探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解

牛 顿 法

——用导数方法求方程的近似解

一、思考问题

问题1：求方程x 3-1=0的解.

问题2：求方程x 3 +2x 2 +10x -20=0的解.

问题3：求方程x 3 +2x 2

+10x -20=0的近似解，

精确度为0.001.

二、形成方法

1. 点A 横坐标为x 0，函数f (x )在点A 处的

切线方程为： .

（写成点斜式方程，结果用f (x 0)、f’(x 0)表示）

问题4：可以求出x 1的值吗？如果可以，

请写出关于x 1的解析式，结果用f (x 0)、f’(x 0)表示.

问题5：是否可以把x 1作为零点r 的近似解？

2. 写出求x 2的解析式： .

3. 问题6：x n 与x n -1之间是否有关系？

4. 这种用 的方法求方程近似解即为 ，牛顿法公式： .

5. 问题7：x n 满足什么要求才可以作为近似解？

精确度公式： .

例1. 用牛顿法求方程x 3

+2x 2 +10x -20=0的近似解. 精确度z 0=0.001.

解：令f (x )= x 3+2x 2+10x -20，则f ’(x )=3x 2+4x +10x .

取x 0= ，

x n =x n -1-)(')(11--n n x f x f = x n -1-10

4)(32010)(2)(12112131++-++-----n n n n n x x x x x 所以：

第一步: x 1= ，0

011=x x x z - ；

A

第二步:

问题8：不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？

三、化繁为简

1. 算法步骤

第一步：给定初始值x 0和精确度z 0；

第二步：

第三步：

2. 程序框图

四、感悟方法

五、课堂小结

1. 通过这节课的学习，你有哪些收获？

2. 牛顿法步骤？

六、课后作业

1. 用牛顿法求方程x 3-3x -1=0在x =2附近的近似解，精确度z 0=0.01.

2. 求

25的近似值，精确度z 0=0.01.

七、课外延伸

查阅资料：求方程近似解的方法还有哪些？