用牛顿迭代法求方程的近似解教学设计
使用“牛顿迭代法”求解方程
使⽤“⽜顿迭代法”求解⽅程使⽤⽜顿迭代法求解⽅程尽管通过因式分解和利⽤求根公式可以很⽅便的得出多项式⽅程的根，但⼤多数时候这个多项式的次数都很⾼，计算将变得⾮常复杂，因此，我们必须转向⼀些近似解法。
⽜顿迭代法是其中最好的⽅法之⼀。
从根本上说，⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根。
⾸先，要选择⼀个初始值x=x0，使得该初始值接近实根的值。
然后，迭代计算如下的公式：x i+1 = x i - f(x i) / f '(x i)直到x i+1达到⼀个满意的近似结果为⽌。
在这个公式中，f(x)是要求解的多项式⽅程，⽽f '(x)是f(x)的导数。
多项式求导多项式求导是微积分的基础，现在让我们来看看针对多项式求导的公式化描述。
要计算出多项式的求导结果，只需要对多项式的每⼀项套⽤如下两个公式：d/dx * k = 0, d/dx *kx r = krx r-1这⾥的k是为常数，r是有理数，x是未知数。
符号d/dx表⽰求导，其中x是多项式中的变量。
对于多项式中的每⼀常数项，套⽤第⼀个公式；否则，就⽤第⼆个公式。
假设有如下函数：f(x) = x3 + 5x2 +3x +4要得到求导后的结果f '(x)，对该多项式的前三项套⽤第⼆个公式，最后⼀项套⽤第1个公式，得到结果如下：f '(x) = 1 * 3x(3-1) + 5 * 2x(2-1) + 3 * 1x(1-1) + 0 = 3x2 + 10x +3有时候也有必要进⾏⾼阶求导，即导数的导数。
⽐如，f(x)的2阶求导可记为f ''(x)，它是对f '(x)的求导结果。
同理，f(x)的3阶求导可记为f'''(x)，这是对f ''(x)的求导结果，以此类推。
因此，在前⾯的例⼦中，如果要计算f(x)的2阶导数的话，我们按照如下的⽅式对f '(x)求导即可：f ''(x) = 3 * 2x(2-1) + 10 * 1x(1-1) + 0 =6x +10理解1阶和2阶导数理解1阶和2阶导数的意义，是正确使⽤⽜顿迭代法⾮常重要的⼀点。
关于牛顿迭代法的课程设计实验指导
yx O x * x 1 x 0关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。
在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。
牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。
近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。
牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。
一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。
方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。
由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。
即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。
该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。
设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
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阻尼牛顿法
总结词
阻尼牛顿法是一种改进的牛顿迭代法，通过引入阻尼因子来控制迭代过程中的步长，从而改善收敛性 和稳定性。
详细描述
阻尼牛顿法在每一步迭代中引入一个阻尼因子，该因子可以控制迭代过程中的步长。通过调整阻尼因 子的大小，可以有效地改善牛顿法的收敛性和稳定性，特别是在求解非线性方程时。阻尼牛顿法可以 更好地处理局部极小值和鞍点问题，提高求解精度和可靠性。
确定新的点
02
根据切线斜率和初始点的位置，确定新的迭代点。
更新切线斜率
03
根据新的迭代点，重新计算切线斜率。
判断收敛
设定收敛条件
设定一个收敛阈值，当连续两次迭代 之间的差值小于该阈值时，认为迭代 收敛。
检查收敛
在每次迭代后，检查是否满足收敛条 件，如果满足则停止迭代，否则继续 迭代计算。
04 牛顿迭代法的改进
二阶修正牛顿法
总结词
二阶修正牛顿法是在标准牛顿法基础上进行改进，通过引入二阶导数信息来加速收敛并 提高解的精度。
详细描述
二阶修正牛顿法利用二阶导数信息，在每一步迭代中构造一个更高阶的近似函数，从而 更快地逼近方程的真实解。这种方法在某些情况下可以显著减少迭代次数，提高求解效 率。然而，二阶修正牛顿法需要更多的计算资源和存储空间，因此在实际应用中需要根
用牛顿迭代法求方程 的近似解课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 牛顿迭代法的改进 • 实例演示 • 总结与展望
01 引言
牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值方法。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 牛顿法--用导数方法求方程的近似解》
探究与发现：牛顿法—用导数方法求方程的近似解教学设计宁乡市一中高二数学备课组肖荣一、教学目标一知识与能力：1得出牛顿法求近似解的一般规律,会用牛顿法求方程的近似解;2通过实例分析牛顿法求方程近似解的要求;3比拟二分法与牛顿法求方程近似解的优劣二方法与过程：1学生通过前两个数学实验，采用合作探究，分组讨论，动手操作的学习方法，得出牛顿法对初始值的选取要求高的结论;2学生通过第三个数学采用合作探究，分组讨论，动手操作的学习方法，找出二分法和牛顿法各自的优劣性三情感、态度和价值观：1通过同学们分析问题，解决问题的过程增强学生获取成就的喜悦感；2通过计算机，动画技术的演示增强同学们对数学学习的兴趣和探索新知识的渴望二、教学重点得出牛顿法求近似解的一般规律,会用牛顿法求方程的近似解三、教学难点通过实例分析牛顿法求方程近似解的要求；比拟二分法与牛顿法求方程近似解的优劣四、教学过程一导入新课在必修一当中我们已经学习了用二分法来求方程的近似解，在学完导数之后，今天我们用导数的方法求方程的近似解（二）什么是牛顿法引例：求方程的根问题1：求方程的根从函数的角度来看等价于做什么？教师从导数的几何意义出发，引导学生通过作切线，找到一系列点去靠近零点r问题2：相邻两项与之间是否有什么关系？请同学们动手推导一下。
与与呢？在点处的切线方程为：如果，那么切线与轴的交点是继续这个过程，就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式：如果，那么问题3：牛顿法的具体步骤是什么？第一步：取初始值0，精度第二步：计算和第三步：计算第四步：用代替重复第二步和第三步的过程得到；一直继续下去，得到，直至到达精度那么停止〔三〕数学实验1、实验一：请同学们分别取初始值0=2和0=4，根据递推公式并利用手中的计算器分组完成以下表格〔结果保存五位小数〕。
其中表一表二题1初始值为0=2时，到达精确度共用几步？初始值为0=4呢？学生答复问题2：比照分析〔表一〕，〔表二〕两个实验结果说明了初始值对牛顿法的影响是什么？学生答复教师总结：初始值的选取越靠近零点越好，说明牛顿法对初始值的选取要求高。
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迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
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多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
斐波那契给出了这个方程的近似解是：
x = 1.368808108
斐波那契的解是非常精确的，但是并没有给出过程。
在十三世纪，能得到这个结果，是非常了不起的成 就，即使在当今的年代，我们在没有图形计算器的 条件下，给出近似解也是非常困难的。
设想一下，斐波那契是用什么样的方法得到这个结 果的呢？
否则继续循环运算。
1、根的存在性和唯一性的判断：
