优化设计的数学模型
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例如在弹簧优化设计中，往往以结构重量为目标函数。但是，除结构重量之 外，我们还关心其它一些要求，如强度、刚度、安全程度、经济成本、等各项技 术指标。用优化设计的语言来讲，就是多目标优化问题。各目标函数之间往往是 互相影响，互相制约，有时甚至是互相矛盾的，不能同时达到最优解，基至某一 可行点（即一个可行设计方案）对某个目标函数是最优点，而对另一个目标函数 却是劣点。这就需要在各个目标的最优解之间进行协调，相互做出“让步”，以 便取得整体的最优方案。尽管多目标问题比单目标问题要复杂得多，但由于工程 技术等方面的实际需要，产生了强大的推动力，得到了很大发展，提出了不少的 解法。但是，由于多目标问题的复杂性，已有的一些解法还不是十分理想，难于 在实际工程设计中使用，有待于进一步研究探讨并对计算软件进行开发。
1）必须选取设计中最为重要的设计目标作为目标函数。否则，设计将会偏 离目标。
2）目标函数必须是所有设计变量的函数。因为不包含在目标函数内的设计 变量的取值将是任意的，无法评定其优劣。
3）目标函数必须具有一定的灵敏度。既是说，当某一个设计变量变化时， 目标函数应该有较为明显的变化。否则，将难以完成寻优。 （3）多目标问题
我们所说的基因遗传算法（简称 GA），系现如今最通用的优化算法之一。 在 现在能够检索的期刊文献内，通过基因遗传算法实施优化分析的论文，优化算法 研究相关的论文里占据了极大比例。GA 系 1975 年由美国学者 Holland 率先提出 的。基因遗传算法模拟生物进化过程，摒弃传统的搜索手段，针对目标空间，其 运用人工进化手段对其实施随机化的搜索。对于问题域内的可能解，GA 将其视 为群体的染色体或者某个个体，并将每一个个体编为符号串模式，进而模拟遗传 选择和自然淘汰的生物进化过程，使群体反复接受以遗传学为基础的操作，评价 每个个体依据的预定目标是适应度函数，根据进化法则——适者生存和优胜 劣汰，群体不断获得优化，并且搜索模式采用全局并行的模式，进而从优化群体 内搜索出最优的个体，从而将可以满足要求的最优解搜索出来。 3.2.3 优化设计手段的选取
满足所有约束条件的设计方案是可行设计方案，优化设计的任务就是要对各 个设计方案进行比较，从而找出那个最佳的设计方案。而对设计方案进行优劣比 较的标准就是目标函数，或称为评价指标、评价函数。目标函数是反映机械优化 设计过程当中每一个自变量之间的相互联系，目标函数是机械优化设计当中的一 项重要组成部分，可以直接评定一个优化方案的可行性。变量的多少影响着整个 优化过程的难度系数，我们可以将其区分为单一目标函数和多目标函数优化，我 们在优化设计过程当中常见的是多目标函数。目标函数越多，设计的综合效果越 好，可以带来更高的优化设计效益。多函数目标在处理过程当中很可能遇到目标 函数之间相互矛盾，给优化设计带来一定程度的难度。这就要求设计者设计的同 时注意处理各个函数之间的关系。
设计变量从数学意义上讲代表的是一个 维空间 ，每个分量 ������分别代表 n 维 空间的一维。而 X 的任一取值 X’的一个点。而从设计的角度来看，X 是所有可行 设计方案的综合，它构成一个 n 维的设计空间。凡 X 内的任意一点 X’个可行设计 方案。 （2）设计变量的选取
设计变量的选取一般应遵循以下原则： 1）应选取与目标函数有直接或间接联系的，对目标函数有较大影响的变量 作为设计变量。 2）设计变量应该是相互独立的。如果选取不独立的变量作为设计变量，实 际上是令其独立，而丢掉了它们之间的相互关系，优化结果将不符合实际。 3）应尽量选取有实际意义的无因次量作为设计变量。 4）在足以描述设计问题的前提下，应充分分析各设计变量的主次，减少设 计变量的数目，使优化设计问题简化。 （3）设计变量的处理
第三章 优化设计的数学模型 3.1 数学模型的变量形式 3.1.1 设计变量
