最新高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》精品教案精编版
高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计 (1)
《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容．本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，在此过程中蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务．二．学情分析从学生已有的认知基础来看，学生已经学习了空间中的平行关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.从学生能力来看，学生学习的困难主要有以下两个：1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．三．目标分析教学目标：1．通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能对它们进行简单的应用.2．通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用.3．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重难点：教学重点是直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．教学难点是对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．四．教学策略本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略.同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点.教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法:教学手段:教学流程：五．教学过程Ⅰ．创设情境生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？①如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等.②将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系.活动设计：学生举例,教师通过PPT，展示生活中一些线面垂直的例子，引导学生观察直线与平面垂直的情况.【设计意图】从实例到图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备.数学源于现实，从日常生活中碰到的的问题，引导学生对实际问题进行数学抽象，激发学生学习兴趣和求知欲，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.Ⅱ．观察归纳自主探究Array（1）直线与平面垂直的定义请同学们回忆一下圆锥的形成过程.我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直,记作：lα⊥,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线l与平面α垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.活动设计：多媒体演示：①圆锥的形成过程；②旗杆与它在地面上影子的位置变化.【设计意图】结合几何直观感知，学生就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直.问题3：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直? ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 【设计意图】在问题3中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：通过对概念的辨析,深化理解,同时得到线面垂直的一个性质. （2）直线与平面垂直的判定定理探究:准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题4：①如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕AD BC ⊥，翻折之后垂直关系，即AD CD ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？由此你能得到什么结论？定理：与此平面垂直.用符号语言表示为：【设计意图】引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性.由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理.因而在探索直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生动手实验，讨论交流、为便于b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα图1D CA B图2DBAααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,Cab\αmnAB C D αAA 'BB 'C 'DD '学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力.思考：如图，有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把 它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 练一练:1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由. 2.判断正误:如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( )Ⅲ．数学运用 深化认识例题: 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．证明：在平面α内作两条相交直线m ，n ． 因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为b ∥a 所以m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线， 所以α⊥b ．如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．练一练：1.如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.探究：如图，直四棱柱////ABCD A B C D -（侧棱与底 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么 条件时,///A CB D ⊥？AVBC K【设计意图】通过对例题和习题的探究，培养学生的正、逆向思维能力，强化学生灵活运用线面垂直的定义和判定定理进行线线垂直和线面垂直之间转化的能力. 同时，例题为我们提供了判定线面垂直的又一种方法. Ⅳ．回顾反思 拓展延伸课堂小结:线面垂直的定义线 线面垂直的判定定理作业布置：1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．（2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．2.如图，圆O 所在一平面为α，AB 是圆O 的直径，C 是 圆周上一点,且PA AC ⊥, PA AB ⊥,求证： （1）PA BC ⊥； （2）BC ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =．求证：VB AC ⊥．D'B'DBAM PABA C EF K V 线线垂直线面垂直如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．变式引申 如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，K 是AC 的中点．若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试判断直线EF 与平面VKB 的位置关系．【设计意图】小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一 方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训.六．板书设计。
高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定教案新人教A版必修2
∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO，∴ PB⊥AC.
点评： 欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直
.用
符号语言证明问题显得清晰、简洁 .
例 2 如图 9, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD所成的角 .
3
图9 活动： 先让学生思考或讨论后再回答， 经教师提示、 点拨， 对回答正确的学生及时表扬， 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路 . 解： 连接 BC1 交 B1C 于 点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥Ｂ1C1,A 1B1⊥Ｂ1B, 所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥Ｂ1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O为斜线 A1B在平面 A1B1CD内的射影， ∠BA1O为直线 A1B 与平面 A1B1CD所成的角 .
面内任意一条不过点 B 的直线 B′C′也是垂直的 .
思路 2. ( 事例导入 )
如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线， 那么这条直线是否与这个平面垂直？举例
说明 .
如图 1，直线 AC1 与直线 BD、EF、GH等无数条直线垂直， 但直线 AC1 与平面 ABCD不垂直 .
图1
（二）推进新课、新知探究、提出问题
0°. 如图 6，l 是平面 α 的
一条斜线， 点 O是斜足， A 是 l 上任意一点， AB 是 α 的垂线， 点 B 是垂足， 所以直线 OB（记
作 l ′）是 l 在 α 内的射影，∠ AOB（记作 θ ）是 l 与 α 所成的角 .
