带电粒子在重力场和磁场中运动问题的研究
粒子在磁场中的轨迹与运动
粒子在磁场中的轨迹与运动粒子在磁场中的轨迹与运动是物理学中一个非常有趣且重要的研究领域。
磁场是由物质中带电粒子的运动所产生的，通过在磁场中观察粒子的轨迹和运动规律，我们可以深入了解物质的性质和粒子的行为。
本文将探讨粒子在磁场中的轨迹和运动的一些基本原理和现象。
1. 磁场的作用力粒子在磁场中受到的作用力被称为洛伦兹力，它的方向垂直于粒子的速度和磁场方向。
根据右手定则，当粒子的电荷为正电荷时，洛伦兹力的方向沿着速度和磁场之间的夹角旋转；当粒子的电荷为负电荷时，洛伦兹力的方向则相反。
这种洛伦兹力的作用导致粒子在磁场中产生弯曲的轨迹。
2. 粒子轨迹的圆弧特性当粒子在磁场中做匀速直线运动时，它将受到一个垂直于运动方向的洛伦兹力，导致它在磁场中做圆形轨迹。
这种轨迹被称为霍尔效应，常见于半导体和金属中的电子运动。
通过测量粒子在磁场中的运动轨迹，我们可以推断出粒子的电荷和质量等重要参数。
3. 粒子在磁场中的螺线运动当粒子的速度不再是匀速直线运动时，它的轨迹会变得更加复杂。
当粒子的速度具有垂直于磁场方向的分量时，它在磁场中的轨迹将变为螺旋线。
这种螺旋线的运动被称为库仑螺旋运动，它在粒子加速器和等离子体物理等领域有广泛的应用。
4. 粒子在磁场中的散射现象粒子在磁场中的轨迹和运动还包含了一种重要的现象，即散射。
当带电粒子穿过磁场时，它将与磁场中的粒子或物质发生相互作用，导致它的轨迹发生偏转或散射。
这种粒子的散射现象在核物理学和高能物理学中经常被用来研究粒子之间的相互作用和粒子的性质。
5. 粒子在磁场中的稳定轨道当粒子的速度和磁场方向相互平行时，它将在磁场中形成一个稳定的轨道。
这种稳定的轨道被称为磁镜轨道，它类似于行星在太阳重力场中的轨道运动。
磁镜轨道在等离子体物理和磁约束聚变等领域有重要的应用，可以帮助控制粒子的运动和能量损失。
总结起来，粒子在磁场中的轨迹和运动是一个复杂而有趣的研究领域。
通过观察粒子在磁场中的运动规律，我们可以深入了解物质的性质和粒子的行为。
等效法处理带电粒子在电场和重力场中的运动
度垂直时，速度最小.设F合与竖直方向夹角为θ，
则 tan θ＝mEqg＝43，则 θ＝37°，故 F 合＝sinE3q7°＝54mg.
设此时的速度为 v，由于合力恰好提供小球圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：5m4 g＝mvR2
解得 v＝
5gR 4
从A点到该点由动能定理：
－mgR(1＋cos 37°)－3m4gR(13＋sin 37°)＝12mv2－12mv02 解得 v0＝25 gR
答案
3 4h
解析 剪断细线，小球在竖直方向做自由落体运动，水平方向做加速度为a的
匀加速运动，
由Eq＝ma x＝12at2 h＝12gt2 联立解得：x＝43h
(3)现将细线剪断，带电小球落地前瞬间的动能.
答案
25 16mgh
解析 从剪断细线到落地瞬间，由动能定理得：Ek＝mgh＋qEx＝2156mgh.
最高点
mg
重力场 竖直面内
E 最高点
最低点 重力场、电场 光滑地面上 mg=FN qE为等效重力 qE=mv2/R
E 最高点
最低点 重力场、电场 光滑地面上
题型二 用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动能力考点 师生共研
1.等效重力法
将重力与电场力进行合成，如图3所示，则F合为等效重力场中
专题解读
1.本专题主要讲解带电粒子(带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合 运用，高考常以计算题出现.
2.学好本专题，可以加深对动力学和能量知识的理解，能灵活应用受力分析、 运动分析(特别是平抛运动、圆周运动等曲线运动)的方法与技巧，熟练应用 能量观点解题.
3.用到的知识：受力分析、运动分析、能量观点.
题型三 电场中的力电综合问题
带电粒子在复合场中的运动问题
【正确解答】 粒子在磁场中的运动为匀速圆周运动,在电场中的运动为匀变速 直线运动.画出粒子运动的过程草图10-19.根据这张图可知粒子在 磁场中运动半个周期后第一次通过x轴进入电场,做匀减速运动至速 度为零,再反方向做匀加速直线运动,以原来的速度大小反方向进入 磁场.这就是第二次进入磁场,接着粒子在磁场中做圆周运动,半个 周期后第三次通过x轴.
2,带电粒子在复合场中的运动情况: ,带电粒子在复合场中的运动情况: 1)直线运动: )直线运动: 常见的情况有: 常见的情况有: 洛伦兹力为零( 平行), ①洛伦兹力为零(即V与B平行),重力与电场力平 与 平行),重力与电场力平 衡时,做匀速直线运动; 衡时,做匀速直线运动;合外力恒定时做匀变速直 线运动. 线运动. ②洛伦兹力与V垂直,且与重力和电场力的合力 洛伦兹力与 垂直, 垂直 或其中的一个力)平衡,做匀速直线运动. (或其中的一个力)平衡,做匀速直线运动. 2)圆周运动: )圆周运动: 当带电粒子所受到合外力充当向心力时, 当带电粒子所受到合外力充当向心力时,带电粒子 做匀速圆周运动. 做匀速圆周运动.此时一般情况下是重力恰好与电 场力平衡,洛伦兹力充当向心力. 场力平衡,洛伦兹力充当向心力. 3)一般的曲线运动: )一般的曲线运动: 当带电粒子所受的合力在大小,方向均不断变化时, 当带电粒子所受的合力在大小,方向均不断变化时, 则粒子将做非匀变速曲线运动. 则粒子将做非匀变速曲线运动.
解:不妨假设设小球带正电(带负电时电场力和洛伦兹力 都将反向,结论相同).刚释放时小球受重力,电场力, 弹力,摩擦力作用,向下加速;开始运动后又受到洛伦兹 力作用,弹力,摩擦力开始减小;当洛伦兹力等于电场力 时加速度最大为g.随着v的增大,洛伦兹力大于电场力, 弹力方向变为向右,且不断增大,摩擦力随着增大,加速 度减小,当摩擦力和重力大小相等时,小球速度达到最大.
粒子在互相垂直电场磁场及重力场中的运动轨迹
粒子作圆周运动的圆心坐标：
y0=Rsinθ=
m qB
(V0z+
E B
)
z0=- Rsinθ=-
m qB
(V0y+
mg qB
)
则由几何知识可得在任一时刻 t，粒子在圆周上的位置
坐标为：
y'=2Rsin
ωt 2
cos(θ-
ωt 2
)
z'=2Rsin ωt sin(θ- ωt )
2
2
通过以上分析可得在直角坐标系 O— ——xyz 中任一时
面讨论几种特殊情况：
（1）若初速度为零.即V軑0=0，其轨迹为：
y=
mE qB2
+ mg qB
t+Rsin(ωt- θ)
z=
m2g q2B2
-
E B
t+Rcos(ωt- θ)
即：(y-
mE qB2
-
mg qB
t)2+
(z-
m2g q2B2
t)2=R2 很显然轨迹是一个
圆心在 yoz 平面内作匀速直线运动的圆.
