2020-2021学年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)及答案解析

甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|﹣2＜x＜1}，则集合A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}2．如图所示，向量所对应的复数分别为Z1，Z2，则Z1•Z2=（）A．4+2i B．2+i C．2+2i D．3+i3．某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表：女生男生合计喜欢吃甜食8412不喜欢吃甜食21618合计102030附表：P（K20.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828经计算K2=10，则下列选项正确的是（）A．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响4．已知tanx=，且x在第三象限，则cosx=（）A．B．C．D．5．函数，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．26．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤7．设D为△ABC的所在平面内一点，，则=（）A．B．C．D．8．某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=（）A．196 B．203 C．28 D．299．已知函数满足一下两个条件：①任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；②对定义域内任意x有f（x）+f（﹣x）=0，则符合条件的函数是（）A．f（x）=2x B．f（x）=1﹣|x| C．D．f（x）=ln（x+1）10．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A（2a，2），B（﹣4，a），C（2a+2，2），则△ABC的外接圆的方程是（）A．x2+（y﹣3）2=5 B．x2+（y+3）2=5 C．（x﹣3）2+y2=5 D．（x+3）2+y2=5 11．已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥平面，若三棱锥的体积是，则球体的表面积是（）A．B．C．D．25π12．将函数的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（2）=16，且，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13．数列{a n}中，若a n+1（a n+1）=a n，a1=1，则a6= ．14．已知实数x，y满足，则z=x﹣3y的最大值是．15．已知抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为4，则△PFO的面积为．16．已知函数与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设数列{a n+1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7，a7=127．（1）求的a1值；（2）求数列{a n}的前n项和．18．甘肃省瓜州县自古就以生产“美瓜”面名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%～19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用x，y，z表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=x+y+z的值平定蜜瓜的顶级，若w≥4，则为一级；若2≤w≤3，则为二级；若0≤w≤1，则为三级，今年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：种植地编号A B C D E （x，y，z）（1，0，0）（2，2，1）（0，1，1）（2，0，2）（1，1，1）种植地编号F G H I J （x，y，z）（1，1，2）（2，2，2）（0，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w至少有一个为4的概率．19．如图，在△ABC中，AB⊥BC，点D，E分别在AB，AC上，AD=2DB，AC=3EC，沿DE将△ADE翻折起来，使得点A到P的位置，满足．（1）证明：DB⊥平面PBC；（2）若，点M在PC上，且，求三棱锥P﹣BEM的体积．20．已知椭圆的顶点到直线l：y=x的距离分别为．（1）求椭圆C1的离心率；（2）过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C1的两条切线PM和PN分别与圆交于点M，N，求△PMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=xsinx+cosx．（1）当时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知直线为参数），曲线为参数）．（1）使判断l与C的位置关系；（2）若把曲线C1上个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣2|（1）解不等式f（x）+g（x）＜2；（2）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，证明：|x﹣2y+1|≤3．甘肃省高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|﹣2＜x＜1}，则集合A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据并集的定义写出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|﹣2＜x＜1}，则集合A∪B={x|﹣2＜x＜2}．故选：C．2．如图所示，向量所对应的复数分别为Z1，Z2，则Z1•Z2=（）A．4+2i B．2+i C．2+2i D．3+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】读图求出复数z1，z2，根据复数的乘法运算法则计算即可【解答】解：由图可得，z1=1+i，z2=3﹣i，∴Z1•Z2=（1+i）（3﹣i）=3+1+3i﹣i=4+2i，故选：A．3．某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表：女生男生合计喜欢吃甜食8412不喜欢吃甜食21618合计102030附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828经计算K2=10，则下列选项正确的是（）A．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响【考点】BL：独立性检验．【分析】根据观测值与对照临界值的关系，即可得出结论．【解答】解：根据观测值K2=10，对照临界值表得10＞7.879，所以有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响．故选：B．4．