直线和平面所成的角是一个非常重要的概念， 在实际中有着广泛的应用， 如发射炮弹时，
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案精选
课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2一、教学目标1、知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解直线与平面垂直的定义，归纳直线与平面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
2、过程与方法：通过直线与平面垂直的定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
3、情态与价值：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
通过小组合作方式操作活动，培养学生的协作精神和实践意识。
二、教学重点与难点（1）教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理。
（2）教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。
三、教学方法与教学手段（1）教学方法：探究式教学法。
（2）教学手段：多媒体课件以及实物（三角板、三角形纸片）等辅助教学。
四、教学过程1、复习提问—导入课题问题思考：直线与平面有什么样的位置关系？答案：1.直线在平面内——有无数个公共点；2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；3.直线与平面平行——没有公共点。
今天我们就来学习直线与平面相交的最特殊的一种情形——直线与平面垂直。
2、直线与平面垂直定义的建构（1）走进生活—感知概念①（多媒体展示生活中线面垂直的实例图片）提出思考：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？l α（引导学生观察图片，寻找出其中线面垂直的位置关系。
（旗杆与地面、桥墩与地面）引导学生举出身边更多类似的例子。
如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等。
）②问题思考：如何定义一条直线与一个平面垂直?(2）观察归纳—形成概念思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ 多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
观察演示并思考：①如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC ，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？②旗杆AB 与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线g 的位置关系又是什么？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB 所在直线与过点B 的直线都垂直。
高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定全册精品教案 新人教A版必修2
第一课时直线与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2．过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法.3．情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.（二）教学重点、难点重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；（2）直线和平面所成的角.难点：直线与平面垂直判定定理的探究.关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？……师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.探索新知二、直线和平面垂直的判定1．试验如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直.师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD……师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.典例剖析例 1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.证明：在平面α内作两条相交直线m、n.因为直线a⊥α，根据直线师：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面α内任意直线m垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.与平面垂直的定义知 a ⊥m ，a ⊥n .又因为b ∥a ， 所以b ⊥m ，b ⊥n . 又因为,m n αα⊂⊂，m 、n 是两条相交直线，b ⊥α.过程.……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.探索新知二、直线和平面所成的角 如图，一条直线PA 和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.借助多媒体讲授，提高上课效率.典例剖析 例2 如图，在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.分析：找出直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，就可以求出A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.解：连结BC 1交B 1C 于点O ，连结A 1O .师：此题A 1是斜足，要求直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，关键在于过B 点作出（找到，面A 1B 1CD 的垂线，作出（找到）了面A 1B 1CD 的垂线，直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影就知道了，怎样过B 作平面A 1B 1CD的垂线呢？生：连结BC 1即可. 师：能证明吗？ 学生分析，教师板书，共点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1， A 1B 1⊥B 1B ，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为A 1B与平面A 1B 1CD 所成的角.在Rt △A 1BO 中，12A B a =，22BO a =， 所以112BO A B =， ∠BA 1O = 30°因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.同完成求解过程.随堂练习1．如图，在三棱锥V –ABC 中，VA = VC ，AB = BC ，求证：VB ⊥AC .2．过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC .（1）若PA = PB = PC ，∠C =90°，则点O 是AB 边的 心.（2）若PA = PB =PC ，则点O 是△ABC 的 心.（3）若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PB ⊥P A ，则点O 是△ABC 的 .心.3．两条直线和一个平面所学生独立完成 答案： 1．略2．（1）AB 边的中点；（2）点O 是△ABC 的外心；（3）点O 是△ABC 的垂心.3．不一定平行. 4．AC ⊥BD .巩固所学知识成的角相等，这两条直线一定平行吗？4．如图，直四棱柱A ′B ′C ′D ′ – ABCD （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么条件时，A ′C ⊥B ′D ′？归纳总结 1．直线和平面垂直的定义判定2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.3．线线垂直线面垂直学生归纳总结教师补充巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力.课后作业2.7 第一课时 习案学生独立完成强化知识 提升能力备选例题例1 如图，在空间四边形ABCD 中，AB = AD ，CB = CD ，M 为BD 中点，作AO ⊥MC ，交MC 于O ．求证：AO ⊥平面BCD ．【解析】连结AM∵AB = AD ，CB = CD ，M 为BD 中点． ∴BD ⊥AM ，BD ⊥CM ．又AM ∩CM = M ，∴BD ⊥平面ACM ． ∵AO 平面ACM ，∴BD ⊥AO ．又MC ⊥AO ，BD ∩MC = M ，∴AO ⊥平面貌BCD ． 【评析】本题为了证明AO ⊥平面BCD ，先证明≠了平面BCD 内的直线垂直于AO 所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．【解析】取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连AO ． 由已知正方体，易知EO ⊥ABC 1D 1，所以∠EAO 为所求． 在Rt △EOA 中，11122EO EF AD ===，AE =，sin ∠EAO = EO AE=．所以直线AE 与平面ABC 1D 1【评析】求直线和平面所成角的步骤： （1）作——作出斜线和平面所成的角；（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）（4）答．。
《直线与平面垂直的判定》教学设计
《直线与平面垂直的判定》教学设计一、教学内容分析本节课选自高中数学新人教版必修2A版第二章，“2.3.1直线与平面垂直的判定”第一课时.主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。
其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化,它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！本节课中，学生将按照“直观感知-操作确认-归纳总结"的认知过程展开学习，对大量图片、实例的观察感知，概括出线面垂直的定义;对实例、模型的分析猜想、折纸实验,发现线面垂直的判定定理.学生将在问题的驱动下,进行更主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生质疑思辨、创新的精神。
二、学生情况分析所教学生是石嘴山市光明中学理科普通班高二（17）班的学生，他们在数学的学习中，有一定的兴趣。
在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，在高中学习了直线、平面平行的判定定理,对空间概念建立有一定的基础.但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。
三、教学目标设计【设计意图】结合《课程标准》以及学生考虑到学生的接受能力、和课堂容量等情况,提出本节课的目标如下：1、通过直观感知、操作确认,归纳出线面垂直的判定定理；2、能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
这些目标的提出以知识为载体，在训练中提升学生的能力，为学生的进一步发展做好基础。
【教学目标】1、通过对视频、图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2、通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
(精心整理)直线与平面垂直的判定教案
《直线与平面垂直的判定》选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2第二章第三节一、教学目标1.知识与技能目标(1).掌握直线与平面垂直的定义(2).理解并掌握直线与平面垂直的判定定理(3).会判断一条直线与一个平面是否垂直(4).培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力2.过程与方法目标(1).加强学生空间与平面之间的转化意识，训练学生的思维灵活性(2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加3.情感态度价值观目标(1).培养学生的探索精神(2).加强学生对数学的学习兴趣二、重点难点1.教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理2.教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解三、课时安排本课共安排一课时四、教学用具多媒体、三角形纸片、三角板或直尺五、教学过程设计1.创设情境问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。
