算法设计与分析之求解递归式
求解递归式的方法
求解递归式的方法递归式是计算机科学中常见的数学表示方法，用于描述一个函数或算法在运行过程中自我调用的特性。
在求解递归式时，我们希望找到一个封闭的表达式，从而得到问题的解析解。
本文将介绍几种常见的求解递归式的方法。
一、递归展开法递归展开法是求解递归式的一种常用方法。
它的基本思想是将递归式进行展开，直到得到一个不再含有递归项的等式。
通过这种方式，我们可以得到递归式的解析解。
例如，考虑递归式T(n) = T(n-1) + n，其中T(1) = 1。
我们可以使用递归展开法来求解这个递归式。
将递归式展开一次，得到T(n) = T(n-2) + (n-1) + n。
接着，再次展开，得到T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n。
继续展开，我们可以得到T(n) = T(n-k) + (n-k+1) + (n-k+2) + ... + (n-1) + n。
当展开到T(n) = T(1) + 2 + 3 + ... + (n-1) + n时，我们可以发现这个式子等于等差数列的和，即T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n。
利用等差数列求和公式，我们可以得到T(n) = (n+1)*n/2。
因此，递归式T(n) = T(n-1) + n的解析解为T(n) = (n+1)*n/2。
二、主定理主定理是求解递归式的另一种常用方法。
它适用于一类常见的递归式，即形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式。
其中，a是递归式中递归调用的次数，b是递归式中问题规模的缩小比例，f(n)是递归式中除了递归调用外的其他操作。
主定理的基本思想是通过比较递归式中不同部分的增长速度，判断递归式的解析解的形式。
主定理的具体表述如下：设递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。
1. 如果存在一个常数ε>0，使得f(n) = O(n^log_b(a-ε))，则T(n) = Θ(n^log_b(a))。
递归算法详解完整版
递归算法详解完整版递归算法是一种重要的算法思想，在问题解决中起到了很大的作用。
它通过将一个大问题划分为相同或类似的小问题，并将小问题的解合并起来从而得到大问题的解。
下面我们将详细介绍递归算法的定义、基本原理以及其应用。
首先，我们来定义递归算法。
递归算法是一种通过调用自身解决问题的算法。
它通常包括两个部分：基础案例和递归步骤。
基础案例是指问题可以被直接解决的边界情况，而递归步骤是指将大问题划分为较小问题并通过递归调用自身解决。
递归算法的基本原理是"自顶向下"的思维方式。
即从大问题出发，不断将问题划分为较小的子问题，并解决子问题，直到达到基础案例。
然后将子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的最大特点是简洁而优雅。
通过将复杂问题分解为简单问题的解决方式，可以大大减少代码的复杂程度，提高程序的效率和可读性。
但是递归算法也有一些缺点，包括递归深度的限制和复杂度的不确定性。
过深的递归调用可能导致栈溢出，而不合理的递归步骤可能导致复杂度过高。
递归算法有许多应用场景，我们来介绍其中一些典型的应用。
1.阶乘问题：计算一个数的阶乘。
递归算法可以通过将问题划分为更小的子问题来解决。
例如，n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘。
当n 等于1时，我们可以直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int factorial(int n)if (n == 1)return 1;}return n * factorial(n - 1);```2.斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n个数的值。
斐波那契数列的定义是前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
递归算法可以通过将问题划分为两个子问题来解决。
当n等于1或2时，直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int fibonacci(int n)if (n == 1 ， n == 2)return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);```3.二叉树问题：对于给定的二叉树，递归算法可以通过递归调用左子树和右子树的解来解决。
递归算法详解完整版
递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]递归冯文科一、递归的基本概念。
一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。
在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及n系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。
比如阶乘数列1、2、6、24、120、720……如果用上面的方式来描述它，应该是：a的值，那么可以很容易地写成这样：如果需要写一个函数来求n这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
以上面求阶乘数列的函数)f为例。
