量子力学的五大公设

Ylm* (lˆx2 lˆy2 )Ylmd l(l 1) 2 m2 2
lx2 ly2 l(l 1) 2 m2 2
lx2
l
2 y
lx2
l
2 y
1 [l(l 2
1)
m2 ]
2
则测不准关系：
(lx )2
lx2
2
lx
l y2
(ly )2
l
2 y
2
ly
l
2 y
(lx )2 (ly )2 lx2 ly2
将体系的状态波函数 用算符A的本征函数 n
An Ann （ A A）展开
ann ad 在 态中测量力学量A
得到结果为
An
的几率是
an
2
测得结果在 d
的几率 a 2 d 求A的平均值
A an 2 An a 2 Ad
五.全同性原理公设（以后再学）
态叠加原理
若1，2 ,..., n ,...是体系的一系列可能的状态， 则这些态的线性叠加= C11 + C22 + ...+ Cnn + ...
dH n
d
2nHn1( )
Hn1 2 Hn 2nHn1 0
H2 = 2H1-2nH0 = 42-2
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数
(x)的递推关系：
x
n
(
x)
1
[
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)]
d dx
n
(
x)
[
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)]
四. 平面转子的能量本征值与本征态
等式两边右乘 lˆx
i lˆx2 lˆylˆzlˆx lˆzlˆylˆx lˆy (lˆxlˆz i lˆy ) lˆzlˆylˆx
lˆylˆxlˆz i lˆy2 lˆzlˆylˆx
i lˆx2 lˆylˆxlˆz i lˆy2 lˆzlˆylˆx
将上式两边在Ylm态下求平均：
(r ,t) (r )e
定态波函数
定态的性质：
（1）、在定态中，几率密度和几率流密度不随时间改变；
（2）、任何不显含t的力学量平均值与t 无关； （3）、任何不显含t的力学量的测量概率分布也不随时间改变。
三.算符公设。任意可观测的力学量，都可以用 相应的线性厄米算符来表示。
四. 量子测量公设(平均值公设) ，
1 [l(l 1) m2 ]2 4 4
例3：一电荷为e的一维线性谐振子受恒定弱电场作
用，电场沿正x方向,其势场为：
V (x) 1 m2x2 e x
2
求能量本征值和本征函数。
解：定态Schrödinger方程：
2
2
d 2
dx 2
( 1 2 x 2
2
ex)
E
2 d 2 1 2 (x e )2 (E e2 2 )
2 dx2 2
2
2 2
令 x'
x
e
2
E' E e2 2 2 2
2 d 2 1 2 x'2 E' 2 dx2 2
E'n
(n
1 ) ,
2
n 0,1,2,
n (x')
1 2x'2
NnHn (x')e 2
所求的解为：
En
(n
1 )
2
e2 2 2 2
,
n 0,1,2,
n[ (x
对应于一个能量本征值，有两个本征态(p=0)除
外，因此其能级是二重简并的。
二.一维无限深势阱
哈密顿量
H
2
2m
d2 dx2
0
x 0, x a 0xa
0,
本征波函数
n
来自百度文库
2 sin n x,
aa
x 0, x a 0 xa
本征能量
En
n2 2 2
2ma2
,
n 1, 2,
三、一维线性谐振子
线性谐振子的 Hamilton量：
（3）、根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：
本征值： E1，E2，…，En，…
本征函数：1，2，…，n，…
（4）、通过归一化确定归一化系数Cn
Cn n (r ) 2
d
1
一.一维自由粒子的波函数
哈密顿量 Hˆ pˆ 2
2m
波函数 px x
1
2
e i pxx
能量 E px2
2m
lˆzlˆy )
lx
1 i
Ylm* (lˆylˆz lˆzlˆy )Ylmd
1 i
Ylm* lˆylˆzYlmd
1 i
Ylm* lˆzlˆyYlmd
1 i
Ylm* lˆy
(lˆzYlm
)d
1 i
(lˆzYlm )*lˆyYlmd
1 m i
Ylm* lˆyYlmd
1 i
m
Ylm* lˆyYlmd
l
2 y
m
Ylm* lˆylˆxYlmd
i ly2
lx2
l
2 y
lˆx2 lˆy2 lˆz2 lˆ 2 lˆx2 lˆy2 lˆ 2 lˆz2
将上式两边在Ylm 态下求平均：
Ylm* (lˆx2 lˆy2 )Ylmd Ylm* (lˆ 2 lˆz2 )Ylmd
[l(l 1) 2 m2 2 ] Ylm*Ylmd l(l 1) 2 m2 2
i Ylm* lˆx2Ylmd Ylm* lˆylˆxlˆzYlmd i Ylm* lˆy2Ylmd Ylm* lˆzlˆylˆxYlmd
i lx2 m
Ylm* lˆylˆxYlmd i
l
2 y
(lˆzYlm )*lˆylˆxYlmd
m
Ylm* lˆylˆxYlmd i
Hˆ pˆ 2 1 m2 x2
2m 2
2
2m
d2 dx2
1 2
m2 x2
本征波函数
1 2
n An Hn ( )e 2 AnHn ( x)e2x2 / 2
x,
归一化系数 An
1/2 2n n!
