高中物理双基学法系列 第三十二讲 万有引力定律讲课讲稿

第三十二讲 万有引力定律基础知识学点一：万有引力定律1、内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力的大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，力的方向在两者的连线上。

2、数学表达式：221Rm m G F = （1）式中1m 、2m 分别是两个质点的质量；R 为两质点的距离。

（2）比列系数：2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-称为万有引力常量；万有引力常量是英国物理学家卡文迪许首先在实验室里用扭秤测量出的。

（3）G 在数值上等于：质量都是kg 1的物体，在相m 1时的相互作用力的大小等于N 111067.6-⨯。

3、万有引力定律的适用条件：（1）严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用，其万有引力221R m m G F =。

（2）两个质量分布均匀的球体间的相互作用也可以用万有引力定律的表达式来计算，其中应把R 理解为两个球心的距离。

（3）两个质量分布均匀的球体间的相互作用也可用本定律计算，其中r R L ++为两球体球心间的距离，其万有引力()2r R L Mm GF ++= （4）一个均匀球体和球外一个质点的万有引力也适用，其中R 为球心到质点间的距离。

（5）两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也近似使用，其中R 为M 2M 1两质点间的距离.（6）万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反.4、对万有引力的理解（1）普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体之间的相互作用力，它是自然界中物体之间的基本相互作用力。

（2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。

（3）客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭称来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才有宏观的物理意义。

（4）特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其它物体的存在无关。

5、万有引力定律建立的重要意义万有引力定律是17世纪自然科学最伟大的成果之一，他把地面上的物体运动规律和天体的运动规律统一起来，对以后物理学和天文学的发展具有深远的意义，而且第一次揭示了自然界中的一种相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。

基础知识二：万有引力定律的两个重要推论1、推论一、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到的万有引力的合力为零，即0=合F .2、推论二、在匀质球体内部距离球心处r ，质点m 受到的万有引力0F 就等于以半径为r ,质量为0M 的球体的引力200rm M GF = 基础知识学点三：卡文迪许实验1、实验过程（1）牛顿发现了万有引力定律后，没有给出万有引力恒量G 的数值，而用实验测定G 的值很不容易，因为一般物体间引力非常小，很难精确测定. 直到1798年，牛顿发现万有引力定律100多年以后，英国的卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较精确地测出了万有引力恒量的数值.（2）放大法测量弱作用力：实验装置如图所示，卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T 形架，倒挂在一根石英丝的下端. T形架水平杆的两端，各装一个质量为m 的小球，在T形架的竖直杆上装一块小平面镜M ，可以将射来的光线反射到一根刻度尺上. 实验时，把两个质量是m '的大球放在图中所示的位置，它们跟小球的距离相等，由于m 受m '的吸引，石英丝被扭转. 石英丝扭转的角度可以由小镜M 的反射光在刻度尺上移动的距离求出，根据扭转角度就可以算出m 与m '的引力F .（3）在实验过程中，为了排除气流对测量结果的影响，卡文迪许把扭秤装置放到密闭室内，用室外的望远镜进行观测.此实验证明了牛顿的万有引力定律是正确的，并且测出了万有引力恒量是2211-/10754.6kg m N ⋅⨯，与现代公认的G 等于2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-很接近。

2、相关知识：（1）物理意义：2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-这个数值等于两个质量各为kg 1的物体，相距m 1时的相互吸引力.（2）测定引力常量的理论公式：根据万有引力定律: 宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟距它们距离的平方成反比，跟它们的质量乘积成正比. 表达式为: 221R m m G F =. 可得到：212m m FR G =，单位：22/kg m N ⋅。

（3）引力常量测定的意义①卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在以及万有引力定律的正确性。

②第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量的计算，显示出真正的使用价值。

③标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。

基础知识学点四：重力、万有引力以及物体在地球上运动的规律1、重力和万有引力以及向心力的关系：研究位于地球表面的物体，设物体的质量为m ，地球的质量为M ，地球的半径为R ，物体随地球转动的角速度为ω。

（1）由于地球在不停地自转，地球上的一切物体都随地球自转而绕地轴做匀速圆周运动。

（2）地球表面的物体所受到的万有引力2R Mm G F =是地球表面的物体的重力mg G =和绕地球作圆周运动的向心力r m F 21ω=的合力。

反之也可以理解成地球表面所受到的万有引力2R Mm G F =可以分解成物体随地球自转做匀速圆周运动的向心力r m F 21ω=和所受到的重力mg G =。

（3）向心力和重力：①地球上物体随地球自转的而绕地轴做匀速圆周运动的向心力就是垂直指向地轴的的分力1F ，其大小为:r m F 21ω=，式中r 是物体距地轴的距离，ω是地球的自转角速度，这个向心力是引力的一个分力。

