广义积分敛散性判别探讨
微积分学广义积分敛散性判别说课讲解
(5) 无穷积分也可 分按 的照 换定 元积 法.进行计算
( 6 ) 若 [ a , ) 上 在 f ( x ) g ( x ) ,则 f ( x ) d x g ( x ) d x .
a
a
3. 无穷积分敛散性的判别法
实际, 我 上们可以将定 无义 穷式 积写 分成 的下 : 面
a
a
则(1 由 )立即可: 得 f(x 出 )dx收 矛.敛 盾 a
与级数的情 , 比 形较 类判 似别法也 穷是 积判 分别 敛散性的重 . P要 积方分法是重要的 之比 一 . 较标
定理 （比较判别法的极限形式法）
设 f(x ),g (x )为定 [a , 义 )上在 的, 非 A [a ,负 ), 函
a f( x ) d x F ( x )0 x l iF ( m x ) F ( a ) . b f( x ) d x F ( x )b F ( b ) x l iF m ( x ). f( x ) d x F ( x ) x l i F ( m x ) x l i F ( m x ) .
x
G (x) g(t)dt
在 [a, )上有 . 上界
a
由 a x 时 , 0 f( x ) g ( x )得
x
x
0af(t)dtag(t)dt,
从而, 积分上限函数
x
F(x) f(t)dt
在 [a, )上有, 上界
a
故积 f分 (x)dx收.敛 a
(2) 运用反证.法
如 f果 ( x ) d x 发 ,积 散 g 分 ( x 时 ) d x 收 , 敛
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例5
讨P 论 －积a 分 d xp x (a0)的敛散性，
广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
广义积分敛散性分析_唐廷载
的还是发散的,数P的选取就带有一定的盲目性,常常出现不是把P选大了就是把P
选小了,因而不能判定的情况.究其原因,就是没有对被积函数厂(x)在x”+co或x、
b一0时的数量级进行必要的估计、分析,或者不一明确厂(x)的数量级同广义积分敛散性
阶数不高于从。<、<l)}。,,、}。,}。n,、汗。).,‘.,占沪}名声喃伪、}‘U,孟,口二‘{,人J)、
一
竺型噜生一一一一一一一{‘{{--—非无穷小量的正有界量{(氏1〕{发散{(o、1)1收敛阶数不高于;(。<;<l){,八、,、_,’庵。}。。,、一卜护豪器劣吴童尸、“一尸一“…‘”,‘’“’博散{〔气‘’准歇
唐拜载
1。问题的提出
在〔l〕第331一332页和第338页上,分别给出了两个极限形式的比较判别法:
I、设在〔a,+co)上厂(x)》0、并且连续:.
(1)如果limx”f(x)二l,其中0砍I<+co,P>l,
则I)”,(x)dx收敛;
(2)如果limx广(x)二l,其中0<l(+的,P簇l,
十‘.
表2广义积分敛散性同被积函数数量级和P的选取范围的关系
一
一-----,-----~-~
f(x,的数”一丁卜x)As一}一丁:f(x)d劣-
p的选取范围{敛散性
(l,+co)!收敛
P的选取范围{敛散性
常量零(一OO,1)1收敛敛
严巫阵l一阵一呼一阵阶数不低于入(入>l)的无穷小量(1,入〕敛}(一入,1)收敛1阶无穷小量散1(一‘,士…收,
二
柯西判别法在广义积分敛散性中的运用
柯西判别法在广义积分敛散性中的运用
作者：余小飞郭洪林
来源：《开心素质教育》2017年第07期
【摘要】本文首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，重点研究了柯西极限判别法在无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，并用例题加以说明。
【关键词】广义积分收敛发散
广义积分是定积分的推广形式，实际应用非常广泛，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要。
一、无穷区间上的广义积分
（1）定义
设函数f（x）在[a，+∞）上有定义，对？b>a，记
柯西极限判别法用极限的形式研究了广义积分的敛散性，为我们提供了很好的判别方法，非常值得推广运用。
（作者单位：河南工业职业技术学院）
参考文献：
[1]白水周.无穷限广义积分的几种有效解法[J].开封大学学报，2000，14（1）：49-50.