本征能量
En
(n 1) 2
n 0,1,2,
厄密多项式的递推关系：
已知H0 = 1, H1=2
t
2m
——薛定谔方程
注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，
它是量子力学中的一个基本假设，地位等同于牛顿力学 中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比
较来验证。
定态含义作用在粒子上的势场是不随时间改变的。
2
[ 2 V (r )] (r ) E (r ) 2
——定态薛定谔方程
i Et
e 2
)]
NnHn[ (x
e 2
1 2 ( x e
)]e 2
2
)2
例4 若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为
n，求：
1
（1）距势阱内左壁 4 宽度内发现粒子的几率；
（2）n取何值时，在此区域内找到粒子的几率最
大？
（3）当 n 时，这个几率的极限是多少？这个
结果与经典情况比较，说明了什么问题？
Hˆ lˆ2 2I
空间刚性转子能量本征值：
El
l(l
1) 2I
2
相应的波函数为： Ylm ( , )
l 0,1,2, ; m 0,1, ,l
能级是(2l+1)度简并的。
例1：证明，在 lˆz本征态Ylm下，
lx ly 0
证法一： [lˆy ,lˆz ] i lˆx
(ly )2 (lz )2
22
4 lx
利用测不准关系
由于在 lˆz本征态Ylm中，测量力学量lz有确定值，
(lz )2 0
(ly )2 0
22
4 lx
0
22
4 lx
欲保证不等式成立，必有：lx 0
同理：ly 0
法二：[lˆy ,lˆz ] i lˆx 利用求平均值的方法
lˆx
1 i
[lˆy ,lˆz ]
1 i
(lˆylˆz
(其中 C1 , C2 , ... ,Cn ,...为复常数) 也是体系的一个可 能状态。
处于态的体系，部分的处于1态，部分的处于 2态…,部分的处于n,...
求解定态问题的具体步骤如下：
（1）、列出定态Schrödinger方程
2
[ 2 V (r )] (r ) E (r )
2m
（2）、求解S—方程,写出通解
m ( )
1 eim
2
m 0,1,
Acos2
A
2
2
0
A
2
4
( 2
2 )
∵
| Cn |2 1 求得 A
n
4
3
∴
C0
2 3
C2 C2
1 6
∴能量的可能取值为 E0 0 相应几率为 2/3
2 2 E2 I
1/3
E 2 2 3I
角动量的可能值为：0， 2 ， 2
相应的几率为 2/3，1/3 ，1/3
量子力学的五大公设
一.量子态（波函数）公设
波函数公设，一个微观粒子的状态可以由波函数完 全来描述，波函数的模方为粒子的概 率密度，波函 数满足归一化条件。
(x, y, z,t) (r,t) 2
波函数三个标准条件 有限性、单值性和连续性。
二.量子运动方程公设薛定谔方程
i
(r,t) [
2
2 V (r ,t)] (r ,t)
平面转子的哈密顿算符为：
Hˆ
lˆz2 2I
2
2I
2
2
lˆz i
平面转子的哈密顿算符本征值：Em
m2 2I
2
0
相应的本征函数： m ( )
1 eim ,
2
m 0, 1, 2,
对应于一个能量本征值，有两个本征态(m=0)除
外，因此其能级是二重简并的。
五. 空间刚性转子的能量本征值与本征函数
空间转子的哈密顿算符为：
0 xa
距势阱内左壁1/4宽度内发现粒子的几率
a
a
4
n
x
n
x
0
2 a
4
sin 2
0
n xdx
a
1 1 sin n 4 2n 2
当n 3取最大值 1 1
4 6
当n趋于无穷时此值为1/4说明粒子均匀 分布于势阱内和经典结果一致。
例5. 解：平面刚性转子体系能量的本征值和本征函数为
m22 Em 2I
Lz Cn 2 Lz 0
n
例5 一约束在平面上沿一定半径绕 z轴（垂直平面）
转动的平面子，处于 Acos2 态中，试确定在
此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几
率，并求平均值。
例4. 解：一维无限深势阱本征值和本征函数
En
n2 2 2
2ma2 0,
,
n
2 sin n x,
aa
n 1, 2, x 0, x a
m i
ly
m i
ly
0
同理：ly 0
例2：lˆ 2 , lˆz共同本征态Ylm下，求测不准关系：
(lx )2 (ly )2 ?
解：(lx )2
lx2
2
lx
(ly )2 ly2 ly 2
由例1可知：lx ly 0
lx2 Ylm* lˆx2Ylmd
i lˆx [lˆy ,lˆz ] lˆylˆz lˆzlˆy