天一大联考2020年高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题

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2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试(三)文科数学

2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试（三）数学试题（文）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高二考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，{|12}A x x =-<<，{|1}B x x =≤，{|2}C x x =≥，则集合C =（） A. A B I B. C ()U A B ⋂C. C ()U A B ⋃D. ()C U A B ⋃【答案】C 【解析】【分析】先求出{}|2A B x x =<U ，由此即可得到()U C C A B =U【详解】由全集U =R ，{|12}A x x =-<<，{|1}B x x =≤，{|2}C x x =≥，{}|2A B x x ∴=<U ，(){}|2U C A B x x =≥U∴集合()U C C A B =U .故选：C.【点睛】本题考查并集、补集的求法，并集、补集的定义等基础知识，属于基础题． 2.若复数z 满足(12)5i z -=，则复数z 在复平面上的对应点在第（）象限 A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法法则求出复数z ，由此可得复数z 在复平面上的对应点的坐标为()1,2，即可得到答案. 【详解】因为复数z 满足(12)5i z -=，()()()()2251251251212121212i i z i i i i ++∴====+--++，∴复数z 在复平面上的对应点的坐标为()1,2，此点位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.已知命题:p x ∃∈R ，使210x x ++<；命题:q x ∀∈R ，都有1x e x ≥+．下列结论中正确的是（） A. 命题“p q ∧”是真命题 B. 命题“p q ∧⌝”是真命题 C. 命题“p q ⌝∧”是真命题 D. 命题“p q ⌝∨⌝”是假命题【答案】C 【解析】【分析】首先判断命题p 和q 的真假，再利用真值表对照各选项选择，命题p 的真假结合二次函数即可得到，命题q 通过求导得()f x 最小值来确定真假.【详解】命题p ：因22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以命题p 为假命题；命题q ：令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 递增；当0x <时，()0f x '<，()f x 递减；∴()()min 00f x f ==，故()0f x ≥，即1x e x ≥+对x ∀∈R 恒成立，所以命题q 为真命题，所以复合命题“p q ⌝∧”是真命题. 故选：C .【点睛】本题考查命题和复合命题真假的判断，属于基础题．4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（） A. 24里 B. 48里C. 96里D. 192里【答案】D 【解析】【分析】每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得. 【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =,因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,所以12345378111111()()()()22222a =+++++ 6378378192111()2(1)264112===--- , 所以第一天走了192里. 故选D【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式中的基本量的计算,属于基础题. 5.直线0x y ++=截圆224x y +=所得劣弧所对圆心角为（） A.6πB.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】【分析】先写出圆心和半径，再根据几何法求出弦长，然后根据余弦定理求出圆心角．【详解】由题意有，该圆圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离212d==，∴弦长22221=23 l=-，由余弦定理得圆心角α的余弦值22222(23)1 cos2α+-==-，∴圆心角2=3πα．故选：D．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长公式以及余弦定理，属于基础题．6.已知x，y满足约束条件{401x yx yy-≥+-≤≥，则的最大值是（）A. -1B. -2C. -5D. 1【答案】A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A. 考点：本题主要考查了简单的线性规划.7.函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A. 13(,),44k k k Z ππ-+∈ B. 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C. 13(,),44k k k Z -+∈D. 13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.考点：三角函数图像与性质【此处有视频，请去附件查看】8.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的最小值是（）A.32B. 1C.12D. 2【答案】C 【解析】试题分析：由于为偶函数,所以且因为在区间单调递增，所以即a 的最小值为故选C ．考点：偶函数的定义；偶函数的性质；对数不等式的解法．【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的定义与单调性的综合应用，以及对数不等式的解法，属于中档试题，解题时考虑到的解析式不清楚，所以考虑，这样，问题就转化为绝对值不等式的解法是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用． 9.已知非零向量m 、n 满足|n |4|=m |，且m (2⊥m +n )，则m 、n 的夹角为 A.3π B.2π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到．【详解】∵()2m m n ⊥+u r u r r ，∴()20m m n ⋅+=u r u r r，即220m m n +⋅=v v v ，又∵4n m =r u r ，∴224cos ,0m m m m n +⋅=v v v v v ，解得1cos ,2m n =-v v ，结合0,m n π≤≤v v ，所以2,3m n π=v v，故选C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题.10. 已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4C.92D.112【答案】B 【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥ 11.正四棱柱1111ABCD A B C D -侧棱长是底面边长的2倍，体积为1V ，其外接球的体积为2V ，则21V V =（） A.94π 6π556【答案】D 【解析】【分析】根据题意设底面边长，进而表示出所有长度，求出长方体体积与外接球半径，即可求出答案．【详解】设正四棱柱底面边长为a ，则高为2a ，外接球半径为R ，由题意可得2R ==，即R =，正四棱柱体积3122a a V a a =⋅⋅=，外接球体积32334433R a V ππ⎫===⎪⎪⎝⎭，所以21V V ==. 故选：D.【点睛】本题考查球的体积，正四棱柱的定义，长方体外接球问题，属于基础题．12.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，若对于任意实数x ，有()()0f x f x '->，则（）A. (2019)(2020)ef f <B. (2019)(2020)ef f >C. (2019)(2020)ef f =D. (2019)ef 与(2020)f 的大小不能确定【答案】B 【解析】【分析】设()()x f x g x e=，对其求导，根据()()0f x f x '->，得到()g x 是减函数，利用单调性即可得到答案. 【详解】由题意，设()()x f x g x e =，则()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，因对于任意实数x ，有()()0f x f x '->，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，所以()()20192020g g >，即()()2019202020192020f f ee>，所以()()20192020ef f >. 故选：B.【点睛】本题考查函数的单调性和导数的关系，解题时要认真审题，注意导数的合理运用，构造函数是关键，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 【答案】23【解析】【详解】连接DE ，设AD=2，易知AD∥BC ，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角，在△RtADE 中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．【此处有视频，请去附件查看】14.函数3()2f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为________．【答案】740x y --= 【解析】分析】求得函数()f x 导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得切线方程.【详解】由函数()32f x x x =+，得()261f x x '=+，()17f '∴=，即曲线在点()()1,1f 处的切线斜率为7k =，又()13f =，∴曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()371y x -=-，即740x y --=.故答案为：740x y --=.【点睛】本题考查导数的运用：求在某点的切线方程，化简整理的运算能力，属于基础题. 15.已知数列{}n a 中，112a =，111(1)n na n a +=-≥，则2020a =________．【答案】12【解析】【分析】由112a =，111(1)n n a n a +=-≥，可分别求出2a ，3a ，4a ，从而可得数列的周期，即可得到答案.【详解】由112a =，111(1)n na n a +=-≥，则21111a a =-=-，32112a a =-=，431112a a =-=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，所以202067331112a a a ⨯+===. 故答案为：12. 【点睛】本题考查利用数列的递推公式求解数列的项，其中寻求数列的项的规律，找出数列的周期是求解的关键，属于基础题.16.已知AC ，BD 为圆O ：228x y +=的两条互相垂直的弦，垂足为()1,2M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为．【答案】【解析】试题分析：如图，连接,OA OD ，作,OE AC OF BD ⊥⊥垂足分别为,E F ，因为AC BD ⊥,所以四边形OEMF 为矩形，由已知可得22,3OA OC OM ===设圆心O 到,AC BD 的距离分别为12,d d ，则222123d d OM +==,因此四边形ABCD的面积为()()()22221212128816132S AC BD d d dd =⋅=--≤-+=，当且仅当2212d d =时，等号成立.考点：直线与圆方程的应用.【方法点睛】本题主要考查了直线与圆方程的应用、利用均值不等式求最值，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是根据垂径定理和勾股定理找到原点到两条弦的距离的，把四边形的对角线表示成原点到两条弦的距离的表达式，从而表示出面积，最后根据均值不等式求出最大值.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选做题，考生根据要求作答．（一）必做题：每小题12分，共计60分．17.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b A c a =-．（1）求B Ð的大小；（2）若3b =1a =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=（23【解析】【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式，可得2sin cos sin 0A B A -=，结合在ABC ∆中，sin 0A >得到1cos 2B =，从而得到B 的值；（2）利用正弦定理可得1sin 2A =，即可得到A 的值，利用三角形内角和定理可求C 的值，进而利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）∵2cos 2b A c a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin sin B A C A =-在ABC ∆中，()sin sin C A B =+ ∴2sin cos 2sin()sin B A A B A =+-∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin B A A B A B A =+- ∴2sin cos sin 0A B A -=，∵sin 0A ≠∴1cos 2B = 又角B 为三角形的内角，故3B π=.（2）根据正弦定理，知sin sin a b A B=，即13sin sin 3A π=，∴1sin 2A =，又3B π=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴6A π=，故2C π=，ABC ∆的面积132ab ==. 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和与差的三角函数公式和三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，转化思想，属于基础题．18.如图在直角梯形ABCD 中，2AB =，1CD CB ==，90ABC ︒∠=，平面ABCD 外有一点E ，平面ADE ⊥平面ABCD ，1AE ED ==．（1）求证：AE BE ⊥；（2）求点C 到平面ABE 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）求出BD ，利用勾股定理得AD BD ⊥，由平面ADE ⊥平面ABCD ，得BD AE ⊥，AE ⊥平面BDE ，即可证明AE BE ⊥；（2）利用等体积转化法：E ABC C ABE V V --=，即可得到点C 到平面ABE 的距离. 【详解】（1）在直角梯形ABCD 中，222BD BC CD =+=，AD 2=，又222AD AE ED ==+，所以AE ED ⊥．因为222AB AD BD =+，所以AD BD ⊥，又因为平面ADE ⊥平面ABCD ，且平面ADE ⋂平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE ．因为AE ⊂平面ADE ，所以BD AE ⊥．又因为AE ED ⊥，BD DE D ⋂=，所以AE ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以AE BE ⊥．（2）如图，过点E 作EM AD ⊥，交AD 于M ．因为平面ADE ⊥平面ABCD ，所以EM ⊥平面ABCD ．设点C 到平面ABE 的距离为h ，2EM =，1121122ABC S AB BC =⨯⨯=⨯⨯=V ，11331222ABE S EB AE =⨯⨯==V ．因为E ABC C ABE V V --=，所以121313232h ⨯⨯=⨯⨯，所以63h =，所以点C 到平面ABE 的距离为63．【点睛】本题考查空间线线垂直的判定，点到平面的距离，等体积的转化，属于中档题．19.设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且23a 是13a +和34a +的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()111n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．【答案】（1）12n n a -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用条件建立方程组，求出首项与公比，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求数列的前n 项和n T ，即可证得结论．【详解】（1）由已知，得()()12313273432a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =，设数列n {}a 的公比为q ，则12a q =，∴12a q =，2312a a q q ==．由37S =，可知2227q q++=，∴22520q q -+=，解得12q =，212q =，由题意，得1q >，∴2q =．∴11a =．故数列n {}a 的通项公式为122n a -=．（2）()()()()11112111121212121n n n n n n n n n a b a a ---+===-++++++，0122231111111112121212121212121n nn T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111212212n n =-=-<+++．【点睛】本题考查等差数列、等比数列的概念及其性质，数列求和的“裂项相消法”；学生的运算能力和思维能力，属于中档题．20.已知函数()()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-≤<的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．(Ⅰ)求ω和ϕ的值；(Ⅱ)若32()2463f αππα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直线3x π=对称，可知2+,32k k Z ππφπ⨯=+∈，结合可求得φ的值；（2）对322463f αππα⎛⎫⎛⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭得值. 试题解析：（1）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π，2==2，ππωω∴∴再根据图象关于直线3x π=对称，可得2+,32k k Z ππφπ⨯=+∈结合22ππφ-≤<，可得6πφ=-（2）322463f αππα⎛⎫⎛⎫=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 313sin .sin 664ππαα⎛⎫⎛⎫∴-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再根据062ππα<-<215cos 1sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫∴-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换. 此处有视频，请去附件查看】21.已知定义在R 上的函数3()x f x ax e =-，其中a 为大于零的常数．（1）当13a =时，令()()xh x f x e '=+，求证：当(0,)x ∈+∞时，()2ln h x e x ≥（e 为自然对数的底数）；（2）若函数()0f x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）3027e a <≤【解析】【分析】（1）根据条件求出2()h x x =，然后构造函数2()2ln ,(0)F x x e x x =->，再证明()0F x ≥即可；（2）当函数()0f x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，即3x e a x≤对(0,)x ∈+∞恒成立，构造函数()3()0xe g x x x =>，然后求出()g x 的最小值即可得到a 的取值范围. 【详解】（1）因为31()3xf x x e =-，所以2()x f x x e '=- 所以2()()xh x f x e x '=+=，令2()2ln ,(0)F x x e x x =->∴2()2e F x x x '=-=所以x ∈，()0F x '≤；)x ∈+∞，()0F x '≥所以当x =()F x 取得极小值，F 为()F x 在(0,)+∞上的最小值因为220F e =-=所以2()2ln 0F x x e x F =-≥=，即22ln x e x ≥（2）因函数3()0xf x ax e =-≤对(0,)x ∈+∞恒成立，即3xe a x≤对(0,)x ∈+∞恒成立，令3()x e g x x =，(0)x >则4(3)()xx e g x x-'=， ∴03x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,3)单调递减；3x >时，()0g x '>，()g x 在(3,)+∞单调递增，∴3min()(3)27e g x g ==， ∴3027e a <≤．【点睛】本题考查导数的综合应用和不等式恒成立问题，考查函数思想和转化思想，属于中档题．（二）选做题：共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11x mty t =+⎧⎨=-⎩m R t ∈（，为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=-．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为51+，求实数m 的值．【答案】（1）l ：10x my m +--=;C ：22(1)1x y ++=（2）12m =. 【解析】【分析】(1)将直线l 的参数方程中的t 消去即可得直线l 的普通方程,利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩即可得曲线C 的直角坐标方程.(2)由题意知曲线C 为以原点为圆心,圆心(1,0)O -到直线l 的距离为(51)15d =+-=;利用点到直线距离公式求出m 即可.【详解】（1）因为直线l 的参数方程为11x mtt y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）;所以消得直线l 的普通方程为l ：1(1)x m y =+-; 即l ：10x my m +--=;因为曲线C 的极坐标为2cos ρθ=-,即22cos ρρθ=-;将222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩代入得曲线C 的直角坐标方程所以方程C ：222x y x +=-, 整理得C ：22(1)1x y ++=.（2）因为曲线22(1)1x y ++=是以(1,0)O -为圆心,半径为1r =的圆, 而曲线C 上的点到直线l1.故圆心(1,0)O -到直线l ：10x my m +--=的距离为1)1d =-==整理得()22(2)51m m --=+,解得12m =. 【点睛】（1）直角左边和极坐标之间的转化主要利公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩;（2）参数方程转化为直角坐标方程需要消参;（3）直线与圆的位置关系主要由圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断. 23.已知函数()|2||2|f x x a x =++-（其中a ∈R ）．（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()5|2|f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{|04}x x x ≤≥或（2）4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）当4a =-时不等式()6f x ≥化为2226x x -+-≥，即22x -≥，即可求得不等式的解集；（2）不等式化为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即2|2||42|5x a x a ++-≥，利用绝对值不等式化为245a a +≥，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥，即为|24||2|6x x -+-≥，所以|2|2x -≥，即22x -≤-或22x -≥，原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或．（2）不等式2()5|2|f x a x ≥--即为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即关于x 的不等式2|2||42|5x a x a ++-≥恒成立．而|2||42||4|x a x a ++-≥+，所以2|4|5a a +≥，解得245a a +≥或245a a +≤-，解得415a -≤≤或a φ∈．所以a 的取值范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题．。

