2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第一次联考(9月)数学(理)
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)+数学(文)含答案
2020－2021学年上期第一次联考高二数学(文)试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{a n }为等差数列，a 2＝3，a 5＝15，则a 11＝ A.39 B.38 C.35 D.332.在△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB 2BC ＝3，则sin ∠BAC ＝ 10 10 310 53.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝a 7＋1，a 4＋a 7＝4，则a 10＝A.113 B.4 C.133 D.1434.在△ABC 中，若cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形5.已知数列{a n }满足a 1＝28，n 1n a a n +-＝2，则n an的最小值为 A.293 B.71 C.485D.2746.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形而积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝222222142a c b a c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a 2sinC ＝5sinA ，(a ＋c)2＝16＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 A.12B.32 3 D.27.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若a n >0，q>1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝ A.48 B.42 C.36 D.31 8.已知各项均为正数的等比数列{a n }，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则4567a a a a ++的值是A.19 B.16C.6D.9 9.若数列{a n }满足a n ＋1＝(2|sin 2n π|－1)a n ＋2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝A.136B.120C.68D.4010.若△ABC (a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则ca的取值范围是A.(0，2)B.(2，＋∞)C.(0 ，＋∞)11.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2asinC c ，a ＝1，则△ABC 的周长取得最大值时△ABC 的面积为D.412.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且csin(B ＋3π)a ，CA CB ⋅＝20，c ＝7，则△ABC 的内切圆的半径为A.1 D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝－6，S 9－S 4＝75，则S n 取得最大值时n ＝ 。
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)数学(理)Word版含答案
2021－2021学年上期第一次联考高二数学(理)试题(考试时间：120分钟 试卷总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1.数列{a n }为等差数列，a 2＝3，a 5＝15，那么a 11＝△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB，BC ＝3，那么sin ∠BAC ＝A.10B.5C.10D.5 3.在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－n 11a -(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2021＝ A.12C.－1 △ABC 中，(a ＋b ＋c)(sinA ＋sinB －sinC)＝asinB ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，那么C ＝ A.3πB.23πC.34πD.56π 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3＋a 4＝6，2a 5＝9，那么S 7＝ A.352 C.492△ABC 中，A ＝2C ，那么a c 的范围是 A.(0，，2){a n }为等比数列，a n >0，且a m a m ＋1a m ＋2＝26m ，假设p ＋q ＝6，那么a p ·a q ＝789108.假设数列{a n }满足a n ＋1＝(2|sin 2n π|－1)a n ＋2n ，那么a 1＋a 2＋…＋a 8＝ △ABC的面积为4(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，那么c a的取值范围是 A.(0，2)B.(0，＋∞)D.(2，＋∞)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2asinC，a ＝1，那么△ABC 的周长取得最大值时△ABC 的面积为A.411.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的。
我国明代数学家、音乐理论家朱载填创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人。
2020-2021学年河南省天一大联考高二上学期期末考试数学(理)含答案
绝密食启用前考生注意：juf南省天一大联考2020-2021学年（上）高二年级期末考试理科数学l答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2回答选得题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡对JSill里目的答案标号涂擦。
如需改动，用t章、皮擦干净后，再选涂其他答案；标号＠回答非选梅N2时，〉｜每答案写在答题卡上＠写在本试卷上无究生。
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交囚。
一、远择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个j在项中，只有一项是符合题目要求的＠l不制之二！＿＜－！的解灿x －÷LA.(-3, 2)B.(-3, -2)C.(-3, 4)2下苦IJ命题为真命题的是D.(-2, 4)A.3xoεR, xo 2+4xo+6运。
B.正切函数y=tanx a（］定义域为R C函数y＝土的单调递减区间为（－＝，O)U叨，＋∞）D矩形的对角线相等且互相平分3己知直线x+2y=4过双由线C:兰兰＝I α＞ 0 b > 0) i'.J<J 一个焦点及酬的一个揣点，贝。
此双曲线的标准方程是22A 主二－二一＝l 16 122 2 Bι二－二－＝l164α。
C.x2L-1124D. x 2L-12584已知｛an};;i-J 等差数列，公室主d =2,a2+a.+a6= 18，则as+ai =A.8B.12C.16D.205已知直线l平日两个不同的平而α，p ，着αJ_j3，则“／／／，α”是“／J_j3＇’的A充分不必要条件B必要不充分条伶c.充要条件D.既不充分也不必要条伶6在.6.ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, A=60。
，c=4,a=2.J宁，Sill A则一＝..：.＝sinB2－3A －J－3C.扫D.37在四楼锥P -ABCD 中，PD .l 平而ABCD .,AB//DC, CADC =90。
2020-2021学年河南省天一大联考高二(上)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省天一大联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x−8x2+2<−1的解集为()A. (−3,2)B. (−3,−2)C. (−3,4)D. (−2,4)2.下列命题为真命题的是()A. ∃x0∈R，x02+4x0+6≤0B. 正切函数y=tanx的定义域为RC. 函数y=1x的单调递减区间为(−∞,0)∪(0,+∞)D. 矩形的对角线相等且互相平分3.已知直线x+2y=4过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是()A. x216−y212=1 B. x216−y24=1 C. x212−y24=1 D. x225−y28=14.已知{a n}为等差数列，公差d=2，a2+a4+a6=18，则a5+a7=()A. 8B. 12C. 16D. 205.已知直线l和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l//α”是“l⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，c=4，a=2√7，则sinAsinB=()A. 23B. √73C. √7D. 37.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，∠ADC=90°，AD=AB=3，PD=4，DC=6，则DB与CP所成角的余弦值为()A. √35B. 2√56C. 3√2626D. 2√13138.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，a1=1，a12=9a10，要使数列{λ+S n}为等比数列，则实数λ的值为()A. 13B. 12C. 2D. 不存在9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=2π3，b=2√3，b2+c2−a2=√3bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE=()A. √6B. √7C. 2√2D. 310.已知圆C：x216+y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的一点，线段PF1的中点M在y轴上，则△PF1F2的面积为()A. 4B. 4√2C. 5√3D. 6√511.已知抛物线y2=2px(p>0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线C：x2 a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则双曲线C的离心率为()A. 3B. 4C. 6D. 912. 在直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//DC ，CD ⊥BC ，CC 1=2，CD =1，AB =4，BC =2√3，则直线BC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为( )A. √56B. √65C. √22D. √23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x −2y +2≥0x ≥0，则z =x −3y 的最大值是______ ．14. 已知抛物线y 2=2px(p >0)，点(p2,1)是抛物线上一点，则抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为______ ．15. 已知数列{a n }满足a 1=12，a n+1=a n2−a n ，若b n =1a n−1，则数列{b n }的通项公式为b n = ______ ．16. 设有下列命题：①当x >0，y >0时，不等式(x +y)(1x +1y )≥4恒成立； ②函数f(x)=3x +3−x 在(0,+∞)上的最小值为2； ③函数f(x)=xx 2+3x+1在(0,+∞)上的最大值为15；④若a >1，b >1，且log a 3+log b 27=4，则log 3(ab)的最小值为1+√32．其中真命题为______ .(填写所有真命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|41−x >1}，B ={x|x 2+(1−2a)x +a 2−a <0}．(Ⅰ)求集合A ，B ；(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．18. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且满足a(sinA −12sinB)=(sinC +sinB)(c −b)，c =4．(Ⅰ)求△ABC 的外接圆的半径； (Ⅱ)求△ABC 的面积的最大值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n −1，数列{b n }满足b n =log 2a n +log 2a n+1．(Ⅰ)求{a n }，{b n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n }满足c n =a n b n ，求{c n }的前n 项和T n ．20. 已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P 到左焦点距离的最大值为2+√3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，△OAB(O 为坐标原点)的面积为45，求直线l 的方程．21. 如图所示，在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD为直角梯形，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，AD =2CD =2BC =2a(a 为大于零的常数)，△PAD 为等腰直角三角形，PA =PD ，E 为AD 的中点，PQ//BE ． (Ⅰ)求PQ 的长，使得DQ ⊥EC ；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角B −AQ −D 的大小． 22. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(1,√22)，离心率为√22，直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程．(Ⅱ)若直线l 交y 轴于点M ，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当直线l 的倾斜角变化时，λ+μ是否为定值？若是，请求出λ+μ的值；否则，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由x−8x2+2<−1化简可得：x2+x−6x+2<0，即解x2+x−6<0，解得：−3<x<2，故解集为：(−3,2)．故选：A．利用分式不等式定义求解不等式即可．命题意图本题主要考查一元二次不等式的求解．属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A，因为△=42−4×1×6=−8<0，所以x2+4x+6>0恒成立，所以A为假命题；对于B，正切函数y=tanx的定义域为{x|x∈R,x≠kπ+π2,k∈Z}≠R.所以B为假命题；对于C，函数y=1x的单调递减区间为(−∞,0)，(0,+∞)，所以C为假命题；对于D，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以证，所以D为真命题．故选：D．A根据二次函数根的差别式判断，B求正切函数定义域判断，C求函数递减区间判断，D用平面几何证明判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了二次函数性质，考查了函数定义域及单调区间，属基础题．3.【答案】C【解析】解：设双曲线的半焦距为c，∵直线x+2y=4过点(4,0)和(0,2)，∴c=4，b=2，∴a=√42−22=2√3，双曲线C的标准方程是x212−y24=1．故选：C．利用已知条件求出b，c，推出a，然后求解双曲线方程即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求解，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意知，2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，∵a2+a4+a6=18，∴3a4=18，∴a4=6．∴a5+a7=2a4+4d=2×6+4×2=20．故选：D．根据等差数列的性质得到2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，代入求值即可．本题考查等差数列的性质的应用，准确计算是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：已知直线l 和两个不同的平面α，β，α⊥β， 若l//α，则l 与β平行，相交或在平面β内都有可能； 若l ⊥β，则l ⊂α或l//α，故“l//α”推不出“l ⊥β”，“l ⊥β”推不出“l//α”， 故“l//α”是“l ⊥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．根据线面垂直，线面平行的性质及判定，从而得到结论．本题本课程了充分必要条件，考查了线面垂直，线面平行的性质及判定，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 即28=b 2+16−4b ，也即b 2−4b −12=0， 解得b =6或b =−2(舍去)， 所以sinA sinB=a b=2√76=√73， 故选：B ．由题意利用余弦线定理求得b 的值，再利用正弦定理求得sinAsinB 的值． 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 7.【答案】C【解析】解：因为PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，∠ADC =90°， 故以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AD =AB =3，PD =4，DC =6，则D(0,0，0)，B(3,3，0)，C(0,6，0)，P(0,0，4)，所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−6,4)， 设DB 与CP 所成的角为α， 则cosα=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CP⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√18×√52=3√2626， 所以DB 与CP 所成角的余弦值为3√2626． 故选：C ．建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，求出两条直线的方向向量，然后利用异面直线所成角的计算公式求解即可．本题考查了空间角的求解，涉及了两条异面直线所成的角、向量夹角公式的应用，求解空间角经常会运用空间向量法，即建立空间直角坐标系，将空间角转化为空间向量的夹角进行研究，属于中档题． 