如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需(n要计算)2(3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计*算)1(f，返回)1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1*上一步，得23*)2()3(==f，从而得最终=f)1(32**)2(==f2f，再返回上一步，得6解。
用图解来说明，就是下面再看一个稍复杂点的例子。
【例1】数列}{n a 的前几项为1、111+、11111++、1111111+++、……输入n ，编程求n a 的精确分数解。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
递归树求解递归方程
递归树求解递归方程
递归树求解递归方程，是一种常用的算法分析方法。
递归方程是指一个数列或函数的定义式，通常包含自身的递归定义。
递归树则是用来描述递归算法运行过程的一种树形结构。
通过分析递归树，可以得到递归算法的时间复杂度和空间复杂度。
在进行递归树求解递归方程的过程中，我们需要先将递归方程转化成递归树。
具体来说，我们可以将每次递归调用对应的子问题抽象成一棵子树，并将所有子树合并成一棵递归树。
递归树的根节点对应原问题，叶子节点对应基本情况。
接下来，我们需要对递归树进行分析。
具体来说，我们需要计算递归树中每个节点的代价，即该节点所代表的子问题的规模。
一般来说，代价可以通过递归方程中的递归式来计算。
然后，我们可以将所有节点的代价相加，得到递归算法的总代价。
根据代价和递归树的形状，可以得到递归算法的时间复杂度和空间复杂度。
递归树求解递归方程的方法适用于许多算法问题，例如递归排序、快速排序、二分查找等。
通过这种方法，我们可以更加深入地理解递归算法的本质，同时也可以优化算法的时间复杂度和空间复杂度。
算法设计与分析(霍红卫)-第2章-分治法
第2章 分 治 法
我们可以很容易解决这个问题。利用这样一个事实：渐近 表示法只要求对n≥n0，T(n)≤cn lb n成立，其中n0是一个可以选择 的常数。由于对于n>3，递归方程并不直接依赖T(1)，因此可设 n0=2，选择T(2)和T(3)作为归纳证明中的边界条件。由递归方程 可得T(2)=4和T(3)=5。此时只要选择c≥2，就会使得T(2)≤c·2·lb 2 和 T(3)≤c·3·lb 3 成 立 。 因 此 ， 只 要 选 择 n0=2 和 c≥2 ， 则 有 T(n)≤cn lb n成立。
3ic(n/4i)2=(3/16) icn2 i=0，1，…，log4n-1
深度为log4n的最后一层有3log4 n nlog4 3 个结点，每个结点的
开销为T(1)，该层总开销为 nlog4 3T (1) ，即 Θ(nlog4 3)。
第2章 分 治 法
将所有层的开销相加得到整棵树的开销：
T (n) cn2
T(n)=2T(n/2)+n ≤2(c［n/2］lb［n/2］)+n =cn lb n/2+n =cn lb n-cn lb 2+n =cn lb n-cn+n =cn lb n-(c-1)n
最后一步在c≥1时成立。≤cn lb n
第2章 分 治 法
下面证明猜测对于边界条件成立， 即证明对于选择的常 数c，T(n)≤cn lb n对于边界条件成立。 这个要求有时会产生 一些问题。 假设T(1)=1是递归方程的惟一边界条件，那么对 于n=1，T(1)≤c·1·lb 1=0与T(1)=1发生矛盾。因此，归纳法中 的归纳基础不成立。
3
cn2
3
2
cn2
3
算法设计与分析知识点
第一章算法概述1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。
2、算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A)，C=F(N,I,A。
3、算法的时间复杂度的上界，下界，同阶，低阶的表示。
4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。
5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。
第二章递归与分治1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
递归的时间复杂性可归结为递归方程：1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。
递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n -b，的形式。
2、除法，即n / b，的形式。
2、D(n)为常数c：这时，T(n) = 0(n P)。
D(n)为线形函数cn：r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x：r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI：中，p= log b ao考虑下列递归方程：T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。
对⑴，T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵，•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶，•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3)；证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。
算法设计与分析实验报告