2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)

2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}，则A∩B=()A. [0,1]B. {7}C. [0,1]∪{7}D. [1,7]2.设复数z=(5+i)(1−i)(为虚数单位)，则的虚部是()A. 4iB. −4iC. −4D. 43.如果a<0,b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是()．A. 11月份人均用电量人数最多的一组有400人。

B. 11月份人均用电量不低于20度的有300人C. 11月份人均用电量为25度D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在30，40)一组的概率为5.将函数f(x)=sin(2x+φ)，|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. √32B. 12C. −12D. −√326.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7−a8=5，则S11为()A. 110B. 55C. 50D. 不能确定7.已知sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=()A. 58B. −78C. −58D. 788.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，B(0,2b)，若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 39.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 10B. 17C. 24D. 2610.过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1|AB|+1|CD|=()A. 2B. 4C. 12D. 1411.已知函数f(x)=3sin(πx)x2−3x+3，给出三个命题：①f(x)的最小值为−4，②f(x)是轴对称图形，③f(x)≤4π|x|.其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 312.如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2√3，侧面积为8√3，则它的体积为()A. 4B. 8C. 12πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗⋅b⃗ 的值是______ ．14.下面几种推理过程①某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人②根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质③平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分④在数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n2+a n,n∈Ν∗，计算a2,a3,由此归纳出{a n}的通项公式其中是演绎推理的的序号为_________．15.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，则该圆柱的侧面积为__________．16.在△ABC中，若BC=6,AB=4,cosB=13，那么AC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：C1F//平面ABE；(2)设P是BE的中点，求三棱锥P−B1C1F的体积．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据：(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量．附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt −2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．21. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，直线l 1：kx −y +k =0.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2的方程为cosθ−2sinθ=4ρ．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 2的直角坐标方程；(2)l 1与曲线C 交于不同的两点M ，N ，MN 的中点为P ，l 1与l 2的交点为Q ，l 2恒过点A ，求|AP|·|AQ|的值．23. 设函数f(x)=|x|．(1)设f(x −1)+f(x +2)<4的解集为A ，求集合A ；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，以及一元二次不等式的解法，属基础题．求出集合B，根据交集定义进行求解．解：集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7}，∴A∩B={x|0≤x≤1或x=7}=[0,1]∪{7}．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．解：z=(5+i)(1−i)=6−4i，∴虚部是−4，故选C．3.答案：A解析：∵a<0∴1a <0∵b>0∴1b>0故1a<1b.若a=−2,b=2，则√−a=√b，故B不正确，同理a2=b2，故C也不正确；|a|=|b|，故D也不正确．4.答案：C解析：本题考查频率分布直方图，逐一判断求解即可．解：根据频率分布直方图知，11月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；11月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；11月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为110，∴D正确．故选C．5.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象变换、三角函数的奇偶性及三角函数的值域的应用．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，再根据题意求x∈[0,π2]时的最小值即可．解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)为奇函数，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，又x∈[0,π2]，∴2x∈[0,π]，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴−√32≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在[0,π2]上的最小值−√32．故选D．6.答案：B 解析：利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：2a7−a8=2(a1+6d)−(a1+7d)=a1+5d=a6=5，∴S11=11×a1+a112=11a6=55．故选B．7.答案：B解析：解：由sin(π3−α)=14，可得：cos(α+π6)=cos[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)=14．那么：cos(π3+2α)=cos2(π6+α)=2cos2(α+π6)−1=2×116−1=−78．故选：B．利用诱导公式和二倍角公式即可计算．本题考查了诱导公式和二倍角公式的灵活运用！属于基础题．8.答案：B解析：解：F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，B(0,2b)，若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：2b−c ⋅−ba=3，可得2b2=3ac，即2c2−2a2=3ac，可得2e2−3e−2=0，e>1，解得e=2．故选：B．求出双曲线的焦点坐标，利用直线FB与C的一条渐近线乘积，列出方程，然后求解离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：D解析：解：第一次，S=2，i=3，⇒S=5，i=5，⇒S=10，i =7，⇒S =17， i =9，⇒S =26， i =11>10，程序终止，输出S =26，故选：D根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，根据根与系数的关系，得到|AB|和|CD|的值，进而求得1|AB |+1|CD |．解：根据题意，抛物线的焦点为(0,1)，设直线AB 的方程为y =kx +1(k ≠0)，直线CD 的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2=4y ，得y 2−(2+4k 2)y +1=0，由根与系数的关系得y A +y B =2+4k 2，所以|AB|=y A +y B +2=4+4k 2，同理|CD|=y C +y D +2=4+4k 2，所以1|AB|+1|CD|=14k 2+4+k 24k 2+4=14，故选D ．11.答案：D解析：解：①若f(x)的最小值为−4等价为3sin(πx)x 2−3x+3≥−4恒成立，且能取等号，即4x 2−12x +12+3sin(πx)≥0恒成立，设g(x)=4x 2−12x +12+3sin(πx)，则g(x)=4(x −32)2+3+3sin(πx)≥3+3sin(πx)≥0，当x =32时，g(x)=3+3sin 32π=3−3=0，即0能取到，故①正确， ②∵x =32是y =3sin(πx)和y =x 2−3x +3共同的对称轴， ∴x =32是f(x)的对称轴，即f(x)是轴对称图形，故②正确， ③∵y =x 2−3x +3=(x −32)2+34≥34，∴f(x)≤|f(x)|≤|3sinπx34|=4|sinπx|，只要证明|sinπx|≤π|x|，即可，设|sint|≤|t|，(t ≥0) 当t ≥1时不等式恒成立，当0≤t <1时，即证明sint ≤t ，设ℎ(t)=sint −t ，ℎ′(t)=cost −1≤0，即ℎ′(t)在0≤t <1上是减函数，则ℎ(t)=sint −t ≤ℎ(0)=sin0−0=0，即sint ≤t 成立，综上，4|sinπx|≤4π|x|成立，故③正确，故三个命题都是真命题，故选：D ．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及最小值，对称性以及不等式的证明，涉及的知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．12.答案：A解析：解：作PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结OE ，PE ， ∵正四棱锥P −ABCD 中，AB =2√3，侧面积为8√3， ∴O 是四边形ABCD 的中点，E 是BC 的中点，PE ⊥BC ， 4×12BC ×PE =8√3，解得PE =2，∴PO=√PE2−OE2=√4−3=1，∴正四棱锥P−ABCD的体积V=13×S正方形ABCD×PO=13×2√3×2√3×1=4．故选：A．作PO⊥平面ABCD，取BC中点E，连结OE，PE，求出PE=2，从而PO=1，由此能求出正四棱锥P−ABCD的体积．本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.答案：−4解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．由(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，可得(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．解：∵|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−a⃗2=−22=−4．故答案为：−4．14.答案：③解析：本题考查简单的演绎推理，推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理(一般→特殊)，合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．解：①选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过60人，属于归纳推理;②选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；③选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式;④选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n2+a n，n∈N∗，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；综上，可知，只有③选项为演绎推理．故答案为③．15.答案：4√3π解析：本题主要考查了圆柱的侧面积和球的相关知识，属于基础题．由它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，可求出圆柱底面圆的半径r =√22−12=√3，进而求得侧面积．解：∵圆柱的高为2，且它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上， ∴可得圆柱底面半径r =√22−12=√3， ∴圆柱的侧面积．故答案为4√3π．16.答案：6解析：解：∵BC =6,AB =4,cosB =13，∴AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√62+42−2×6×4×13=6．故答案为：6．直接利用余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2) ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1. (Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1．本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：(1)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ，在△ABC 中，FM//AB ，而FM ⊄面ABE ，∴FM//平面ABE ，在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点， ∴C 1M//AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M//平面ABE ， ∵C 1M ∩FM =M ， ∴平面FC 1M ⊄平面ABE ， ∵C 1F ⊂平面FC 1M ， ∴C 1F//平面ABE ，(2)取B 1C 1的中点H ，连接EH ，则EH//AB ，且EH =12AB =√3FM ， ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴EH ⊥平面BB 1C 1C ， ∵P 是BE 的中点，∴V P−B 1C 1F =12V E−B 1C 1F =12×13⋅S △B 1C 1F ⋅EH =12×13×2×√3=√33．解析：(1)根据线面平行的判定定理即可证明：C 1F//平面ABE ； (2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t−2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250，∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50．∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求； (Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3．故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33．则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85， ∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813．∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=1x(x+1)−lnax (x+1)2=1+1x−lnax (x+1)2，由f′(1)=2−lna 4=12，解得a =1．(2)∵a =1，∴f(x)=lnx x+1，∴由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，设g(x)=2+lnx x+1，则g′(x)=1x−lnx−1(x+1)2，再设ℎ(x)=1x−lnx−1(x+1)2，则ℎ′(x)=−x+1x 2<0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上递减，又ℎ(1)=0，∴当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上为增函数；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上为减函数； ∴g(x)max =g(1)=1，∴只需b ≥g(x)max =1，即b ≥1， ∴b 的最小值b min =1．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，由导数值等于12，求得实数a 的值； (2)由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，构造g(x)=2+lnx x+1，求出g(x)max =1，即可求实数b 的最小值．本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查函数的最值，正确分离参数是关键，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，∴(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2：cosθ−2sinθ=4ρ，即ρcosθ−2ρsinθ=4， ∴x −2y =4，即x −2y −4=0. (2)∵直线l 1：kx −y +k =0，即y =k(x +1)，∴直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C ：(x +3)2+(y −4)2=16，得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0. 设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=4(2sinα−cosα)，t 1t 2=4.设点Q 对应的参数为t 3.将l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)代入直线l 2：x −2y −4=0，得t 3=5cosα−2sinα.∴|AP|·|AQ|=|t 1+t 22||t 3|=2|2sinα−cosα||5cosα−2sinα|=10．解析：(1)消去θ可得(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2即ρcosθ−2ρsinθ=4，可得x −2y =4； (2)直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C 得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，根据几何意义及根与系数的关系求解．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x −1)+f(x +2)=|x −1|+|x +2| ={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2．因为f(x −1)+f(x +2)<4，可得{2x +1<4x >1或−2≤x ≤1或{−2x −1<4x <−2，所以−52<x <32，所以不等式的解集A ={x|−52<x <32}； (2)由(1)知m =1，则a +b +c =1，又a ，b ，c 均为正实数，1−a a ·1−b b ·1−cc =b +c a ·a +c b ·a +bc≥2√bca·2√acb·2√ab c=8，当且仅当a =b =a =13时等号成立．所以1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x −1)+f(x +2)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，然后由f(x −1)+f(x +2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1−aa ·1−bb·1−cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1−aa ·1−bb·1−cc≥8，注意等号成立的条件．。