当于由于只受洛仑兹力F軋=qV軑 '0×B軑，粒子以速度V軑 '0=(V0y-
mg qB
)軆j
+(V0z+
E B
)k軋=V'y軆j +V'kk軋在
yoz 平面内作匀速圆周运动.且
其圆心沿
y 轴以速度
Vy1=
mg qB
，沿
- z 轴以速度
Vz1=
E B
作匀
速直线运动.若只分析圆周运动，则有：
粒子在 yoz 平面内作圆周运动的速度大小和与 y 轴方
高中物理教学论文 关于带电粒子在磁场中运动的讨论 新人教版
关于带电粒子在磁场中运动的问题纵观近几年高考题可以看出涉及本章知识试题侧重考察带电粒子在磁场和电场、磁场和重力场以及磁场、电场、重力场中有关运动问题，大多是综合性试题。
分析比较近三年高考可以看出，由于带电粒子在复合场中的运动问题覆盖考点较多，综合性强，难度大，有利于提高区分度，磁场相关内容仍然是高考一个热点，预计这类热点仍将持续一段时间。
一．带电粒子在匀强磁场中的运动：(我们只限于讨论带电粒子垂直于匀B 强磁场运动运动的情况)1．基本思路：洛仑兹力提供向心力。
qBmqB m qB m v r rv m qvB ππ运动的周期为所以运动的轨道半径为2v r 2T 2E qB P,k 2====== 2．处理问题的要点：⑴圆心的确定：据圆周运动的特点可知：圆心一定在与速度垂直的直线上，一定在圆中一条弦的中垂线上。
例如：A ．已知入射方向和出射方向，则两点速度方向的垂线交点即为圆心位置。
B ．入射点的速度方向和一条弦，则做速度方向的垂线与这条弦的中垂线的交点即为其圆心位置。
⑵半径的确定与计算：利用平面几何知识可确定半径。
例右图㈠所示，带电正粒子从长为L 的两板正中央垂直于匀强磁场进入，已知两板间距为d ，则由几何知识可求得粒子在磁场中运动的半径为：dd L r 4422+=注意以下特点：圆心角等于弦切角的2倍，圆心角等于偏向角α⑶粒子在磁场中运动时间的计算：时间。
T 2t T 3600πθ，或θ=⨯=t 3．处理带电粒子在磁场中的运动问题的方法：一般是先确定运动的圆心位置，然后据题意画出运动的轨迹，再找出B 、r 、v 间的联系，弦切角β、圆心角θ与时间的关系和运动时间跟周期的联系，最后列方程求解。
例题1 在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。
如图㈢所示。
一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以v 沿－x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿＋y 方向飞出。
高中物理竞赛带电粒子在电磁场中的运动知识点讲解
高中物理竞赛带电粒子在电磁场中的运动知识点讲解要点讲解学习这部分知识，首先要清楚重力场、电场和磁场对带电粒子的作用的性质，以及重力场、电场和磁场对带电粒子作用力的区别：只要带电粒子处于重力场中，就一定会受到重力，而且带电粒子所受重力一定是恒力；只要带电粒子处于电场中，就一定分受到电场力，而且，如果电场是匀强电场，那么带电粒子所受电场力一定是恒力；在磁场中，只有带电粒子运动才可能受到洛仑兹力作用，只有带电粒子的运动方向不与磁场方向平行，带电粒子才一定受到洛仑兹力作用。
同时，要注意，洛仑兹力的方向与带电粒子的运动方向垂直，这就意味着，作曲线运动的带电粒子所受的洛仑兹力是变力。
重力、电场力对带电粒子作功；而洛仑兹力对带电粒不作功。
因此，在很多情况下，需要从能量变化的角度考虑问题。
【例题分析】例1．用轻质绝缘细线把带负电的小球悬挂在O点，在没有磁场时，小球在竖直平面内AB之间来回摆动，当小球经过悬点正下方时悬线对小球的拉力为。
现在小球摆动的空间加上方向垂直纸面向外的磁场，如图11-4-1所示，此时小球仍AB之间来回摆动，用表示小球从A向B摆经过悬点正下方时悬线的拉力，用表示小球从B向A 摆经过悬点正下时悬线的拉力。
则（A）（B）（C）（D）分析：带电小球在最低点的受力情况，由于小球做圆周运动，根据牛顿运动定律便可求解。
解：在没有磁场时，小球在悬点正下方时受两个力：拉力和重力mg。
根据牛顿第二定律，有式中V为小球过悬点正下方时的速率，L为摆长，所以小球摆动区加了如图11-4-1示的磁场后，小球摆动的过程中还受洛仑兹力的作用，因洛仑兹力方向和小球运动方向垂直，不改变小球到达悬点正下方的速率V，但小球在悬点正下方时除受悬线拉力和重力外还受洛仑兹力f.当小球由A向B摆动时，f的方向左手定则判断是沿悬线向下，根据牛顿第二定律，小球在悬点正下方时有得当球从B向A摆动经悬点正下方时，洛仑兹力的方向是沿悬线向上，根据牛顿第二定律可得结果是因此（B）选项是正确的。
带电粒子在电场重力场中运动
带电粒子在复合场中运动模型例析教学目标：带电粒子的运动问题是高考的一个考查热点，本节课主要是复习带电粒子在复合场中的运动，通过例题的讲解和习题的训练，要求学生能将力学中的研究方法，灵活地迁移到复合场中，分析解决力、电综合问题．教学重点：要用力和运动的观点来分析带电体的运动模型，同时也要体会用功和能的观点列式求解的简捷．复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或其中某两场并存，或分区域存在。
带电粒子在复合场中运动，物理情景比较复杂，是每年高考命题的热点；这部分内容从本质上讲是一个力学问题，应根据力学问题的研究思路和运用力学的基本规律求解。
笔者对带电粒子在复合场中运动的基本类型和解法归纳如下，供同学们学习时参考。
一：求解带电粒子在复合场中运动的基本思路1：带电粒子在电场中的运动问题，实质是力学问题，其解题的一般步骤仍然为： 2：确定研究对象；3：进行受力分析（注意重力是否能忽略）；4：根据粒子的运动情况，运用牛顿运动定律结合运动学公式、动能定理或能量关系列方程式求解． 二：带电粒子在复合场中运动的受力特点（1）重力的大小为，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与始末位置的高度差有关。
（2）电场力的大小为，方向与电场强度E 及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与始末位置的电势差有关。
重力、电场力可能做功而引起带电粒子能量的转化。
三：带电粒子在复合场中运动的物理模型类型一：带电粒子在复合场中的直线运动1、当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止．2、当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动 例1例2：18、安徽省利辛二中2010届高三上学期第四次月考如图，一带负电的()()2202202sin c 12os cos cos tan sin tan 2,2sin co ,os s c qE mg mgE q d l U mgl q gl v Ed qE ma a g A D l v v ax x v αααααααααα-粒子在两板间运动时受到电场力和重力的作用，粒子在竖直方向平衡有＝得＝由图中几何关系＝则两板间的电压＝＝水平方向有＝得＝从到过程中微粒做匀减速直线运动有－＝－其中＝＝解得解析：xV 。
带电体在电磁场中的受力分析和运动分析
带电粒子在电磁场中的受力分析和运动分析一、带电粒子在电场中的受力分析和运动分析1、静电场中的平衡问题静电场中的“平衡”问题，是指带电粒子的加速度为零的静止或匀速直线运动状态，都属于“静力学”的范畴，我们只是在分析带电粒子所受的重力、弹力、摩擦力等力时，还需多加一种电场力而已。
解题的一般程序为：明确研究对象；将研究对象隔离出来，分析其所受的全部外力，其中电场力，要根据电荷的正负及电场的方向来判断；根据平衡条件0=合F 或0,0x ==Y F F 列出方程；解方程求出结果。
2、电场中的加速问题带电粒子在匀强电场中的加速问题，一般属于粒子受到恒力（重力一般不计）作用的运动问题。
处理的方法有两种：根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解；根据动能定理与电场力做功结合运动学公式求解。
在非匀强电场中的加速问题，一般属于物粒子受变力作用的运动问题。
处理的方法只能根据动能定理与电场力做功，结合运动学公式求解。
3、电场中的偏转问题受力及运动分析：带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后，受到恒定的电场力作用，且与初速度方向垂直，因而做匀变速曲线运动——类平抛运动如1（设极板间的电压为U ，两极板间的距离为d ，极板长度为L ）。
运动特点分析：在垂直电场方向做匀速直线运动 0v v x = ，t v x 0=在平行电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动at v y =，221at y =， dmUq m Eq a == 通过电场区的时间：0v L t = 粒子通过电场区的侧移距离：2022mdv UqL y = 图1粒子通过电场区偏转角：20mdv UqL tg =θ 带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。
所以侧移距离也可表示为：θtg L y 2= 。
4、粒子在交变电场中的往复运动当电场强度发生变化时，由于带电粒子在电场中的受力将发生变化，从而使粒子的运动状态发生相应的变化，粒子表现出来的运动形式可能是单向变速直线运动，也可能是变速往复运动。
高中物理基础知识及例题(学案) 带电粒子在重力场与电场中的运动