在优化设计过程当中，存在设计变量，设计变量在优化过程当中必须考虑各 项参数和指标，各项指标的确立有利于设计方案的完成。很多的存在形式都是由 一个个变量组成，设计优化形式也不例外，变量的数值影响着工作当中优化的难 度系数。换言之，就是在具体机械优化设计当中，设计变量的数值变大，分析量 加大，机械优化设计难度也就加大，同时效益性也显著提升，因此在设计变量的 选择时应该注意相应的效益性和复杂性。
为������������������������ ≤ k ≤ ������������������������ ， 即k������������������ ≤ ������������4 /8������3 ������ ≤ ������������������������ G 为弹簧材料的剪切弹性模 量。 5.弹簧螺旋升角约束
从理论上讲，在无约束优化设计问题中，设计变量的变化是连续的，变化区 间可以从负无穷到正无穷。但是在工程实际中，设计变量的变化区间是有限制的。 在由设计变量构成的正交轴系中，以各个设计变量的变化区间所界定的空间称为 探索空间，或称为变量空间。
在同一设计问题中，同时参与优选的各设计变量的数值在量级上可能相差十 分悬殊。例如弹性模量和蒙皮厚度。显然，这样的设计变量在寻优过程中如果都 使用真实值，计算误差对数量级小的变量影响会很大，从而造成失真。为了避免 这种情况的发生，通常将设计变量进行变换，即将设计变量的真实值转换为变量 区间的相对值，使各个设计变量的变化范围均在区间内。这种处理称为设计变量 的标准化。设变量������������的变化区间为[������, ������] ，则在优化设计问题中，可以用������������来取 代������������，而������������的变化区间为 [0,1]。
优化设计中作为目标函数的项目较多，如要求弹簧在满足工作能力条件下， 质量最轻或外廓尺寸最小；或在一定空间的限制下能储存的能量最大或要求动态 性能最好等。目标函数可根据弹簧的工作特点和对它的专门要求来建立。对于气 门弹簧，本文将弹簧体积（即重量）最小作为最优化设计的目标。 3.1.3 约束条件
从纯数学的角度讲，存在无约束优化问题，而且在优化设计课程中，无约束 优化问题是约束优化问题的基础。但是在工程实际中，任何一个设计几乎都是有 限制条件的。这些限制条件在优化设计中称为约束条件。只有满足所有约束条件 的设计方案才是可行方案。
5° ≤ α ≤ 9° 6.弹簧的旋绕比的约束
旋绕比 C 是衡量弹簧曲率的重要参数，过大会使弹簧过软产生颤动；过小
又会使弹簧丝卷困难， 4 ≤ C ≤ 14。 即 ： D − 14d ≤ 0 . 4d − D ≤ 0。
7.弹簧行程约束
弹簧应满足极限行程的要求，即p ≥ d + ������ + ������,p = πD tan ������。δ为极限行程时，
（1）确定目标函数
确定评价设计方案优劣的指标是优化设计的重要决策，它直接影响到优化设 计结果的实际价值。
在确定评价指标时，应该对设计问题的任务、设计问题的特点、设计进程的 不同阶段可能达到的标准等进行分析，找到设计问题的主要目标，并以此为依据 确定目标函数。当设计问题中存在几个并重的目标要追求时，应该设立多个目标 函数，该类问题称为多目标优化问题。它比单目标优化更为复杂。 （2）建立目标函数应注意的问题
所谓无约束化优化设计，也就是无约束函数的优化设计。其设计法包含坐标 轮换法、牛顿法、梯度法、单纯形法、共扼方向法、变尺度法等。在寻找最优活 动中，有无采取到目标函数的性态，系区分于无约束优化设计内的直接、间接法 的标准。此法的优势有稳定性佳以及计算效率高等特征。 2 有约束优化设计法
关于机械优化，大多情况下是指有约束优化问题，根据其解决约束条件时， 使用手段的不同，将其划分成直接法与间接法。(1)直接法，最常用的有约束坐标 轮换法、复合形法及网络法等。它的内涵系构建一迭代过程， 令每一次的迭代 点皆置于可行域内，且一步步的减少目标的函数值，直至找出最优解。(2)间接法， 最为常见的是增广拉式乘子法和罚函数法。它是将约束优化问题转化为无约束优 化问题，然后通过无约束优化手段进行求解。或者是将具有非线性的约束优化问 题转换成为线性的规划问题实施处理。 3 基因遗传算法
