河南省豫南九校高二2020-2021学年高二上学期期末联考理科数学试题
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4．C
【解析】
，
∴ ，当且仅当 时取等号.
故“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.选C．
5．C
【解析】
抛物线 交点为 ,双曲线的渐近线为 ,故点到直线距离为 ,故选C.
6．D
【解析】
函数 为奇函数，函数 的定义域为 时， 才成立，故选项A错误；因为是在三角形中，所以“ ”是“ ”成立的充要条件，故选项B错误；若命题 为假命题，则 至少有一个为假命题，故选项C错误；故选D．
（I）求证：平面 平面 ；
（II）求 与平面 所成角的余弦值．
20． 的内角 的对边分别为 ，其中 ，且 ，延长线段 到点 ，使得 .
（Ⅰ）求证： 是直角；
（Ⅱ）求 的值.
21．椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的角平分线所在直线的方程.
22．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上存在一点 到焦点 的距离等于 ．
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数 的导函数 是奇函数，则实数 __________．
14．已知椭圆 的半焦距为 ，且满足 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是__________．
15．已知 ， ， ，点 为 延长线上一点， ，连结 ，则 __________．
16．已知直线 过圆 的圆心，则 的最小值为__________．
13．3
【解析】
由题意 是奇函数，所以 ，故答案为 ．
14．
【解析】
由 ,得 ,两边除以 得 ,解得 .
【点睛】本小题主要考查椭圆离心率,考查椭圆离心率的取值范围,考查一元二次不等式的解法.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．
河南省豫南九校高二2020-2021学年高二上学期期末联考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A．1009B． C．0D．2018
2．在Fra Baidu bibliotek项均为正数的等比数列 中，若 则
A．12B． C． D．32
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点（ ， 两点在 轴上方），点 关于 轴的对称点为 ，且 ，求△ 的外接圆的方程．
参考答案
1．C
【解析】
因为 是常数，所以根据求导法则易知 ，故选C.
2．B
【解析】
由等比数列的性质得 ，
∴ ，
∴ ．选B．
3．B
【解析】
因为 ， ， ， ，所以, ,可得 ，所以 ，线 与 的位置关系是平行，故选B．
9．A
【解析】
所以 ，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有 ， ， 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到 .解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
10．A
【解析】
，因为函数 的图像在点 处的切线方程是 ，所以 ，
A． B． C． D．
10．函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'（2）＝（ ）
A．7B．4C．0D．﹣4
11．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线 截圆 所得的弦长为，点 在圆 上，且直线 过定点 ，若 ，则 的取值范围为（）
，故选A．
11．C
【解析】
如图所示，补成直四棱柱 ，
则所求角为 ，
易得 ，因此 ，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
3．在空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则直线 与 的位置关系是（）
A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直
4．若 ，则“ ”的一个充分不必要条件是
A． B．
C． 且 D． 或
5．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线距离是（）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“函数 为奇函数”是“ ”的充分不必要条件
三、解答题
17．（1）关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围；
（2）已知 ，求函数 的最大值.
18．等差数列 中， ， ，其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，其前 项和为为 ，求证： .
19．（2018湖北八校高三上学期第一次联考（12月））四棱锥 中， ∥ ， ， ， 为 的中点．
B．在 中，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
C．若命题 为假命题，则 都是假命题
D．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
7．已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式 （ ）
A． B． C． D．
8．已知实数 满足不等式组 ，则函数 的最大值为（）
A．2B．4C．5D．6
9．在 中，角 的对边分别为 ， ， ．若 为锐角三角形，且满足 ，则下列等式成立的是（ ）
7．B
【解析】
令 ,则 ,代入选项,排除 选项.令 ,则 ,解得 ,排除 选项,故选B.
8．D
【解析】
作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，
由 得 ．
平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点C时，直线在y轴上的截距最大，此时 取得最大值．
由 ，解得 ，故点C的坐标为（1,2）．
∴ ．选D．
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
12．D
【解析】
圆心到直线的距离为 ，可得 解得 ，因为直线 ，可化为 ，由 可得 ，所以 过定点 ，故 ；设 的中点为 ，则 , 即 ，化简可得 ，所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 到圆心的距离为 ，所以 的取值范围为 ，所以 的取值范围为 ，故选D．
【方法点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题.探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为 的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
【解析】
，
∴ ，当且仅当 时取等号.
