA?②棱锥，故②错误；的体积为???2??26223．??CDBDA，故③正确；③由①知平面????B??ACDCD?BABDBDAA，，又∵平面，∴④由①知平面????DC?ACD?D?BAADA，，，且又、平面D?DCDA????BCAADC?AABB?，平面∴，又平面??DCAABC?，故④正确．故选B．∴平面平面二、填空题??是两个不同的平面，则下列命题正确的是13．设是两条不同的直线，，nm，________．(填序号)???∥m∥∥n∥nmm???；，则，则，，①若；②若∥m∥???∥mm??nm∥n???．，；④若③若，则，则，??m【答案】③??m∥nn∥m∥，，与可能相交也可能异面，∴①不正确；【解析】，则nm?∥m????可能相交，∴②不正确；，，还有，则与∥∥m?????nm∥nm，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确；，则，??∥m????，∴④不正确；，也可能，，也可能，则Am?∥??mm故答案为③．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论CM60?MNMN∥CDEFABEFAB?．与；③①是异面直线；④；②与所成的角为以上四个命题中，正确命题的序号是_________．【答案】①③把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：【解析】．MNAB∥CM，MN?CDEFEFAB?，只有①③正确．故答案为①③．则与异面，，ABCDAB?CD，AC?BD，AD?BC，给出下列结15．若四面体的三组对棱分别相等，即论：ABCD每组对棱相互垂直；①四面体ABCD每个面的面积相等；②四面体ABCD90?180?；而小于③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分．④连接四面体其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）【答案】②④ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相【解析】①将四面体等，∴平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误；ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；②四面体ABCDABCD每个顶点出发的三条棱的每个面是全等的三角形，从四面体③由②，四面体180?．③错误；两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．④连接四面体10?ABE，FAD，BCABCD2AD?10的中点，，，，分别为16．如图，一张矩形白纸△CDFBE，DFA、CBFDE△ABE同侧，下列命题正确的折起，且现分别将沿在平面，是____________（写出所有正确命题的序号）．CDFAC∥BFDE∥ABE平面时，①当平面平面CDFAE∥CD∥ABE时，②当平面平面A、CPG?PDP③当时，重合于点A、C150?DEF?PP重合于点④当的外接球的表面积为时，三棱锥【答案】①④22ACD△ABE△中，，在在中，，【解析】?CADtan???ABEtan22?ABE??DAC，由题意，将∴沿折起，DFBE，△ABE，△CDFBEDF同侧，且在平面C，AAGHC?AG，四点在同一平面内，平面此时平面IHABEA，C，G，ABE∥CDFAG∥AGHC?CHCHCDFI，平面平面，当平面平面时，得到AG?CHAGHCAC∥GH，显然是平行四边形，∴，∴四边形AC∥BFDE，∴①正确的；进而得到平面CDCDAEAE不平行，∴②错误的；与为异面直线，∴由于折叠后，直线与直线10322210GD?PD?10，折叠后，可得，，其中，?PGGDPG?PD?3PGPD不垂直，∴③不正确；和∴△FCDEFD△PP?DEF均为直角三角形，时，在三棱锥重合于点当和中，C,A DF56DF，∴为外接球的直径，即?R?222??652DEFP???1504??4?R?的外接球的表面积为，∴④是正确，则三棱锥????2??综上正确命题的序号为①④．三、解答题P?ABCDAB?AD?2BC?2BC∥ADAB?AD△PBD为正．如图，四棱锥17，，，中，三角形．PA?23．且PBC?PAB；平面（1）证明：平面ABCDACEPDPE∥PB，求四面体2，平面（2）若点是线段到底面上一点，且的距离为A?CDE的体积．8【答案】（1）见解析；（2）．9BD?222AD?ABAB?AD?，，且，∴【解析】（1）证明：∵PA?2223PB?PD?BD?2△PBD?ABAB?PB，，∴为正三角形，∴又，又∵，BC∥ADAB?BCAD?AB，，又∵，，∴BBC?PB PBC?ABPAB平面平面∴，又∵，?ABPBC?PAB 平面∴平面．AD∥OACBCBD（2）如图，连接，，交于点，∵AD?2BCOD?2OBOE，，∴且，连接ACEPB∥OEDE?2PE∥PB，，则，∴平面∵．ABCDP的距离为2到平面，由（1）点24ABCDh??2?E，的距离为∴点到平面3311148??V?V?S?h???2?2??，∴??ACD△E?A?CDEACD 33239??8A?CDE的体积为．即四面体9EF?1ABCD2?AB?4AEEFEA?∥AB．，平面 18．如图，四边形，为正方形，，，ABCDBC?AF；（1）求证：1ACFBCCACM?∥EMM；（2）若点在线段，求证：上，且满足平面4EBC?AF．3）求证：平面（【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．EF∥ABEFABEABF，（1）∵确定平面与，∴【解析】ABCDEA?BCAB?BC?EA且，∴．由已知得平面∵，AIAB=EABC?BC?AFEABFEABF?AF．，∴平面∴．又平面MN?BCNFNMN∥ABM．，连接（2）过，垂足为作，则11MN?ABEF??ACABCMABEF∥，且．又，∴又44 FNEFNM?MNEM∥EFEF∥MN．∴，∴四边形为平行四边形，∴且FBC?FBCEMFN?FBC∥EM 平面．平面又，∴平面，BCAF?）由（1．）可知，（3???BAE?AEF?902?AEABABFE?41EF?，，中，，，在四边形1???EBAtan?FAEtan?EBA??FAE．∴，则2?PAE??PAB?90?，设，∵P?AFIBE?PBA??PAB?90??APB?90?EB?AF．，即，则故．EBC?AF．，∴平面又∵BBCIEB?。
2012安徽高考数学文科
2012安徽文一、选择题1 ．复数z 满足i i i z +=-2)(,则 z =（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i 31+-D ．i 21-2 ．设集合A={3123|≤-≤-x x },集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域,则A ⋂B=（ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[ 1,2)D ．(1,2 ]3 ．(2log 9)·(3log 4)=（ ）A ．14 B ．124 ．命题“存在实数x ,使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x , 都有x > 1B ．不存在实数x ,使x ≤ 1C ．对任意实数x , 都有x ≤ 1D ．存在实数x ,使x ≤ 15 ．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 6 ．如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．87 ．要得到函数)12cos(+=x y 的图象,只要将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位 8 ．若x ,y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则y x z -=的最小值是（ ）A ．-3B ．0C ．32D ．39 ．若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点,则实数a 取值范围是 （ ）A ．[-3 ,-1 ]B ．[ -1 , 3 ]C ．[ -3 ,1 ]D ．(- ∞ ,-3 ] U [1 ,+ ∞ )10．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 （ ）A ．15 B ．25 C ．35D ．45二、填空题11．设向量(1,2),(1,1),(2,).m m m ==+=+若（）a b c a c ⊥b ,则|a |=____________. 12．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于______.2454俯视图侧（左）视图正（主）视图13．若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞,则a =________. 14．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,若||3AF =,则||BF =______.15．若四面体A B C D 的三组对棱分别相等,即AB CD =,AC BD =,AD BC =,则________(写出所有正确结论编号). ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。