问题2：列举在日常生活中你见到的可以抽象成直线与平面相交的事例？寻找特殊的事例并引入课题。
设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。
2.提炼定义问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案
课题：直线与平面垂直的判定教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修21.教学目标根据本节地位和作用的重要性，结合高一年级学生的认知规律，我制定了以下的教学目标：☆知识目标:1.正确理解直线与平面垂直的定义。
2. 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理。
☆技能目标：1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，2.运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“转化”这一数学思想。
☆情感态度和价值观目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
2.教学重点、难点教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：概括直线与平面垂直的定义和判定定理时如何将直线和平面的垂直转化为直线与直线的垂直。
3.教学方法与手段本节课采用“引导—探究式”教学方法,教学过程中突出“问”、“动”两方面。
“问”—精心设计了一些问题，让学生在问题的带动下，概括出直线与平面垂直的定义，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用。
“动”—我设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心的探究活动。
首先课前安排学生收集有关“直线与平面垂直”的例子，其次在课堂上让学生操作折纸实验，让其在动的过程中对直观感知概念本质，并操作确认了判定定理。
课前准备：要求学生收集”直线和平面垂直”的例子及准备一块三角形纸片。
4.教学过程：①请同学们观察图片，说出高楼的侧教案说明这是一节数学教学的探讨课，教师对合理使用教材、改进教法、改变数学教学模式，促进学科素质教育做了一点尝试。
教师在本节课的处理上借助多媒体辅助教学，采用“引导—探究式”教学方法。
在整个教学过程中，遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律。
新人教版高中数学必修第二册《空间直线、平面的垂直》教案
空间直线、平面的垂直【第一课时】【教学目标】1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题【教学重难点】1．异面直线所成的角2．直线与平面垂直的定义3．直线与平面垂直的判定定理【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？二、基础知识1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°．[名师点拨]当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l ⊥α有关概念直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．三、合作探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCD EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心．求：（1）BE 与CG 所成的角；（2）FO 与BD 所成的角．【解】（1）如图，因为CG ∥BF ．所以∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与CG 所成的角，又在△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°．（2）连接FH ，因为HD ∥EA ，EA ∥FB ，所以HD ∥FB ，又HD ＝FB ，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF ∥BD ，所以∠HFO （或其补角）为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA ，AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，所以△AFH 为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°．1．[变条件]在本例正方体中，若P 是平面EFGH 的中心，其他条件不变，求OP 和CD 所成的角．解：连接EG ，HF ，则P 为HF 的中点，连接AF ，AH ，OP ∥AF ，又CD ∥AB ，所以∠BAF （或其补角）为异面直线OP 与CD 所成的角，由于△ABF 是等腰直角三角形，所以∠BAF ＝45°，故OP 与CD 所成的角为45°．2．[变条件]在本例正方体中，若M ，N 分别是BF ，CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39．2°，求AM 和BN 所成的角．解：连接MG ，因为BCGF 是正方形，所以BF═∥ CG ，因为M ，N 分别是BF ，CG 的中点，所以BM ═∥ NG ，所以四边形BNGM 是平行四边形，所以BN ∥MG ，所以∠AGM （或其补角）是异面直线AG 和BN 所成的角，∠AMG （或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．[规律方法]求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．直线与平面垂直的定义（1）直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（）A．平行．相交C．异面．垂直（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m．故l与m不可能平行．（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】（1）A（2）B[规律方法]对线面垂直定义的理解（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．（2）由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b．直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC．又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF．（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ，所以BD ⊥FH ．2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG ．证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ，所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG ．3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD ．证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥ 12CD ，又AE ═∥ 12CD ，所以GF ═∥ AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF ．因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD ．因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD ．（1）线线垂直和线面垂直的相互转化（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．【课堂检测】1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1．3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（）A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD．4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b 平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC 的补角，所以直线a，b所成的角为60°．答案：60°【第二课时】【教学目标】1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【教学重难点】1．直线与平面所成的角2．直线与平面垂直的性质【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？二、基础知识1．直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．2．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言Error!⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线名师点拨（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3．线面距与面面距（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．三、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3．于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2 3．[规律方法]线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN ⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】（1）如图，连接A1C1．因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1．因为四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1．又因为CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ．又因为A 1C ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥A 1C ．（2）如图，连接B 1A ，AD 1．因为B 1C 1═∥ AD ，所以四边形ADC 1B 1为平行四边形，所以C 1D ∥AB 1，因为MN ⊥C 1D ，所以MN ⊥AB 1．又因为MN ⊥B 1D 1，AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以MN ⊥平面AB 1D 1．由（1）知A 1C ⊥B 1D 1．同理可得A 1C ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1．所以A 1C ∥MN ． [规律方法]（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．（2）直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l ⊥α于A ，AP ⊥l ，则AP ⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．