带电粒子在重力场与电场中的运动[学习目标] 1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的直线运动问题.2.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的类平抛运动问题和圆周运动问题．一、带电粒子在复合场中的直线运动讨论带电粒子在复合场中做直线运动(加速或减速)的方法(1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式．当带电粒子所受合力为恒力，且与速度方向共线时，粒子做匀变速直线运动，若题目涉及运动时间，优先考虑牛顿运动定律、运动学公式．在重力场和电场叠加场中的匀变速直线运动，亦可以分解为重力方向上、静电力方向上的直线运动来处理．(2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律．若题中已知量和所求量涉及功和能量，那么应优先考虑动能定理、能量守恒定律．例1如图所示，水平放置的平行板电容器的两极板M、N接直流电源，两极板间的距离为L＝15 cm.上极板M的中央有一小孔A，在A的正上方h处的B点有一小油滴自由落下．已知带正电小油滴的电荷量q＝3.5×10－14C、质量m＝3.0×10－9kg.当小油滴即将落到下极板时速度恰好为零．两极板间的电势差U＝6×105 V．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)(1)两极板间的电场强度E的大小为多少？(2)设平行板电容器的电容C＝4.0×10－12 F，则该电容器所带电荷量Q是多少？(3)B点在A点正上方的高度h是多少？针对训练1(多选)如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一恒压直流电源相连．若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子()A．所受重力与静电力平衡B．电势能逐渐增加C．动能逐渐增加D．做匀变速直线运动二、带电粒子的类平抛运动带电粒子在电场中的类平抛运动的处理方法：1．运动分解的方法：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在这两个方向上分别列运动学方程或牛顿第二定律．2．利用功能关系和动能定理分析：(1)功能关系：静电力做功等于电势能的减少量，W电＝E p1－E p2.(2)动能定理：合力做功等于动能的变化，W＝E k2－E k1.例2如图所示，空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q＞0)，A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t，B从O点到达P点所用时间为t2.重力加速度为g，求：(1)电场强度E的大小；(2)B运动到P点时的动能；(3)OP间的电势差U OP的大小．针对训练2(多选)如图所示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球，从平行金属板左侧中点以相同的初速度v0垂直于电场方向进入板间匀强电场，最后落在A、B、C 三点，可以判断()A．落到A点的小球带正电，落到B点的小球不带电，落到C点的小球带负电B．三个小球在电场中运动的时间相等C．三个小球到达极板时的动能关系为E k C＞E k B＞E k AD．三个小球在电场中运动时的加速度关系为a A＜a B＜a C三、带电粒子在电场(复合场)中的圆周运动解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和静电力的合力，也有可能是单独的静电力．例3(多选)(2022·广州市高二期末)如图所示，在竖直放置的半径为R的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O处固定一点电荷，将质量为m，带电荷量为＋q的小球从圆弧管的水平直径端点A由静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力．已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A．O处固定的点电荷带负电B．小球滑到最低点B时的速率为2gRC．B点处的电场强度大小为2mg qD．小球不能到达光滑半圆弧绝缘细管水平直径的另一端点C例4(2021·六安市高二期中)如图所示，一个竖直放置的半径为R的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度为E，有一质量为m、电荷量为q的带正电荷的空心小球套在环上，并且Eq＝mg.(1)当小球由静止开始从环的顶端A 下滑14圆弧长到位置B 时，小球的速度为多少？环对小球的压力为多大？(2)小球从环的顶端A 滑至底端C 的过程中，小球在何处速度最大？最大速度为多少？专题强化5 带电粒子在重力场与电场中的运动探究重点 提升素养例1 (1)4×106 V/m (2)2.4×10－6 C (3)0.55 m解析 (1)由匀强电场的场强与电势差的关系式可得两极板间的电场强度大小为E ＝UL ＝4×106 V/m.(2)该电容器所带电荷量为Q ＝CU ＝2.4×10－6 C. (3)小油滴自由落下，即将落到下极板时，速度恰好为零 由动能定理可得：mg (h ＋L )－qU ＝0 则B 点在A 点正上方的高度是h ＝qU mg －L ＝3.5×10－14×6×1053.0×10－9×10m －15×10－2 m ＝0.55 m. 针对训练1 BD [对带电粒子受力分析如图所示，F 合≠0，A 错误．由图可知静电力与重力的合力方向与v 0方向相反，F 合对粒子做负功，其中重力mg 不做功，静电力Eq 做负功，故粒子动能减少，电势能增加，B 正确，C 错误．F 合恒定且F 合与v 0方向相反，粒子做匀减速直线运动，D 正确．] 例2 (1)3mg q (2)2m (v 02＋g 2t 2) (3)3mg 2t 22q解析 (1)设电场强度的大小为E ，小球B 运动的加速度为a ，OP 的竖直高度为h ， 根据牛顿第二定律：mg ＋qE ＝ma 由运动学公式和题给条件有：h ＝12gt 2＝12a (t 2)2 联立解得：E ＝3mg q(2)设小球B 从O 点发射时的速度为v 1，到达P 点时的动能为E k ，根据动能定理有： mgh ＋qEh ＝E k －12m v 12h ＝12gt 2 且小球B 水平方向位移：x ＝v 1t2＝v 0t联立得：E k ＝2m (v 02＋g 2t 2) (3)OP 间电势差为U OP ＝Eh 由(1)知E ＝3mgq联立解得：U OP ＝3mg 2t 22q.针对训练2 ACD [不带电小球、带正电小球和带负电小球在平行金属板间的受力如图所示：由此可知不带电小球做平抛运动，a 1＝Gm ，带正电小球做类平抛运动a 2＝G －F m ，带负电小球做类平抛运动，a 3＝G ＋F ′m.根据题意，三小球在竖直方向都做初速度为0的匀加速直线运动，到达下极板时，竖直方向的位移h 相等， 根据t ＝2ha得，带正电小球运动时间最长，不带电小球次之，带负电小球运动时间最短． 三小球在水平方向都不受力，做匀速直线运动，则落在板上时水平方向的距离与下落时间成正比，故水平位移最大的A 是带正电的小球，B 是不带电的小球，C 是带负电的小球，故A 正确，B 错误；根据动能定理，三小球到达下板时的动能等于这一过程中合外力对小球做的功．由受力图可知，带负电小球所受合力最大，为G ＋F ′，做功最多，动能最大，带正电小球所受合力最小，为G －F ，做功最少，动能最小，则小球到达极板时的动能关系为E k C ＞E k B ＞E k A ，故C 正确．因为落在A 点的小球带正电，落在B 点的小球不带电，落在C 点的小球带负电，所以a A ＝a 2，a B ＝a 1，a C ＝a 3，所以a A ＜a B ＜a C ，故D 正确．]例3 AB [小球从A 点由静止释放，运动到B 点的过程中，电场力不做功，则由机械能守恒定律可得mgR ＝12m v 2，即到达B 点的速度为v ＝2gR ，故B 正确；由题意可知，小球沿细管滑到最低点B 时，对管壁恰好无压力，则在B 点小球受重力和电场力，小球带正电受向上的电场力，则O 处固定的点电荷带负电，故A 正确；在B 点由牛顿第二定律k QqR 2－mg ＝m v 2R ，E ＝k Q R 2＝3mgq ，故C 错误；根据点电荷的电场分布特点，可知电场线沿着半圆轨道的半径方向，所以小球从A 点运动到C 点的过程中，电场力不做功，即小球从A 点运动到C 点的过程中，机械能守恒，即小球可以到达光滑半圆弧绝缘细管水平直径的另一端点C ，故D 错误．] 例4 (1)4gR 5mg (2)BC 弧的中点2(2＋1)gR解析 (1)从A 到B 根据动能定理得：mgR ＋qER ＝12m v B 2－0，解得：v B ＝4gR .根据牛顿第二定律得：F N －qE ＝m v B 2R ，解得：F N ＝5mg .根据牛顿第三定律得，环对小球的压力为5mg .(2)由于小球所受的静电力与重力都是恒力，它们的合力也是恒力，小球从A 处下滑时，静电力与重力的合力先与速度成锐角，做正功，动能增大，速度增大，后与速度成钝角，做负功，动能减小，速度减小，所以当合力与速度垂直时速度最大，由于qE ＝mg ，所以速度最大的位置位于BC 圆弧的中点，设为D 点． 则从A 到D 过程，根据动能定理得： mg (R ＋22R )＋qE ·22R ＝12m v m 2 解得：v m ＝2(2＋1)gR .。
带电粒子在重力场和电场中的运动
B．小球到B点的速度最大
C．小球可能能够到达A点，且到A点时的速度不为零
D．小球运动到A点时所受绳的拉力最大
3、“竖直上抛运动”
在竖直向下的匀强电场中，以V0初速度竖直向上发射一个质量为 m带电量为q的带正电小球，求上升的最大高度。
4、竖直平面内的圆周运动 【知识回顾】
如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜 面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆 轨道相切。整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀 强电场中。现有一质量为m的带正电，电量为q 3mg
3E
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应 为多大？
E O R
