等离子体碰撞

电子平均速
度<ve>：
ve =
8kTe =
π me
8×1.38×10−23 ×11600× 0.1
π × 9.11×10−31
=
2.12×105 m
/
s
碰撞频率： νen =
ve
λen
=
2.12 ×105 1.10 ×10−6
= 1.93×1011 s−1
5.2 等离子体中的库仑碰撞
• 等离子体中带电粒子间的库仑相互作用分成两部分
" 分子气体中还包括分解、分解复
合、电子吸附和解吸附
•二体碰撞的几个概念
– 弹性碰撞与非弹性碰 撞(两个粒子相互作用)
pα + pβ = pα' + p'β
动量守恒
Ekα + Ekβ = Ek'α + Ek' β + ΔE
能量守恒
根据粒子内能总改变量
ΔE = 0 ΔE > 0 ΔE < 0
弹性碰撞 非弹性碰撞
• 粒子碰撞特性与等离子体密 度、温度及电离度的强弱有 关
• 碰撞过程一般为多体过程 （一个带电粒子与多个粒子 相互作用）
强电离 等离子
体
弱电离 等离子
体
中性气 体
• 二体碰撞近似
– 低温、低密度等离子体，二体碰撞过程占主导地位 – 高温、强电离度等离子体，多体碰撞为主。但多体碰
撞描述和计算极为复杂，往往近似为二体碰撞的叠加 过程 – 二体碰撞近似描述：将粒子运动轨迹分为碰撞区和碰 撞间隙区。在碰撞区，不考虑外场对粒子的作用，而 在碰撞间隙区，不考虑粒子之间的相互作用
远碰撞：小角散射， θc < π 2
近碰撞最大瞄准距离(远碰撞最小）：
ρmin
=
q1q2
8πε 0 Ec
=
ρL
2
库仑近碰撞截面:
σN
=
πρ
2 min
=
1
64π
⎛ ⎜ ⎝
q1q2
ε 0 Ec
⎞2 ⎟ ⎠
m1
σN
θc
m2
ρmin
m2
库仑碰撞频率
截面与碰撞频率关系： ν = n σ v 用热速度作为平均速度，近似获得库仑碰撞频率 v σ
子系统的不同能级中跃迁时产生电磁辐射或光 子辐射 • 每种原子系统都有其独特的原子能级（决定于 束缚电子与原子核之间的电磁作用）
原子能级表示法
• 原子能级的计算需要求解薛定谔方程，但只有H原子的 能级可以解析求解
• 经验方法：利用Grotrian Diagrams （能级图），LS （Russell-Saunders）耦合方法确定能级
粒子1的动量相对损失率 Δpα = − mβ (1− cosθ )
vαβ
Δvαβ vα' β
pα
mα + mβ
粒子1的动能改变量
ΔEkα = E 'kα − Ekα = vimαβ Δvαβ = −ΔEkβ
θ
ΔEkα = −Eαβ (1− cosθ )[Ekα − Ekβ + (mβ − mα )vα ivβ ]
ρL λD
1 2 34
" 相对能量为Ec的电子所能接近的最近距离
l
（朗道长度） ρL
e2
4πε 0 Ec
l n−1/3
两体库仑碰撞
两体库仑碰撞即为卢瑟福（Rutherford）散射
碰撞参数（瞄准距离）与碰撞角关系：
m1
ρ
cot
⎛ ⎜⎝
θc
2
⎞ ⎟⎠
=
⎛ ⎜ ⎝
8πε 0 Ec
q1q2
⎞ ⎟ ⎠
ρ
近碰撞：有明显偏转，大角散射， θc ≥ π 2
• ml: 轨道磁量子数， 轨道角动量在z方向的分量，空间取向 量子化 pml = ml , ml = l,l −1....0, −1... − l
• s: 自旋量子数，自旋角动量 ps = s(s +1) ,s = 1/ 2
• ms: 自旋磁量子数 pms = ms , ms = 1/ 2, −1/ 2
超弹性碰撞
" 符号表
粒子1
粒子2
质量
mα
mβ
速度
vα
v
' a
vβ
v
' β
动量 pα
p'a
pβ
p
' β
动能
Ekα
Ek' a
Ek β
Ek' β
– 质心速度与约化质量
（描述碰撞过程中的动量与动能传递特性）
质心坐标 质心速度
动量守恒
R = mα rα + mβ rβ mα + mβ
v = R = mα vα + mβ vβ mα + mβ
b. n-n碰撞中，碰撞双方速度相当，不能将一方视 为静止。
c. 考虑到n-n碰撞的相对速度比起静止模型较大，
单位时间内碰撞次数较多，所以平均自由程较
小
λnn = λen / 4 2
d. 在i-n碰撞中，由于离子的温度比中性粒子高， 所以，平均自由程小
λin < λnn
– 碰撞频率
定义：1秒钟内发生碰撞的平均次数