算法设计与分析报告学生姓名学号专业班级指导教师完成时间目录一、课程内容 (3)二、算法分析 (3)1、分治法 (3)（1)分治法核心思想 (3)（2）MaxMin算法分析 (3)2、动态规划 (4)（1）动态规划核心思想 (4)（2）矩阵连乘算法分析 (5)3、贪心法 (5)(1）贪心法核心思想 (5)（2）背包问题算法分析 (6)（3）装载问题算法分析 (7)4、回溯法 (7)（1）回溯法核心思想 (7)（2)N皇后问题非递归算法分析 (7)(3）N皇后问题递归算法分析 (8)三、例子说明 (9)1、MaxMin问题 (9)2、矩阵连乘 (10)3、背包问题 (10)4、最优装载 (10)5、N皇后问题(非递归） (11)6、N皇后问题(递归) (11)四、心得体会 (12)五、算法对应的例子代码 (12)1、求最大值最小值 (12)2、矩阵连乘问题 (13)3、背包问题 (15)4、装载问题 (17)5、N皇后问题(非递归） (19)6、N皇后问题(递归） (20)一、课程内容1、分治法,求最大值最小值，maxmin算法；2、动态规划，矩阵连乘，求最少连乘次数；3、贪心法，1）背包问题，2）装载问题；4、回溯法，N皇后问题的循环结构算法和递归结构算法。
二、算法分析1、分治法（1）分治法核心思想当要求解一个输入规模为n,且n的取值相当大的问题时，直接求解往往是非常困难的。
如果问题可以将n个输入分成k个不同子集合，得到k个不同的可独立求解的子问题，其中1<k≤n, 而且子问题与原问题性质相同,原问题的解可由这些子问题的解合并得出。
那末，这类问题可以用分治法求解。
分治法的核心技术1)子问题的划分技术.2）递归技术。
反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出不用进一步细分就可求解的子问题。
3)合并技术.（2）MaxMin算法分析问题：在含有n个不同元素的集合中同时找出它的最大和最小元素。
C语言递归算法解析递归思想与应用
C语言递归算法解析递归思想与应用C语言递归算法解析C语言作为一种高级编程语言，拥有强大的功能和灵活性。
其中，递归算法是C语言中常用的一种算法，能够解决许多复杂的问题。
本文将解析C语言递归算法的思想与应用。
一、递归思想的理解与定义递归是指一个函数直接或间接地调用自身的一种技巧。
在递归过程中，问题规模不断缩小，直至到达基本问题（递归终止条件），然后逐步返回答案，最终解决整个问题。
递归算法的形式可以简单概括为以下几个步骤：1. 确定递归终止条件，即最小的问题，不需要再进行递归调用，直接返回结果。
2. 将原问题转化为规模更小的子问题，并通过递归调用解决这些子问题。
3. 将子问题的解合并为原问题的解，并返回结果。
递归算法与迭代算法相比，具有代码简洁、思路清晰等优点，但也需要注意递归调用的效率和内存消耗。
二、递归算法的应用场景递归算法在实际编程中广泛应用于以下几个方面：1. 阶乘计算阶乘是指从1到某个正整数n的所有整数相乘的结果。
递归算法可以通过将n的阶乘转化为(n-1)的阶乘并与n相乘的方式进行计算。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面每一项都是前两项的和。
递归算法可以通过将第n项的值转化为第(n-1)项和第(n-2)项的和的方式进行计算。
3. 列表或树的遍历对于具有层次结构的数据，如列表、树等，递归算法可以方便地进行遍历操作。
例如，在二叉树中，可以通过递归地遍历左子树和右子树来访问整棵树的节点。
4. 文件目录的遍历在操作系统中，递归算法常被用于遍历文件目录。
通过递归地进入子文件夹，并处理其中的文件，可以方便地对整个文件目录进行操作。
以上仅是递归算法应用的常见场景，实际上递归算法可以解决更加复杂的问题，需要根据具体情况进行灵活应用。
三、递归算法的优化与注意事项虽然递归算法有许多优点，但也需要注意一些问题：1. 递归深度限制由于每次递归调用都会占用一定的栈空间，当递归深度过大时容易导致栈溢出。
算法设计与分析：第02章 递归与分治策略
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1
递归的概念
例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
课件第2章
递归与分治策略
算法总体思想
• 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 题。 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
算法总体思想
下面来看几个实例。
2.1
递归的概念
边界条件
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：
n0 1 n! n(n 1)! n 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出 结果。
2.1
递归的概念
例2 Fibonacci数列 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，被 称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
2.1
递归的概念
