10.2 法拉第电磁感应定律、自感和涡流

10.2 法拉第电磁感应定律、自感和涡流
概念梳理：
一、法拉第电磁感应定律 1． 感应电动势
(1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势．产生感应电动势的那部分导体相当于电源，导体的电阻相当于电源内阻．
(2)感应电流与感应电动势的关系：遵循闭合电路欧姆定律，即I ＝E
R ＋r .
2． 法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比． (2)公式：E ＝n ΔΦ
Δt
.
3． 导体切割磁感线的情形
(1)一般情况：运动速度v 和磁感线方向夹角为θ，则E ＝Bl v sin θ. (2)常用情况：运动速度v 和磁感线方向垂直，则E ＝Bl v .
(3)导体棒在磁场中转动：导体棒以端点为轴，在匀强磁场中垂直于磁感线方向匀速转动产生感应电动势E ＝Bl v ＝12Bl 2ω(平均速度等于中点位置线速度1
2lω)．
二、自感与涡流 1． 自感现象
(1)概念：由于线圈本身的电流变化而产生的电磁感应现象称为自感，由于自感而产生的感应电动势叫做自感电动势． (2)表达式：E ＝L ΔI
Δt
.
(3)自感系数L 的影响因素：与线圈的大小、形状、匝数以及是否有铁芯有关．其单位是亨利，符号是H. 2． 涡流
当线圈中的电流发生变化时，在它附近的任何导体中都会产生感应电流，这种电流像水中的旋涡，所以叫涡流．
考点一 法拉第电磁感应定律的应用
1． 感应电动势大小的决定因素
(1)感应电动势的大小由穿过闭合电路的磁通量的变化率ΔΦ
Δt
和线圈的匝数共同决定，而与磁
通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然联系．
(2)当ΔΦ仅由B 引起时，则E ＝n S ΔB Δt ；当ΔΦ仅由S 引起时，则E ＝n B ΔS
Δt
.
2．公式E ＝n ΔΦ
Δt 中，若Δt 取一段时间，则E 为Δt 时间内感应匀强电动势的平均值．当磁
通
量的变化率ΔΦ
Δt 随时间非线性变化时，平均感应电动势一般不等于初态电动势与末态电动势
的平均值．若Δt 趋近于零，则表示感应电动势的瞬时值．
3．磁通量的变化率ΔΦ
Δt
是Φ－t 图象上某点切线的斜率．
4．E ＝n ΔΦ
Δt
与E ＝Bl v 的区别
(1)研究对象不同：前者是一个回路(不一定闭合)，后者是一段直导线；
(2)适用范围不同：E ＝n ΔΦΔt ＝n B ΔS Δt ＝n S ΔB
Δt 适用于一切感应电动势的求解；而E ＝Bl v 只适用
于匀强磁场中导体棒l ⊥v 且v ⊥B 时感应电动势的求解； (3)意义不同：E ＝n ΔΦ
Δt 求解的是平均电动势；E ＝Bl v 可以求解平均电动势，也可以求解瞬时
电动势．
5．通过回路截面的电荷量q 仅与n 、ΔΦ和回路总电阻R 总有关，与时间长短无关．推导如
下：q ＝I Δt ＝n ΔΦΔtR 总·Δt ＝n ΔΦ
R 总.
6．应用法拉第电磁感应定律解题的一般步骤
(1)分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况； (2)利用楞次定律确定感应电流的方向；
(3)灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解．
【例1】如图甲所示，边长为L 、质量为m 、总电阻为R 的正方形导线框静置于光滑水平面 上，处于与水平面垂直的匀强磁场中，匀强磁场磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图乙所 示．求：
(1)在t ＝0到t ＝t 0时间内，通过导线框的感应电流大小；
(2)在t ＝t 0
2
时刻，ab 边所受磁场作用力大小；
(3)在t ＝0到t ＝t 0时间内，导线框中电流做的功． 甲 乙
【练习】如图(a)所示，一个电阻值为R 、匝数为n 的圆形金属线圈与阻值为2R 的电阻R 1 连接成闭合回路．线圈的半径为r 1, 在线圈中半径为r 2的圆形区域存在垂直于线圈平面向里 的匀强磁场，磁感应强度B 随时间t 变化的关系图线如图(b)所示．图线与横、纵轴的截距
