第七章-自和全同粒子
第七章-自旋和全同粒子
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋一 电子自旋的概念在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。
实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。
描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值21±=z s ；(7. 1)2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs它与自旋角动量S 间的关系是：S es m e-=μ,(7. 2)B e s 2μμ±=±=m e z,(7. 3)式中(- e )：电子的电荷，m e ：电子的质量，B μ：玻尔磁子。
3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量）es e s 2m e g m e s zz=-=μ,(7. 4)g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。
强调两点：●相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程 狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。
●自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。
实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。
特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。
电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：● 若已知电子处于/2z s = ，波函数写为(,/2)(,) 0z s ψψ⎛⎫= ⎪⎝⎭r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数写为0(,)(,/2)z s ψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭r r ● 概率密度2)2/,( r ψ：电子自旋向上()2/ =z s 且位置在r 处的概率密度；2)2/,( -r ψ：电子自旋向下()2/ -=z s 且位置在r 处的概率密度。
《量子力学》课程19
j ( j 1),
jl
1 2
jl
,
( , , s z )
2l 1 1 1
1 2
l m 1Y lm ( , ) l m Y lm 1 ( , )
jl
1 2
,
( , , s z )
jl
(sz )
z z
1 2
z
1 2
z
1 2
1 2
z
ˆ Sz
1 2
2
1 2
ˆ Sz1
2
2
1 2
这两个函数是彼此正交的。
量子力学
3、自旋函数的矩阵形式
在 表示为：
1/ 2
z
表象中，
1 2
、
0 1
1 2
的矩阵
1 0
1 2
l m Y lm ( , ) 2 l 1 l m 1Y lm 1 ( , )
对于
,
m max l , m min ( l 1)
量子力学
m l , l 1, , 0 , , ( l 1) mj m
量子力学
§7.5 光谱的精细结构
光谱的精细结构与自旋轨道藕合有关。 下面讨论在无外场时，电子自旋对类氢原子的 能级和谱线的影响。 对于类氢原子，如果不考虑电子自旋与轨 道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿为
ˆ H0
2
2
U (r )
2
若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 U ( r ) r 根据前面的讨论，若不考虑电子的自旋，电子 的能量只与 n 有关，能量为 n 度简并，现在 把电子的自旋加进去（不考虑电子自旋与轨道
第七章全同粒子§7.1交换对称
2
2
Fermi-Dirac statistics（泡利不相容） Maxwell-Boltzmann statistics Bose-Einstein statistics（不同粒子占据相同态的倾向最强）
§7.3 两电子体系
(xv1, ms1, xv2, ms2)
C(ms1, ms2 ) xv1, ms1; xv2, ms2 (xv1, xv2 )(ms1, ms2 )
对两粒子体系，可能的P12本征矢为：k ' k '' 1 ( k ' k '' k '' k ' )
2
将对称化( S12 (1 P12 ) / 2 )或反对称化( A12 (1 P12 ) / 2 )算符作用 于任意态，可得P12的本征态：
P12 S12 S12 ; P12 A12 A12
)
A
(
xv2
)B
(
xv1
)],
(xv1, xv2 )
2
1 2
{
A
(
xv1
)
2
B (xv2 )
2
A (xv2 )
2
B (xv1)
2
2
Re[A
(
xv1
)B
(
xv2
)
* A
(
xv2
)B*
(
xv1
)]},
交换密度项，对自旋单态和三态的几率密度有不同影响（但若ωA和