通过研究函数的单调区间及零点存在性定理 判断。
2、根所在的区间： 分析函数的连续性并找出端点值异号的区间。 3、近似解的选取：
在达到精确度要求的情况下，区间中任意值 都可以作为近似解。
思考并回答以下问题：
1、在研究方程的根的问题时，我们
常可以将其等价转化为什么问题进 行研究？
6、借助图形计算器，验证新的想法， 并思考如何进一步计算。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
1.第一步应该从何处开始？需要如 何处理？
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
2.第二步应该如何继续？计算的公 式又是什么？如何能循环下去？
“以直代曲”，逼近，迭代
（2）算法框图：
在天文学中，有一类著名的方程——开普勒方程， 是用来确定行星在其运动轨道上的位置的。
x = q sin x + a(0 < q < 1,a为常数)
开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析 解，但是，已经证明这个方程存在惟一解。在实际 问题中，我们更希望得到一个精确度很高的近似解。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
《用迭代序列求 sqrt的近似值》 教学设计
《用迭代序列求 sqrt的近似值》教学设计一、教学目标1、让学生理解迭代序列的概念和原理。
2、掌握用迭代序列求平方根近似值的方法。
3、培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
4、激发学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重难点1、教学重点（1）迭代序列的构建。
（2）用迭代序列求平方根近似值的步骤和原理。
2、教学难点（1）理解迭代序列的收敛性。
（2）通过迭代序列的误差分析，确定合适的迭代次数以得到满足精度要求的近似值。
三、教学方法1、讲授法：讲解迭代序列的概念、原理和求平方根近似值的方法。
2、演示法：通过实例演示迭代过程，让学生直观感受近似值的逐步逼近。
3、讨论法：组织学生讨论迭代过程中的问题，促进学生思考和交流。
4、练习法：让学生通过练习巩固所学知识，提高应用能力。
四、教学过程1、导入通过一个实际问题引入，比如：“要计算一个正方形的边长，已知其面积为 10，如何求出边长的近似值？”引导学生思考如何求解平方根的近似值，从而引出本节课的主题——用迭代序列求 sqrt 的近似值。
2、知识讲解（1）介绍迭代的概念：“迭代是一种重复执行某个计算过程，通过不断修正结果，逐步逼近准确值的方法。
”（2）以简单的例子说明迭代的过程，例如：求方程 x^2 2 ＝ 0 的正根，可以构建迭代公式 x(n+1) ＝（x(n) ＋ 2 ／ x(n)）／ 2 。
（3）详细讲解用迭代序列求sqrt(a) 的一般方法。
设要计算sqrt(a)，可以构建迭代公式 x(n+1) ＝（x(n) ＋ a ／ x(n)）／ 2 ，其中 x(0) 为一个初始猜测值。
3、示例演示以 sqrt(5) 为例，取 x(0) ＝ 2 ，逐步演示迭代过程：x(1) ＝（2 ＋ 5 ／ 2) ／ 2 ＝ 225x(2) ＝（225 ＋ 5 ／ 225) ／2 ≈ 22361x(3) ＝（22361 ＋ 5 ／ 22361) ／2 ≈ 22361让学生观察随着迭代次数的增加，近似值逐渐逼近 sqrt(5) 的准确值。
《用迭代序列求 sqrt的近似值》 教学设计
《用迭代序列求 sqrt的近似值》教学设计一、教学目标1、让学生理解迭代序列的概念和原理。
2、引导学生掌握使用迭代序列求 sqrt 的近似值的方法。
3、培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
4、让学生体会数学在实际问题中的应用，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点1、教学重点（1）迭代序列的构建和理解。
（2）使用迭代序列求 sqrt 的近似值的步骤和原理。
2、教学难点（1）理解迭代序列的收敛性和误差分析。
（2）如何选择合适的初始值和迭代公式，以提高计算效率和精度。
三、教学方法1、讲授法：讲解迭代序列的基本概念和原理。
2、示例法：通过具体的例子演示使用迭代序列求 sqrt 的近似值的过程。
3、讨论法：组织学生讨论迭代过程中的问题和解决方案。
4、实践法：让学生自己动手进行计算，加深对知识的理解和掌握。
四、教学过程1、导入通过一个实际问题引入主题，比如计算一个正方形的边长，已知其面积为 10，那么边长就是 sqrt(10)，如何求出它的近似值呢？2、知识讲解（1）介绍迭代序列的概念：迭代序列是通过不断重复一个固定的计算步骤，从一个初始值开始，逐步逼近目标值的序列。
（2）以求 sqrt(2) 为例，给出常见的迭代公式，如：x(n+1) ＝ 05（x(n) ＋ 2 ／ x(n)），其中 x(0) 为初始值。
3、示例演示（1）选择一个初始值，比如 x(0) ＝ 1，然后按照迭代公式进行计算。
（2）逐步计算出 x(1)、x(2)、x(3)……，观察数值的变化趋势。
4、学生实践让学生分组选择不同的初始值，计算 sqrt(3)、sqrt(5)等的近似值，并记录计算过程和结果。
5、讨论与交流（1）组织学生讨论在实践过程中遇到的问题，如初始值的选择对结果的影响、迭代次数与精度的关系等。
（2）引导学生总结出提高计算精度和效率的方法。
6、知识拓展（1）介绍迭代序列在其他数学问题中的应用，如求解方程的根。
（2）引导学生思考如何判断迭代序列的收敛性。
探究与发现牛顿法--用导数方法求方程的近似解
牛顿法——用导数方法探究方程近似解班级_____________ 姓名_____________课前探究单请用二分法求方程32210200x x x ++-=在区间(1,2)上的近似解（精确度为0.01），并思考以下问题：（2）为达到精确度，需进行几次迭代？计算次数区间中点值x中点处的函数近似值y精确度 1 (1,2)2 3 4 5 6 7课堂活动单活动1：取02x =，如何求函数32()21020f x x x x =++-在0x x =处的切线方程?活动2：以11||n n n x x x ---表示方程解的相对误差，并以此刻画近似解的精确度。
请用牛顿法获得方程32210200x x x ++-=在区间(1,2)上的近似解（精确度为0.01）思考：请对 “二分法”和“牛顿法”进行优劣比较。
活动3：记函数32()21020f x x x x =++-在(1,2)内的零点为r ，考虑上述所获得的一串逼近零点r 的数0x ，1x ，2x ，…，n x ，…，其中n x 与1n x -是否有关系？如果有，请推出它们之间的递推关系？课后拓展——牛顿其人牛顿是近代科学的先驱，智商290，在多个领域都有非凡的成就。
他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。
这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。
他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。
在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律[1]。
在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。
他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。
在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。
他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。
“探究与发现:牛顿法——用导数方法求方程的近似解”的教学设计
“探究与发现：牛顿法——用导数方法求方程的近似解”的
教学设计
余海东;朱恒元
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2014(000)001
【摘要】本节课属人教A版数学选修2-2教材中的“探究与发现”内容,是新旧知识的衔接点,渗透着数学知识螺旋上升的新课程理念.通过有效教学使学生理解求方程的近似解的方法,体会精确与近似的相对统一,感悟数学逼近思想,接受数学文化的熏陶.
