全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 数列中的不等关系
高中数学讲义：数列中的不等关系
数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。
由于n N *Î ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+¥ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *Î得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。
比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。
4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。
也可以考虑相邻项比较。
在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。
进而把问题转化成为判断n a 的符号问题二、典型例题例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+=（1）求{}n a 的通项公式（2）设2n n n n c a l æö=-ç÷èø，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数l 的取值范围解：（1）()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=Þ=12121121411n n n n n n S S S S n n S S S S n n ----++\××××=×××-L L ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++\==×111S a ==Q ()()216n n n nS ++\=2n \³时，()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时，11a =符合上式()12n n n a +\=（2）思路：由（1）可得：221nn c n l æö=-ç÷+èø，由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对n N *"Î均成立，所以代入{}n c 通项公式得到关于,n l 的不等式4221n n l >-++，即只需max 4221n n l æö>-ç÷++èø，构造函数或者数列求出4221n n æö-ç÷++èø的最大值即可解：()2222112n nn n n n n c n n a n l l l æöç÷æöæö=-=-=-ç÷ç÷ç÷++èøç÷èøç÷èø{}n c Q 是递减数列n N *\"Î，1n nc c +<即+1222221n n n n l l æöæö-<-ç÷ç÷++èøèø424222121n n n n l l l Þ-<-Þ>-++++\ 只需max4221n n l æö>-ç÷++èø① 构造函数：设()()42121f x x x x =-³++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++(()()22221x x x x -+=-++所以()f x在(单调递增，在)¥单调递减()()111,233f f ==n N *\Î时，()()()max 1123f n f f ===即max 421213n n æö-=ç÷++èø13l \>②构造数列：设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++()14242462221121n n t t n n n n n n n n-æö\-=---=-+³ç÷+++++èø()()()()()()()()4162212421212n n n n n n n n n n n n n +-++++-==++++2n \>时，10n n t t --<，即1n n t t -<当2n =时，21t t =所以{}n t 的最大项为2113t t ==13l \>例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ìüíýîþ的前n 项和为n S ，若()2110n n mS S m Z +-£Î，对任意的n N *Î恒成立，则整数m 的最小值是（）A.5B.4C.3D.2思路：若2110n n m S S +-£恒成立，()21max 10n n m S S +-£，要找n S ，则需先确定n a 的通项公式得到1n a ：53453a a d -==-，所以()3443n a a n d n =+-=-，发现1143n a n =-无法直接求和，21n n S S +-很难变为简单的表达式，所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-，进而{}21n n S S +-单调递减，()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=，所以142810459m m ³Þ³，从而4m =答案：B例3：已知数列{}{},n n a b满足()12nb n a a a n N *×××=ÎL ，若{}na 为等比数列，且1322,6a b b ==+（1）求,n n a b （2）设()11n n nc n N a b *=-Î，记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求nS ② 求正整数k ，使得对于n N *"Î，均有k n S S ³解：（1）3263b b b +=Þ=612312a a a a a \=×38a \=23142a q q a \==Þ=或2q =-（舍）112n nn a a q -\==12122nb nn a a a +++\=×××=L L ()()122221n n n b n b n n +\=Þ=+（2）①()11111112121nnn n n c a b n n n n æöæöæö=-=-=--ç÷ç÷ç÷++èøèøèø21111111112222231nn S n n éùæöæöæö\=+++--+-++-êúç÷ç÷ç÷+èøèøèøêúëûL L 111221*********nn n n éùæö-êúç÷èøêúæöëû=-+=-ç÷++èø-② 思路：实质是求n S 取到最大值的项，考虑分析n S 的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。