5、类平抛运动 水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m的微粒 由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带 电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒 带正电，电量为q，仍以相同的初速度进入电场，微粒 恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明 上下板间带电性？
用长为R的细线栓一个质量为m的小球，刚好能在 竖直平面内做圆周运动。求： （1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳 的拉力为多大？ （2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时A绳 的拉力为多大？
特点： 最低点： （B点） 物体自由时可以平衡的位置 最高点： （A点） 最低点关于圆心对称的位置
TR B
重力环境对比： 小球在A—B—C之间往复运动，则α 、β的关系为： A．α = β B．α > β C．α < β D．无法比较
如图所示，在水平方向的匀强电场中的O点，用长为l的轻、软绝 缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状 态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角．现将小球拉至细 线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放．若重力加速度为 g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是
浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题
浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题近些年来，随着物理研究的深入发展，物理学家们对于带电粒子在重力场和匀强电场中的圆周运动问题有了更加深入的研究。
本文将从电磁属性的角度，浅析带电粒子在重力场和匀强电场中的圆周运动问题。
首先，我们要谈带电粒子在重力场中的运动。
在重力场中，由于地心引力，一个带电粒子会受到重力场的影响而向心画圆。
根据力学原理，一个带电粒子受到地心引力的影响时，其圆周运动的速度会按其与圆心的远近而变化，由近及远经历的运动速度也会逐渐减小，直到近似于零时，当粒子到达最远点时会改变运动方向，从而形成一个定律性的圆周运动。
其次，我们要谈带电粒子在匀强电场中的运动。
由于强电场的影响，带电粒子会以恒定的速度直线运动。
但是，当电场强度够大时，带电粒子会发生弯折，并呈现出一定的圆周运动。
对于这种情况，物理学家通过对粒子改变电荷或量子状态的实验，表明当粒子弯折时，其末端的动能会转化为动能的比例，其中的因素也有可能被引力作用改变，从而产生一定的圆周运动。
最后，我们要谈带电粒子在重力场和匀强电场中的相互作用。
在重力场和匀强电场的相互作用中，由于强电场的存在，可以使带电粒子的行为受到重力场的影响，同时也受到匀强电场的影响，从而产生一定的圆柱运动。
这种圆柱运动会被引力约束，从而调整带电粒子的运动方向，并伴随一定的电磁力，从而形成一种圆周运动。
综上所述，带电粒子在重力场和匀强电场中的圆周运动由复杂的力学原理控制，它们会受到重力场和匀强电场的双重影响，从而发生圆周运动，从而产生出有趣的物理现象。
未来研究的重点也许会放在其可能的实验效应上，以构建出更加精确的数学模型，帮助我们更深入地理解带电粒子在重力场和匀强电场中的圆周运动问题。
[重力场,电场,粒子]浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题
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浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题当带电粒子在电场中受到静电力、重力以及其他的外力作用且有力做功时，粒子的动能将发生改变，粒子将做非匀速圆周运动，此时粒子的向心力将由这些力在圆周半径方向上的合力提供，通常利用牛顿第二定律和功能关系解决相关问题。
一、考虑重力作用，利用牛顿第二定律和功能关系求解带电粒子在匀强电场中的圆周运动带电粒子在匀强电场和重力场共同作用的场中做圆周运动的问题，是一类重要而典型的题型。
在考虑重力作用的情况下，对于带电粒子在匀强电场中的圆周运动的处理通常是利用牛顿第二定律与功能关系。
与不考虑重力的情况相比，主要是注意重力对解题的影响。
例1（1）要使小滑块能运动到半圆形轨道的最高点L，小滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？（2）这样释放的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？（P为半圆形轨道的中点）解析：（1）小滑块刚能通过轨道最高点的条件是，解得。
小滑块由释放点到最高点的过程中，由动能定理得，解得（2）小滑块在从P点到最高点的过程中，由动能定理得，小滑块运动到P点时，由牛顿第二定律得，解得N=l.5N。
二、考虑重力作用，带电粒子在匀强电场中做圆周运动的等效处理（一）带电粒子在竖直面内的圆周运动带电粒子在匀强电场和重力场共同作用的场中做圆周运动时，分析在竖直面内的运动时常常会涉及一些能否会做完整的圆周运动问题，对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大，若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简洁。
“等效法”的具体内容是先求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将视为“等效重力加速度”。
再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
1.静电力与重力方向垂直，处理等效最高点问题。
例2 如图2所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角θ=30。
的斜面，AC部分为竖直平面内半径为R的圆弧轨道，斜面与圆弧图2轨道相切，整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。
带电粒子的重力处理以及在复合场中运动问题
带电粒子的重力处理以及在复合场中运动问题1. 引言1.1 研究背景带电粒子的重力处理以及在复合场中运动问题是目前物理学领域中一个备受关注的热点课题。
从古至今，研究人员们一直在探究带电粒子在重力场和电场中的运动规律，以及它们相互作用的机制。
带电粒子的运动问题不仅涉及到基础物理学理论的探讨，还对现代科技和工程领域具有重要的应用价值。
在过去的研究中，科学家们一直致力于探究带电粒子在重力场中运动的规律。
重力是宇宙中一个普遍存在的力量，它影响着所有物质的运动轨迹。
带电粒子在重力场中的运动规律是研究人员们关注的焦点之一，通过研究带电粒子在重力场中的运动规律，可以更深入地了解物质运动的基本原理。
本文将探讨带电粒子受重力影响的物理规律、带电粒子在复合场中的运动定律、电场与重力的相互作用等问题，从而深入探讨带电粒子在复合场中的运动规律与特性。
希望通过本文的研究，能够为未来相关领域的研究提供一定的参考和指导。
研究带电粒子的重力处理以及在复合场中运动问题，对于拓展我们对物质运动规律的认识，推动科学技术的发展具有重要的意义。
希望本文的研究能够为相关领域的发展和进步贡献一份力量。
1.2 研究意义带电粒子的运动在复合场中是一项复杂而具有挑战性的研究课题。
研究带电粒子在受到重力影响时的运动规律，以及在复合场中的运动定律，不仅可以揭示物质微观世界中的基本规律，还可以为未来的科学技术应用提供重要参考。
通过深入探讨电场与重力的相互作用，我们可以更好地理解粒子在复合场中的行为，从而为新型材料设计和粒子加速器等应用领域提供重要理论支持。
研究带电粒子在复合场中的运动方程，结合数值模拟与实验结果，有助于验证理论模型的准确性，并为未来实验设计提供指导。
对带电粒子的重力处理以及在复合场中的运动问题进行深入研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
2. 正文2.1 带电粒子受重力影响的物理规律带电粒子受重力影响的物理规律涵盖了电磁力和万有引力两种基本力的相互作用。
带电体在电磁场中的受力分析和运动分析解读
Uq
m Eq a ==通过电场区的时间：0
v L
t =
粒子通过电场区的侧移距离：2
2
2mdv UqL y =图1
粒子通过电场区偏转角：2
mdv UqL
tg =
θ带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。所以侧移距离也可表示为：θtg L
y 2
=
。4、粒子在交变电场中的往复运动
π三、带电粒子在复合场中运动的分析
带电粒子在复合场中运动，实际上仍是一个力学问题，解决此类问题的关键是对带电粒子进行正确受力分析和运动情况分析。
1、受力分析：带电粒子在重力场、电场、磁场中运动时，其运动状态的改变是由其受到的合力决定。对运动粒子进行受力分析时必须先场力（包括重力、电场力、磁场力）、后弹力、再摩擦力等。另外要注意重力、电场力与粒子运动速度无关，由粒子的质量决定重力大小，由电场强决定电场力大小；但洛仑兹力的大小与粒子速度有关，方向还与电荷的性质有关。
Uq
a =
粒子通过偏转电场的时间2t为：Uq
m
L
v L t 202==粒子在偏转电场中的侧移距离y为：4
2122L
at y ==
侧向速度y v为：m
Uq at v y 22=
=则粒子射出偏转电场时的速度v为：m
Uq
v v v y 25220=
+=
以速度v进入磁场做匀速度圆周运动的洛仑兹力为向心力，设运动半径为R：
二、带电粒子在匀强磁场的受力分析和运动分析
带电粒子在匀强磁场中运动时，若00=v，有0=洛f，则粒子为静止状态；若B v //，有0=洛f，则粒子做匀速直线运动；若B v ⊥，有Bqv f =洛,则粒子做匀速圆周运动，其