[2]李绍成.论广义积分的计算[J].绵阳农专学报：自然科学版，1996，13（2）：65-70.
[3]数学分析.华东师范大学数学系[M].高等教育出版社，2001.。
柯西判别法在广义积分敛散性中的运用
收敛 ；
ｅ
＝
ｐ －１
ｅ － ｘ ａ Ｘ ＋ Ｉ ｌ ｅ － ｘ ｄ ｘ
寸 于积分
ｅ ～ ｄ ｘ， 当 Ｐ＞ ０时， １ 一 ｐ＜１， 且
ｉ ｍ ｌ － ｐ ｐ － ｌ ｅ － Ｘ ） ＝１， 此 当 ｐ＞ Ｏ时 ， 广义积分 １ ｐ ＿ Ｉ ｅ － ｘ ｄ ｘ收敛 ；
ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ ＝ 规上 ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ ，
称 之为 函数 ， 在 ， ＋ 。 。 ） 上 的广义积分 。 若 式 中的极 限存在 ， 则称 此广 义积 分收敛 ， 极 限
ｆ ， ） 出 ＝ ｌ 一 ｉ ｍ … ［ ｂ ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ ，
称之为 函数 － 厂 ） 在 ， ６ 】 上 的广义积分 。
泛， 而对广 义 积分 而言 ， 求其 值 的一个 先决 条件 就是 广义 积分收敛 ， 否则毫无 意义 ， 因此 ， 广义积分 的敛散
性判别显 得十分重要 。
一
ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ收敛 ；
若… ｌ ｉ ｍ ｘ ／ ） ＝ ｚ ， 而０ ＜ｆ ≤＋ ＊，ｐ ≤１， ， 则广 义积 ， ∽ 分发散 。
０ ＜ ｊ ｃ ≤＋ ，ｐ ≥１， ， 此 时称瑕积分 发散 。
： 、 例析
于是 姆
ｌ ｎ ｉ １ ＝ｌ ｌ ｉ ｍ＇ ｘ ＂： ０
ｎ 一 【 二 ｒ ０ 。
。
１ ） 判别 ＋ ￣ ｐ － Ｉ ｅ － ｄ ｘ 的敛散 。 辱 该 积分写成
。
由于 一 ｇ ＋ ８ ＜１， 故 此时 １ ｌ 若 Ｐ ≤一 １ （ 假定 ｑ ＞一１） ， 则
故当ｍ ｉ ｎ （ Ｐ ， ｇ ） ＞ １ 时， 积 分Ｉ 了 十 ｄ ｘ 收 敛。
广义积分敛散性判别法的应用
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
t工一
易不石
InA+co,0<a(1
0,a>l
于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
(5)广义积分敛散性的判别法,
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
定理
（比较判别法的极限形式法）
设 f ( x) , g ( x) 为定义在 [a, ) 上的非负函数 , A [a, ) ,
f ( x) , g ( x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
(3) 当 时 , 无穷积分
a
g ( x) d x 发散 , 则
a
例1 解
判别无穷积分
1
arctan x d x 的敛散性. x
因为
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
故无穷积分
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a x
上有上界 , 则无穷积分
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
广义积分的敛散性
广义积分的敛散性
广义积分判断敛散性的方法是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。
但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。
因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。
这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。
论广义积分敛散性的判别方法
ｆ（ ） ， 。 ｘ ｋ ｆ（）
， １２ ：，
．．，
１ ， 所 以 有 ：
厂 出 ∑ ｒ ｘ 因 ｋ １ｆ （ａ存 有 （ ≤ （“ 厂）． 为ｌ＜， ｘ ｘ 在 限 功 ｎ膏 ） ａ又 ｆ ）
且正 而 ｒ厂）＜ 为 ， 有 （ｘ 从 ｄ
ｎ ，