【总页数】6页(P79-83,88)
【作者】余海东;朱恒元
【作者单位】浙江省义乌市第四中学;浙江省义乌中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.二分法求方程近似解的探究教学设计 [J], 盛朝阳;邵利
2.用牛顿法求方程近似解的C程序设计 [J], 徐树来;宗晓杰;车刚
3.\"庖丁解牛\"\r意在素养\r——\"牛顿法:用导数方法求方程的近似解\"教学设计[J], 何承生
4.混合式教学:促进数学深度学习 *——以\"用二分法求方程的近似解\"的教学设计为例 [J],
5.核心素养下高中生学科阅读能力的培养
——以"牛顿法——用导数方法求方程的近似解"为例 [J], 黄基荣;韦国亮
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高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 牛顿法──用导数方法求方程的近似解》
“牛顿法——用导数方法求方程的近似解”教学设计在高中数学课程体系中，求高次方程近似解的方法有两种——二分法和牛顿法以人教版普通高中课程标准实验教科书为例，前者安排在《必修1》，后者出现于《选修1-1》（《选修2-2》也有），两种方法的学习时间至少间隔了两个学期为什么在“二分法”之后还要再学习“牛顿法”？是进一步强调“近似计算”，抑或“牛顿法”有其不可替代的独特作用？一、教育价值通过剖析牛顿法的思维方式及其操作过程，进一步考察其数学本质，并与二分法进行比较对照，可以发现，牛顿法确实具有重要的教育价值（1）“近似解”与“精确解”相得益彰，可有效端正学生的数学观数学知识兼有确定性和不确定性两种特点，确定性培养学生理性和严谨，但不确定性给予学生更多的学习权利和机会，有益于培养学生的创新能力，这对于即将进入高校学习的学生而言，是不可忽视的一种教育；（2）近似计算与智能化紧密结合，拓宽了数学应用的广泛性在科学与工程上常遇到求方程的解，但方程的精确解或不可利用，或求精确解的成本很高，所以我们常常考虑其满足一定精确度的近似解如天气预报，是将大气运动用一系列方程来描述，由于这些方程的复杂程度，目前的技术还不能求出精确解，但可以借助先进的计算机和高效的数学方法提高近似解的精确度，从而提高天气预报的准确度所以计算机的发展为数学的发展提供了巨大的帮助，使得近似计算方法作为一种科学方法发展起来；（3）牛顿法“以直代曲”，是导数应用价值的生动体现著名建筑设计师高迪曾说：“直线属于人类，而曲线属于上帝”大自然存在形形色色的曲线，牛顿法是用直线方程近似代替曲线方程，体现“以直代曲”思想，该思想是微积分里的重要思想牛顿法求近似解时只用到一阶导数值，并且收敛速度较快，所以具有易用、适应性广、高效的特点，被广泛推广应用于求方程的近似解，具有很强的可扩展性，这些特点是二分法不具备的；（4）与“二分法”相比，牛顿法具有近似指向鲜明、2 2=0的近似解为例，若二分法取初始区间为（1，2），牛顿法取初始值1或2，测试的结果是二分法迭代十次还不如牛顿法迭代两次的效果所以牛顿法是求方程近似解的一个强有力的工具，也是数学在应用上的一大法宝，作用无可替代牛顿法的核心是以切线的零点近似代替曲线的零点，需要借助图像直观体现出来才能理解，没有图像的帮助不可能领悟牛顿法的思想；另一方面，要领会牛顿法就必须要理解牛顿法的运算思路，掌握运算法则，提炼算法所以此课题充分渗透和发展高中生的两大数学学科核心素养：直观想象、数学运算二、教学内容解析本节课是人教A版选修1-1第三章第二节《导数的计算》中的“探究与发现”内容，属知识拓展类课程由于在数学必修1中教材介绍了用二分法求方程的近似解，并且在信息技术学科中学习了算法和程序框图等教学内容，能够体会到现代计算机的强大运算功能，能给复杂的运算提供巨大的便利牛顿法前教材介绍了导数的概念、计算、几何意义等相关内容，为牛顿法提供了理论和实践的基础牛顿法中蕴涵着丰富的数学思想：“以直代曲”思想、“逼近”思想和算法思想，所以该节内容作用不仅是让学生认识导数的应用价值，也为理解“微积分”提供难得的体验和帮助本节课除了详细介绍牛顿法的基本思想，还要建立在比较、选择的基础上突出牛顿法的优点，体现数学知识螺旋上升的新课程理念三、学生学情分析知识方面，高二学生已经理解函数的零点和方程的根之间的关系，会用二分法求方程的近似解，会利用导数求曲线的切线方程，理解计算机程序运行的一些基础原理，会读算法程序框图，选考技术的学生还能进行简单算法程序的编写能力方面，学生具备一定的观察、归纳和运算能力，具备运用“数形结合”思想方法的能力情感方面，学生对探索新知识都具有强烈的好奇心，但该节课思维严谨，思维容量比较大，极易产生学习疲劳，所以教师应采用多元的教学方式，如引进生活中存在的数学问题、借用计算机技术清晰展示教学问题等手段提高教学的趣味性存在的困难，一是学生对近似解的接受态度，长时间的学习积累，学生已经习惯求解精确答案；二是运算，要理解牛顿法就要体验该法的运算过程，但牛顿法运算繁琐，学生不愿接受，如果运算全交给计算机解决，学习感受就显得单薄，不容易留下深刻的印象四、教学目标设置根据以上分析，本节课的教学目标阐述如下：1借助生活中的数学问题，阐述求方程近似解的必要性，让学生明白数学问题的；2利用方程的根与函数的零点关系，借助信息技术手段，运用数形结合思想，详细探究牛顿法的基本内涵，挖掘牛顿法中蕴涵的思想方法，提升直观想象核心素养；3了解用牛顿法求方程近似解的发生发展过程，掌握牛顿法公式，会用牛顿法求方程的近似解，发展数学运算核心素养；4结合具体实例感悟牛顿法的优缺点，借助计算机运算功能弥补牛顿法的缺点，通过与二分法的对比突出牛顿法的不可替代作用，揭示本节课的学习意义本节课的教学重点是：用导数方法求方程近似解的发生发展过程，得出牛顿法的一般规律本节课的教学难点是：切线的自然引入，即“以直代曲”思想的自然引入，逼近思想的渗透以及求精确度公式的解释五、教学策略分析学生学习的过程是一个由浅入深的过程，需要经历从直观到抽象、从感性到理性的过程，教学一定要符合学生的认知规律才是有效的教学依据前面对教学内容、学生学情的分析，为了更好地展现本节课知识的起因、发展、蕴涵的思想等内容，采用以下办法突破教学重点难点：1根据维果斯基的最近发展区理论，通