例6 Hanoi塔问题 public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) 当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a直 在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试 接移至塔座b上即可。 用递归技术来解决这个问题。 { 思考题：如果塔的个数变为a,b,c,d 当n＞1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个 if (n > 0) 四个，现要将n个圆盘从a全部移动 较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下的最 { 到d，移动规则不变，求移动步数最 大圆盘从塔座a移至塔座b，最后，再设法将n-1个较小的圆盘依照 hanoi(n-1, a, c, b); 小的方案。 移动规则从塔座c移至塔座b。 move(a,b); 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题， hanoi(n-1, c, b, a); 这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题 的递归算法如下。 } }
数学中的递归关系与递归公式
数学中的递归关系与递归公式数学中的递归关系与递归公式是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、经济学、物理学等。
本文将就递归关系和递归公式的概念、特点以及应用领域进行探讨。
一、递归关系的概念与特点递归关系是指在定义中依赖自身的关系。
换句话说，当前的值取决于前面的值。
在数学中，递归关系常常用于描述数列、集合以及函数之间的关系。
一个典型的递归关系可以用如下的数列来说明：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
在这个数列中，每一个数都是前两个数的和。
递归关系的特点在于它能够将较大的问题转化为较小的子问题，并通过不断地迭代求解子问题来得到最终的结果。
递归关系有以下几个重要的特点：1. 递归关系需要一个或多个初始条件，也称为基本情况。
在上述例子中，F(1)=1和F(2)=1即为初始条件，没有初始条件的递归关系将无法求解。
2. 递归关系必须能够在每一步中将问题规模缩小。
这保证了问题在经过有限次迭代后能够达到基本情况。
3. 递归关系可能存在多个解，每一个解都是基于不同的初始条件得到的。
4. 递归关系的求解通常通过递归公式来实现。
二、递归公式的概念与求解方法递归公式是一种用于求解递归关系的数学表达式。
它用于将问题的较大实例转化为较小实例的解。
通常情况下，递归公式由递归关系的定义式推导得到。
以斐波那契数列为例，递归关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)中的递归公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
通过递归公式，我们可以直接计算出数列中任意位置的值，而无需通过逐步迭代求解。
除了直接求解递归关系外，递归公式还可以用于证明数学定理和推导数学结论。
通过递归公式，我们可以建立数学模型，进而解决实际问题。
三、递归关系与递归公式的应用1. 计算机科学中的递归关系与递归公式在计算机科学中，递归关系和递归公式被广泛应用于算法分析和设计中。
算法设计与分析-递归法
b)
cn k
n1 n1
O (nlog b a ) T (n) O(nk log b n) O(nk )
a bk a bk a bk
但是并非所有的递推式都可以用公式法求解。 例T(n)=2T(n/2)+nlogn 由于a=2, b=2, f(n)=nlogn和nlogba=n。看起来似乎属于 主定理情况（3），但事实上f(n)只是渐近大于n，但并不 是多项式大于n。f(n)与的nlogba比值是log n，对于任何 正数，log n渐近小于n，所以，此例不能运用定理。
1 替换方法
替换方法要求首先猜测递推式的解，然后用归纳法证明。
例2.2 T(n) 2T(n / 2) n
需要注意在上述证明过程中，没有考虑初始条件，而初始条 件是归纳法成立的基础。上例归纳证明的初始条件是是 T(1)≤c，只要选择足够大的c≥1即成立。
2.迭代方法
迭代方法的思想是扩展递推式，将递推式先转换成 一个和式，然后计算该和式，得到渐近复杂度。 例2.4 使用迭代方法分析 T (n) 2T (n / 2) n2
本章要点
• 递归算法特性
• 递推关系 • 递归算法的应用
章节内容
2.1 递归算法 2.1.1 递归算法特性 2.1.2 递归算法的执行过程 2.1.3 递推关系
2.2 递归法应用举例
2.3 典型问题的C++程序
2.4 小结
2.1 递归法
2.1.1 递归算法的特性
若一个算法直接的或间接的调用自己本身，则称这个算 法是递归算法。递归本质上也是一种循环的算法结构，它把较 复杂的计算逐次归结为较简单的情形的计算，直到归结到最简 单情形的计算，并最终得到计算结果为止。
《算法设计与分析》递归算法典型例题
算法递归典型例题实验一：递归策略运用练习三、实验项目1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。
题目列表如下：（1）运动会开了N天，一共发出金牌M枚。
第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。
到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。
编程求N和M。
（2）国王分财产。
某国王临终前给儿子们分财产。
他把财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10；……；给第i 个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。
每个儿子都窃窃自喜。
以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。
