第七章 二阶电路

( 1 ) 当 0 (R 2C L )时 ,属 过 阻 尼 情 况 :
i(t)A 1es1t A 2es2t
由i(0+)=0得： A1+A2=0
————①
又由uL(0+)= uc(0+) -Ri(0+)=U0 - R×0= U0得：
di uL(0)Ldt t0 U0
di dt
t 0
U0 L
将i(t)表达式代入并令t=h0+ 有：
us(t)----
①
4i1
di2 dt
4i2
0
---- ②
由 ②得：
i1
1 (di2 4 dt
4i2 )
----③
i1
1 4
(
d2i2 dt 2
4i2 )
----④
将③ ④代入①消去i1有：
h
9
d2i2 dt2
10di2 dt
1 169i2
2us(t)
一般形式：
———— 二阶非齐次微分方程
d2y dy dt2 a1 dt a0yf(t)
du C dt
iL
uC (t) cos t
di L dt
uC
iL (t) sin t
t
-U0
I iL
t
-I
h
6
因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。
三、 LC电路的储能
LC电路的储能为： w(t)1L2(it)1C2u (t)
2
2
并考虑到L=1H, C=1 F
可得：
w (t)1(s2it n co 2t)J s1J
第七章 二阶电路(Second order circuit))
一、二阶电路
用一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程 来描述的电路。
二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有 两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个 电容（电感）串（并）联情况。
二、二阶电路与一阶电路响应的差别 二阶电路响应具有振荡的趋势。
(t0)
其中：
s——特征根，又称为电路的固有频率。
R
s1,2
2L
( R)2 1 2L LC
h
12
R
s1,2
2L
( R)2 1 2L LC
令 R 2L
0
1 LC
衰减系数（决定响应的衰减特性） 谐振角频率
则 :s1,2 20 2
根据 和 0 的相对大小不同，特征根s1,2不同， 对应的解的形式不同，有三种情况：
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程：
d2y dy dt2 a1 dt a0y0
相应的解为零输入响应。
h
10
二、RLC串联电路的零输入响应
i(t) K
+ C uc
-
R
+ uR - + L uL -
已知uc(0-)=U0， iL(0-)=0， K于t=0时刻闭合，分析t>0 时放电过程中i(t)、uc(t)
15
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得：
————②
A1
A2
U0 L(s1 s2)
故i(t) U0 (es1t es2t) L(s1s2)
uc(t)U0
1 C
ti()d
0
U 0C L(U s10 s2)
t(es1es2)d
0
s1s2L1Cs2U 0s1(s2es1t s1es2t)
2
2
储能在任何时刻都为常量。而且
即对所有 t 0，
w (0)1L2(i0)1C2(u 0)1J
2
2
2
w(t)w(0)
这就表明：储能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失。
h
7
• 可以想象，当存在耗能元件时的情况。
• 一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能 量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗 掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到 零；
其 中 =2 -2 d0
称 为 衰 减 振 荡 角 频 率 欠阻尼
i( t) e t(Fra Baidu bibliotek 1 c o sd t K 2 s ind t)
h
14
uc(0+)= uc(0-)=U0
两个待定系数，两个初始条件
可定得系数
i (0+)= i(0-)=0
一 . R 2L C
S 1 ,
S 2 不 等 的 负 实 根
• 另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时 就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电 场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。
h
8
7.2 RLC串联电路的零输入响应
一、二阶微分方程的建立
+
8 2H
us(t)
i1 4 i2 1H
写网孔电流方程：
2di1 dt
12i14i2
h
13
s1,2 202
( a ) 当 0 (R 2C L ), s 1 ,2 为 相 异 二 负 实 根 ：
i(t)A 1es1t A 2es2t
过阻尼
( b ) 当 0 (R 2C L ),s 1 = s 2 = -,为 二 重 实 根 ：
i(t)(ABt)et
临界阻尼
( c ) 当 0 (R 2C L ) ,s 1 ,2 = -一 2 - 对共 0 2 轭 = - 复根 jd
着储能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断
地改变大小和极性，形成周而复始h 的振荡。这种由初始储能维持的5 振荡是一种等幅振荡。
二、定量分析
+
uc C
-
iL
L
U0 uC
下面进一步对LC回路中振荡的变化方 式作一简单的分析。设LC回路如图7-2 所示，设 L=1 H、C=1F、uC(0)=1V、 iL(0)=0
h
1
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应——
过阻尼情况、临界阻尼情况、欠阻尼情况
h
2
❖ 重点：
1．电路微分方程的建立 2 ．特征根的重要意义 3 ．微分方程解的物理意义
❖ 难点：
1 ．电路微分的解及其物理意义 2 ．不同特征根的讨论计算
h
3
7.1 LC电路中的正弦振荡
RLC串联电路
由KVL： uc=uR+uL
（t>0)
即：
1 t i()dRi(t)Ldi(t)
C
dt
两边对t 微分：
1i(t)Ri(t)Li C
整理为：
d2i(t) Rdi 1
dt2
i(t)0 L h dt LC
11
整理为：
dd2it(2t)R Ld dtiL1Ci(t)0
特征方程：
s2 Rs 1 0 L LC
一、定性分析
以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即 R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时 的电量及能量变化情况。
h
4
i’≠0
u’≠0
i’≠0
+
i=0 +
I
u0 C
L
-
C
L
u=-0
-
u0 C
+
i=0
L
t=0
t=T/4
t=T/2
u’≠0
+
u0 C
-
i=0
L
t=T
-
C
u=0
+
L
I
t=3T/4
由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随