（） ２ 进行证 明 ： 证明 （ ） １ 设 ａ＞ 且 ｆ ｘ ＞ （Ｖｘ ａ ＋ ） ． ０， （ ） ０， ∈［ ， ） 由于 ｆｘ 恒 为 正 ， 只须 （） 故
厂） 敛 一 ｑ时 穷分 。（ ｘ散 （ ； 。 ， 积ｒ厂） 发。 收 当 。 ｃ 无 ｌ ｘ ｄ
１ ＿ ｌ 】 一
ｌ ｉ ｍ
ｘ Ｉ ｎｘ
＝ｇ 或 者 ±∞） 则 当 ＜ｑ ＋∞ 时 ， 穷 积 分 （ ， 无
安 １ 有 厂）收 （； ≤ ， ： （ 敛１ 则 ）
如 ≥ ， ： 厂）发 （．下 别 （及 果等 ÷则 （ 散 ） 分 对１ 有 ２如 ）
已知条件可知 ：
。ｋ ）， ｆ＇ｄ 由 （％ｘ －
） 舭较别可 判法知 扣 故
Ｉ ｘ ＾。 （ 收 。 ｆ ＋ 。 敛
当 ｑ＝＋∞时 ， 由正无 穷 大 的定 义 ， ＶＴ＝１＋ａ＞１ ａ＞０） Ｍ＞ （ ， ｍａ （ ＇ ｘ ａｌ ｘ一 啪 ：ｎ－ － ｉ
厂） ． ）＋ ｘｘ 端一积是 （ ＝ 。 ｆ （ 第个分常 厂 ４ ）， （ ， ｄ右 ｆ
…
ｌ （ ） ，则 ｉ ｆ ｍ ￣ 厂 ）
。
＝
当 ÷ ， 厂 ） 敛３ ｌ 时 （出收 （； ）
当 时 厂 ） ４ 于３４，文 再 ｌ ， （出发 （。 （ （ 本 不 证 ÷ ） ））
明。
１利用 被 积 函数 的 性 态 ， 有 两 种 判 别 方 法 判 别 正 函 可 数 广 义 积分 的 敛 散 性
汤家凤广义积分的敛散性判断
汤家凤广义积分的敛散性判断
汤家凤广义积分又称为广义模量积分，是一种广义分析的工具，它通过对一个把定的的函数的不同变量的偏导数，有效地定义了积分。
丙丁且，在汤家凤广义积分的敛散性判断中，还有一些重要的要素需要考虑：
一、解的有界性：使用汤家凤广义积分的数学模型是否有一定的解？对汤家凤广义积分来说，若所求解不存在无穷大或无穷小，则解为有界。
二、不变系统：汤家凤广义积分数学模型的系数是否不变？如果系数不变，则需要考虑其他参数如几何情况是否确定，以及单位根和零点是否已知。
若变量系数，则定义不唯一，不能得出有效的敛散性结论。
三、存在环境：汤家凤广义积分的计算环境是一个重要考虑因素，即数学模型的变量以及上下文的变化是否独立于汤家凤广义积分的要求。
这个考虑因素可以帮助决定积分的敛散性。
四、计算的精度：当汤家凤广义积分的计算精度较高时，它可以有更快的收敛速度，从而对散度敛定义更为准确。
这也是考虑和确定敛散性判断的关键性参数。
五、考虑权重：应该考虑汤家凤广义积分所承担的各种权重情况，比如权重的改变和计算的精度等，都会影响敛散的结果。
通过考虑汤家凤广义积分的多种权重情况，可以有效地辅助进行散度敛定义。
六、外围变量：若将外围变量加入汤家凤广义积分，可以有效地平衡积分值的散度结果，使结果更加准确。
因此，一定要考虑外围变量的变化，以便得出理想的结论。
总之，通过全面注意上述要素，可有效地得出汤家凤广义积分的敛散性判断，从而更加准确地预测数据变化，改善数学模型的精度。
讨论下列广义积分的敛散性
讨论下列广义积分的敛散性
广义积分是高等数学中一个重要概念，它有着宽阔的用途及计算结果，在反映
其行为特征时，其敛散性受到广大学者的关注。
首先，将概念上说，广义积分的敛散性取决于在定义域内函数f(x)是否收敛
累积，以及该函数的收敛速率。
收敛性指的是曲线的拐点和不变点之间的连续性，其计算方法也有明显的不同。
若曲线的收敛性越大，整体累积越小，那么积分级数的敛散性也就越强。
反之，当函数f(x)在定义域内变得无限接近于零时，则其敛
散性也就越弱。
其次要说的是，广义积分的敛散性越强，则其可计算性、容易性以及有效性也
就越佳；号反之，数勒定理的范围则会在一定程度上受到限制，不仅影响内在价值的提升，也令计算结果不尽人意。
因此，对敛散性的研究和突破有着重要的意义。
最后再说的就是，掌握广义积分的敛散性并开展有效利用，有助于加深学生对
高等数学的认知，促进我们了解数学之美与思维方式的拓展，以及日后能够利用高等数学在学术研究和工业应用中发挥重要作用。
只有在了解深入，才能有效发挥数学在现实社会中所起到的重要作用，从而更好忠实数学及职责，推动现代社会发展.。
广义积分敛散性判别方法探讨
广义积分敛散性判别方法探讨引言在数学初学者学习积分的过程中，会接触到定积分及广义积分的概念。
定积分的计算可以通过积分公式和分部积分法等一系列方法进行求解，但广义积分的计算相对困难，必须先判断其敛散性，然后才能定量计算。
因此，本文将探讨广义积分敛散性判别方法，让读者更好地理解和掌握这一知识点。
广义积分概述广义积分是指被积函数在积分区间上具有无限变化或在有限变化之外的点具有间断、奇异等性质的积分。
它与定积分相比，可以扩展进行积分的范围。