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高三数学复习专题目录专题一、数列与不等式数列（1）数列（2）专题二、三角函数三角函数（1）三角函数（2）专题三、立体几何立体几何（1）立体几何（2）专题一、数列与不等式一.基础知识梳理数列：1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.了解递推公式是给出数列的一种方法，能据递推公式写出前几项，同时求出通项公式.4,理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项公式，并能解决简单实际问题.5.体会等差数列、等比数列与一次函数，指数函数，二次函数的关系.不等式：（必修部分）1.一元二次不等式^2+^ + c>0（cz>0）与相应的函数y = ax2+bx+c（a>0\相应的方程ax2+bx +c = 0（«〉。
）之间的关系2.一元二次不等式恒成立情况小结：J G >0 [a<0 ax2 + bx + c>0（a/0）恒成立 o。
，ax2 +bx + c <0（a/0）恒成立o。
3.二元一次不等式表示的平面区域：直线I: ax + by + c = 0把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线/上的点（x, y）的坐标满足ax +by+ c = 0（2）直线Z一侧的平面区域内的点（x, y）^^ax + by + oO（3）直线Z另一侧的平面区域内的点（x,y）满足ox + /<y + c<0所以，只需要在直线Z的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（将，光），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。
4.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题.其中，满足约束条件的解（x,y）称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解.5.基本不等式：⑴如果"eR,那么/+〃 2 2沥，（当且仅当“=。
数列中的不等问题
an-
2
1
< an 1
1
( 2) 考虑
2
xn - 1 x02 x12 = qn - 2 , 则 lim ( + + …+ n →∞ xn x1 x2
] an - 1 >
2
n
2
2
n + n- 1
1
a n . ∴ a n > an -
+ 1
n
1
n
2
xn - 1 1 - qn 1 ) = lim . 令 q ∈( 0 , 1 ) , 得 ≤ 4] n →∞ xn q ( 1 - q) q ( 1 - q) q=
n! .
3
竞赛园地
2+ 3 + …+ n , 试证 : x n + 1 n
中学数学教学参考 2002 年第 11 期
+ am ( m , n ∈R) , 求证 :对任意 n ≥m 均有 an ≤m a1 +
( n - 1) a m . m
xn <
导析 :引导学生构造数列 , 再进行适当放缩完成证 明.
n+1 < an < n . n+2
导析 :引导学生对不等式进行适当的放缩 , 再结合 恒等式 ( 2) . 1 易得 an > an - 1 > 0 , 又 an = an - 1 + 2 a2n - 1 < an - 1
n
+ xn - 1 ≥ 2 xn - 2 ,
x n- 3 x n- 2 x n- 1 x n- 3 + + ≥ + 2 xn xn - 2 xn - 1 xn xn - 2
2025年高考数学一轮复习-第二板块-数列-微专题(三)数列中的不等关系【课件】
(2)证明：由题意得，a2nn＝n＋2n 1，
则 Tn＝22＋232＋244＋…＋2nn＋n2＋n＋11， ②
由
①
－
②
，
得
1 2
Tn
＝
1
＋
1 22
＋
1 23
＋
1 24
＋
…
＋
1 2n
－
n＋1 2n＋1
＝
1 2
＋
1 2
×1＋12＋212＋213＋…＋2n1－1－n2＋n＋11
解：(1)因为当 n≥2 时，S2n＝anSn－an，所以 S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－(Sn－Sn－1)，整理
得 SnSn－1＝Sn－1－Sn，即S1n－Sn1－1＝1.
所以数列S1n是以S11＝a11＝2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以S1n＝n＋1，即 Sn＝n＋1 1.
(2)由(1)知，S2nn＝(n＋1)2n， 所以 Tn＝2×2＋3×22＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n
[关键点拨]
切入点
(1)由Sn与an的关系，即可求得数列{an}的通项公式； (2)利用错位相减法可求得{bn}的前n项和，再结合不等式关系， 求k的范围
障碍点
不会应用数列的单调性及n∈N*判断数列的最值
[解] (1)2Sn＝a2n＋an－2. ① 当 n＝1 时，代入①得 a1＝2； 当 n≥2 时，2Sn－1＝a2n－1＋an－1－2. ② ①－②得 2an＝a2n－a2n－1＋an－an－1，整理得 an＋an－1＝a2n－a2n－1＝(an－an－ 1)(an＋an－1)， 因为 an>0，所以 an－an－1＝1(n≥2)，所以数列{an}为等差数列，公差为 1， 所以 an＝n＋1.
