微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
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微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
4.6 有理函数的积分 习题4.6
求下列不定积分：
（1）3
3
x dx x +⎰ 解：
()
()
()3322
32
27939272727ln 33239327327ln 3.
32
x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ⎛⎫+=-+-=-+-+ ⎪+⎝⎭++=
-
++-++⎰⎰
（2）223
310x dx x x ++-⎰
解：()2222231
310ln 310.310310
x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-⎰⎰
（3）21
25
x dx x x +-+⎰
解：
()()()()2
22222
22511122412252252251211
ln 25arctan .22d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++⎰⎰⎰⎰
（4）()
2
1dx
x x +⎰
解：()()()()2
22
222
22211111ln .2212111d x dx x d x C x
x x x x x x ⎛⎫==-=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ （5）3
3
1
dx x +⎰ 解：
(
)(
)3222
222231
21213ln 1111211131
ln 1212121ln 1ln 1.
2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭
-+=+-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭⎝⎭=+--+++⎰⎰⎰⎰⎰
（6）()()
22
1
11x dx x x ++-⎰
解：()()()2
22211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ⎛⎫
⎪+=+-=-++ ⎪-+++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ （7）()()()
123xdx
x x x +++⎰
解：
()()()1322212312313
2ln 2ln 1ln 3.
22xdx dx x x x x x x x x x C ⎛⎫-- ⎪=++ ⎪++++++ ⎪⎝⎭
=+-+-++⎰⎰ （8）5438
x x dx x x
+--⎰
解：
()()542233232
881118
4332118ln 4ln 13ln 1.32
x x x x dx x x dx
x x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ⎛⎫
+-+-=+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎛⎫=+++-- ⎪+-⎝⎭
=+++-+--+⎰⎰⎰
（9）()()
22
1dx
x x x ++⎰
解：
()()()222221111222
1111122111
ln ln 1ln ln 1ln 1arctan .
241242
x dx dx
x x x x x x x x x dx x x x x C x ⎛
⎫--- ⎪=++ ⎪++++ ⎪⎝⎭
+=-+-=-+-+-++⎰⎰⎰ （10）4
1
1
dx x -⎰ 解：
()()422221111121111111ln arctan .412dx dx dx x x x x x x x C x ⎛⎫
==- ⎪--++-⎝⎭-=-++⎰⎰⎰
（11）()()
22
11dx
x x x +++⎰ 解：
()()(
)()(
)22222222221111111211ln 122121211ln 1ln 1.
22dx x
x dx x x x x x x x dx
x dx x x x x x x C -+⎛⎫=+ ⎪++++++⎝⎭
+=-+++++⎛⎫++ ⎪⎝
⎭⎝⎭=-+++++⎰⎰⎰⎰ （12）()
()
22
2
11x dx x
++⎰
解：()
()()
()()
2222
2
2222
221121
1
arctan .11111d x x x x dx dx dx x C x x x x x ++++==+=-++++++⎰
⎰
⎰⎰ （13）()
22
2
21x dx x
x --++⎰
解：
()
()
(
)()()(
)()222
2
2
22222
2222222222
11
1213
1211111322111221132121x x x x dx x dx dx dx
x x x x x x x x d x x dx
dx
x x x x x dx x x x x --++-++-=-=-+++++++++++=-+-⎛++++⎛
⎫++ ⎪
⎝⎭⎝⎭=-
++++⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
而
()()()()
2222222222
2222222221112222
111213
211211131
2112121dx x x x
dx
x x x x x x x x x x dx x x x x x dx x dx
x x x x x x x dx dx x x x x x x x x +=+++++++++--=+++++++=+-++++++=
++-++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以
()
(
)
()2
222
2
221
3131121
.31dx
dx x x x x x x
x x C x x +=
+
+++++++=
++++⎰
⎰
于是
(
)
()
22
2
22
11
.1x dx
x
x x C x x --+++=-+++⎰
(14)23sin dx
x
+⎰
解：22222sec tan .3sin 3sec tan 34tan dx xdx d x C x x x x ===++++⎰⎰⎰