常用的广义积分可以分为以下两类：第一类广义积分第一类广义积分的被积函数在积分区间的某一端点或两个端点附近有无穷大的极限值或具有无限间断点。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}dx$和$\\displaystyle\\int_{1}^{2}\\frac{1}{(x-1)^{1/2}}dx$都属于第一类广义积分。
第二类广义积分第二类广义积分的积分区间是无限的，在无穷远处或在某一点处可能有无限大的变化。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}dx$和$\\displaystyle\\int_{0}^{1}\\frac{1}{x^{1/2}}dx$都属于第二类广义积分。
敛散性判别方法广义积分在计算时必须先判断其敛散性，只有在敛的情况下才能对其进行求解。
下面是判别广义积分敛散性的常用方法。
第一类广义积分的敛散性判别方法一、比较判别法如果存在两个广义积分：$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$和$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$且满足：$\\forall x>a,\\ f(x)\\ge g(x)\\ge 0$则有：1.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$收敛，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$收敛；2.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$发散，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$发散。
关于广义积分敛散性定义的思考
关于广义积分敛散性定义的思考
广义积分敛散性是指一个函数的积分在某一区间上的值，可以由函数在该区间上的值来确定。
它是一种重要的数学概念，在微积分、泛函分析、概率论等领域有着广泛的应用。
广义积分敛散性的定义是：设f(x)是一个定义在[a,b]上的连续函数，若存在一个定义在[a,b]上的函数F(x)，使得F(x)在[a,b]上连续，且满足F(x)=∫a^bf(t)dt，则称f(x)在[a,b]上具有广义积分敛散性。
广义积分敛散性的定义表明，函数f(x)在[a,b]上具有广义积分敛散性，则函数f(x)在[a,b]上的积分值可以由函数f(x)在[a,b]上的值来确定。
这一性质可以用来解决微积分中的许多问题，例如求解某一函数的积分值，求解某一函数的极限等。
此外，广义积分敛散性还可以用来推导泛函分析中的一些重要概念，例如函数的极限、函数的连续性、函数的可导性等。
此外，广义积分敛散性也可以用来推导概率论中的一些重要概念，例如随机变量的期望、随机变量的方差等。
总之，广义积分敛散性是一种重要的数学概念，它在微积分、泛函分析、概率论等领域有着广泛的应用，可以用来解决许多数学问题。
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摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.关于反常积分敛散性的判别，在目前的文献中有不少介绍，反常积分的敛散性的判别方法与技巧丰富多彩.本文主要通过对反常积分的定义以及性质来探讨它的敛散性，主要讨论了无穷积分和瑕积分的敛散性判别，以及混合型反常积分的敛散性.由于本人水平有限，文中有错误与不足之处，希望予以批评指正.第二章 无穷积分2.1 无穷积分的概念与性质2.1.1 无穷积分的概念定义1 设函数f 定义在无穷区间[a ,+¥]上，且在任何有限区间[a ，u ]上可积，如如果存在极限lim ()ua u f x dx J ?=ò，则称此极限J 为函数f 在[a ,+¥)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作()aJ f x dx +=ò，并称()af x dx +ò收敛.如果极限(1)不存在，为方便起见，亦称()af x dx +ò发散.类似的，可定义f 在(-¥，b ]上的无穷积分： ()lim ()bb uu f x dx f x dx -?=蝌.对于f 在(-¥，+ )上的无穷积分，它用前两种无穷积分来定义：()()()a af x dx f x dx f x dx +?-?