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.：数列中不等关系问题的研究与拓展.docx
专题6.14：数列中不等关系问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=， 则872a a +的最小值为 54（2）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且 122012111a a a +++L =2，则201314a a -的最小值为___________. 27-解：111,1(1)n n n a a a a +>-=-可得111111---=+n n n a a a ，故由122012111a a a +++L =2，可化为2111120131=---a a ，则112013232a a a --=可转化为单元函数求最值问题【解】由递推关系得111111n n n a a a +-=--，累乘得1201311211a a -=--， 则120131321011a a a -=>--，得1312a <<， 所以()12013111111111741446322462a a a a a a a ⎡⎤--=+-=---+≥-⎢⎥--⎣⎦，当且仅当154a =时，等号成立． 变式1：等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，定义123n n a a a a ∏=L ，则 123,,∏∏∏L 中最大项是_______．变式2：设首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式21222ma nS a n n≥+对任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为______15解析：a 1＝0时，不等式恒成立，当a 1≠0时，λ≤a 2n a 21＋S2n n 2a 21，将a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －1d 2代入上式，并化简得：λ≤54⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1d a 1＋652＋15∴λ≤15，∴λmax ＝15. 探究2：（1）等比数列{}n a 的公比1q >，第17项的平方等于第24项，使得不等式1212111n na a a a a a +++>+++L L 恒成立的正整数n 的取值范围是__________（2）若*n c a n n N n=+∈（），且3n a a ≥，则实数c 的取值范围是_________．变式1：设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，*13,n n n a S n N +=+∈. （1）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若*1,n n a a n N +≥∈，求a 的取值范围．变式2：已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1， ()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）． （1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．拓展：（2014上海卷）已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n a *+∈=N ≤≤．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，若1133n n n S S S +≤≤，n *∈N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000k a a a +++=L ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差． 解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤． 所以x 的取值范围是[3， 6]．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤又+1133n n n a a a ≤≤，所以133q ≤≤． 当1q =时，n S n =，11n S n +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤ 成立． 当1q ≠时，13n n S S +≤即111311n nq q q q+--≤⋅--． ①若13q <≤，则()32n q q -≥由*,,n q q n ≥∈N 得()32q q -≥，所以12q <≤②若113q ≤<，则()32n q q -≤．由*,,n q q n ≤∈N 得()32q q -≤，所以113q ≤<综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）设数列12,,,k a a a L 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得()()1111+311,1,2,, 1.3n d nd n d n k +-≤≤+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 即()()232,1,2,, 1.212,n d n k n d ⎧-≥-⎪=-⎨+≥-⎪⎩L 当1n =时，223d -≤≤，当2,1n k =-L 时，由22,2123n n -->+-得2,21d n -≥+ 所以22.213d k -≥≥-- 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,,k a a a L 的公差为11999-． 【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、恒成立问题、分类讨论 探究3：（1）等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，1133130,0,a b a b a a =>=>≠且，则2255a b a b ____；____ (大小关系)变式：已知公差不为零的正项等差数列{a n }的前n 项和为n S ，正项等比数列{b n }的前n 项的和为n T ，若15530203015205,,a b a b S S T T ==--则_____（用不等号连接）（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈总有1(01n n S qa q q =+>≠，，*m k N ∈，，)m k ≠且． ① 求数列的{}n a 通项公式n a ； ② 试比较m k S +与221()2m k S S +的大小；③当1q >时，试比较2m k S +与2211m k S S +的大小． 拓展1：已知等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d >，前n 项和为n S ，设m ，n ，p ∈N *，且2m n p +=（1）求证：22n m p S S S +≥；（2）求证：2p n m S S S ≤⋅；（3）若10051S =,求证：2009112009i iS =>∑拓展2：首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,q 为非零常数,已知对任意正整数,n m ,m n m m n S S q S +=+总成立.