ωB无交叠时，交换密度项无贡献，全同粒子可区分。
把Z作为变分参量 Zeff，可显著改善 基态能量的结果。
引入更多变分参量 如2s成分，结果可 进一步改善。
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
全同粒子体系概念
全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。
7 自旋与全同粒子
A. 电子自旋算符表示：
h 自旋角动量与轨道角动比较：方向投影值是 ，而不是 h ； 2
与电子坐标、动量无关；满足相同的对易关系。 用 S 表示自旋角动量，则有
∧
S × S = ih S
∧
∧
∧
（7.1.7）
S x S y S y S x = ih S z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S y S z S z S y = ih S x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S z S x S x S z = ih S y ∧ ∧ 泡利算符：引入算符 σ ，它与 S 的关系是
+ 1 2
(7.1.24)
几率密度是：
w( x, y , z, t ) = Ψ Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = w1 ( x, y , z, t ) + w2 ( x, y , z, t )
+
2
2
当电子的自旋和轨道运动的相互作用可忽略： 一般情况下电子的自旋和轨道运动的相互作用由 Ψ 中的 Ψ 1 , Ψ 2 是x,y,z的不同函数来表示。当电子的自旋和轨道运动的相互作 用可忽略时， 1 , Ψ 2 对x,y,z的依赖关系是相同的，于是 Ψ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子 z 方向所受到的力为
Fz = U H =M cos θ z z
实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 cos θ = +1 和 cos θ = 1两个值。
电子的自旋和磁矩是电子的内禀属性，也称为内禀角动量和 内禀磁矩，标志电子的一个新的自由度。斯特恩与革拉赫实验直 接证实了这一属性。 无数实验表明，各种基本粒子也具有这一属性。
∧
0 i σy = i 0
∧
E. 平均值问题
全同粒子
具体说明
具体说明
全同粒子的存在是客观物质世界的一项基本实验事实，也是被物理学界所普遍接受的一项基本理论信念。仍 以电子的电荷为例，虽然实验测量受到精确度的限制，而且各次测量结果在最后几位有效数字上有出入，但是当 前绝大多数物理学家仍一致相信，所有电子（包括未被测量过的电子）的电荷值应该完全相同，没有丝毫差别。 任何物理理论，尤其是量子理论，都是在这种信念的基础上建立起来的。
地位
地位
全同粒子是量子力学的基本概念之一。指内禀属性（质量、电荷、自旋等）完全相同的粒子。它们可以是基 本粒子，也可以是由基本粒子构成的复合粒子（如α粒子）。
量子力学
量子力学
量子力学是研究微观粒子运动规律的理论，是现代物理学的理论基础之一。量子力学是在本世纪20年代中期 建立起来的。19世纪末，人们发现大量的物理实验事实不能再用经典物理学中能量是完全连续性的理论来解释。 1900年，德国物理学家普朗克提出了能量子假说，用量子化即能量具有的不连续性，解释了黑体辐射能量分布问 题。1905年，爱因斯坦在此基础上提出了光量子假说，第一次揭示出光具有波粒二象性，成功地解释了光电效应 问题。1906年，爱因斯坦又用量子理论解决了低温固体比热问题。接着，丹麦物理学家玻尔提出了解释原子光谱 线的原子结构的量子论，并经德国物理学家索末菲等人所修正和推广。1924年，德国物理学家德布罗意在爱因斯 坦光量子假说启示下，提出了物质波假说，指出一切实物粒子也同光一样都具有波粒二象性。1925年，德国物理 学家海森堡和玻恩、约尔丹以矩阵的数学形式描述微观粒子的运动规律，建立了矩阵力学。接着，奥地利物理学 家薛定谔以波动方程的形式描述微观粒子的运动规律，建立了波动力学。不久，薛定谔证明，这两种力学完全等 效，这就是今天的量子力学。量子力学用波函数描写微观粒子的运动状态，以薛定谔方程确定波函数的变化规律。 应用量子力学的方法解决原子分子范围内的问题时，得出了与实验相符的结果;量子力学用于宏观物体或质量、能 量相当大的粒子时，也能得出与经典力学一样的结论。因此，量子力学的建立大大促进了原子物理、固体物理和 原子核物理学的发展，并推动了半导体、激光和超导等新技术的应用。它标志着人类认识已从宏观领域深入到微 观领域。量子力学为哲学研究的发展开辟了新的领域，它向人们提出了一系列新的哲学课题，诸如微观客体的存 在特征、微观世界是否存在因果关系、主客体在原则上是否不可分、主客体之间的互补问题等等。深入和正确地 回答这些问题，无疑将会推动马克思主义哲学的深入发展。
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章
（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
2 / 31
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2
全同粒子