8.【答案】B【解析】解：由公比q >0，a 12=9a 10可得q =3， 而a 1=1，∴S n =1−3n 1−3=3n −12．若数列{λ+S n }为等比数列，则有(λ+S 2)2=(λ+S 1)⋅(λ+S 3)， 即(λ+4)2=(λ+1)⋅(λ+13)，解得λ=12，于是λ+S n=12+3n−12=12×3n，而12+S n+112+S n=12×3n+112×3n=3，故λ=12时，数列{λ+S n}为等比数列．故选：B．由已知条件利用等比数列的定义和性质求解．本题主要考查等比数列的定义和性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：因为b2+c2−a2=√3bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =√3bc2bc=√32，因为A∈(0,π)，所以A=π6，因为B=2π3，b=2√3，所以C=π−A−B=π6，由正弦定理，可得 asinπ6=csinπ6=2√3sin2π3，解得a=c=2，因为∠BAC的平分线与BC交于点E，所以BECE =ABAC=22√3，即CE=√3BE，所以由BE+CE=BE+√3BE=2，可得BE=2√3+1=√3−1，在△ABE中，由余弦定理可得AE=√AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cosB=√22+(√3−1)2−2×2×(√3−1)×cos2π3=√6．故选：A．由已知利用余弦定理可得cos A，结合A的范围及三角形内角和定理可求C，由正弦定理可得a=c=2，利用角平分线的性质求得BE的值，再在△ABE中由余弦定理可得AE的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意知a=4，b=2√2．在△PF1F2中，PF1的中点M在y轴上，F1F2的中点为原点，故PF2//y轴，即PF2⊥x轴，所以|PF2|=b2a =84=2，又|F1F2|=2√16−8=4√2，于是△PF1F2的面积为12×2×4√2=4√2．故选：B ．求出a =4，b =2√2.说明PF 2⊥x 轴，求解|PF 2|，|F 1F 2|，然后求解三角形的面积． 本题主要考查椭圆的性质及三角形的解法，是基础题． 11.【答案】A【解析】解：由题意，5+p2=6，即p =2，则抛物线y 2=2px(p >0)的直线方程为x =−1， 双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线方程为y =±ba x ，取x =−1，可得A(−1,−ba )，B(−1,ba )，如图，则S △OAB =12×2b a×1=ba =2√2，则e =ca=√1+(ba )2=√1+8=3． 故选：A ．由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】C【解析】解：以B 为原点，BC ，BA ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0，0)，C 1(2√3,0，2)，A(0,4，0)，D(2√3,1，0)， ∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0，2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3，−3，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−4,2)，设平面ADC 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2√3x −3y =02√3x −4y +2z =0，令x =√3，则y =2，z =1，∴n ⃗ =(√3,2，1)，设直线BC 1与平面ADC 1所成角为θ， 则sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ ||=|√3×√3+24×2√2|=√22， ∴直线BC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为√22．故选：C ．以B 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面ADC 1的法向量n ⃗ ，设直线BC 1与平面ADC 1所成角为θ，由sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >|，即可得解． 本题考查线面角的求法，熟练掌握利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 13.【答案】3【解析】解：由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，由x −y −1=0，取x =0，解得A(0,−1)， 化目标函数z =x −3y 为y =x 3−z3，由图可知，当直线y =x 3−z3过点A(0,−1)时，直线在y 轴上的截距最小， z 取得最大值，代入得0−3×(−1)=3，故z =x −3y 的最大值为3． 故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 14.【答案】5【解析】解：由已知把点(p 2,1)代入抛物线方程可得：1=2p ×p2， 解得p =1或−1(舍去)，所以抛物线的方程为：y 2=2x ，令y =3，解得x =92，则由抛物线的定义可得抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为92+12=5， 故答案为：5．代入已知点即可求出p 的值，再令y =3求出对应点的横坐标，然后利用抛物线的定义即可求解． 本题考查了抛物线的方程和定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 15.【答案】2n−1【解析】解：依题意，由a n+1=an2−a n ，可得1a n+1=2−a n a n=2×1a n−1，两边同时减1，可得1a n+1−1=2×1a n−1−1=2(1a n−1)，即b n+1=2b n ， ∵b 1=1a 1−1=1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗． 故答案为：2n−1．本题先将递推公式倒过来，然后两边同时减1，进行转化计算即可判别出数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，即可计算出数列{b n }的通项公式．本题主要考查由递推公式推导通项公式．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16.【答案】①③④【解析】解：①(x +y)(1x +1y )=2+yx +xy ≥2+2√xy ⋅yx =4， 当且仅当yx =xy 时，即x =y 时，取等号，故①正确． ②f(x)=3x +13x≥2√3x ⋅3−x =2，当且仅当3x =13x，即x =0时，取等号，但x ∈(0,+∞)，无法取等号，故②错误， ③因为f(x)=xx 2+3x+1，x ∈(0,+∞)， 所以f(x)=1x+1x +3≤2√x⋅1x+3=15， 当且仅当x =1x ，即x =1时，能取等号，故③正确， ④log a 3+log b 27=1log 3a+3log 3b=4，所以14log3a+14log 3b=1，所以log 3ab =log 3a +log 3b =(log 3a +log 3b)(14log 3a+14log 3b ) =14+34+log 3b 4log 3a+3log 3a 4log 3b≥1+2√log 3b 4log 3a⋅3log 3a 4log 3b=1+√32， 因为a >1，b >1，所以log 3a >0，log 3b >0， 当且仅当log 3b4log3a =3log 3a4log 3b，即b =a √3时，取等号，故④正确． 故答案为：①③④．分别按步骤“一正”“二定”“三相等”运用基本不等式进行分析，即可得出答案． 本题考查基本不等式的应用，解题中注意取等条件的满足，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)A ={x|x+3x−1<0}={x|−3<x <1}，B ={x|(x −a)(x −a +1)<0}={x|a −1<x <a}；(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，∴{a−1≥−3a≤1，解得−2≤a≤1，∴实数a的取值范围是[−2,1]．【解析】(Ⅰ)根据分式不等式和一元二次不等式的解法即可求出A={x|−3<x<1}，B={x|a−1<x< a}；(Ⅱ)根据A∩B=B可得出B⊆A，然后即可得出{a−1≥−3a≤1，然后解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意及正弦定理得到a(a−12b)=(c+b)(c−b)，即a2+b2−c2=ab2，由余弦定理可得cosC=14，所以sinC=√154．设△ABC的外接圆的半径为R．因为csinC =2R，即√154=2R，解得R=8√1515．(Ⅱ)因为c2=a2+b2−2abcosC，且c=4，所以16=a2+b2−ab2≥2ab−ab2=3ab2，即ab≤323，所以S△ABC=12absinC≤12×323×√154=4√153，当且仅当a=b时取等号．故△ABC的面积的最大值为4√153．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知的等式角化边，然后利用余弦定理得到cosC=14，再利用同角三角函数关系得到sinC=√154，由正弦定理即可求得答案；(Ⅱ)利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，然后再利用三角形的面积公式求解即可．本题考查了解三角形问题，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将已知的等式角化边，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1，当n≥2时，由S n=2a n−1，可得S n−1=2a n−1−1，两式相减，可得a n=2a n−2a n−1，化简整理，得a n=2a n−1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗，∴b n =log 2a n +log 2a n+1=log 22n−1+log 22n =n −1+n =2n −1，n ∈N ∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得c n =a n b n =(2n −1)⋅2n−1，∴T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =1×1+3×21+5×22+⋯+(2n −1)×2n−1，2T n =1×21+3×22+⋯+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ，两式相减，可得−T n =1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n −1)×2n=1+2×(21+22+⋯+2n−1)−(2n −1)×2n=1+2×2−2n1−2−(2n −1)×2n =−(2n −3)×2n −3，∴T n =(2n −3)×2n +3．【解析】(Ⅰ)先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列{a n }的通项公式，然后代入b n =log 2a n +log 2a n+1，根据对数的运算性质即可计算出数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)先根据第(Ⅰ)题计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(I)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，半焦距为c ， 由已知得{2a =2⋅(2b)a +c =2+√3a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1． (Ⅱ)由题可知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，{ x 24+y 2=1x =my +1⇒(m 2+4)y 2+2my −3=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4， △OAB 的面积S =12×|y 1−y 2|=45，∴|y 1−y 2|=85，∴|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=(−2m m 2+4)2−4(−3m 2+4)=6425，整理可得4m 4+7m 2−11=0，解得m =±1，所以直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0． 故答案为：(Ⅰ)椭圆的方程为x 24+y 2=1.(Ⅱ)直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．【解析】(Ⅰ)由题意可得a =2b ，a +c =2+√3，a 2−b 2=c 2，解方程组即可；(Ⅱ)根据直线与椭圆的位置关系，建立联立方程组，列出未知参数方程，解方程即可．本题主要考查用待定参数法求椭圆方程及直线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题． 21.【答案】解：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 为等腰直角三角形，PA =PD ，E 为AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，PE ⊥BE ，由已知可得DC//BE ，AD ⊥CD ，∴BE ⊥AD ．∴可以直线EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E −xyz ，如图所示：则A(a,0，0)，D(−a,0，0)，B(0,a ，0)，C(−a,a ，0)，P(0,0，a)，由题可设Q(0,t ，a)．(I)∵DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,t,a)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,0)，DQ ⊥EC ， ∴DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−a 2+at =0，∴t =a ，于是Q(0,a ，a)， 故|PQ|=a ．(Ⅱ)BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,0)，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a)， 设m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面ABQ 的法向量． 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{ax −ay =0az =0． 令x 1=1，则y 1=1，∴可取m⃗⃗⃗ =(1,1,0)， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0,0)，DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,a)， 设n⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面ADQ 的法向量． 则{n −⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ax =0n ⃗ ⋅DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +ay +az =0， 令z 2=−1，则y 2=1，∴可取n⃗ =(0,1,−1)． 设二面角B −AQ −D 的平面角为θ，则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2×√2=12.∴θ=60°， 即二面角B −AQ −D 的大小为60°．【解析】直线EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E −xyz ，(I)通过向量的数量积，转化求解|PQ|=a ．(Ⅱ)求出平面ABQ 的法向量，平面ADQ 的法向量利用空间向量的数量积，求二面角B −AQ −D 的平面角的大小即可．本题考查二面角的平面角的求法，命题意图本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，是中档题． 22.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ， 则有{ 1a +12b =1c a =√22a 2=b 2+c 2，解得a =√2,b =1,c =1， 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，F(1,0)，由条件得直线l 的斜率必存在，设方程为y =k(x −1)，又M(0,−k)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则由{x 22+y 2=1y =k(x −1)，解得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2， 因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则有(x 1,y 1+k)=λ(1−x 1,−y 1)，所以λ=x 11−x 1，同理可得μ=x 21−x 2， 所以λ+μ=x 11−x 1+x 21−x 2=x 1+x 2−2x 1x 21−(x 1+x 2)+x 1x 2=4k 21+2k 2−4(k 2−1)1+2k 21−4k 21+2k 2+2k 2−21+2k 2=−4，即λ+μ是定值−4．【解析】(Ⅰ)利用点在椭圆上以及离心率列出关于a ，b ，c 的等式，求解即可得到a 和b 的值，从而得到椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l 的方程，联立方程组，得到韦达定理，利用MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出λ，μ的值，然后代入化简即可． 本题考查了直线与圆锥曲线的应用，涉及了椭圆标准方程的求解、椭圆几何性质的应用、直线与椭圆位置关系的应用，此类问题经常联立方程组，利用韦达定理进行研究，属于中档题．。
河南省豫南九校2020-2021学年上学期高二期末联考理数试卷答案
在△ 中， ，∴ ， AMC
MC sin∠MAC
=
AC sin∠AMC
MC
=
200 2sin60° sin45°
=
200
3m
∴ 故选 ． MN = MCsin∠MCN = 200 3sin60° = 300 m. C 7．D
【解析】因为 g′(x) =
f ′(x)−
ex
f
(x) ，由图象知：当 x∈(0，1) 和 x∈(4，+ ∞) 时，
2
4
4
所以 ， (a + b)2 ≤12 a + b ≤ 2 3 ，当且仅当 a = b 时取等号，
所以 19．【解析】
a
+
b
+
c
≤
3
3 ，即△ABC 周长的最大值为3
3.
（1）由题意知， a1 = 2 .
