第七章_玻耳兹曼统计 热力学统计物理
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热统
2
4、与经典描述之间的关系
对于宏观大小的容积， 是很小的量，量子描述趋近于
经典描述。 以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为 xp 。
p p p
p
ox
x x L
由于不确定关系，xp 。h 即在体积元 h 内的各运动状态， 它们的差别都在测量误差之内， 即被认为是相同的！
l
11
热统
12
dU al d l l dal
l0
l0
能级变
能级不变
分布不变 分布变
能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。
力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。
改变边界，即做功。
dU dW dQ
Ydy aldl
N! al !
l
al l
l
al N ,
l
all E;
l
al le l
热统
8
§7.1 热力学量的统计表达式
一、玻耳兹曼分布
al
e l
l
N al
e l l
l0
l 0
U
al l
一个量子态对应粒子相空间的
一个 h 大小的体积元（相格）。
x
热统
3
二、系统微观运动的描述
1、全同和近独立粒子的宏观系统 全同粒子 具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的
微观粒子 近独立粒子 粒子之间的相互作用可以忽略不计。
系统粒子数
N
能量
N
E i
i 1
2、 经典微观系统的运动状态
el l
l 0
e (
l 0
eຫໍສະໝຸດ Baidul l
)
2. 功
N ( Z1 ) N ln Z1 内能的统计表达式
Z1
dU dW dQ
l
能级不变
al ' 分布变
l
1
al
0
1
l'
0
U al l l0
1' 0'
l
第一项是粒子分布不变时由于外参量改变导致的能级改变而引起的内能变化， 代表过程中外界对系统所作的功； 第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化，代表过程中 系统从外界吸收的热量，粒子激发。也就是说在无穷小过程中系统从外界吸收的热量 等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。热量是热现象中特有的宏观量，没有 与热量相对应的微观量。
热统
al 能级变 分布不变
10
dU al d l l dal
l0
l0
能级变
能级不变
分布不变 分布变
能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。
力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。
改变边界，即做功。
每个粒子受力：fl
l
y
外界对系
自旋整数的粒子，不受泡利原理限制－玻色分布、 玻色粒子。
光子(自旋 1 )、声子 (自旋 1 )、等
自旋整半数粒子－费米分布、费米粒子。
电子、质子、夸克等 （自旋 1/2 ）
热统
5
4、分布的定义
E, N ,V 确定的宏观态
能级 简并度 粒子数
1 2
l
1 2
l
a1 a2
热统
13
3. 熵
积分因子 1/T
由
dQ dU Ydy dS
T
T
得
dQ dU Ydy 应用7.1.4 和7.1.6式
Nd ( ln Z1 ) N 1 ln Z1 dy
y
等式两边同乘β：
(dU Ydy ) Nd( ln Z1 ) N ln Z1 dy
统的力
Y
l
l
y
al
l
l
y
l
e
l
e ( 1
y l
l e l )
N 1
Z1
y Z1
N 1 ln Z1
y
功
p N ln Z1
V
广义力统计表达式
热统
Ydy dy
l
l
y
al
aldl
粒子可分辨。
系统的微观状态确定，每个粒子的微观状态确定。
Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量都确定。
热统
4
几何表示： μ –空间 N 个代表点。
玻耳兹曼分布、玻耳兹曼粒子。 3、 量子系统的微观状态 粒子不可区分，只知道几个粒子在哪个量
子态，不知道哪几个粒子在这个量子态。
泡利不相容原理： 自旋半整数的粒子，在一个量子态 不可能有一个以上的粒子。
C. 费米分布
al
l
e l
1
F.D
l
l ! al!(l al )!
热统
6
al
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
满足经典极限条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在 平衡态遵从玻尔兹曼分布。
热统
7
定域粒子组成的系统，如晶体中的原子或离子定域在其平衡 位置附近作微振动。从其量子本性来说不可分辨，但可以根 据其平衡位置而加以区分。在这意义下可以将定域粒子看做 可以分辨的粒子，因此由定域粒子组成的系统（定域系统） 遵从玻尔兹曼分布。
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）
M .B{al }
热统
1
第六章 回顾
一、粒子微观运动的描述
1、粒子经典运动状态 a. 代数描述 (q1 ,qr , p1 , pr ) b. 几何描述 粒子相空间（ 空间）
“代表点”
2、粒子量子运动状态 在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。
量子态由一组量子数表征。
3、简并度ω 一个能级对应的不同的量子态的数目。
e l ll
l0
l0
令
Z1
e l l
叫配分函数，partition function
l 0
则 N Z1e
e N Z1
热统
9
二、热力学量
e N
1. 内能
Z1
U
e l ll
l 0
Z1
al
al 表示一个分布，满足
al N ,
all E;
l
l
分布对应的微观态数
A. 玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） M .B{al }
N! al !
l
al l
l
B. 玻色分布 B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
al le l
2
4、与经典描述之间的关系
对于宏观大小的容积， 是很小的量，量子描述趋近于
经典描述。 以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为 xp 。
p p p
p
ox
x x L
由于不确定关系，xp 。h 即在体积元 h 内的各运动状态， 它们的差别都在测量误差之内， 即被认为是相同的！
l
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热统
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l0
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能级变
能级不变
分布不变 分布变
能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。
力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。
改变边界，即做功。
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N! al !