某些结论，一步步产生具有特点的优化方法，它的内容涉及到物理学、统计力学、
数学、生物学、神经学、人工智能等。
3.2.2 优化设计手段的分类
以上对优化设计的部分方法进行了全面的阐述， 都分别拥有其自身独特的
特征。下面对上述内容做归纳总结， 概括为以下几类， 现重点阐述这几类的特
质。 1 无约束优化设计法
机械优化领域的设计灵魂即是优化设计方法，伴随计算机技术及数学科学迅
速发展，解析法、数值分析法及非数值分析法为其所发展经历的三个阶段。20 世 纪的 50 年代初，最优化问题的两种最主要的数学方法是，古典的变分法与微分
法。此两种手段具计算精准及概念清晰的主要特征，可是，不足之处是仅限于解
决一些小型或是特殊问题， 于处理大型的实际问题之时，因过大的计算量，无
因此，在实际的优化设计计算中，使用的是设计变量 ���̅̅������̅���={������������1, ������������2 ⋯ ������������������}������
设计弹簧时，除选择材料及规定来自百度文库处理要求外，主要是根据最大工作载荷、 最大变形以及结构要求等来确定弹簧的钢丝直径 d、中径 D、工作圈数 n、节距 t 或螺旋升角 α 和高度 H 等。通常取弹簧的钢丝直径 d，弹簧的中径 D，工 作圈数 n 和螺旋升角α为最优化设计的设计变量。 3.1.2 目标函数
形中增加了计算的难度。
20 世纪 50 年代末，于优化设计中，其求优方法的理论基础即是数学规划手 段。该方法是以数值分析为前提，结合已知的信息及条件，最后通过一连串的迭
代过程得出问题最优解。但是其相关的理论还是比较简单的，计算的过程亦相对
容易，只是计算的量极其大，可是此亦正是计算机所有工作中最为擅长的一项，
对于优化设计，方案是用一组参数来表达的。这些参数中，有些是给定的， 称为已知量。另一些是要在设计中确定的，也就是说要设计的，称为设计变量。 设计变量是能够用来描述结构方案特征的独立变量。 （1）设计变量的表达方式
设计变量通常用������1������2������3⋯������������表示，它们构成一个 n 维的列向量 X，即： X = {������1������2������3⋯������������}������
约束条件是设计变量之间和设计本身应该遵循限制条件。优化设计是根据数 学模型进行相关优化分析的，所以在优化过程当中应该进行分类，可将优化设计 方法分成显限制和隐限制两种，显限制是对优化设计当中设计变量的直接限制， 隐限制是对设计变量之间的间接限制，优化设计的过程就是通过限制因素找出优 秀的设计变量，使目标函数在设计过程当中达到优化值。
������
相邻两弹簧丝的间隙，通常取 δ ≥0.1d ， λ为极限行程， 所以有： 1.1d + λ −
n
πD tan α ≤ 0
8.弹簧安装空间的约束
3.2 优化设计方法 3.2.1 优化设计手段的论述
������������������������ − (������ + ������) ≤ 0
当然，计算机也就归为了数值优化措施工具中最关键的那一类。于此期间内，出
现了许多的优化算法，在这样些优化算法中，正常情况下用常用和效果好的优化
算法包括：可行方向法及罚函数法、随机方向法、简约梯度法、复合形法、 约
束变尺度法等。
20 世纪 80 年代末，如模拟退火，进化规划、混沌、人工神经网络、遗传算 法及禁忌搜索等一些优化方法层出不穷，上述算法经模拟自然现象及规律而获得
弹簧约束条件一般有强度约束、刚度约束、振动稳定性约束及弹簧尺寸约束 等。约束条件可根据弹簧功能的要求和结构限制列出： 1.剪切强度约束条件
