初二数学提高题[附标准答案]

33

33

l

O

H

x

y

B

A

3333综合题

1.如图(1),直角梯形ＯＡBC 中,∠A= 90°，AB ∥ＣO, 且ＡB=2，OA ＝23,∠BC Ｏ= 60°。 （1)求证:∆ＯＢC 为等边三角形;

(2)如图(2），ＯH ⊥ＢC 于点H,动点P 从点H 出发,沿线段H Ｏ向点Ｏ运动，动点Q 从点O 出发，沿线段O Ａ向

点A 运动,两点同时出发,速度都为1／秒。设点P 运动的时间为t 秒,ΔＯPQ 的面积为Ｓ，求Ｓ与t 之间的函数关系式,并求出t 的取值范围; (3)设PQ 与OB 交于点M ，当OM=PM 时,求t 的值。

解：1)根据勾股定理，ＡB=２,OA=23,则ＢO=4=2A Ｂ，所以△ABO 是一个３0°６0°90°的三角形。 ∵A Ｂ／/C Ｏ，∠A=90°∴∠A ＯC=１８０°-90°=90° ∵∠AOB=30°，∴∠BO Ｃ=9０°-30°=６0°=∠C ∴△OB Ｃ为等边三角形

2)∵点P 运动的时间为t 秒,∴O Ｑ=PH=ｔ ∵OH ⊥BC ，∴∠CHO=9０°,

∴∠COH ＝30°,ＯＨ=( ／2)BC=2 ∴∠Q ＯＰ＝60°,ＯP ＝2 -t

∴Ｓ＝1/2ｔ(２ -ｔ)× ／2=3／2t- /４t ²，且（0＜ｔ＜2 ) 3)∵ＯM=PM,∴∠MOP=∠ＭPO=３0° ∵∠ＱOP=60°,∴∠PQO=90°,∴ＯP=2ＯQ 得到方程：2 -ｔ=2t ，解得ｔ＝(2／３)3

2. 如图,正比例函数图像直线l 经过点A （3，5),点B 在x 轴的正半轴上，且∠A ＢＯ＝45°。AH ⊥OB,垂足为点H 。

(1）求直线ｌ所对应的正比例函数解析式；

图(1)

60︒

B C A o

图(2)

60︒

M P

Q

H

B

A o

（备用图）

H

60︒

B

C

A

图2

图1

A

B

C

D

E

F

F E

D

C

B

A

（2）求线段AH 和ＯB 的长度;

(3）如果点Ｐ是线段O Ｂ上一点，设OP =x ，△APB 的面积为S ，写出S 与ｘ的函数关系式，并指出自变量x 的

取值范围。

解:1)设y=ｋｘ为正比例解析式,当x ＝３,y=5时，3k=5，k=5/３ 2)A Ｈ即A 的纵坐标,∴ＡH=5

∵ＡＨ⊥B Ｈ，∠ABH ＝４５°，∴∠H ＡＢ=∠ＡBH=45°，∴AH=B Ｈ=5 ＯH 即A 的横坐标，∴OH ＝3 ∵OB=OH ＋BH,∴ＯＢ=5＋3=８ 3)∵OB=8，OP ＝ｘ,∴ＢP=8-x

∴Ｓ△AB Ｐ=1/2BP ×AH=１/2(８-x)×5=20-(5/2)x x 的取值范围是0≤x<8

３.（本题满分12分，第1题4分，第２题6分,第3题2分)

已知在△ABC 中，∠ACB ＝9０°，AC ＝BC,点D 是A Ｂ上一点,AE ⊥AB ，且AE=BD ，D Ｅ与AC 相交于点F 。 (１）若点D 是AB 的中点（如图1）,那么△CDE 是 等腰直角三角形 三角形,并证明你的结论；

（2）若点D 不是ＡＢ的中点（如图２),那么(１)中的结论是否仍然成立，如果一定成立,请加以说明，如果

不一定成立，请说明理由；

(3)若AD ＝AC,那么△AEF 是 等腰 三角形。(不需证明)

解:１)△CDE 是等腰直角三角形

2）成立,在△A ＢC 中,∵∠A ＣＢ=90°，A Ｃ=BC,∴∠CAB=∠B=４５° ∵ＡE ⊥AB,∴∠ＥAB=９０°,∴∠EAC ＝90°-45°=45°＝∠B 在△ACE 与△BCD 中，

∵AE=BD ，∠ＥAC=∠B,AC=BC ，∴△ＡCE ≌△BC Ｄ ∴C Ｅ=C Ｄ,∠ＡC Ｅ=∠BCD