求点到平面的距离如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．【解】（1）证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（2）V ＝16AP ·AB ·AD ＝36AB ．由V ＝34，可得AB ＝32．作AH ⊥PB 于点H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝AP 2＋AB 2＝132，所以AH ＝AP ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313．[规律方法]从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．【课堂检测】1．若斜线段AB 是它在平面α内射影长的2倍，则AB 与平面α所成角的大小为（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析：选A ．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段与平面所成的角．又AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝OB AB ＝12，所以∠ABO ＝60°．2．已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中不正确的是（）A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BDD ．PA ⊥BD解析：选C ．PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥BD ，D 正确；Error!⇒BC ⊥平面PAB ⇒BC ⊥PB ．故A 正确；同理B 正确；C 不正确．3．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，则过M 且与直线AB 和B 1C 1都垂直的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条解析：选A ．显然DD 1是满足条件的一条，如果还有一条l 满足条件，则l ⊥B 1C 1，l ⊥AB ．又AB ∥C 1D 1，则l ⊥C 1D 1．又B 1C 1∩C 1D 1＝C 1，所以l ⊥平面B 1C 1D 1．同理DD 1⊥平面B 1C 1D 1，则l ∥DD 1．又l 与DD 1都过M ，这是不可能的，因此只有DD 1一条满足条件．4．如图，已知AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，AE ⊥BC 交BC 于点E ，D 是FG 的中点，AF ＝AG ，EF ＝EG ．求证：BC ∥FG ．证明：连接DE ．因为AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，所以AD ⊥平面ABC ．又BC ⊂平面ABC ，所以AD⊥BC．又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE．因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG．同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE．所以BC∥FG．【第三课时】【学习目标】1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【学习重难点】1．二面角2．平面与平面垂直的判定定理3．平面与平面垂直的性质定理【核心素养】1．直观想象、数学运算2．直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．二面角的定义是什么？2．如何表示二面角？3．二面角的平面角的定义是什么？4．二面角的范围是什么？5．面面垂直是怎样定义的？6．面面垂直的判定定理的内容是什么？7．面面垂直的性质定理的内容是什么？二、基础知识1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）图形和记法图形：记作：二面角αABβ或二面角αlβ或二面角PABQ或二面角PlQ．2．二面角的平面角（1）定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）图形、符号及范围图形：符号：Error!⇒∠AOB是二面角的平面角．范围：0°≤∠AOB≤180°．（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨（1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．3．平面与平面垂直（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．（2）判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直Error!⇒α⊥β名师点拨定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．4．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言Error!⇒a ⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线名师点拨对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．三、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成锐二面角A 1BD A 的正切值为（）A ．32B ．22C ．2D ．3（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定【解析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 的中点，因为A 1D ＝A 1B ，所以在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD ．又因为在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以∠A 1OA 为二面角A 1BD A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22．所以tan ∠A 1OA ＝122＝2．（2）反例：如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CD ，C 1D 1的中点，二面角D AA 1E 与二面角B 1AB C 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【答案】（1）C （2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB 为二面角αa β的平面角．方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角ABC D 的平面角．方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角αl β的平面角．[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD＝AC ＝a ．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．【证明】因为△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，所以取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD⊥CE ．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，所以AE ＝ AB 2－BE 2＝22a ．同理CE ＝22a ，在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ．由于AC 2＝AE 2＋CE 2，所以AE ⊥CE ，∠AEC 是二面角A BD C 的平面角，又因为∠AEC ＝90°，所以二面角A BD C 为直二面角，所以平面ABD ⊥平面BCD ．角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥P ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD 且四边形ABCD 是菱形．求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【证明】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．[规律方法]证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，因为AD ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ． [反思归纳]利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．垂直关系的综合问题如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】（1）如图，取EC 的中点F ，连接DF ．因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC ⊥BC ．同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ．又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ．（2）取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．[规律方法]垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：【课堂检测】1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．A．4B．3C．2 D．1解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，正确的是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．3．在三棱锥PABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角PABC的大小为Ｗ．解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角PABC的平面角．在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°．答案：60°4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β．其中正确的说法序号为Ｗ．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5．如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE．。
新人教A版必修2高中数学学案教案： 2.3.1直线与平面垂直的判定与性质
数学 2.3.1直线与平面垂直的判定与性质教案新人教A版必修2一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理；（2）掌握判定直线和平面垂直的方法；掌握直线和平面垂直的性质。
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情感态度与价值观：培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计（一）创设情景，揭示课题举例：旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系。
模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系。
（二）研探新知1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内α的任意一条直线都垂直。
记作：l ⊥α。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点P叫做垂足。