2020届全国天一大联考新高考原创精准预测考试(三)文科数学

2020届全国天一大联考新高考原创精准预测考试（三）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则A B =（）A. ()(),10,-∞-+∞B. (]2,4C. ()0,2D. (]1,4-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0＜x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}＝（2，4]．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（）B. 13D. 5【答案】B 【解析】【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解．【详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根，则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13．故选：B ．【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3.已知实数x ，y 满足约束条件133x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -1【答案】A 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z ＝﹣2x +y 的最小值．【详解】由z ＝﹣2x +y ，得y ＝2x +z ，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y ＝2x +z ，由平移可知当直线y ＝2x +z ，经过点A 时，直线y ＝2x +z 的截距最大，此时z 取得最小值，由330x y x y +=⎧⎨--=⎩，解得A （3，0）．将A 的坐标代入z ＝﹣2x +y ，得z ＝﹣6，即目标函数z ＝﹣2x +y 的最小值为﹣6．故选：A ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确．．．的是（）A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元【答案】C【解析】【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2018年第一季度五省GDP情况图，知：在A中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，A正确；在B中，2018年第一季度GDP增速由髙到低排位第5的是浙江省，故B正确；在C 中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故C 不正确；在D 中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D 正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.5.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（） A. 14n n a a b b --=B.14n n a a b b -=C. 14n n a a b b --=-D.14n n a a b b -=-【答案】B 【解析】【分析】由已知求得等比数列{b n }的通项公式，作比即可得到14n n a a b b -=．【详解】∵等差数列{a n }的公差为2，数列{b n }是公比为﹣2的等比数列，∴11(2)n n b b -=⋅-，∴11111121111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ---------⋅--===-=-=⋅--．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．6.如图，先画一个正方形ABCD ，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH ，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是（）A.14B.16C.18D.116【答案】C 【解析】【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12．则四边形的面积构成公比为12的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到. 【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12，四边形的面积构成公比为12的等比数列，∴第n 个正方形的面积为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，即第四个正方形的面积31128⎛⎫= ⎪⎝⎭ . ∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P ＝11818= ，故选：C ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7.在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若60NFR ∠=︒，则NR =（） A. 2C. D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF 为等边三角形，求出其边长，进而在Rt △FMR 分析可得答案．【详解】根据题意，如图所示：连接MF ，QF ，抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为（1，0），准线x ＝﹣1，则FH ＝2，PF ＝PQ ，又由M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，则MN ∥QF ，又PQ ＝PF ，∠NRF ＝60°，且∠NRF ＝∠QFH ＝∠FQP ＝60°，则△PQF 为边长为4等边三角形，MF ＝在Rt △FMR 中，FR ＝2，MF ＝则MR ＝4，则NR 12=MR ＝2，故选：A ．点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF 为等边三角形，属于综合题．8.已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则（） A. 0OM BC ∙= B. 0OM AB ∙= C. //OM BC D. //OM AB【答案】D【解析】【分析】由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论．【详解】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，230OA OB OC ++=，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+40OM =，即2（OA OB -）+120OM =，可得AB =6OM ，即OM ∥AB ，故选：D ．【点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．9.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101x x e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01xx e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数奇偶性判断函数的对称性； 4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（）A. 8B. 4C. 【答案】D 【解析】【分析】建立坐标系，求出M 的轨迹，得出M 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积．【详解】解：以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4），设M （a ，0，b ），则1D M =（a ，﹣4，b ﹣4），CP =（﹣4，﹣4，2）， ∵D 1M ⊥CP ，∴1D M CP ⋅=-4a +16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4．取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ，过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ==．又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ，∴S △BCM 的最小值为S △QBC 142=⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.11.已知函数()()()2sin 10,f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是（）A. 513,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B. 713,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C. 212,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 112,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据直线6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，得出(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，由此求出,,k n ω的关系式，进而得到ω的最小值与对应ϕ的值，进而得到函数()f x 的解析式，从而可求出它的单调增区间．【详解】∵函数()f x 的一个零点是3x π=，∴2sin 103ωπϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭， ∴1sin 32ωπϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴236k ωππϕπ+=+，或()5236k k Z ωππϕπ+=+∈．① 又直线6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，∴(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，②由①②得()()222,?,3k n k n Z ω=-±∈， ∵0,,k n Z ω>∈， ∴min 23ω=；此时252,296k n k ππϕπ+=+=， ∴()11218k k Z πϕπ=+∈，∵ϕπ<， ∴1118πϕ=， ∴()2112sin 1318f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．由()2112223182k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得()53336k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈．∴()f x 的单调增区间是513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦．故选A ．【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．12.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，(,0),(,0)(0)A t B t t ->，斜率为13的直线过A 点且与双曲线交于,M N 两点，若2OD OM ON =+，0BD MN ⋅=，则双曲线的离心率为（）B.3C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】联立方程组消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式得出D 点坐标，根据BD k ＝﹣3列方程得出a ，b 的关系，从而可得出双曲线的离心率．【详解】直线MN 的方程为y 13=（x +t ），联立方程组()2222131y x t x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消元可得：（9b 2﹣a 2）x 2﹣2a 2tx ﹣a 2t 2﹣9a 2b 2＝0，设M （11,x y ），N （22,x y ），则由根与系数的关系可得：12x x + 22229a tb a=-， ∵2OD OM ON =+，∴D 为MN 的中点，∴D （2229a t b a-，()222339a t t b a +-）， ∵0BD MN ⋅=，∴BD ⊥MN ，∴k BD ＝﹣3，即()22222233939a t tb a a ttb a +-=---，化简可得222495a b a =-，即b 2a =，∴e c a===故选：A ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．二、填空题。

2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)