8������������ ������������������������ = ������ ������ ������3 式中：������������������������ 为弹簧丝截面上的最大切应力； k 为弹簧的曲度系数。 2.弹簧的疲劳强度约束条件 为了使设计的弹簧满足一定的疲劳强度，这里要求设计的弹簧疲劳安全系 必须大于要求的最小疲劳安全系数，即S ≥ ������������������������ = 1.2。 3.弹簧的共振约束条件 为了防止在工作中产生共振现象，要求设计的弹簧自振频率������ 应该远离工作 频率������������。 4.弹簧的刚度约束条件 弹簧刚度计算就是要求出满足变形量要求的弹簧圈数。弹簧刚度的满足条件
1）必须选取设计中最为重要的设计目标作为目标函数。否则，设计将会偏 离目标。
2）目标函数必须是所有设计变量的函数。因为不包含在目标函数内的设计 变量的取值将是任意的，无法评定其优劣。
3）目标函数必须具有一定的灵敏度。既是说，当某一个设计变量变化时， 目标函数应该有较为明显的变化。否则，将难以完成寻优。 （3）多目标问题
我们所说的基因遗传算法（简称 GA），系现如今最通用的优化算法之一。 在 现在能够检索的期刊文献内，通过基因遗传算法实施优化分析的论文，优化算法 研究相关的论文里占据了极大比例。GA 系 1975 年由美国学者 Holland 率先提出 的。基因遗传算法模拟生物进化过程，摒弃传统的搜索手段，针对目标空间，其 运用人工进化手段对其实施随机化的搜索。对于问题域内的可能解，GA 将其视 为群体的染色体或者某个个体，并将每一个个体编为符号串模式，进而模拟遗传 选择和自然淘汰的生物进化过程，使群体反复接受以遗传学为基础的操作，评价 每个个体依据的预定目标是适应度函数，根据进化法则——适者生存和优胜 劣汰，群体不断获得优化，并且搜索模式采用全局并行的模式，进而从优化群体 内搜索出最优的个体，从而将可以满足要求的最优解搜索出来。 3.2.3 优化设计手段的选取
满足所有约束条件的设计方案是可行设计方案，优化设计的任务就是要对各 个设计方案进行比较，从而找出那个最佳的设计方案。而对设计方案进行优劣比 较的标准就是目标函数，或称为评价指标、评价函数。目标函数是反映机械优化 设计过程当中每一个自变量之间的相互联系，目标函数是机械优化设计当中的一 项重要组成部分，可以直接评定一个优化方案的可行性。变量的多少影响着整个 优化过程的难度系数，我们可以将其区分为单一目标函数和多目标函数优化，我 们在优化设计过程当中常见的是多目标函数。目标函数越多，设计的综合效果越 好，可以带来更高的优化设计效益。多函数目标在处理过程当中很可能遇到目标 函数之间相互矛盾，给优化设计带来一定程度的难度。这就要求设计者设计的同 时注意处理各个函数之间的关系。
设计变量从数学意义上讲代表的是一个 维空间 ，每个分量 ������分别代表 n 维 空间的一维。而 X 的任一取值 X’的一个点。而从设计的角度来看，X 是所有可行 设计方案的综合，它构成一个 n 维的设计空间。凡 X 内的任意一点 X’个可行设计 方案。 （2）设计变量的选取
设计变量的选取一般应遵循以下原则： 1）应选取与目标函数有直接或间接联系的，对目标函数有较大影响的变量 作为设计变量。 2）设计变量应该是相互独立的。如果选取不独立的变量作为设计变量，实 际上是令其独立，而丢掉了它们之间的相互关系，优化结果将不符合实际。 3）应尽量选取有实际意义的无因次量作为设计变量。 4）在足以描述设计问题的前提下，应充分分析各设计变量的主次，减少设 计变量的数目，使优化设计问题简化。 （3）设计变量的处理
第三章 优化设计的数学模型 3.1 数学模型的变量形式 3.1.1 设计变量
在优化设计过程当中，存在设计变量，设计变量在优化过程当中必须考虑各 项参数和指标，各项指标的确立有利于设计方案的完成。很多的存在形式都是由 一个个变量组成，设计优化形式也不例外，变量的数值影响着工作当中优化的难 度系数。换言之，就是在具体机械优化设计当中，设计变量的数值变大，分析量 加大，机械优化设计难度也就加大，同时效益性也显著提升，因此在设计变量的 选择时应该注意相应的效益性和复杂性。
