第七章-自和全同粒子

第七章自旋和全同粒子

§7 - 1 电子自旋

一电子自旋的概念

在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。

描述电子自旋运动的两个物理量：

1 、自旋角动量(内禀角动量)S

它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值

s z =±12η；

(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs

它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =-e

m S

,

(7. 2) μμs e B z e m =±=±η

2,

(7. 3)

式中(- e )：电子的电荷，m e ：电

子的质量，μB

：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量）

μs e s e z z s e m g e m =-=2, (7.

4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数,是对于轨道运动的g 因数的两倍。 强调两点：

● 相对论量子力学中，按照电子的

相对论性波动方程−−狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为

1/2的自旋，电子自旋本质上是

一种相对论效应。

●自旋的存在标志着电子有了一个

新的自由度。实际上，除了静质

量和电荷外，自旋和内禀磁矩已

经成为标志各种粒子的重要的

物理量。特别是，自旋是半奇数

还是整数(包括零)，决定了粒子

是遵从费米统计还是玻色统计。二电子自旋态的描述

ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这

两个变量，s z只能取

±η/2这两个离散值。

电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）

ψ

ψ

ψ

(,)

(,/)

(,/)

r

r

r

s z=

-

⎛

⎝

⎫

⎭

⎪

η

η

2

2, (7.

5)

讨论：

●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为

ψ

ψ

ψ

(,)

(,/)

(,/) r

r

r

s z=

-

⎛

⎝

⎫

⎭

⎪

η

η

2

2

●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为

ψ

ψ

ψ

(,)

(,/)

(,/) r

r

r

s z=

-

⎛

⎝

⎫

⎭

⎪

η

η

2

2

● 概率密度

ψ(,/)r η22：电子自旋向上(s z

=η/)2且位置在r 处的概率密度；

ψ(,/)r -η22：电子自旋向下(s z =-η/)2且位置在r 处的概率密度。

● 归一化条件

d d 32322222r s r z s z ψψψ(,)[(,/)(,/)]/r r r ⎰⎰∑=+-=±ηηη

==+⎰d 31r ψψ,

(7. 6)

where

()ψψψ+=-(,)*(,/),*(,/)r r r s z ηη22

(7. 7)

是式(7. 5)所示的电子波函数的厄米共轭。

如果某一个体系的哈密顿量可以写成空间坐标部分与自旋变

量部分之和，或者不包含自旋变

量，则该体系的波函数可以分离变

量，即

ψφχ

=. (7.

s s

(,)()()

r r

z z

8)

χ()

s z: 描述自旋态的波函数，其一般形式为

χ()s a b z =⎛⎝ ⎫⎭⎪, (7. 9)

式中 a 2和b 2

：电子的s z 等于η/2和-η/2的概率。

归一化条件可以表示为 χχχ()(*,*)/s a b a b z s z 22==⎛⎝ ⎫⎭⎪+=±∑η

=+=a b 221.

(7. 10)

其中 (*,*)a b 表示自旋波函数

χ()s a b z =⎛⎝ ⎫⎭⎪的

厄米共轭。

● 自旋态空间的一组正交完备基

s z 的本征态χ

m z s s ():

αχ==⎛⎝ ⎫⎭⎪1210/()s z , 本征值 m s ηη=±/2，

αχ==⎛⎝ ⎫⎭

⎪1210/()s z ， 本征值 m s ηη=±/2 (7. 11) α 和β 构成了电子自旋态空间的一组正交完备基.

式(7. 9)所表示的一般的电子自旋态可以用它们来展开

χαβ()s a b a b z =⎛⎝ ⎫⎭⎪=+.

(7. 12)

于是，式 电子旋量波函数

ψ

ψ

ψ

(,)

(,/)

(,/)

r

r

r

s z=

-

⎛

⎝

⎫

⎭

⎪

η

η

2

2可以表示为

ψψαψβ

(,)(,/)(,/)

r r r

s z=+-

ηη

22.

(7. 13)

三自旋算符与泡利矩阵

1、自旋算符

自旋角动量是一个力学量，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量，在量子力学中就要用一个算符∃S来描写。

●∃S的对易关系

自旋角动量∃S是角动量，满足轨道角