=+蝌其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的，并且它的收敛性与收敛时的值与实数a 无关.2.1.2无穷积分的性质由定义知道，无穷积分()af x dx +ò收敛与否，取决于函数()()ua F u f x dx =ò在u ? 时是否存在极限,因此可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质. 性质1 若1()ax dx f+ò与2()ax dx f+ò都收敛，1k ，2k 为任意常数，则212()()1ax x dx ff k k + éù+êúûëò也收敛，且 21121()()()1a ax x dx x dx f f fk k k +?éù+=êúûë蝌 22()ax dx fk ++ò性质2 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，a b <，则()a f x dx +ò与()bf x dx +ò同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有()()()b aa bf x dx f x dx f x dx +?=+蝌其中右边第一项是定积分.性质3 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，且()a f x dx +ò收敛，则()af x dx +ò亦必收敛，并有()()a af x dx f x dx +? £蝌。
当()af x dx +ò收敛时，称()af x dx +ò为绝对收敛，性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛.但它的逆命题一般不成立.收敛而不绝对收敛者我们成为条件收敛. 以上是无穷积分的一些基本性质.2.2 无穷积分的敛散性判别无穷积分的敛散性判别有多种方法，在这里我们只研究函数为正的情况(函数为负的情况可视为正函数的相反函数).2.2.1定义法利用无穷积分的定义以及极限的思想来判别无穷积分的收敛性，这种方法适用于无穷积分所对应的定积分容易求出原函数的类型. 例1 讨论下列无穷积分的收敛性(1) 1p dx x+ ò (2) ()2ln p dxx x + ò (3)21dxx+-ò+ (4) 2d 1xx +-+ò解 (1)容易求出111(1),1,1ln , 1.pupp dx p u p u x -í- ï-=ìï=ïîò， 于是有11,1,1lim ,1u p u p dxp p x ?í>ï-=ìï+ィïîò因此所求无穷积分当1p >时收敛 ，其值为11p -；而当1p £时发散于+ （2）先求出它所对应的定积分的原函数，令ln t x =()22(ln )(ln )ln ppdxd x x x x +?=蝌ln 2pdtt+=ò由上题可知，该无穷积分当1p >时收敛，当1p £时发散.(3)任取实数a ，讨论如下两个无穷积分 21adxx-ò+ 和21adxx+ò+由于2lim lim (arctan arctan )1vav vdxv a x?ギ+=-ò+arctan 2a p=- 因此这两个无穷积分都收敛，由定义1，222111a adxdxdxxxxp +?-?=+=蝌 +++(4)将所求积分拆为222d d d 111a a x x xx x x +? -?=++++蝌 而 22d d lim 11u aa u xx x x + ? =++蝌 2211lim [ln(1)ln(1)]22u u a ? =+-+ 它是发散的，而同理2d 1a xx- +ò也是发散的，故所求无穷积分发散. 注：(3)由于上述结果与a 无关，因此若取0a =，则可使计算过程更简洁些.(4)很多初学者会把它算成0，要注意计算它的结果时，先考虑它是不是收敛的.由上述这三个小题可以看出来，定义法判别无穷积分的收敛性非常简洁，而且有效.2.2.2 柯西收敛准则由定义知道，无穷积分()af x dx +ò收敛与否，取决于函数()()ua F x f x dx =ò在u ? 时是否存在极限.因此可以由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则.定理1（柯西收敛准则） 无穷积分()af x dx +ò收敛的充要条件是：任给0e >，存在G a ³,只要12,G u u >，便有2121()()()aau u u f x dx f x dx f x dx u e -=<蝌柯西收敛准则是研究数列，函数的敛散性的一种重要的方法，在研究无穷积分的敛散性时它同样非常重要.