为������������������������ ≤ k ≤ ������������������������ ， 即k������������������ ≤ ������������4 /8������3 ������ ≤ ������������������������ G 为弹簧材料的剪切弹性模 量。 5.弹簧螺旋升角约束
从理论上讲，在无约束优化设计问题中，设计变量的变化是连续的，变化区 间可以从负无穷到正无穷。但是在工程实际中，设计变量的变化区间是有限制的。 在由设计变量构成的正交轴系中，以各个设计变量的变化区间所界定的空间称为 探索空间，或称为变量空间。
在同一设计问题中，同时参与优选的各设计变量的数值在量级上可能相差十 分悬殊。例如弹性模量和蒙皮厚度。显然，这样的设计变量在寻优过程中如果都 使用真实值，计算误差对数量级小的变量影响会很大，从而造成失真。为了避免 这种情况的发生，通常将设计变量进行变换，即将设计变量的真实值转换为变量 区间的相对值，使各个设计变量的变化范围均在区间内。这种处理称为设计变量 的标准化。设变量������������的变化区间为[������, ������] ，则在优化设计问题中，可以用������������来取 代������������，而������������的变化区间为 [0,1]。
优化设计中作为目标函数的项目较多，如要求弹簧在满足工作能力条件下， 质量最轻或外廓尺寸最小；或在一定空间的限制下能储存的能量最大或要求动态 性能最好等。目标函数可根据弹簧的工作特点和对它的专门要求来建立。对于气 门弹簧，本文将弹簧体积（即重量）最小作为最优化设计的目标。 3.1.3 约束条件
从纯数学的角度讲，存在无约束优化问题，而且在优化设计课程中，无约束 优化问题是约束优化问题的基础。但是在工程实际中，任何一个设计几乎都是有 限制条件的。这些限制条件在优化设计中称为约束条件。只有满足所有约束条件 的设计方案才是可行方案。
5° ≤ α ≤ 9° 6.弹簧的旋绕比的约束
旋绕比 C 是衡量弹簧曲率的重要参数，过大会使弹簧过软产生颤动；过小
又会使弹簧丝卷困难， 4 ≤ C ≤ 14。 即 ： D − 14d ≤ 0 . 4d − D ≤ 0。
7.弹簧行程约束
弹簧应满足极限行程的要求，即p ≥ d + ������ + ������,p = πD tan ������。δ为极限行程时，
（1）确定目标函数
确定评价设计方案优劣的指标是优化设计的重要决策，它直接影响到优化设 计结果的实际价值。
在确定评价指标时，应该对设计问题的任务、设计问题的特点、设计进程的 不同阶段可能达到的标准等进行分析，找到设计问题的主要目标，并以此为依据 确定目标函数。当设计问题中存在几个并重的目标要追求时，应该设立多个目标 函数，该类问题称为多目标优化问题。它比单目标优化更为复杂。 （2）建立目标函数应注意的问题
所谓无约束化优化设计，也就是无约束函数的优化设计。其设计法包含坐标 轮换法、牛顿法、梯度法、单纯形法、共扼方向法、变尺度法等。在寻找最优活 动中，有无采取到目标函数的性态，系区分于无约束优化设计内的直接、间接法 的标准。此法的优势有稳定性佳以及计算效率高等特征。 2 有约束优化设计法
关于机械优化，大多情况下是指有约束优化问题，根据其解决约束条件时， 使用手段的不同，将其划分成直接法与间接法。(1)直接法，最常用的有约束坐标 轮换法、复合形法及网络法等。它的内涵系构建一迭代过程， 令每一次的迭代 点皆置于可行域内，且一步步的减少目标的函数值，直至找出最优解。(2)间接法， 最为常见的是增广拉式乘子法和罚函数法。它是将约束优化问题转化为无约束优 化问题，然后通过无约束优化手段进行求解。或者是将具有非线性的约束优化问 题转换成为线性的规划问题实施处理。 3 基因遗传算法
某些结论，一步步产生具有特点的优化方法，它的内容涉及到物理学、统计力学、
数学、生物学、神经学、人工智能等。
3.2.2 优化设计手段的分类
以上对优化设计的部分方法进行了全面的阐述， 都分别拥有其自身独特的
特征。下面对上述内容做归纳总结， 概括为以下几类， 现重点阐述这几类的特
质。 1 无约束优化设计法