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al N ,
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§7.1 热力学量的统计表达式
一、玻耳兹曼分布
al
e l
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N al
e l l
l0
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U
al l
一个量子态对应粒子相空间的
一个 h 大小的体积元（相格）。
x
热统
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二、系统微观运动的描述
1、全同和近独立粒子的宏观系统 全同粒子 具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的
微观粒子 近独立粒子 粒子之间的相互作用可以忽略不计。
系统粒子数
N
能量
N
E i
i 1
2、 经典微观系统的运动状态
el l
l 0
e (
l 0
eຫໍສະໝຸດ Baidul l
)
2. 功
N ( Z1 ) N ln Z1 内能的统计表达式
Z1
dU dW dQ
l
能级不变
al ' 分布变
l
1
al
0
1
l'
0
U al l l0
1' 0'
l
第一项是粒子分布不变时由于外参量改变导致的能级改变而引起的内能变化， 代表过程中外界对系统所作的功； 第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化，代表过程中 系统从外界吸收的热量，粒子激发。也就是说在无穷小过程中系统从外界吸收的热量 等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。热量是热现象中特有的宏观量，没有 与热量相对应的微观量。
热统
al 能级变 分布不变
10
dU al d l l dal
l0
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能级变
能级不变
分布不变 分布变
能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。
力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。
改变边界，即做功。
每个粒子受力：fl
l
y
外界对系
自旋整数的粒子，不受泡利原理限制－玻色分布、 玻色粒子。
光子(自旋 1 )、声子 (自旋 1 )、等
自旋整半数粒子－费米分布、费米粒子。
电子、质子、夸克等 （自旋 1/2 ）
热统
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4、分布的定义
E, N ,V 确定的宏观态
能级 简并度 粒子数
1 2
l
1 2
l
a1 a2
热统
13
3. 熵
积分因子 1/T
由
dQ dU Ydy dS
T
T
得
dQ dU Ydy 应用7.1.4 和7.1.6式
Nd ( ln Z1 ) N 1 ln Z1 dy
y
等式两边同乘β：
(dU Ydy ) Nd( ln Z1 ) N ln Z1 dy
统的力
Y
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l
y
al
l
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y
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N 1
Z1
y Z1
N 1 ln Z1
y
功
p N ln Z1
V
广义力统计表达式
热统
Ydy dy
l
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y
al
aldl
粒子可分辨。
系统的微观状态确定，每个粒子的微观状态确定。
Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量都确定。
热统
4
几何表示： μ –空间 N 个代表点。
玻耳兹曼分布、玻耳兹曼粒子。 3、 量子系统的微观状态 粒子不可区分，只知道几个粒子在哪个量
子态，不知道哪几个粒子在这个量子态。
泡利不相容原理： 自旋半整数的粒子，在一个量子态 不可能有一个以上的粒子。
C. 费米分布
al
l
e l
1
F.D
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热统
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e l
1
e 1
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玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
满足经典极限条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在 平衡态遵从玻尔兹曼分布。
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定域粒子组成的系统，如晶体中的原子或离子定域在其平衡 位置附近作微振动。从其量子本性来说不可分辨，但可以根 据其平衡位置而加以区分。在这意义下可以将定域粒子看做 可以分辨的粒子，因此由定域粒子组成的系统（定域系统） 遵从玻尔兹曼分布。
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）
M .B{al }
热统
1
第六章 回顾
一、粒子微观运动的描述
1、粒子经典运动状态 a. 代数描述 (q1 ,qr , p1 , pr ) b. 几何描述 粒子相空间（ 空间）
“代表点”
2、粒子量子运动状态 在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。
量子态由一组量子数表征。
3、简并度ω 一个能级对应的不同的量子态的数目。
e l ll
l0
l0
令
Z1
e l l
叫配分函数，partition function
l 0
则 N Z1e
e N Z1
热统
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二、热力学量
e N
1. 内能
Z1
U
e l ll
l 0
Z1
al
al 表示一个分布，满足
al N ,
all E;
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l
分布对应的微观态数
A. 玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） M .B{al }
N! al !
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B. 玻色分布 B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
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