（2）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若不等的正整数,,m k h 成等差数列，试比较m h m ha a ⋅与2kk a 的大小； （3）若不等的正整数,,m k h 成等比数列，试比较11m h m h a a ⋅与2k ka 的大小. （1）证:因为对任意正整数,n m ，m n m m n S S q S +=+总成立, 令1n m ==，得211S S qS =+,则21a qa =令1m =，得11n n S S qS +=+ (1) , 从而211n n S S qS ++=+ (2), (2)－(1)得：21n n a qa ++=,(1)n ≥综上得1n n a qa +=(1)n ≥,所以数列{}n a 是等比数列（2）正整数,,m k h 成等差数列，则2m h k +=,所以22221()22m h m h k +>+=, 则22222111mhmm mh hhk mh m hm h a a a qa q a q --+--⋅==① 当1q =时，221m h k km h ka a a a ⋅== ② 当1q >时，2222222122111()m h km h m hk kkk k km h k a a a qa q a q a +----⋅=>==③ 当01q <<时，2222222122111()mhkm h m hk kkk k km h k a a a qa q a q a +----⋅=<==（3）正整数,,m k h 成等比数列，则2m h k ⋅=,则112m h k+>=, 所以111111111121121111()()()m h m h mhm h m hm h mha a a a q a qa qq q +--+--⋅===，2221()k k k a a q q=① 当1a q =,即11a q=时，112mh k mh k a a a ⋅=22k k q a == ② 当1a q >,即11a q>时，111122211()()mh m h k mh a a a a q q q q +⋅=>2k k a =③ 当1a q <,即11a q<时，111122211()()mh m h k mh a a a a q q q q +⋅=<2k k a = 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
高考数学经典常考题型第55专题 数列中的不等关系
第55专题训练 数列中的不等关系一、基础知识:1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关,而要求的数列中的最值项,要依靠数列的单调性,所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性:(1)函数角度:从通项公式入手,将其视为关于n 的函数,然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。
由于n N *∈ ,所以如果需要用到导数,首先要构造一个与通项公式形式相同,但定义域为()0,+∞ 的函数,得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性(2)相邻项比较:在通项公式不便于直接分析单调性时,可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性,通常的手段就是作差(与0比较,从而转化为判断符号问题)或作商(与1比较,但要求是正项数列)3、用数列的眼光去看待有特征的一列数:在解数列题目时,不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列,实质上只要是有规律的一排数,都可以视为数列,都可以运用数列的知识来进行处理。
比如:含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S 等等。
4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S ,在判断其单调性时可以考虑从解析式出发,用函数的观点解决。
也可以考虑相邻项比较。
在相邻项比较的过程中可发现:1n n n a S S -=-,所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。
进而把问题转化成为判断n a 的符号问题二、典型例题例1:已知数列{}1,1n a a =,前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= (1)求{}n a 的通项公式 (2)设2n n n n c a λ⎛⎫=-⎪⎝⎭,若数列{}n c 是单调递减数列,求实数λ的取值范围 解:(1)()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=⇒=12121121411n n nn n n S S S S n n S S S S n n----++∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅- ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++∴==⋅ 111S a == ()()216n n n nS ++∴=2n ∴≥时,()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时,11a =符合上式()12n n n a +∴=(2)思路:由(1)可得:221nn c n λ⎛⎫=-⎪+⎝⎭,由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对n N *∀∈均成立,所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式4221n n λ>-++,即只需max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭,构造函数或者数列求出4221n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭的最大值即可 解:()2222112n nn n n n n c n n a n λλλ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭{}n c 是递减数列 n N *∴∀∈,1n n c c +<即+1222221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭424222121n n n n λλλ⇒-<-⇒>-++++ ∴ 只需max4221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭ ① 构造函数:设()()42121f x x x x =-≥++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++(()()22221x x x x -+=-++所以()f x在(单调递增,在)∞单调递减()()111,233f f == n N *∴∈时,()()()max 1123f n f f ===即max421213n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭ 13λ∴> ② 构造数列:设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++ ()14242462221121n n t t n n n n n n