第七章 全同粒子本章介绍：本章首先介绍全同粒子的特性，然后介绍了全同粒子体系的波函数及泡利不相容原理。
§7.1 全同粒子的特性§7.2 全同粒子体系的波函数◆全同粒子的定义：我们称质量、电荷、自旋、同位旋即其他所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。
例如：所有电子是全同粒子。
◆全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化。
◆在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。
因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。
而在量子力学中由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。
随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠，在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪一个是第一个粒子的波，哪一个是第二个粒子的波。
因此全同粒子在量子力学中是不可区分的。
我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
从全同性原理出发，可以推知，由全同粒子组成的体系具有以下性质：全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
讨论一个由N 个全同粒子组成的体系，第i 个粒子的全部变量用i q 表示，体系的哈密顿算符是1ˆ(,,,,)i j N H q q q q t ，由于全同粒子的不可区分性，将粒子i 和j 互换，体系的哈密顿算符不变交换算符ˆij P 引入交换算符ˆijP ，表示将第i 个粒子和第j 个粒子相互交换的运算： ψ是任意波函数，由ˆH 的交换不变性有：即ˆˆ[,]0ijP H =另外，将交换算符作用到薛定谔方程上，得表明：若ψ是薛定谔方程的解，则ˆij P ψ也是薛定谔方程的解。
于是有ˆijP ψλψ=利用22ˆijP ψλψψ==得21,1λλ==± 即ˆˆ,ij ijP P ψψψψ==-由上两式可见，全同粒子组成的体系的状态只能用交换对称或交换反对称的波函数描述。
全同粒子体系波函数的对称性不随时间变化。
波函数的对称性质
考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) t ˆ (q , q , q q q , t )(q , q , q q q , t ) H 1 2 i j N 1 2 i j N
i
将方程中（q
根据全同 性原理：
描写同一状态。
因此，二者相差一常数因子。
(q1 , q2 ,q j qi q N , t ) (q1 , q2 ,qi q j q N , t )
再做一次（q
i
, q
j
) 调换
2 (q1 , q2 , qi q j q N , t )
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
（2）经典粒子的可区分性
经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。 因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有 确定的位置和速度。 1
位置 轨道 速度
2 1 2
可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子
（3）微观粒子的不可区分性
所以
1
2 1
1
对称波函数
二粒子互换后波函数不 变，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t ) 反对称波函数 1 二粒子互换后波函数变 号，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
即：
全同粒子的特性
h2
2
2j
U (qj ,t)
ji
1 2
W
(q
j
,
qi
)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t) Hˆ (q1,..., qj ,..., qi,..., qN ,t)
二、全同性原理
全同性原理：全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子， 体系的物理状态保持不变。
全同粒子的不可区分性导致了全同性原理。
例如：氦原子中有两个电子，一个处于基态，一个处于第一激发 态，能量分别为
E1
Z 2es2 2a0
E2
Z 2es2 2a0 22
体系的能量为E E1 。E2
若交换两个电子的位置和自旋，体系的能量不变。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1．全同粒子体系的波函数与哈密顿 用 qi (代rvi ,表Siz )第i个粒子的坐标和自旋。
全同粒子体系的波函数和哈密顿分别为
(q1, q2 ,..., qN ,t)
Hˆ (q1, q2 ,...,qN
当 时 ，1有
1
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