带电体在电磁场中的受力分析和运动分析
带电粒子在电磁场中的受力分析和运动分析一、带电粒子在电场中的受力分析和运动分析1、静电场中的平衡问题静电场中的“平衡”问题，是指带电粒子的加速度为零的静止或匀速直线运动状态，都属于“静力学”的范畴，我们只是在分析带电粒子所受的重力、弹力、摩擦力等力时，还需多加一种电场力而已。
解题的一般程序为：明确研究对象；将研究对象隔离出来，分析其所受的全部外力，其中电场力，要根据电荷的正负及电场的方向来判断；根据平衡条件0=合F 或0,0x ==Y F F 列出方程；解方程求出结果。
2、电场中的加速问题带电粒子在匀强电场中的加速问题，一般属于粒子受到恒力（重力一般不计）作用的运动问题。
处理的方法有两种：根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解；根据动能定理与电场力做功结合运动学公式求解。
在非匀强电场中的加速问题，一般属于物粒子受变力作用的运动问题。
处理的方法只能根据动能定理与电场力做功，结合运动学公式求解。
3、电场中的偏转问题受力及运动分析：带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后，受到恒定的电场力作用，且与初速度方向垂直，因而做匀变速曲线运动——类平抛运动如1（设极板间的电压为U ，两极板间的距离为d ，极板长度为L ）。
运动特点分析：在垂直电场方向做匀速直线运动 0v v x = ，t v x 0=在平行电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动at v y =，221at y =， dmUq m Eq a == 通过电场区的时间：0v L t = 粒子通过电场区的侧移距离：2022mdv UqL y = 图1粒子通过电场区偏转角：20mdv UqL tg =θ 带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。
所以侧移距离也可表示为：θtg L y 2= 。
4、粒子在交变电场中的往复运动当电场强度发生变化时，由于带电粒子在电场中的受力将发生变化，从而使粒子的运动状态发生相应的变化，粒子表现出来的运动形式可能是单向变速直线运动，也可能是变速往复运动。
带电粒子在电场和磁场中的运动解读
带电粒子在电场和磁场中的运动要点归纳一、不计重力的带电粒子在电场中的运动1．带电粒子在电场中加速当电荷量为q 、质量为m 、初速度为v 0的带电粒子经电压U 加速后，速度变为v t ，由动能定理得：qU ＝12m v t 2－12m v 02．若v 0＝0，则有v t ＝2qU m，这个关系式对任意静电场都是适用的． 对于带电粒子在电场中的加速问题，应突出动能定理的应用．2．带电粒子在匀强电场中的偏转电荷量为q 、质量为m 的带电粒子由静止开始经电压U 1加速后，以速度v 1垂直进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条抛物线(如图4－1所示)．图4－1 qU 1＝12m v 12 设两平行金属板间的电压为U 2，板间距离为d ，板长为L ．(1)带电粒子进入两板间后粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有：v x ＝v 1，L ＝v 1t粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有：v y ＝at ，y ＝12at 2，a ＝qE m ＝qU 2md． (2)带电粒子离开极板时侧移距离y ＝12at 2＝qU 2L 22md v 12＝U 2L 24dU 1轨迹方程为：y ＝U 2x 24dU 1(与m 、q 无关) 偏转角度φ的正切值tan φ＝at v 1＝qU 2L md v 12＝U 2L 2dU 1若在偏转极板右侧D 距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论，即：所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的中心沿中心与射出点的连线射出的．这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离y ′＝(D ＋L 2)tan φ． 以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系．二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．质量为m 、电荷量为q 的带电粒子以初速度v 垂直进入匀强磁场B 中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R ，运动的周期为T ，则有：q v B ＝m v 2R ＝mRω2＝m v ω＝mR (2πT)2＝mR (2πf )2 R ＝m v qBT ＝2πm qB (与v 、R 无关)，f ＝1T ＝qB 2πm． 3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．(1)粒子圆轨迹的圆心的确定①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径R ，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R 处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．图4－2 图4－3 图4－4(2)粒子圆轨迹的半径的确定①可直接运用公式R ＝m v qB来确定． ②画出几何图形，利用半径R 与题中已知长度的几何关系来确定．在利用几何关系时，要注意一个重要的几何特点，即：粒子速度的偏向角φ等于对应轨迹圆弧的圆心角α，并等于弦切角θ的2倍，如图4－5所示．图4－5 (3)粒子做圆周运动的周期的确定①可直接运用公式T ＝2πm qB来确定． ②利用周期T 与题中已知时间t 的关系来确定．若粒子在时间t 内通过的圆弧所对应的圆心角为α，则有：t ＝α360°·T (或t ＝α2π·T )． (4)圆周运动中有关对称的规律①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图4－6所示． ②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，如图4－7所示．图4－6 图4－7(5)带电粒子在有界磁场中运动的极值问题刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．三、带电粒子在复合场中的运动1．高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即：①电场与磁场的复合场；②磁场与重力场的复合场；③电场与重力场的复合场；④电场、磁场与重力场的复合场．2．带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动(如速度选择器)；当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变化．因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略．3．带电粒子所受三种场力的特征(1)洛伦兹力的大小跟速度方向与磁场方向的夹角有关．当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，f 洛＝0；当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，f 洛＝q v B ．当洛伦兹力的方向垂直于速度v 和磁感应强度B 所决定的平面时，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功．(2)电场力的大小为qE ，方向与电场强度E 的方向及带电粒子所带电荷的性质有关．电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有关．(3)重力的大小为mg ，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关．注意：①微观粒子(如电子、质子、离子)一般都不计重力；②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；③对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给的物理过程及隐含条件具体分析后作出符合实际的决定．4．带电粒子在复合场中的运动的分析方法(1)当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解．(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．(3)当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解．注意：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，要根据动量守恒定律列方程，再与其他方程联立求解． 由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．热点、重点、难点一、根据带电粒子的运动轨迹进行分析推理图4－8●例1 如图4－8所示，MN 是一正点电荷产生的电场中的一条电场线．一个带负电的粒子(不计重力)从a 到b 穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示．下列结论正确的是( )A ．带电粒子从a 到b 的过程中动能逐渐减小B ．正点电荷一定位于M 点的左侧C ．带电粒子在a 点时具有的电势能大于在b 点时具有的电势能D ．