2017_2018_2_工科数学分析期末试卷_B 答案

于
π
.
（密 封 线 内 不 答 题）
学院
学号
姓名
《工科数学分析（二）》试卷 第 1 页 共 8 页
二、 单选题: 共 5 题, 每题 2 分, 共 10 分.
1. 下列微分方程中, 属于二阶线性常微分方程的是 ( B ) A. (x + y2)dy + exdx = 0; B. xy′′ + (sin x)y′ + (ln x)y = tan x; C. (y′′)2 + y = 2; D. y′′ + ln y = 2.
座位号
专业班级
诚信应考, 考试作弊将带来严重后果!
华南理工大学本科生期末考试
《工科数学分析（二）》B 卷 参考答案
2017-2018 学年第二学期
注意事项： 一、 开考前请将密封线内各项信息填写清楚; 二、 所有答案请直接答在试卷上; 三、 考试形式：闭卷; 四、 本试卷共 6 大题, 满分 100 分, 考试时间 120 分钟。
+ √y
dxdy
x2 + y2
x2 + y2
√ = 2dxdy. · · · · · · · · · (3 分)
因此, 所求面积为
¨ A = 1dS · · · · · · · · · (2 分)
Σ¨ =
√ 2dxdy · · · · · · · · · (3 分)
x⩽x2 +y 2 ⩽2x
=
√ 2(π
.
求曲面积分
˜
(8y
+
1)xdydz
+
2(1
−
y2)dzdx
+
(z2
−
2z)dxdy.
Σ
解: 设 Σ1 为平面 y = 3 在 x2 + z2 ⩽ 2 的部分, 取右侧为正向. 则 Σ 和 Σ1 形成一个闭曲面, 外侧为正
向, 其所围区域为 Ω, 由 Gauss 公式
2.
二元函数 f (x, y) 在点 (a, b) 的两个偏导数
∂f ∂x
(a,
b)
和
∂f ∂y
(a,
b)
存在是
f
(x,
y)
在该点连续的
(
D
)
A. 充分而非必要条件;
B. 必要而非充分条件;
C. 充分必要条件;
D. 既非充分也非必要条件.
3. 曲面 3x2 + y2 + z2 = 12 上点 M (−1, 0, 3) 处的切平面与平面 z = 0 的夹角是 ( B )
;
n=1
B.
∑∞
1 ln n
;
n=2
C.
∑∞
2n n!
;
n=2018
D.
∑∞
( 1−
1 n
)n2
.
n=1
《工科数学分析（二）》试卷 第 2 页 共 8 页
三、 计算题: 共 3 题, 每题 10 分, 共 30 分.
1.
设z
=
xf
(
y x
)
+
g(x,
xy),
其中
f
(t)
具有连续的二阶导数,
g(u,
v)
具有连续的二阶偏导数,
计算二阶偏
导数
∂2z ∂x∂y
.
解:
∂z ∂y
=f ′ ( y ) + x
xg2′ (x, xy). · · · · · · · · · (5
分)
∂2z ∂x∂y
=−
y x2
f
′′
(
y x
)
+ g2′ (x, xy)
+ xg2′′1(x, xy) +
xyg2′′2(x, xy). · · · · · · · · · (5
...................................................密...................................................封...................................................线...................................................
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
一、 填空题: 共 5 题, 每题 2 分, 共 10 分.
1. 微分方程 y′′ + 2y′ − 3y = 2 − 3x 的通解为 y = C1e−3x + C2ex + x, 其中 C1, C2 为任意常数 ;
2. 向量场 2xy⃗i + ez sin y⃗j + (x2 + y2 + z2)⃗k 的旋度为 (2y − ez sin y)⃗i − 2x⃗k − 2x⃗k ;
《工科数学分析（二）》试卷 第 3 页 共 8 页
√ 3. 计算曲面 z = x2 + y2 夹在两柱面 x2 + y2 = x 和 x2 + y2 = 2x 之间的那一部分的面积.
解: 曲面的面积微元为
√ ( ∂z )2 ( ∂z )2
dS = 1 +
+
dxdy
∂x
∂y
(
)2 (
)2
= 1+ √ x
−
1 π)
=
√ 32
π.
·
·
·
······
(2
分)
4
4
《工科数学分析（二）》试卷 第 4 页 共 8 页
四、 解答题: 共 3 题, 每题 10 分, 共 30 分.
1.
设
Σ
是曲线
z x
= =
√ y
0
−
1,
(1 ⩽ y ⩽ 3) 绕 y 轴旋转一周所成的曲面, 其法向量与 y 轴正向夹角恒大
于
π 2
√
´
3. 设 Γ 是平面上的下半圆周 y = − 1 − x2, −1 ⩽ x ⩽ 1, 则第一类曲线积分 x2+y2ds =
π
;
Γ
4.
幂级数
∑∞
(−1)n
1 n·2n
xn
的收敛域为
(−2, 2]
;
n=0
5. 设周期为 2π 的函数 f (x) = |x|, −π < x ⩽ π, 则 f (x) 的傅里叶 (Fourier) 级数在 x = π 处收敛
分)
2.
计算累次积分
´1 2 1 4
dx
´
√ x
1 2
()
cos
π
x y
dy
+
´1
1 2
dx
´
√ x
x
()
cos
π
x y
dy.
解:
记
D
为由
y
=
1 2
,
y
=
√ x
和
y
=
x
围成的区域,
如图示
y
1 √
y = x D2
1
D1 y = x
2
则所求累次积分为
1
1
4
2
x 1
ˆ1 2
ˆ
√ x
() x
ˆ1
ˆ
√ x
() x
A.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
π 6
;
B.
π 4
;
C.
π 3
;
D.
π 2
.
4.
设 Γ 是平面曲线
x2 a2
+
y2 b2
´ = 1, a, b > 0, 取逆时针方向, 则第二类曲线积分
xdy − ydx =(
B
)
Γ
A. πab;
B. 2πab;
C. 0;
D. −2πab.
5. 下列级数发散的是 ( B )
A.
∑∞
2n
sin
π 3n
dx cos π dy + dx cos π dy
1
1
y
4¨ 2( )
1 2
x
y
x
= cos π dxdy
y
=
ˆD 1 ˆ dy
y
cos
( π
x
)
dx
·
·
·
·
·
·
·
·
·
(6
分)
1 2
1
ˆ
y2 1
y
=−
y sin(πy)dy
π1
2
=
1 π3 (1 −
π). · · · · · · · · · (4
分)