则波函数是交换对称的，用 表S 示；
当 时 ，1 有
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
,t)
N i 1
2
2
2 i
第七章2 全同粒子系
全同粒子体系(tǐxì)哈密 顿量是对称的
结论：
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其 对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对 称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。
共六十八页
（四）Fermi 子和 Bose 子
实验表明(biǎomíng)：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数 的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自 旋有确定的联系。
共六十八页
3 微观粒子的不可(bùkě)区分性
服从
用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
(yùndòng)
在波函数重叠区粒子是不 可区分的
4 全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引 起体系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之一。
第五条基本假设
共六十八页
（二）波函数的对称性质
皆为 ：
Ei j
共六十八页
V S 和 A 的归一化
首先 证明
若单粒子(lìzǐ)波函数是正交归一化的， 则 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交归一化的
证明
(zhèngmíng)： （ * q1,q2) （ q1,q2)d1 q d2 q
（ i* q1) * j(q2)（ i q1) j(q2)d1 q d2 q
(q1,q2, qj qi qN ,t) (q1,q2, qi qj qN ,t)
再做一次（q i , q j ) 调换(diàohuàn)
( q 1 , q 2 , q i q j q N ,t ) ( q 1 , q 2 , q j q i q N ,t ) 2 ( q 1 , q 2 , q i q j q N ,t )
量子力学9
波函数反对称化 1 [φ i ( q 1 )φ j ( q 2 ) φ j ( q 1 )φ i ( q 2 ) ] Φ (q1 , q 2 ) = 2 1 φ i (q1 ) φ i (q 2 ) = 2! φ j ( q 1 ) φ j ( q 2 )
2. N个费米子组成的体系：
Φ（ q1 , q 2 L q N ) = A
L φ k (q2 )
L L L L
φ i (q N ) φ j (q N )
L φ k (q N )
如果N个单粒子态φi φj ……φk中有两个相同，则行列式中 有两行相同，于是行列式为0。 上述讨论表明，N个费米子体系中，不能有2个或2个 以上费米子处于同一状态，这一结论称为 Pauli 不相容 原理。波函数的反对称化保证了全同费米子体系的这一重 要性质。
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φi ( q1 ) φi ( q 2 ) L φi ( q N ) 1 φ j ( q1 ) φ j ( q 2 ) L φ j ( q N )
L L L N! L φ k ( q1 ) φ k ( q 2 ) L φ k ( q N )
讨论
I.行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而ΦA是 体系定态薛定谔方程的解. II.交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列 式性质可知，行列式要变号，故是反对称波函数。此行列式称为 Slater 行列式。 III.N个粒子分别排列在N个单粒子态上，共有N!个排列方式，所 以ΦA共有N!项。
111
I.n1=n2=n3=1
+ φ 1 q 2 )φ 2 ( q 1 )φ 3 ( q 3 ) + φ 1 q 1 )φ 2 ( q 3 )φ 3 ( q 2 )] （ （
量子力学曾谨言习题解答第七章
第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p pˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x xyxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c qp pˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4） 正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） （解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势A ˆ 的一种可能情形是022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22yx v v +对易，而： ()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。
