用牛顿迭代法求方程的近似解教学设计

用牛顿迭代法求方程的近似解

一．内容与内容解析

本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代曲的思想，同时强化算法思想。本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。

教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。

二、目标和目标解析

1．复习和巩固用二分法求方程的近似解

二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。

2．探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解

牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。本节课的核心就是通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿迭代法的迭代原理，并能够通过图形计算器进行实际应用，提高了学生解决实际问题的能力。

3．培养学生利用图形计算器进行复杂计算和图形功能探究解决问题的能力。

培养探究精神一直以来都是数学课堂上的重要任务，但探究能力的培养，不是一朝一夕的功夫，需要学生能够有所依靠，图形计算器的配备和使用，使学生能够有充分的工具去施展，不再畏惧图形的不可知性和计算的繁琐复杂。有了直观的感知，才是探究的源泉，对于中学生而言，这是最为适合的学习模式，值得通过大量的问题和实践使学生充分掌握图形计算器的使用。

4．在数学学习的过程中需要很多知识的迁移，类比，本节课就是在充分利用二分法的思想和步骤进行类比的基础上，结合导数和切线的知识进行迁移，完成对牛顿迭代法的充分理解的，利用问题链进行导引，借助小组合作讨论的模式，发挥图形计算器的直观作用和计算能力，将本节课内容中的精华部分和难点部分逐一消化，使学生体会多样化学习模式的带来的学习乐趣。

5．让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。

学生在学习知识和方法的同时需要更多的人文关怀，学习数学不仅是学习如何计算和证明，更应该在对应的知识水平中了解数学发展中曾经出现过的著名例子和典故。这对于学生的榜样效果和激励作用是非常显著的。同时，数学又应用于实践，应用于其他学科中，在课堂上给学生以更多的实际例子，也会更强化学生数学有用的信念，提升其对数学学科的兴趣和学习动力。

三、教学问题诊断分析

本节课的教学对象是耀华中学实验班的学生，耀华中学是天津市的市直属重点中学，学生具备较强的学习能力和动手实践能力，较适于本课题的研究和学习，学生也对于这样的探究学习模式较为习惯和适应。学生在学习本节课之前已经学习过函数与方程中的二分法求方程近似解，而且学习过导数的概念和求解，能够运用导数研究函数的性质和求切线。学生有充分的探究意识和团队合作能力，图形计算器操作熟练，能够利用图形计算器画图和计算。在本节课的教学中，学生可能会在迭代法的探究过程中出现困难，主要体现在对逼近方式的认识，这点可以通过图形计算器的函数切线的动态演示帮助学生理解“以直代曲”思想，另一点困难可能是对迭代的理解上，这点可以通过类比二分法的算法特征加以理解。而且可以充分利用图形计算器的递推计算功能加以运算，从而促进学生对牛顿迭代法的理解。

教学难点：理解牛顿迭代法的逼近和迭代原理。

教学关键：理论推导和图形计算器验证有机结合。

四、教法分析

1.利用有历史背景的数学方程激发学生积极探索新知的欲望，鼓励学生积极动手实践，不断优化知识结构，在“实践、理论、再实践”的过程中完成对新知的探索和应用，培养学生的思维能力和应用意识。

2.以学生为中心，教师适当引导，积极创设合作学习的氛围，使学生获得提供“实践、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，更注重合作交流，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验. 使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养综合运用已有知识解决新问题的能力。

五、教学支持条件分析

本节课通过PPT演示的方式给学生介绍背景，引导问题，在复习巩固和小组讨论之后采用实物投影的方式将学生的讨论结果展示出来，同时结合演示图形计算器的计算功能和图形效果，帮助学生理解课题和进行运算。在课堂教学中，学生每人配备一个图形计算器，图形计算器的存在,能够帮助学生从图形角度思考问题,同时能够进行快速的计算和迭代,而且求出的正是近似解.这一切都是本课题所特别要求的.学生通过函数的零点与方程的根的关系,体会利用函数研究方程的便利性,同时利用图形计算器,能够方便地将函数图象表示出来;学生在求近似解的过程中,需要大量繁琐的计算,人工计算费时费力,而利用图形计算器,学生能够方便地快速求得高精度的解，是学生探究的有力工具。而数学研究在有了感性认识的基础上，能够逐层递进，有效归纳，达到易于研究和深入的目的。从这个角度来说，本课题是图形计算器的特定匹配课程，或者更确切地说，正因为有了图形计算器的存在，才有了本课题实践的可能性，也才有了学生动手钻研和理解课题的可能性。课题要求学生掌握图形计算器的画图功能，求零点功能，求函数的交点坐标的功能，直接解方程的功能，以及进行快速迭代计算的功能和数列递推的功能等，对学生的图形计算器使用的要求较高，综合性较强。

六、教学过程

（一）激发兴趣，引出问题