2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案 北师大版必修1

2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案北师

大版必修1

一、教学目标：

1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；

2.让学生了解函数的零点与方程根的联系；

3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用；

4。培养学生动手操作的能力。

二、教学重点、难点

重点：零点的概念及存在性的判定；

难点：零点的确定。

三、复习引入

分析：考察函数f(x)= x2-x-6, 其

图像为抛物线容易看出，f(0)=-6<0,

f(4)>0,f(-4)>0

由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，

点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线

必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点

X1使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至

少有点X2,使得f( X2)=0,而方程至多有两

个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解

定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x

抽象概括

●y=f(x)的图像与x

●若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零

点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。

f(x)=0有实根（等价与y=f(x)）与x轴有交点（等价与）y=f(x)有零点

所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点

注意：1、这里所说“若f(a)f(b)<0,则在区间（a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出

了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解；

2、若f(a)f(b)<0,且y=f(x)在（a,b）内是单调的，那么，方程f(x)=0在（a,b）内

有唯一实数解；

3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；

4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)>0, f(4)> 0，f(-2) f(4) >0；

5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)<0但没有

零点。

四、知识应用

例2:已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么?

解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, 因为

f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/3<0, f(0)=30-(0)2 =-1>0,

所以f(-1) f(0) <0,在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解

练习：求函数f(x)=lnx+2x-6 有没有零点？

例3 判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于５，一个小于２。

解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有

f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1

f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1

又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在（５，＋∞）内有一个交点，在（ -∞,2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解，且一个大于５，一个小于２。

练习：关于x 的方程2x 2-3x+2m=0有两个实根均在[-1，1]内，求m 的取值范围。

五、课后作业

p133 第2,3题

2019-2020年高中数学 4.1.1 导数与函数的单调性教案 北师大选修1-1 教学过程：

【引 例】

1、 确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

解：22

43(2)1y x x x =-+=--，在上是减函数，在上是增函数。

问：1、为什么在上是减函数，在上是增函数？

2、研究函数的单调区间你有哪些方法？

（1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

（2） 利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义） 2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解

决不了？（产生认知冲突）

（2） （多媒体放映）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。

【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？

1、研究二次函数的图象；

（1） 学生自己画图研究探索。

（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？

（3） （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

（4） 提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？

（5） 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：

①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；

在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？ 都是反映函数随自变量的变化情况。