2020 年河南省天一大联考高考数学一模试卷（文科）题号得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|-1≤x≤5}，B={x|x2-2x＞3}，则 A∩B=（A. {x|3＜x≤5}B. |x|-1≤x≤5|C. {x|x＜-1 或 x＞3}D. R2. 已知复数 z 满足 i（3+z）=1+i，则 z 的虚部为（）A. -iB. iC. -1）D. 13. 已知函数，若 f（a）＞f（b），则下列不等关系正确的是（）A.B.C. a2＜abD. ln（a2+1）＞ln（b2+1）4. 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如下图所示．则下列结论中错误的是（）A. 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为B. 12 个月的 PMI 值的平均值低于 50% C. 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4% D. 12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3%5. 已知函数的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位后得到函数的图象，则 φ 的最小值为（）A.B.C.D.6. 已知数列{an}满足 an+1-an=2，且 a1，a3，a4 成等比数列．若{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn 的最小值为（）第 1 页，共 14 页A. -10B. -14C. -187. 已知 cos（2019π+α）=- ，则 sin（ -2α）=（）D. -20A.B.C. -D.8. 已知双曲线的右焦点为 F，过右顶点 A 且与 x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于 M 点，MF 的中点恰好在双曲线 C 上，则 C 的离心率为（）A.B.C.D.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为（）A. S＞-1？B. S＜0？C. S＜-1？D. S＞0？10. 过抛物线 E：x2=2py（p＞0）的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 P 为抛物线上的一动点，Q（1，2）．若，则|PF|+|PQ|的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知函数 f（x）=x3-ax-1，以下结论正确的个数为（）①当 a=0 时，函数 f（x）的图象的对称中心为（0，-1）；②当 a≥3 时，函数 f（x）在（-1，1）上为单调递减函数；③若函数 f（x）在（-1，1）上不单调，则 0＜a＜3；④当 a=12 时，f（x）在[-4，5]上的最大值为 15．A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知四棱锥 E-ABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，ED=1，平面 ECD⊥平面ABCD，当点 C 到平面 ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A.B.C.D. 1二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 =（1，1），| |= ，（2 + ）• =2，则| - |=______．14. 为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三 5 个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛 1 场，目前（一）班已赛了 4 场，（二）班已赛了 3 场，（三）班已赛了 2 场，（四）班已赛了 1 场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为______．15. 将底面直径为 4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为______．16. 如图，已知圆内接四边形 ABCD，其中 AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则=______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列{an}的各项都为正数，a1=2，且．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设 bn=[lg（log2an）]，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1，求数列{bn}的前 2020 项和．18. 如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 A1ACC1，CC1=2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E 为 AB 的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面 B1CE；（Ⅱ）求斜三棱柱 ABC-A1B1C1 截去三棱锥 B1--CBE 后剩余部分的体积．19. 近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数 x（单位：十箱）与成本 y（单位：千元）的关系如下：x13467y56.577.58y 与 x 可用回归方程（其中，为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取 2 天，估计恰有 1 天的水果箱数在第 3 页，共 14 页[80，120）内的概率；（ⅱ）求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设 t=lgx，则0.546.81.530.45线性回归直线中，，．20. 已知椭圆的左，右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|=2，M 是椭圆E 上的一个动点，且△MF1F2 的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程；（Ⅱ）若 A（a，0），B（0，b），四边形 ABCD 内接于椭圆 E，AB∥CD，记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值．21. 已知直线 y=x-1 是曲线 f（x）=alnx 的切线．（Ⅰ）求函数 f（x）的解析式；（Ⅱ）若 t≤3-4ln2，证明：对于任意 m＞0，个零点．第 4 页，共 14 页有且仅有一22. 以直角坐标系 xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线 C1的极坐标方程为 ρ=4cosθ+8sinθ，P 是 C1 上一动点，，Q 的轨迹为 C2．（Ⅰ）求曲线 C2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点 M（0，1），直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l与曲线 C2 的交点为 A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线 l 的普通方程．23.已知 a，b，c∈R+，∀x∈R，不等式|x-1|-|x-2|≤a+b+c 恒成立．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：．2020 年河南省天一大联考高考数学一模试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. C8. A9. B10. C 11. C 12. B13. 314. 215.16.17. 解：（I）由题意，且，即-an+1an-2 =0，整理，得（an+1+an）（an+1-2an）=0． ∵数列{an}的各项都为正数， ∴an+1-2an=0，即 an+1=2an． ∴数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，第 5 页，共 14 页∴an=2n．（Ⅱ）由（I）知，bn=[lg（log2an）]=[lg（log22n）]=[lgn]，故 bn=，n∈N*．∴数列{bn}的前 2020 项的和为 1×90+2×900+3×1021=4953．18. 解：（Ⅰ）如图，连接 BC1，交 B1C 于点 M，连接 ME，则 ME∥AC1．因为 AC1⊄平面 B1CE，ME⊂平面 B1CE，所以 AC1∥平面 B1CE．（Ⅱ）因为 B1C1 平面 ABC，所以点 B1 到平面 ABC 的距离等于点 C1 到平面 ABC 的距离．如图，设 O 是 AC 的中点，连接 OC1，OB．因为△ACC1 为正三角形，所以 OC1⊥AC，又平面 ABC⊥平面 A1ACC1，平面 ABC∩平面 A1ACC1=AC，所以 OC1⊥平面 ABC．所以点 C1 到平面 ABC 的距离 OC1= ，故三棱锥 B1-BCE 的体积为 V= S△BCE•OC1= × ×1× × = ，而斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V=S△ABC•OC1= AB•CE•OC1= ×2× × =3，所以剩余部分的体积为 3- = ．19. 解（Ⅰ）根据题意，=，，∴．又 t=lgx，∴．∴x=10 时，（千元），即该新奇水果 100 箱的成本为 8364 元，故该新奇水果 100 箱的利润 15000-8364=6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为．设这两天分别为 a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为，设这四天分别为 A，B，C，D． ∴随机抽取 2 天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），第 6 页，共 14 页（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共 15 种．满足恰有 1 天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb），（Ca），（Cb），（Da），（Db）共 8 种，所以估计恰有 1 天的水果箱数在[80，120）内的概率为 P= ．（ⅱ）这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：×（箱）．20. 解：（Ⅰ）设椭圆 E 的半焦距为 c，由题意可知，当 M 为椭圆 E 的上顶点或下顶点时，△MF1F2 的面积取得最大值．所以，所以 a=2，b= ，故椭圆 E 的标准方程为．（Ⅱ）根据题意可知 A（2，0），B（0，），kAB=-因为 AB∥CD，设直线 CD 的方程为 y=-，C（x1，y1），D（x2，y2）由，消去 y 可得 6x2-4+4m2-12=0，所以 x1+x2= ，即 x1= -x2．直线 AD 的斜率 k1= =，直线 BC 的斜率 k2=，所以 k1k2=•，=，=，==．故 k1k2 为定值．21. 解：（Ⅰ）根据题意，f′（x）= ，设直线 y=x-1 与曲线相切于点 P（x0，y0）根据题意，可得，解之得 x0=a=1，因此 f（x）=lnx．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 h（x）=mx- +lnx+t（x＞0），则当 x→0 时，h（x）＜0，当 x→+∞时，h（x）＞0，所以 h（x）至少有一个零点．第 7 页，共 14 页h′（x）= +m=m- +（ - ）2①m≥ ，则 h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）有唯一零点．②若 0＜m＜，令 h′（x）=0 得 h（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），所以＞，即 0＜x1＜16．可知 h（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．所以极大值为 h（x1）=mx1- +lnx1+t=（ - ）x1- +lnx1+t=- -1+lnx1+t，又 h′（x1）=- + = ＞0，所以 h（x1）在（0，16）上单调递增，则 h（x1）＜h（16）=ln16-3+t≤ln16-3+3-4ln2=0，所以 h（x）有唯一零点．综上可知，对于任意 m＞0 时，h（x）有且仅有一个零点．22. 解：（Ⅰ）根据题意，设点 P，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有 ρ= ρ0=2cosθ+4sinθ，故曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+4sinθ，变形可得：ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，故 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+4y，即（x-1）2+（y-2）2=5；（Ⅱ）设点 A，B 对应的参数分别为 t1、t2，则|MA|=t1，|MB|=t2，设直线 l 的参数方程，（t 为参数），代入 C2 的直角坐标方程（x-1）2+（y-2）2=5 中，整理得 t2-2（cosα+sinα）t-3=0．由根与系数的关系得 t1+t2=2（cosα+sinα），t1t2=-3，则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===≥2，当且仅当 sin2α=-1 时，等号成立，此时 l 的普通方程为 x+y-1=0．23. 证明：（Ⅰ）∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-x+2|=1，∴a+b+c≥1． ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac， ∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca， ∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2≥1，∴．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2，即两边开平方得，同理可得，三式相加，得．第 8 页，共 14 页【解析】1. 解：由题意 B={x|x＜-1 或 x＞3}，所以 A∩B={x|3＜x≤5}，故选：A．求出集合 B，再求出即可．本题考查一元二次不等式的解法集合的基本运算，基础题．2. 解∵i（3+z）=1+i，∴3+z=，∴z=-2-i，∴复数 z 的虚部为-1．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题主要考查复数的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：易知 f（x）在 R 上单调递增，故 a＞b．因为 a，b 的符号无法判断，故 a2 与 b2，a2 与 ab 的大小不确定，所以 A，C，D 不一定正确；B 中正确．故选：B．易知 f（x）在 R 上单调递增，可得 a＞b，再逐项判断即可．本题主要考查函数的性质以及不等式的性质，属于基础题．4. 解：从图中数据变化看，PMI 值不低于 50%的月份有 4 个，所以 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为 = ，所以 A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于 50%，所以 B 正确； 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%，所以 C 正确； 12 个月的 PMI 值的中位数为 49.6%，所以 D 错误．故选：D．根据统计图中数据变化情况，分析判断选项中的命题是否正确即可．本题主要考查了统计图表的识别以及样本的数字特征问题，也考查了数形结合思想，是基础题．5. 解：把函数的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位后得到函数 y=sin（2x+2φ- ）的图象，即得到的图象，∴2φ- =2kπ+ ，k∈Z，∴φ 的最小值为，故选：A．由题意利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6. 【分析】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质及二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式、等比中项的性质，列方程求基本量，再求和结合二次函数性质即可得出．【解答】解：根据题意，可知{an}为等差数列，公差 d=2．由 a1，a3，a4 成等比数列，可得=a1（a1+6），解得 a1=-8．第 9 页，共 14 页所以 Sn=-8n+=-．根据单调性，可知当 n=4 或 5 时，Sn 取到最小值，最小值为-20．故选：D．7. 解：由 cos（2019π+α）=- ，可得 cos（π+α）=- ，∴cosα= ，∴sin（ -2α）=cos2α=2cos2α-1=2× -1=- ．故选：C．由已知利用诱导公式可得 cosα= ，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8. 解：双曲线 C： =1，a＞0，b＞0 的右顶点为 A（a，0），右焦点为 A（c，0），M 所在直线为 x=a，不妨设 M（a，b）， ∴MF 的中点坐标为（，）．代入方程可得 - =1，∴= ，∴e2+2e-4=0，∴e= -1（负值舍去）．故选：A．由题意可得过右顶点的直线，又可得 M 的坐标，进而求出 MF 的中点的坐标，代入双曲线方程，可得 a，c 的关系，进而求出离心率．本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题．9. 解：i=1，S=1．运行第一次，S=1+lg =1-lg3＞0，i=3，不成立；运行第二次，S=1+lg +lg =1-lg5＞0，i=5，不成立；运行第三次，S=1+lg +lg +lg =1-lg7＞0，i=7，不成立；运行第四次，S=1+lg +lg +lg +lg =1-lg9＞0，i=9，不成立；运行第五次，S=1+lg +lg +lg +lg +lg =1-lg11＜0，i=11，成立，输出 i 的值为 11，结束，故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题主要考查循环结构的框图，属于基础题．第 10 页，共 14 页10. 解：显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为y=kx+ ，联立方程，消去 y得：x2-2pkx-p2=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=2pk， ∴，由抛物线的性质可知：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线 CD 的斜率为：- ，∴|CD|=2p（- ）2+2p=，∴，∴2p+2pk2=4+4k2， ∴p=2， ∴抛物线方程为：x2=4y，准线方程为：y=-1，设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|，而当 QP 垂直于 x 轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为 2+1=3，如图所示： ∴|PF|+|PQ|的最小值为 3，故选：C．显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=kx+ ，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，因为 AB⊥CD，所以直线CD 的斜率为：- ，所以|CD|=2p（- ）2+2p=，所以，解得 p=2，设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|，而当 QP 垂直于 x 轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为 2+1=3．本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．11. 解：①幂函数 y=x3 为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当 a=0 时，函数 f（x）=x3-1 的图象的对称中心为（0，-1），即①正确． ②由题意知，f'（x）=3x2-a．当-1＜x＜1 时，3x2＜3，又 a≥3，所以 f'（x）＜0 在（-1，1）上恒成立，所以函数 f（x）在（-1，1）上单调递减，即②正确． ③由题意知，f'（x）=3x2-a，当 a≤0 时，f'（x）≥0，此时 f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，不合题意，故 a＞0．第 11 页，共 14 页令 f'（x）=0，解得．因为 f（x）在（-1，1）上不单调，所以 f'（x）=0 在（-1，1）上有解，所以，解得 0＜a＜3，即③正确．④令 f'（x）=3x2-12=0，得 x=±2．当 x∈[-4，5]时，f（x）在[-4，-2]和[2，5]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，所以 f （x）max=f（-2）或 f（5），因为 f（-2）=15，f（5）=64，所以最大值为 64，即④错误．故选：C． ①根据幂函数 y=x3 与 f（x）=x3-1 的图象变换即可判断正误； ②求导 f'（x）=3x2-a，当 a≥3 时，f'（x）＜0 在（-1，1）上恒成立； ③求导 f'（x）=3x2-a，首先判断 a≤0 不符合题意，其次讨论当 a＞0 时，若 f（x）在（-1， 1）上不单调，则 f'（x）=0 在（-1，1）上有解，即可得解； ④当 a=12 时，f（x）在[-4，-2]和[2，5]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，所以 f （x）max=f（-2）或 f（5），然后比较 f（-2）和 f（5）的大小即可得解．本题考查函数的性质及导数的应用，熟练运用导数解决函数的单调性、最值问题是解题关键，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．12. 解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面 ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点 C 即点 D 到平面 ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B．如图所示，由题意可得：ED⊥平面 ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点 C 即点 D 到平面 ABE 的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 解：由题意可得，∴，解得，∴．故答案为：3．依题意，可求得，再根据模长公式求解即可．本题主要考查向量的数量积运算及向量模的求法，属于基础题．14. 解：根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了 2 场，故答案为：2．第 12 页，共 14 页根据题意，画出图形，即可得到目前（五）班已经赛了 2 场．本题主要考查逻辑推理，是基础题．15. 解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 h，底面半径为 r，则 = ，解得 h= - r．故 S 侧=2πrh=2πr（ - r）= πr（2-r）≤ π=．当 r=1 时，S 侧的最大值为．故答案为：．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 h，底面半径为 r，由=，解得 h= - r．可得 S 侧=2πrh=2πr（ - r），利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 解：由圆内接四边形的性质可得∠C=π-∠A，∠D=π-∠B．连接 BD，在△ABD 中，有 BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA．在△BCD 中，BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC，所以，AB2+AD2-2AB•ADcosA=BC2+CD2+2BC•CDcosA，cosA===，所以 sinA===，连接 AC，同理可得 cosB===，所以 sinB===．所以==．结合圆内接四边形的性质及余弦可分别求解 cosA，cosB，然后结合同角平方关系可求 sinA，sinB，进而可求．本题主要考查余弦定理，同角平方关系及圆内接四边形的性质的应用．17. 本题第（I）题对递推式进行转化，因式分解，根据题意可得数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，即可得到数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题根据第（I）题的结果写出数列{bn}的通项公式，然后根据[x]的特点转化为分段的通项公式，再求和即可得到结果．本题主要考查等比数列及数列的求和等相关基础知识．考查了方程思想，转化思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18. （Ⅰ）运用线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）运用线面垂直的判定定理和性质，以及棱锥的体积公式计算可得所求值．本题主要考查线面平行线面垂直等线面位置关系以及几何体的体积．19. （Ⅰ）由已知求得与，得到，结合 t=lgx，可得．取 x=10 时求得 y 值得答案．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数，设这两天分别为 a，b，求出水果箱数在[80，120）内的天数，利用枚举法结合古典概型概率公式求恰第 13 页，共 14 页有 1 天的水果箱数在[80，120）内的概率为 P= ．（ⅱ）直接由题意求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．本题主要考查线性回归方程、古典概型以及样本的平均值，考查计算能力，是中档题．20. （Ⅰ）由题意可得，解得 a，b，c，进而得椭圆的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 A（2，0），B（0，），kAB=- ，设直线 CD 的方程为 y=-，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线 CD 与椭圆的方程得所以 x1+x2= ，即 x1= -x2．直线 AD 的斜率 k1= =，直线 BC 的斜率 k2=，代入 k1k2 化简可得结论．本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系．21. （Ⅰ）设切点 P（x0，y0），则，即可求出 a；（Ⅱ）由 h（x）的解析式可知其至少有一个零点，又因为 h′（x）=m- +（ - ）2，讨论①m≥ ②0＜m＜两种情况下均只有一个零点即可．本题考查导数的综合应用，考查利用导数表示曲线上某点切线，利用导数判断函数单调区间等，属于综合题，中档题．22. （Ⅰ）根据题意，设点 P，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），分析可得曲线C2 的极坐标方程，变形可得答案；（Ⅱ）根据题意，设点 A，B 对应的参数分别为 t1、t2，直线 l 的参数方程，（t 为参数），与 C2 的方程联立可得 t2-2（cosα+sinα）t-3=0，由根与系数的关系分析可得答案．本题考查三种方程的转化，利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系，属于基础题．23. （Ⅰ）由已知，a+b+c≥1，再利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）分析可知，，三式相加即可得证．本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式．第 14 页，共 14 页。

