极值点偏移问题2

极值点偏移问题（2）

——函数的选取（操作细节）

杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)

例4 已知函数()x f x e ax =-有两个不同的零点12,x x ，其极值点为0x ．

（1）求a 的取值范围；（2）求证：1202x x x +<；（3）求证：122x x +>；（4）求证：

121x x <．

解：（1）()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单增，()f x 至多有1个零点，舍去；故必有0a >，易得()f x 在(),ln a -∞上单减，在()ln ,a +∞上单增，要使()f x 有两个不同的零点，则有()ln 0f a a e <⇒>（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．

（2）由所证结论知这是()f x 的极值点偏移问题，选取函数()f x 来做．下面按对称化构造的三个步骤来写，其中0ln x a =．

①由（1）知()f x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞上单增，可设102x x x <<； ②构造函数()()()02F x f x f x x =--，则

()()()02022x x x F x f x f x x e e a -'''=+-=+-，

当0x x <时，有()20F x a '>-=，则()F x 在()0,x -∞上单增，得

()()00F x F x <=，即()()()002f x f x x x x <-<；

③将1x 代入②中不等式得()()()12012f x f x f x x =<-，又20x x >，0102x x x ->，

()f x 在()0,x +∞上单增，故2012x x x <-，1202x x x +<．

（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题．谁的极值点会是1

x =呢？回到题设条件：()0x x

x

e f x e ax e ax a x =-=⇒=⇒=，记函数()x

e g x x

=，则有

()()12g x g x a ==．求导得()()

2

1x e x g x x -'=

，则1x =是()g x 的极小值点，我们选取函

数()g x 来证（3）中结论122x x +>，也可证（4）中结论121x x <．

①()g x 在(),0-∞上单减，在()0,1上单减，在()1,+∞上单增；()g x 的符号与x 的符

号相同；当x →-∞时，()0g x →；当0x -→时，()g x →-∞；当0x +

→时，

()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞．()g x 的图象如下（由图象亦可得a e >），由()()12g x g x a ==可设1201x x <<<；

②构造函数()()()2G x g x g x =--，则

()()()()()()()()22222

2112122x x x x e x e x e e G x g x g x x x x x x --⎛⎫

--'''=+-=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

， 当01x <<时，10x -<，但因式()22

22x x

e e x x ---的符号不容易看出，引进辅助函数()2x

e x x

ϕ=，则()()3

2x e x x x ϕ-'=，得()x ϕ在()0,2上单减，当()0,1x ∈时，()21,2x -∈，即022x x <<-<，则()()2x x ϕϕ>-，即()

22

202x x

e e x x -->-，()0G x '<，得()G x 在()0,1上单减，有()()10G x G >=，即()()()201g x g x x >-<<；

③将1x 代入②中不等式得()()()1212g x g x g x =>-，又21x >，121x ->，()g x 在

()1,+∞上单增，故212x x >-，122x x +>．

（4）①同上；

②构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

，则 ()()()()1

12222

2

11111111x x x

x

x e xe e e x x G x g x g x x x x x x ⎛⎫

⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭'''=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫

⎪⎝⎭

，

当01x <<时，10x -<，但因式1x

x

e x e -的符号不容易看出，引进辅助函数

()1x

x x e x e ϕ=-，则()111x

x

x e e x ϕ⎛⎫

'=+- ⎪

⎝⎭

，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，

得()x ϕ在()0,1上单增，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上单增，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫

<<<

⎪⎝⎭

； ③将1x 代入②中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭

，又21x >，11

1x >，()g x 在()1,+∞上单增，故21

1

x x

<，121x x <．

点评：结论虽已证出，但判定因式()

22

22x x e e x x ---及1

x

x e xe -的正负时，均需辅助函数的介入，费了一番功夫．虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．

再次回到题设条件：

()()0,0ln ln ln ln x f x e ax a e x x a x x x a =⇒=>>⇒=+⇒-=，

记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再证（3）（4）两问．

（3）①()1

1h x x

'=-

，得()h x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增，有极小值()11h =；又当0x +

→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞．故()h x 的图象如下（由图象得ln 1a >，亦得a e >），由()()12ln h x h x a ==可设1201x x <<<．