故“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.选C．
5．C
【解析】
抛物线 交点为 ,双曲线的渐近线为 ,故点到直线距离为 ,故选C.
6．D
【解析】
函数 为奇函数，函数 的定义域为 时， 才成立，故选项A错误；因为是在三角形中，所以“ ”是“ ”成立的充要条件，故选项B错误；若命题 为假命题，则 至少有一个为假命题，故选项C错误；故选D．
（I）求证：平面 平面 ；
（II）求 与平面 所成角的余弦值．
20． 的内角 的对边分别为 ，其中 ，且 ，延长线段 到点 ，使得 .
（Ⅰ）求证： 是直角；
（Ⅱ）求 的值.
21．椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的角平分线所在直线的方程.
22．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上存在一点 到焦点 的距离等于 ．
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数 的导函数 是奇函数，则实数 __________．
14．已知椭圆 的半焦距为 ，且满足 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是__________．
15．已知 ， ， ，点 为 延长线上一点， ，连结 ，则 __________．
16．已知直线 过圆 的圆心，则 的最小值为__________．
13．3
【解析】
由题意 是奇函数，所以 ，故答案为 ．
14．
【解析】
由 ,得 ,两边除以 得 ,解得 .
【点睛】本小题主要考查椭圆离心率,考查椭圆离心率的取值范围,考查一元二次不等式的解法.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．
河南省豫南九校高二2020-2021学年高二上学期期末联考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A．1009B． C．0D．2018
2．在Fra Baidu bibliotek项均为正数的等比数列 中，若 则
A．12B． C． D．32
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点（ ， 两点在 轴上方），点 关于 轴的对称点为 ，且 ，求△ 的外接圆的方程．
参考答案
1．C
【解析】
因为 是常数，所以根据求导法则易知 ，故选C.
2．B
【解析】
由等比数列的性质得 ，
∴ ，
∴ ．选B．
3．B
【解析】
因为 ， ， ， ，所以, ,可得 ，所以 ，线 与 的位置关系是平行，故选B．
9．A
【解析】
所以 ，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有 ， ， 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到 .解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
10．A
【解析】
，因为函数 的图像在点 处的切线方程是 ，所以 ，
A． B． C． D．
10．函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'（2）＝（ ）
A．7B．4C．0D．﹣4
11．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线 截圆 所得的弦长为，点 在圆 上，且直线 过定点 ，若 ，则 的取值范围为（）
，故选A．
11．C
【解析】
如图所示，补成直四棱柱 ，
则所求角为 ，
易得 ，因此 ，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
3．在空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则直线 与 的位置关系是（）
A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直
4．若 ，则“ ”的一个充分不必要条件是
A． B．
C． 且 D． 或
5．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线距离是（）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“函数 为奇函数”是“ ”的充分不必要条件
三、解答题
17．（1）关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围；
（2）已知 ，求函数 的最大值.
18．等差数列 中， ， ，其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，其前 项和为为 ，求证： .
19．（2018湖北八校高三上学期第一次联考（12月））四棱锥 中， ∥ ， ， ， 为 的中点．
B．在 中，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
C．若命题 为假命题，则 都是假命题
D．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
7．已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式 （ ）
A． B． C． D．
8．已知实数 满足不等式组 ，则函数 的最大值为（）
A．2B．4C．5D．6
9．在 中，角 的对边分别为 ， ， ．若 为锐角三角形，且满足 ，则下列等式成立的是（ ）
7．B
【解析】
令 ,则 ,代入选项,排除 选项.令 ,则 ,解得 ,排除 选项,故选B.
8．D
【解析】
作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，
由 得 ．
平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点C时，直线在y轴上的截距最大，此时 取得最大值．
由 ，解得 ，故点C的坐标为（1,2）．
∴ ．选D．
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
12．D
【解析】
圆心到直线的距离为 ，可得 解得 ，因为直线 ，可化为 ，由 可得 ，所以 过定点 ，故 ；设 的中点为 ，则 , 即 ，化简可得 ，所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 到圆心的距离为 ，所以 的取值范围为 ，所以 的取值范围为 ，故选D．
【方法点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题.探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为 的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.