量子力学-自旋与全同粒子
自旋量子数 s 只有一个数值1/2 只有一个数值1
HUST
Applied Physics
12
3、自旋算符的形式及其本征态 、
Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 Sˆ × Sˆ = i ℏ Sˆ S S 不对易， 定值。 所以， 定值 。 所以 ， 只能用某一方向的分量 来反映自旋的特点。一般用S 来反映自旋的特点 。一般用Sz ， 即建 [ Sˆ x , Sˆ y ] = i ℏ Sˆ z 表象（或称S 的共同表象） 立Sz 表象 （ 或称 S 2和 Sz 的共同表象） ， [ Sˆ y , Sˆ z ] = i ℏ Sˆ x 表象研究电子的运动状态 研究电子的运动状态。 在Sz 表象研究电子的运动状态。 （1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式 ）自旋算符S S
3s
3S1/2
5
二、自旋假设的提出
Uhlenbeck 和 Goudsmit在1925年，根据上述现象提出，电 在 年 根据上述现象提出， 自旋。 没有经典对应， 子具有一种特殊的运动——自旋。 该运动方式没有经典对应， 子具有一种特殊的运动 自旋 该运动方式没有经典对应 不能用经典运动来解释（与自转有本质区别） 不能用经典运动来解释 （ 与自转有本质区别）。 这就是电子的 自旋假设： 自旋假设： 自旋角动量， （ 1） 电子具有 自旋角动量 ， 它在空间 ） 电子具有自旋角动量 任何方向上的投影只能取两个值： 上的投影只能取两个值 任何方向上的投影只能取两个值： 自旋磁矩， （ 2） 电子具有 自旋磁矩 ， 它与自旋角 ） 电子具有自旋磁矩 动量的关系为： 动量的关系为：
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ， 中的势能为： 原子在 Z 向外磁场 B 中的势能为：
《量子力学》课程18
自旋角动量的三个分量算符的平方之和，称 为自旋角动量平方算符即
ˆ ˆ S Sx
2
Sˆ Sˆ
2 2 y z
2
量子力学
二、电子自旋算符的本征值
由于
ˆ S
在空间中任一方向的投影只能 取 ，因此在任意选定 两个值 2 x, y, z ˆ 坐标后， S y , S z 的本征值都是 2 。 Sx, ˆ ˆ ˆ 2 , S 2 , S 2 的本征值都是 2 4 ，即 S ˆ ˆ
x y z
S
4 所以自旋角动量平方算符的本征值为
2 x
S
2 y
S
2 z
2
S
2
S S S
2 x 2 y
2 z
3 4
2
量子力学
ˆ 将自旋角动量平方算符 S 2 的本征值写为 2 2 的形式，则 s 1 S s ( s 1) 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 2 2 L l ( l 1) 比较，可知 s 与角动量 量子数 l 相当，所以称 s 为自旋量子数。 但注意， s 只能取一个值，即 s 1 。 2 ˆ 同样,将 S z 的本征值写为 S z m S 的形 式，则可得自旋磁量子数 m S 1 。 2
)0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ y , z ] y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ z , x ] z x x z 0
ˆ
的各个分量之间满足反对易关系。 综上所述，可把泡利算符的代数性质总 结如下
量子力学
1、电子的自旋算符和自旋函数 2、两个角动量的耦合 3、全同粒子体系的波函数和泡利原理
第七章自旋与全同粒子lt
第七章自旋与全同粒子lt部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第七章例题剖析1求自旋角动量在任意方向[方向余弦是(cosα，cosβ，cosγ>]的投影的本征值和本征矢。
[解] 自旋算符的矩阵表示为令sn的本征矢为它必然是一个两行两列的矩阵，sn的本征方程为则就有不同时为零的条件是其系数行列式为零，即展开得：因此的本征值为下面求本征矢：<1）当时，即时，由①式得利用归一化条件<2）当时；利用归一化条件讨论：算符的本征值为，而z方向为空间的任意方向。
现在把z方向特别选为沿方向<这相当于作一个坐标旋转），则的本征值也应为。
另外我们知道，本征值和表象的先取无关。
这样选择并不影响结果的普遍性。
b5E2RGbCAP同理的本征值也都是。
我们也可以在为对角矩阵的表象中<表象）求本征矢。
显然这时的知阵为所以本征矢为注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。
现在是在表象，而上面算出的表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。
p1EanqFDPw2. 设两个自旋为3/2的全同粒子组成一个体系，求体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个。
DXDiTa9E3d[解] 对于自旋为3/2的粒子，其自旋角动量沿某轴的分量可以取四个数值，即相应的波函数用表示。