高二数学（理）参考答案 第 7 页（共 12 页）
= VP−ABC
=
1 3
×
S△
ABC
× PA
=
1× 3
1 × 3× 4× PA = 2
4
PA = 2 .
点C 为坐标原点，CB ，CA，CC1 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系C − xyz ，
则 、 、 、 ， C (0,0,0) P (0, 4, 2) B (3,0,0) C1 (0,0,3)
则由向量加法的平行四边形法则有：OG = 1 (OM + ON ) = 1 × 2 OA + 1 × 1 (OB + OC)
2
23 22
故选 = 1 OA + 1 OB + 1 OC . A.
2020-2021学年河南省豫南九校高二(下)第一次联考数学试卷(理科)(含答案解析)
2020-2021学年河南省豫南九校高二(下)第一次联考数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈(0,+∞)，lnx=2x”的否定是()A. ∀x∈(0,+∞)，lnx=2xB. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠2xC. ∃x∉(0,+∞)，lnx=2xD. ∃x∈(0,+∞)，lnx≠2x2.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 既不充分又不必要条件D. 无法判断3.若a，b为非零实数，则下列不等式中成立的是()A. |a+b|>|a−b|B. a+b2≥√abC. (a+b2)2≥ab D. ab+ba≥24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosAcosB =ba，且4sinA=3sinB，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 钝角三角形5.数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N∗的都有a n+1=1+a n+n，则1a1+1a2+⋯…+1a99=()A. 9998B. 2 C. 9950D. 991006.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4√6x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6√3，则|PF|=()A. 2√3B. 4√3C. 4√6D. 8√37.已知双曲线T：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点为F(2,0)，且经过点R(2√33,0)，△ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k1≠0，i=1，2，3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为−1.则1k1+1k2+1k3的值为()A. −1B. −12C. 1 D. 128. 函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，且当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，若1<a <2，则( )A. f(2a )<f(2)<f(log 2a)B. f(2)<f(log 2a)<f(2a )C. f(log 2a)<f(2a )<f(2)D. f(log 2a)<f(2)<f(2a )9.曲线f(x)=f′(1)e x −x 2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于( )A. 2eB. 2e−1C. 2ee−1D.4−2e e−110. 已知f(x)=lnx√2x ，则△x →0limf(12)−f(12+△x)△x=( )A. −2−ln2B. −2+ln2C. 2−ln2D. 2+ln211. 已知函数f(x)=e x (sinx −cos x)，x ∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为( )A.B.C.D.12. 过双曲线x 24−y 28=1的右焦点作一直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=8，则这样的直线l 共有( )条？A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =√14[c 2a 2−(c2+a 2−b 22)2](其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边).在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若a =2，且a =c(cosB +√3cosC)，则三角形ABC 的面积最大时，B = ______ ． 14. 8、设斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，若点P ，Q 在 x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ．15. 设{x +y ≥0x −y ≥0与抛物线y 2=−4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ，P(x,y)为D 内的一个动点，则目标函数z =x −2y 的最大值为______．16. 已知函数f(x)=ae x −x +2a 2−3的值域为M ，集合I =(0,+∞)，若I ⊆M ，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 证明当x >−1时，e x −1≥ln(x +1)．18.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．(1)证明平面ADE⊥平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcosC+12c.(1)求角B．(2)若b=3，求△ABC面积的最大值．20.一椭圆x2a2+y29=1(a>3)的两个焦点分别为F1，F2，点P(1,m)是该椭圆曲线上一点，已知三角形F1F2P的周长是18．(1)求a的值；(2)求m的值．21.已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=92．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n+1}的前100项和．22.已知函数f(x)=(x+1)⋅(ln(x+1)−1)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−ax−b(a,b∈R)在区间[0,1]上存在零点，求a2+b的最小值．(参考数据：ln2≈0.6931)参考答案及解析1.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈(0,+∞)，lnx≠2x，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.答案：A解析：解：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选：A．由“好人”⇒“有好报”，即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，当a>0>b时，|a+b|<|a−b|，A错误；对于B，当a、b<0时，a+b2<√ab，C错误；对于C，(a+b2)2−ab=(a−b)22≥0，C正确；对于D，当a>0>b时，ab +ba<0，D错误；故选：C．根据题意，举出反例分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查不等式的基本性质，注意举出反例分析不等式是否成立，属于基础题．4.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．由已知利用正弦定理可得4a=3b，由cosAcosB =ba，利用余弦定理整理可得(a2+b2)(a2−b2)=c2(a2−b2)，从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．解：∵4sinA=3sinB，∴4a =3b ， ∵cosAcosB =ba，可得：b 2+c 2−a 22bc a 2+c 2−b 22ac=ba ，整理可得：(a 2+b 2)(a 2−b 2)=c 2(a 2−b 2)，∴a 2−b 2=0，或a 2+b 2=c 2， ∴a 2+b 2=c 2，或a =b(舍去) ∴△ABC 的形状是直角三角形． 故选：B ．5.答案：C解析：解：根据题意，数列{a n }满足对任意n ∈N ∗的都有a n+1=1+a n +n ，则a n+1−a n =n +1， 则a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯…+1=n(n+1)2，则1a n=2n(n+1)=2n −2n+1；则1a 1+1a 2+⋯…+1a 99=2[(1−12)+(12−13)+⋯…+(199−1100)]=2(1−1100)=9950；故选：C ．根据题意，将a n+1=1+a n +n 变形可得a n+1−a n =n +1，进而可得a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯…+1=n(n+1)2，变形可得1a n=2n(n+1)=2n −2n+1；据此由数列求和的方法分析可得答案．本题考查数列的递推公式和数列的求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题．6.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．求出抛物线的焦点坐标，然后利用三角形的面积求解P 的纵坐标，即可求解|PF|．解：O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4√6x 的焦点，P 为C 上一点，若△POF 的面积为6√3， 可得抛物线的焦点坐标为：(√6,0)，∴12×√6×|y P |=6√3，可得|y p |=6√2， ∴x P =3√6，则|PF|=√(3√6−√6)2+(±6√2−0)2=4√6． 故选C ．7.答案：B解析：解：由题意可得，a =2√33，c =2，∴b 2=c 2=−a 2=83，∴双曲线T ：x 243−y 283=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，M(s 1,t 1)，N(s 2,t 2)，P(s 3,t 3)，由：6⋅x 12−3⋅y 12=8，6⋅x 22−3⋅y 22=8，两式相减，得到6(x 1−x 2)(x 1+x 2)−3(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴k 1=y 1−y 2x 1−x 2=2⋅x 1+x 2y 1+y 2=2⋅s 1t 1，∴1k 1=12⋅t1s 1．同理可得，1k 2=12⋅t 2s 2，1k 3=12⋅t3s 3．再根据直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为(t 1s 1+t 2s 2+t 3s 3)=−1，可得1k 1+1k 2+1k 3=12(t 1s 1+t 2s 2+t 3s 3)=−12， 故选：B ．由条件求得a 、b 、c 的值，可得椭圆的标准方程，利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为−1，求得1k 1+1k 2+1k 3的值．本题考查双曲线的标准方程和简单性质，考查直线的斜率公式、点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x =1对称． 当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，则(x −1)f′(x)>0，x >1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x <1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减． 若1<a <2，则0<log 2a <1<2<2a ，f(log 2a)=f(2−log 2a)，2−log 2a ∈(1,2)， ∴f(log 2a)=f(2−log 2a)<f(2)<f(2a )， 故选：D ．函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x =1对称．当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，可得(x −1)f′(x)>0，进而得到单调性．若1<a <2，则0<log 2a <1<2<2a ，f(log 2a)=f(2−log 2a)，2−log 2a ∈(1,2)，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：f(x)=f′(1)e x −x 2+2， 可得f′(x)=f′(1)e x −2x ，可令x =1，可得f′(1)=f′(1)e −2，解得f′(1)=2e−1，可得曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为2e−1， 故选：B ．对f(x)=f′(1)e x −x 2+2求导数，再令x =1，解方程可得f′(1)，再由导数的几何意义可得所求值． 本题考查导数的几何意义，运用导数的运算性质是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查了导数的定义及其导数的运算法则，属基础题． 对f(x)求导，然后由△x →0limf(12)−f(12+△x)△x=−f′(12)，求出值即可．解：∵f(x)=lnx√2x ， ∴f′(x)=−lnx−22√2x 32，∴f′(12)=2+ln2， △x →0limf(12)−f(12+△x)△x=−f′(12)=−2−ln2．故选：A ．11.答案：B解析：解：故答案选B．12.答案：C解析：解：①若A、B都在右支，若AB垂直x轴，a2=4，b2=8，c2=12，所以F(2√3,0)则AB：x=2√3，代入双曲线x24−y28=1，求得y=±4，所以AB=|y1−y2|=8，所以|AB|=8的有一条，即垂直于x轴；②若A、B分别在两支a=2，所以顶点距离为2+2=4<8，所以|AB|=8有两条，关于x轴对称．所以一共3条故选C．先看当A、B都在右支上时，若AB垂直x轴，根据双曲线方程求得焦点的坐标，把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标，进而求得AB的长等于8，则即为垂直于x轴的一条；再看若A、B分别在两支先看A，B为两顶点时，不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条，最后综合可得答案．本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．13.答案：120°解析：解：因为a=c(cosB+√3cosC)，由正弦定理得sinA=sinC(cosB+√3cosC)=sin(B+C)，所以sinCcosB+√3sinCcosC=sinBcosC+sinCcosB，即√3sinCcosC=sinBcosC，因为cosC≠0，所以√3sinC =sinB ， 由正弦定理得b =√3c ，S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]=√14[4c 2−(c2+4−3c 22)2]=12√−c 4+8c 2−4=12√−(c 2−4)2+12，当c 2=4时，角形ABC 的面积最大，此时c =2，b =2√3， 故cosB =4+4−122×2×2=−12，故B =120°． 故答案为：120°．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是确定椭圆方程中a ，b 和c 的关系． 解：由题意，两个交点横坐标是−c ，c ，所以两个交点分别为，代入椭圆方程可得，∴c 2(2b 2+a 2)=2a 2b 2∵b 2=a 2−c 2∴c 2(3a 2−2c 2)=2a 4−2a 2c 2∴2a 4−5a 2c 2+2c 4=0， ∴(2a 2−c 2)(a 2−2c 2)=0，∵0<e <1．故答案为：15.答案：3解析：解：由题意，抛物线y 2=−4x 的准线x =1，它和不等式{x −y >0 x +y >0共同围成的三角形区域为{x −y ≥0x +y ≥0x ≤1， 目标函数为z =x −2y +5，作出可行域如右图， 由图象可知当直线经过点C 时，直线z =x −2y +5的截距最小，此时z 最大，点C 的坐标为(1,−1)，此时z =1−2×(−1)=3． 故答案为：3．先确定平面区域，作出可行域，进而可求目标函数z =x −2y 的最大值． 本题考查抛物线的简单性质，考查线性规划知识，正确确定平面区域是关键．16.答案：(−∞,1]解析：本题主要考查了利用导数求函数的值域，对参数分类讨论是求解问题的关键，属于中档试题． 由题意可得f(x)的最小值小于等于0，先对函数求导，然后结合a 的范围即可求解． 解：由题意可得f(x)的最小值小于等于0，f′(x)=ae x −1， 若a ≤0，则f′(x)<0，f(x)在R 上单调递减，当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→−∞，故f(x)的值域R ，满足题意， 若a >0，则易得函数在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， 所以当x =−lna 时，函数取得极小值f(−lna)=lna −2+a 2，>0恒成立，令g(a)=lna−2+a2，则g′(a)=4a+1a故g(a)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=0，要使得g(a)≤0，则a≤1，故0<a≤1，综上可得，a的范围(−∞,1]故答案为：(−∞,1]17.