数量关系思维导图
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船速=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
电梯
人梯同向:扶梯可见=人走距离+梯走 距离
人梯反向:扶梯可见=人走距离-梯走 距离
设时钟一圈总路程为12格,时钟每小 时走1格,分钟每小时走12格
基本常识
时钟一昼夜转2圈,1小时转1/12圈; 分针一昼夜转24圈,1小时转1圈
钟面每2格之间30度
求和公式:
周期与余数相结合(日期问题)
找到最小公倍数(周期)
一周7天,5个工作日,平年365天( 52周+1天),闰年366天(52周+2
天)
大月(1、3、5、7、8、10、12)31 天,小月(4、6、9、11)30天,平
月(2月)28或29天
数量关系
行程问题
周期与工程、行程结合 将特值法与周期问题结合
题目出现“(只)满足两个条件”, 一般用非标准型
基本公式
利润率=利润÷成本=(售价-成本)÷ 成本
总利润=单利润*件数=总收入-总成本
利润问题
常用方法 折扣
方程、比例
分段计算:水费电费、纳税金额、出 租车乘车费等
加法原理(分类)
乘法原理(分步)
排列与数序有关,组合与顺序无关
n人站一排
排列组合
几大模型
至少。。。保证
最不利+1
都。。。至少。。。
反向、加和、做差
最多,最少
排序、反向找数列,求方程
表面积 基础公式
正方体:6*单面面积 长方体:2*(前+上+侧) 球体: 圆柱体: 长方体:abc
立体几何
体积
球体: 圆柱体: 锥体:
数个数:整体涂—内部没涂=至少一面涂
几何重构
挖部分:原体积-挖掉的体积
长短线:勾股定理
任意两个队伍比赛一场
双循环赛
任意两个队伍比赛两场
杂题模块
牛吃草问题
草的原有油量=(牛数-草长)*时间 引申:原总=(快-慢)*时间 常用方程或方程组来解
问题:青蛙在h米深的井底,白天向上 爬a米,夜晚向下滑b米,问几天爬出
去
青蛙跳井
空瓶换酒问题 爬楼问题
每N个空瓶子能换1瓶酒,一共有M个 空瓶,那么一共可以换M/(N-1)瓶酒
反复操作型 先看第一次,抓住不变量
标准型:满足条件Ⅰ的个数+满足条 件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个
数-两者都不满足的个数
两集合问题
标数型:题目提及“只满足某1个条件 ”的数目,用简洁的“文氏图”标数
图示标数的关键是:从最中间“两个 条件都满足”的数字入手
标准型
=总数-三个都不
三集合问题 非标准型
相邻问题 捆绑法 不能相邻 插空法 圆桌型 (n-1)排列
排列组合与概率
错位排列
记住D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5= 44
一般都是停车位的问题,主要记4和5
遇到带图形的采用标数的方法
概率问题
某事发生的概率=满足条件情况/总的 情况
某事发生的概率=1-不发生的概率
构造问题 几何问题 方程问题
余数问题
相邻两圈相差为8 余同加余、和同加和、差同减差
计算每人的工作效率,得到一个周期 的工作量
轮流工作问题
做除法,看工作总量包含几个周期的 工作量,还剩余多少工作量
分析剩余工作量,得出最终答案
溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
基本公式
浓度=溶质质量÷溶液质量 溶液质量=溶质质量÷浓度
溶质质量=溶液质量×浓度
常用方法
十字交叉、不变量、比例、赋值、调 和平均数
特征
未知量的个数多于方程个数
不定方程组
求一个整体的值
赋零法、整体带入法
最不利构造
特征:至少...保证N个相同的... 方法:最不利情况+1
最值问题
特征:最多(少)...最多(少)...;排名第...最多(少)...