请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？源程序：（3）出售金鱼问题：第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下11条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开或者有任何破损的。
问这鱼缸里原有多少条金鱼？（4）某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有n位乘客，到了第二站先下一半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人，问发车时车上的乘客有多少？（5）猴子吃桃。
有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？（6）小华读书。
第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？（7）日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。
算法设计与分析 第三章1 循环与递归
3．1．2 递归设计要点
◆递归算法是一个模块（函数、过程）除了可调用 其它模 块（函数、过程）外，还可以直接或间接 地调用自身的算法。 ◆递归是一种比迭代循环更强、更好用的循环结构。 ◆只需要找出递归关系和最小问题的解。 ◆递归方法只需少量的步骤就可描述出解题过程所需 要的多次重复计算，大大地减少了算法的代码量。
main( ) {int i,j,a[100][100],n,k; input(n); k=1; for(i=1;i<=n;i=i+1) for( j=1;j<=n+1-i;j=j+1) {a[i-1+j][j]=k; k=k+1;} for(i=1;i<=n;i=i+1) {print( “换行符”); for( j=1;j<=i;j=j+1) print(a[i][j]); } }
数学模型2：Sn=Sn-1+（-1）n+1An；
An=An-1 *1/((2*n-2)*(2*n-1))
main( ) {int i,n, sign; float s,t=1; input(n); s=1； sign=1; for(i=2;i<=n;i=i+1) {sign=-sign; t= t*(2*i-2)*(2*i-1)}; s=s+ sign/t; } print(“Sum=”,s); }
递归的关键
递归定义：使问题向边界条件转化的规则。递归定 义必须能使问题越来越简单。 递归边界条件：也就是所描述问题的最简单情况， 它本身不再使用递归的定义。
递归算法解题通常有三个步骤：
1）分析问题、寻找递归：找出大规模问题与小规模问 题的关系，这样通过递归使问题的规模逐渐变小。 2）设置边界、控制递归：找出停止条件，即算法可解 的最小规模问题。 3）设计函数、确定参数：和其它算法模块一样设计函 数体中的操作及相关参数。
求解递归方程的方法
求解递归方程的方法递归方程是一种用于描述数列、函数或其他对象的数学方程。
它通常通过将问题分解成更小的子问题来定义。
解递归方程的方法可以包括：递归直接求解、递归树、主定理、特征根法等。
首先，我们来介绍递归直接求解的方法。
递归直接求解是指通过不断展开递归式，直到出现边界条件，从而得到一系列的函数值，最终可以得到递归式的解。
这种方法通常适用于递归方程比较简单的情况。
举个例子来说明递归直接求解的方法。
假设我们要解递归方程f(n)=f(n-1)+2n，其中f(1)=1、我们可以展开递归式，得到f(n)=f(n-1)+2n=[f(n-2)+2(n-1)]+2n=...=f(1)+2(2)+...+2n=1+2+4+...+2n。
这个等式可以通过求和公式得到解为f(n)=2^(n+1)-2递归树是一种用于解递归方程的图形化工具，它将递归式展开为一个树形结构。
每个结点代表一个递归表达式的计算步骤，而边表示从一个结点到另一个结点的计算关系。
通过分析递归树的结构和计算路径，可以得到递归方程的解。
接下来我们以斐波那契数列的求解为例来介绍递归树的方法。
斐波那契数列的递归方程为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1、我们可以通过递归树来展示每一步的计算过程。
```f(5)/\f(4)f(3)/\/\f(3)f(2)f(2)f(1)/\f(2)f(1)```从递归树中可以看出，计算f(5)需要计算f(4)和f(3)，而计算f(4)需要计算f(3)和f(2)，以此类推。
在递归树中，每个结点的计算次数总是与其所对应的递归次数一致。
因此，通过递归树可以推导出递归方程的求解。
主定理是解递归方程的一种重要的数学工具，它适用于形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程的求解。
其中，a≥1，b>1是常数，f(n)是一个任意函数。
主定理给出了递归方程求解的一般公式。
主定理有三种形式：第一种形式适用于f(n) = O(n^c)，其中c<log_b(a)；第二种形式适用于f(n) = Θ(n^c log^k(n))，其中k≥0，c=log_b(a)；第三种形式适用于f(n) = Ω(n^c)，其中c>log_b(a)。
求解递归式的方法
求解递归式的方法递归是一种问题解决方法，它基于将问题分解为更小的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
递归式是一种表示一些问题与其子问题之间关系的方程式。
求解递归式的方法包括数学归纳法、递归树、主方法和代换法等。
一、数学归纳法数学归纳法是求解递归式的一种常用方法，它基于递推式的思想。
首先，我们需要证明基础情况的正确性，即递归式是否在一些起始点成立。