答案：证明：令f(x)=e x−1−ln(x+1)，f(0)=1−1−0=0．f′(x)=e x−1，在(−1,+∞)上单调递增，f′(0)=0，−1<x<0时，f′(x)<0；，0<x时，f′(x)>0．x+1∴函数f(x)在x=0时取得极小值即最小值．∴f(x)>f(0)=0．∴当x>−1时，e x−1>ln(x+1)．解析：令f(x)=e x−1−ln(x+1)，f(0)=0.f′(x)=e x−1，在(−1,+∞)上单调递增．f′(0)=0，x+1可得函数f(x)在x=0时取得极小值即最小值．即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)如图所示，由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE，AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1．又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．(2)解法一：如图所示，设F是AB的中点，连结DF、DC1、C1F，由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质及D 是A1B1的中点，知A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF．又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF．而AB//A1B1，所以AB⊥平面C1DF.又AB平面ABC1，故平面ABC1⊥平面C1DF．过点D作DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．连结AH，则∠HAD是直线AD和平面ABC1所成的角，由已知，不妨设，则AB=2，，，，，，所以，即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．解法二：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,−1,0)，B(，0，0)，C1(0,1,)，D()，易知=(，1，0)，=(0,2,)，=().设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,z)，则有解得，，故可取n=(1,，).所以cos〈n，〉=．由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．解析：(1)应用线面垂直来推证面面垂直．(2)先作出线面角，再求．19.答案：解：(1)因为a=bcosC+12c，所以sinA=sinBcosC+12sinC=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB，即12sinC=sinCcosB，因为sinC>0，所以cosB=12，由B∈(0,π)得B=π3；(2)由余弦定理得b2=9=a2+c2−ac≥ac，当且仅当a=c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S=12acsinB=√34ac≤9√34．故面积的最大值9√34．解析：(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosB，进而可求B；(2)由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题．20.答案：解：(1)∵椭圆x2a2+y29=1(a>3)的两个焦点分别为F1，F2，点P(1,m)是该椭圆曲线上一点，∴三角形F1F2P的周长是18=2a+2c，即a+c=9，又由a 2=9+c 2得：a =5，(2)由(1)得，椭圆的方程为：x 225+y 29=1， 将P(1,m)代入得：125+m 29=1，解得：m =±65√6解析：(1)由已知可得：三角形F 1F 2P 的周长是18=2a +2c ，即a +c =9，结合a 2=9+c 2可得：a 值；(2)将P(1,m)代入椭圆的方程可得m 的值．本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档． 21.答案：解：(1)设公差为d ，由a 3=2，前3项和S 3=92，可得a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1=1，d =12，所以a n =12n +12；(2)1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)， 则前100项和为4(12−13+13−14+⋯+1101−1102)=4(12−1102)=10051．解析：(1)设公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；(2)求得1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，运用裂项相消求法，计算数列{1a n a n+1}的前100项和即可．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域是(−1,+∞)，f′(x)=ln(x +1)，当x =0时，f′(x)=0，故f(x)在(−1,0)递减，在(0,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(0)=−1，无极大值；(Ⅱ)法一(分类讨论)：g(x)=f(x)−ax −b =(x +1)(ln(x +1)−1)−ax −b(0≤x ≤1)，则g′(x)=ln(x +1)−a(0≤ln(x +1)≤ln2)，(1)a ≤0时，则g′(x)≥0，g(x)在[0,1]递增，则{g(0)≤0g(1)≥0⇒{−1−b ≤02(ln2−1)−a −b ≥0⇒−1≤b ≤2(ln2−1)−a ， 故a 2+b ≥−1；(2)a ≥ln2时，则g′(x)≤0，g(x)在[0,1]递减，则{g(0)≥0g(1)≤0⇒{−1−b ≥02(ln2−1)−a −b ≤0⇒2(ln2−1)−a ≤b ≤−1， 故a 2+b ≥a 2+2(ln2−1)−a ≥(ln2)2+ln2−2>−1，(3)0≤a ≤ln2，则∃x 0∈[0,1]，使得a =ln(x 0+1)，易知g(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,1)递增，故{g(0)=−1−b g(1)=2(ln2−1)−a −b g(x 0)≤0⇒{g(0)=−1−bg(1)=2(ln2−1)−a −b b ≥(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0，故a 2+b ≥a 2+(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0=a 2+a −e a ，记ℎ(a)=a 2+a −e a ，则ℎ′(a)=2a +1−e a ，ℎ″(a)=2−e a ，由0≤a ≤ln2得ℎ″(a)>0，故ℎ′(a)在(0,ln2)递增，得ℎ′(a)≥ℎ′(0)=0，故ℎ(a)在(0,ln2)递增，得ℎ(a)≥ℎ(0)=−1，此时可验证g(0)或g(1)必有其一大于等于0，故零点存在，由(1)(2)(3)得：a 2+b 的最小值是−1；法二(变更主元)：设x 0是g(x)在区间[0,1]内的1个零点，则(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0−b =0，即b =(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0，故a 2+b =a 2−x 0a +(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)≥4(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−x 024，设ℎ(x)=4(x +1)(ln(x +1)−1)−x 2，x ∈[0,1]，则ℎ′(x)=4ln(x +1)−2x ，ℎ″(x)=4x+1−2=2(1−x)x+1，当x ∈[0,1]时，ℎ″(x)≥0，故ℎ′(x)递增，又ℎ′(0)=0，ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)递增，ℎ(x)min =ℎ(0)=−4，故a 2+b ≥−1，当a =0，b =−1时“=”成立，故a 2+b 的最小值是−1．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，得到f(x)的单调区间，求出函数的极值即可；(Ⅱ)(法一)求出g(x)的解析式，求出g(x)的导数，通过讨论a的范围得到函数的单调性，求出b的范围，得到a2+b的最小值即可；(法二)设x0是g(x)在区间[0,1]内的1个零点，得到b=(x0+1)(ln(x0+1)−1)−ax0，从而a2+b≥4(x0+1)(ln(x0+1)−1)−x02，设ℎ(x)=4(x+1)(ln(x+1)−1)−x2，x∈[0,1]，根据函数的单调性求出ℎ(x) 4的最小值，从而求出a2+b的最小值．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第二次联考数学(理)试题
因为在三角形中， 变形为
由内角和定理可得
化简可得：
所以
所以三角形为钝角三角形
故选A
【点睛】
本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.
6．C
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，由 ，可求得 的值，代入所求即可。
【详解】
设等比数列 的公比为 ，由 得 ，故 ，即 .
又 ，所以 ，故 ，所以 .故选C.
【详解】
因为 ，代入数值得： ；
又因为 ，所以 ，则 或 ；
当 时， ；
当 时， .
所以 或 .
故选D.
【点睛】
解三角形过程中涉及到多解的时候，不能直接认为所有解都合适，要通过给出的条件判断边或角的大小关系，从而决定解的个数，
4．D
【分析】
根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得公差 ，再由等差数列的通项公式，即可求解．
【点睛】
本题考查求不等式解集，属于基础题．
2．B
【分析】
根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.
【详解】
“全称命题”的否定一定是“特称命题”，
命题“ ”的否定是 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.
3．D
【分析】
先选用正弦定理求解 的大小，再根据 的内角和为 即可求解 的大小.
A． B．1C． D．
10．“对任意正整数 ，不等式 都成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则 ()
A． B． C． D．
12．在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ，若 ， ，则 面积的最大值为（ ）
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)数学(文)试题
，则
是（ ）
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
5. 已知数列 满足 A．
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（文）试题
，
，则 的最小值为（ ）
B．
C．
D．
6. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设
，则“三斜求积”公式为
，若
,
为（ ）
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（文）试题
一、单选题
1. 已知数列 A．39
为等差数列，
， B．38
，则
（）
C．35
D．33
2. 在
中，
，
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，若
，
，则
（）
A．
B．4
C．
D．
பைடு நூலகம்4. 在
中，若
A．直角三角形 C．钝角三角形
，
，
，则
16. 已知数列 ___．
满足
， 为 的前 项和，记
三、解答题
17. 已知公差不为零的等差数列{an}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式；
，数列 的前 项和为 ，则
___
（2）设bn＝
，求数列{bn}的前n项和Sn．
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（文）试题
， C．3
， ，则
的内切圆的半径为（ ）
D．
二、填空题
13. 已知等差数列 的前 项和为 ，且
2020-2021学年河南省天一大联考高二阶段性测试(一)数学(理)试题及答案
2020－2021学年高二年级阶段性测试(一)数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.152.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝A.25B.30C.32D.643.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 2 2 2 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝A.3B.5C.6D.106.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶。
据此可推得A.“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为32的等比数列 C.“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D.“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 7.已知等比数列{a n }的首项a 1＝e ，公比q ＝e ，则数列{ln a n }的前10项和S 10＝A.45B.55C.110D.2108.已知等差数列{a n}的首项是2，公差为d(d∈Z)，且{a n}中有一项是14，则d的取值的个数为A.3B.4C.6D.79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosa Bb A=，sinA>sinB，则△ABC的形状一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形10.一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，则灯塔与轮船原来的距离为A.5海里B.4海里C.3海里D.2海里11.已知数列{a n}满足a n＝()n62p n2n6p n6-⎧--≤⎪⎨>⎪⎩，，，(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有a n＋1>a n，则实数p的取值范围是A.(1，74) B.(1，107) C.(1，2) D.(107，2)12.在钝角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且其面积为12(a2＋b2－c2)，则ba的取值范围是A.(0，2)∪(3，＋∞) B.(0，2)∪)C.(0，12)∪，＋∞) D.(0，12)∪，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省豫南九校2020-2021学年高二下学期期中联考数学(理)试题
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ， ，求数列 的前 项和 .
17．如图，已知长方形 中， ， ， 为 的中点.将 沿 折起，使得平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上的一动点，问点 在何位置时，二面角 的余弦值为 .
试题解析：（1） 成等差数列，
又
即 的最小值为
（2）由（1）知 ,且
16．（1） （2）
【解析】试题分析：（1）利用等差数列的通项公式与前 项和公式进行求解；（2）先利用（1）求出 ，再利用裂项抵消法进行求解.
试题解析：（1） 为等差数列，且 为其前 项和
又 为等差数列，且与 公差相等
（2）
点睛：裂项抵消法是一种常见的数列求和方法，其主要适用题型为求下列 的前 项和： ， ， ， .
8．D
【详解】
因为 在 上是单调函数，所以 不会恒小于等于0，所以 在 上恒成立，即 ；故选D.
9．D
【解析】因为 ，所以 ，则 为偶函数，其图象关于 轴对称，故排除选项A、B，又 ，故排除选项C；故选D.
10．A
【解析】
,且
又 ，
当且仅当11．ຫໍສະໝຸດ 9【解析】试题分析：画出可行域及直线 ，平移直线 ，当其经过点A（3，6）时，目标函数 的最小值是-9.
考点：简单线性规划的应用．
点评：中档题，简单线性规划的应用，遵循“画，移，解，答”等步骤解答．注意y的系数为正、负不同值时的区别．
12． 或
【解析】易知函数 为奇函数，且当 时， ，当 时， ，即函数 的取值范围为 或 .
13．3
【解析】由题意，得
，即 ，则 .