构造数列
方法:排序、定位、构造、加和、求解
核心:
若求至多为多少,则其他量尽量小,从小到大构造数列 若求至少为多少,则其他量尽量大,从大到小构造数列
路程=速度*时间 三个比例关系
速度一定,路程与时间正比 时间一定,路程与速度正比
相遇问题
相遇距离=(大速度+小速度)*相遇 时间
相遇追及问题
追及问题
追及距离=(大速度-小速度)*追及时 间
反向运动:第N次相遇路程和为N个周 长,环形周长=(大速度+小速度)×
相遇时间
环形运动
同向运动:第N次相遇路程差为N个周 长,环形周长=(大速度-小速度)×
平面几何
割补法 平移法
几何极限理论
平面中,周长一定,面积越大越靠近圆 立体中,表面积一定,体积越大越靠近球
定方程
一个方程、一个未知量
定方程组
特征 方法
多个方程、多个未知量 未知量个数等于方程个数 带入消元、加减消元
不定方程
特征 方法
一个方程、多个未知量 求某个未知量的值 带入排除、数字特性
多个方程、多个未知量
常用的2、3、5、7、11、13整除判 定法则
题目没有具体数字,只有相互比例关 系等,常用于计算题、浓度问题、工
程问题、行程问题
数字特值
数字特值计算题优先考率-1,0,1, 工程与行程等问题优先考率最小公倍
数
图形特值 比如特殊的长方形——正方形
题目中出现平均、总和、差,尤其是 不定方程的时候
奇偶判定
相遇时间
左右点出发:第N次迎面相遇,路程 和=全程×(2N-1);第N次追上相 遇,路程差=全程×(2N-1)。每个 人所走路程=第一次相遇路程×(2N-
1)
多次相遇问题
同一点出发:第N次迎面相遇,路程 和=全程×2N;第N次追上相遇,路
程差=全程×2N
流水行船、电梯问题
流水行船
顺水速度=船速+水速; 逆水速度=船速-水速
比例问题:分量/总量=所占比例,分量/所占比例=总 量,分量=总量*所占比例
不定方程(组)
不定方程:奇偶特性→因子分析→尾数判定→赋值验证
不定方程组:整体分析法——凑整; 赋0法简化计算;数字特性法
时间问题
平年、闰年
平年365天,闰年366天
判别法则:非世纪年整除4为闰年,世纪年整除400为闰 年
大月(31天)1,3,5,7,8,10,12月
计算结果非整数时:求至少的,向上取整;求至多的,向 下取整
多集合反向构造
特征:都...至少... 方法:反向、加和、做差
二次函数最值 年龄问题
特征:列出计算式为一元二次方程 方法:配方法、求导法、不等式法
每人每年长1岁 核心是年龄差不变
和倍:和/(倍数+1)=基倍量
和差倍比
差倍:差/(倍数-1)=基倍量 和差问题:大数=(和+差)/2,小数=(和-差)/2
赋值法:赋每瓶酒价格为N元,则空 瓶子1元,酒N-1元,再计算
从地面爬到N层,共爬了N-1层楼梯
从M层爬到N层,共爬了N-M层楼梯
植树问题
线性植树:总数=路长/间隔+1 单边植树 环形植树:总数=路长/间隔
楼间植树:总数=路长/间隔-1 双边植树 单边基础上*2 最外圈人数=4×(边长-1)
方阵问题
钟表问题
工程问题 浓度问题 容斥原理
追及型
坏钟型 比例问题,抓住“标准比”
工作总量一定,效率与时间反比
工作总量=工作时间*工作效率 三个比例关系 工作时间一定,总量与效率正比
工作效率一定,总量与时间正比
设工作总量为特值(完成工作所需时间 或工作效率的最小公倍数)
多人合作问题
求各自的效率或者时间
求题目所问
大月、小月
小月(30天)4,6,9,11月 2月:平年28天,闰年29天
速度:时针每分钟走0.5度,分针每分 钟走6度,两者每分钟差5.5度
钟表问题
直角:时针与分针每小时垂直2次,每 天垂直44次
重合:每小时1次,每天22次
180度:每小时1次,每天22次
淘汰赛:每比赛一场淘汰一个队伍
比赛问题
单循环赛
来自百度文库
加减运算:同奇同偶比得偶,一奇一 偶只能奇
乘除运算:一偶就是偶,双奇才是奇
平方差、完全平方
完全平方公式 平方差公式
常用的计算公式
立方和差
计算问题
常用方法 等差数列 等比数列
周期问题