安徽省2012年高考文科数学试卷及答案
（B）2 （D）8
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
湖北省武昌区2022届高三元月调考数学(理)试题Word版含答案
湖北省武昌区2022届高三元月调考数学（理）试题Word版含答案温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
武昌区2022-2022学年高三年级元月调研考试金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。
临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设A,B是两个非空集合，定义集合AB某|某A且某B．若A某N|0某5,B某|某27某100,则（）A．{0,1}B．{1,2}C．{0,1,2}D．{0,1,2,5}2．已知复数z（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实2i数a的取值范围是()A.2,B.ai3．执行如图所示的程序框图，若输入的某=2022，则输出的i()A．2B．3C．4D．54．已知函数f(某)=2a某–a+3，若某01,1，f(某0)=0，则实数a的取值范围是()A.,31211,2C.,2D.,221,B.,3C.3,1D.1,5．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=()2145B.C.D.93996．中国古代数学名著《九章算术》中记载A.了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的某（）A.1.2B.1.6C.1.8D.2.4337.若某某的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是n（）A.-270B.270C.-90D.908．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁9．已知函数f(某)的部分图象如图所示，则f(某)的解析式可以是（）2某2co某A.f某B.f某2某某2co2某co某C.f某D.f某某某10.设某，y满足约束条件某ya且z某ay的最小值为7，则a()某y1A.-5B.3C.-5或3D.5或-3某2y211.已知双曲线221a0,b0的两条渐近线分别为l1,l2，经过右焦点F垂直ab于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF与FB反向，则该双曲线的离心率为()A.55B.3C.5D.2212.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2binC，则tanA+tanB+tanC的最小值是()A.4B.33C.8D.63第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.13．已知抛物线Γ：y28某的焦点为F，准线与某轴的交点为K，点P在Γ上且PK2PF,则PKF的面积为.14.函数f某in2某5in某的最大值为.215.已知平面向量a,b的夹角为120°，且a1,b2．若平面向量m满足mamb1，则m.给出下列结论：16.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=9，a2为整数，且SnS5.（1）求{an}的通项公式；14（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.9anan118.（本题满分12分）如图，四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的正弦值．18.（本题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准某（吨），用水量不超过某的部分按平价收费，超出某的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若该市政府希望使85﹪的居民每月的用水量不超过标准某（吨），估计某的值，并说明理由；（Ⅲ）已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨．当某=3时，估计该市居民的月平均水费．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）20.（本题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，A2,0,B0,1是它的两个顶点，直线yk 某k0与AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点.（1）若ED6DF，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数f某12某1a某aln某.2（1）讨论f某的单调性；（2）设a0，证明：当0某a时，f某afa某；（3）设某1,某2是f 某的两个零点，证明：f某1某20.2请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
方法技巧专题31 客观题方法指导(解析版)
方法技巧专题31 客观题方法指导 解析版一、 客观题方法知识框二、选择题的解法技巧【一】直接法1.例题【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，则cos A 的值为( )A.63 B.263 C.66 D.68【答案】 A【解析】在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ，△3sin A ＝26sin B ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ，△cos A ＝63.【例2】某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为( )A ．96B ．432C ．480D ．528 【答案】 D【解析】当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)．2.巩固提升综合练习【练习1】数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 10等于( )A.16 B ．－16C ．6D ．－6 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．【答案】 D【解析】 由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1△a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，a 6＝－3，…，由此可知数列{a n }的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，则a 9＝a 1＝2，a 10＝a 2＝－3，所以数列{a n }的前10项之积为1×1×2×(－3)＝－6.