河南省豫南九校联考联盟2020-2021学年高二年级上学期期末联考物理试题及答案详解
绝密★启用前河南省豫南九校联考联盟2020-2021学年高二年级上学期期末质量联考监测物理试题（考试时间：90分钟试卷满分：110分）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，第1~7题只有一项符合题目要求，第8~12题有多项符合题目要求.多选题全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分）1.奥斯特的电流磁效应实验具有划时代的意义，揭示了电与磁之间的联系。
下列现象中进一步揭示电与磁之间联系的实验现象是A.摩擦起电现象B.互感现象C.电流热效应D.霍尔效应2.下列说法正确的是A.磁通量是矢量，其正负代表方向B.运动的电荷，在磁场中一定会受到磁场力的作用C.自感电动势总与原电流方向相反D.穿过线圈的磁通量变化越快，产生的感应电动势越大3.如图所示，两平行直导线cd和ef竖直放置，通以方向相反、大小相等的电流，A、B、C三点位于同一条直线上，两导线分别为AB、BC连线的中垂线。
下列说法正确的是A. A点的磁场方向垂直纸面向外B. B点的磁感应强度为零C. C点的磁场方向垂直纸面向里D. ef导线受到cd导线的作用力方向向左4.如图所示，E为电池，L是电阻可忽略不计、自感系数足够大的线圈，D1、D2是两个规格相同且额定电压足够大的灯泡，S是控制电路的开关.对于这个电路.下列说法正确的是A.刚闭合开关S的瞬间，通过D1电流大于通过D2的电流B.刚闭合开关S的瞬间，通过D1电流小于通过D2的电流C.闭合开关S待电路达到稳定，D1熄灭，D2比原来更亮D.闭合开关S待电路达到稳定，再将S断开，D1、D2均闪亮一下再熄灭5. 2020年12月17日，“嫦娥五号”探测器圆满完成我国首次月球采样返回任务。
“嫦娥五号”的电子仪器及各种动作的控制主要靠太阳能电池供电的。
在正常照射下，太阳能电池的光电转换效率可达23%。
单片单晶硅太阳能电池可产生0.6 V 的电动势，可获得0.1 A的电流，则每秒照射到单片单晶硅太阳能电池上太阳光的能量大约是A. 0.48 JB. 0.12 JC. 0.26 JD. 0.52 J6.如图所示在纸面内有一直角三角形ABC，P1是AB的中点，P2是AP1的中点，A∠=︒。
2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】
2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】一、单选题1．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0 B ．53C ．73D ．3【答案】B【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+=故选：B2．设222,1a x x b x =-+=-，则实数a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．与x 有关【答案】A【分析】由22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭可得答案【详解】因为22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立 所以a b > 故选：A3．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()3,0- B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D4．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 作为空间的一组基底表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111344OG OA OB OC =++ C ．111336OG OA OB OC =++D ．111443OG OA OB OC =++【答案】B【分析】连接ON ，由向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可得解. 【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 111344OA OB OC =++. 故选：B.5．已知x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．32【答案】A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 6．如图，无人机在离地面高200m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知060MCN ∠=，则山的高度MN 为（ ）A ．1503mB ．2003mC ．3003mD ．300m【答案】D【分析】根据题中条件，先得到22002AC AB m ==，45AMC ∠=︒，在AMC 中，根据正弦定理，即可得出结果.【详解】∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠=︒，∴22002AC AB m ==， 又180604575MCA ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，∴45AMC ∠=︒， 在AMC 中，sin sin MC AC MAC AMC =∠∠，∴2002sin602003sin45MC m ︒==︒， ∴sin 2003sin60300MN MC MCN m =∠=︒=. 故选：D ．7．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D .【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.9．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10B 6C 10D 15【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥， 所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =， 则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.10．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1 B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×20182【答案】C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列， 则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.11．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．13B ．12C ．2D ．3 【答案】C【分析】设点2(1)4m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】1a =，2b=，∴5c =1(5F -，，2(5F ，，设点2(1)4m P m +，，∴222222()(15)(15)150444m m m OP OF F P m m m +⋅=+⋅+=+-+=，，，∴2165m =，45m =， 则3545(P ±，221354580504555PF ⎛⎫⎛⎫=--+±== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案. 【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211ae f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、填空题13．已知函数()32f x ax x =+()14f '=，则a =__________．【答案】1【分析】先求出函数()f x 的导函数()23f x ax x'=+，由()14f '=可得答案. 【详解】由题意()23f x ax x'=+，所以()1314f a '=+=解得1a = 故答案为：114．设等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则55S a =________. 【答案】3116【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以()5151123112a S a -==-，所以4511216a a a ==，所以515131311616S a a a ==. 故答案为：3116.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”，“股”，“弦”，且“勾2＋股2=弦2”设直线l 交抛物线214y x =于,A B 两点，若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”"股”(O 为坐标原点)，则此直线l 恒过定点__________． 【答案】()0,4【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与抛物线方程联立写出韦达定理，由条件可得即OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，将韦达定理代入可得答案.【详解】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --= 则12124,4x x k x x b +==-若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点） 可得222OA OB AB += 所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，()2221212121114416y y x x x x =⨯=所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-= 即240b b -=，解得40b b ==或（舍） 所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4 故答案为：()0,4【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系和直线过定点问题，解答本题的关键是由条件得出OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到240b b -=，属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 【答案】2【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()xg e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x xe f e e ax axf ax -+->恒成立， 即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()xg e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=，可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()xg e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.三、解答题17．已知命题：“{}|22x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设关于x 的不等式()()80x a x a ---<的解集为N ，若“x ∈N ”是“x M ∈”的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，；（2）124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆即可得到不等式，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由题意可知20x x m --=，所以221124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为{}|22x x x ∈-<<，所以21116244x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，即164m -≤<，则实数m 的取值集合M=164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，； （2）由()()80x a x a ---<，可得()8N a a =+，，因为“x N ∈”是“x M ∈”的必要条件，所以M N ⊆，则1486a a ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩，解得124a -≤<-，所以a 的取值范围为124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断计算： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）若边长3c =ABC 的周长最大值. 【答案】（1）3π；（2）33【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C 的值，再结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用正弦定理结合三角函数可得2336π⎛⎫++=+⎪⎝⎭a b c A ，由203A π<<可得5666A πππ<+<，结合正弦函数的基本性质可求得ABC 的周长最大值.【详解】（1）()sin sin sin a A c C a b B -=-，根据正弦定理得，()22a c ab b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,C π∈，所以3C π=；（2）3C π=，3c =23A B π+=，由正弦定理得32sin sin sin 3a b cA B C ====，可得：2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭，23132sin 2sin 32sin 2sin 32a b c A A A A A π⎫⎛⎫∴++=+-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin 3cos 323sin 36A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由203A π<<可得5666A πππ<+<，可得1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.(23323,336a b c A π⎛⎫∴++=+ ⎪⎝⎭.因此，ABC 的周长的最大值为33【点睛】方法点睛： 1.解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”；2.求三角形周长的最值也是解三角形中一种常见类型的问题，主要方法有两类： （1）找到边与边的关系，利用余弦定理列等式，结合基本不等式求最值；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角为自变量的三角函数，利用函数思想的求最值. 19．数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S . 【答案】（1）2nn a =；（2）()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+ 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）由题意，12a =.由()()1123231221n n a a a na n n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，① 得()()()12312312222nn a a a n a n n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+≥，②①-②，得()()()112222222n n nn na n n n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以()22nn a n =≥又因为当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由题意，21212n n n n n b a ++==，所以 123123357212222n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅， ③ 234113572121222222n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅++， ④ ③-④，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++++⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 234131111212222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111122121212212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+⨯--()1512522n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭从而()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π.【分析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC AC ⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，由二面角的向量求解方法可表示()2cos 34θλ=-+，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)3,0,0A，()0,1,0B ，(),0,1M λ.∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-.设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=，∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，∴()()22||cos 133134n m n mθλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤∴当3λ=cos θ有最大值12，θ的最小值为3π.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。
2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第一次联考(9月)数学(理)试题解析
