机械工程控制基础第四章教案

若 xi(ห้องสมุดไป่ตู้)=Xisinωt
2、用 jω替代 s：
（例）
求出 G(s)后，用 jω替代 s 即可。（证明，例） 3、实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。
方法：①改变输入信号频率ω，测出相应输出的幅值和相位 ②画出 XO(ω)/ Xi 与ω曲线 →获幅频特性 画出Ф(ω)与ω曲线 →相频特性
Chp.4 频率特性分析
基本要求
1．掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程 之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法； 掌握动刚度与动柔度的概念。
2．掌握频率特性的 Nyquist 图和 Bode 图的组成原理，熟悉典型环节的 Nyquist 图和 Bode 图的特点及其绘制， 掌握一般系统的 Nyquist 图和 Bode 图的特点和绘制。
G(jω)是谐波输入下的时域中的稳态响应，而在频域中，系统随ω变化反映系统动态 特性。
3、频域分析比时域容易。 a) 分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析； b) 易于稳定性分析； c) 易于校正，使系统达到预期目标； d) 易于抑制噪声，用频率特性易于设计出合适的通频带，抑制噪声。
§2 频率特性的 Nyquist 图（极坐标图）
ω=1 （lgω=0） 20lg|G(jω)|=0dB
ω=10（lgω=1） 20lg|G(jω)|=-20dB
曲线通过（1，0）、（10，-20）
斜率:-20dB/dec
令 y=20lg|G(jω)|，x= lgω，则 y=-20x
线性关系
②
与ω无关
过（0，90o）平行于横轴的直线。
③若
则
20lg|G(jω)|= 20lgk-20lgω 相当于 y=b-20x
1、 比例环节：G(jω)=K ① |G(jω)|=K 20lg|G(jω)|=20lgK 对数幅频特性曲线：一条水平线，分贝数 20lgK K 值大小使曲线上下移动。 ② ∠G(jω)=arctg(0/k)=0o 与 0o 线重合，与 K 值无关。（图 4.4.2）
2、 积分环节
①
20lg|G(jω)|=-20lgω
可见，无论 0、Ⅰ、Ⅱ型系统，低端幅值都很大，高端都趋于 0
→控制系统总是具有低通滤波的性能。
四、例题：
1、 已知系统的传递函数
，试绘制其 Nyquist 图。（图 4.3.1）
2、已知系统的传递函数
，试绘制其 Nyquist 图。（图 4.3.2）
3、已知系统的传递函数
，试绘制其 Nyquist 图。（图 4.3.3）
§3 Bode 图（对数坐标图）
将幅、相频率特性分开画：对数幅频特性，对数相频特性，统称 Bode 图。 一、坐标构成： 1、 对数幅频特性图： 横坐标：对数分度：lgω1/ω2, 标示：lgω 单位：rad/s 或 s-1 纵坐标：线性分度，20lg| G |, 单位：分贝（dB） 2、 对数相频特性图： 纵坐标：G(jω)的相位∠G(ω)，单位：度 横坐标：同对数幅频特性图 3、 优点： ① 简化计算：将串联环节的幅值乘除法简化为对数域的加、减法。 ② 简化作图过程：对环节的幅值 Bode 图，先用渐近线表示，再修正曲线， 可获得较精确的幅值 Bode 图。 ③ 叠加：叠加法将各环节幅值 Bode 图进行累加，获得整个系统的 Bode 图。 ④ 便于对系统的性能进行观察和分析：横坐标用 lgω1/ω2 作分度，扩展 了低频区，缩小了高频区。（系统主要性能表现在低频区） 二、典型环节的 Bode 图：
频率特性分析常用图示法：极坐标图（Nyquist），对数坐标图（Bode） 一、极坐标图的绘制：
Nyquist 图：当ω由 0→∞时，G(jω)（矢量）的端点在[G(jω)]复平面上所形成的轨迹。 矢量：即为频率特性 G(jω)
对ω=ω1 在实轴上投影：G(jω)实部，u(ω)=u(ω1) 在虚轴上投影：G(jω)虚部，v(ω)=v(ω1) G(jω1)= u(ω1)+ jv(ω1)
讨论：①G(jω)是复数，可写成： G(jω)=u(ω)+jv(ω)=∣G(jω)∣ejφ(ω)=A(ω)∠Ф(ω)
u(ω)：为 G(jω)的实部 →实频特性； v(ω)：为 G(jω)的虚部 →虚频特性。 ③ 幅频特性∣G(jω)∣：输出量的振幅与输入量的振幅之比。