2、直线与平面垂直的判定：（1）探究：准备一块三角形纸片。
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。
①折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？（AD是BC边上的高）（2）思考：①有人说，折痕AD所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α，你同意他的说法吗？②如图，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么结论？（3）归纳结论：（直线与平面垂直的判定定理）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：ααα⊥⇒⊥⊥=⊂⊂l b l a l A b a b a ,,,,I 。
作用：由线线垂直得到线面垂直。
（线不在多，相交就行。
）强调：① 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；② 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案Teaching plan of high school mathematics compulsory course 2 "vertical judgment of straight line and plane"高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。
一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。
本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标（1）对空间几何体整体观察，认识空间图形;（2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;（3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;（4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
直线,平面垂直的判定及其性质 教案新人教
直线，平面垂直的判定及其性质教案（新人教必修2）§2.3.1直线与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值培养学生学会从"感性认识"到"理性认识"过程中获取新知。
二、教学重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如："旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系"，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从"感性认识"到"理性认识"过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用"平面化"的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
人教课标版高中数学必修二《直线和平面垂直的判定和性质(第1课时)》教案-新版
2.3 直线、平面垂直的判定和性质2.3.1直线和平面垂直的判定和性质（第1课时）一、教学目标（一）核心素养引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题最终要转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．（二）学习目标（1）直线和平面垂直的定义及相关概念．（2）直线和平面垂直的判定定理．（3）线线平行的性质定理．（三）学习重点（1）掌握直线和平面垂直的定义．（2）掌握直线和平面垂直的判定定理．（3）掌握线线平行的性质定理．（四）学习难点（1）线、面垂直定义的理解和判定定理的证明．（2）如何要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过某点的两条直线说明“任意”直线的问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第64页到第67页，填空：直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．判定定理：预习自测（1）下面说法正确的个数是（ ） ①直线l 与平面α内无数条直线都垂直，则l ⊥α．②若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．③若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B（2）已知直线a 、b 和平面α，,a b αα⊥⊆ ，则a b ．答案：⊥（3）在三棱锥P －ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O ．①若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．②若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心．答案：外；垂．解析：①如图1，连接OA 、OB 、OC 、OP ，在Rt △POA 、Rt △POB 和Rt △POC 中，P A ＝PC ＝PB ，所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心．②如图2，∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可求BD、AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间两条直线有哪几种位置关系？（三种：相交直线、平行直线、异面直线）（2）空间中经过一点和一条直线垂直的直线有几条？（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）（3）空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）2．问题探究探究一实例引领，认识直线和平面垂直的概念★●活动①归纳提炼概念（1）同学们，我们现在拿起我们的课本，把书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．所以我们说：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．（2）指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．（类比初中：在平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直）（3）说明直线和平面垂直的画法及表示．要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动② 逐步引导，证明定理引导学生写出已知条件和结论，并画出图形如下：已知：,,,,l m l n m n m n B αβ⊥⊥⊆⊆⋂=求证：l α⊥我们知道如何证明直线和平面垂直呢？需要根据直线和平面垂直的定义，即需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．如图：设g 是平面α内的任意一条直线，现在只要证明l ⊥g 就可以了．对于平面α内不经过点B 的直线，可以过点B 作它的平行直线，所以，我们先证明，l 、g 都经过点B 的情况．（学生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示）（1）l 、g 是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l 上点B 的两侧分别取点A 、A ′，使AB ＝A ′B ．（2）直线m 、n 和线段AA ′是什么关系？（m 、n 垂直平分AA ′）（3）从结论看，直线g 与线段AA ′应当有什么关系？（g 垂直平分AA ′）（4）怎样证明直线g垂直平分线段AA′？（只要g上一点E，有EA＝EA′）（5）过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC ＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？（利用全等三角形性质）（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）参看右图并作如下说明：（1）当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．（2）如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．（3）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（4）强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．（Ⅰ）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．（Ⅱ）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．【设计意图】通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点． 探究二 变例探究，灵活使用直线和平面垂直的判定定理．●活动① 互动交流，初步实践例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b （如下图）【知识点】直线和平面垂直的判定定理【解题过程】证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．【思路点拨】本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．【答案】见解题过程．●活动② 巩固基础，检查反馈例2 判断题：正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ）【知识点】直线和平面垂直的概念辨析【解题过程】(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：①平行；②异面．因此应打“×”．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，所以该命题应打“√”．(5)三条共点直线两两垂直，设为a 、b 、c 且a 、b 、c 共点于O ，∵a ⊥b ，a ⊥c ，b c O =I ，且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α，同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于由a 、b 确定的平面， ∴该命题应打“√”．【思路点拨】本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√例3 如图，在直三棱柱111C B A －ABC 中，2BC ＝2AC ＝AA 1，D 是棱1AA 的中点， D.B CD 1⊥（1）证明：11C B CD ⊥；（2）平面1CDB 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【知识点】直线和平面垂直的性质的应用．【数学思想】化归思想【解题过程】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D 为AA 1的中点，故DC =DC 1，又AA 1=2A 1C 1，可得,DC 21221CC DC =+ 所以CD ⊥DC 1，而CD ⊥B 1D ，D ＝D C ∩D B 11，所以CD ⊥平面B 1C 1D ，因为⊂11C B 平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1C 1．（2）由（1）知B 1C 1⊥CD ，且B 1C 1⊥C 1C ，则B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 设V 1是平面CDB 1上方部分的体积，V 2是平面CDB 1下方部分的体积， 则，梯形3113111112123313111111C B C B C B S V V C CDA C CDA B =⨯⨯=⨯⨯==-，总311121111C B CC BC AC V V C B A ABC =⨯⨯⨯==- ，总13111221-V C B V V V ===.1:121=V V 故【思路点拨】异面直线间垂直的证明可通过证明直线和平面垂直得证．