2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(文)试题(解析版)

2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==>，则集合A B =U （）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1【答案】A【解析】通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 【详解】对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-，从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（）A ．24i +B ．22i -C ．D ．【答案】C【解析】先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求. 【详解】由题意可知3223iz i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.8【答案】A【解析】根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.25⨯+⨯+⨯+⨯.【详解】由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式. 4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（） A ．4 B ．2±C ．2D ．2-【答案】C【解析】根据韦达定理，结合等比数列性质2486a a a =即可得解.【详解】∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ，∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==，∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =.故选：C. 【点睛】此题考查等比数列性质，根据韦达定理得两根之积，结合等比数列性质求解指定项，易错点在于漏掉考虑符号. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 【详解】Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 【详解】当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．392B ．216+C ．20D ．206+【答案】D【解析】在正方体中，根据三视图还原几何体，分别求解各表面的面积即可得解. 【详解】由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E -'，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=V .在AED '△中，22125AE ED ==+='22AD '=可计算AD'边上的高为3，∴122362AEDS'=⨯⨯=V，从而可得该几何体的表面积为332634206++++⨯=+.故选：D.【点睛】此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，借助正方体还原几何体.8．如图，已知圆的半径为1，直线l被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（）A．1142π-B．1132π-C．113π-D．114π-【答案】A【解析】根据面积公式求解阴影部分面积，结合几何概型求解概率.【详解】由题意知222OA OB AB+=，∴2AOBπ∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-.故选：A.【点睛】此题考查几何概型，利用面积关系求解概率，关键在于熟练掌握相关面积公式及求解方法.9．已知实数,a b满足,a b R+∈，且31a b+=，则()1924a b a b+++的最小值为（）A．173B．174C．163D．194【答案】C【解析】由31a b+=得()()283a b a b+++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.10．如图，在ABC V 中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD于点M ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则FM =u u u u r（）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r r D ．241515a b +r r【答案】A【解析】根据共线定理由E ，M ，A 三点共线，设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，则21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理由D ，M ，C 三点共线，可得()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，建立方程组求解．【详解】连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，由题意知()1133FE CB AB AC ==-u u u v u u u v u u u v u u u v， ()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r. 同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-u u u u r v r ．故选：A. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，关键在于根据共线定理处理三点共线关系，建立等式求解参数．11．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】设直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合9A B x x =利用韦达定理即可求解直线斜率得到倾斜角. 【详解】由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=， ∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =，∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B px x p p k+==+，∴23k =，3k =， ∴倾斜角为60°. 故选：C. 【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系，根据交点坐标，结合韦达定理求解参数是解析几何中常用的处理办法.二、双空题12．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________. 【答案】2 22.5【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 【详解】由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 故答案为：2；22.5. 【点睛】本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.三、填空题13．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到,A B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________. 【答案】乙､丁【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果. 【详解】四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地；所以甲、丁一个在A 地，一个在B 地. 又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙､丁. 故答案为：乙､丁. 【点睛】本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.14．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120︒，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与xC 的方程为_________.【答案】22y x =或 26y x = 【解析】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，求得y ，进而根据条件列方程可得p 的值，则抛物线方程可求. 【详解】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y ==y ==从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 故答案为：22y x =或26y x =. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题. 15．已知函数[)21()sin ,0,2f x x x ax x =++∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[)1,-+∞【解析】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，可得'()1sin 0h x x =-≥，求出()h x 的单调性，分1a ≥-，1a <-讨论，求出()f x 的单调性和最值，进而可得答案. 【详解】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，则'()1sin 0h x x =-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，(0)1h a =+，（1）当10a +≥，即1a ≥-时，()(0)0h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以()(0)0f x f ≥=恒成立；（2）当10a +<，即1a <-，令2x a =-，则()(2)2cos 20h a a -=+->. 又(0)10h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，不合题意. 综上a 得取值范围为{}1a a ≥-. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.四、解答题16．如图，ABC ∆为等边三角形，边长为3，D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（1）求sin ADB ∠的值；（2）求DE 的长. 【答案】（1）32114.（27【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值；（2）在CDE ∆中，应用正弦定理，求出DE . 【详解】（1）由题意可知60,3,2A AB AD =︒==，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 从而7BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD Aθ=，即37sin 3θ=，得321sin 14θ=；（2）由题意知θ为锐角，所以27cos 1sin 14θθ=-=，而()3157sin sin 30cos 2E θθθ=+︒=+=，在CDE ∆中，由正弦定理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 3072sin 557CD DE E ⨯⋅︒===. 【点睛】本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.17．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，//AE CD ，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求点F 到平面ABD 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）通过证明//DF GC 得证线面平行；（2）根据F ABD D ABF V V --=，利用等体积法求解点到平面距离. 【详解】（1）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点，∴FG 为ABE △的中位线， ∴1//,2FG AE FG AE =，而1//,2CD AE CD AE =，∴FGCD 为平行四边形， ∴//DF GC ，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴//DF 平面ABC . （2）∵ABC V 为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AE AB A =I ，∴GC ⊥平面ABE .由（1）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=V ，∴1ABF S =V .在Rt BCD V 中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =V ，而DF CG ==F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅V V，即d =，∴点F 到平面ABD的距离是2. 【点睛】此题考查线面平行的证明和求解点到平面的距离，关键在于熟练掌握相关定理推理证明，常用换顶点的方式等体积法求解点到平面距离.18．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F，点P ⎛ ⎝⎭在椭（1）求椭圆的标准方程；（2）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF V 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【解析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程组求解；（2）联立直线和椭圆的方程，得出面积2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=V 求解面积最值. 【详解】（1）由题意得22222131,42,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=， ∵l过()1F ，∴0m +=，即m =，∴()222140ky k +--=，∴12y y +=212214k y y k =-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=V== 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t t k -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=， ∴2ABF V2=. 【点睛】此题考查求椭圆的方程，关键在于准确计算基本量，利用韦达定理处理直线和曲线形成弦长问题，转化为函数问题求解面积最值.19．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .【答案】（1）11831728.（2）1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；（2）由第n 次与1n +次的关系，建立递推公式115612n n p p +=+，构造等比数列数列，求出通项公式即可. 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为55717511212121728⨯⨯⨯=，甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=；（2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类： ①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， 1111262n n p p +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭1111111210,122262n n p p p +--=-=≠∴=-Q ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列1111226n n p -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭，1111262n n p -⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目. 20．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-；（2）(],1-∞- 【解析】（1）求出导函数，结合不等式得函数的单调区间；（2）将问题转化为()()222202xa x e x x --++≥恒成立，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，利用最小值大于等于0求解参数取值范围. 【详解】（1）1a =时()()2112xf x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e =+-+=+-'，若()0f x ¢³，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x ¢<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-. （2）由题意得()2202xaf x e -++≥恒成立，即()()222202xa x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222xa h x x e x x =--++，则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e +'=.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数，①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥，从而()g x 在[)0,+∞上为增函数，所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->，∴在()0,+?上，存在0x 使得()00g x =，从而()h x 在(]00,x 上为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数，且()00F a =-<，()()10aaF a ae a a e =-=->，∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =，从而()g x 在()10,x 上为减函数，此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】此题考查导函数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，解决不等式的恒成立问题，求解参数，涉及转化与化归，分类讨论思想.21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤≤)，曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设l 与C 交于,D E 两点(异于原点)，求OD OE +的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=.（2）【解析】（1）展开曲线C 的方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==，从而得曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 【详解】（1）曲线C 可化为2240x x y -+=，即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=设()12,,,2D E ρθρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则124cos 4cos 2OD OE ρρθθπ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭4θπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为【点睛】本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题. 22．已知实数,a b 满足0,0a b >>且1a b +=. （1）证明：()()2222119a b a b --≥；（2≤【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）应用,a b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；（2）设t =1a b +=可得23t =+，利用基本不等式求得最大值，即可证明.【详解】（1）解法1： ()()2222911a b a b ---222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++-- ()3224851a a a a =-+- ()()22121a a a =--10,1,01b a a a =->∴<∴<<Q()()221210a a a ∴--≤从而可得()()2222119a b a b --≥；解法2：220,0,0a b a b >>∴>Q∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1a b +=Q 且0,0a b >>221111a b ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b a b +-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a=++59≥= 当且仅当12a b ==时取等号，得证；（2）设t =，则()()211t a b =++++1a b +=Q22130,0,24a b t a b ab +⎛⎫∴=+>>∴≤=⎪⎝⎭2336 t∴=+≤+=t ∴≤12a b==时等号成立，得证.【点睛】本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.。