∣G(jω)∣反映输入在不同ω下，幅值衰减或增大的特性。
ω=∞ ∣G(jω)∣=0 ∠G(jω)=-900
轨迹：一条与负虚轴重合的直线，由无穷远点指向原点，相位总是-900
结论：低频（ω→0）时，输出振幅很大，高频（ω→∞）时输出振幅为 0；
输出相位总是滞后输入 900。
3、 微分环节
G(s)=s
频率特性：G(jω)=jω →∣G(jω)∣=ω u(ω)=0
此时信号全部通过；
②随ω↑，输出振幅越来越小（衰减），相位越来越滞后；
③高频端（ω→∞）时输出振幅衰减至 0，即高频信号被完全滤掉
（实际上是一个低通滤波器）
5、 一阶微分环节：G(s)=Ts+1
G(jω)=jωT+1 →u(ω)=1 v(ω)= ωT
∠G(jω)=arctgωT
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=1
∣G(jω)∣是 G(jω)模： ④ 相频特性∠Ф(ω)：
定义：输出量的相位与输入量的相位之差。 Ф(ω)= ∠Ф(ω)=[ωt+∠G(ω)]- ωt
a) ∠G(ω)反映频率特性的幅角； b) 符号：Ф(ω)逆时针方向为正；
系统Ф(ω)一般为负。原因：系统输出一般滞后。 结论：频率响应实际上可由频率特性描述，而频率特性可由幅频特性和相 频特性表达。 三、频率特性获取： 1、L 逆变换：因为 X0(s)=G(s)Xi(s)
传递函数：
式中，k=b0/a0,分母次数 n，分子次数 m，
1、 0 型系统（v=0）:
当ω=0 ∣G(jω)∣=k
∠G(jω)=00
ω=∞ ∣G(jω)∣=0
∠G(jω)=(m-n)×900
在低端，轨迹始于正实轴，高端时，轨迹趋于原点（由哪个象限趋于原点？）
2、Ⅰ型系统（v=1）：
当ω=0 ∣G(jω)∣=∞
∠G(jω)=00
ω= ωn （λ=1） ∣G(jω)∣=1/2ζ ω=∞ （λ=∞ ） ∣G(jω)∣=0
∠G(jω)=-900 ∠G(jω)=-1800
轨迹：在三、四象限内的曲线。起点（1，j0），终点（0，j0）(图 4.2.6)
讨论：①ζ取值不同，Nyquist 图形状不同；（图 4.2.7）
本章难点
1．一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。 2．频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。
§1 概述
一、频域法的特点： 系统分析法：时域法、频域法 ① 仅数学语言表达不同：将 t 转换为ω，不影响对系统本身物理过程的分析； ② 时域法侧重于计算分析，频域法侧重于作图分析； 工程上更喜欢频域法 ③ 优点：a)系统无法用计算分析法建立传递函数时，可用频域法求出频率特性，进而 导出其传递函数； b)验证原传递函数的正确性： 计算法建立的传递函数，通过实验求出频率特性以验证； c)物理意义较直观。 ④ 缺点：仅适用于线性定常系统 工程上大量使用频域法。
∠G(jω)=00
v(ω)=0
轨迹：一条与实轴重合的直线。
结论：比例环节的幅、相频率特性与ω无关；
输出量的振幅永远是输入量振幅的 K 倍，且相位永远相同。
2、 积分环节：
G(s)=1/s
频率特性：G(jω)=1/jω →∣G(jω)∣=1/ω u(ω)=0
∠G(jω)=-900
v(ω)=-1/ω
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=∞ ∠G(jω)=-900
模
相角 Nyquist 图既表示实频和虚频特性，也反映幅频和相频特性。 绘制步骤：①由 G(jω)列出∣G(jω)∣和∠G(jω)表达式；
角∠G(jω)走向：逆正顺负 ②ω在[0，∞]取不同值，代入∣G(jω)∣、∠G(jω)，获得相应值； ③在相应于∠G(jω)射线上，截取∣G(jω)∣值； ④将∣G(jω)∣线段的终点连接起来，即获得 G(jω)的极坐标图。 二、典型环节的 Nyquist 图： 1、 比例环节： G(s)=K 频率特性：G(jω)=K →∣G(jω)∣=K u(ω)=K
3．了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。 4．掌握频域中性能指标的定义和求法； 了解频域性能指标与系统性能的关系。 5． 解最小相位系统和非最小相位系统的概念。
重点与难点 本章重点