【练习2】执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B. 32 C ．－12 D.12【答案】 D【解析】 每次循环的结果依次为：k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，△S ＝sin 5π6＝12.故选D.【二】特例法1.例题【例1】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2] 【答案】 D【解析】 若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤0，x ＋1x －1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.D 正确．从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．【例2】已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 【答案】 C【解析】 因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求．2.【练习1】已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( )A.32 B. 2 C ．1 D.12【答案】 A【解析】 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， △13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，△13·2AD →＝43mAD →，△m ＝32，故选A.【练习2】如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1 【答案】 B【解析】 将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)， 则有11111——.3ABC A B C C AA B A ABC V V V ＝＝故选B.1.例题【例1】(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.【例2】已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A，若[－12，12]⊆A，则实数a 的取值范围是()A．(1－52，0) B．(1－32，0) C．(1－52，0)∪(0，1＋32) D．(－∞，1－52)【答案】A【解析】当x＝0时，有f(a)<f(0)＝0，由[－12，12]△A，当x＝－12，a＝－12时，有f(a)＝－12×(1－12×|－12|)＝－38<0，排除B、D，当x＝12，a＝12时，有f(a)＝12×(1＋12×|12|)＝58>0，排除C，所以选择A.2.巩固提升综合练习【练习1】(1)设函数()212log,0,log(),0,x xf x x x>⎧⎪⎨-<⎪⎩＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】C【解析】 取a ＝2验证满足题意，排除A 、D ，取a ＝－2验证不满足题意，排除B.△正确选项为C.【练习2】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(π12，0)对称D ．关于点(5π12，0)对称【答案】 B【解析】 △f (x )的最小正周期为π，△2πω＝π，ω＝2，△f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin[2(x －π3)＋φ]＝sin(2x －2π3＋φ)的图象，又g (x )的图象关于原点对称，△－2π3＋φ＝k π，k △Z ，φ＝2π3＋k π，k △Z .又|φ|<π2，△|2π3＋k π|<π2，△k ＝－1，φ＝－π3，△f (x )＝sin(2x－π3)，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，△A ，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，△B 正确，D 错误．1.例题【例1】 若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 【答案】 C【解析】 根据题意，将函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象绕原点旋转180°后，得到的图象所对应的解析式为y ＝x 2－4x (x ≥0)，再作出函数y ＝log 2x (x >0)的图象，如图所示．由题意，知函数y ＝x 2－4x (x >0)的图象与函数f (x )＝log 2x (x >0)的图象的交点个数即为“友好点对”的对数．由图可知它们的图象交点有2个，所以此函数的“友好点对”有2对．2.巩固提升综合练习【练习1】已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 【答案】 B【解析】 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.【练习2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【答案】 D【解析】 函数y ＝|f (x )|的图象如图所示．△当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．△当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立．△当a <0时，只需x <0，x 2－2x ≥ax 成立，即a ≥x －2成立，△a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.1.例题【例1】已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( ) A ．e 2 018f (－2 018)<f (0)，f (2 018)>e 2 018f (0) B ．e 2 018f (－2 018)<f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0) C ．e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)>e 2 018f (0) D ．e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0) 【答案】 D【解析】 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，因为∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x >0，所以g ′(x )<0，故函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减，所以g (－2 018)>g (0)，g (2 018)<g (0)，即f (－2 018)e －2 018>f (0)，f (2 018)e 2 018<f (0)，也就是e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0)．2.巩固提升综合练习【练习1】(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0) D ．(0,1)∪(1，＋∞)【答案】 A【解析】 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f (x )x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f (x )x ＜0⇔f (x )＞0.综上，得使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A .【练习2】若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列五个命题： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确命题的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x、y、z.