数学归纳法课件ppt

猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对n 一 N ， 切 a n 都 (n 2 5 n 有 5 )2 1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。
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2.3 数学归纳法
课题引入
观
a2
察 12 ,{an a}3数 已 ,13 ,a 1列 知 a 1 4 ,an 14 1 , 1 an an,
猜想归纳通项:a公 n 式 n1
不完全归 纳法
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•（2k+1k)+(21k+2)
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
2)假设n = k式结论成立，即ak = a1 +(k -1)d
那么 k+1
k
∴ k+1
1
1
1
所以n=k+1时结论也成立
综合1）、2）知an = a1 +(n -1)d成立.
练习：已知数列{an}为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为an =a1qn-1 （提示：an =qan-1）
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
n＝k时
命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1
时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、
定理等加以证明
例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ） .
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2，
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 1 思考：你认为证明数列的通项公式 a n n 是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
例 ： 已 知 数 列 {an}为 等 差 ， 公 差 为 d, 证 明 ： 求证:通 项 公 式 为 an=a1+(n-1)d
源自文库
1 ） 当 n = 1 式 ， a 1= a 1+ ( 1 - 1 ) d = a 1 , 结 论 成 立
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学
家，他曾认为，当n∈N时，22n 一1 定都是
质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世
纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉 （Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝ 6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
作业:P108 A组 1(2) B组 3
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
观察 {an}数 已 , a 1列 知 1 ,an 11 an an,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。
请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、
定理等加以证明
例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。
② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1),
= （k+1)[1+(2k+1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12+22+32+ +n2=n(n+1)(2n+1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
n＝k时
命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1