②引力2RMm G F =的另一个分力才是物体的重力（重量），所以说重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；地面上同一个物体的重力（重量），从赤道到两极是逐渐增大的。

（4）物体在一般位置（不在两极和赤道上）时，向心力为：r m F 21ω=，万有引力、向心力、重力这三个力不在同一直线上，如图所示。

（5）当物体位于赤道上时，r m R Mm G mg 22ω-=，R r =，向心力R m F 21ω=最大，重力最小。

（6）当物体位于两极时，由于0=r ，则向心力为零，重力最大，即：2R Mm Gmg =。

说明重力随纬度的增高而增大。

（7）黄金代换：①由于物体随地球自转的需要的向心力很小，所以重力随纬度的变化是很小的，物体随地球自转所需的向心力也远小于重力。

因此在中学物理范围内，常认为重力近似与万有引力相等，即2R Mm G mg =。

得到：GM gR =2，该式叫做黄金代换公式。

②在质量为0M ，半径为0R ，重力加速度为0g 的其它任何星球表面处重力都约等于万有引力，即：2000R m M G mg =，同样得到黄金代换公式：0200GM R g =。

在距离该星球表面一定高度h 处，具有：()2000h R m M G mg +=。

2、物体在赤道上失重的四个重要规律：地球在不停地自转，除两极之外，地球上的物体由于地球做匀速圆周运动，都处于失重状态，且赤道上的物体失重最多。

设地球为匀质球体，半径为R ，表面的引力加速度为g g ≈0，并不随地球自转变化.（1）物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随地球自转所需的向心力之差,由牛顿第二定律，有：R m F mg N 2ω=-所以，物体在赤道上的视重为mg R m mg F N <-=2ω（2）物体在赤道上的失重等于物体绕地轴转动所需的向心力R m R m mg mg F mg F N 22ωω=+-=-=向（3）物体在赤道上完全失重的条件设想地球自转的速度加快，使赤道上的物体刚处于完全失重的状态，即0=N F ，有：R m mg F N 20ω-=，则，R T m R v m mR ma mg 20202002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====πω， 所以，完全失重的临界条件是： s rad R g s m g a /8001,/8.9020≈===ω min 8450242,/9.700=≈===s gR T s km Rg v π 上述结果恰好是进地人造卫星的向心加速度，角速度，线速度和周期。

（4）地球不因自转而瓦解的最小密度地球以h T 24=的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即R T m mg 22⎪⎭⎫ ⎝⎛≥π。

根据万有引力定律，有R G R M Gg πρ342==； 所以，地球的密度应为32/9.183m kg GT=≥πρ 而地球平均密度公认值为30/5523m kg =ρ，相比之下，足以保证地球处于稳定状态。

基础知识学点五：重力加速度的基本计算方法设地球的质量为M ，地球的半径为R ，地球上的重力加速度为g 。

1、在地球表面附近()R h ≤处的重力加速度根据万有引力定律，有（忽略自转受到的向心力）： 222/8.9,s m RM G g R Mm G mg ===， 式中m R kg M 6241037.6,1089.5⨯=⨯=2、利用与地球平均密度的关系，得ρπρπR G R R G R M G g 3434232=== 3、在地球上空距离地心h R r +=处的重力加速度()2220,R M G g h R M G r M G g =+== 得到()g h R R g 220+=，说明重力加速度随高度的增高而减小。

4、在地球内部距离地心r 处的重力加速度0g 。

根据万有引力的推论二，可以得到R r g g =0 5、在质量为0M ，半径为0R 的任意天体表面上的重力加速度0g .根据万有引力定律，有002002020003434ρπρπR G R R G R M G g ===、ρπρπR G R R G R M G g 3434232=== 两式相比得到ρρR R R R M M g g 002000=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 基本技能学点一：万有引力定律与开普勒三定律的关系1、用牛顿的万有引力定律推导开普勒第三定律：行星绕太阳旋转，万有引力提供向心力，设太阳的质量为1m ，行星的质量为2m ，即有：22221ωR m R m m G F ==，T πω2=.222212⎪⎭⎫ ⎝⎛=T R m R m m G π. 推导得：k Gm T R ==21234π 通过上面的推导可以看出，在太阳系内研究太阳系内的行星运动，其半长轴的三次方跟它的运动周期的二次方的比是恒定不变的，它的大小决定于太阳质量。

推理可知各个人造地球卫星的半长轴的三次方跟它的运动周期的二次方也是恒定的，其大小决定于地球的质量。