分
别为t 0和B 0. 导线的电阻不计．求0至t 1时间内：
(a) (b) (1)通过电阻R 1上的电流大小和方向；
(2)通过电阻R 1上的电荷量q 及电阻R 1上产生的热量．
【例2】如图所示，长为L 的金属导线弯成一圆环，导线的两端接在电容为C 的平行板电容器上，P 、Q 为电容器的两个极板，磁场垂直于环面向里，磁感应强度以B ＝B 0＋Kt (K >0)随时间变化，t ＝0时，P 、Q 两极板电势相等．两极板间的距离远小于环的半径，则经时间t 电容器P 板( )
A ．不带电
B ．所带电荷量与t 成正比
C ．带正电，电荷量是KL 2C
4π
D ．带负电，电荷量是KL 2C
4π
【练习】如图甲所示，电路的左侧是一个电容为C 的电容器，电路的右侧是一个环形导体， 环形导体所围的面积为S .在环形导体中有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小随 时间变化的规律如图乙所示．则在0～t 0时间内电容器( )
A ．上极板带正电，所带电荷量为CS (
B 2－B 1)t 0
B ．上极板带正电，所带电荷量为
C (B 2－B 1)
t 0
C ．上极板带负电，所带电荷量为CS (B 2－B 1)
t 0
D ．上极板带负电，所带电荷量为C (B 2－B 1)
t 0
【例3】如图所示，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B 0.使该线框从静止开始绕过圆心O 、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与线框转动半周过程中同样
大小的电流，磁感应强度随时间的变化率ΔB
Δt 的大小应为( )
A.4ωB 0π
B.2ωB 0π
C.ωB 0π
D.ωB 02π
【练习】一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直．先保持线框的面积不变， 将磁感应强度在1 s 时间内均匀地增大到原来的两倍．接着保持增大后的磁感应强度不变， 在1 s 时间内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半．先后两个过程中，线框中感应电 动势的比值为( ) A.12
B ．1
C ．2
D ．4
【例4】如图所示，正方形线圈abcd 位于纸面内，边长为L ，匝数为N ，线圈内接有电阻值为R 的电阻，过ab 中点和cd 中点的连线OO ′恰好位于垂直纸面向里的匀强磁场的右边界上，磁场的磁感应强度为B .当线圈转过90°时，通过电阻R 的电荷量为 ( )
A.BL 2
2R B.NBL 2
2R C.BL 2
R
D.NBL 2R
【练习】如图，在匀强磁场中固定放置一根串接一电阻R 的直角形金属导轨aob (在纸面内),磁场方向垂直纸面朝里,另有两根金属导轨c 、d 分别平行于oa 、ob 放置。

保持导轨之间接触良好,金属导轨的电阻不计.现经历以下四个过程:①以速率v 移动d ，使它与ob 的距离增大一倍；②再以速率v 移动c ，使它与oa 的距离减小一半；③然后，再以速率2v 移动c ，使它回到原处；④最后以速率2v 移动d ，使它也回到原处。

设上述四个过程中通过电阻R 的电量的大小依次为q
1、q
2、q 3和q 4，则( ) A. q 1＝q 2＝q 3＝q 4 B. q 1＝q 2＝2q 3＝2q 4 C. 2q 1＝2q 2＝q 3＝q 4 D. q 1≠q 2＝q 3≠q 4
考点二导体切割磁感线产生感应电动势的计算
1．公式E＝Bl v的使用条件
(1)匀强磁场．
(2)B、l、v三者相互垂直．
(3)如不垂直，用公式E＝Bl v sin θ求解，θ为B与v方向间的夹角．
2．“瞬时性”的理解
若v为瞬时速度，则E为瞬时感应电动势．
若v为平均速度，则E为平均感应电动势，即E＝Bl v.
3．切割的“有效长度”
公式中的l为有效切割长度，即导体与v垂直的方向上的投影长度．下图中的有效长度分别为：
甲图：l＝cd sin β.
乙图：沿v1方向运动时，l＝MN；沿v2方向运动时，l＝0.