带电粒子在a 点的加速度大于在b 点的加速度【解析】由做曲线运动的物体的受力特点知带负电的粒子受到的电场力指向曲线的内侧，故电场线MN 的方向为N →M ，正点电荷位于N 的右侧，选项B 错误；由a 、b 两点的位置关系知b 点更靠近场源电荷，故带电粒子在a 点受到的库仑力小于在b 点受到的库仑力，粒子在b 点的加速度大，选项D 错误；由上述电场力的方向知带电粒子由a 运动到b 的过程中电场力做正功，动能增大，电势能减小，故选项A 错误、C 正确．[答案] C【点评】本专题内容除了在高考中以常见的计算题形式出现外，有时候也以选择题形式出现，通过带电粒子在非匀强电场中(只受电场力)的运动轨迹来分析电场力和能的特性是一种重要题型，解析这类问题时要注意以下三点：①电场力一定沿电场线曲线的切线方向且一定指向轨迹曲线的内侧；②W 电＝qU a b ＝E k b －E k a ；③当电场线为曲线时，电荷的运动轨迹不会与之重合．二、带电粒子在电场中的加速与偏转图4－9●例2 喷墨打印机的结构简图如图4－9所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，其半径约为1×10－5 m ，此微滴经过带电室时被带上负电，带电荷量的多少由计算机按字体笔画的高低位置输入信号加以控制．带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场，带电微滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出字体．无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽流回墨盒．偏转板长1.6 cm ，两板间的距离为0.50 cm ，偏转板的右端距纸3.2 cm ．若墨汁微滴的质量为1.6×10－10 kg ，以20 m/s 的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是8.0×103 V ，其打到纸上的点距原射入方向的距离是2.0 mm ．求这个墨汁微滴通过带电室所带的电荷量的多少．(不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限于平行板电容器的内部，忽略边缘电场的不均匀性)为了使纸上的字放大10%，请你分析并提出一个可行的方法．【解析】设墨汁微滴所带的电荷量为q ，它进入偏转电场后做类平抛运动，离开电场后做直线运动打到纸上，则距原入射方向的距离为：y ＝12at 2＋L tan φ又a ＝qU md ，t ＝l v 0，tan φ＝at v 0解得：y ＝qUl md v 02(l 2＋L ) 代入数据得：q ＝1.25×10－13 C要将字体放大10%，只要使y 增大为原来的 1.1倍，可采用的措施为将两偏转板间的电压增大到8.8×103 V ，或将偏转板右端与纸的间距增大到3.6 cm ．[答案] 1.25×10－13 C 将两偏转板间的电压增大到8.8×103 V ，或将偏转板右端与纸的间距增大到3.6 cm【点评】①本题也可直接根据推论公式y ＝(l 2＋L )tan φ＝(l 2＋L )qUl md v 02进行计算． ②和平抛运动问题一样，这类题型中偏转角度的正切表达式在解题中往往较为关键，且有tan θ＝2tan α(α为射出点的位移方向与入射方向的夹角)的特点．★同类拓展1 如图4－10甲所示，在真空中，有一半径为R 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场右侧有一对平行金属板M 和N ，两板间距为R ，板长为2R ，板间的中心线O 1O 2与磁场的圆心O 在同一直线上．有一电荷量为q 、质量为m 的带正电的粒子以速度v 0从圆周上的a 点沿垂直于半径OO 1并指向圆心O 的方向进入磁场，当从圆周上的O 1点水平飞出磁场时，给M 、N 两板加上如图4－10乙所示的电压，最后粒子刚好以平行于N 板的速度从N 板的边缘飞出．(不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计)图4－10 (1)求磁场的磁感应强度B ．(2)求交变电压的周期T 和电压U 0的值．(3)当t ＝T 2时，该粒子从M 、N 板右侧沿板的中心线仍以速度v 0射入M 、N 之间，求粒子从磁场中射出的点到a 点的距离．【解析】(1)粒子自a 点进入磁场，从O 1点水平飞出磁场，则其运动的轨道半径为R ．由q v 0B ＝m v 02R ，解得：B ＝m v 0qR． (2)粒子自O 1点进入电场后恰好从N 板的边缘平行极板飞出，设运动时间为t ，根据类平抛运动规律有：2R＝v 0tR 2＝2n ·qU 02mR (T 2)2 又t ＝nT (n ＝1,2,3…)解得：T ＝2R n v 0(n ＝1,2,3…) U 0＝nm v 022q(n ＝1,2,3…)．图4－10丙(3)当t ＝T 2时，粒子以速度v 0沿O 2O 1射入电场，该粒子恰好从M 板边缘以平行于极板的速度射入磁场，进入磁场的速度仍为v 0，运动的轨迹半径为R ．设进入磁场时的点为b ，离开磁场时的点为c ，圆心为O 3，如图4－10丙所示，四边形ObO 3c 是菱形，所以Oc ∥O 3b ，故c 、O 、a 三点共线，ca 即为圆的直径，则c 、a 间的距离d ＝2R ．[答案] (1)m v 0qR(2)2R n v 0 (n ＝1,2,3…) nm v 022q(n ＝1,2,3…) (3)2R 【点评】带电粒子在匀强电场中偏转的运动是类平抛运动，解此类题目的关键是将运动分解成两个简单的直线运动，题中沿电场方向的分运动就是“受力周期性变化的加速运动”．三、带电粒子在有界磁场中(只受洛伦兹力)的运动1．带电粒子在磁场中的运动大体包含五种常见情境，即：无边界磁场、单边界磁场、双边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场．带电粒子在磁场中的运动问题综合性较强，解这类问题往往要用到圆周运动的知识、洛伦兹力，还要牵涉到数学中的平面几何、解析几何等知识．因此，解此类试题，除了运用常规的解题思路(画草图、找“圆心”、定“半径”等)之外，更应侧重于运用数学知识进行分析．2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时，其轨迹为不完整的圆周，解决这类问题的关键有以下三点． ①确定圆周的圆心．若已知入射点、出射点及入射方向、出射方向，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两直线的交点即为圆周的圆心；若已知入射点、出射点及入射方向，可通过入射点作入射线的垂线，连接入射点和出射点，作此连线的垂直平分线，两垂线的交点即为圆周的圆心．②确定圆的半径．一般在圆上作图，由几何关系求出圆的半径．③求运动时间．找到运动的圆弧所对应的圆心角θ，由公式t ＝θ2πT 求出运动时间． 3．解析带电粒子穿过圆形区域磁场问题常可用到以下推论：①沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出．②同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若射出方向与射入方向在同一直径上，则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值且为α＝2arcsin R r ＝2arcsin RBq m v． ③在圆形区域边缘的某点向各方向以相同速率射出的某种带电粒子，如果粒子的轨迹半径与区域圆的半径相同，则穿过磁场后粒子的射出方向均平行(反之，平行入射的粒子也将汇聚于边缘一点)．●例3 如图4－11甲所示，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y 轴正方向，磁场方向垂直于xy 平面(纸面)向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样．一带正电荷的粒子从P (0，h )点以一定的速度平行于x 轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R 0的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在只加电场，当粒子从P 点运动到x ＝R 0平面(图中虚线所示)时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x 轴交于M 点，不计重力，求：图4－11甲(1)粒子到达x ＝R 0平面时的速度方向与x 轴的夹角以及粒子到x 轴的距离．(2)M 点的横坐标x M ．【解析】(1)粒子做直线运动时，有：qE ＝qB v 0做圆周运动时，有：qB v 0＝m v 02R 0只有电场时，粒子做类平抛运动，则有：qE ＝maR 0＝v 0tv y ＝at解得：v y ＝v 0粒子的速度大小为：v ＝v 02＋v y 2＝2v 0速度方向与x 轴的夹角为：θ＝π4粒子与x 轴的距离为：H ＝h ＋12at 2＝h ＋R 02． (2)撤去电场加上磁场后，有：qB v ＝m v 2R解得：R ＝2R 0此时粒子的运动轨迹如图4－11乙所示．圆心C 位于与速度v 方向垂直的直线上，该直线与x 轴和y轴的夹角均为π4．由几何关系可得C 点的坐标为：图4－11乙x C ＝2R 0y C ＝H －R 0＝h －R 02 过C 点作x 轴的垂线，在△CDM 中，有：l CM ＝R ＝2R 0，l CD ＝y C ＝h －R 02解得：l DM ＝l CM 2－l CD 2＝74R 02＋R 0h －h 2 M 点的横坐标为：x M ＝2R 0＋74R 02＋R 0h －h 2． [答案] (1)π2 h ＋R 02 (2)2R 0＋74R 02＋R 0h －h 2 【点评】无论带电粒子在匀强电场中的偏转还是在匀强磁场中的偏转，偏转角往往是个较关键的量． ●例4 如图4－12甲所示，质量为m 、电荷量为e 的电子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v 0．