已知tanx=，且x在第三象限，则cosx=（）A．B．C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用正切化为正弦、余弦函数，结合x的象限，同角三角函数的基本关系式，求出cosx即可．【解答】解：因为，且x在第三象限，所以并且sin2x+cos2x=1解得cosx=﹣，sinx=﹣；故选D．5．函数，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】5B：分段函数的应用；3P：抽象函数及其应用．【分析】利用分段函数，化简求解即可．【解答】解：函数，则f（3）=f（2）=f（1）=f（0）=log33=1．故选：C．6．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．【解答】解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD的左视图为②，四面体ABCD的俯视图为③，故四面体ABCD的三视图是①②③，故选：B7．设D为△ABC的所在平面内一点，，则=（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】取BC的中点E，则D为CE的中点，用表示出即可得出关于的不等式．【解答】解：∵，∴D是BC的靠近C点的四等分点，取BC的中点E，则D为CE的中点，∴=，，∴=+．故选B．8．某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=（）A．196 B．203 C．28 D．29【考点】EF：程序框图．【分析】由茎叶图可知n=7，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=8时不满足条件i≤7，退出循环，输出S的值为29．【解答】解：由茎叶图可知n=7，模拟程序的运行，可得S=0，i=1满足条件i≤7，执行循环体，S=20，i=2满足条件i≤7，执行循环体，S==21，i=3满足条件i≤7，执行循环体，S==，i=4满足条件i≤7，执行循环体，S==，i=5满足条件i≤7，执行循环体，S==，i=6满足条件i≤7，执行循环体，S==，i=7满足条件i≤7，执行循环体，S==29，i=8不满足条件i≤7，退出循环，输出S的值为29．故选：D．9．已知函数满足一下两个条件：①任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；②对定义域内任意x有f（x）+f（﹣x）=0，则符合条件的函数是（）A．f（x）=2x B．f（x）=1﹣|x| C．D．f（x）=ln（x+1）【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】由①可知f（x）在（0，+∞）上是减函数，由②可知f（x）是奇函数．逐个分析各选项是否符合两条件即可．【解答】解：由①可知f（x）在（0，+∞）上是减函数，由②可知f（x）是奇函数．对于A，f（x）=2x是增函数，不符合题意；对于B，f（﹣x）+f（x）=1﹣|﹣x|+1﹣|x|=2﹣2|x|≠0，不符合题意，对于D，f（x）的定义域为（﹣1，+∞），故f（x）不是奇函数，不符合题意；故选C．10．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A（2a，2），B（﹣4，a），C（2a+2，2），则△ABC的外接圆的方程是（）A．x2+（y﹣3）2=5 B．x2+（y+3）2=5 C．（x﹣3）2+y2=5 D．（x+3）2+y2=5【考点】J1：圆的标准方程．【分析】根据点A是直角三角形ABC的直角顶点，求出a，B，C的坐标求得圆心的坐标和圆的半径，则圆的方程可得．【解答】解：由题意，2a=﹣4，∴a=﹣2∴圆的半径为==，圆心为（﹣3，0）∴圆的方程为（x+3）2+y2=5故选D．11．已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥平面，若三棱锥的体积是，则球体的表面积是（）A．B．C．D．25π【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】利用条件，求出SO，利用勾股定理，求出R，即可求出球体的表面积．【解答】解：∵△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥平面，三棱锥的体积是，∴=，∴SO=2，设球体的半径=R，则R=，∴R=，∴球体的表面积是=，故选：A．12．将函数的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（2）=16，且，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，求得2x1﹣x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到g（x）=3sin（2x++）+1=3sin（2x+）+1的图象，∵g（x1）g（x2）=16，∴g（x1）=g（x2）=4，都为最大值，令，可得，k∈Z，又因为，可以取，则2x1﹣x2的最大值=，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13．数列{a n}中，若a n+1（a n+1）=a n，a1=1，则a6= ．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n+1（a n+1）=a n，a1=1，可得：a2=，同理可得：a3，a4，a5，a6，即可得出．【解答】解：a n+1（a n+1）=a n，a1=1，∴a2=，同理可得：a3=，a4=，a5=，则a6=．故答案为：．14．已知实数x，y满足，则z=x﹣3y的最大值是．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．化目标函数z=x﹣3y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为．故答案为：．15．已知抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为4，则△PFO的面积为 4 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+2=4，所以x P=2，|y P|=4，所以，△PFO的面积S=|OF||y P|=×2×4=4．故答案为：4．16．已知函数与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（1，5）．【考点】57：函数与方程的综合运用；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】化简函数的解析式，画出两个函数的图象，判断k的范围即可．【解答】解：直线y=kx﹣2过定点（0，﹣2），由函数图象：可知结果为：（﹣1，1）∪（1，5）．给答案为：（﹣1，1）∪（1，5）．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设数列{a n+1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7，a7=127．（1）求的a1值；（2）求数列{a n}的前n项和．【考点】8E：数列的求和．【分析】（I）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）由题可知a3+1=8，a7+1=128，…又数列{a n+1}是一个各项均为正数的等比数列，则，可得a5+1=32=（a1+1）×，解得a1=1．