2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第一次联考（9月）数学（理）试题一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，23a =，515a =，则11a =（） A ．39 B ．38C ．35D ．33答案：A利用等差数列的通项公式即可得出． 解：∵数列{}n a 为等差数列，23a =，515a =， ∴1533d =+， ∴4d =，∴112933639a a d =+=+=， 故选：A ． 点评：本题考查等差数列的通项公式，属于基础题． 2．在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（）A．10B．5CD答案：C试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin 10BAC ∠=. 【考点】解三角形. 3．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（）A ．12B ．1C ．1-D ．2答案：A通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 解：2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A. 点评：本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题. 4．已知ABC 中，()()sin sin sin sin a b c A B C a B +++-=，其中A ，B ，C 为ABC 的内角，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则C =（）A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 答案：B根据正弦定理整理得到222a b c ab +-=-，再利用余弦定理计算得到答案. 解：由题意结合正弦定理得()()2222a b c a b c a ab b c ab +++-=++-=，即222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，()0,C π∈，则23C π=. 故选：B . 点评：本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，利用正弦定理对题中的条件进行合理变形并结合余弦定理求解是解题的关键.5．等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，满足346a a +=，529a =，则7S 的值为（） A ．352B ．21C ．492D ．28答案：C利用基本量法求解首项与公差，再利用求和公式求解7S 即可. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()111236249a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩.故71764971222S ⨯=⨯+⨯=. 故选：C 点评：本题主要考查了等差数列基本量的求解以及求和公式，属于基础题. 6．在锐角ABC 中，已知2A C =，则ac的范围是（） A ．()0,2 B．)2C．D．)2答案：C由锐角三角形，及已知求得C 角的范围，由正弦定理有sin sin 2sin sin a A C c C C==，再由二倍角化简后复余弦函数性质可得结论． 解：在ABC 中，由正弦定理有sin sin 22cos sin sin a A C C c C C===，又A B C π++=，2A C =又ABC 为锐角三角形，32A C C πππ--=-<，又24C π<，∴64C ππ<<，所以cos 22C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭ac <<故选：C ． 点评：本题考查正弦定理边角转化，考查二倍角公式，余弦函数的性质，解题关键是用正弦定理边角转换后把问题转化为求三角函数的取值范围．7．已知数列{}n a 为等比数列，0n a >，且6122mm m m a a a ++=，若6p q +=，则p q a a ⋅=（） A ．72 B ．82C ．92D ．102答案：B利用等比数列的性质求出1m a +，然后转化求解即可． 解：数列{}n a 为等比数列，0n a >，且6122mm m m a a a ++=，可得3612mm a +=，所以212mm a +=，∴222n n a -=，又6p q +=， 则222222p q p q a a --=⋅⋅()42822p q +-==．故选：B 点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题. 8．若数列{}n a 满足1π2|sin |122n n n a a n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则128a a a +++=（）A ．136B ．120C ．68D ．40答案：D利用递推公式逐一把各项用1a 表示出来即可得到答案. 解：∵1π2|sin|122n n n a a n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴212a a =+，32142a a a =-+=-+，43168a a a =+=-+，4158=a a a =-+，6511010a a a =+=+， 761122a a a =-+=-+，8711416a a a =+=-+.∴1234567840a a a a a a a a +++++++=． 故选：D ． 点评：本题考查数列的递推公式.已知递推公式，可以由数列的前一项(或前几项)求出后一项，进而可以求出所有项.当所求项的项数较小时，直接逐一列举即可；当所求项的项数较大时，则要找出规律或求出通项公式.9．若ABC 222)a cb +-，且C ∠为钝角，c a 的取值范围是（）A ．()0,2B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞答案：D由余弦定理和三角形面积可求得B ，用正弦定理化sin sin c C a A=，再化为A 的三角函数，由三角函数知识可得取值范围． 解：∵2222cos a c b ac B =+-，∴2221()2cos sin 442ABC S a c b ac B ac B =+-==△，tan B = ()0,B π∈∴3B π=，∴23A C π+=，又∵C 为钝角，∴06A π<<，∴0tan 3A <<1tan A >，由正弦定理得21sin()sin sin 322sin sin sin A A Ac Ca AA Aπ-+===11122tan 222A =+>=， 故选：D ． 点评：本题考查余弦定理，正弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是根据正弦定理把ca转化为A 的三角函数后可得其取值范围．10．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，2sin a C =，1a =，则ABC 的周长取最大值时面积为（） ABC．4D ．4答案：C由2sin a C =以及正弦定理可得sin A =，根据锐角三角形可得3A π=，根据正弦定理可得b B，c C =，将周长转化为关于B 的三角形函数，利用正弦函数的最值可得ABC 为等边三角形时，周长取得最大值，根据面积公式可求得面积. 解：∵2sin a C =，∴2sin sin A C C =， 由0C π<<，则sin 0C ≠，∴sin 2A =， .∵ABC 为锐角三角形，∴3A π=.由正弦定理，得sin sin sin b c a B C A ===，∴b B =，c C =，所以1a b c B C ++=+21sin()3B B π=-221cos cos sin )33B B B ππ=-1cos B B B =+++1cos B B =+12sin()6B π=++，∴当3B π=，即ABC为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为211sin 602S ︒=⨯⨯=， 故选：C. 点评：本题考查了正弦定理、考查了两角和的正弦公式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.11．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋯表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋯ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D，则该半音为（）A ．#FB ．GC ．#GD ．A答案：B利用对数与指数的转化，得到数列1213,,,a a a ⋯为等比数列，公比1122q =，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案. 解：依题意可知()01,2,,13n a n >=⋯.由于1213,,,a a a ⋯满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋯ ⎪⎝⎭，则12111122,2i i i i a a a a ++⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭， 所以数列1213,,,a a a ⋯为等比数列，公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即对应的半音为G . 故选：B . 点评：本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.12．设数列{}n a 满足12a =，26a =，312a =，数列{}n a 前n 项和为n S ，且211131n n n n S S S S +-+-+=-+（n *∈N 且2n ≥）.若[]x 表示不超过x 的最大整数，()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2020T =（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022答案：C根据递推公式，可知{}1n n a a +-从第2项起是等差数列，可得122n n a a n +-=+，再根据累加法，可得()1n a n n =+，由此可得当2n ≥时，()211n n n b a ⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又()211112b a +==，由此即可求出nT .解： 当2n ≥时，211131n n n n S S S S +-+-+=-+，211131n n n n a a a a ++++++∴=+，2122n n n a a a ++∴-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，{}1n n a a +∴-从第2项起是等差数列.又12a =，26a =，312a =，()()32212a a a a ∴---=，()142122n n a a n n +∴-=+-=+，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()1221222212n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+， ()211nn n a n++∴=（2n ≥）， ∴当2n ≥时，()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 又()211112b a +==，2222020122020232021220192021T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：C. 点评：本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且856a a -=-，9475S S -=，则n S 取得最大值时n =_______. 答案：14设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可求得数列的首项和公差，得到数列的通项公式，然后由等差数列的性质可得n 值. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11369843947522d d da a =-⎧⎪⎨⨯⨯+--=⎪⎩， 解得1227d a =-⎧⎨=⎩，故292n a n =-，故当114n ≤≤时，0n a >；当15n ≥时，0n a <，所以当14n =时，n S 取最大值. 故答案为：14 点评：本题考查利用基本量的运算求等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和n S 的应用，考查推理能力，属于基础题.14．海伦（Heron ，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a ，b ，c 计算其面积的公式S △ABC2a b cp ++=，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切圆的半径r 的值是_______．首先根据海伦公式求得三角形ABC 的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形ABC 的内切圆. 解：567922a b c p ++++===，S △ABC= 由于()12ABC S a b c r ∆=++⋅，所以225673S r a b c ⨯===++++．故答案为：3点评：本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题. 15．已知ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且sin sin 3sin 0A B C +-=，4a b c ++=，29ABCab S =△，则22sin sin a b a A b B+=+____________.答案：94由正弦定理化角为边后，结合已知可求得1c =，利用三角形面积公式可得sin C ，这样由正弦定理可把sin A 用a 表示，sin B 用b 表示，代入求值式可得结论． 解：∵sin sin 3sin 0A B C +-=，∴由正弦定理得30a b c +-=，又4a b c ++=，则34c c +=，则1c =，又21sin 92ABC ab S ab C ==△，∴4sin 9C =， 由正弦定理9sin sin sin 4a b c A B C ===得4sin 9A a =，4sin 9B b =， ∴222222944sin sin 499a b a b a A b B a b ++==++．故答案为：94． 点评：本题考查正弦定理、三角形面积公式，掌握正弦定理的边角互化是解题基础． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11a =，3()()n n S n m a m R =+∈，且15n n a b =．若对*n N ∀∈，n T λ>恒成立，则实数λ的最小值为____________． 答案：25当1n =时，解得2m =，当2n ≥时，由1333n n n a S S -=-化简得111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得(1)2n n n a +=，进而得21151n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和法得2121515n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，因此利用对*n N ∀∈，n T λ>恒成立即可求解. 解：解析：当1n =时，11133(1)S a m a ==+，解得2m =．当2n ≥时，由113S (2)3S (12)n nn n n a n a --=+⎧⎨=-+⎩，得111n n a n a n -+=-． 依据叠乘法（累乘法）可得(1)2n n n a +=． 由15n n a b =，得22115(1)51n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，于是211111152231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2121515n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 由于对*n N ∀∈，n T λ>恒成立，25λ≥， 故实数λ的最小值为25． 故答案为：25点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大. 三、解答题17．已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N =+∈，求{}nb 的前n 项和nS.答案：（1）12n na ；（2）221nn S n n =++-.（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得q ，进而求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用分组求和法求得n S . 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，则21a a q q ==，2231a a q q ==，由于2a 是1a 和31a -的等差中项，即21321a a a =+-，即22q q =，解得2q.因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=； （2）1222n n n b n a n -=+=+，()()()()012112322426222n n n S b b b b n -∴=++++=++++++++()212(22)12(2462)122221212n n n n n n n n -+-=+++++++++=+=++--.点评：本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）若a ，b ，c 依次成等比数列，求11tan tan A C+的值．答案：（1）3π；（2）3． （1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角差的余弦公式进一步化简可求得tan B ，从而求得角B ；（2）由等比数列的性质可得2b ac =，再利用正弦定理进行边化角，带入11tan tan A C+通分后的式子即可得解. 解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，又ABC 中，sin 0A ≠，故1sin cos cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即sin B B =，化简得tan B = 又(0,)B π∈，所以角B 的大小为3π． （2）由a ，b ，c 依次成等比数列得2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，故11cos cos sin()sin 1tan tan sin sin sin sin sin sin sin 3A C A CB AC A C A C A C B ++=+====．点评：本题考查正弦定理、两角差的余弦公式，属于中档题.19．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()tan 2tan b A c b B =-.（1）求A 的大小；（2）若a =，且ABC 的面积为b c +的值. 答案：（1）3π；（2）14. （1）由正弦定理边化角，利用三角函数恒等变换化简，得到cos A 的值，进而求得； （2）利用三角形的面积公式，得到48bc =，进而结合余弦定理求解. 解：解：（1）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：()2sin sin sin sin sin cos cos C B BB A A B-⋅= 在ABC 中，0B π<<，0C π<<,∴sin 0B ≠，sin 0C ≠ ∴()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=- 即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=∴()sin 2sin cos A B C A +=,即sin 2sin cos C C A = 又sin 0C ≠,∴1cos 2A =,又0A π<<,∴3A π=；（2）∵1sin 24ABC S bc A ===△∴48bc = 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-,∴()222523b c bc b c bc =+-=+- ∴()234852196b c +=⨯+=,∴14b c +=. 点评：本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，涉及两角和差的三角函数公式，属中档题.关键要熟练掌握利用正弦定理进行边角互化，利用两角和差的三角函数公式进行化简求值.20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()214n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n R .答案：（1）()*21n a n n N=-∈；（2）1131494n n n R -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，求出1,a d ，即得解； （2）由题得114n n n b --=，再利用错位相减法求和得解. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =，2121a a =+得1111468421a d a d a d a +=+⎧⎨+=+⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，因此()*1(1)21n a a n d n n N =+-=-∈；（2）由题意知：122144n n n n a n b ---==， 所以012101214444n n n R --=++++， 则1211012144444n n n n n R ---=++++， 两式相减得12111131111144144444414n n n n nn n R --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=--11111344n n n --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭131(1)34n n +=-， 因此，1431131149494n n n n n R -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：本题主要考查等差数列通项的基本量的求法，考查等差数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，且三个内角A 、B 、C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >21cos cos 2222A A C -+的取值范围.