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y 轴平行的荧光屏MN 上，求：图4－12甲 (1)荧光屏上光斑的长度．(2)所加磁场范围的最小面积．【解析】(1)如图4－12乙所示，要求光斑的长度，只要找到两个边界点即可．初速度沿x 轴正方向的电子沿弧OA 运动到荧光屏MN 上的P 点；初速度沿y 轴正方向的电子沿弧OC 运动到荧光屏MN 上的Q 点．图4－12乙设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得：e v 0B ＝m v 02R ，即R ＝m v 0Be由几何知识可得：PQ ＝R ＝m v 0Be． (2)取与x 轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E (x ，y )，因其射出后能垂直打到屏MN 上，故有：x ＝－R sin θy ＝R ＋R cos θ即x 2＋(y －R )2＝R 2又因为电子沿x 轴正方向射入时，射出的边界点为A 点；沿y 轴正方向射入时，射出的边界点为C 点，故所加最小面积的磁场的边界是以(0，R )为圆心、R 为半径的圆的一部分，如图乙中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：S ＝34πR 2＋R 2－14πR 2＝(π2＋1)(m v 0Be)2． [答案] (1)m v 0Be (2)(π2＋1)(m v 0Be)2 【点评】带电粒子在匀强磁场中偏转的试题基本上是年年考，大概为了求新求变，在2009年高考中海南物理卷(第16题)、浙江理综卷(第25题)中都出现了应用这一推论的题型．★同类拓展2 如图4－13甲所示，ABCD 是边长为a 的正方形．质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场．不计重力，求：图4－13甲(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小．(2)此匀强磁场区域的最小面积．[2009年高考·海南物理卷]【解析】(1)若要使由C 点入射的电子从A 点射出，则在C 处必须有磁场，设匀强磁场的磁感应强度的大小为B ，令圆弧AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道，电子所受到的磁场的作用力f ＝e v 0B ，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外．圆弧AEC 的圆心在CB 边或其延长线上．依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a ．按照牛顿定律有： f ＝m v 02a联立解得：B ＝m v 0ea． (2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射的电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中，因而，圆弧AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界．为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ(不妨设0≤θ＜π2)的情形．该电子的运动轨迹QP A 如图4－13乙所示．图中，圆弧AP 的圆心为O ，PQ 垂直于BC 边，由上式知，圆弧AP 的半径仍为a ．过P 点作DC 的垂线交DC 于G ，由几何关系可知∠DPG ＝θ，在以D 为原点、DC 为x 轴、DA 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(x ，y )为：x ＝a sin θ，y ＝a cos θ图4－13乙 这意味着，在范围0≤θ≤π2内，P 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周AFC ，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界．因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 AEC 和 AFC 所围成的，其面积为：S ＝2(14πa 2－12a 2)＝π－22a 2． [答案] (1)m v 0ea 方向垂直于纸面向外 (2)π－22a 2 四、带电粒子在复合场、组合场中的运动问题●例5 在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图4－14甲所示．磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化情况如图4－14乙所示．该区域中有一条水平直线MN ，D 是MN 上的一点．在t ＝0时刻，有一个质量为m 、电荷量为＋q 的小球(可看做质点)，从M 点开始沿着水平直线以速度v 0做匀速直线运动，t 0时刻恰好到达N 点．经观测发现，小球在t ＝2t 0至t ＝3t 0时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN 上的D 点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D 点．求：图4－14(1)电场强度E 的大小．(2)小球从M 点开始运动到第二次经过D 点所用的时间．(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)．【解析】(1)小球从M 点运动到N 点时，有：qE ＝mg解得：E ＝mg q． (2)小球从M 点到达N 点所用时间t 1＝t 0小球从N 点经过34个圆周，到达P 点，所以t 2＝t 0小球从P 点运动到D 点的位移x ＝R ＝m v 0B 0q小球从P 点运动到D 点的时间t 3＝R v 0＝m B 0q所以时间t ＝t 1＋t 2＋t 3＝2t 0＋m B 0q[或t ＝m qB 0(3π＋1)，t ＝2t 0(13π＋1)]． (3)小球运动一个周期的轨迹如图4－14丙所示．图4－14丙 小球的运动周期为：T ＝8t 0(或T ＝12πm qB 0)． [答案] (1)mg q (2)2t 0＋m B 0q(3)T ＝8t 0 运动轨迹如图4－14丙所示【点评】带电粒子在复合场或组合场中运动的轨迹形成一闭合的对称图形的试题在高考中屡有出现．五、常见的、在科学技术中的应用带电粒子在电场、磁场中的运动规律在科学技术中有广泛的应用，高中物理中常碰到的有：示波器(显像管)、速度选择器、质谱仪、回旋加速器、霍耳效应传感器、电磁流量计等．●例6 一导体材料的样品的体积为a ×b ×c ，A ′、C 、A 、C ′为其四个侧面，如图4－15所示．已知导体样品中载流子是自由电子，且单位体积中的自由电子数为n ，电阻率为ρ，电子的电荷量为e ，沿x 方向通有电流I ．图4－15(1)导体样品A ′、A 两个侧面之间的电压是________，导体样品中自由电子定向移动的速率是________．(2)将该导体样品放在匀强磁场中，磁场方向沿z 轴正方向，则导体侧面C 的电势________(填“高于”、“低于”或“等于”)侧面C ′的电势．(3)在(2)中，达到稳定状态时，沿x 方向的电流仍为I ，若测得C 、C ′两侧面的电势差为U ，试计算匀强磁场的磁感应强度B 的大小．【解析】(1)由题意知，样品的电阻R ＝ρ·c ab根据欧姆定律：U 0＝I ·R ＝ρcI ab分析t 时间定向移动通过端面的自由电子，由电流的定义式I ＝n ·ab ·v ·t ·e t可得v ＝I nabe．(2)由左手定则知，定向移动的自由电子向C ′侧面偏转，故C 侧的电势高于C ′侧面．(3)达到稳定状态时，自由电子受到电场力与洛伦兹力的作用而平衡，则有：q Ub＝q v B解得：B ＝neaUI ．[答案] (1)ρcI ab I nabe (2)高于 (3)neaUI【点评】本例实际上为利用霍耳效应测磁感应强度的方法，而电磁流量计、磁流体发电机的原理及相关问题的解析都与此例相似．★同类拓展3 如图4－16甲所示，离子源A 产生的初速度为零、带电荷量均为e 、质量不同的正离子被电压为U 0的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板HM 上的小孔S 离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN 进入磁感应强度为B 的匀强磁场．已知HO ＝d ，HS ＝2d ，∠MNQ ＝90°．(忽略离子所受重力)图4－16甲(1)求偏转电场场强E 0的大小以及HM 与MN 的夹角φ． (2)求质量为m 的离子在磁场中做圆周运动的半径．(3)若质量为4m 的离子垂直打在NQ 的中点S 1处，质量为16m 的离子打在S 2处．求S 1和S 2之间的距离以及能打在NQ 上的正离子的质量范围．[2009年高考·重庆理综卷]【解析】(1)设正离子经电压为U 0的电场加速后速度为v 1，应用动能定理有：图4－16乙eU 0＝12m v 12－0正离子垂直射入匀强偏转电场，受到的电场力F ＝eE 0产生的加速度a ＝F m ，即a ＝eE 0m垂直电场方向做匀速运动，有：2d ＝v 1t沿电场方向，有：d ＝12at 2联立解得：E 0＝U 0d又tan φ＝v 1at解得：φ＝45°．(2)正离子进入磁场时的速度大小为： v ＝v 12＋v ⊥2＝v 12＋(at )2正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有：e v B ＝m v 2R联立解得：正离子在磁场中做圆周运动的半径R ＝2mU 0eB 2．(3)将4m 和16m 代入R ，得R 1＝24mU 0eB 2、R 2＝216mU 0eB 2图4－16丙由几何关系可知S 1和S 2之间的距离Δs ＝R 22－(R 2－R 1)2－R 1联立解得：Δs ＝4(3－1)mU 0eB 2由R ′2＝(2R 1)2＋(R ′－R 1)2得：R ′＝52R 1由12R 1<R <52R 1 得：m <m 正<25m ．[答案] (1)45° (2)2mU 0eB 2(3)m <m 正<25m经典考题带电粒子在电场、磁场以及复合场、组合场中的运动问题是每年各地高考的必考内容，留下大量的经典题型，认真地总结归纳这些试题会发现以下特点：①重这些理论在科学技术上的应用； ②需要较强的空间想象能力． 1．图示是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹．云室放置在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里，云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用．分析此径迹可知粒子[2009年高考·安徽理综卷]( )。