对于△，需要满足x＝y＝z，才能成立；因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故△成立，△显然不成立；对于△，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断△成立；从每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，△显然成立．故正确命题有△△△.1.例题【例1】图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是()【答案】B【解析】由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.【例2】已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积是()A.36 B.26C.23D.22【答案】 A【解析】容易得到△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V <13×34×2＝36，立即排除B 、C 、D ，答案选A.2.【练习1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】 B【解析】 因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，所以0<x 2<1， 所以2<x 1＋x 2<4.故B 正确．【练习2】在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2【答案】 D【解析】在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABO S 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE ， 而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2.故选D.1.例题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1， x <1，x －2， x ≥1，若f (a )＝3，则a ＝________.【答案】 －3【解析】 △a ≥1时，f (a )≤1，不适合． △f (a )＝log 2(1－a )＋1＝3，△a ＝－3.【例2】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.【答案】 1【解析】 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，△sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，△sin C ＝378，△sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.2.【练习1】已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 【答案】 44【解析】 由题意，得|PQ |＝16，线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义，可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加，得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ， 则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为44.【练习2】已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 【答案】 2n －1【解析】 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，△联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1， 又数列{a n }为递增数列，△a 1＝1，a 4＝8， 从而a 1q 3＝8，△q ＝2. △数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.【二】特例法1.例题【例1】cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．【答案】32【解析】令α＝0°，则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝32.【例2】如图，在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．【答案】S3<S2<S1【解析】要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝35，S2＝210，S3＝13，故S3<S2<S1.2.巩固提升综合练习【练习1】在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.【答案】4【解析】用特例法．令锐角三角形ABC为等腰三角形，此时cos C＝13.不妨设a＝b＝3(如图)，作AD△BC垂足为D，所以CD＝1，AD＝22，所以tan C＝22，tan A＝tan B＝2，所以tan Ctan A＋tan Ctan B＝4.【练习2】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.【答案】－8【解析】根据函数特点取f(x)＝sin π4x，再由图象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.【三】数形结合法1.例题【例1】已知点P(x，y)的坐标x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋1≥0，|x|－y－1≤0，则x2＋y2－6x＋9的取值范围是___________．【答案】[2,16]【解析】画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，△d2min＝(|3－0－1|12＋－12)2＝(2)2＝2.最大值为点Q到点A的距离的平方，△d2max＝16.△取值范围是[2,16]．【例2】已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f(x)，x≥2，f(4－x)，x<2，若关于x的方程g(x)＝k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．【答案】k>1【解析】画出函数y＝g(x)的图象(如图)．由图知，当函数y＝g(x)和y＝k的图象有两个交点时，k>1.对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．2.【练习1】 若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 【答案】 (0,2)【解析】 将函数f (x )＝|2x －2|－b 的零点个数问题转化为函数y ＝|2x －2|的图象与直线y ＝b 的交点个数问题，数形结合求解．由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．【练习2】若函数y ＝f (x )图象上不同两点M 、N 关于原点对称，则称点对[M ，N ]是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”(点对[M ，N ]与[N ，M ]看作同一对“和谐点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，x 2－4x ，x >0，则此函数的“和谐点对”有________对． 【答案】 2【解析】作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，x 2－4x ，x >0的图象，f (x )的“和谐点对”数可转化为y ＝e x (x <0)和y ＝－x 2－4x (x <0)的图象的交点个数(如图)．