答案：（1）3A π=；（2）14⎛⎝⎭. （1）由A 、B 、C 依次成等差数列结合三角形的内角和定理可求得3B π=，由2sin sin sin B A C =得出2b ac =，由余弦定理得出a c =，判断出ABC 的形状，由此可得出角A 的值； （2）由已知条件可得23A C π+=且223A ππ<<，利用三角恒等变换思想化简得出211cos cos sin 222226A A C A π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，求得6A π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 解： （1）A 、B 、C 依次成等差数列，2B A C B π=+=-∴，3B π∴=.2sin sin sin B A C =，2b ac ∴=.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，22a c ac ac +-=∴，即2()0a c -=，a c ∴=，ABC ∴为正三角形，3A π∴=；（2）由已知23A C π+=，211cos 112cos cos cos 22222223A A C C A A A π+⎛⎫-+=-+=-- ⎪⎝⎭1cos 4A A A =+-11cos sin 426A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. a c >，且ABC 为钝角三角形，223A ππ<<∴，25366A πππ<+<∴，可得1sin 26A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭，11sin 426A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭∴21cos cos 2222A A C -+的取值范围是1,44⎛ ⎝⎭. 点评：本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形中三角代数式的取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.22．已知数列{}n a 中，121a a ==，且当2n ≥，*n N ∈时满足()11n n na n a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设112nn n b a λ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意的*n N ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围.答案：（1）1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭.（1）已知式变形为()121n n a a n n n +=≥+，得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭当2n ≥时为常数列，从而可得数列通项公式；（2）求出n b ，利用1422021nn n b b n n λ+⎛⎫-=--< ⎪++⎝⎭恒成立，转化为求函数的最大值，从而得λ的范围． 解：（1）由已知得()121n na a n n n+=≥+， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭当2n ≥时为常数列，且各项为12 ∴2n ≥时2n na =，又∵11a = ∴1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩. （2）由（1）知，112221nn n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 若对意的n N ∈，数列{}n b 是单调递减数列， 则1422021nn n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的n N ∈恒成立，即max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，又()()4222221123n n n n n n n-==++++++， 因为函数()20y x x x=+>在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知， 当1n =或2n =时，23n n ++取得最小值6，即4221n n -++取得最大值13， 故实数λ的取值范围为1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭. 点评：本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查数列的单调性，求通项公式的解题关键是构造出新数列，新数列是等差数列或等比数列或常数数列，从而易得通项公式，单调性问题利用单调性的定义转化为不等式恒成立，从而可转化为求函数的最值．。
2020-2021学年河南省九师联盟高二上学期1月联考数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年河南省九师联盟高二上学期1月联考数学（理）试题一、单选题1．命题“1x ∀≥，210x ”的否定是（ ） A ．1x ∀≥，210x -≤ B ．01x ∃≥，0210x -≤ C ．01x ∃<，0210x -> D ．01x ∃<，0210x -≤【答案】B【分析】根据全称命题的否定是特征命题，即可得到命题“1x ∀≥，210x ”的否定. 【详解】全称命题的否定是特称命题，1x ∀≥改成01x ∃≥，210x 改成0210x -≤. 故选：B .【点睛】思路点睛：含有量词的命题的否定规则：否定结论，并将量词“置换”. 2．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先将方程化为抛物线的标准方程214x y =，可求出124p =，从而可求出2p的值，进而可求出焦点坐标 【详解】由214x y =得124p =，则1216p =，且焦点在y 轴正半轴上，所以焦点坐标是10,16⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A.3．关于x 的方程1420x x m ++-=有正实数解的一个必要不充分条件是（ ） A ．0m ≥ B ．5m ≥ C ．3m > D ．4m ≥【答案】A【分析】由方程有正数解，求出其充要条件，然后判断各选项． 【详解】因为()2142211xx x m +=+=+-，当0x >时，()22113x +->，故关于x 的方程1420x x m ++-=有正实数解的充要条件是3m >，所以选项B ，C ，D 都是方程1420x x m ++-=有正实数解的充分条件，排除选项B ，C ，D ，故选：A.4．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)，直线l ：()223y x a b =-+与双曲线C 仅有一个公共点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．23 B ．3C ．2D ．332【答案】C【分析】由题意知直线l 过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行， 得到3ba=，求出斜率.【详解】由题意知直线l 过双曲线的右焦点，且与双曲线仅有一个公共点，则l 与双曲线的一条渐近线平行，所以3b a =，所以21132b e a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 故选C.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M 是BD 的中点，则1B M 与平面11AA D D 所成角的余弦值为（ ）A ．6B 3 C ．30 D 30【答案】D【分析】以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，直接可得直线的方向向量和平面的法向量，【详解】以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则()12,2,2B ，()1,1,0M ，()11,1,2B M =---， 显然DC ⊥平面11AA D D ，所以()0,2,0DC =是平面11AA D D 的一个法向量， 所以1B M 与平面11AA D D 所成角的正弦值为1126626DC B M DC B M⋅==⋅⋅， 故所求角的余弦值为306. 故选：D.6．已知椭圆2214x y m+=的离心率为12，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．3或163D ．2或163【答案】C【分析】讨论焦点在x 轴或者y 轴，列方程，求解即可得出结果. 【详解】当焦点在x 轴上时4m <，2a =，4c m -，412m -=，解得3m =； 当焦点在y 轴上时4m >，a m =4c m =-412m m-=，解得163m =.故选：C .7．若“(]1,4x ∀∈，2290x ax -+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],3-∞ B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．[)5,+∞【答案】B【分析】原命题为假，则其否定为真即“(]1,4x ∃∈，2290x ax -+≤”是真命题，利用分离参数思想结合基本不等式求出最值即可得结果. 【详解】因为“(]1,4x ∀∈，2290x ax -+>”是假命题，所以“(]1,4x ∃∈，2290x ax -+≤”是真命题，即存在(]1,4x ∈，使92a x x ≥+成立.又96x x +≥=等号仅当9x x =， 即3x =时成立，所以只要26a ≥，解得3a ≥. 故选：B.【点睛】对于能成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥能成立⇔()min a f x ≥； （2）()a f x ≤能成立⇔()max a f x ≤.8．设曲线C 的方程441164x y +=，给出关于曲线C 的性面结论：①曲线C 关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；②曲线C 上的所有点均在椭圆221164x y +=内部.下面判断止确的是（ ） A ．①错误②正确 B ．①正确②错误C ．①②都错误D ．①②都正确【答案】D【分析】根据曲线方程判断曲线性质，由点的对称性得曲线的对称性，由点的坐标的范围判断曲线与椭圆的关系．【详解】设(,)x y 是曲线上任一点，由方程知，它关于坐标的对称点和原点的对称点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --仍然在曲线上，因此①正确，在曲线C 上，22x -≤≤，y ≤≤C 在一个矩形内，矩形的边与坐标轴平行，四个顶点分别为(2,-，(-，，(2,，显然这四个顶点在椭圆221164x y +=在椭圆内部，从而矩形在椭圆内部，故②正确.故选：D.9．如图，1F ，2F 是双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若点A 为2F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12F F =（ ）A ．4B ．43C ．6D ．9【答案】A【分析】由已知得2OA F B ⊥，12OF OF OB ==，即可得2160AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，根据渐近线得关于a 的方程，解之可得选项.【详解】因为点A 为2F B 的中点，所以1//OA F B ，又12F B F B ⊥，所以2OA F B ⊥，12OF OF OB ==，所以2160AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，所以3tan 603a=︒=，所以1a =，所以122134F F =+=. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的渐近线相关问题，解决的关键在于利用平面几何的性质得出渐近线的斜率，得以建立方程求解.10．以()0,2M 为圆心，4为半径的圆与抛物线2:8C x y =相交于A ，B 两点，如图，点P 是优弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，过P 作平行于y 轴的直线交抛物线于点N ，则PMN 的周长的取值范围是（ ）A ．[)8,12B ．(]8,12C ．()8,12D ．[]8,12【答案】A【分析】设PN 与抛物线的准线2y =-交于点H ，从而结抛物线的定义可得PMN 的周长4l PH =+，抛物线方程与圆方程联立求出点B 的坐标()4,2B ，从而结合题意可得PH 的取值范围为()4,8，进而可求得答案【详解】易知圆心()0,2M 也是抛物线C 的焦点，设PN 与抛物线的准线2y =-交于点H ，根据抛物线的定义，可得MN NH =，故PMN 的周长4l NH NP MP PH =++=+.设点B 的坐标为00,x y ，由()20022008,216,x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩解得004,2,x y =⎧⎨=⎩即()4,2B . 由于点P 不与A ､B 两点重合，也不在y 轴上，所以PH 的取值范围为()4,8， 所以PMN 的周长的取值范围为()8,12. 故选： A.【点睛】关键点点睛：此题考查圆与抛物线的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是利用抛物线的定义将得PMN 的周长转化为4l NH NP MP PH =++=+，考查数学转化思想，属于中档题 11．以下四个关于双曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，m 为正数，若动点P 使PA PB m -=，则动点P 的轨迹是双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点；④若双曲线C ：2213y x -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，若152PF =，则212PF =或92.其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】对于①，当m AB =时，动点P 的轨迹是两条射线；对于②，求出两根可判断；对于③，求出焦点可判断；对于④，根据13a c PF +=>可判断点P 在双曲线的左支，由双曲线的定义求出2PF .【详解】对于①，A ，B 为两个定点，m 为正数，PA PB m -=，当m AB =时，动点P 的轨迹是两条射线，故①错误； 对于②，方程22520x x -+=的两根为12和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；对于③，双曲线221259x y -=的焦点坐标为()，椭圆22135x y +=的焦点坐标为()，故③正确；对于④，因为2c ==，所以13a c PF +=>，所以点P 在双曲线的左支，所以212PF PF -=，即2522PF -=，所以292PF =，故④错误. 故正确的命题有②③. 故选：B.12．已知椭圆22143x y +=上存在两个不同的点A ，B 关于直线0x y m ++=对称，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(B ．⎛ ⎝⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭【答案】D【分析】设出直线AB 的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出中点坐标代入直线0x y m ++=，列出方程，并利用判别式求出实数m 的取值范围．【详解】依题意，设直线AB 的方程是y x n =+，代入椭圆方程化简得22784120x nx n ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点是()00,D x y ，则()2264284120n n ∆=-->，解得n <，又1287nx x +=-，所以120427x x n x +==-，0037ny x n =+=.因为AB 的中点D 在直线0x y m ++=上，所以43077n n m -++=，所以7n m =，所以7m <<m <<故选：D .二、填空题13．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是“到达奇伟、瑰怪，非常之观”的__________条件（填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要）． 【答案】必要不充分【分析】根据“有志”与“到达奇伟、瑰怪、非常之观”的推出关系可确定充分性不成立，必要性成立，由此得到结论.【详解】“有志”但未必“到达奇伟、瑰怪、非常之观”，充分性不成立“奇伟、瑰怪、非常之观”非有志者不能至也，故“到达奇伟、瑰怪、非常之观”必“有志”，必要性成立∴“有志”是“到达奇伟、瑰怪、非常之观”的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是准确确定二者之间的推出关系，属于基础题.14．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若2OP OF =，则PFO △的面积为______.【答案】【分析】本题首先可根据双曲线C 的方程求出双曲线C 的渐近线方程，然后根据双曲线C 的方程求出)F、OF =OP =，再然后设点P 在渐近线2y x =上且在第一象限，则sin 3POF ∠=，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.【详解】因为双曲线C ：22142x y -=，所以双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，2226c a b =+=，6c =，()6,0F，6OF =，226OP OF ==，不妨设点P 在渐近线22y x =上且在第一象限， 则2tan 2POF ∠=，3sin 3POF ∠=， 故136262323PFO S =⨯⨯⨯=△， 故答案为：23.15．如图，二面角l αβ--为135︒，A α∈，B β∈，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D ，若1AC =，2BD =，2CD =，则AB 的长度为______.【答案】3【分析】因为AB AC CD DB =++，AC CD ⊥，CD DB ⊥，结合空间向量距离公式，转化求解即可.【详解】因为AB AC CD DB =++，AC CD ⊥，CD DB ⊥，所以()222221422AB AC CD DBAC CD DB DB AC AC DB=++=+++⋅=+++⋅，又因为二面角l αβ--为135︒，所以,45AC DB =︒，所以2721232AB =+⨯⨯⨯=. 故答案为：3.16．已知抛物线C ：2x ay =焦点为F ，准线方程1y =-，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为1AB -，则当AFB ∠最大时，AD =______.【答案】16【分析】根据准线方程求得抛物线方程，设出A ，B ，D 的坐标，利用抛物线定义可得||||2||AF BF AB +=，再由余弦定理写出cos ∠AFB ，利用基本不等式求最值，可得当∠AFB 最大时，△AEB 为等边三角形，得到AF 所在直线方程，再与抛物线方程联立，结合根与系数的关系及抛物线定义求得|AD |．【详解】因为抛物线C ：2x ay =的准线方程1y =-，所以14a=，所以4a =， 所以抛物线C 的方程是24x y =.不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ， 由抛物线定义得122||||y y AF BF ++=+. 因为12||12y y AB +=-，所以||||2||AF BF AB +=， 所以()222223||||2||||||||||cos 2||||8||||AF BF AF BF AF BF AB AFB AF BF AF BF +-⋅+-∠==≥⋅⋅6||||2||||18||||2AF BF AF BF AF BF ⋅-⋅=⋅，当且仅当||||AF BF =时取等号.所以当AFB ∠最大时，AFB △为等边三角形， 此时,A B 关于y 轴对称，不妨设1>0x ，联立21,4,y x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得240x --=，所以13x x +=所以)1313214y y x x +=++=. 所以13216AD y y =++=. 故答案为：16.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关抛物线中的最值问题，解题思路如下： （1）根据抛物线的准线方程求得参数的值，得到抛物线的方程； （2）设出点的坐标，利用抛物线的定义求得线段的长； （3）利用基本不等式求得最值；（4）代入求得结果.三、解答题17．已知p ：方程2215x y m m-=-对应的图形是双曲线；q ：函数2 ()21([0,1])f x x mx m x =-++-∈的最大值不超过2.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】()[](),10,25,-∞-+∞【分析】根据题意先求出若p 为真命题，则0m <或5m >，若q 为真命题，则12m ≤≤，然后由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得p ，q 一真一假，再分p 真q 假和p 假q 真两种情况求出m 的取值范围【详解】解：对于p ，因为方程2215x y m m-=-对应的图形是双曲线，所以()50m m ->，解得0m <或5m >.所以若p 为真命题，则0m <或5m >.