带电粒子在电场和重力场复合场中的运动
$E_{p} = qvarphi$，其中$q$为带电粒子的电荷量，$varphi$为 电势。
影响因素
与带电粒子的电荷量和电场强度有关。
动能
01
02
03
定义
带电粒子在运动过程中所 具有的能量。
计算公式
$E_{k}
=
frac{1}{2}mv^{2}$，其中
$m$为带电粒子的质量，
$v$为速度。
带电粒子在电场和重力场复合场中 的运动
目录
• 带电粒子在电场和重力场复合场中的 受力分析
• 带电粒子在复合场中的运动形式 • 带电粒子在复合场中的能量分析
目录
• 带电粒子在复合场中的运动轨迹分析 • 带电粒子在复合场中的动力学方程 • 带电粒子在复合场中的实验验证
01 带电粒子在电场和重力场 复合场中的受力分析
详细描述
当带电粒子受到的电场力和重力相互抵消时，粒子受到的合外力为零，因此粒子将做匀速圆周运动。 此时，粒子受到的电场力充当向心力，使粒子沿着圆形轨迹运动。粒子的速度大小不变，方向时刻改 变，其运动轨迹为一个闭合的圆。
03 带电粒子在复合场中的能 量分析
电势能
定义
带电粒子在电场中由于电场力作用而具有的势能。
详细描述
当带电粒子受到的电场力和重力方向不一致时，粒子将受到一个与初速度方向垂直的合外力，这个力使粒子做曲 线运动。根据牛顿第二定律，合外力与加速度方向一致，因此粒子加速度方向时刻改变，导致速度方向也时刻改 变，从而形成曲线轨迹。
匀速圆周运动
总结词
当带电粒子受到的电场力和重力相互抵消时，粒子将在匀强电场中做匀速圆周运动。
牛顿第二定律的应用
牛顿第二定律是动力学的基础，在复合场中，带电粒子受到 电场力和重力的作用，因此，牛顿第二定律的应用是推导动 力学方程的关键。
带电粒子在磁场运动(复合场问题)解读
自由的带电粒子在复合场中作匀速圆周运动时，必定 满足电场力和重力平衡，则当粒子速度方向与磁场方 向垂直时，洛仑兹力提供向心力，使带电粒子作匀速 圆周运动。
1.如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，
电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，一带电
微粒由a点进入电磁场并刚好能沿ab直线向上运动，下
当带电微粒的速度垂直于磁场时，一定做匀速运动。
4. 带电粒子在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场 中的运动的基本模型有：
a. 匀速直线运动。
自由的带点粒子在复合场中作的直线运动通常都是匀 速直线运动，除非粒子沿磁场方向飞入不受洛仑兹力 作用。因为重力、电场力均为恒力，若两者的合力不 能与洛仑兹力平衡，则带点粒子速度的大小和方向将 会改变，不能维持直线运动了。
带电粒子在复合场中的运动
带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的 运动（电场、磁场均为匀强场）
⑴带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动: 必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力.
⑵带电微粒在三个场共同作用下做直线运动: 重力和电场力是恒力，它们的合力也是恒力。
当带电微粒的速度平行于磁场时，不受洛伦兹力，因 此可能做匀速运动也可能做匀变速运动；
均与v垂直 D．电场水平向右，磁场垂直纸面向里
A. BEqE 左视图
qvB v
qE
qvB E
B. vB
mg 满足合力为0， mg 满足qvB+ qE= mg
可向右匀速直线运动
可向右匀速直线运动
C. E qE B
D.
左视图 v qvB
mg 满足合力为0，
可向右匀速直线运动
qvB E
vB qE 满足qvB= mg mg 开始可向右加速运动，
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带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动问题的研究
对于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动问题，如果按初速度可分为两大类：一是带电粒子由静止释放；二是带电粒子以某一初速度进入复合场。
对于第二类又可分为三小类：（1）速度恰好为某一值时做匀速直线运动，（2）速度比临界速度大，（3）速度比临界速度小。
如果按轨迹可分为两类：一是直线，二是摆线。
一、带电粒子由静止释放
1、建立模型
如图所示，一带电粒子质量为m ，
电量为q ，匀强电场E 和匀强 磁场B 正交，粒子由静止释放。
2、运动分析
设开始时粒子向左和向右各个一个初速度0v ，且0Bqv Eq =，则带电粒子的运动可分解为两个运动的合成。
水平方向为速度为0v 的匀速直线运动，竖直方向为线速度为0v 的匀速圆周运动。
其中轨迹的最大高度为222m mE
H R B q
==
，最大速度为0
22m E v v B == 周期为2m
T qB
π=
3、运动轨迹
050100150200250300350400
20
15
10
5
Y X
二、定量研究
1．运动的微分方程
由带电粒子的受力分析图可知粒子在水平与竖直方向上的微分方程如下：
Bq x y m
Bq y g x
m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，初始值为(0)(0)0(0)(0)0x y x y ==⎧⎨==⎩ 根据拉普拉斯变换可知
22[1]1/[](0)[](0)(0)[](0)[](0)(0)
L s
L x sX x L x s X sx x L y sY y L y s Y sy y ==-=--=-=--，代入初始值得22[]/[][][][]L g g s L x sX
L x s X L y sY L y s Y
===== 将上式代入得
22Bq s X sY m
g Bq s Y sX s m ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
上式的解为22222
221/()1[]
()mg m g Bq mg
X Bq Bq s Bq s m
m g s Y Bq Bq s s m ⎧=-⎪⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎪⎩
将上式查拉普拉斯反演表得
222
2
22sin()[1cos()]mg m g Bq
x t t Bq B q m m g Bq y t B q m ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
将上式对时间求一阶导数得
[1cos()sin()x y mg Bq v t mq m mg Bq v t mq m ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
当带电粒子运动到最低点时竖直速度0y v =，水平速度2x mg v Bq =，竖直高度2222m g h B q
=
2运动图象
利用MathCAD 结合带电粒子的运动参数方程可作出其运动轨迹图象与速度变化图象
0100200300400
20
10
Y X
5
10
15
20
25
30
35
10
10
20
V1i
V2i
t i
上图中对应的参数21,1,10/,1B T q C g m s m kg ====，,,1,2i i X Y v v 分别表示带电粒子的水平与竖直位移，水平与竖直速度，由其轨迹特点可知其轨迹为一条摆线。
三、带电粒子以某一初速度进入复合场（仅讨论水平初速度）
1、 当0Eq Bqv =时，带电粒子做匀速直线运动
2、 当0Eq Bqv >时，带电粒子的运动也可分解为两个运动的合成。
其中水平速度为
0v v +，且有0()Bq v v Eq +=，水平方向上做匀速直线运动速度为
E
B
，竖直平面内做匀速圆周运动，其线速度为
0E
v B
-，其中轨迹的最大高度为0222()m mv mE H R B q Bq ==-，最大速度为02m E v v B =-，周期为2m T qB
π=，
轨迹如下图
050100150200250300350400
4
3
2
1
Y X
3、当0Eq Bqv <时，带电粒子的运动也可分解为两个运动的合成。
其中水平速度为
0v v -，且有0()Bq v v Eq -=，水平方向上做匀速直线运动速度为
E
B
，竖直平面内做匀速圆周运动，其线速度为0E
v B -
，其中轨迹的最大高度为0222()m mv mE H R Bq B q
==-，最小速度为02
m E v v B =-，周期为2m T qB
π=，轨迹如下图 050100150200
250300350400450
5
10
15
20
Y X
四、归纳总结
1、 带电粒子在复合场中的运动轨迹可能为直线，可能为摆线。
2、 当轨迹为摆线时，其运动周期为定值，带电粒子和磁场有关。
3、如果是重力场和匀强磁场，则可以用,mg
mg E q E q
==效效来替换文章中的匀强电场E 即可。