【答案】（1）见解题过程；（2）1:1．活动③ 强化提升，灵活应用例4 如图所示，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA =SB =SC ．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BA =BC ，求证：BD ⊥面SAC ．【知识点】等腰三角形三线合一【解题过程】证明：(1)在等腰△SAC 中，D 为AC 中点，∴SD ⊥AC ．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵ED ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB ．又SE ⊥AB ，∴AB ⊥面SED ，∴AB ⊥SD ．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BA =BC ，∴SD ⊥AC ．又∵SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD ．∵SD AC D I ，∴BD ⊥面SAC ．【思路点拨】证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．【答案】见解题过程．例5 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：NH ⊥SB ．(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？【知识点】线线垂直，线面垂直．【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴AM ⊥BM ．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴SA ⊥MB ．∵AM SA A =I ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴BM ⊥AN ．∵AN ⊥SM 于N ，BM SM M =I ，∴AN ⊥平面SMB ．∵AH ⊥SB 于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴NH ⊥SB ．(2)由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ． ∵SB ⊥AH 且SB ⊥HN ，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴△SAB 、△SAM 均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴△BAM 、△BMS 均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴△ANS 、△ANM 、△ANH 均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴△SHA 、△BHA 、△SHN 、△BHN 均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，SA ⊥AM ，SA ⊥AB ，SA ⊥BM ．由BM ⊥平面SAM 知，BM ⊥AM ，BM ⊥SM ，BM ⊥AN ．由AN ⊥平面SMB 知，AN ⊥SM ，AN ⊥SB ，AN ⊥NH ．由SB ⊥平面ANH 知，SB ⊥AH ，SB ⊥HN ．综上，图中共有11对互相垂直的直线．【思路点拨】为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．【答案】（1）见解题过程；（2）4；（3）11；（4）11．同类训练 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．【知识点】线线垂直，线面垂直。
《直线与平面垂直的判定》教学设计
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直线与平面垂直相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用三角板和直尺制作一个垂直于地面的直线模型。
-举例：分析建筑设计中的垂直结构，如墙壁与地面、柱子与梁的垂直关系，让学生学会在实际问题中运用判定定理。
在教学过程中，教师应针对重点内容进行详细讲解和强调，通过举例、演示等方式帮助学生突破难点，确保学生能够透彻理解直线与平面垂直的判定方法及其在实际问题中的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
《直线与平面垂直的判定》核心素养目标：
1.培养学生的空间观念：通过直观演示、动手操作和合作交流，让学生掌握直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与平面垂直的定义及判定方法，提高对空间几何体的认识和理解，发展空间想象力。
2.培养学生的逻辑推理能力：在学习直线与平面垂直判定定理的过程中，引导学生运用逻辑推理方法，学会从特殊到一般、从具体到抽象的分析和解决问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直线与平面垂直的基本概念。直线与平面垂直是指直线与平面内的任意一条直线都垂直。这个概念在几何学中具有重要意义，它帮助我们更好地理解和分析空间几何体的结构。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以教室里的黑板为例，分析黑板与地面、墙壁与地面的垂直关系，展示直线与平面垂直在实际中的应用。
3.培养学生的数学建模能力：通过实际生活中的实例，让学生学会将实际问题抽象为数学模型，运用数学知识解决实际问题，提高数学应用意识。
高中数学必修2第一章 6.1《直线与平面垂直的判定》教学设计
《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教学内容课题：直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书北师大版《必修2》第一章第六节二．教学目标：⒈知识与技能：掌握直线与平面，并能进行简单应用。
⒉过程与方法：在合作探究中，逐步构建知识结构；通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，欣赏事物的能力，培养学生动手实践的能力。
⒊情感、态度与价值观：垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可以让学生感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生团队合作的精神。
4.数学思想：在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.三．教材分析：本节课是第六节“垂直关系”中“线面垂直”的第一课时，是立体几何的核心内容之一，在学生学习了平行关系之后，本节仍然以长方体为载体来学习，是对学生“直观感知，操作确认，归纳总结，初步运用”的认知过程的一个再强化。
四．学情分析：学生已经学习了直线和平面，平面和平面平行的判定及性质，学习了两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系，有了“通过观察，操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力，几何直观能力和推理论证能力。
五．教学的重点和难点：重点：线面垂直的定义，线面垂直的判定的定理难点：线线垂直于线面垂直的相互转化，应用六．教学准备多媒体课件：展示相关资料，图片，例题及习题。
学案：引导学生学习的资料，例题。
教具：学生实验需要，辅助展示相关情节。
观察我们教室及身边现有的物体，你能找出直线与平面“垂直”的例子吗？注：这里所有的“垂直”都是直观的，没有定义的。
然后通过“两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系”得出的直线也都垂直．师生活动：教师用实物演示三角板变化而移动的过程，引导学生得从线与线的垂直来定义线面垂直实际是把高维的问题转化为，判定下列说法的对错内的无数条直线都垂直，那么直线l和平面大胆引导学生去发现，敢于猜想b A l a l b ⎪⇒=⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭）和直线与平面垂直的定义相比八．板书设计教案说明一．数学本质、地位、作用分析：垂直关系式立几中的核心内容之一也是高考考查空间位置关系的重要方面，各种题型都有涉及，难度以简单，中档题为主，通常与其他问题综合考察，如角度、距离等。
高中数学必修2教案-8.示范教案(2.3.1 直线与平面垂直的判定)
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.三维目标1.探究直线与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力.3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.重点难点教学重点:直线与平面垂直的判定.教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.思路2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.如图1，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD 不垂直.图1推进新课新知探究提出问题①探究直线与平面垂直的定义和画法.②探究直线与平面垂直的判定定理.③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.⑤探究点到平面的距离.活动:问题①引导学生结合事例观察探究. 问题②引导学生结合事例实验探究. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生思考其合理性.问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离. 讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法： 教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下： 如图2，表示方法为：a ⊥α.图2 图3②如图3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕AD 与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？容易发现，当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的平面α垂直. 如图4.(1) (2)图4所以，当折痕AD 垂直平面内的一条直线时，折痕AD 与平面α不垂直，当折痕AD 垂直平面内的两条直线时，折痕AD 与平面α垂直. ③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂P b a bl a l b a ααl ⊥α.直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5,图5 图6④斜线在平面内的射影.斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线. 斜足：斜线和平面的交点.斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.如图6，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.应用示例思路1例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.图7证明：如图7,在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n=A.************变式训练如图8,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.图8证明：过P 作PO ⊥平面ABC 于O ，连接OA 、OB 、OC. ∵PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥BC.又∵PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAO. 