例2 讨论下列无穷积分的收敛性(1) 21dxx+ò (2) 2x x dx e +-ò(3) 221dxx ++ò 解：(1)取12,u u 且12u u <，有212122211dxdx dx u u u u xx x-=蝌1211u u=-由于2110u u >>>，故12110u u>>，所以121111u uu-<对任意0e >，取11G e=+，当12,G u u >，有 121111111G G u uue -<<<=- 故由柯西收敛准则，该无穷积分收敛(2)运用换元法，求出2212x x x dx C e e--=+ò(常数) 取12,u u且12u u <，有222122100u u u x x x x dx x dx x dx u e e e ----=蝌 2221121122u u u e e e---=-< 对任意0e >，取1ln12G e=+，当12,G u u >，有 2221ln 21111(1)12222G u G e e e e ee -----<<== 故由柯西收敛准则，该无穷积分收敛 (3) 取12,u u 且12u u <，求出122122212121dx dx dx u u u u x x x -=+++蝌2111ln 2122u u +=+ 这个积分是发散的，事实上，对任何2G >取1251,22G G u u =+=+总能使21201111ln ln 202121222dx u u x u u e +===>++ò故该无穷积分不收敛我们可以类比无穷积分的柯西收敛准则，写出无穷积分()af x dx +ò不收敛的充要条件：存在00e >，对任何G a ³，总可以找到12,G u u >，使得2121()()()a au u u f x dx f x dx f x dx u e-=蝌以上两种方法是判别无穷积分敛散性的最基本得方法，它们都是建立在所求无穷积分对应的正常积分的原函数容易球的情况下，不过对于某些被积函数比较复杂或者原函数不好求的无穷积分，定义法能就不好用了，此时我们可能要用到下面的方法.2.2.3 绝对收敛判别法由于()ua f x dx ò关于u 上限是单调递增的，因此()af x dx +ò收敛的充要条件是()uaf x dx ò存在上界.我们可以说明一下：令()()ua F u f x dx =ò,且12a u u >>，于是121212()()()()()a au u u F F f x dx f x dx f x dx u u u -=-=蝌 根据积分的性质，有1122()()0u u f x dx f x dx u u 吵蝌， 故()()ua F u f x dx =ò是单调递增的. 例3 讨论下列无穷积分的收敛性 (1) 22sin xdx x+ò (2) 0sin x e xdx +-ò解：(1)考虑22sin xdx x+ò，令2sin ()xf x x=，21()g x x=于是有()()f x g x £ ，根据积分不等式有2222sin 1u u xdx dx x x£蝌而2211(),(2,)2udxF u u ux==-? ò ，故1()2F u <，所以12也是22sin u x dx xò的上界，故所求无穷积分绝对收敛 (2)考虑0sin x e x dx +-ò，令()sin x f x x e -=，()xg x e -=，sin xxxx eee ---?，故()()f x g x £根据积分不等式有0()()f x dx g x dx +?£蝌，故 0sin xxxdx dx ee+? --£蝌0lim uxu dx e -?=òlim ()1u u e e -?=+=-，即1是0sin x e x dx +-ò的一个上界，所以所求积分绝对收敛.由这两个小题可以看出，我们在确定()a f x dx +ò是否收敛时，也得到了另外两个收敛的无穷积分———()a g x dx +ò，也就是21adx x+ò和xa dx e+-ò，他们有两个共同特点，被积函数()g x 在被积区间是非负的并且()()xa F x g t dt =ò有上界，因此我们可以把这一小节的判别方法的条件和范围扩充一下：对于无穷区间[,)a + 上的无穷积分()af x dx +ò，只要()f x 在[,)a + 非负并且()()xa F x f t dt =ò有上界，则无穷积分()af x dx +ò收敛.这也是一种无穷积分收敛的判别方法，并且如果被积函数是非负的，那么这种无穷积分收敛与绝对收敛是同一回事.2.2.4 比较判别法根据对上一个方法的分析，可以导出下述比较判别法：定理2(比较法则) 设定义在[,)a + 上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[,]a u 上可积，且满足()(),[,)f x g x x a Ｎ+ ， 则当()a g x dx +ò收敛时()a f x dx +ò必收敛(或者，当()af x dx +ò发散时，()a g x dx +ò必发散). 