n n-⎛⎫∴-=---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()()()()()4162212421212n n n n n n nn n n n n n +-++++-==++++2n ∴>时,10n n t t --<,即1n n t t -<当2n =时,21t t =所以{}n t 的最大项为2113t t ==13λ∴>例2:已知等差数列{}n a 中,359,17a a ==,记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,若()2110n n mS S m Z +-≤∈,对任意的n N *∈恒成立,则整数m 的最小值是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路:若2110n n m S S +-≤恒成立,()21max 10n n m S S +-≤,要找n S ,则需先确定n a 的通项公式得到1na :53453a a d -==-,所以()3443n a a n d n =+-=-,发现1143n a n =-无法直接求和,21n n S S +-很难变为简单的表达式,所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列,通过相邻项比较寻找其单调性:()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-,进而{}21n n S S +-单调递减,()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=,所以142810459m m ≥⇒≥,从而4m = 答案:B例3:已知数列{}{},n n a b 满足(()12nb n a a a n N *⋅⋅⋅=∈,若{}na 为等比数列,且1322,6a b b ==+(1)求,n n a b (2)设()11n n nc n N a b *=-∈,记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S② 求正整数k,使得对于n N *∀∈,均有k n S S ≥ 解:(1)3263b b b +=⇒=612312a a a a a ∴=⋅38a∴= 23142a q q a ∴==⇒=或2q =-(舍) 112n n n a a q -∴== 12122nb nn a a a +++∴=⋅⋅⋅=()()122221n n n b n b n n +∴=⇒=+(2)① ()11111112121nnn n n c a b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111111*********1nn S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111221*********nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=- ⎪++⎝⎭-② 思路:实质是求n S 取到最大值的项,考虑分析n S 的单调性,从解析式上很难通过函数的单调性判断,从而考虑相邻项比较。
数列中的不等关系
数列中的不等关系一．知识梳理数列和不等式是高中数学的重点内容，也是高考的两大热点。
在综合复习阶段，既要分别复习好这两部分基本知识，又要注意它们的交汇点和相互渗透。
数列与不等式的交汇点常见有下列几种情形：1．数列与比较大小。
这里需要熟练掌握数列（等差，等比）的单调性和作差（商）比较。
2．数列与解不等式。
这里需要熟练掌握等差、等比数列的公式、性质和不等式（组）的解法。
3．数列与不等式证明。
这里需要熟练掌握等差（比）数列的公式、性质、数列通项、前n 项和求法及不等式证明的常用方法。
二、 训练反馈：1.已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N 都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数的取值范围是（ ）A (-,+∞) B (0, +∞) C (−2, +∞) D(−3, +∞)272.在数列{a n }中，若2a n =a n-1+a n+1 (n ∈N,n≥2 ),则下列各不等式中一定成立的是 （ ）A a 2a 4≤a 32B a 2a 4<a 32C a 2a 4≥a 32D a 2a 4>a 323. 已知数列{a n }的通项公式是a n =，其中a,b 均为正常数，那么a n 与a n+1的1+n nb a 大小关系是（ ）12+x A a n > a n+1 B a n < a n+1 C a n = a n+1 D 与n 的取值无关4．在等差数列{a n }中，a 10<0,a 11>0,且a 11>|a 10|。
则在S n 中最大的负数为（ ）A s 17B s 18C s 19Ds 205．在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则x=S n 2+S 2n 2,y=S n (S 2n +S 3n )的大小关系是（ ）A x > yB x = yC x < yD 不确定三、典型例题：例1．已知点A n (n,a n )为函数F 1: y=上的点，点B n (n,b n )为函数F 2:y=x 上的点,12+x 其中n ∈N +，设c n = a n -b n (n ∈N),试比较c n 与c n+1的大小例2．设正项等比数列{a n }，公比q>1，且a 172=a 24（1）求a 10的值（2）求使a 1+a 2+…+a n >+ +…+成立的n 的取值范围11a 21a na 1 例3．数列{x n }由下列条件确定：x 1= a>0,x n+1=,n ∈N ⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21（1）证明：对n ≥2，总有x n ≥a （2）证明：对n ≥2，总有x n ≥x n+1数列中的不等关系 巩固与练习1．已知a>0,b>0,a 、b 的等差中项是½，且,α = a+,β = b+，则α+β的最小值是a 1b1（ ）A 3B 4C 5D 62．已知为{a n }等差数列，{b n }为等比数列，其公比q≠1,且bi>0(i=1,2,…,n)，若a 1=b 1,a 11=b 11，则（ ）A a 6=b 6B a 6>b 6C a 6<b 6D a 6>b 6或 a 6<b 63．有四个命题：①一个等差数列{a n }中,若存在a k+1>a k >0(k ∈N),则对任意自然数n>k,都有a n >0;②一个等比数列{a n }中,若存在a k <0,则对于任意n ∈N 都有a n <0;③一个等差数列{a n }中, 若存在a k <0,a k+1<0(k ∈N),则对于任意n ∈N 都有a n <0;④一个等比数列{a n }中,若存在自然数k,使a k •a k+1<0,则对于任意n ∈N 都有a n •a n+1<0,其中正确的命题的序号是4.已知数列{a n }的通项为a n ,前前n 项和为S n ,且a n 是S n 与2的等差中项;数列{b n }中b 1=1,,点P(b n ,b n+1)在直线x–y+2 = 0上(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n (2)设{b n }的前项和为B n ,试比较++…+与2的大小11B 21B nB 1(3)设T n =++…,若T n <c (c ∈Z),求c 的最小值11b a 22b a nnb a 5.