又∵OA ⊂平面PAO ，∴BC ⊥OA.同理,可证AB ⊥OC.∴O 是△ABC 的垂心. ∴OB ⊥AC.可证PO ⊥AC. ∴AC ⊥平面PBO.又PB ⊂平面PBO ，∴PB ⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2 如图9,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.图9活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解：连接BC 1交B 1C 于点O ，连接A 1O. 设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1,A 1B 1⊥B 1B,所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1. 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD.所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角.在Rt △A 1BO 中,A 1B=a 2,BO=a 22,所以BO=B A 121,∠BA 1O=30°. 因此,直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.变式训练如图10，四面体A —BCD 的棱长都相等，Q 是AD 的中点，求CQ 与平面DBC 所成的角的正弦值.图10解：过A 作AO ⊥面BCD ，连接OD 、OB 、OC ，则可证O 是△BCD 的中心, 作QP ⊥OD,∵QP ∥AO,∴QP ⊥面BCD.连接CP ，则∠QCP 即为所求的角. 设四面体的棱长为a ，∵在正△ACD 中，Q 是AD 的中点,∴CQ=a 23. ∵QP ∥AO ，Q 是AD 的中点, ∴QP=a a a a AO 663621)33(212122=⨯=-=，得 sin ∠QCP=32=CQ QP . 点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线.思路2例 1 （2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DC=DD 1=2AD=2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC.(1)(1)求证：D 1C ⊥AC 1；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由. （1）证明：在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 连接C 1D ，如图11(2).(2)∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1.∴AD⊥D1C.∵AD、DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解：连接AD1、AE，如图11(3).(3)图11设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，需使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE,即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.变式训练如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心. 求证：A1O⊥平面GBD.图12证明：⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥AO A O A AO A BD BD AC BD A A 1111面平面 BD ⊥A 1O.又∵A 1O 2=A 1A 2+AO 2=a 2+(a 22)2=223a ,OG 2=OC 2+CG 2=(a 22)2+(2a )2=243a , A 1G 2=A 1C 12+C 1G 2=(2a)2+(2a )2=249a , ∴A 1O 2+OG 2=A 1G 2.∴A 1O ⊥OG.又BD∩OG=O,∴A 1O ⊥平面GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.例2 如图13，ABCD 为正方形，过A 作线段SA ⊥面ABCD ，又过A 作与SC 垂直的平面交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影.图13证明：∵⎭⎬⎫⊂⊥ABCD BC ABCD SA 平面平面 ⇒SA ⊥BC,又∵AB ⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC ⊥平面SAB.∴BC ⊥AE. ∵SC ⊥平面AHKE,∴SC ⊥AE. 又BC∩SC=C,∴AE ⊥平面SBC.∴AE ⊥SB,即E 为A 在SB 上的射影.同理可证,H 是点A 在SD 上的射影. 变式训练已知Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，两直角边AB 、AC 与α都斜交，点A 在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C 是钝角.证明：如图14，过A 作AD ⊥BC 于D ，连接A′D ，图14∵AA′⊥α，BC ⊂α，∴AA′⊥BC. ∴BC ⊥A′D. ∵tan ∠BAD=AD BD ＜tan ∠BA′D=D A BD '，tan ∠CAD=AD CD ＜tan ∠CA′D=DA CD'， ∴∠BAD ＜∠BA′D ，∠CAD ＜∠CA′D.∴∠BAC ＜∠BA′C ，即∠BA′C 是钝角. 知能训练如图15，已知a 、b 是两条相互垂直的异面直线，线段AB 与两异面直线a 、b 垂直且相交，线段AB 的长为定值m ，定长为n （n ＞m ）的线段PQ 的两个端点分别在a 、b 上移动，M 、N 分别是AB 、PQ 的中点.图15求证：（1）AB ⊥MN ； （2）MN 的长是定值.证明：(1)取PB 中点H,连接HN,则HN ∥b. 又∵AB ⊥b,∴AB ⊥HN. 同理,AB ⊥MH.∴AB ⊥平面MNH.∴AB ⊥MN. (2)∵⎭⎬⎫⊥⊥a b AB b ⇒b ⊥平面PAB.∴b ⊥PB.在Rt △PBQ 中,BQ 2=PQ 2-PB 2=n 2-PB 2, ① 在Rt △PBA 中,PA 2=PB 2-AB 2=PB 2-m 2, ② ①②两式相加PA 2+BQ 2=n 2-m 2,∵a ⊥b,∴∠MHN=90°. ∴MN=22222221)2()2(m n BQ PA NHMH -=+=+(定值). 拓展提升1.如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA 1=4,点D 是AB 的中点.图16（1）求证：AC ⊥BC 1;（2）求证：AC 1∥平面CDB 1；（1）证明：∵在△ABC 中,AC=3,AB=5,BC=4, ∴△ABC 为直角三角形.∴AC ⊥CB.又∵CC 1⊥面ABC,AC ⊂面ABC,∴AC ⊥CC 1.∴AC ⊥面BCC 1B 1.又BC 1⊂面BCC 1B 1,∴AC ⊥BC 1.（2）证明：连接B 1C 交BC 1于E ，则E 为BC 1的中点，连接DE,则在△ABC 1中,DE ∥AC 1. 又DE ⊂面CDB 1,则AC 1∥面B 1CD.课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.作业课本习题2.2 B组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题，因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及2007年高考题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。
人教版高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)
高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)《普通高中课程标准实验教科书—数学必修（二）》人教A版直线与平面垂直的判定姓名：单位：《直线与平面垂直的判定（第一课时）》教学设计一、内容和内容解析：本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（二）》第二章第三节：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念课.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法.因此学习这部分知识有着非常重要的意义.二、目标和目标解析：《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：① 在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；② 通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；③ 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节课的课程标准分解如下：（1）从认知角度进行分解：（2）从能力角度进行分解：根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：（1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并将其抽象出直线与平面垂直的概念；评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成探索.评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并用自己的语言描述定义内容.评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能.评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.三、教学问题诊断分析：1、学生已有基础：学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.2、学生面临的问题：高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维.认识到这点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程.因此我确定本节课的难点为：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.因此，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生以小组为单位进行合作，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在形成理解上的可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.四、教学策略分析：新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.五、课前准备：多媒体课件、三角形纸片（多种形状）、三角板、手电筒、彩色手环、笔（表直线）、纸（表平面）等.六、教学过程：验证跨栏的支架与地面是否垂直，七、教学设计说明：兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外，在整个教学过程中，“学生是学习的主体”这一理念，“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求.八、教学反思：本节课的设计从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体系及本节课教学重点的知识进行了较为系统的分析；对学生学习本节课的难点进行了深入思考，并精心设计了重点、难点知识的教学解释；评估了学生的知识理解水平等方面，以达到教学设计的科学、完整和精细，具有一定的可操作性和调控性.本节课树立理解数学、理解学生、理解教学的观念来设计课堂教学，本质与核心是“以学生的发展为本”，这是时代发展的要求.这就要求教师在教学设计中，不仅要看到所教的学科知识，而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用；不仅要研究学生的发展规律，思考学习与发展的关系，而且要研究学生是如何学习的；不仅要以适合学生认知特点的方式传《直线与平面垂直（第一课时）》教学设计授数学知识，而且要在教学过程中时刻体现思想性，从而在提高学生在知识水平的同时，提高他们的素质，丰富他们的精神世界.点评这堂课给人的感觉是充满青春的朝气，一气呵成，如沐春风。