1．频率特性基本概念、代数表示法及其特点。 2．频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种 图形的绘制。 3． 频域中的性能指标。
3、 微分环节 G(jω)= jω
①|G(jω)|= ω 20lg|G(jω)|= 20lgω
为一条斜率 20dB/dec 的直线
ω=1 （lgω=0） 20lg|G(jω)|=0dB →直线通过（1，0）
②
与ω无关
4、 惯性环节：
① 幅频特性：
讨论：a)非线性，用渐近线表示。 b)ω《ωT（低频渐近线）：20lg|G(jω)|≈20lgωT-20lgωT=0 一条与 0dB 线完全重合的直线，止于（ωT，0） c) ω》ωT（高频渐近线）：20lg|G(jω)|≈20lgωT-20lgω 截距 20lgωT，斜率-20dB/dec,始于（ωT，0） d) 转角频率ωT：低频渐近线与高频渐近线的交点 e) 低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。 高频输出很快衰减。
b)频率响应反映系统的动态特性：输出随ω变化（非 t）； c)为何选简谐信号为输入？ 原因：工程上绝大多数
周期信号可用 F 变换展开成叠加的离散谐波信号； 非周期信号可用 F 变换展开成叠加的连续谐波信号。
→用正弦信号作输入合理。 2、频率特性 G(jω):（为幅频特性和相频特性的总称）
定义：频域中，系统的输入量与输出量之比。
二、基本概念： 1、频率响应： 定义：系统对正弦（或余弦）信号的稳态响应。 输入：xi(t)=Xisinωt 输出：包括两部分： ① 瞬态响应：非正弦函数，且 t→∞时，瞬态响应为零。 ② 稳态响应：与输入信号同频率的波形，仍为正弦波，但振幅和相位发生 变化。
fig4.1.1 讨论：a)频率响应仅是时间响应的特例；
值越大，曲线范围越小。
②固有频率ωn：曲线与虚轴之交点，此时幅值∣G(jω)∣=1/2ζ
③谐振频率ωr：使∣G(jω)∣出现峰值的频率。
⑤ ωr＜ωd:欠阻尼下，谐振频率总小于有阻尼固有频率。 7、 延时环节：G(s)=e-sτ=|G|ejφ(ω)
|G(jω)|=1 ∠G(jω)=- ωτ(图 4.2.9) 三、Nyquist 图的一般形式：
4、 惯性环节：
∠G(jω)=-arctgTω
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=k
∠G(jω)=00
ω=1/T ∣G(jω)∣=0.707k ∠G(jω)=-450
ω=∞ ∣G(jω)∣=0
∠G(jω)=-900
轨迹：四象限内的一半圆。（图 4.2.1）
结论：①低频端（ω→0）时，输出振幅等于输入振幅，输出相位紧跟输入相位，即
∠G(jω)=-900
ω=∞ ∣G(jω)∣=0
∠G(jω)=(m-n)×900
低端，轨迹的渐近线与负虚轴平行，高端时，轨迹趋于原点
3、Ⅱ型系统（v=2）：
当ω=0 ∣G(jω)∣=∞
∠G(jω)=-1800
ω=∞ ∣G(jω)∣=0
∠G(jω)=(m-n)×900
低端，轨迹的渐近线与负实轴平行，高端时，轨迹趋于原点
系统数学模型获取方法： p.89 四、频率特性的特点：
1、G(jω)是 w(t)的 F 变换。 因为 X0(s)=G(s)Xi(s) xi(t)=δ(t) Xi(s)=1 →x0(t)=w(t) 所以，X0(jω)= G(jω) 即 F[w(t)]= G(jω) 结论：对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。 2、G(jω)在频域内反映系统的动态特性。
∠G(jω)=00
ω=1/T ∣G(jω)∣=1.414k ∠G(jω)=450
ω=∞ ∣G(jω)∣=∞
∠G(jω)=900
轨迹：始于正实轴点（1，j0），且平行于虚轴，在第一象限内的一条直线。
结论：高、低频信号都能全部通过，频率越高，增益越大，相位越超前。
6、振荡环节：
变化：ω=0 （λ=0） ∣G(jω)∣=1
∠G(jω)=900
v(ω)=ω
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=0 ∠G(jω)=900
ω=∞ ∣G(jω)∣=∞ ∠G(jω)=900
轨迹：与正虚轴重合的直线，由原点无穷远点指向无穷远点，相位总是 900
结论：低频（ω→0）时，输出振幅为 0，高频（ω→∞）时输出振幅很大；
输出相位总是超前输入 900。