过实例，回顾二分法求方程近似解的原理，为引出牛顿法做铺垫牛顿法一词中有“牛顿”二字，可通过简单介绍牛顿的一些伟大成绩，引出牛顿第一运动定律，然后过渡到牛顿法之所以要联系牛顿第一运动定律，是因为牛顿法中的“切线”与牛顿第一运动定律有着非常紧密的联系，通过这一个过程渗透“以直代曲”思想；2几何画板在作图上有着独特的优势，是数形结合的有力工具借助几何画板的帮助，让学生亲历“作切线”的过程和反复“作切线”的原因，深刻领会切线与轴的交点横坐标逐步逼近函数零点的过程，形成算法；3联系二分法的精确度问题，以小组合作探究的方式，思考牛顿法精确度问题的解决办法；4用牛顿法重新解决课堂初始提出的方程近似解问题，通过分析、讲解、对比等过程，加深对牛顿法的理解，感悟牛顿法与二分法的异同点、优缺点总之，本堂课主要采用发现、探究、对比等教学方法，让学生领悟牛顿法蕴涵的基本思想，提升学生的数学核心素养六、教学流程图七、教学过程（一）相似情愫，重温“二分法”教师：我们先来欣赏一段优美的音乐（中央电视台天气预报时的背景音乐）【设计意图】这段音乐很优美，起到以下两个作用：（1）愉悦身心，增加课堂趣味性；（2）通过音乐引出天气预报问题，天气预报其实是一个数学问题，将大气运动用一系列方程组来描述，由于方程组非常复杂，目前的技术还不能求出精确解，但可以借助先进的计算机和高效的数学方法提高近似解的精确度，提高天气预报准确度，从而引出求方程近似解的问题问题1 求方程3-1=0的解问题2 求方程32210-2021的解问题3 求方程32210-2021的近似解，精确度为【设计意图】三个问题层层递进，对于高次方程解的问题，学生一般采用试根法，问题1比较容易解决，对于问题2，给学生尝试解答的时间，但还没有能力求出精确解，所以退而求其次，引出问题3具体操作：（1）对问题2，方程32210-2021的解就是函数f=32210-2021点，可以采用几何画板先进的作图功能，如图1，发现函数f的零点r存在，所以32210-2021的解存在，只是以学生能力暂时求不出精确解；（2）对于问题3，让学生主动回答求近似解曾经学过的方法——二分法，根据“零点存在定理”，且f在R上是单调递增函数，确定唯一零点r∈1,2；（3）师生互动，教师PPT展示：二分法求方程近似解的过程迭代次数区间中点的值中点函数近似值当前精确度0 （1,2） 11 （1,）-2 （,）图13 （,） -4 （,） -5 （，） -6 （，） -7 （，） 18 （，1） 19 （，1） - 10（，1）-由于ε=，所以方程的近似解可取为 （二）以直代曲，探秘“牛顿法”“牛顿法”肯定与牛顿有关，关于牛顿有一个非常有名 的故事，所以可用这个故事引出牛顿教师：求方程的近似解还有其他方法吗？请大家来看 一幅图（如图2），大家想到了谁？学生：牛顿教师：牛顿不仅是一位伟大的物理学家，也是一位伟 大的数学家，他的一生发现了很多的定理和定律，其中 非常有名的牛顿第一运动定律是这样阐述的：一切物体 在没有受到力的作用时，总保持匀速直线运动状态或静 止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种运动状图像上运动（如图3，切换到几何画板），当运动到某一点时，物体A 的所有外力突然都消失了，接下来物体A 将作什么运动？学生：匀速直线运动老师：所以接下来物体A 的运动轨迹在一条直线上， 这条直线与函数f 图像有什么关系？学生：相切【设计意图】以牛顿第一运动定律为切入点，贴近 学生最近发展区，引出“切线”话题，目的是为了实现 “以直代曲”图2A 图3图4老师：设这条切线与轴的交点横坐标为1（如图4）1吗？具体操作：（在老师的指导下完成）（1）要求出1，就要先写出f在点A处切线的点斜式方程- f0= f ’0-0；（2）要写出f在点A处切线的方程，就要先知道点A的横坐标；（3）设点A的横坐标为0；学生活动：完成学案上的问题：请写出函数f在点A处切线的点斜式方程并求出1的值学生活动：选派学生在黑板上展示解答情况（4）在几何画板上动态回顾求出1的过程；（5）将点A在零点r的两侧运动，让学生观察到1在r的附近变化问题5 是否可以把1作为零点r的近似解？小组合作探究：讨论把1作为零点r的近似解的可行性【设计意图】函数f的零点r难求，但1却比较容易求出来，虽然1与r不同，但存在近似关系，达到化难为易的目的，从而发现求近似解的另一种办法（三）精雕细琢，优化“操作链”学生思考并回答：把1作为r的近似解存在的问题？小组合作探究：思考提高近似解精确度的改进办法？【设计意图】通过师生互动和学生小组合作，目的在于解决以下几个问题：1通过讨论，易发现把1作为方程的近似解存在的问题：1有可能误差太大，不满足要求；2如果精确度要求很高，无论1的值如何似乎都不能保证准确性；3利用几何画板，引导学生合理使用第一条切线得到的1，作出函数f在1处的切线，得到切线与轴的交点2，通过图像比较，可以看出2比1更逼近准确值，并在黑板上展示2的求解过程，目的在于发现2与1的关系，为问题6作铺垫；更接近零点，但有可能还是不满足要求，那么就多重复几次，得到一列数：0，1，2，3，… ，1n问题与n-1之间是否有关系？学生: 得到结果n = n -1-)()(1'1--n n x f x f f ’n -1≠0 教师：f ’n -1≠0是为了保证存在n ，那万一f n -1=0呢？ 【设计意图】暗示学生牛顿法公式也有可能求出准确解 教师：我们在求n 的过程中借用了什么数学工具？ 学生：导数教师总结：这种利用导数求方程近似解的方法就称为牛顿法并在黑板上板书完整的标题：牛顿法——用导数方法求方程的近似解（上课前“牛顿法——”与“导数”两处未写）【设计意图】通过探究，发现牛顿法中横坐标之间的递推关系，用数学语言表达牛顿法的基本原理教师：刚才的研究我们发现n 可以有无数多个，数不在多，够用就行 问题满足什么要求才可以作为r 的近似解？【设计意图】让学生明白用牛顿法求方程近似解的近似依据，精确度的定义要合理，合理的依据又是什么？都要解释清楚具体操作：（1）先简单回顾二分法精确度的定义；（2）学生探究：n 作为近似解需要满足什么要求？ （3）学生可能会提供以下两种答案：①当∣f n ∣的值小于事先给定的一个精确度时，n 可以当做近似解； ②当1--n n x x 小于事先给定的一个精确度时，n 可以当做近似解（4）肯定学生的积极表现，都合理，建议用对比的方法体现出教材上定义的优势； （5）教师：数学家们也给出了一个定义，是这样的：11---n n n x x x 说明：精确度的解释肯定有好多种，我想过两种解释办法：一种用“相对误差”和“绝对误差”的关系解释，另一种用“增长率”来解释，两种方法都比较合适，我选择了用第二种 1--n n x x 含义是变化量，而11---n n n x x x 可以理解为增长率，当11---n n n x x x 越来越小时，n 就趋于稳定，这个稳定点就是r ．我们把11---=n n n x x x z 称为精确度．若给定精确度0，则当≤0时，我们就把n 作为方程的近似解（四）尝试纠偏，聚焦“初始值”教师：现在我们用今天所学的牛顿法再一次求方程32210-2021的近似解（借助PPT 展示基本步骤，提供答题范本）解：令f = 32210-2021f ’=32410 取0=？，n =n -1-)(')(11--n n x f x f = n -1-104)(32010)(2)(12112131++-++-----n n n n n x x x x x 所以：第一步: 1=？，011=x x x z -=？； 第二步: ？教师：0取何值呢？萝卜青菜各有所爱，请大家选取一个，借助计算器，根据示范的步骤算出符合精确度要求的近似解具体操作：（1）学生的作答时间紧张，但至少要让大多数学生重复三步以上，感受牛顿法运算的特点，选取两份算出结果的解答投影展示；（2）教师选取一个与学生不一样的初始值，比如0=4，完成PPT 上展示的剩余部分解答 （3）在黑板上完成以下表格：我选了初始值分别取为1和2并且解答正确的结果，加上自己事先准备的，最终结果如下：问题8不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？结论：影响在重复次数，初始值越接近零点越好，所以在利用牛顿法求方程的近似解时要事先对零点作一个估计（4）教师：大家在用牛顿法求解过程中有没有感觉到运算方面的不舒服？学生：有，运算繁琐教师：既然运算繁琐，现在计算机技术又如此先进，完全可以把计算问题交给计算机解决嘛课前我准备好了一个程序，用来检验刚才的两位同学做的是否正确（5）用课前准备好的程序检验初始值分别为1和2的两位学生的解答是否正确，同时与二分法得到的结果作比较；（6）顺便提一下牛顿法的优点：迭代次数少；缺点：运算繁琐，但对计算机来说，这点繁琐的运算不算什么【设计意图】先统一解答格式，避免杂乱无章的解答浪费学生宝贵的学习时间，未定初始值是因为学生可以根据喜好随机选取学案上提供了解答模板，只要填空式写出剩余部分通过实例训练，理清牛顿法的基本步骤，加深对牛顿法的认识，感受运算的繁琐和运算的重复性，为找出与二分法的区别和联系埋下伏笔（五）提炼算法，达成“机械化”教师：因为牛顿法的运算比较繁琐，所以我们就把运算问题交给计算机解决，刚才老师的程序是怎么编出来得呢？那我们先把牛顿法的算法先提炼出来具体操作：在老师的引导下，提炼牛顿法的算法并展示框图（用PPT 展示） （1）牛顿法求方程近似解的基本步骤：0；第二步1= 0-)()(0'0x f x f f ’0≠0，n ≥2； =001x x x ≤0，则1即为所求，否则令0 = 1，回到第二步（2）理清步骤后展示框图【设计意图】感悟牛顿法蕴涵的算法思想，达到化繁为简、深入浅出的目的 （六）比较对照，体悟“近似解”教师：请同学们思考今天学习的两种方法异同点，完成以下表格：【设计意图】答案没有统一标准，通过“比较”教学，鼓励学生大胆思考，让学生了解两种方法的区别和联系，发现优缺点，培养分析问题的能力PPT 展示参考答案：结论：运算的问题可以由计算机代劳，所以在现代技术条件下，牛顿法运算效率突出，优势明显课堂小结：1通过这节课的学习，你有哪些收获？（选一个学生代表发言） 2重温牛顿法的步骤 课后作业：-1=0在=2附近的近似解，精确度0= 2求25的近似值，精确度0=课外延伸：语言或者其他计算机语言，把牛顿法编写成程序，并且验算自己的做题结果是否正确；2查阅资料：求方程近似解的方法还有哪些？教师：牛顿法在科学和工程中有着广泛的应用，天气预报中的复杂的近似解的求解也与牛顿法有关，希望同学们努力学好数学，为投身中华民族伟大复兴打下坚实的数学功底（自动播放课初的天气预报音乐，结束本节课）八、教学说明与反思1牛顿法的思考起点虽说牛顿法蕴涵了“以直代曲”的思想，但这里的直线与化圆为方中的直线在功能上有很大的区别，中国古代著名数学家刘徽和祖冲之化圆为方计算圆周率就是运用了“以直代曲”思想，目的在于方便计算圆的面积，不需要直线的解析式牛顿法中的直线肩负两个重要的任务，一是把复杂的曲线转化为简单的直线，二是是要借助这条直线求出与轴的交点横坐标，达到求近似解的目的我一直在思考，这么神奇的一条“直线”，牛顿是怎么想到的呢？1666年初，牛顿创立了三大运动定律，并着重从运动学角度研究微积分，1671年完成了与牛顿法相关的《流数法》牛一律告诉我们：一个运动的物体，在某一个时刻如果外力消失，物理将做匀速直线运动，这条直线就是原来曲线的一条切线基于以上理由，我相信牛顿第一运动定律为发现牛顿法作了一些铺垫课堂选择从学生熟知的牛顿第一运动定律出发引出关键的“切线问题”，就用牛顿著作的一本书的书名来表达我的意思：自然哲学的数学原理将唐突的“切线”自然地引出，目的也是告诉学生：数学是自然的这个引入的背后凝聚着我对数学历史发展的思考，渗透了数学文化，让课堂变得更加生动有趣有内涵2为什么要求近似解如果可以求出精确解，固然是好事，但生活中的很多问题，由于科学技术的局限性，很难甚至无法精确描述，原因已经在前面的“教育价值”中提及，属于数学的确定性和不确定性的问题学生脑子里的数学有以下描述：数学是清楚的、数学是确定的一直以来，学生学习确定的清楚的数学，追求等价的递推、确定的答案等等，但这个确定的清楚的数学是经历了一个发展的过程，不是一蹴而就的，而且学生得到“确定的”结果很多都是理想化的模型得到的我相信生活中的任何一把尺子都有误差，但肯定不影响使用，当精确不可为却又不得不为时，版必修1中已经学习了《二分法》，按理说已解决求近似解必要性问题，为何再次提及？