丙图：沿v1方向运动时，l＝2R；沿v2方向运动时，l＝0；沿v3方向运动时，l＝R. 4．“相对性”的理解
E＝Bl v中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动，应注意速度间的相对关系．【例1】在范围足够大，方向竖直向下的匀强磁场中，B＝0.2 T，有一水平放置的光滑框架，宽度为L＝0.4 m，如图所示，框架上放置一质量为0.05 kg、电阻为1 Ω的金属杆cd，框架电阻不计．若杆cd以恒定加速度a＝2 m/s2，由静止开始做匀变速运动，则：
(1)在5 s内平均感应电动势是多少？
(2)第5 s末，回路中的电流多大？
(3)第5 s末，作用在cd杆上的水平外力多大？
【练习】半径为a 、右端开小口的导体圆环和长为2a 的导体直杆，单位长度电阻均为R 0.圆环水平固定放置，整个内部区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .直杆在圆环上以速度v 平行于直径CD 向右做匀速直线运动，直杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O 开始，直杆的位置由θ确定，如图所示．则( )
A ．θ＝0时，直杆产生的电动势为2Ba v
B ．θ＝π
3
时，直杆产生的电动势为3Ba v
C ．θ＝0时，直杆受的安培力大小为2B 2a v
(π＋2)R 0
D ．θ＝π
3时，直杆受的安培力大小为3B 2a v (5π＋3)R 0
【例2】如图所示，等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场，它的底边在x 轴上且长为2L ，高为L .纸面内一边长为L 的正方形导线框沿x 轴正方向做匀速直线运动穿过匀强磁场区域，在t ＝0时刻恰好位于图中所示的位置．以顺时针方向为导线框中电流的正方向，下面四幅图中能够正确表示电流—位移(I －x )关系的是( )
【练习】如图所示，空间存在两个磁场，磁感应强度大小均为B ，方向相反且垂直纸面，MN 、PQ 为其边界，OO ′为其对称轴．一导线折成边长为L 的正方形闭合回路abcd ，回路在纸面内以恒定速度v 0向右运动，当运动到关于OO ′对称的位置时( )
A ．穿过回路的磁通量为零
B ．回路中感应电动势大小为BL v 0
C ．回路中感应电流的方向为顺时针方向
D ．回路中ab 边与cd 边所受安培力方向相同
考点三 自感现象的分析
1． 自感现象“阻碍”作用的理解
(1)流过线圈的电流增加时，线圈中产生的自感电动势与电流方向相反，阻碍电流的增加，使其缓慢地增加．
(2)流过线圈的电流减小时，线圈中产生的自感电动势与电流方向相同，阻碍电流的减小，使其缓慢地减小． 2． 自感现象的四大特点
(1)自感电动势总是阻碍导体中原电流的变化． (2)通过线圈中的电流不能发生突变，只能缓慢变化． (3)电流稳定时，自感线圈就相当于普通导体．
(4)线圈的自感系数越大，自感现象越明显，自感电动势只是延缓了过程的进行，但它不能使过程停止，更不能使过程反向． 3．通电自感和断电自感
通电自感
断电自感
电路图
器材 要求 A 1、A 2同规格，R ＝R L ，L 较大 L 很大(有铁芯)，R L ≪R A
现象
在开关S 闭合的瞬间，A 2灯立即亮起来，A 1灯较慢地亮起来，最终一样亮
在开关S 断开时，灯A 突然闪亮一下后再渐渐熄灭(当抽掉铁芯后，重做实验，断开开关S 时，会看到灯A 马上熄灭)
原因
开关闭合时，流过电感线圈的电流
迅速增大，使线圈产生自感电动势，
阻碍了电流的增大，所以流过A 1灯
的电流比流过A 2灯的电流增加得慢
断开开关S 时，流过线圈L 的电流减小，使线圈产生自感电动势，阻碍了电流的
减小，使电流继续存在一段时间；在S
断开后，通过L 的电流反向通过灯A ，
且由于R L ≪R A ，使得流过A 灯的电流在
开关断开的瞬间突然增大，从而使A 灯的发光功率突然变大
能量转
化情况
电能转化为磁场能 磁场能转化为电能
【注意】(1)通过自感线圈中的电流不能发生突变，即通电过程中，电流是逐渐变大，断电过程中，电流是逐渐变小，此时线圈可等效为“电源”，该“电源”与其他电路元件形成回路．(2)断电自感现象中灯泡是否“闪亮”问题的判断，在于对电流大小的分析，若断电后通过灯泡的电流比原来强，则灯泡先闪亮后再慢慢熄灭．
【例1】如图所示是研究自感通电实验的电路图，A 1、A 2是两个规格相同的小灯泡，闭合电键调节电阻R ，使两个灯泡的亮度相同，调节可变电阻R 1，使它们都正常发光，然后断开电键S.重新闭合电键S ，则( ) A ．闭合瞬间，A 1立刻变亮，A 2逐渐变亮
B．闭合瞬间，A2立刻变亮，A1逐渐变亮
C．稳定后，L和R两端电势差一定相同
D．稳定后，A1和A2两端电势差不相同
【练习】如图(a)、(b)所示的电路中，电阻R和自感线圈L的电阻值都很小，且小于灯A的电阻，接通S，使电路达到稳定，灯泡A发光，则()
A．在电路(a)中，断开S，A将渐渐变暗
B．在电路(a)中，断开S，A将先变得更亮，然后渐渐变暗