然后，我们需要假设递归式在一般情况下成立，即假设递归式对n=k成立，然后证明递归式在n=k+1时也成立。
通过推理和证明，可以得到递归式的解。
二、递归树递归树是一种图形化的表示方法，用于描述递归式的求解过程。
它将问题划分为不同的子问题，并将其表示为树的结构。
递归树的深度表示递归的层数，每个节点表示一个子问题，叶子节点表示基本情况。
通过计算每个节点的代价，可以得到递归式的解。
三、主方法主方法是求解递归式的一种常用方法，它适用于形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式，其中a≥1，b>1、主方法的基本原理是通过比较a、b和f(n)的关系，判断递归式的求解复杂度。
主方法分为三种情况：若f(n) = O(n<sup>c</sup>)，其中c<log<sub>b</sub>a，则T(n) =Θ(n<sup>log<sub>b</sub>a</sup>)；若f(n) = Θ(n<sup>c</sup>)，其中c=log<sub>b</sub>a，则T(n) = Θ(n<sup>c</sup> logn)；若f(n)= Ω(n<sup>c</sup>)，如果af(n/b)≤kf(n)，其中k<1，且存在d≥0使得af(n/b)≥df(n)，则T(n) = Θ(f(n))。
算法设计与分析实验报告
本科实验报告课程名称：算法设计与分析实验项目：递归与分治算法实验地点：计算机系实验楼110专业班级：物联网1601 学号：2016002105 学生姓名：俞梦真指导教师：郝晓丽2018年05月04 日实验一递归与分治算法1.1 实验目的与要求1．进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境；2．通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。
1.2 实验课时2学时1.3 实验原理分治（Divide-and-Conquer）的思想：一个规模为n的复杂问题的求解，可以划分成若干个规模小于n的子问题，再将子问题的解合并成原问题的解。
需要注意的是，分治法使用递归的思想。
划分后的每一个子问题与原问题的性质相同，可用相同的求解方法。
最后，当子问题规模足够小时，可以直接求解，然后逆求原问题的解。
1.4 实验题目1．上机题目：格雷码构造问题Gray码是一个长度为2n的序列。
序列无相同元素，每个元素都是长度为n的串，相邻元素恰好只有一位不同。
试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码（分治、减治、变治皆可）。
对于给定的正整数n，格雷码为满足如下条件的一个编码序列。
（1）序列由2n个编码组成，每个编码都是长度为n的二进制位串。
（2）序列中无相同的编码。
（3）序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。
2．设计思想：根据格雷码的性质，找到他的规律，可发现，1位是0 1。
两位是00 01 11 10。
三位是000 001 011010 110 111 101 100。
n位是前n-1位的2倍个。
N-1个位前面加0，N-2为倒转再前面再加1。
3．代码设计：}}}int main(){int n;while(cin>>n){get_grad(n);for(int i=0;i<My_grad.size();i++)cout<<My_grad[i]<<endl;My_grad.clear();}return 0;}运行结果：1.5 思考题（1）递归的关键问题在哪里？答：1.递归式，就是如何将原问题划分成子问题。
算法设计与分析—递归算法.ppt
//递归调用
return n * y;
}
}
9
为说明该递归算法的执行过程，设计调用过程如下：
void main(void) {
long int fn; fn = Fact(3); }
上述代码用实参n = 3调用了递归算法Fact(3)，而 Fact(3)要通过调用Fact(2)、Fact(2)要通过调用Fact(1)、 Fact(1)要通过调用Fact(0)来得出计算结果。Fact(3)的递 归调用过程如下图所示，其中，黑色实线箭头表示函数调 用，绿色虚线箭头表示函数返回，此函数在返回时函数名 将带回返回值。
由于堆栈的后进先出特性正好与递归函数调用和返回的过
程吻合，因此，高级程序设计语言利用堆栈保存递归函数调
用的信息，系统用于保存递归函数调用信息的堆栈称为运行
时栈。
栈顶
局部变量m 返回地址m 参 数m
……
……
……
局部变量2 返回地址2 参 数2
局部变量1 返回地址1 参 数1 栈底
运行时栈示意图
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递归函数被调用时，在每进入下一层递归调用时，系统 就建立一个新的工作记录，并把这个工作记录进栈成为运 行时栈新的栈顶；每返回一层递归调用，就退栈一个工作 记录。
设计：按照阶乘函数的递推定义式计算阶乘函数的递归算
法如下：
long int Fact(int n)
{ int x;
long int y;
if(n < 0)
//n < 0时阶乘无定义
{ printf(“参数错！”);
return -1;
}
if(n == 0) return 1;
else { y = Fact(n - 1);
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递归树方法举例
求解
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递归树方法举例
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更接近的上界？
思想: 加强推导的假设.