则两个粒子组成体系的自旋波函数形式一般为。
当i=j时，构成对称波函数，有4个。
当i≠j时，其中也就是对称波函数，它有个而则是反对称波函数有6个。
故自旋为3/2的二个全同粒子可组成10个对称自旋波函数，6个反对称自旋波函数。
讨论：对子自旋为S的二个全同粒子组成的体系，对称自旋波函数共有<2S+1）<S+1）个。
反对称自旋波函数有<2S+1）S个。
RTCrpUDGiT3．求由三个相同中的玻色子组成的体系的所有可能状态。
[解] 可以分三种情况<1）三个粒子状态都相同，则组成对称波函数<2）三个粒子中有2个处于相同状态，另一个处于不同状态其中<3）三个粒子的状态都不相同，这时体系的波函数为其中申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
量子力学填空简答证明复习资料 (2)
填空 第一章 绪论6、玻尔的量子化条件为 n L =9德布罗意关系为 k p E==,ω 。
1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 221mv A h +=ν 。
2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系为 k p E==,ω 。
第二章 波函数和薛定谔方程1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。
4、2),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。
5、dr r r 22),,(⎰ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。
第三章 量子力学中的力学量2如两力学量算符有共同本征函数完全系，则0 。
3、设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__ψλψ=Fˆ_______。
5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。
10坐标和动量的测不准关系是_2≥∆∆x p x ___________________________。
自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒3、 设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为___在p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。
3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。
10、=]ˆ,[x p x i ； =]ˆ,ˆ[zy L L x L i ；第四章 态和力学量的表象量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符__________。
力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的第五章 微扰理论第七章 自旋与全同粒子7.为泡利算符，则=2ˆσ 3 ，=]ˆ,ˆ[y xσσz i σˆ28、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。
两电子的自旋波函数
ˆ
为厄米矩阵：
x
ˆ x
ˆ
x
b
c*
则
0 b
ˆ x b * 0
(7.2 16)
而
ˆ
2 x
1
亦即
0 b*
b 0
0 b*
b 0
b2 0
0 b2
1 0
0 1
b 2 1 b ei
Sˆ
Sˆ
iSˆ
[ [
Sˆ Sˆ
x y
, ,
Sˆ y ] Sˆ z ]
iSˆ z iSˆ x
[Sˆ z , Sˆ x ] iSˆ y
(7.2 2)
电子作为角动量应满足上面的作为角动量定义的对易关系。
引入
Sˆ 2
Sˆ
2 x
Sˆ
2 y
Sˆ
2 z
则有: [Sˆ x , Sˆ 2] [Sˆ y , Sˆ 2] [Sˆ z , Sˆ 2] 0
ˆ x
e
0
i
e i 0
习惯上取α=0, 于是得到：
0 1
ˆ x 1 0 (7.2 17)
再由对易关系式 ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
ˆ y
1 2i
(ˆ zˆ x
ˆ xˆ
z)
1 2i
1 0
一般电子的自旋与轨道运动互相有影响，若自旋与轨道
的相互影响可以忽略时或者
在有些情况下，Hˆ 不含自旋或为空间部分和自旋部分之和，
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第七章自旋和全同粒子§7 - 1 电子自旋一电子自旋的概念在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。
实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。
