连续介质力学习题二

连续介质力学习题二

二．变形与运动

2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体

运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点X

变换到当前

构形中的空间位置x

时，必满足：)()()(t a A X t Q x +-⋅=，其中)(t Q 为正常正交

仿射量。

2-2 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向

量为),,(321e e e

，有一物体的变形为：33222011,,X x X x X k X x ==+=，试写出

以下各量：

1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1

-F ；

2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B

的三个主不变量；

3）写出C 和B

的特征方程，并求出三个特征值αη和相应的特征方向αL 和

αl

)3,2,1(=α。

4）试给出极分解R V F ⋅=中的左伸长张量V 和正交张量R

的矩阵表示。

2-3 现取物质坐标系}{A X 为直角坐标系{X ，Y ，Z}，空间坐标系}{i x 为圆柱坐标系},,{z r θ，令z 轴与Z 轴重合，0=θ与X 轴重合，图示长方体发生纯弯曲，

题2-3图

变形满足),(X r r =),(Y θθ=)(Z z z =，且存在逆关系：),(r X X =，),(θY Y =

)(z Z Z =，试写出以下各量：

1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1

-F ；

2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B

的三个主不变量；

3）写出C 和B

的特征方程，并求出三个特征值αη和相应的特征方向αL 和

αl

)3,2,1(=α。

2-4 现取空间坐标系}{i x 为直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e

，有一物体的小变形位移场为3212323213131))(())((e x x e x x x x e x x x x u

-+++--=，试求：

（1）P （0，2，-1）点的小应变张量e ，小转动张量Ω 及其反偶矢量ω

； （2）求P 点在9/)48(321e e e

+-=ν方向上的线应变；

（3）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν和9/)744(321e e e

-+=μ二方向上的直角

的变化量。

2-5 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i

x 为同一个直角坐标系，其单位基向

量为

)

,,(321e e e

，有一物体的变形为3211BX CX X x +-=，

3212AX X CX x -+=，3213X AX X x ++-=，试证明：当A,B,C 很小时，

此位移场仅为一刚体转动，并求出转动矢量ω 。

2-6 取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i

x 为同一个直角坐标系，其单位基向量

为

)

,,(321e e e ，有一物体的运动为：

11X x =，

2/)(2/)(32322X X e X X e x t t -++=-，

2/)(2/)(32323X X e X X e x t t --+=-， 试求物质和空间速度分量。

2-7 对不可压缩材料，试证Green 应变的迹满足：

])()()(3)(2[3

2)()(3

2322trE E tr E tr E tr E tr E tr E tr +---= ，故当E 为小量时，

E tr

为二阶小量。

2-8 试证：物体的运动为刚体运动的充要条件是变形率张量0=D

（Killing 定理）。

2-9试证物质旋率)(21v v W ∇-∇=的反偶矢量可写为A A C C

⨯=2

1ω，其中A C 和

A C

分别为随体坐标系},{t X A 中的逆变基和协变基。

2-10 如果速度场v

为势的梯度，即存在光滑标量场),(t x =ϕ，使得ϕ∇=v ，试

证有：)2

(v v t

v

a x

⋅+∂∂∇==ϕ，因此加速度场也是某势函数的梯度。 2-11 在Euler 描述下，考虑速度满足x A v

⋅=的定常流动，其中A 为常仿射量，

如果加速度场是势函数的梯度，试证：（1）2

A 是对称仿射量；（2）物质旋率)(2

1v v W

∇-∇=的反偶矢量ω 满足ωω )(D tr D =⋅，其中D 为变形率张量。

2-12 在习题2-2给出的简单剪切变形中，如果)(00t k k =是时间t 的函数，

试写出相应的速度梯度L ，变形率张量D

和物质旋率W 的表达式。