v = v ' 即碰撞过程中，质心速度保持不变
约化质量 取
mαβ
=
mα mβ mα + mβ
Mα
=
mα mα + mβ
，Mβ
=
mβ mα + mβ
– 粒子相对于质心的速度与相应能量守恒表达式
粒子1的相对速度
vαC = vα − v = M β vαβ
v 'αC = v 'α − v ' = M β v 'αβ
中只存在一个粒子2，即
n2σλ = 1
碰撞截面σ
粒子2(密度为n2)
试验粒子1
λ12
粒子2
粒子1和粒子2发生碰撞
的平均自由程
λ12
=
1
n2σ
由于e-n碰撞的碰撞截面
是n-n碰撞的1/4，故e-n
平均自由程是n-n的4倍
关于平均自由程的说明
a. 以上对平均自由程的计算，是在假设粒子2静止 不动条件下得到的，它适用于电子与速度较慢 的中性粒子间的e-n碰撞
典型的碰撞截面
e-Ne弹性碰撞截面
e-惰性气体原子电离碰撞截面
e-Ar激发（488nm辐射）碰撞截面
e-Ar动量转移碰撞截面
– 平均自由程
平均自由程λ定义：从统计平均角度，认为粒子每行进距离λ 就会发生一次碰撞。图示为简化说明
图中：粒子1以一定速度进入充满密度为n2的粒子2的空间 可能发生碰撞的空间：以σ为底面、λ为高的圆柱，在该圆柱
" 前三种碰撞为带电粒子与带电粒
子之间的碰撞，库仑力作用，无 需粒子直接接触，为库仑碰撞
" 后三种中碰撞的粒子至少有一方
为中性粒子，需要直接接触才会 产生相互作用力
" 电子与原子碰撞主要过程有弹性
散射（电子动量改变）和激发、 电离等
" 离子与原子碰撞主要过程有弹性
散射（动量和能量交换）和共振 电荷转移等
= ln (3ND )
∼ 10 − 20
斯必泽（Spitzer）电阻率： η
=
meν ei
nee2
=
ν ei
εω
2 pe
(碰撞产生的阻力与电场力平衡)
5.3 原子碰撞
原子能级 • 各种原子或分子系统的能级跃迁问题需要用量
子电动力学理论作全面描述，非本课程范围 • 本章给出一些相关的基本概念与规则 • 原子中电子与电磁辐射的关系：束缚电子在原
– 每层有2n2种不同的电子状态
– H、O、Na、Ar基态的电子壳层分布分别为：1S1、1S22S22p4、
1S22S22p63s1、1S22S22p63s23p6
• 自旋使得能级分裂。
– 比如氢原子由1s→2s 跃迁得到的不是一条谱线，而是两条靠得很 近的谱线. （谱线的精细结构）
碰撞前后 粒子相对速度保持不变，
| vαβ |=| vα' β | 只改变方向
– 二体弹性碰撞过程中粒子动量的动能的传递
碰撞使一个粒子将动量和动能传递给另一个粒子
粒子1的动量改变量 Δpα = mα (vα' − vα ) = mαβ Δvαβ = −Δpβ
Δpα = −(1− cosθ )mαβ vαβ = − Δpβ
a. 离子与中性粒子的半径大致相等，i-n碰撞与n-n 碰撞的碰撞截面约为4πr2
b. 电子的半径相对于中性粒子可忽略不计，e-n碰 撞的碰撞截面为πr2，为上者的1/4
c. 按照刚性球模型，碰撞截面为常数，与粒子能 量无关，事实上并非如此！
d. 当带电粒子接近中性粒子时，中性粒子内部会 产生电极化，从而形成电场力，改变粒子轨迹。 极化效应与碰撞粒子的相对速度有关
ν12 =
v1
λ12
= n2σ
v1
1秒行进的距离除以平均自由程
比较e-n碰撞与n-n碰撞的碰撞频率：
ν en /ν nn =
ve vn
/ λen = / λnn
ve / vn 42
算例
已知某气体分子半径r=2×10-10m，气压为300 mTorr，温度 为400K，其中的电子温度为0.1 eV。求该气体中的 e-n 碰撞的平均自由程和碰撞频率、n-n碰撞的平均自由程。
电子－电子碰撞频率：
ν ee = n
8
π
⎛ ⎜ ⎝
e2
4πε 0 Ec
⎞2 ⎟ ⎠
ln
ρmax ρmin
v
≈
8
π
⎛ ⎜ ⎝
e2
4πε 0
⎞2 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
n m T 1/ 2 3/ 2
ee
⎞ ⎟ ⎠
ln
Λ
离子－离子碰撞频率：
ν ii
=
8
π
⎛ ⎜ ⎝
e2
4πε 0
⎞2 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