机械优化领域的设计灵魂即是优化设计方法，伴随计算机技术及数学科学迅
速发展，解析法、数值分析法及非数值分析法为其所发展经历的三个阶段。20 世 纪的 50 年代初，最优化问题的两种最主要的数学方法是，古典的变分法与微分
法。此两种手段具计算精准及概念清晰的主要特征，可是，不足之处是仅限于解
决一些小型或是特殊问题， 于处理大型的实际问题之时，因过大的计算量，无
因此，在实际的优化设计计算中，使用的是设计变量 ���̅̅������̅���={������������1, ������������2 ⋯ ������������������}������
设计弹簧时，除选择材料及规定来自百度文库处理要求外，主要是根据最大工作载荷、 最大变形以及结构要求等来确定弹簧的钢丝直径 d、中径 D、工作圈数 n、节距 t 或螺旋升角 α 和高度 H 等。通常取弹簧的钢丝直径 d，弹簧的中径 D，工 作圈数 n 和螺旋升角α为最优化设计的设计变量。 3.1.2 目标函数
形中增加了计算的难度。
20 世纪 50 年代末，于优化设计中，其求优方法的理论基础即是数学规划手 段。该方法是以数值分析为前提，结合已知的信息及条件，最后通过一连串的迭
代过程得出问题最优解。但是其相关的理论还是比较简单的，计算的过程亦相对
容易，只是计算的量极其大，可是此亦正是计算机所有工作中最为擅长的一项，
对于优化设计，方案是用一组参数来表达的。这些参数中，有些是给定的， 称为已知量。另一些是要在设计中确定的，也就是说要设计的，称为设计变量。 设计变量是能够用来描述结构方案特征的独立变量。 （1）设计变量的表达方式
设计变量通常用������1������2������3⋯������������表示，它们构成一个 n 维的列向量 X，即： X = {������1������2������3⋯������������}������
约束条件是设计变量之间和设计本身应该遵循限制条件。优化设计是根据数 学模型进行相关优化分析的，所以在优化过程当中应该进行分类，可将优化设计 方法分成显限制和隐限制两种，显限制是对优化设计当中设计变量的直接限制， 隐限制是对设计变量之间的间接限制，优化设计的过程就是通过限制因素找出优 秀的设计变量，使目标函数在设计过程当中达到优化值。
������
相邻两弹簧丝的间隙，通常取 δ ≥0.1d ， λ为极限行程， 所以有： 1.1d + λ −
n
πD tan α ≤ 0
8.弹簧安装空间的约束
3.2 优化设计方法 3.2.1 优化设计手段的论述
������������������������ − (������ + ������) ≤ 0
当然，计算机也就归为了数值优化措施工具中最关键的那一类。于此期间内，出
现了许多的优化算法，在这样些优化算法中，正常情况下用常用和效果好的优化
算法包括：可行方向法及罚函数法、随机方向法、简约梯度法、复合形法、 约
束变尺度法等。
20 世纪 80 年代末，如模拟退火，进化规划、混沌、人工神经网络、遗传算 法及禁忌搜索等一些优化方法层出不穷，上述算法经模拟自然现象及规律而获得
弹簧约束条件一般有强度约束、刚度约束、振动稳定性约束及弹簧尺寸约束 等。约束条件可根据弹簧功能的要求和结构限制列出： 1.剪切强度约束条件
8������������ ������������������������ = ������ ������ ������3 式中：������������������������ 为弹簧丝截面上的最大切应力； k 为弹簧的曲度系数。 2.弹簧的疲劳强度约束条件 为了使设计的弹簧满足一定的疲劳强度，这里要求设计的弹簧疲劳安全系 必须大于要求的最小疲劳安全系数，即S ≥ ������������������������ = 1.2。 3.弹簧的共振约束条件 为了防止在工作中产生共振现象，要求设计的弹簧自振频率������ 应该远离工作 频率������������。 4.弹簧的刚度约束条件 弹簧刚度计算就是要求出满足变形量要求的弹簧圈数。弹簧刚度的满足条件