因为牛顿法在科学和工程上有着广泛的应用，作用无可替代，所以引入过程可稍作区别，之所以用“天气预报”来引入，是因为天气预报的数值分析过程非常复杂，二分法不适用，体现了牛顿法的“高大上”这就是我选择该课题的原因：牛顿法是珍贵的数学知识学习牛顿法，绝不是仅为了求近似解，牛顿法蕴涵了很多珍贵的数学思想，运算效率比二分法先进，以此内容为载体有利于锻炼学生理性的思维品格、创新能力，提升学生的数学核心素养3迭代和精确度问题这两个问题也是本堂课难以突破的地方，迭代和精确度是相辅相成的，迭代是为了提高近似解的精确性，精确度是迭代的动力和休止符教学设计就是从这样的认识出发，引导学生发现如何迭代，迭代何时停止如何引导学生发现迭代？是因为无法保证1满足精确度要求，这点一定要让学生发现出来然后就有了第二个问题：如何提高近似解的精确度？学生肯定会有多种想法，比如更换初始值能不能解决问题？借助计算机技术，对比之后发现迭代是较好的选择，与二分法在处理方式上有了联系，这算是数学中的辩证和统一吧精确度该如何定义？学生肯定很难想到教材上的答案，因为多种定义都很合理，学生的认知又很难发现缺陷和不足想不到不要紧，因为确实难，但一定解释清楚为什么要这样定义：=11---n nn x xx其实利用“绝对误差和相对误差”解释也不错，比如：9可以作为10的近似值，990可以作为1000的近似值，虽然绝对误差是后面一组大，但相对误差小，也就是说990作为1000的近似值比9作为10的近似值，近似程度要更好，说明相对误差的积极意义出于个人喜好，选择用增长率来解释我觉得精确度问题不要过多纠缠，说清楚就好以上三点就是我对这堂课几个关键问题的反思章建跃老师告诉我们教学要返璞归真，要让学生参与知识的生成和发展过程，在教学中培养学生的创新精神和实践能力本节课知识容量实在巨大，很难顾到教学的方方面面，但把握以上几点，我相信课堂教学很多难题会迎刃而解。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 牛顿法──用导数方法求方程的近似解》优质课教案_2
高中数学人教A版选修1-1第三章导数及其应用3.2.2 探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解一、教学目标：1.知识与技能（1）复习和巩固用二分法求方程的近似解（2）探究并总结牛顿法求方程的近似解2.过程与方法（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）培养学生在数学学习的过程中的迁移，类比。
3.情感与价值观让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。
二、教学重点、难点：教学重点：牛顿法的迭代思想和过程。
教学难点：理解牛顿法的逼近和迭代原理。
三、学法与教学用具：1.通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿法的迭代原理，提高了学生解决实际问题的能力；2.教学用具：投灯片、多媒体。
四、教学过程：（一）创设情景、导入课题（展示ppt，中外历史上的方程求解）1.从一个三次方程求解问题引入，给出一个数学故事，激发学生兴趣，同时对学生渗透德育教育，引起学生对我国古代数学的自豪感。
（二）复习巩固，启发引导1.求Leonardo方程的近似解，我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复习巩固环节进行交流。
2.（师生活动）提问学生复习回顾二分法求方程近似解的步骤及二分法的逼近思想，方便在课程教学时进行类比分析。
3.思考并总结：用二分法求方程的近似解时，需要注意一些什么问题？4.学生回答问题，总结二分法的优缺点，并以其缺点入手，引出今天的课题，（板书主题：牛顿法——用导数方法求方程的近似解）。
〖设计意图〗学生在课前完成了学案相应复习部分的内容，复习了高一时所学习过的二分法的内容，为本节课的课程研究打下坚实的基础，包括对算法思想，逼近思想的体会都能有所加深，为研究牛顿法进行类比提供了很好的基础。
（三）师生互动、探究新知1.层层设问：（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么工具可以用来很方便地刻画函数的什么性质？ （3）我们新学习的工具中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？ （4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的工具，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？2. 归纳方法，总结整理（小组讨论，选一个小组先展示，老师再板书）给定函数为()y f x =，迭代初始值为0x ，其切线方程可以写为：()()()000'y f x f x x x -=-，求其零点，令0y =，得()()000'f x x x f x =-。
用牛顿迭代法求方程的近似解
方法建立
求方程x3 2 x2 1 0 x 2 00 的近似 解（精确度为10-9）。
3.如何用图形计算器实现对给定 公式的反复计算？动手完成。
方法建立
求方程x3 2 x2 1 0 x 2 00 的近似 解（精确度为10-9）。
4.计算到什么时候终止？如何体 现精确度在求解中的控制作用？
方法小结
方法探究
6、借助图形计算器，验证新的想 法，并思考如何进一步计算。
方法建立
求方程x3 2 x2 1 0 x 2 00 的近似 解（精确度为10-9）。
1.第一步应该从何处开始？需要 如何处理？
方法建立
求方程x3 2 x2 1 0 x 2 00 的近似 解（精确度为10-9）。
2.第二步应该如何继续？计算的 公式又是什么？如何能循环下去 ？
二分法的步骤
1.确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0,给定精 确度。
2.求区间(a,b)的中点c； 3.计算f(c); (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)f(c)<0,则令b=c,此时零点在
(a,c); (3)若f(c)f(b)<0,则令a=c,此时零点在
(c,b).