阶乘 公式法,记住常用的公式 因子法(整除特性结合) 放缩法(用于判定计算的整数部分) 构造法 特值法 求和公式: 等差中项 通项公式:
数量思维
选项关联 代入排除 整除思想
特值思想 奇偶特性
不是填空题
注意观察选项之间的倍数关系
应用范围:多位数问题、不定方程问 题、同余问题、年龄问题、周期问 题、复杂行程问题、和差倍比问题。
优先代入整数选项
必须将题目式子转化程A=B*C两两相 乘的形式
拆分法 517=470+47
整除判定法则
因式分解 6=2*3
电梯
人梯同向:扶梯可见=人走距离+梯走 距离
人梯反向:扶梯可见=人走距离-梯走 距离
设时钟一圈总路程为12格,时钟每小 时走1格,分钟每小时走12格
基本常识
时钟一昼夜转2圈,1小时转1/12圈; 分针一昼夜转24圈,1小时转1圈
钟面每2格之间30度
求和公式:
周期与余数相结合(日期问题)
找到最小公倍数(周期)
一周7天,5个工作日,平年365天( 52周+1天),闰年366天(52周+2
天)
大月(1、3、5、7、8、10、12)31 天,小月(4、6、9、11)30天,平
月(2月)28或29天
数量关系
行程问题
周期与工程、行程结合 将特值法与周期问题结合
题目出现“(只)满足两个条件”, 一般用非标准型
基本公式
利润率=利润÷成本=(售价-成本)÷ 成本
总利润=单利润*件数=总收入-总成本
利润问题
常用方法 折扣
方程、比例
分段计算:水费电费、纳税金额、出 租车乘车费等
加法原理(分类)
乘法原理(分步)
排列与数序有关,组合与顺序无关
n人站一排
排列组合
几大模型
至少。。。保证
最不利+1
都。。。至少。。。
反向、加和、做差
最多,最少
排序、反向找数列,求方程
表面积 基础公式
正方体:6*单面面积 长方体:2*(前+上+侧) 球体: 圆柱体: 长方体:abc
立体几何
体积
球体: 圆柱体: 锥体:
数个数:整体涂—内部没涂=至少一面涂
几何重构
挖部分:原体积-挖掉的体积
长短线:勾股定理
任意两个队伍比赛一场
双循环赛
任意两个队伍比赛两场
杂题模块
牛吃草问题
草的原有油量=(牛数-草长)*时间 引申:原总=(快-慢)*时间 常用方程或方程组来解
问题:青蛙在h米深的井底,白天向上 爬a米,夜晚向下滑b米,问几天爬出
去
青蛙跳井
空瓶换酒问题 爬楼问题
每N个空瓶子能换1瓶酒,一共有M个 空瓶,那么一共可以换M/(N-1)瓶酒
反复操作型 先看第一次,抓住不变量
标准型:满足条件Ⅰ的个数+满足条 件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个
数-两者都不满足的个数
两集合问题
标数型:题目提及“只满足某1个条件 ”的数目,用简洁的“文氏图”标数
图示标数的关键是:从最中间“两个 条件都满足”的数字入手
标准型
=总数-三个都不
三集合问题 非标准型
相邻问题 捆绑法 不能相邻 插空法 圆桌型 (n-1)排列
排列组合与概率
错位排列
记住D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5= 44
一般都是停车位的问题,主要记4和5
遇到带图形的采用标数的方法
概率问题
某事发生的概率=满足条件情况/总的 情况
某事发生的概率=1-不发生的概率
构造问题 几何问题 方程问题
余数问题
相邻两圈相差为8 余同加余、和同加和、差同减差
计算每人的工作效率,得到一个周期 的工作量
轮流工作问题
做除法,看工作总量包含几个周期的 工作量,还剩余多少工作量
分析剩余工作量,得出最终答案
溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
基本公式
浓度=溶质质量÷溶液质量 溶液质量=溶质质量÷浓度
溶质质量=溶液质量×浓度
常用方法
十字交叉、不变量、比例、赋值、调 和平均数
特征
未知量的个数多于方程个数
不定方程组
求一个整体的值
赋零法、整体带入法
最不利构造
特征:至少...保证N个相同的... 方法:最不利情况+1
最值问题
特征:最多(少)...最多(少)...;排名第...最多(少)...