C．在电路(b)中，断开S，A将渐渐变暗
D．在电路(b)中，断开S，A将先变得更亮，然后渐渐变暗
【例2】如图所示的电路中，L为一个自感系数很大、直流电阻不计的线圈，D1、D2是两个完全相同的电灯，E是内阻不计的电源．t＝0时刻，闭合开关S，经过一段时间后，电路达到稳定，t1时刻断开开关S.I1、I2分别表示通过电灯D1和D2中的电流，规定图中箭头所示方向为电流正方向，以下各图中能定性描述电流I随时间t变化关系的是()
【练习】如图所示的电路中，电源的电动势为E，内阻为r，电感L的电阻不计，电阻R的阻值大于灯泡D的阻值．在t＝0时刻闭合开关S，经过一段时间后，在t＝t1时刻断开S.下列表示A、B两点间电压U AB随时间t变化的图象中，正确的是()
课后练习
一．选择题
1．关于电路中感应电动势的大小，下列说法中正确的是()
A．穿过电路的磁通量越大，感应电动势就越大
B．电路中磁通量的改变量越大，感应电动势就越大
C．电路中磁通量改变越快，感应电动势就越大
D．若电路中某时刻磁通量为零，则该时刻感应电流一定为零
2．如图所示，三个相同的金属圆环内存在着不同的有界匀强磁场，虚线表示环的某条直径，已知所有磁场的磁感应强度随时间变化关系都满足B＝kt，磁场方向如图所示．测得A环内感应电流强度为I，则B环和C环内感应电流强度分别为()
A ．I
B ＝I 、I
C ＝0 B ．I B ＝I 、I C ＝2I C ．I B ＝2I 、I C ＝2I
D ．I B ＝2I 、I C ＝0
3．一个由电阻均匀的导线绕制成的闭合线圈放在磁场中，
如图所示，线圈平面与磁场方向成60°角，磁感应强度随时间均匀变化，下列方法可使感应电流增加一倍的是( ) A ．把线圈匝数增加一倍
B ．把线圈面积增加一倍
C ．把线圈半径增加一倍
D ．改变线圈与磁场方向的夹角为另一定值
4．如图所示，两块水平放置的金属板距离为d ，用导线、开关K 与一个n 匝的线圈连接，线圈置于方向竖直向上的均匀变化的磁场B 中．两板间放一台小型压力传感器，压力传感器上表面绝缘，在其上表面静止放置一个质量为m 、电荷量为q 的带正电小球．K 没有闭合时传感器有示数，K 闭合时传感器示数变为原来的一半．则线圈中磁场B 的变化情况和磁通量变化率分别为( )
A ．正在增强，ΔΦΔt ＝mgd 2q
B ．正在增强，ΔΦΔt ＝mgd
2nq
C ．正在减弱，ΔΦΔt ＝mgd 2q
D ．正在减弱，ΔΦΔt ＝mgd
2nq
5．如图甲所示，一个电阻为R ，面积为S 的矩形导线框abcd ，水平放置在匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B ，方向与ad 边垂直并与线框平面成45°角，O 、O ′分别是ab 边和cd 边的中点．现将线框右半边ObcO ′绕OO ′逆时针旋转90°到图乙所示位置．在这一过程中，导线中通过的电荷量是( )
A ．
2BS 2R B ．2BS
R C ．BS
R
D ．0
6．[双]如图甲所示，在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的铜圆环，规定从上向下看，铜环中的感应电流I 沿顺时针方向为正方向，图乙表示铜环的感应电动势E 随时间t 变化的图象，则磁场B 随时间t 变化的图象可能是下图中的( )
7．如图所示，平行导轨间有一矩形的匀强磁场区域，细金属棒PQ 沿导轨从MN 处匀速运
动到M ′N ′的过程中，棒上感应电动势E 随时间t 变化的图示，可能正确的是( )
8．半径为r 带缺口的刚性金属圆环在纸面上固定放置，在圆环的缺口两端引出两根导线，分别与两块垂直于纸面固定放置的平行金属板连接，两板间距为d ，如图甲所示．有一变化的磁场垂直于纸面，规定向内为正，变化规律如图乙所示．在t ＝0时刻平板之间中心有一重力不计，电荷量为q 的静止微粒．则以下说法正确的是( )
A ．第2秒内上极板为正极
B ．第3秒内上极板为负极
C ．第2秒末微粒回到了原来位置
D ．第2秒末两极板之间的电场强度大小为0.2πr 2/d
二．计算题
1．如图所示，面积为0.2 m 2的100匝线圈A 处在磁场中，磁场方向垂直于线圈平面．磁感应强度随时间变化的规律是B ＝(6－0.2t ) T ，已知电路中的R 1＝4 Ω，R 2＝6 Ω，电容C ＝30 μF ，线圈A 的电阻不计，求：
(1)闭合S 后，通过R 2的电流大小及方向；
(2)闭合S 一段时间后，再断开S.S 断开后通过R 2的电荷量是多少？
2．如图所示，直角三角形导线框abc 固定在匀强磁场中，ab 是一段长为l 、电阻为R 的均匀导线，ac 和bc 的电阻可不计，ac 长度为l
2.磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．现
有一段长度为l 2、电阻为R
2的均匀导体杆MN 架在导线框上，开始时紧靠ac ，然后沿ab 方向
以恒定速度v 向b 端滑动，滑动中始终与ac 平行并与导线框架保持良好接触．当MN 滑过的距离为l
3时，导线ac 中的电流是多大？方向如何？。