2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2﹣2x ＞3}，则A ∩B ＝（） A ．{x |3＜x ≤5}B ．|x |﹣1≤x ≤5|C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．R【解答】解：由题意B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}，所以A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}，故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足i （3+z ）＝1+i ，则z 的虚部为（） A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．1【解答】解∵i （3+z ）＝1+i ，∴3+z =1+ii=1−i ， ∴z ＝﹣2﹣i ，∴复数z 的虚部为﹣1．故选：C ．3．（5分）已知函数f(x)={(x −1)3，x ≤1lnx ，x ＞1，若f （a ）＞f （b ），则下列不等关系正确的是（） A ．1a +1＜1b +1B ．√a 3＞√b 3C ．a 2＜abD ．ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）【解答】解：易知f （x ）在R 上单调递增，故a ＞b ．因为a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定，所以A ，C ，D 不一定正确；B 中√a 3＞√b 3正确．故选：B ．4．（5分）国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如图所示．则下列结论中错误的是（）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%【解答】解：从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13，所以A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，所以B 正确； 12个月的PMI 值的众数为49.4%，所以C 正确； 12个月的PMI 值的中位数为49.6%，所以D 错误．故选：D ．5．（5分）已知函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数g(x)=sin(2x +π4)的图象，则φ的最小值为（） A ．π4B ．3π8C ．π2D ．5π8【解答】解：把函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y ＝sin （2x +2φ−π4）的图象，即得到g(x)=sin(2x +π4)的图象， ∴2φ−π4=2k π+π4，k ∈Z ，∴φ的最小值为π4，故选：A ．6．（5分）已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列．若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（） A ．﹣10B ．﹣14C ．﹣18D ．﹣20【解答】解：根据题意，可知{a n }为等差数列，公差d ＝2．由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得(a 1+4)2=a 1（a 1+6），解得a 1＝8．所以S n ＝﹣8n +n(n−1)2×2=(n −92)2−814．根据单调性，可知当n ＝4或5时，S n 取到最小值，最小值为﹣20．故选：D ．7．（5分）已知cos （2019π+α）=−√23，则sin （π2−2α）＝（）A ．79B ．59C ．−59D ．−79【解答】解：由cos （2019π+α）=−√23，可得cos （π+α）=−√23，∴cos α=√23，∴sin （π2−2α）＝cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×29−1=−59．故选：C ．8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（） A ．√5−1B ．√2C ．√3D ．√5【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，a ＞0，b ＞0的右顶点为A （a ，0），右焦点为F（c ，0），M 所在直线为x ＝a ，不妨设M （a ，b ）， ∴MF 的中点坐标为（a+c 2，b2）．代入方程可得(a+c 2)2a −(b 2)2b =1，∴(a+c)24a 2=54，∴e 2+2e ﹣4＝0，∴e =√5−1（负值舍去）．故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A ．S ＞﹣1？B ．S ＜0？C ．S ＜﹣1？D ．S ＞0？【解答】解：i ＝1，S ＝1．运行第一次，S ＝1+lg 13=1﹣lg 3＞0，i ＝3，不成立；运行第二次，S ＝1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5＞0，i ＝5，不成立；运行第三次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7＞0，i ＝7，不成立；运行第四次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9＞0，i ＝9，不成立；运行第五次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11＜0，i ＝11，成立，输出i 的值为11，结束，故选：B ．10．（5分）过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|AB|+1|CD|=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +p2，联立方程{y =kx +p2x 2=2py ，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x1+x2＝2pk，∴y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，由抛物线的性质可知：|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为：−1 k，∴|CD|＝2p（−1k）2+2p=2pk2+2p=2p+2pk2k2，∴1|AB|+1|CD|=12pk2+2p+k22p+2pk2=k2+12p+2pk2=14，∴2p+2pk2＝4+4k2，∴p＝2，∴抛物线方程为：x2＝4y，准线方程为：y＝﹣1，设点P到准线y＝﹣1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示：∴|PF|+|PQ|的最小值为3，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣ax﹣1，以下结论正确的个数为（）①当a＝0时，函数f（x）的图象的对称中心为（0，﹣1）；②当a≥3时，函数f（x）在（﹣1，1）上为单调递减函数；③若函数f（x）在（﹣1，1）上不单调，则0＜a＜3；④当a＝12时，f（x）在[﹣4，5]上的最大值为15．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①幂函数y ＝x 3为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当a ＝0时，函数f （x ）＝x 3﹣1的图象的对称中心为（0，﹣1），即①正确．②由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ．当﹣1＜x ＜1时，3x 2＜3，又a ≥3，所以f '（x ）＜0在（﹣1，1）上恒成立，所以函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递减，即②正确． ③由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ，当a ≤0时，f '（x ）≥0，此时f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数，不合题意，故a ＞0．令f '（x ）＝0，解得x =±√3a3．因为f （x ）在（﹣1，1）上不单调，所以f '（x ）＝0在（﹣1，1）上有解，所以0＜√3a3＜1，解得0＜a ＜3，即③正确． ④令f '（x ）＝3x 2﹣12＝0，得x ＝±2．当x ∈[﹣4，5]时，f （x ）在[﹣4，﹣2]和[2，5]上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以f （x ）max ＝f （﹣2）或f （5），因为f （﹣2）＝15，f （5）＝64，所以最大值为64，即④错误．故选：C ．12．（5分）已知四棱锥E ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED ＝1，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（） A ．√26B ．13C ．√23D ．1【解答】解：如图所示，由题意可得：ED ⊥平面ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点C 即点D 到平面ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13．故选：B ．二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．（5分）已知向量a →=（1，1），|b →|=√3，（2a →+b →）•a →=2，则|a →−b →|＝ 3 ．【解答】解：由题意可得|a →|=√2，(2a →+b →)⋅a →=a →⋅b →+2a →2=a →⋅b →+4， ∴a →⋅b →+4=2，解得a →⋅b →=−2，∴|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=3．故答案为：3．14．（5分）为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为 2 ．【解答】解：根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了2场，故答案为：2．15．（5分）将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为 √3π ．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则√3−ℎ√3=r 2，解得h =√3−√32r ．故S 侧＝2πrh ＝2πr （√3−√3r ）=√3πr （2﹣r ）≤√3π(r+2−r )2=√3π．当r ＝1时，S 侧的最大值为√3π．故答案为：√3π．16．（5分）如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则2sinA+2sinB=4√103．【解答】解：由圆内接四边形的性质可得∠C ＝π﹣∠A ，∠D ＝π﹣∠B ．连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ．在△BCD 中，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos C ，所以，AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ＝BC 2+CD 2+2BC •CD cos A ，cos A =AB 2+AD 2−BC 2−CD 22(AB⋅AD+BC⋅CD)=62+52−32−422(6×5+3×4)=37，所以sin A =√1−cos 2A =√1−(37)2=2√107，连接AC ，同理可得cos B =AB 2+BC 2−AD 2−CD 22(AB⋅BC+AD⋅CD)=62+32−52−422(6×3+5×4)=119，所以sin B =√1−cos 2B =√1−(119)2=6√1019．所以2sinA+2sinB=2√10+6√10=4√103．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n }的各项都为正数，a 1＝2，且a n+1a n=2a n a n+1+1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝[lg （log 2a n ）]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1，求数列{b n }的前2020项和．【解答】解：（I ）由题意，且a n+1a n=2a n a n+1+1，即a n+12−a n +1a n ﹣2a n 2=0，整理，得（a n +1+a n ）（a n +1﹣2a n ）＝0． ∵数列{a n }的各项都为正数，∴a n +1﹣2a n ＝0，即a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n ．（Ⅱ）由（I ）知，b n ＝[lg （log 2a n ）]＝[lg （log 22n ）]＝[lgn ]，故b n ={0，1≤n ＜101，10≤n ＜1002，100≤n ＜10003，1000≤n ＜2020，n ∈N *．∴数列{b n }的前2020项的和为1×90+2×900+3×1021＝4953．18．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，CC 1＝2，△ABC ，△ACC 1，均为正三角形，E 为AB 的中点．（Ⅰ）证明：AC 1∥平面B 1CE ；（Ⅱ）求斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去三棱锥B 1﹣﹣CBE 后剩余部分的体积．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接BC 1，交B 1C 于点M ，连接ME ，则ME ∥AC 1．因为AC 1⊄平面B 1CE ，ME ⊂平面B 1CE ，所以AC 1∥平面B 1CE ．（Ⅱ）因为B 1C 1∥平面ABC ，所以点B 1到平面ABC 的距离等于点C 1到平面ABC 的距离．如图，设O 是AC 的中点，连接OC 1，OB ．因为△ACC 1为正三角形，所以OC 1⊥AC ，又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ∩平面A 1ACC 1＝AC ，所以OC 1⊥平面ABC ．所以点C 1到平面ABC 的距离OC 1=√3，故三棱锥B 1﹣BCE 的体积为VB 1−BCE=13S △BCE •OC 1=13×12×1×√3×√3=12，而斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC •OC 1=12AB •CE •OC 1=12×2×√3×√3=3，所以剩余部分的体积为3−12=52．19．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x （单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7 y56.577.58y 与x 可用回归方程y ^=b lgx +a ^（其中a ^，b ^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i ）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率；（ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t ＝lgx ，则t y ∑ 5i=1(t i −t)(y i −y)∑ 5i=1(t i −t)20.546.81.530.45线性回归直线y ^=b lgx +a ^中，b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ n i=1(t i −t)2，a ^=y −b t ．【解答】解（Ⅰ）根据题意，b=∑ni=1(t i−t)(y i−y)∑n i=1(t i−t)2=1.530.45=3.4，a=y−b t=6.8−3.4×0.54=4.964，∴y=3.4t+4.964．又t＝lgx，∴y=3.4lgx+4.964．∴x＝10时，y=3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320×40×16=2．设这两天分别为a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为1160×40×16=4，设这四天分别为A，B，C，D．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共15种．满足恰有1天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb），（Ca），（Cb），（Da），（Db）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率为P=8 15．（ⅱ）这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60×1320×40+100×1160×40+140×180×40+180×1320×40=125（箱）．20．（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为√3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A （a ，0），B （0，b ），四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，△MF 1F 2的面积取得最大值√3．所以{c =112×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）根据题意可知A （2，0），B （0，√3），k AB =−√32因为AB ∥CD ，设直线CD 的方程为y =−√32x +m ，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）由{x 24+y 23=1y =−√32x +m，消去y 可得6x 2﹣4√3mx +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=2√3m 3，即x 1=2√3m3−x 2．直线AD 的斜率k 1=y 1x 1−2=−√32x 1+m x 1−2，直线BC 的斜率k 2=−√32x 2+m−√3x 2，所以k 1k 2=−√32x 1+m x 1−2•−√32x 2+m−√3x 2，=34x 1x 2−√32m(x 1+x 2)+32x 1+m(m−√3)(x 1−2)x 2，=34x 1x 2−√32m⋅2√3m 3+32(2√3m 3−x 2)+m(m−√3)(x 1−2)x 2，=34x 1x 2−32x 2(x 1−2)x 2=34．故k 1k 2为定值．21．（12分）已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(x)=mx −√x +f(x)+t 有且仅有一个零点．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=ax ，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ax 0=1alnx 0=x 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√x +lnx +t （x ＞0），则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0，所以h （x ）至少有一个零点． h ′（x ）=1x 2x +m ＝m −116+（√x −14）2 ①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），所以1√x 1＞14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增．所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√x 1+lnx 1+t ＝（12√x 1−1x 1）x 1−√x 1+lnx 1+t =−√x12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4x +1x 1=4−√x14x 1＞0，所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点．综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ+8sin θ，P 是C 1上一动点，OP →=2OQ →，Q 的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M （0，1），直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα（t 为参数），直线l 与曲线C 2的交点为A ，B ，当|MA |+|MB |取最小值时，求直线l 的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有ρ=12ρ0＝2cos θ+4sin θ，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ+4sin θ，变形可得：ρ2＝2ρcos θ+4ρsin θ，故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x +4y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5；（Ⅱ）设点A ，B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|MA |＝t 1，|MB |＝t 2，设直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα，（t 为参数），代入C 2的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5中，整理得t 2﹣2（cos α+sin α）t ﹣3＝0．由根与系数的关系得t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1t 2＝﹣3，则|MA |+|MB |＝|t 1|+|t 2|＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα+sinα)2+12=√4sin2α+16≥2√3，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立，此时l 的普通方程为x +y ﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a ，b ，c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立．（Ⅰ）求证：a 2+b 2+c 2≥13；（Ⅱ）求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．【解答】证明：（Ⅰ）∵|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤|x ﹣1﹣x +2|＝1， ∴a +b +c ≥1．∵a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ac ， ∴2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，∴3a 2+3b 2+3c 2≥a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝（a +b +c ）2≥1， ∴a 2+b 2+c 2≥13．（Ⅱ）∵a 2+b 2≥2ab ，2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即a 2+b 2≥(a+b)22两边开平方得√a 2+b 2≥√22|a +b|=√22(a +b)，同理可得√b 2+c 2≥√22(b +c)，√c 2+a 2≥√22(c +a)，三式相加，得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．。