• 减一个低阶项
推导假设:对于 k < n , T(k) ≤ c1k2 – c2k.
T(n)= 4T(n/2) + n = 4(c1(n/2)2–c2(n/2))+ n = c1n2–2c2n+ n = c1n2–c2n–(c2n–n)
边界并不紧密 !
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更接近的上界？
我们要证明 T(n) = O(n2). 假设 对于k < n: T(k) ≤ ck2 T(n)= 4T(n/2) + n ≤ 4c(n/2)2 + n = cn2 + n = O (n2) 错误! = cn2 – (- n) [ 期望 – 余项] ≤ cn2 没有任何 c > 0满足. 失败!
比较f (n)和n
3.
logb a
:
),常量 0
logb a
f (n) (n
logb a + ε
f (n)增长比多项式 n
快（快n 倍）
并且f (n)满足规定条件 af (n / b) cf (n),常量c 1。 解：T (n) ( f (n))。
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主方法的思路
情况2： (k=0)在logbn层中 每层的加权基本相同
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
主方法的思路
情况3：权重从根到叶子几何级数 递减。根在整个权重中仅仅是常量 部分
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求解
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主方法
主方法适用于下面的递归形式
a 1, b 1, f为正的渐进函数
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三种情况
比较f (n)和n
1.
logb a
:
- ε logb a
logb a
f (n) O(n
),
0
f (n)比多项式n
余项
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例子（续）
• 我们必须要处理初始条件，也就是说，首先要 保证推导在初始情况成立。 • 初始：当n0为适当的常量时，对于所有n< n0 T(n) = Θ(1)都成立。
• 如果我们选择足够大的c，那么对于 1 ≤ n < n0, “Θ(1)” ≤ cn3.
≤ c1n2–c2n 如果 c2≥1.
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选择足够大的 c1 使初始条件成立。
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递归树方法
• 递归树对算法递归执行的花费（时间）建 模 • 递归树方法可以用作替代法之前的猜想。 • 递归树方法可能不是很可靠 • 然而，递归树方法有启发的作用
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举例
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举例
这时主方法不适用。
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主方法的思路
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主方法的思路
情况1：加权从根到叶子几何级数 增长。叶子在总的权重仅仅占常量 部分
算法设计与分析
讲授内容：求解递归式 教 师：胡学钢、吴共庆
2014年11月13日
求解递归式
• 合并排序的分析需要求解一个递归式 • 求解递归式就像求解积分，微分方程一样。
。学会一些技巧
• 递归式的应用
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替代法
最通用的方法： 1. 猜测解的形式。 2. 通过推导验证。 3. 解出常数。
增长的慢（慢 n 倍） ).
解：T (n) (n
2.
logb a
f ( n) ( n f (n)和n
logb a
lg k n),常量k 0。
logb a
logb a
增长速度相同 lg k 1 n)
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解：T (n) (n
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三种情况（续）
例子:
T(n) = 4T(n/2) + n • [假设 T(1) = Θ(1).] • 猜测 O(n3). (分别证明 O 和 Ω.) • 假设 T(k) ≤ ck3 对于 k< n . • 通过推导证明 T(n) ≤cn3 .
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替代法举例
T(n) = 4T(n/2) + n ≤ 4c(n/2)3 + n = (c/2)n3 + n = cn3 –((c/2)n3 – n)← 期望 – 余项 ≤ cn3 ← 期望 (c/2)n3 – n ≥ 0, 例如,如果 c ≥ 2 且 n ≥ 1.
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递归树方法举例
求解
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递归树方法举例
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递归树方法举例
求解
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递归树方法举例
求解
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