由图象知，函数f (x )有两对“和谐点对”．1.例题【例1】如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【答案】6π【解析】 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.【例2】若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式f (x )>3e x ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为________． 【答案】 (0，＋∞)【解析】由f (x )>3e x ＋1得，e xf (x )>3＋e x ，构造函数F (x )＝e x f (x )－e x －3，对F (x )求导得F ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，可知F ′(x )>0，即F (x )在R 上单调递增，又因为F (0)＝e 0f (0)－e 0－3＝f (0)－4＝0，所以F (x )>0的解集为(0，＋∞)．2.巩固提升综合练习【练习1】 e 416，e 525，e 636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________．【答案】e 416<e 525<e 636【解析】 由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636.而f ′(x )＝(e xx 2)′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636.【练习2】已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m 、n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β. 能推得m ∥n 的条件是________． 【答案】 ①③【解析】构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件△：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因为m△γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n△γ且n△β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．对于△：α、β取△中平面，取平面γ为平面BCC′B′，可取直线n为直线B C，故可推得m△n；对于△：α，β取△中平面，取γ为平面AB′C′D，取直线n为直线B′C′，故可推得结论．1.例题【例1】已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 016)＋f(－2 017)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．【答案】△△△【解析】根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：根据图象可知△f(2 016)＋f(－2 017)＝0正确，△函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以△不正确，△根据图象确实只有一个交点，所以正确，△根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．2.巩固提升综合练习【练习1】给出以下命题：①双曲线y22－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则P (－1<ξ<0)＝0.6； ⑤已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为nn －4＋8－n (8－n )－4＝2(n ≠4)．则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)． 【答案】 △△△【解析】 △由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确．△命题不能保证sin x ，1sin x 为正，故错误；△根据线性回归方程的含义正确；△P (ξ>1)＝0.2，可得P (ξ<－1)＝0.2，所以P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误；△根据验证可知得到一般性的等式是正确的． 四、课后自我检测1．已知函数f (x )对任意的实数x ，满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2)【答案】 D【解析】 由f (x )＝f (π－x )，可知函数f (x )的对称轴为x ＝π2.当x △(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，故f ′(x )＝1＋cos x >0，所以函数f (x )在(－π2，π2)上单调递增，在(π2，3π2)上单调递减．因为|3－π2|>|1－π2|>|2－π2|，所以f (3)<f (1)<f (2)．故选D.2．设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |1≤x <2} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |x ≤1}【答案】 B 【解析】 A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |x <1}．由题图知阴影部分是由A 中元素且排除B 中元素组成，得1≤x <2.故选B.3．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A ．[－22，0] B ．[－1,0] C ．[－2，－1] D ．[－33，0] 【答案】 B【解析】 令sin x ＝0，cos x ＝1，则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.4．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K ，取函数f (x )＝2－|x |.当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞) 【答案】 C【解析】 当K ＝12时，f K (x )＝f 12(x )＝⎩⎨⎧2－|x |，2－|x |≤12，12，2－|x |>12，即f 12(x )＝⎩⎨⎧12|x |，|x |≥1，12，|x |<1，f 12(x )的图象如图． 由图象可知，所求单调递增区间为(－∞，－1)．5．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1,1＋22] D ．[1－22，3]【答案】 D【解析】 y ＝3－4x －x 2变形为(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，只需直线y ＝x ＋b 在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y ＝x ＋b 与下半圆相切时，圆心到直线y ＝x ＋b 的距离为2，即|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，所以b 的取值范围为1－22≤b ≤3.故选D. 6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为( )A.53 B.23 C.22 D.59【答案】 A【解析】 如图所示，设线段PF 1与圆切于点M ，则|OM |＝b ，|OF 1|＝c ，故|MF 1|＝c 2－b 2，所以|PF 1|＝2|MF 1|＝2c 2－b 2. 又O 为F 1F 2的中点，M 为PF 1的中点，所以|PF 2|＝2|OM |＝2b .由椭圆的定义，得2c 2－b 2＋2b ＝2a ，即c 2－b 2＝a －b .即2c 2－a 2＝a －a 2－c 2， 也就是2e 2－1＝1－1－e 2，两边平方，整理得3e 2－3＝－21－e 2.