…（II）{a n+1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，∴，∴，…利用分组求和可得．…18．甘肃省瓜州县自古就以生产“美瓜”面名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%～19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用x，y，z表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=x+y+z的值平定蜜瓜的顶级，若w≥4，则为一级；若2≤w≤3，则为二级；若0≤w≤1，则为三级，今年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：种植地编号A B C D E（x，y，z）（1，0，0）（2，2，1）（0，1，1）（2，0，2）（1，1，1）种植地编号F G H I J （x，y，z）（1，1，2）（2，2，2）（0，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w至少有一个为4的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）计算10块种植地的综合指标，列出表格可知：等级为三级的有A，H 2块，其频率为，由此能估计等级为三级的块数．（2）等级是一级的（ω≥4）有B，D，F，G，I，共5块，从中随机抽取两块，列举法能求出两块种植地的综合指标ω至少有一个为4的概率．【解答】解：（1）计算10块种植地的综合指标，可得下表：编号A B C D E F G H I J综合指标1524346153由上表可知：等级为三级的有A，H 2块，其频率为，…用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为三级的块数为．…（2）由（1）可知：等级是一级的（ω≥4）有B，D，F，G，I，共5块，从中随机抽取两块，所有的可能结果为：（B，D），（B，F），（B，G），（B，I），（D，F），（D，G），（D，I），（F，G），（F，I），（G，I），共计10个；…其中综合指标ω=4的有：D，F 2个，符合题意的可能结果为：（B，D），（B，F），（D，F），（D，G），（D，I），（F，G），（F，I）共7个，设“两块种植地的综合指标ω至少有一个为4”为事件M所以概率为．…19．如图，在△ABC中，AB⊥BC，点D，E分别在AB，AC上，AD=2DB，AC=3EC，沿DE将△ADE翻折起来，使得点A到P的位置，满足．（1）证明：DB⊥平面PBC；（2）若，点M在PC上，且，求三棱锥P﹣BEM的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）设，由此利用勾股定理得BD⊥PB，再由BD⊥BC，能证明BD⊥面PBC．（2）由勾股定理得PB⊥BC，再由BD⊥PB，得PB⊥面BCE，从而三棱锥P﹣BEM的体积．【解答】证明：（1）设，∵BD2+PB2=PD2∴BD⊥PB…∵BD⊥BC，PB∩BC=B，∴BD⊥面PBC．…解：（2）∵，∴PB⊥BC∵BD⊥PB且BD∩BC=B，∴PB⊥面BCE，∴三棱锥P﹣BEM的体积．…20．已知椭圆的顶点到直线l：y=x的距离分别为．（1）求椭圆C1的离心率；（2）过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C1的两条切线PM和PN分别与圆交于点M，N，求△PMN面积的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的离心率；（2）分类讨论，当一条切线的斜率不存在时，，y P=±1，即可求得△PMN 面积，当切线的斜率存在时，设切线方程，代入椭圆方程，由△=0，由PM⊥PN，MN|=4.，即可求得△PMN面积的最大值．【解答】解：（1）由直线l1的方程知，直线l1与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为，短轴端点到直线l1的距离为，求得，…∴C1的离心率．…（2）设点P（x P，y P），则．（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则，y P=±1，另一切线的斜率为0，从而PM⊥PN．此时，．…（ⅱ）若切线的斜率均存在，则，设过点P的椭圆的切线方程为y﹣y P=k（x﹣x P），，消y并整理得：．依题意△=0，得．设切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，从而，…即PM⊥PN，线段MN为圆O的直径，|MN|=4．所以，当且仅当时，S△PMN取最大值4．综合（ⅰ）（ⅱ）可得：S△PMN取最大值4．…21．已知函数f（x）=xsinx+cosx．（1）当时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间即可；（2）分离参数，问题转化为．令，则，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出k的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，…∴时，f'（x）=xcosx＞0，∴函数f（x）在上是增函数；时，f'（x）=xcosx＜0，∴函数f（x）在上是减函数；…（2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx2+cosx，整理得．令，则，令g（x）=xcosx﹣sinx，g'（x）=﹣xsinx＜0，∴g（x）在上单调递减，∴，即g（x）=xcosx﹣sinx＜0，…∴，即在上单调递减，∴，即．…请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知直线为参数），曲线为参数）．（1）使判断l与C的位置关系；（2）若把曲线C1上个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可得解．（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．【解答】（本题满分为10分）解：（I），…，所以直线与曲线相离．…（II）变化后的曲线方程是设点，…则点到直线的距离是，则最小距离是．…[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣2|（1）解不等式f（x）+g（x）＜2；（2）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，证明：|x﹣2y+1|≤3．【考点】R6：不等式的证明．【分析】（1）分类讨论，解不等式f（x）+g（x）＜2；（2）利用绝对值不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：解不等式|x﹣3|+|x﹣2|＜2．①当x≤2时，原不等式可化为3﹣x+2﹣x＜2，可得．所以．②当2＜x≤3时，原不等式可化为3﹣x+x﹣2＜2，可得1＜2．所以2＜x≤3．③当x≥3时，原不等式可化为x﹣3+x﹣2＜2，可得．所以．由①②③可知，不等式的解集为．…（2）证明：|x﹣2y+1|=|（x﹣3）﹣2（y﹣2）|≤|x﹣3|+2|y﹣2|≤1+2=3．当且仅当时等号成立．…。