对于q ：当0m ≤时，()()max 012f x f m ==-≤，解得m 1≥，所以10m -≤≤； 当01m <<时，()()2max 12f x f m m m ==-+≤，解得1m ≥-，所以10m -≤≤；当m 1≥时，()()max 12f x f m ==≤，所以12m ≤≤. 所以若q 为真命题，则12m ≤≤.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 一真一假. 若p 真q 假，则实数m 满足0512m m m m <>⎧⎨<->⎩或或，解得1m <-或5m >；若p 假q 真，则实数m 满足0512m m ≤≤⎧⎨-≤≤⎩，解得02m ≤≤.综上所述，所求实数m 的取值范围为()[](),10,25,-∞-+∞.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ，90PAB ∠=，2PA AB ==，3AD =，1BC =，E 是PB 的中点.（1）证明：PB ⊥平面ADE ； （2）求二面角C AE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（23【分析】（1）根据AD ⊥平面PAB 可得AD PB ⊥，然后依据ABP △是等腰三角形，可得AE PB ⊥，然后根据线面垂直的判定定理可得结果.（2）以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系A xyz -，求出平面平面AEC 和平面ADE 的一个法向量的法向量，进而可得答案.【详解】（1）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥，又PA AB =，E 是PB 的中点， 所以AE PB ⊥，又AD ，AE 都在平面ADE 内，且AD AE A ⋂=， 所以PB ⊥平面ADE . （2）因为AD ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以AD AB ⊥，AD PA ⊥， 又因为PA AB ⊥，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,1,0C ，()1,0,1E ，()002P ,,， 所以()2,1,0AC =，()1,0,1AE =， 设平面AEC 的法向量(),,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0,x y x z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2y =-，1z =-， 所以()1,2,1n =--，又因为PB ⊥平面AED ，所以()2,0,2PB =-是平面ADE 的一个法向量， 所以43cos ,3622n PB n PB n PB⋅===⨯⋅， 由图可知二面角C AE D --是锐二面角， 所以二面角C AE D --的余弦值是33.【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错； （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量； （4）利用法向量求二面角.19．已知过点()2,1-的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=.（1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：1y kx =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOBk 的值. 【答案】（1）221x y -=；（2）0k =.【分析】（1）由渐近线方程可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，将点代入解得λ，可得结果；（2）联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理可得12x x +，12x x ，由三角形的面积公式可得()1212OAB S x x =-△，列出关于k 的方程，解出即可. 【详解】（1）因为双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，则(21λ-=，解得1λ=.所以双曲线C 的方程是221x y -=.（2）由221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 整理，得()221220k x kx -+-=.由题意知()22210,4810,k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩解得k <<且1k ≠±. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221k x x k -+=-，12221x x k =--. 因为l 与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以120x x ⋅<， 所以210k ->，所以11k -<<， 则()1212OAB S x x =-=△. 所以()()(2221212124x x x x x x -=+-=，即2228811k k k ⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭， 解得0k =或2k =±，又()1,1-/，所以0k =.20．在二棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，四边形11ACC A 为菱形，且160A AC ∠=︒，E ，F 分别是棱BC ，1BB 的中点，22AC AB ==.（1）求异面直线1A B 和EF 所成角的余弦值； （2）求1C 到平面AEF 的距离. 【答案】（1）15；（2）322. 【分析】（1）取AC 的中点O ，可得 OE AC ⊥，1A O AC ⊥，1A O OE ⊥，分别以OE ，OC ，1OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出(11,1,3A B =--和113,22EF ⎛=- ⎝⎭，即可求出异面直线所成角余弦值.（2）平面AEF 的法向量(3n =-，进而可求1C 到平面AEF 的距离1AC n d n⋅=.【详解】取AC 的中点O ，连接1A O ，1A C ，OE ，则//OE AB ，又BA AC ⊥，所以OE AC ⊥，由题意知1A AC 为等边三角形，又点O 为AC 的中点，所以1A O AC ⊥. 因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，1AO ⊂平面11ACC A ，所以1A O ⊥平面ABC ，又OE ⊂平面ABC ，所以1A O OE ⊥，4分所以1OA ，OE ，OC 两两垂直，分别以OE ，OC ，1OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则()10,0,3A ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，131,,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,3C ， 所以()11,1,3A B =--，113,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，1,1,02AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131,,22AF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3AC =.（1）设异面直线1A B 和EF 所成角为θ，则11112cos 5552A B EF A B EF⋅===⋅⨯θ. （2）设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即10,2130,22x y x y z +=++= 令1y =，得2x =-，3z =(3n =-，所以点1C 到平面AEF 的距离1632222AC n d n⋅===. 21．以抛物线C ：()220y px p =>的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知42AB =，25DE = （1）求抛物线C 的方程；（2）过()1,0-的直线l 交抛物线C 于不同的两点P ，Q ，交直线4x =-于点G (Q 在PG 之间)，直线QF 交直线1x =-于点H .是否存在这样的直线l ，使得//GH PF (F为C 的焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）存在，直线l 的方程为33y x =+或33y x =--.【分析】（1）设圆的方程为222x y r +=，可设(0A x ，代入抛物线方程得04x p=，用p 表示A 点坐标，代入圆方程得,p r 的方程，同样可设2p D ⎛-⎝，代入圆方程得一方程，联立可解得,p r ，得抛物线方程；（2）设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，再由//GH PF 得12,x x 的关系，与1212,x x x x +联立可解得k ，得直线方程．【详解】解：（1）设圆的方程为222x y r +=，∵AB =(0A x ，代入22y px =得04x p =，∴4A p ⎛ ⎝，代入222x y r +=，得(2224r p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.①∵DE =，抛物线的准线方程为2p x =-，可设2p D ⎛- ⎝，代入222x y r +=，得2222p r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.②解①②得4p =(4p =-舍去). ∴抛物线C 的方程是28y x =.（2）C 的焦点F 的坐标()2,0，显然直线l 与坐标轴不垂直，设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y .联立()28,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得()2222280k x k x k +-+=.由()2242840k k ∆=-->，解得k <<，∴k <<0k ≠.由韦达定理得212282k x x k -+=，121=x x .∵//GH PF ，∴PQ QFGQ QH=，∴12222241x x x x x --=++. 整理得()12128x x x x ++=，∴22827k k-=， 整理得289k =.解得3k =±，经检验，3k =±符合题意. ∴这样的直线l 存在，且直线l的方程为()13y x =+或)13y x =-+，即y x =+或y x =-. 【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线方程，直线与抛物线相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，与抛物线方程联立消元后应用韦达定理，再结合其他条件可求解．22．已知1F ，2F 是椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>的左､右焦点，过2F 的直线2320x y --=与椭圆C 交于P ，Q 两点，R 为P ，Q 的中点，直线OR 的斜率为1-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且与圆O ：222x y +=相交于G ，H 两点，求2AB GH ⋅的取值范围.【答案】（1）22132x y +=；（2）3⎡⎢⎣. 【分析】（1）利用已知条件推出221a b -=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,R x y ，利用点差法，求解斜率，推出22 2=3b a ，求解a ，b 即可得结果；（2）当直线l 的斜率不存在，可求值；当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为()1y k x =-，代入椭圆方程，消去y 整理得()2222236360k x k x k +-+-=，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解2AB GH ⋅的表达式，然后推出范围即可.【详解】（1）在2320x y --=中，令0y =，得右焦点2F 的坐标是()1,0，所以221a b -=.①设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,R x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=， ()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，()()0120122222x x x y y y a b --=-，又OR 的斜率为1-，所以001y x =-， 所以212212y y b x x a -=-，所以2223b a =.② 解①②得223,2,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，易求A ，B的坐标为1,3⎛ ⎝⎭，1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，G ，H 的坐标为()1,1，()1,1-，所以3AB =，24GH =，23AB GH ⋅=. ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y .联立()221,321,x y y k x +==-消去y 整理得()2222236360k x k x k +-+-=，则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+，所以AB===)22123kk+=+.因为圆心()0,0O到直线l的距离d=，所以()22222424211kkGHk k+⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，所以)())2222222222414222322 2312333 k k k kAB GHk k k k k++++⋅=⋅===++++++因为[)20,k∈+∞，所以23AB GH⎛⋅∈⎝.综上，2AB GH⋅的取值范围是⎣.【点睛】关键点点睛：（1）利用“点差法”解决中点弦问题；（2）结合弦长公式求出AB，GH的表达式，利用函数的思想求其取值范围.。
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2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第一次联考（9月）数学(理)试题
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知数列{a n }为等差数列，a 2＝3，a 5＝15，则a 11＝
A.39
B.38
C.35
D.33
2.在△ABC 中，∠ABC ＝4
π，AB
，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝
A.10
B.5
C.10
D.5
3.在数列{a n }中，a 1＝12
，a n ＝1－n 11a -(n ≥2，n ∈N *)，则a 2020＝ A.12
B.1
C.－1
D.2 4.已知△ABC 中，(a ＋b ＋c)(sinA ＋sinB －sinC)＝asinB ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则C ＝ A.3
π B.23π C.34π D. 56π 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＝6，2a 5＝9，则S 7＝ A.
352
B.21
C.492
D.28 6.在锐角△ABC 中，已知A ＝2C ，则a c 的范围是 A.(0，2)
，2)
，
，2)
7.已知数列{a n }为等比数列，a n >0，且a m a m ＋1a m ＋2＝26m ，若p ＋q ＝6，则a p ·a q ＝
A.27
B.28
C.29
D.210
8.若数列{a n }满足a n ＋1＝(2|sin 2
n π|－1)a n ＋2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝ A.136 B.120 C.68 D.40
9.若△ABC
的面积为4(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则c a
的取值范围是 A.(0，2) B.(0
) D.(2，＋∞)
10.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2asinC
c ，a ＝1，则△
ABC的周长取得最大值时△ABC的面积为
A.
3 4
B.2
C.3
D.4
11.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的。
我国明代数学家、音乐理论家朱载填创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人。
十二平均律的方法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是
常数，如下表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2(i1
i
a
a
+)12＝1
(i＝1，2，…，12)。
若某一半音与D的频率之比为32，则该半音为
A.F
B.G
C.G
D.A
12.设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a3＝12，数列{a n}前n项和为S n，且n2n1
n1n
S S1
S S1
+-
+
-+
-+
＝3(n∈N*且n≥2)。
若[x]表示不超过x的最大整数，b n＝
2
n
(1)
n
a
⎡⎤
+
⎢⎥
⎣⎦
，数列{b n}的前n项和为T n，则T2020＝
A.2019
B.2020
C.2021
D.2022
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8－a5＝－6，S9－S4＝75，则S n取得最大值时n ＝。
14.海伦(Heron，约公元1世纪)是古希脂亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC ()()()
p p a p b p c
---p＝
2
a b c
++
，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆半径r的值是。
15.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinA＋sinB－3sinC＝0，a＋b＋c ＝4，S△ABC＝
2ab
9
，则
22
sin sin
a b
a A
b B
+
+
＝。
16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝1，3S n ＝(n ＋m)a n (m ∈R)，且a n b n ＝15。
若对任意n ∈N *，λ>T n 恒成立，则实数λ的最小值为 。
三、解答题(本题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(本小题满分10分)
已知等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝2n ＋a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n 。
18.(本小题满分12分)
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsinA ＝acos 6B π⎛⎫-
⎪⎝⎭。
(1)求角B 的大小；
(2)若a ，b ，c 依次成等比数列，求
11tan tan A C
+的值。
19.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且btanA ＝(2c －b)tanB 。
(1)求A 的大小；
(2)若a ＝ABC 的面积为b ＋c 的值。
20.(本小题满分12分)
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2＝2a 1＋1。
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝()n n
2a 14-，求数列{b n }的前n 项和R n 。
21.(本小题满分12分)
设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 依次成等差数列。
(1)若sin 2B ＝sinAsinC ，求角A ；
(2)若△ABC 为钝角三角形，且a>c 21cos cos 2222
A A C -+的取值范围。
22.(本小题满分12分)
已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，且当n ≥2，n ∈N *时满足na n ＋1＝(n ＋1)a n 。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝n 112a n λ+⎛⎫- ⎪⎝⎭
，若对任意的n ∈N *，数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围。
- 2 -。