2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(文)试题解析

绝密★启用前2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==+>，则集合A B =U （）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1答案：A通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 解：对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-，从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 点评：本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题. 2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（）A ．24i +B ．22i -C ．D ．答案：C先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求.由题意可知3223iz i i+==-，从而2223,24,2425z i z i i z i =+∴+=+∴+=+=.故选：C. 点评：本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.8答案：A根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.25⨯+⨯+⨯+⨯.解：由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 点评：此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式. 4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（） A ．4 B ．2±C ．2D ．2-答案：C根据韦达定理，结合等比数列性质2486a a a =即可得解.∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ， ∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==，∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =.故选：C. 点评：此题考查等比数列性质，根据韦达定理得两根之积，结合等比数列性质求解指定项，易错点在于漏掉考虑符号. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<答案：D先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 解：Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<.本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要答案：B通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 解：当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．392B ．216C ．20D ．206答案：D在正方体中，根据三视图还原几何体，分别求解各表面的面积即可得解. 解：由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E -'，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=V .在AED '△中，22125AE ED ==+='，22AD '=，可计算AD '边上的高为3， ∴122362AED S '=⨯⨯=V ，从而可得该几何体的表面积为332634206++++⨯=+. 故选：D. 点评：此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，借助正方体还原几何体.8．如图，已知圆的半径为1，直线l 被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（）A ．1142π-B ．1132π- C ．113π- D ．114π-答案：A根据面积公式求解阴影部分面积，结合几何概型求解概率. 解：由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-， ∴所求事件概率为1114242πππ-=-. 故选：A. 点评：此题考查几何概型，利用面积关系求解概率，关键在于熟练掌握相关面积公式及求解方9．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（） A ．173B ．174C ．163D ．194答案：C由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值. 解：因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 点评：本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.10．如图，在ABC V 中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD于点M ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则FM =u u u u r（）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r rD ．241515a b +r r答案：A21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理由D ，M ，C 三点共线，可得()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，建立方程组求解．解：连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，由题意知()1133FE CB AB AC ==-u u u v u u u v u u u v u u u v ，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r. 同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-u u u u r v r ．故选：A. 点评：此题考查平面向量基本定理的应用，关键在于根据共线定理处理三点共线关系，建立等式求解参数．11．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°答案：C设直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合9A B x x =利用韦达定理即可求解直线斜率得到倾斜角. 解：p ⎛⎫联立2,22,p yk x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=， ∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =，∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B px x p p k+==+，∴23k =，3k =， ∴倾斜角为60°. 故选：C. 点评：此题考查直线与抛物线位置关系，根据交点坐标，结合韦达定理求解参数是解析几何中常用的处理办法.二、双空题12．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________. 答案：2 22.5根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 解：由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.2223+。

天一大联考高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题(2020年整理).pdf

f
( x1 ) − f ( x2 )
x2 − x1
0 ，a
=
f
1 4
，b
=
f
3 2
，c
=
f
t
+
1 t
，t
0 ，则 a ，b ，c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D．b a c
6．已知 m ，n ，l 是不同的直线，，是不同的平面，直线 m ，直线 n ， = l ，m ⊥ l ，
（Ⅰ）求 sin ADB 的值；（Ⅱ）求 DE 的长. 18．如图，多面体 ABCDE 中，CD ⊥ 平面 ABC ，AE∥CD ，F 为 BE 的中点，AB = BC = CA = AE = 2 ， CD = 1.
（Ⅰ）求证： DF∥ 平面 ABC ；（Ⅱ）求点 F 到平面 ABD 的距离.
19．已知椭圆
满足 xA = 9xB ，则直线 l 的倾斜角为（）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取 20 名学生参加秋收
劳动——掰玉米，现将这 20 名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行
x2 a2
+
y2 b2
=
A． 2 + 4i
B． 2 − 2i
C． 2 5