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2020年高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》精品教案精编版《2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时）》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》人教A版必修21 教学目标（1）知识与技能：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义及判定定理，并能初步应用；（2）过程与方法：让学生应用Moodle（魔灯）网络教育平台亲身经历知识探究的过程，引导学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题，培养学生合情情推理能力、空间想象能力以及质疑思辨精神、创新的精神.（3）情感态度与价值观：让学生学会学习、学会探究和学会与人合作分享，并在学习科学文化知识的过程中获得审美教育.2 教学重点、难点（1）重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.（2）难点：①直观感知并概括出直线与平面垂直的定义；②操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步应用.3 教学方法与手段（1）教学方法：“启发式”与“实验探究式”相结合.（2）教学手段：Moodle（魔灯）网络教育平台、自制课件.4 课前准备（1）教具：三角板、计算机、投影仪.（2）学生自备学具：三角形纸片.5 教学过程5.1 直线与平面垂直定义的建构图A BCB’ C’ 5.1.1 直观感知在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行已研究过，接下来我们来研究直线与平面相交的一种特殊位置关系——垂直.问题1：举例说明在日常生活中以及学过的几何体中你见到的直线与平面垂直的情形有哪些？师生活动：引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，教室内直立的墙角线和地面的位置关系等，学生可根据生活经验来回答，并引导学生上网搜索相关图片进行赏析，并将有代表性的图片通过Moodle 平台上交，并让相应学生分析其中的图片，由此引出课题.5.1.2 理性归纳导入视频：优酷网视频------2008年北京奥运会开幕式节目“日晷击缶”（/v_show/id_XODA4NDEwMDQ=.html ）问题2：从视频中我们发现日晷上铁棒与其影子有着怎样的位置关系？随着影子的移动，铁棒与其影子所成的角度会发生改变吗?问题3：将书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？师生活动：学生相互讨论，并让一名学生代表上讲台展示相应的位置关系.问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义.（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB 与它在地面上的影子BC 的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB 与影子BC 所成的角度会发生改变吗?（2）旗杆AB 与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线B ′C ′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？师生活动：学生思考作答, 教师动态演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，然后指导学生打开平台上的Flash 动态演示材料自己动手操作，从而更深刻感悟直线与平面垂直的内涵，并让一个学生上讲台边操作边解说并给出结论，最后教师引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内任意一条直线都垂直.问题5：如图2，当旗杆AB 倾斜时，还能保证AB 与地面上的任一直线都垂直吗？师生活动：引导学生观察实例（如表示直线的笔与表示平面的桌面的位置关系）和几何模型（如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等），从中感知：只要平面外的直线不垂直于这个平面，平面内就有直线与平面外的这条直线不垂直.问题6：通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？记法与画法呢？师生活动：学生进入平台的聊天室作答，教师作出点评和必要补充.定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α互相垂直，记作： l ⊥α.直线l 叫做平面α的lD C B A图5 垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图3.5.1.3 辨析深化判断正误： 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直.师生活动：让学生应用平台进行投票（错误或正确），教师查看学生投票情况并利用三角板和笔借助幻灯机进行演示，将直角三角板的一条直角边AC 放在纸面上，再在纸面上放一根和AC 平行的笔EF 并平行移动，那么BC 始终和EF 垂直，但BC 不一定和纸面垂直（图4），从而让学生对定义中的“任一条直线”有进一步的认识.5.2 直线与平面垂直的判定定理的探究5.2.1 寻找依据问题7：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？师生活动：引导学生思考用定义作判断不方便的原因，然后回顾前面学过的公理2及其推论，再排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，引导学生进行折纸活动.5.2.2 实验确认实验：如图5，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）. B α A 图4C E F问题8：（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？师生活动：学生分成4组进行合作讨论。
在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因.当AD ⊥BC 时，引导学生继续进行折纸试验，如图6，固定BD ，并保持BD 与DC 紧贴桌面，让折纸的CAD 部分挠着AD 旋转，观察可知AD 始终与桌面垂直，最后让小组长进行总结性发言，教师引导学生根据直线与平面垂直的定义分析“垂直”的原因.问题9:当折痕AD ⊥BC 时，上述沿AD 的各种折法中，能使AD 始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生观察并讨论，师生共同分析折痕AD 是BC 边上的高的实质：AD 是BC 边上的高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，同时CD 、BD 是两相交直线不变，这就是说，当AD 垂直于桌面内的两条相交直线CD 、BD 时，它就垂直于桌面所在的平面.问题10：（1）如图7，把AD 、BD 、CD 抽象为直线l 、m 、n ,把桌面抽象为平面α，直线l 与平面α垂直的条件是什么？（2）如图8,若α内两条相交直线m 、n 与l 无公共点且l ⊥m 、l ⊥n ，直线l 还垂直平面α图9 师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充，让学生充分认识到判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的，然后让学生上进入平台聊天室给出直线与平面垂直的判定定理，并用图形与符号语言来表示定理.教师作出必要补充和完善.定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.用符号语言表示为：ααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l O n m n m ,,, 5.2.3 辨析深化判断正误： 如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面.师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件.5.3 初步应用（课本P65例1）如图9，已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α。
师生活动：引导学生先独立完成，并让其中一位学生借助幻灯机向全体同学展示证明过程.然后让学生进入平台聊天室用文字语言叙述命题“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”.然后通过引导让学生认识到如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果给出了直线和平面垂直的又一个判定方法.5.4 总结反思（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？（4）本节课后你还想探究什么？师生活动：本环节主要通过论坛进行在线讨论，在我给出以上四个主题后让学生集体跟贴，期间我主要是鼓励学生反思，大胆发表自己的见解，使学生在知识、能力、情感三个维度得到提高，并为下节课的教学提供改进方向.6 作业设计（1）书面必做：课本P67-1（2）探究：如图，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径， C 是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？（3）课后上网观看视频：土豆网视频“广州长隆垂直过山车”（/programs/view/jNyh5FT6D-0/），假设要你安装过山车的支柱，你该如何安装才能使其与地面《2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时）》教案说明C《普通高中课程标准实验教科书·数学》人教A版必修2 《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求是：通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的定义和判定定理；能运用直线与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.考虑到学生的接受能力和课堂容量，我在本节课的处理上作了相应调整，教法上将信息技术与学科教学整合，借助Moodle（魔灯）网络教育平台辅助教学，采用“启发式”与“实验探究式”相结合的教学方法.通过精心设计问题串，引导学生通过观察、分析、实验、讨论等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，使接受知识的过程变为自主探索的过程，从而达到以学生活动为主体，培养学生能力为中心，提高课堂教学质量为目标的效果.具体体现如下：1 借助Moodle（魔灯）网络教育平台辅助教学，引导学生进入平台聊天室采用聊天的形式得出直线与平面垂直的定义、判定定理；采用在线投票的形式做判断题，深化对知识点的认识；采用论坛讨论进行课堂总结反思，使每一位学生都有话说，都可以说，同时也培养了学生反思的好习惯和与人分享的品德.这样教师既可以随堂了解学生的掌握情况和思维情绪又可以在课后查阅学生的聊天记录，为课后辅导和教学进度提供了可靠的依据.2 直线与平面垂直的定义没有直接给出，而是在学生上网搜索相关图片进行赏析感知的基础上，借助动画演示和学生自主操作归纳得出，并通过辨析题深化对定义的理解。
这种立足于感性认识的归纳过程，既有助于对定义本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生的几何直观感知能力.3 线面垂直判定定理的探究环节，将课堂空间交由学生以分组合作的形式进行折纸试验，使接受知识过程变为自主探索过程，同时也进一步培养了学生的合情推理能力，让学生学会学习、学会探究和学会与人合作，使学生在知识、能力、情感三个维度得到提高.4 为达到分层教学的目的，设置了形式多样的作业，有贯穿整节课知识点的书面必做题、以培优为目的的开放性探究题、将知识升华为技能的课外实践题，力求使每一位学生都学有所得.垂直？。