描述电子自旋运动的两个物理量：1 、自旋角动量(内禀角动量)S它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值s z =±12η；(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =-em S,(7. 2) μμs e B z e m =±=±η2,(7. 3)式中(- e )：电子的电荷，m e ：电子的质量，μB：玻尔磁子。
3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量）μs e s e z z s e m g e m =-=2, (7.4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数,是对于轨道运动的g 因数的两倍。
强调两点：● 相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程−−狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。
●自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。
实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。
特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。
二电子自旋态的描述ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这两个变量，s z只能取±η/2这两个离散值。
电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）ψψψ(,)(,/)(,/)rrrs z=-⎛⎝⎫⎭⎪ηη22, (7.5)讨论：●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为ψψψ(,)(,/)(,/) rrrs z=-⎛⎝⎫⎭⎪ηη22●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为ψψψ(,)(,/)(,/) rrrs z=-⎛⎝⎫⎭⎪ηη22● 概率密度ψ(,/)r η22：电子自旋向上(s z=η/)2且位置在r 处的概率密度；ψ(,/)r -η22：电子自旋向下(s z =-η/)2且位置在r 处的概率密度。
● 归一化条件d d 32322222r s r z s z ψψψ(,)[(,/)(,/)]/r r r ⎰⎰∑=+-=±ηηη==+⎰d 31r ψψ,(7. 6)where()ψψψ+=-(,)*(,/),*(,/)r r r s z ηη22(7. 7)是式(7. 5)所示的电子波函数的厄米共轭。
如果某一个体系的哈密顿量可以写成空间坐标部分与自旋变量部分之和，或者不包含自旋变量，则该体系的波函数可以分离变量，即ψφχ=. (7.s s(,)()()r rz z8)χ()s z: 描述自旋态的波函数，其一般形式为χ()s a b z =⎛⎝ ⎫⎭⎪, (7. 9)式中 a 2和b 2：电子的s z 等于η/2和-η/2的概率。
归一化条件可以表示为 χχχ()(*,*)/s a b a b z s z 22==⎛⎝ ⎫⎭⎪+=±∑η=+=a b 221.(7. 10)其中 (*,*)a b 表示自旋波函数χ()s a b z =⎛⎝ ⎫⎭⎪的厄米共轭。
● 自旋态空间的一组正交完备基s z 的本征态χm z s s ():αχ==⎛⎝ ⎫⎭⎪1210/()s z , 本征值 m s ηη=±/2，αχ==⎛⎝ ⎫⎭⎪1210/()s z ， 本征值 m s ηη=±/2 (7. 11) α 和β 构成了电子自旋态空间的一组正交完备基.式(7. 9)所表示的一般的电子自旋态可以用它们来展开χαβ()s a b a b z =⎛⎝ ⎫⎭⎪=+.(7. 12)于是，式 电子旋量波函数ψψψ(,)(,/)(,/)rrrs z=-⎛⎝⎫⎭⎪ηη22可以表示为ψψαψβ(,)(,/)(,/)r r rs z=+-ηη22.(7. 13)三自旋算符与泡利矩阵1、自旋算符自旋角动量是一个力学量，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量，在量子力学中就要用一个算符∃S来描写。
●∃S的对易关系自旋角动量∃S是角动量，满足轨道角动量算符Lˆ满足的对易关系 ∃∃∃∃∃s s s s s x y y x z-=i η, x y z z y s s s s s ˆi ˆˆˆˆη=-,(7. 14)y z x x z s s s s sˆi ˆˆˆˆη=-. ● ∃S 2的本征值 由于自旋角动量S 在空间任意方向上的投影都只能取两个值±η/2，所以∃,∃s s x y 和∃s z三个算符的本征值都是2/η±，它们的平方都是η24/，即 s s s x y z 22224===η.(7. 15)由此可得自旋角动量平方算符∃S 2的本征值是S s s s x y z 2222234=++=η. (7. 16)令S s s 221=+()η, (7. 17)则有s =12. (7. 18)与轨道角动量平方算符的本征值 L l l 221=+()η相比较可以看出，这里的量子数s 与角量子数l 相当，因此通常把s 称为自旋量子数。