归纳与整理
2.牛顿迭代法： （1）核心思想：
“以直代曲”，逼近，迭代 （2）算法框图：
课堂延伸——开普勒方程
• 在天文学中，有一类著名的方程——开普 勒方程，是用来确定行星在其运动轨道上
的位x置q 的s 。in xa 0q1 ,a 为 常 数
• 开普勒方程是一个超越方程，很难得出严 格的分析解，但是，已经证明这个方程存 在惟一解。在实际问题中，我们更希望得
用牛顿迭代法求方程的近似解点评(天津耀华中学卢翔)
教学点评《用牛顿迭代法求方程的近似解》背景介绍：卢翔老师执教的《用牛顿迭代法求方程近似解》一课，是人教A版高中数学选修2-2第一章第二节后的“探究与发现”栏目的内容，由于此部分内容高考不考且高中阶段学生理解有一定难度，所以普通高中的正常教学中很少涉及，卢翔老师则进行了大胆的尝试。
他任教的耀华中学是天津市市属重点校，本节课的授课对象是其任教的实验班学生，这些学生基本素质较好。
本节课卢老师借助学案中的问题串，引导学生利用图形计算器展开了系列探究活动，取得了很好的教学效果。
本节课的亮点与特色如下：1.教学设计内容全面，符合课程改革理念卢翔老师本节课的教学设计包括：内容与内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教法分析、教学支持条件分析、教学过程设计和目标检测设计，内容全面详细，符合“全国中学青年数学教师优秀课评价标准（修订版）”对教学设计的要求。
2.教学目标定位合理，学科德育渗透到位卢翔老师教学设计中的目标定位准确、清晰、具体、具有一定的可操作性。
整节课不仅强调了知识的获得，更强调了学生研究问题思路的获得，更难能可贵的是，卢老师深入挖掘了本节课的教学内容，以知识为载体，渗透了数学文化，也让学生感受了深入钻研、不断探索的精神，充分发挥了数学教学的育人功能。
3. 教学过程清晰流畅，难点突破顺利有效卢老师本节课通过“激发兴趣，引出问题；复习巩固，启发引导；问题引导，分析方法；探究切线，体验迭代；建立方法，完善理论；归纳整理，算法思想；总结提高，学以致用；科学研究，精神培养”这八个环节来完成，这八个环节环环相扣，清晰流畅，符合学生的认知规律，也及时检测了学生对知识的认知和掌握情况。
本节课的重点和难点是牛顿迭代法的得出，卢老师引导学生类比二分法求方程近似解的研究思路，利用问题串，借助于图形计算器逐步引导学生解决了“迭代初始值、迭代公式、迭代运算、迭代终止条件、算法框图”等几个问题，突出了“逼近”的思想和“以直代曲”的思想。
2014年全国高中数学青年教师展评课：用牛顿迭代法求方程的近似解教学设计(天津耀华中学卢翔)
2014年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动课题：用牛顿迭代法求方程的近似解（人教A版高中课标教材数学选修2-2）教学设计授课教师：卢 翔 天津市耀华中学指导教师: 沈 婕 天津市中小学教育教学研究室曹志勇 天津市和平区教研室徐秀清 天津市耀华中学2014年12月用牛顿迭代法求方程的近似解天津市耀华中学卢翔一．内容与内容解析本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。
在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代曲的思想，同时强化算法思想。
本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。
在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。
本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。
教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。
二、目标和目标解析1．复习和巩固用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。
2．探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。
用牛顿迭代法求方程的近似解教学设计
用牛顿迭代法求方程的近似解一.内容与内容解析本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。
在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代曲的思想，同时强化算法思想。
本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲” 思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。
在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。
本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。
教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。
二、目标和目标解析1.复习和巩固用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。
2.探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。
本节课的核心就是通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿迭代法的迭代原理，并能够通过图形计算器进行实际应用，提高了学生解决实际问题的能力。
3.培养学生利用图形计算器进行复杂计算和图形功能探究解决问题的能力。
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用牛顿迭代法求方程的近似解一．内容与内容解析本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。
在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代曲的思想，同时强化算法思想。
本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。
在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。
本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。
教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。
二、目标和目标解析1．复习和巩固用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。
2．探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。
本节课的核心就是通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿迭代法的迭代原理，并能够通过图形计算器进行实际应用，提高了学生解决实际问题的能力。
3．培养学生利用图形计算器进行复杂计算和图形功能探究解决问题的能力。
培养探究精神一直以来都是数学课堂上的重要任务，但探究能力的培养，不是一朝一夕的功夫，需要学生能够有所依靠，图形计算器的配备和使用，使学生能够有充分的工具去施展，不再畏惧图形的不可知性和计算的繁琐复杂。
有了直观的感知，才是探究的源泉，对于中学生而言，这是最为适合的学习模式，值得通过大量的问题和实践使学生充分掌握图形计算器的使用。
4．在数学学习的过程中需要很多知识的迁移，类比，本节课就是在充分利用二分法的思想和步骤进行类比的基础上，结合导数和切线的知识进行迁移，完成对牛顿迭代法的充分理解的，利用问题链进行导引，借助小组合作讨论的模式，发挥图形计算器的直观作用和计算能力，将本节课内容中的精华部分和难点部分逐一消化，使学生体会多样化学习模式的带来的学习乐趣。
5．让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。
