三角函数化一公式例题解析

三角函数化一公式解析

一、化一公式

三角函数化一公式是指如下的三角函数公式：

)cos()sin(cos sin 2222θϕ-+=++=+x b a x b a x b x a ，

其中

22sin cos b a a +==θϕ，2

2cos sin b a b +==θϕ， θϕ、

完美地融入直角梯形中。

如果0=ab ，则公式显然成立。不妨假设0≠ab ，则

[]

),

sin( cos sin sin cos cos sin cos sin 2222222222ϕϕϕ++=++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++++=+x b a x x b a x b a b x b a a b a x b x a

同理可得 )cos(cos sin 22θ-+=+x b a x b x a 。

二、公式的应用

化一公式把含有两个三角函数x sin 、x cos 的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题，从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。这些问题均是三角函数的基本问题，但学生往往难以掌握。下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。

1、三角函数最值问题

例1、求函数

R x x x x x f ∈+=),cos (sin sin 2)(

的最大值。

解析：142sin 212cos 2sin cos sin 2sin 2)cos (sin sin 22+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=+-=+=+πx x x x x x x x x 。 于是，函数的最大值是12+。

例2、求函数

R x x x x f ∈⎪⎭

⎫ ⎝

⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,94sin 59sin 3)(ππ 的最大值和最小值。

解析： )

sin(7 )sin(94sin 59sin 394cos 59cos 3 cos 94sin 59sin 3sin 94cos 59cos 394sin 59sin 32

2ϕϕππππππππππ+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x 因此，该函数的最大值和最小值分别是7、-7。

例3、已知函数

R x x a x x f ∈++=,4cos sin 2)( 的小值为1，求参数a 的值。

解析：

R x x a x f ∈+++=,4)sin(4)(ϕ，2

tan a =ϕ。 因函数的最小值是1，即144=+-a 。因此5=a 。

2、三角函数的单调区间

例4、求函数

()ππ2,2,2

cos 2sin )(-∈+=x x x x f 的单调递增区间。

解析：用化一公式将函数简化为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+42sin 22cos 2sin πx x x 。 注意到函数的定义域，从而⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∈+45,4342πππx 。利用正弦函数的单调性立即可知函数f 的单调递增区间为⎥⎦⎤ ⎝

⎛-2,2ππ。 例5、求函数

],0[,cos cos sin 32sin )(44π∈-+=x x x x x x f

的单调区间。

解析：因为

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=-=-+=-+62sin 22cos 2sin 3cos sin 2sin 3cos cos sin 32sin 2244πx x x x x x x x x x 。 利用正弦函数的单调性，立即得到函数f 的单调递增区间为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,653,0 ，单调递减区间为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡65,3ππ。 3、三角函数的最小正周期

周期现象是一种普遍而重要的自然现象，对于描述周期现象的有力工具之一——三角函数，其最小正周期实际问题中扮演着一个重要角色，例如Fourier 级数。因此，如何寻求三角函数的最小正周期无疑是一个十分重要的课题。而化一公式无疑又是解决这个问题的一把钥匙。

对于例1中的函数，利用化一公式，我们立即可知该函数的最小正周期为π。类似地，对于另一高考题：求函数x x s y cos sin 32cos -=的最小正周期，也可获知其最小正周期为π

4、三角函数图象的对称轴、对称中心及相关问题

例6、若函数

R x x a x x f ∈+=,2cos 2sin )( 的图像关于直线8

π-=x 对称，则参数a 的值为多少？ 解析：利用化一公式，有

a x a x a x =++=+ϕϕtan ),2sin(12cos 2sin 2。

根据题意

43,182ππϕπ+=+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-k a f 。 进而，1-=a 。对于这个函数，如果图像关于点⎪⎭

⎫ ⎝⎛-0,6π对称，用同样的方法可知3=a 。 例7、已知函数

R x x x x x f ∈++=,1cos sin 2

3cos 21)(2。 该函数图象可由R x x y ∈=,sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变化得到？

解析：首先利用化一公式可得

R x x x f ∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,4

562sin 21)(π。 进而，该问题就可迎刃而解。

5、解三角方程和三角不等式

例8.求三角方程01cos 3sin =--x x

利用化一公式和正弦函数的性质，立即可知其解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+=Z k k x k x x ,62 22ππππ或。 例9.解三角不等式1cos 3cos sin 2sin 22≤+-x x x x

同样地，利用化一公式和正弦函数的单调性立即可知解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈-≤≤-Z k k x k x ,42ππππ。