例4 讨论2sin 1x dx x++ò的收敛性解：由于22sin 111x xx£++[0,)+ ，以及21odxx+ò+为收敛(例1(3))，根据比较法则，2sin 1x dx x++ò为绝对收敛.例5 讨论11dxx++ò的收敛性 解：因为[1,)x ? ，所以1x ³，21x x ?，所以111122x xx?+，令1()1g x x =+，1()2f x x=，即()()f x g x <，又11111()22f x dx dx dx xx+??==蝌 是发散的(例1(1))，所以1()g x dx +ò必发散，即11dxx++ò发散.运用比较法则，我们并不需要求出无穷积分所对应的定积分的函数形式，只需要通过适当的放缩，把要求的问题转移到一些简单的无穷积分的问题上，或者已知其敛散性的无穷积分上，所以此时放缩成了解题的关键.在运用比较法则时，我们除了直接进行比较外，有时候也会用到比较的极限形式. 上述比较法则的极限形式如下：推论1 若f 和g 都在任何[,]a u 上可积，()0g x >，且()lim()x f x c g x ?=，则有：(i)当0c <<+ 时，与()af x dx +ò同()a g x dx +ò敛态；(ii) 当0c =时，由()a g x dx +ò收敛可推知()af x dx +ò也收敛；(iii) 当c =+ 时，由()a g x dx +ò发散可推知()af x dx +ò也发散这也是研究两个不同的无穷积分的敛散性关系的一种方法.2.2.5 柯西判别法在比较法则中，当选用1pdxx+ò作为比较对象()a g x dx +ò时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(柯西判别法).推论2 设f 定义于[,)(0)a a +?，且在任何有限区间[,]a u 上可积，则有：(i)当1()pf x x£，[,)x a ? ，且1p >时()a f x dx +ò收敛；(ii) 当1()pf x x³，[,)x a ? ，且1p £时()a f x dx +ò发散；推论3设f 定义于[,)a + ，且在任何有限区间[,]a u 上可积，且lim()px f x xl ?=则有：(i)当1p >，0l?+ 时，()af x dx +ò收敛；(ii) 当1p £，0l <? ，时，()af x dx +ò发散.例4 讨论下列无穷积分的收敛性(1) 1xdx x ea +-ò （2）251dx x x ++ò (3) 0,(,0)1mndx n m x x+³+ò解 这三个积分的被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事(1)由于对于任何实数a 都有22l i m l i m0xxx x x x xeea a+-?ギ+== ，因此根据上述推论3(2,0p l ==),推知(1)对任何实数a 都是收敛的.(2)由于 2125lim11x x xx ?=+. 因此根据上述推论3（1,12p l ==），推知(2)是发散的. (3)由于limlim 111mnn mn n x x x x xx x-?ギ+ ==++ ， 所以当1n m ->时，由推论3(1,1p l >=),所求积分是收敛的， 当1n m - 时，由推论3(1,1p l?),所求积分是发散的.对于()bf x dx - ò的比较判别亦可类似的进行.由上述讨论，柯西判别法是比较判别的一种特殊形式，对于具体的问题可以通过不同的p 和l 的值来讨论不同的无穷积分的敛散性，比较实用而且简单.2.2.6狄利克雷判别法和阿贝尔判别法前面我们讨论的无穷积分的被积函数都是一个整体的情况，接下来我们讨论被积函数是两个函数乘积的情况.定理3(狄利克雷判别法) 若()()ua F u f x dx =ò在[,)a + 上有界，()g x 在[,)a + 上当x ?时单调趋于0，则()()af xg x dx +ò收敛.定理4(阿贝尔判别法) 若()af x dx +ò收敛，()g x 在[,)a + 上单调有界，则()()af xg x dx +ò收敛.证 由()af x dx +ò收敛，即对任给0e >，存在G a ³，只要12,G u u >，便有2121()()()2aau u u f x dx f x dx f x dx u Me -=<蝌()g x 在[,)a + 上单调有界，不妨设()g x 是单调递增的，且()g x M £。