再次平方，整理得9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)， 故e ＝53.故选A.7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －39－mB.m －3|9－m |C.13 D ．5【答案】 D【解析】 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值，再根据半角公式求tan θ2，但运算较复杂，试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一个确定的值，进而推知tan θ2也为一个确定的值，又π2<θ<π，因而π4<θ2<π2，故tan θ2>1.8．(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【答案】 B【解析】 因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13；故S 1＝3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1， S 2＝3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21. 显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a 12＝1312a 1，c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1，S 3＝3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 所以，可知{S n }为递增数列．9．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1【答案】 D【解析】 依题意，f (x )向右平移一个单位长度之后得到的函数是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移一个单位的结果，所以f (x )＝e－x －1.10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．3【答案】 C【解析】 由c a ＝2(c 为半焦距)，则ba ＝3，即双曲线两条渐近线的倾斜角分别为60°和120°，所以△AOB 面积为3p 24，所以3p 24＝3，所以p ＝2为所求．11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9 【答案】 C【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，所以f (－1)＝c －6， 所以0<c －6≤3，解得6<c ≤9，故选C.12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－22 D.17 【答案】 A【解析】 作圆C 1关于x 轴的对称圆C ′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，则|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|，由图可知当C 2、M 、P 、N ′、C ′1在同一直线上时，|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|取得最小值， 即为|C ′1C 2|－1－3＝52－4.13．函数f (x )＝⎪⎭⎫⎝⎛21|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】 C【解析】 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ，令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1， －2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|关于x ＝1对称， 又x ＝1也是函数h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.14．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 【答案】 D【解析】 －f (－x )是f (x )的图象关于原点作变换，(x 0，f (x 0))是极大值点，那么(－x 0，－f (－x 0))就是极小值点．15．在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 【答案】 B【解析】 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN △l ，AN 1△l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， △|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．△P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D ，故选B.16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝60°，2b 2＝3ac ，则角A 的大小为________． 【答案】 π6或π2【解析】 由2b 2＝3ac 及正弦定理可知，2sin 2B ＝3sin A sin C ，故sin A sin C ＝12，cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝－12， cos A cos C ＝0，故cos A ＝0或cos C ＝0，可知A ＝π6或π2.17．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.【答案】 18【解析】 方法一 △AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →， △AP △BD ，△AP →·BD →＝0.又△AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos△BAP ＝|AP →|2， △AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18.方法二 把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 18．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋2y ≤4，x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【答案】 83【解析】 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点B 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝43，即B (43，43)，代入z ＝x ＋y 得z ＝43＋43＝83.19．在△ABC 中，角A ＝60°，M 是AB 的中点，若AB ＝2，BC ＝23，D 在线段AC 上运动，则DB →·DM →的最小值为________． 【答案】2316【解析】 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即12＝b 2＋4－2b ，即b 2－2b －8＝0，解得b ＝4. 设AD →＝λAC →(0≤λ≤1)，则DB →·DM →＝(AB →－AD →)·(AM →－AD →)＝(AB →－λAC →)·(12AB →－λAC →)＝λ2|AC →|2－32λAB →·AC →＋12|AB →|2＝16λ2－6λ＋2，当λ＝316时，16λ2－6λ＋2最小，最小值为2316.20．定义：min{a 1，a 2，a 3，…，a n }表示a 1，a 2，a 3，…，a n 中的最小值．已知f (x )＝min{x,5－x ，x 2－2x －1}，且对于任意的n ∈N *，均有f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)＋f (2n )≤kf (n )成立，则常数k 的取值范围是________． 