中考数学提高题专题复习平行四边形练习题

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（1）、动手操作：

如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么的度数为 .

（2）、观察发现：

小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

（3）、实践与运用：

将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC 边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F 重合，展开纸片，此时恰好有MP＝MN＝PQ（如图④），求∠MNF的大

小.

【答案】（1）125°；（2）同意；（3）60°

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到

∠EFC′=∠EFC=125°；

（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；

（3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．

试题解析：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，

∴∠AEB=70°，

∴∠BED=110°，

根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．

∵AD∥BC，

∴∠EFC=125°，

再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．；

（2）、同意，如图，设AD 与EF 交于点G

由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD=∠CAD ．

由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，

所以∠AGE=∠AGF=90°，

所以∠AEF=∠AFE ．

所以AE=AF ，

即△AEF 为等腰三角形．

（3）、由题意得出：∠NMF ＝∠AMN ＝∠MNF ，

∴MF ＝NF ，

由折叠可知，MF ＝PF ，

∴NF ＝PF ，

而由题意得出：MP ＝MN ，

又∵MF ＝MF ，

∴△MNF ≌△MPF ，

∴∠PMF ＝∠NMF ，而∠PMF ＋∠NMF ＋∠MNF ＝180°，

即3∠MNF ＝180°，

∴∠MNF ＝60°.

考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定

2．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.

（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.

（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.

【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=

.理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12

AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；

（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；

试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．

理由如下：如图1中，

在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB ＝

12AC ，同理AD ＝12

AC ． ∴AC=AD+AB ． （2）（1）中的结论成立，理由如下：以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC为等边三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB．

（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：

过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，

∴DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°．

∴AC=CE．

又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA≌△CBE，

∴AD=BE，

∴AD+AB=AE．

在Rt△ACE中，∠CAB=45°，