数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 是它的前项和 求证:<lgS n+12lg lg 2++n n S S参考答案：训练反馈：1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 典型例题：例1解：由题意得：a n = b n=1∴c n =a n -b―∵函数0，+∞）上单调减()f x =()f x =∴c n >c n+1评注：此题也可用作差、作商比较c n 与c n+1例2．解：(1) ∵a 172=a 24•a 10且a 172=a 24∴a 10=1(2) ∵等比数列{a n }的公比为q∴数列{}是公比为的等比数列n a 1q1又∵a 1+a 2+…+a n >+ +…+11a 21a na 1∴437216T =>2121111[1()](1)1(1)(1)111n n n q q q qa q a q a q -->⇒->---∴∴1211n qa -⋅>19211n qqa a -⋅>⋅ ∴1192n q n ->⇒> 例3．解：（1）证明：由x 1= a>0及x n+1=可知x n >0⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21∴x n+1=≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x a x 21nn x ax ⋅a ∴当n ≥2，x n ≥成立a （2）证明：n ≥2，x n ≥>0，x n+1=a ⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21 ∴x n+1- x n =- x n =≤0⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21x x nn a 221-⋅∴n ≥2时，x n ≥x n+1成立巩固与练习：1.C 2.B 3.①②④4.(1)a n =2n ,b n =2n-1(2)(3)2221211111111112231122(1)12nn n nB BB n+++=+++<++++⨯⨯=-<- 记1212nn na a aT b bb=+++ 则T 1=1/2, n ≥2时 ,231113212222n nn T +-=+= ∴2111111121()3222222n n n n n T T -+-=++++-⇒<∴又1,32n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭437216T => ∴ 满足条件T n <c 的最小整数c=35．分析：即证：S n •S n+2<S n+12按q=1和q ≠1分类讨论，证明。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
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第55炼 数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。
由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。
比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S 等等。
4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。
也可以考虑相邻项比较。
在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。
进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2nn n n c a λ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=⇒=12121121411n n nn n n S S S S n n S S S S n n----++∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅- ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++∴==⋅ 111S a == ()()216n n n nS ++∴=2n ∴≥时，()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时，11a =符合上式()12n n n a +∴=（2）思路：由（1）可得：221nn c n λ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，由已知{}n c 为单调递减数列可得1n nc c +<对n N *∀∈均成立，所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式4221n n λ>-++，即只需max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，构造函数或者数列求出4221n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭的最大值即可 解：()2222112n nn n n n n c n n a n λλλ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭{}n c 是递减数列 n N *∴∀∈，1n n c c +<即+1222221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭424222121n n n n λλλ⇒-<-⇒>-++++ ∴ 只需max4221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭ ① 构造函数：设()()42121f x x x x =-≥++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++(()()22221x x x x -+=-++所以()f x在(单调递增，在)∞单调递减()()111,233f f == n N *∴∈时，()()()max 1123f n f f ===即max421213n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭ 13λ∴> ② 构造数列：设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++ ()14242462221121n n t t n n n n n n n n-⎛⎫∴-=---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()()()()()4162212421212n n n n n n nn n n n n n +-++++-==++++2n ∴>时，10n n t t --<，即1n n t t -<当2n =时，21t t = 所以{}n t 的最大项为2113t t ==13λ∴>例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若()2110n n mS S m Z +-≤∈，对任意的n N *∈恒成立，则整数m 的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路：若2110n n m S S +-≤恒成立，()21max 10n n m S S +-≤，要找n S ，则需先确定n a 的通项公式得到1na ：53453a a d -==-，所以()3443n a a n