2020年整理天一大联考高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题.doc

高考全真模拟卷（三）数学（文科）注意事项1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3、请将选择题答案填在答题表中，非选择题用黑色签字笔答题.4、解答题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，第22题~23题为选考题，考生任选一道选考题作答.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22|2450A x x y x y =+-++=，{}|20B x x =>，则集合A B =（）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．()0,12．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（）A ．24i +B ．22i -C ．D ．3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.84．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（） A ．4B ．2±C ．2D ．2-5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，1x ，2x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，14a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t >，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，直线m α⊂，直线n β⊂，l αβ=，m l ⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．392B ．21C ．20D ．208．如图，已知圆的半径为1，直线l ，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（）A ．1142π- B ．1132π- C ．113π- D ．114π-9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（） A ．43x π=是()f x 的一条对称轴 B ．5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()f x 的图象向左平移3π个单位后，所得函数为奇函数 D ．()f x 在[],ππ-上为增函数10．已知实数a ，b 满足,R a b +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（） A ．173B ．174C ．163D ．19411．如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b - D ．241515a b + 12.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动——掰玉米，现将这20名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重（单位：千克），得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x = ；乙组的中位数为 .14．某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到A ，B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己分配地的是 .15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x 轴，则抛物线C 的方程为 . 16．已知函数()21sin 2f x x x ax =++，[)0,x ∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，ABC △为等边三角形，边长为3,D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（Ⅰ）求sin ADB ∠的值；（Ⅱ）求DE 的长.18．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，AE CD ∥，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ；（Ⅱ）求点F 到平面ABD 的距离.19．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的离心（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF △面积的最大值. 20．甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（Ⅰ）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（Ⅱ）若第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p . 21．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l 与C 交于D ，E 两点（异于原点），求OD OE +的最大值. 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足0a >，0b >且1a b +=. （Ⅰ）证明：()()2222119a b a b --≥；≤答案全透析高考全真模拟卷（三）答案速查思路点拨对于集合A：配方得()()22120x y-++=，1x∴=，2y=-，从而{}1A=.对于集合B：)120>，0x≥，20>，10>，解得1x>，()1,B∴=+∞，从而[)1,A B=+∞.奇思妙解对于集合B；取特殊值2x=，成立，从而A B中一定有2，故选B.2．C 考查目标本题考查复数的运算及共轭复数，考查运算能力.思路点拨由题意可知3223iz ii+==-，从而23z i=+，∴24z i i+=+，∴z i+== C.命题陷阱z i+易被看成绝对值，从而导致错选.另外，易疏忽共轭复数的运算.3．A 考查目标本题考查通过折线图计算平均数，考查数据处理能力.思路点拨由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=，故选A. 4．C 考查目标本题考查等比数列性质，考查运用知识解决问题的能力.思路点拨∵方程2840x x-+=的两根分别为4a，8a，∴484880,40,a aa a+=>⎧⎨=>⎩∴480,0.aa>⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a==，∴62a=±.又264a a q=>，∴62a=，故选C.命题陷阱考虑不周全，未在原数列中研究4a，6a，8a之间的关系，易选错.5．D 考查目标本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力.思路点拨∵函数()1f x+是偶函数，∴函数()1f x+的图象关于直线0x=对称，从而函数()f x的图象关于直线1x=对称.由()()1221f x f xx x-<-得()f x在()1,+∞上为增函数，1744a f f⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t>得12t t +≥，从而173142t t +>>>，∴17342f t f f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选D. 追本溯源本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．B 考查目标本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件、必要条件的判断，考查空间想象能力.思路点拨当n l ∥时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为m α⊂，l αβ=，m l ⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件，故选B.7．D 考查目标本题考查切割体的三视图，考查空间想象能力以及运算求解能力.思路点拨由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E '-，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=△.在AED '△中，AE ED '===AD '=可计算AD '∴12AED S '=⨯=△从而可得该几何体的表面积为3323420++⨯= D.追本溯源本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．A 考查目标本题考查几何概型，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-，故选A. 9．D 考查目标本题考查三角函数的图象，由部分图象求解析式，从而研究三角函数的相关性质，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨由题意得72233T πππ=-=，所以4T π=，从而212T πω==.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭关于43x π=对称，故43x π=是()f x 的一条对称轴，A 正确.从而2sin 3A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2πϕ<得6πϕ=-，所以()1sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又()302f =-，代入上式得3sin 62A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而3A =，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将53x π=-代入得0y =，故B 正确.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后，得到函数图象的解析式为13sin2y x =，为奇函数，故C 正确，易验证D 错误，故选D. 规律总结三角函数由部分图象求解析式，需关注零点、顶点、图象与y 轴交点，通过周期性求出ω，通过代入对称轴求出ϕ，然后通过与y 轴交点可求出A .10．C 考查目标本题考查基本不等式，考查转化与化归思想.思路点拨因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，所以()()()192824a b a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++()()()(9191281116101024324333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+++⨯=++⨯≥⨯+= ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即58a =，18b =时取等号，故选C.规律总结应用不等式性质中的基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．A 考查目标本题考查向量的线性运算，考查转化能力.思路点拨连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-，故选A. 追本溯源本题主要考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握.12．C 考查目标本题考查抛物线的几何性质（焦半径），考查运算求解能力.思路点拨思路1：由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=，∴22A B p x x p k+=+，24A B p x x =.又9A B x x =， ∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B p x x p p k+==+，∴23k =，k =60°. 思路2：设直线l 的倾斜解为θ，则1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，由抛物线定义可得2A px AF =-，2B p x BF =-，∵9A B x x =，∴922A p p x AF BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴91cos 21cos 2p p p p θθ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，消去p 得1cos 2θ=，∴60θ=︒，故选C. 规律总结抛物线性质中，常考查一些常见结论的应用，解决此类问题，要思考常见结论，另外，可用代入选项的方法进行检验.13．2，22.5 考查目标本题考查统计中数字特征：平均数、中位数，考查学生的运算能力. 思路点拨由题意，先计算甲组平均数101211232120353041472510x +++++++++==甲.因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 命题陷阱学生在计算中位数时，易忘记对数据排序，导致错误. 14．乙、丁考查目标本题考查逻辑推理能力.思路点拨四人知道的情况是：组织分配的名额、自己看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A 地，一个在B 地；又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙、丁.追本溯源本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力. 15．22y x =或26y x = 考查目标本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力.思路点拨过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y == ，从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 奇思妙解由题意知1,2p p ⎛+⎝或2p p ⎛- ⎝代入抛物线方程得3212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得1p =或3p =，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.16．[)1,-+∞ 考查目标本题考查三角函数与导数的综合问题，考查灵活应用导数处理恒成立问题的能力. 思路点拨由题意可知()cos f x x x a '=++，设()cos h x x x a =++，则()1sin 0h x x '=-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()01h a =+.（Ⅰ）当10a +≥，即1a ≥-时，()()00h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以()()00f x f ≥=恒成立；（Ⅱ）当10a +<，即1a <-时，令2x a =-，则()()22cos 20h a a -=+->.又()010h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=不合题意.综上，a 的取值范围为{}|1a a ≥-.规律总结近年来，考查恒成立问题处理的常见方法有两种：（1）导数零点分类法；（2）参变量分离法，均需利用导数求最值.17．考查目标本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力.思路点拨在ABD △中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值，从而在CDE △中，应用正弦定理，求出DE .参考答案（Ⅰ）由题意可知60A =︒，3AB =，2AD =，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，从而BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AB BD A θ=，即3sin θ=，得sin 14θ=. （Ⅱ）由题意知θ为锐角，所以cos θ==，而()1sin sin 30cos 2E θθθ=+︒=+=. 在CDE △中，由正弦原理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 30sin 5CD DE E ⨯⋅︒===. 规律总结解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正、余弦定理；（3）三角形有关公式. 18．考查目标本题考查常见的线面平行，以及点到平面的距离，考查逻辑思维能力和数形结合思想.思路点拨（Ⅰ）取AB 中点，借助中位线，实现平行，构造四边形.证明：四边形为平行四边形，从而说明线线平行，证明线面平行.（Ⅱ）应用F ABD D ABF V V --=等体积转化，从而求点到面的距离. 参考答案（Ⅰ）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点， ∴FG 为ABE △的中位线， ∴12FG AE ∥，而12CD AE ∥，∴FGCD 为平行四边形， ∴DF GC ∥，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵ABC △为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AEAB A =，∴GC ⊥平面ABE .由（Ⅰ）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=△，∴1ABF S =△. 在Rt BCD △中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =△，而DF CG ==，由F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅△△，即d = ∴点F 到平面ABD的距离是2. 规律总结线面平行的证明：（1）构建线线平行；（2）借助面面平行.构建平行的方法：中位线、平行四边形.点到平面的距离常用等体积转化法.19．考查目标本题考查椭圆的几何性质，以及直线与椭圆相交的问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.思路点拨（Ⅰ）通过已知条件建立a ，b ，c 之间的关系，求椭圆的方程.（Ⅱ）将2ABF △分割成两个同底的三角形，2ABF S △即可转化为1y 与2y 表示的式子，把直线与椭圆方程联立，构建二次方程，把2ABF △面积化为参数k 的表达式，应用二次函数可求得最值.参考答案（Ⅰ）由题意得22222131,42,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=， ∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140k y k +--=，∴12214y y k +=+，212214k y y k=-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=△==，令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t tk -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF △2=. 规律总结椭圆问题在高考中，以考查运算为主，运算量较大，在运算过程中，掌握运算技巧. 20．考查目标本题考查递推数列在概率统计中的应用，考查学生逻辑思维能力.思路点拨（Ⅰ）搞清两种状况，分别计算概率.（Ⅱ）由第n 次与第1n +次的关系，建立递推公式，构造特殊数列，求n p .参考答案由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有：()1,6，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （Ⅰ）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=. ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为：55717511212121728⨯⨯⨯=，∴甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=. （Ⅱ）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ； ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， ∴1111262n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵111110222p -=-=≠，∴1112162n n p p +-=-， ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列， ∴1111226n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭. 规律总结递推数列在概率统计中的应用，一般考查基本递推求通项，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些.21．考查目标本题考查利用导致求解函数的单调区间，以及处理恒成立条件下的求范围问题；考查掌握综合知识的能力与技巧.思路点拨（Ⅰ）1a =代入，求导，分解因式，从而求出单调区间.（Ⅱ）构造函数，求导，再求导.通过二阶导数值，指导一阶导数值，分类讨论最值符号，确定一阶导数的零点，近而指导原函数的取值，求参数的范围.参考答案（Ⅰ）1a =时()()2112xf x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e '=+-+=+-，若()0f x '≥，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x '<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-.（Ⅱ）由题意得()2202xaf x e -++≥恒成立，即()()222202xa x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222xa h x x e x x =--++，则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e '=+.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥，从而()g x 在[)0,+∞上为增函数，所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->， ∴在()0,+∞上，存在0x 使得()00g x =，从而()h x 在(]00,x 上为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数，且()00F a =-<，()()10a a F a ae a a e =-=->， ∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =，从而()g x 在()10,x 上为减函数，此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-. 规律总结高考对于导数问题的要求是会应用导数，解决函数的单调性问题，含有参数的问题，主要考查抓住参数分类讨论的关键，提高运算求解能力.22．考查目标本题考查三种方程间的转化以及极坐标方程的应用，考查转化与化归思想.思路点拨（Ⅰ）展开曲线C 的方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，从而得曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 参考答案（Ⅰ）曲线C 可化为2240x x y -+=，即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=.设()1,D ρθ，2,2E πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则124cos 4cos 24OD OE ππρρθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为规律总结三种方程间的相互转化是该类问题的考查对象，应用极坐标方程求最值问题也是常见方法，应要求学生必须掌握.考查目标本题考查不等式的证明，考查转化与化归思想.思路点拨应用a ，b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行做差比较.另外，可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明. 参考答案（Ⅰ）方法1：()()2222911a b a b --- 222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++-- ()3224851a a a a =-+-()()22121a a a =--.∵10b a =->，∴1a <，∴01a <<， ∴()()221210a a a --≤，从而可得()()2222119a b a b --≥. 方法2：∵0a >，0b >，∴220a b >， ∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵1a b +=且0a >，0b >， ∴221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a =++5≥ 9=.当且仅当12a b ==时取等号，得证.（Ⅱ）设t =()()211t a b =++++，∵1a b +=，∴23t =+0a >，0b >，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴2336t =++=，∴t ≤12a b ==时等号成立，得证. 规律总结不等式证明问题多与基本不等式有关，应用基本不等式证明应思考等号成立的条件.。