电子的自旋量子数s 只能取一个数值s = 1/2.2 、 泡利算符∃σ（无量纲）的代数性质 ∃∃S =2ησ.(7. 19)将此式的分量形式代入式(7. 14)，得到泡利算符各分量所满足的对易关系 ∃∃∃∃∃σσσσσx y y x z -=2i ,x y z z y σσσσσˆi 2ˆˆˆˆ=-, (7. 20)y z x x z σσσσσˆi 2ˆˆˆˆ=-； 由于S 沿任何方向的投影都只能取±η/2，所以σ 沿任何方向的投影都只能取±1. 于是，∃,∃σσx y 和∃σz 的本征值都是±1，而∃,∃σσx y 22和∃σz 2的本征值都是1σσσx y z 2221===. (7.21)用∃σy 左乘和右乘式(7. 20)的第二式，并利用式(7. 21)，可得：∃∃∃∃∃∃σσσσσσz y z y y x -=2i ,∃∃∃∃∃∃σσσσσσz y z y y x -=2i .再将以上两式相加，可得∃∃∃∃σσσσ+=0，x y y x即σˆ与yσˆ彼此反对易。
类似地可以求x出其他两个式子。
概括起来，泡利算符∃σ的三个分量彼此反对易，即∃∃∃∃σσσσ+=0,x y y x∃∃∃∃σσσσ+=0, (7.x y y x22)∃∃∃∃σσσσ+=0.x y y x把式(7. 19)和式(7. 22)联立起来，可得：∃∃∃∃∃σσσσσ=-=i,x y y x z∃∃∃∃∃σσσσσ=-=i, (7.x y y x z23)∃∃∃∃∃σσσσσ=-=i.x y y x z式(7. 23)和式(7. 20)以及厄米性∃σ,(7. 24)概括了泡利算符的全部代数性质。
3 、泡利矩阵在以∃s z的本征态α和β为基矢的空间中，可以把泡利算符表示成矩阵的形式。
由于∃σz的本征值只能取±1，所以泡利算符∃σ的z 分量∃σz可表示成∃σz =-⎛⎝⎫⎭⎪10 01.这样，就有∃σααz=,∃σββz=-. (7.25)利用泡利算符的性质可以证明，在上述表象(泡利表象)中，泡利算符的三个分量可以表示成下列矩阵：∃σx =⎛⎝⎫⎭⎪0110, ∃σyii=-⎛⎝⎫⎭⎪0, ∃σz=-⎛⎝ ⎫⎭⎪1001. (7. 26)这些矩阵称为泡利矩阵，它们具有广泛的用途。
四 自旋轨道耦合 总角动量1、自旋轨道耦合作用对于均匀外磁场中的自由电子，哈密顿量中表示内禀磁矩μs 与外磁场B 相互作用的项为-⋅=⋅=-⋅μs e s e B S B S B e m g e m 2. (7.27)从半经典的角度来看，在单电子原子中，相对于电子而言，核电荷是在绕电子运动，从而产生了所谓的内磁场B i . 电子的内禀磁矩μs 在这个内磁场中将受到用-μs ⋅B i 表示的作用。
由于B i 与L 有关，因此这一作用是与电子的轨道角动量L 有关的。
利用有心力场)(r V 中运动的电子的相对论性波动方程−−狄拉克方程可证，在二级非相对论近似下的薛定谔方程中，哈密顿量将包含有表示自旋轨道耦合能的项，即ξμ()r c r V r S L S L ⋅⋅=d d 12122. (7. 28)2、总角动量对于在有心力场中运动的电子，如果忽略自旋轨道耦合作用，则可以选用(,,,)H L L s z z 2为力学量完全集，其共同本征函数可以表示为 ψψθϕχn l m m z n l m m z s s s r s (,)(,,)()r =, (7. 29) 其中ψθϕn l m r (,,)是(,,)H L L z 2的共同本征函数。
在没有外磁场或外磁场很弱时，原子内的电子所受到的自旋轨道耦合作用会对原子能级和光谱带来不可忽略的影响，产生原子光谱的精细结构，例如碱金属原子光谱的双线结构和反常塞曼效应等。
这时，由于哈密顿量中的自旋轨道耦合项的存在，使得00,⋅≠⋅≠L S L S S L[,],[,]SS,⋅L],[≠因此有⋅≠⋅≠00,L S L S S L[,],[,]S,H],[≠所以轨道角动量L和自旋S都已不再是守恒量了。
然而，如果考虑总角动量=+, (7. 30) J L S则可以证明，由于J S L⋅=0, (7.[,]31)因此有[,],[,]L S L S S L ⋅≠⋅≠00,这时总角动量仍然是守恒量，在有心力场 中运动的电子的能量本征态可选为(,,,)H L J J z 22的共同本征态φl j m j ，所对应的本征值分别为l l ()+12η, j j ()+12η, (7. 32)m jη, 其中m j j j j =--,,,1Λ.在l = 0的情况下，自旋轨道耦合项为零，总角动量就等于自旋, 即j s==12/, m j=m s=.§7 - 2 全同粒子系和原子组态一全同粒子系的交换对称性1、静质量、电荷和自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子例：所有电子是全同粒子；所有质子是全同粒子。
●全同粒子系的交换对称性任何可观测量，特别是哈密顿量，对于任何两个粒子的交换是不变的。
例、氦原子中两个电子所组成的体系的哈密顿量为Hpmpmerere=+--+-122221222122222s s sr r. (7.33)当两个电子交换时，上式中的H 显然不变。
2、全同粒子系波函数的交换对称性全同粒子系的交换对称性对反映到波函数上在经典力学中，即使把两个粒子的固有性质看成是完全相同的，我们仍然可以区分它们，这是因为可以由跟踪每个粒子的运动轨道来分辨粒子.在量子力学中，对于全同粒子所组成的多粒子体系，任何两个粒子交换一下，按照全同粒子系的交换对称性，一切测量结果都不会因此而有所改变，所以该体系的量子态是不变的 要求全同粒子系的波函数对于粒子的交换具有一定的对称性。