【答案】 [－12，0]【解析】 △f (x )＝min{x,5－x ，x 2－2x －1}， △f (1)＝－2，f (2)＝－1，△f (1)＋f (2)≤kf (1)，即－3≤－2k ，解得k ≤32；同理，f (3)＝2，f (4)＝1，△f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)≤kf (2)，即－2－1＋2＋1≤k ×(－1)，解得k ≤0. 由以上可知k 为非正数．当n ≥3时，{f (n )}是以2为首项，－1为公差的等差数列，f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)＋f (2n )≤kf (n )，即－2－1＋2＋5－2n2×(2n －2)≤k (5－n )，2n 2－9n ＋10≥k (n －5)，又2n 2－9n ＋10≥2×32－9×3＋10＝1，k (n －5)≤k (3－5)＝－2k ，△k ≥－12.综上所述，常数k 的取值范围是[－12，0]．21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.【答案】 57【解析】 如图，设|BF |＝m ，由题知，m 2＋100－2×10m cos△ABF ＝36，解得m ＝8，所以△ABF 为直角三角形， 所以|OF |＝5，即c ＝5，由椭圆的对称性知|BF |＝|AF ′|＝8，(F ′为右焦点)所以a ＝7，所以离心率e ＝57.22．已知f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )>0或g (x )>0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则实数m 的取值范围是________． 【答案】 (0,8)【解析】 当f (x )，g (x )满足条件△时，m ≤0显然不合题意； 当m >0时，f (0)＝1>0，若对称轴x ＝4－m2m ≥0，即0<m ≤4，结论显然成立， 若对称轴x ＝4－m2m<0，即m >4，只要方程2mx 2－2(4－m )x ＋1＝0的判别式Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可， 又m >4，可得4<m <8，所以m △(0,8)． 当f (x )，g (x )满足条件△时，对于m △(0,8)，x △(－∞，－4)，g (x )<0恒成立， 由△可知，必存在x 0△(－∞，－4)， 使得f (x 0)>0成立，故可得m △(0,8)．23．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋6x ＋e 2－5e －2，x ≤e ，x －2ln x ，x >e(其中e 为自然对数的底数，且e ≈2.718)．若f (6－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 －3<a <2【解析】 △f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤e ，1－2x ，x >e ，当x ≤e 时，f ′(x )＝6－2x ＝2(3－x )>0， 当x >e 时，f ′(x )＝1－2x ＝x －2x >0，△f (x )在R 上单调递增．又f (6－a 2)>f (a )，△6－a 2>a ，解之得－3<a <2.24．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________． 【答案】 [－1，＋∞)【解析】 函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞)．25．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是________．【答案】 13【解析】 由平面向量基本定理及点P 为ABCD 内部或边界上任意一点，可知0≤x ≤1且0≤y ≤1，又满足条件的x ，y 满足0≤x ≤12，0≤y ≤23，所以P (A )＝23×121×1＝13.26．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 【答案】 63【解析】 △a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， △a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×1－261－2＝63.27．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】 DM △PC【解析】 易得BD △PC .△当DM △PC ，即有PC △平面MBD . 而PC △平面PCD ，△平面MBD △平面PCD .28．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________． 【答案】 x 24－y 212＝1【解析】由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得ba ＝3，△b ＝3a .△抛物线y 2＝16x 的焦点F (4,0)，△c ＝4.又△c 2＝a 2＋b 2，△16＝a 2＋(3a )2，△a 2＝4，b 2＝12， △所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.29．定义区间[x 1，x 2] (x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________． 【答案】 3【解析】 如图，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)＝2，(b －a )max ＝4－14＝154， (b －a )min ＝1－14＝34，则154－34＝3.。
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若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD,AC=BD，AD=BC，则
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（2012•安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则
②④⑤
（写出所有正确结论编号）
①四面体ABCD每组对棱相互垂直
②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
考点：棱锥的结构特征．
专题：压轴题；阅读型．
分析：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．结合长方体的性质判断
②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．
③由②，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°．
④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分
⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别为
a2+b2
，
+
，
+
易知能构成三角形．
解答：解：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误
②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确
③由②，四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°．③错误
④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确
⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a ，b
，c ，则每个顶点出发的三条棱长分别为
a 2+
b 2 +
+
，任意两边之和大于第三边，能构成三角形．⑤正确
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