学生在学习知识和方法的同时需要更多的人文关怀，学习数学不仅是学习如何计算和证明，更应该在对应的知识水平中了解数学发展中曾经出现过的著名例子和典故。
这对于学生的榜样效果和激励作用是非常显著的。
同时，数学又应用于实践，应用于其他学科中，在课堂上给学生以更多的实际例子，也会更强化学生数学有用的信念，提升其对数学学科的兴趣和学习动力。
三、教学问题诊断分析本节课的教学对象是耀华中学实验班的学生，耀华中学是天津市的市直属重点中学，学生具备较强的学习能力和动手实践能力，较适于本课题的研究和学习，学生也对于这样的探究学习模式较为习惯和适应。
学生在学习本节课之前已经学习过函数与方程中的二分法求方程近似解，而且学习过导数的概念和求解，能够运用导数研究函数的性质和求切线。
学生有充分的探究意识和团队合作能力，图形计算器操作熟练，能够利用图形计算器画图和计算。
在本节课的教学中，学生可能会在迭代法的探究过程中出现困难，主要体现在对逼近方式的认识，这点可以通过图形计算器的函数切线的动态演示帮助学生理解“以直代曲”思想，另一点困难可能是对迭代的理解上，这点可以通过类比二分法的算法特征加以理解。
而且可以充分利用图形计算器的递推计算功能加以运算，从而促进学生对牛顿迭代法的理解。
教学难点：理解牛顿迭代法的逼近和迭代原理。
教学关键：理论推导和图形计算器验证有机结合。
四、教法分析1.利用有历史背景的数学方程激发学生积极探索新知的欲望，鼓励学生积极动手实践，不断优化知识结构，在“实践、理论、再实践”的过程中完成对新知的探索和应用，培养学生的思维能力和应用意识。
2.以学生为中心，教师适当引导，积极创设合作学习的氛围，使学生获得提供“实践、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，更注重合作交流，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验. 使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养综合运用已有知识解决新问题的能力。
五、教学支持条件分析本节课通过PPT演示的方式给学生介绍背景，引导问题，在复习巩固和小组讨论之后采用实物投影的方式将学生的讨论结果展示出来，同时结合演示图形计算器的计算功能和图形效果，帮助学生理解课题和进行运算。
在课堂教学中，学生每人配备一个图形计算器，图形计算器的存在,能够帮助学生从图形角度思考问题,同时能够进行快速的计算和迭代,而且求出的正是近似解.这一切都是本课题所特别要求的.学生通过函数的零点与方程的根的关系,体会利用函数研究方程的便利性,同时利用图形计算器,能够方便地将函数图象表示出来;学生在求近似解的过程中,需要大量繁琐的计算,人工计算费时费力,而利用图形计算器,学生能够方便地快速求得高精度的解，是学生探究的有力工具。
而数学研究在有了感性认识的基础上，能够逐层递进，有效归纳，达到易于研究和深入的目的。
从这个角度来说，本课题是图形计算器的特定匹配课程，或者更确切地说，正因为有了图形计算器的存在，才有了本课题实践的可能性，也才有了学生动手钻研和理解课题的可能性。
课题要求学生掌握图形计算器的画图功能，求零点功能，求函数的交点坐标的功能，直接解方程的功能，以及进行快速迭代计算的功能和数列递推的功能等，对学生的图形计算器使用的要求较高，综合性较强。
六、教学过程（一）激发兴趣，引出问题〖师生活动〗从一个三次方程求解问题引入，给出一个数学故事，激发学生兴趣，同时对学生渗透德育教育。
【问题1】对于方程32++-=的求近似解问题，大家了解它的210200x x x典故吗？〖设计意图〗这个方程是学生所熟悉的，利用它来抛出问题，引发学生思考。
【背景介绍】斐波那契数列，也被称为“兔子数列”。
它最早出现在一本叫做《算盘书》的书中，这本书的作者就是比萨的列奥纳多，又称斐波那契（1175年-1250年），是一名意大利数学家。
他是西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲的人，影响了欧洲数学界一个时代。
斐波那契其他数学著作还有《平方数书》、《花朵》等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题，其中包含一个三次方程32x x x++-=的求解，斐波那契210200论证了其根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近似解。
这在当时是非常重要的结果，但是无人知道他是怎么计算得到的。
尽管一元三次方程存在根式解，但生活实践当中，一个精度很高的近似解的价值要超过精确的根式解。
所以这个Leonardo方程，值得我们今天继续去研究和发现。
〖设计意图〗通过这个背景介绍，能够完全调动学生的学习兴趣和热情，课堂教师引导的目的首先就是激发学生的学习热情和动力，通过这个环节，既引出问题，又产生兴趣，一举两得。
（二）复习巩固，启发引导【问题2】求Leonardo方程的近似解，我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复习巩固环节进行交流。
〖师生活动〗提问学生复习回顾二分法求方程近似解的步骤及二分法的逼近思想，方便在课程教学时进行类比分析。
【问题3】思考并总结：用二分法求方程的近似解时，需要注意一些什么问题？〖师生活动〗学生回答问题，总结复习成果，为今天的课题研究打好基础和伏笔。
〖设计意图〗学生在课前完成了学案相应复习部分的内容，复习了高一时所学习过的二分法的内容，为本节课的课程研究打下坚实的基础，包括对算法思想，逼近思想的体会都能有所加深，为研究牛顿迭代法进行类比提供了很好的基础。
（三）问题引导，分析方法【问题4】今天我们延究一种新的计算方程近似解的方法，请大家根据学案上的问题设置，结合近期新学习的内容，回答问题同时引发对新方法的思考，小组讨论一下，并进行交流。
问题链设计：（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么工具可以用来很方便地刻画函数的什么性质？（3）我们新学习的工具中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？（4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的工具，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？〖师生活动〗问答形式，以提问的方式使学生将思考后的想法分享出来，并逐步引出后面的问题。
〖设计意图〗通过问题链引导学生进行复习，使学生逐步将导数和切线与方程的近似解相结合起来。
【问题5】借助图形计算器，验证新的想法，并思考如何将其转化为算法。
〖师生活动〗同学们利用手中的图形计算器画出曲线的切线，并通过平移体会“以直代曲”思想。
教师在电脑上进行演示。
〖设计意图〗结合图形计算器的演示，同时让学生实际动手操作，能够直观理解“以直代曲”思想，为后面的借助切线与x 轴的交点横坐标代替原函数零点的思想进行切实的铺垫。
（四）探究切线，体验迭代【问题5】利用图形计算器，求方程32210200x x x ++-=的近似解（精确度为910-），记录下探究和计算的过程。
〖设计意图〗通过问题引导的方式，让学生试着利用切线代替曲线来求近似解，并逐步体会迭代的方式方法，写出Leonardo 方程的迭代公式并利用图形计算器求解，完成探究环节，给出问题解答。
〖师生活动〗教师问题引导：（1）从哪一个点开始“以直代曲”？求出具体的切线及近似解。
预设：学生先求出切线方程，并利用手中的图形计算器画出函数图象和切线的图象在一起，可以进行比较。
切线方程：()30216y x =-+。
图象如下：（2）与我们刚才求出的零点比较，再结合函数图象与切线，用什么方法进行下一步的操作，进而逐步逼近方程的解呢？预设：学生可能会再选择不同的x 值求切线方程，并继续画图探究，此时可以引导学生思考寻找规律，取不同的x 值无非是希望切线再能够逼近图象，那么如果就取刚才求出的切线零点为x 值，既能更加贴近图象，又可以有一个合理的步骤，不妨可以试试再求出2215x =时的切线方程，计算较复杂，可以利用图形计算器辅助完成，并画出图象。