d n =+-=-，发现1143n a n =-无法直接求和，21n n S S +-很难变为简单的表达式，所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-，进而{}21n n S S +-单调递减，()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=，所以142810459m m ≥⇒≥，从而4m =答案：B例3：已知数列{}{},n n a b满足(()12nb n a a a n N *⋅⋅⋅=∈，若{}na 为等比数列，且1322,6a b b ==+（1）求,n n a b （2）设()11n n nc n N a b *=-∈，记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S② 求正整数k ，使得对于n N *∀∈，均有k n S S ≥ 解：（1）3263b b b +=⇒=612312a a a a a ∴=⋅38a∴= 23142a q q a ∴==⇒=或2q=-（舍） 112n n n a a q -∴== 12122nb nn a a a +++∴=⋅⋅⋅=()()122221n n n b n b n n +∴=⇒=+（2）① ()11111112121nnn n n c a b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111111*********1nn S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111221*********nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=- ⎪++⎝⎭-② 思路：实质是求n S 取到最大值的项，考虑分析n S 的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。
对于n S 而言，{}n S 的增减受n c 符号的影响，所以将问题转化为判断n c 的符号。
()1121nn c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭可估计出当n 取得值较大时，n c 会由正项变为负项。
所以只要寻找到正负的分界点即可解：()()()111112112nn nn n c n n n n +⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭当4n ≤时，可验证()1102nn n +-≥，从而可得0n c ≥ 设()112n n n n d +=-，则()()()()()11112112222n nn n n n n n n n n d d +++++++--=-=-当5n ≥时，{}1n n n d d d +<⇒递减5556102n d d ⋅∴≤=-< 5n ∴≥时，0n c < ()4max n S S ∴= 4k ∴=时，均有4n S S ≥例4：已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()()12211n n nS n S n n +-+=+，数列{}n b 满足：2120n n n b b b ++-+=，35b =，其前9项和为63 （1）求,n n a b （2）令n n n n nb ac a b =+，记{}n c 的前n 项和为n T ，对n N *∀∈，均有[]2,n T n a b -∈，求b a -的最小值解：（1）()()111221112n n n n S S nS n S n n n n ++-+=+⇒-=+ n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差是12的等差数列()1111122n S S n n n +∴=+-=()12n n n S +∴=2n ∴≥时，()()11122n n n n n n na S S n -+-=-=-= 11a =符合上式 n a n ∴=2121202n n n n n n b b b b b b ++++-+=⇒+= {}n b ∴为等差数列设{}n b 前n 项和为n P 95963Pb ∴== 57b ∴= 35b =53153b b d -∴==- 2n b n ∴=+（2）思路：依题意可得：2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭，可求出1123212n T n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，从而1123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，若b a -最小，则,a b 应最接近2n T n -的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求113212n n ⎛⎫-+⎪++⎝⎭的范围，可分析其单调性。
()113212f n n n ⎛⎫=-+⎪++⎝⎭单调递增。
所以最小值为()413f =，而当n →+∞时，()3f n →，所以()f n 无限接近3，故2n T n -的取值范围为4,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭中的离散点，从而求出b a -的最小值 解：222211122222n n n n c n n n n n n ++-⎛⎫=+=++=+- ⎪+++⎝⎭111112213242n T n n n ⎛⎫∴=+-+-++- ⎪+⎝⎭1111122123221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭设()113212f n n n ⎛⎫=-+⎪++⎝⎭，可知()f n 递增()()413f n f ∴≥=，当n →∞时，()3f n → ()f n ∴4,33⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ []4,3,3a b ⎡⎫∴⊆⎪⎢⎣⎭若b a -最小，则4,33a b == ()min 53b a ∴-= 例5（2014，黄州区校级模拟）数列{}n a 的前n 项和24n n S =，数列{}n b 满足()132,n n b b n n n N *--=≥∈（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求证：当114b ≠时，数列{}n n b a -为等比数列 （3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若数列{}n T 中只有3T 最小，求1b 的取值范围解：（1）()()()22111212444n n n n n a S S n n --=-=-=-≥1114a S ==符合上式 ()1214n a n ∴=- （2）()1214n n n b a b n -=-- 考虑()()1111332123044n n n n b b n b n b n --⎡⎤⎡⎤-=⇔-----=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即()()1130n n n n b a b a -----= ()1113n n n n b a b a --∴-=- ∴ 数列{}n n b a -为等比数列（3）思路：由（2）可求得{}n b 通项公式()1111121434n n b b n -⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小1b 的取值范围。