n m T 1/ 2 3/ 2
" <>表示在方位角方向求平均，β粒子各向同性时<vβ>=0
O
φ
能量传输系数
Eαβ
= 2mα mβ (mα + mβ )2
mα = mβ时，Eαβ = 0.5 mα 或 mβ , Eαβ ≈ 0
– 散射截面（碰撞截面）
y
将两种粒子视为刚性球，
注意半径为r1+r2的圆！
粒子1r1 r2
粒子2
当粒子1沿z轴向粒子2靠近
ii
⎞ ⎟ ln Λ ⎠
电子－离子碰撞频率：
ν ei =ν ee
" 远碰撞最大瞄准距离（约等于德拜长度）
π
(
ρ2 max
−
ρ2 min
)
≈
πλD2
库仑碰撞特征
碰撞频率对温度的依赖关系：
高温
无碰撞
ν ∝ T −3/ 2
( ) 碰撞频率关系：
ν ii ≈
me
mi
ν 1/ 2 ee
ν ee ≈ν ei
动量碰撞频率
本章主要内容
第五章 等离子体中的碰撞与输运
5.1 等离子体中的二体碰撞 5.2 等离子体中的库仑碰撞 5.3 原子碰撞 5.4 分子碰撞 5.5 等离子体中的输运过程
5.1 等离子体中的二体碰撞
• 二体碰撞
– 等离子体中的粒子碰撞
• 等离子体中包含大量无规则 运动的电子、离子及中性粒 子
• 等离子体的一些特有性质与 等离子体粒子之间的碰撞密 切相关
分子密度n：
n=
p kT
=
300 ×133.3 1.38×10−23 × 400
=
39990 5.52 ×10−21
= 7.24 ×1024 m−3
平均自由程计算：
λen
=
1
nσ
=
1
nπ r2
=
1
7.24 ×1024 ×π × 4 ×10−20
= 1.10×10−6 m
λnn = λen / 4 2 = 1.10 ×10−6 / 4 2 = 1.94 ×10−7
粒子2的相对速度
vβC = vβ − v = −Mα vαβ
v 'βC = v 'β − v ' = −Mα v 'αβ
其中
vαβ = vα − vβ , v 'αβ = v 'α − v 'β 为碰撞前后的粒子相对速度
能量守恒表达式
1 2
mαβ
vα2β
=
1 2
mαβ
v
'α2β
+
ΔE
对于弹性碰撞，ΔE = 0
时，如果粒子1在xy平面的投
x
影落在圆内，那么粒子1必然 和粒子2发生碰撞
圆的面积 σ = π (r1 + r2 )2
称之为碰撞截面（亦称散射截面）
" 碰撞截面越大，越容易发生碰撞！它可以用来衡量粒子发生碰撞的概
率，分子、原子的半径约为10-10m，它们的碰撞截面约为10-20m2
碰撞截面的几点说明
- 距离大于德拜长度：集体相互作用，粒子和自洽场作用
- 距离小于德拜长度：库仑碰撞，粒子和粒子直接相互作用
• 等离子体中库仑碰撞的特点
- 碰撞是渐进的（与中性粒子碰撞有别）
- 多体相互作用
• 两体碰撞近似
-
等离子体是稀薄的 ND 近似为系列的两体碰撞
n
⎛ ⎜⎝
4π
3
λD3
⎞ ⎟⎠
1
- 最近距离远小于粒子平均距离
• 能级表示法：利用量子数
– 电子的状态由四个量子数描述，根据泡利不相容原理，两个电 子不可能同时处在相同的电子状态
原子结构的量子力学描述
• •
n、l、ml、ms n: 主量子数，单电子的能量
En
=
−
e2Z 2 2a0n2
(n
= 1, 2,3...)
• l: 轨道量子数，轨道角动量 pl = l(l +1) ,l = 0,1,...n −1(s, p, d, f , g...)
" 适用于带电粒子与中性粒子之
间的碰撞，在一定近似下也可 以用于带电粒子之间的碰撞
" 二体碰撞是等离子体碰撞过程
中最基本的问题
• 二体碰撞类型
– 三种基本运动粒子
• 电子（e） • 离子（i） • 中性粒子（n）
– 分类
• 能量交换、电离、激发、 复合、电荷转移
• 弹性、非弹性
– 六种碰撞组合
• e-i • e-e • i-i • e-n • i-n • n-n
电子－离子碰撞一次，能量交换份额： ∼ (me mi )
能量碰撞频率：
( ) ν E ei
≈
me
mi
ν ee
Leabharlann Baidu
同种粒子能量交换快
( ) ν E ii
=
me
mi
ν 1/ 2 ee
νE ee
≈ν ee
电子离子可具有不同温度
库仑对数：
( ) ln Λ
ln ρmax ≈ ln λD
ρmin
ρL
= ln
4π nλD3