构造数列
方法:排序、定位、构造、加和、求解
核心:
若求至多为多少,则其他量尽量小,从小到大构造数列 若求至少为多少,则其他量尽量大,从大到小构造数列
路程=速度*时间 三个比例关系
速度一定,路程与时间正比 时间一定,路程与速度正比
相遇问题
相遇距离=(大速度+小速度)*相遇 时间
相遇追及问题
追及问题
追及距离=(大速度-小速度)*追及时 间
反向运动:第N次相遇路程和为N个周 长,环形周长=(大速度+小速度)×
相遇时间
环形运动
同向运动:第N次相遇路程差为N个周 长,环形周长=(大速度-小速度)×
平面几何
割补法 平移法
几何极限理论
平面中,周长一定,面积越大越靠近圆 立体中,表面积一定,体积越大越靠近球
定方程
一个方程、一个未知量
定方程组
特征 方法
多个方程、多个未知量 未知量个数等于方程个数 带入消元、加减消元
不定方程
特征 方法
一个方程、多个未知量 求某个未知量的值 带入排除、数字特性
多个方程、多个未知量
常用的2、3、5、7、11、13整除判 定法则
题目没有具体数字,只有相互比例关 系等,常用于计算题、浓度问题、工
程问题、行程问题
数字特值
数字特值计算题优先考率-1,0,1, 工程与行程等问题优先考率最小公倍
数
图形特值 比如特殊的长方形——正方形
题目中出现平均、总和、差,尤其是 不定方程的时候
奇偶判定
相遇时间
左右点出发:第N次迎面相遇,路程 和=全程×(2N-1);第N次追上相 遇,路程差=全程×(2N-1)。每个 人所走路程=第一次相遇路程×(2N-
1)
多次相遇问题
同一点出发:第N次迎面相遇,路程 和=全程×2N;第N次追上相遇,路
程差=全程×2N
流水行船、电梯问题
流水行船
顺水速度=船速+水速; 逆水速度=船速-水速
比例问题:分量/总量=所占比例,分量/所占比例=总 量,分量=总量*所占比例
不定方程(组)
不定方程:奇偶特性→因子分析→尾数判定→赋值验证
不定方程组:整体分析法——凑整; 赋0法简化计算;数字特性法
时间问题
平年、闰年
平年365天,闰年366天
判别法则:非世纪年整除4为闰年,世纪年整除400为闰 年
大月(31天)1,3,5,7,8,10,12月
计算结果非整数时:求至少的,向上取整;求至多的,向 下取整
多集合反向构造
特征:都...至少... 方法:反向、加和、做差
二次函数最值 年龄问题
特征:列出计算式为一元二次方程 方法:配方法、求导法、不等式法
每人每年长1岁 核心是年龄差不变
和倍:和/(倍数+1)=基倍量
和差倍比
差倍:差/(倍数-1)=基倍量 和差问题:大数=(和+差)/2,小数=(和-差)/2
赋值法:赋每瓶酒价格为N元,则空 瓶子1元,酒N-1元,再计算
从地面爬到N层,共爬了N-1层楼梯
从M层爬到N层,共爬了N-M层楼梯
植树问题
线性植树:总数=路长/间隔+1 单边植树 环形植树:总数=路长/间隔
楼间植树:总数=路长/间隔-1 双边植树 单边基础上*2 最外圈人数=4×(边长-1)
方阵问题
钟表问题
工程问题 浓度问题 容斥原理
追及型
坏钟型 比例问题,抓住“标准比”
工作总量一定,效率与时间反比
工作总量=工作时间*工作效率 三个比例关系 工作时间一定,总量与效率正比
工作效率一定,总量与时间正比
设工作总量为特值(完成工作所需时间 或工作效率的最小公倍数)
多人合作问题
求各自的效率或者时间
求题目所问
大月、小月
小月(30天)4,6,9,11月 2月:平年28天,闰年29天
速度:时针每分钟走0.5度,分针每分 钟走6度,两者每分钟差5.5度
钟表问题
直角:时针与分针每小时垂直2次,每 天垂直44次
重合:每小时1次,每天22次
180度:每小时1次,每天22次
淘汰赛:每比赛一场淘汰一个队伍
比赛问题
单循环赛
来自百度文库
加减运算:同奇同偶比得偶,一奇一 偶只能奇
乘除运算:一偶就是偶,双奇才是奇
平方差、完全平方
完全平方公式 平方差公式
常用的计算公式
立方和差
计算问题
常用方法 等差数列 等比数列
周期问题
阶乘 公式法,记住常用的公式 因子法(整除特性结合) 放缩法(用于判定计算的整数部分) 构造法 特值法 求和公式: 等差中项 通项公式:
数量思维
选项关联 代入排除 整除思想
特值思想 奇偶特性
不是填空题
注意观察选项之间的倍数关系
应用范围:多位数问题、不定方程问 题、同余问题、年龄问题、周期问 题、复杂行程问题、和差倍比问题。
优先代入整数选项
必须将题目式子转化程A=B*C两两相 乘的形式
拆分法 517=470+47
整除判定法则
因式分解 6=2*3